Questões resolvidas
Encontre a integral \(\int_{0}^{\pi} x \sin(x) \, dx\).
Calcule \(\int_{0}^{\infty} \frac{x e^{-x}}{1+e^{-x}} \, dx\).
Encontre \(\int_{0}^{1} \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} \, dx\).
Calcule \(\int_{0}^{\pi/2} \sin^2(x) \cos^2(x) \, dx\).
Encontre a integral \(\int_{0}^{\pi} \frac{x^2}{\sin(x)} \, dx\).
Calcule \(\int_{0}^{\pi} \frac{\sin(x)}{x} \, dx\).
Calcule \( \int_{0}^{\pi/2} x \cos(x) \, dx \).
Encontre a integral \(\int_{0}^{\pi} \frac{\cos(x)}{1+x^2} \, dx\).
Calcule \(\int_{0}^{1} \frac{e^{-x}}{x^2} \, dx\).
Encontre o valor de \(\int_{0}^{1} x^2 e^{x^2} \, dx\).
Calcule \(\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\sin(x)} \, dx\).
Encontre a integral \(\int_{0}^{\pi} \frac{\sin^3(x)}{x} \, dx\).
Calcule \(\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\).
Encontre \(\int_{0}^{\pi} \frac{x^2 \cos(x)}{e^x} \, dx\).
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44. **Problema:** Encontre a integral \(\int_{0}^{\pi} x \sin(x) \, dx\).
**Resposta:** \(2\pi\)
**Explicação:** Use integração por partes para encontrar a solução.
45. **Problema:** Calcule \(\int_{0}^{\infty} \frac{x e^{-x}}{1+e^{-x}} \, dx\).
**Resposta:** \(\frac{\pi^2}{12}\)
**Explicação:** Use técnicas de transformadas de Laplace para resolver a integral.
46. **Problema:** Encontre \(\int_{0}^{1} \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} \, dx\).
**Resposta:** \(\frac{1}{2}\)
**Explicação:** Use a substituição \(u = 1 + x^2\) para simplificar a integral.
47. **Problema:** Calcule \(\int_{0}^{\pi/2} \sin^2(x) \cos^2(x) \, dx\).
**Resposta:** \(\frac{\pi}{16}\)
**Explicação:** Use identidades trigonométricas e simplifique a integral.
48. **Problema:** Encontre a integral \(\int_{0}^{\pi} \frac{x^2}{\sin(x)} \, dx\).
**Resposta:** \(\pi^2\)
**Explicação:** Use técnicas de integração por partes e simplificações.
49. **Problema:** Calcule \(\int_{0}^{\pi} \frac{\sin(x)}{x} \, dx\).
**Resposta:** \(\text{Si}(\pi)\) (função seno integral)
**Explicação:** Esta integral está relacionada com a função seno integral \(\text{Si}(x)\).
50. **Problema:** Encontre \(\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \, dx\).
**Resposta:** \(-\frac{\pi}{4}\)
**Explicação:** Use a substituição \(x = \sin(\theta)\) para resolver a integral.
51. **Problema:** Calcule \(\int_{0}^{\pi/2} x \cos(x) \, dx\).
**Resposta:** \(\frac{\pi}{2}\)
**Explicação:** Use integração por partes para resolver a integral.
52. **Problema:** Encontre a integral \(\int_{0}^{\pi} \frac{\cos(x)}{1+x^2} \, dx\).
**Resposta:** 0
**Explicação:** A função \(\frac{\cos(x)}{1+x^2}\) é ímpar em torno de \(\pi/2\), então a
integral é zero.
53. **Problema:** Calcule \(\int_{0}^{1} \frac{e^{-x}}{x^2} \, dx\).
**Resposta:** \(\text{Ei}(-1)\)
**Explicação:** A integral está relacionada com a função exponencial integral \(\text{Ei}(x)\).
54. **Problema:** Encontre o valor de \(\int_{0}^{1} x^2 e^{x^2} \, dx\).
**Resposta:** \(\frac{1}{2} e - \frac{1}{2}\)
**Explicação:** Use a substituição \(u = x^2\), e resolva a integral resultante.
55. **Problema:** Calcule \(\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\sin(x)} \, dx\).
**Resposta:** \(\sqrt{2} \cdot B\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\)
**Explicação:** Utilize a função Beta para resolver a integral.
56. **Problema:** Encontre a integral \(\int_{0}^{\pi} \frac{\sin^3(x)}{x} \, dx\).
**Resposta:** \(\frac{4}{3}\)
**Explicação:** Use propriedades de funções trigonométricas e integrais para encontrar a
resposta.
57. **Problema:** Calcule \(\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\).
**Resposta:** \(\frac{\pi}{2}\)
**Explicação:** A integral é conhecida e a solução pode ser obtida usando a fórmula para a
função arcotangente.
58. **Problema:** Encontre \(\int_{0}^{\pi} \frac{x^2 \cos(x)}{e^x} \, dx\).
**Resposta:** \(-\frac{2\pi^2}{e}\)
**Explicação:** Use técnicas de integração por partes para encontrar a solução.Mais conteúdos dessa disciplina
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