dados 103

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**Resposta:** \( f'(x) = \ln(x) + 1 \) 
 **Explicação:** Usando a regra do produto. 
 
62. **Problema:** Calcule a integral \( \int \frac{1}{x^3 + 2x} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{1}{4} \ln|x + \sqrt{x^2 + 1}| - \frac{1}{4} \ln|x - \sqrt{x^2 + 1}| + C \) 
 **Explicação:** Decomponha em frações parciais e integre. 
 
63. **Problema:** Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x - \tan(x)}{x^3} \). 
 **Resposta:** \( -\frac{1}{3} \) 
 **Explicação:** Usando a expansão em série de Taylor para \( \tan(x) \). 
 
64. **Problema:** Encontre a integral \( \int x \cos(x^2) \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{1}{2} \sin(x^2) + C \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( u = x^2 \). 
 
65. **Problema:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - e^x}{x} \). 
 **Resposta:** \( e^x (e^x - 1) \) 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital. 
 
66. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x^2 + x} \). 
 **Resposta:** \( f'(x) = \frac{-2x - 1}{(x^2 + x)^2} \) 
 **Explicação:** Usando a regra do quociente. 
 
67. **Problema:** Encontre a integral \( \int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( u = x^2 + 1 \). 
 
68. **Problema:** Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{\ln(x)} \). 
 **Resposta:** 2 
 **Explicação:** Divida numerador e denominador pelo termo dominante \( \ln(x) \). 
 
69. **Problema:** Determine o valor da integral \( \int_0^1 \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{\pi}{4} \) 
 **Explicação:** A integral é a função arco-tangente avaliada de 0 a 1. 
 
70. **Problema:** Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(\ln(x)) \). 
 **Resposta:** \( f'(x) = \frac{1}{x \ln(x)} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia. 
 
 
 
71. **Problema:** Calcule a integral \( \int \sin^2(x) \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C \) 
 **Explicação:** Use a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \) e integre. 
 
72. **Problema:** Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} \). 
 **Resposta:** \( \frac{1}{2} \) 
 **Explicação:** Usando a expansão em série de Taylor para \( e^x \). 
 
73. **Problema:** Encontre a integral \( \int \frac{1}{x^2 - 4} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{1}{4} \ln \left| \frac{x - 2}{x + 2} \right| + C \) 
 **Explicação:** Decomponha em frações parciais e integre. 
 
74. **Problema:** Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + x}}{x} \). 
 **Resposta:** 1 
 **Explicação:** Divida o numerador e denominador por \( x \) e simplifique. 
 
75. **Problema:** Determine a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \). 
 **Resposta:** \( f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia. 
 
76. **Problema:** Encontre a integral \( \int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx \).