finais semanas provas A

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7. **Problema:** Resolva a equação \( \sin(x) + \cos(x) = 1 \). 
 **Resposta:** A solução é \( x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \), onde \( k \) é um inteiro. 
 
8. **Problema:** Encontre o valor de \( \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx \). 
 **Resposta:** O valor é \( \frac{\pi}{2} \). 
 
9. **Problema:** Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \). 
 **Resposta:** O limite é 2. 
 
10. **Problema:** Calcule a soma dos números inteiros positivos menores que 100 que são 
múltiplos de 7. 
 **Resposta:** A soma é 735. 
 
11. **Problema:** Encontre a solução da equação \( e^{2x} = 5 \). 
 **Resposta:** A solução é \( x = \frac{1}{2} \ln(5) \). 
 
12. **Problema:** Determine a fórmula geral para a \( n \)-ésima derivada de \( e^{x^2} \). 
 **Resposta:** A \( n \)-ésima derivada pode ser expressa usando o polinômio de Hermite \( 
H_n(x) \). 
 
13. **Problema:** Resolva a equação \( x^4 - 4x^2 + 4 = 0 \). 
 **Resposta:** As soluções são \( x = \pm 1 \) e \( x = \pm 2 \). 
 
14. **Problema:** Encontre a matriz inversa de \( A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 
\end{pmatrix} \). 
 **Resposta:** A inversa é \( A^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \). 
 
15. **Problema:** Determine o valor da soma infinita \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \). 
 **Resposta:** A soma é \( \frac{\pi^2}{6} \). 
 
16. **Problema:** Calcule a integral de \( \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx \). 
 **Resposta:** A integral é \( \arctan(x) + C \). 
 
17. **Problema:** Resolva \( \frac{d^2y}{dx^2} - 4 \frac{dy}{dx} + 4y = 0 \). 
 **Resposta:** A solução é \( y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{2x} \). 
 
18. **Problema:** Encontre a raiz quadrada de \( 2500 \). 
 **Resposta:** A raiz quadrada é 50. 
 
19. **Problema:** Determine a solução da equação \( x^3 + 3x^2 - 4 = 0 \). 
 **Resposta:** A solução é \( x = 1 \). 
 
20. **Problema:** Calcule o determinante da matriz \( B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 
& 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \). 
 **Resposta:** O determinante é 6. 
 
21. **Problema:** Encontre o valor de \( \int_{0}^{\pi/2} \cos(x) \, dx \). 
 **Resposta:** O valor é 1. 
 
22. **Problema:** Resolva a equação \( \ln(x) = 2 \). 
 **Resposta:** A solução é \( x = e^2 \). 
 
23. **Problema:** Determine a fórmula geral para a soma dos \( n \) primeiros termos de uma 
progressão geométrica. 
 **Resposta:** A fórmula é \( S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} \), onde \( a \) é o primeiro termo e 
\( r \) é a razão. 
 
24. **Problema:** Calcule o valor de \( \frac{d}{dx} (x^2 \sin(x)) \). 
 **Resposta:** A derivada é \( 2x \sin(x) + x^2 \cos(x) \). 
 
25. **Problema:** Encontre a área de um triângulo com vértices em \((0,0)\), \((1,0)\) e 
\((0,1)\). 
 **Resposta:** A área é \( \frac{1}{2} \).