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**Resposta: a) \(-\frac{5}{4}\)** 
 **Explicação:** \(\int_{0}^{2} \frac{1}{x^3} \, dx = \left[-\frac{1}{2x^2}\right]_{0}^{2} = -
\frac{1}{2 \cdot 2^2} - (-\frac{1}{2 \cdot 0^2}) = -\frac{1}{8}\). 
 
37. Encontre a derivada de \(f(x) = \sqrt{\cos(x)}\). 
 a) \(-\frac{\sin(x)}{2\sqrt{\cos(x)}}\) 
 b) \(\frac{\sin(x)}{2\sqrt{\cos(x)}}\) 
 c) \(\frac{\sin(x)}{\sqrt{\cos(x)}}\) 
 d) \(-\frac{\cos(x)}{2\sqrt{\cos(x)}}\) 
 **Resposta: a) \(-\frac{\sin(x)}{2\sqrt{\cos(x)}}\)** 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, \(\frac{d}{dx}[\sqrt{\cos(x)}] = 
\frac{1}{2\sqrt{\cos(x)}} \cdot (-\sin(x)) = -\frac{\sin(x)}{2\sqrt{\cos(x)}}\). 
 
38. Qual é o valor da integral \(\int_{1}^{e^2} \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\)? 
 a) \(\ln(\ln(e^2)) - \ln(\ln(1))\) 
 b) \(\ln(\ln(e^2))\) 
 c) \(\ln(\ln(e^2) - \ln(1))\) 
 d) \(\ln(e^2)\) 
 **Resposta: a) \(\ln(\ln(e^2)) - \ln(\ln(1))\)** 
 **Explicação:** Usando substituição \(u = \ln(x)\), \(\int_{1}^{e^2} \frac{1}{x \ln(x)} \, dx = 
\ln(\ln(x)) \Big|_{1}^{ 
 
e^2} = \ln(2) - \ln(0) = \ln(\ln(e^2))\). 
 
39. Qual é a integral de \(\int_{0}^{\pi/2} \sin(x) \cos(x) \, dx\)? 
 a) \(\frac{1}{2}\) 
 b) \(\frac{1}{4}\) 
 c) \(\frac{\pi}{4}\) 
 d) \(\frac{1}{3}\) 
 **Resposta: a) \(\frac{1}{2}\)** 
 **Explicação:** \(\sin(x) \cos(x) = \frac{1}{2} \sin(2x)\). Então, \(\int_{0}^{\pi/2} \sin(x) 
\cos(x) \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} \sin(2x) \, dx = \frac{1}{2} \left[-\frac{1}{2} 
\cos(2x)\right]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{2}\). 
 
40. Encontre a derivada de \(f(x) = \arctan(e^x)\). 
 a) \(\frac{e^x}{1 + e^{2x}}\) 
 b) \(\frac{1}{1 + e^{2x}}\) 
 c) \(\frac{e^x}{1 + e^x}\) 
 d) \(\frac{e^x}{1 + e^x}\) 
 **Resposta: a) \(\frac{e^x}{1 + e^{2x}}\)** 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, \(\frac{d}{dx}[\arctan(e^x)] = \frac{e^x}{1 + 
e^{2x}}\). 
 
41. Qual é a integral \(\int_{0}^{\pi} \cos(x) \, dx\)? 
 a) \(0\) 
 b) \(\pi\) 
 c) \(-\pi\) 
 d) \(2\pi\) 
 **Resposta: a) \(0\)** 
 **Explicação:** \(\int_{0}^{\pi} \cos(x) \, dx = \sin(x) \Big|_{0}^{\pi} = \sin(\pi) - \sin(0) = 0\). 
 
42. Encontre a integral \(\int_{0}^{2} (x^2 - 1) \, dx\). 
 a) \(\frac{4}{3} - 2\) 
 b) \(\frac{8}{3} - 2\) 
 c) \(\frac{8}{3} - 1\) 
 d) \(\frac{4}{3}\) 
 **Resposta: b) \(\frac{8}{3} - 2\)** 
 **Explicação:** \(\int_{0}^{2} (x^2 - 1) \, dx = \left[\frac{x^3}{3} - x\right]_{0}^{2} = 
\left(\frac{8}{3} - 2\right) = \frac{8}{3} - 2\). 
 
43. Qual é a derivada de \(f(x) = \sqrt{1 - \sin(x)}\)? 
 a) \(-\frac{\cos(x)}{2\sqrt{1 - \sin(x)}}\) 
 b) \(\frac{\cos(x)}{2\sqrt{1 - \sin(x)}}\) 
 c) \(-\frac{\cos(x)}{\sqrt{1 - \sin(x)}}\) 
 d) \(\frac{\cos(x)}{\sqrt{1 - \sin(x)}}\) 
 **Resposta: a) \(-\frac{\cos(x)}{2\sqrt{1 - \sin(x)}}\)** 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, \(\frac{d}{dx}[\sqrt{1 - \sin(x)}] = \frac{1}{2\sqrt{1 
- \sin(x)}} \cdot (-\cos(x)) = -\frac{\cos(x)}{2\sqrt{1 - \sin(x)}}\). 
 
44. Encontre a integral \(\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\). 
 a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 b) \(\frac{\pi}{2}\) 
 c) \(\frac{\pi}{6}\) 
 d) \(\frac{\pi}{8}\) 
 **Resposta: a) \(\frac{\pi}{4}\)** 
 **Explicação:** \(\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \arctan(x) \Big|_{0}^{1} = \arctan(1) - 
\arctan(0) = \frac{\pi}{4}\). 
 
45. Qual é a derivada de \(f(x) = \sin^{-1}(x)\)? 
 a) \(\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\) 
 b) \(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 c) \(\frac{1}{1 + x^2}\) 
 d) \(\frac{1}{x}\) 
 **Resposta: a) \(\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)** 
 **Explicação:** \(\frac{d}{dx}[\sin^{-1}(x)] = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\). 
 
46. Determine a integral \(\int_{0}^{1} x^3 \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{4}\) 
 b) \(\frac{1}{5}\) 
 c) \(\frac{1}{6}\) 
 d) \(\frac{1}{7}\) 
 **Resposta: b) \(\frac{1}{5}\)** 
 **Explicação:** \(\int_{0}^{1} x^3 \, dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}\). 
 
47. Qual é a integral \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx\)? 
 a) \(\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) + C\) 
 b) \(\ln(\sqrt{x^2 + 1} + 1) + C\)