equacao para todos AB

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27. **Problema**: Encontre a solução para \( \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{x+1} \right) \). 
 **Resposta**: \( \frac{x(x-1)}{(x+1)^2} \). 
 **Explicação**: Use a regra do quociente para derivar a função \( \frac{x^2}{x+1} \). 
 
28. **Problema**: Resolva a equação \( \sqrt{x+2} = x - 1 \). 
 **Resposta**: \( x = 2 \). 
 **Explicação**: Eleve ambos os lados ao quadrado para remover a raiz, depois resolva a 
equação quadrática. 
 
29. **Problema**: Determine a integral \( \int_0^\pi \sin(x) \, dx \). 
 **Resposta**: 2. 
 **Explicação**: A integral de \( \sin(x) \) sobre o intervalo \( [0, \pi] \) resulta em 2. 
 
30. **Problema**: Encontre o valor da série \( \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \). 
 **Resposta**: \( e \). 
 **Explicação**: Esta é a série de Taylor para \( e^x \) com \( x = 1 \). 
 
31. **Problema**: Resolva \( \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) \). 
 **Resposta**: \( -\frac{1}{x^2} \). 
 **Explicação**: A derivada de \( \frac{1}{x} \) é \( -\frac{1}{x^2} \). 
 
32. **Problema**: Determine o valor da integral \( \int \frac{1}{1+x^2} \, dx \). 
 **Resposta**: \( \arctan(x) + C \). 
 **Explicação**: Esta integral é a função arco-tangente. 
 
33. **Problema**: Encontre o valor da série \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} \). 
 **Resposta**: \( \zeta(3) \), onde \( \zeta \) é a função zeta de Riemann. 
 **Explicação**: Esta é uma série conhecida como a série de Apery. 
 
34. **Problema**: Resolva \( \frac{d}{dx} \left( \ln(x) \right) \). 
 **Resposta**: \( \frac{1}{x} \). 
 **Explicação**: A derivada de \( \ln(x) \) é \( \frac{1}{x} \). 
 
35. **Problema**: Determine a solução da equação \( y' = \frac{y}{x} \). 
 **Resposta**: \( y = C x \). 
 **Explicação**: Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem que pode ser 
resolvida separando variáveis. 
 
36. **Problema**: Encontre o valor da integral \( \int_0^1 x e^{x^2} \, dx \). 
 **Resposta**: \( \frac{e - 1}{2} \). 
 **Explicação**: Use a substituição \( u = x^2 \), depois integre \( e^u \, du \). 
 
37. **Problema**: Resolva \( \int \frac{1}{x^2 \ln(x)} \, dx \). 
 **Resposta**: \( -\frac{1}{x \ln(x)} + C \). 
 **Explicação**: Use a substituição \( u = \ln(x) \), então integre \( \frac{1}{u} \, du \). 
 
38. **Problema**: Determine o valor da integral \( \int_0^1 \frac{1}{x^3 + 1} \, dx \). 
 **Resposta**: \( \frac{\pi}{6 \sqrt{3}} \). 
 **Explicação**: Utilize uma substituição trigonométrica para resolver esta integral. 
 
39. **Problema**: Encontre a solução para \( x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \). 
 **Resposta**: \( x = \pm 1, \pm 2 \). 
 **Explicação**: Faça uma substituição \( u = x^2 \) e resolva a equação quadrática 
resultante. 
 
40. **Problema**: Determine o valor da série \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 + 2n + 2} \). 
 **Resposta**: \( \frac{\pi}{2} - 1 \). 
 **Explicação**: Use métodos avançados de somatório para resolver esta série. 
 
41. **Problema**: Resolva \( \int_0^\infty x e^{-x} \, dx \). 
 **Resposta**: 1. 
 **Explicação**: Esta é a integral da função Gamma com \( n = 2 \), e o resultado é \( (n-1)! = 
1 \).