Questões resolvidas
Calcule a integral \int \frac{dx}{x^2 - 2x + 2}.
Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(x)}{x^2}\).
Encontre a derivada de \(f(x) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}}\).
Calcule a integral \(\int \frac{e^{2x}}{e^{4x} + 1} \, dx\).
Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{x \ln(x)}{e^x}\).
Encontre a derivada de \(f(x) = \frac{e^x \sin(x)}{x}\).
Calcule a integral \( \int \frac{dx}{x \sqrt{x^2 - 1}} \).
Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x^2}\).
Encontre a derivada de \(f(x) = \frac{x^2 + 1}{\sqrt{x^2 + 2}}\).
Calcule a integral \(\int \frac{dx}{x^3 \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}}\).
Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - 5x + 7}{4x^3 + 3x - 1}\).
Encontre a derivada de f(x) = \ln(x^2 + x + 1).
Calcule a integral \(\int e^{x} \cosh(x) \, dx\).
Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2x + 3}{x^2 - 4x + 1}\).
Encontre a derivada de \(f(x) = \arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}\right)\).
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53. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 2}\).
**Resposta:** \(\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{2x + 2}{\sqrt{3}}\right) + C\).
**Explicação:** Complete o quadrado e use a fórmula para a integral de arctan.
54. **Problema:** Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(x)}{x^2}\).
**Resposta:** 1.
**Explicação:** Usando a identidade \(\sin(x) \approx x\) para \(x\) próximo de 0.
55. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}}\).
**Resposta:** \(-\frac{1 + x}{(x + \sqrt{x^2 + 1})^2}\).
**Explicação:** Use a regra do quociente e simplifique.
56. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{e^{2x}}{e^{4x} + 1} \, dx\).
**Resposta:** \(\frac{1}{2} \arctan(e^{2x}) + C\).
**Explicação:** Use substituição \(u = e^{2x}\).
57. **Problema:** Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{x \ln(x)}{e^x}\).
**Resposta:** 0.
**Explicação:** A função exponencial no denominador cresce mais rapidamente que o
numerador.
58. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = \frac{e^x \sin(x)}{x}\).
**Resposta:** \(f'(x) = \frac{e^x (\sin(x) - x \cos(x))}{x^2}\).
**Explicação:** Use a regra do quociente e do produto.
59. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{dx}{x \sqrt{x^2 + 1}}\).
**Resposta:** \(\ln \left| x + \sqrt{x^2 + 1} \right| + C\).
**Explicação:** Use substituição \(x = \sinh(t)\).
60. **Problema:** Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x^2}\).
**Resposta:** \(\frac{1}{2}\).
**Explicação:** Usando a série de Taylor para \(e^x\), a expressão é \(\frac{x^2}{2}\) para
\(x\) próximo de 0.
61. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = \frac{x^2 + 1}{\sqrt{x^2 + 2}}\).
**Resposta:** \(f'(x) = \frac{2x \sqrt{x^2 + 2} - (x^2 + 1) \frac{x}{\sqrt{x^2 + 2}}}{x^2 + 2}\).
**Explicação:** Use a regra do quociente e da cadeia.
62. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{dx}{x^3 \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}}\).
**Resposta:** \(-\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x^2} + C\).
**Explicação:** Use substituição trigonométrica.
63. **Problema:** Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - 5x + 7}{4x^3 + 3x - 1}\).
**Resposta:** \(\frac{1}{2}\).
**Explicação:** Divida numerador e denominador por \(x^3\) e simplifique.
64. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + x + 1)\).
**Resposta:** \(f'(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1}\).
**Explicação:** Use a regra da cadeia para a função composta \(\ln(x^2 + x + 1)\).
65. **Problema:** Calcule a integral \(\int e^{x} \cosh(x) \, dx\).
**Resposta:** \(\frac{e^{x}}{2} (\sinh(x) + \cosh(x)) + C\).
**Explicação:** Use a definição de \(\cosh(x)\) e \(\sinh(x)\).
66. **Problema:** Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2x + 3}{x^2 - 4x + 1}\).
**Resposta:** 1.
**Explicação:** Divida o numerador e denominador por \(x^2\) e simplifique.
67. **Problema:** Encontre a derivada de \(f(x) = \arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}\right)\).
**Resposta:** \(f'(x) = \frac{2}{(x^2 + 4) \sqrt{4 - x^2}}\).
**Explicação:** Use a regra da cadeia para a função arcosseno.Mais conteúdos dessa disciplina
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