finais semanas provas AT

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43. **Problema:** Resolva o sistema de equações: 
 \[ 
 \begin{cases} 
 3x + 2y = 5 \\ 
 x - y = 1 
 \end{cases} 
 \] 
 **Resposta:** \( x = 2, y = 1 \). 
 **Explicação:** Use substituição ou eliminação para resolver o sistema. 
 
44. **Problema:** Calcule o valor de \( \frac{d}{dx} (x^3 \ln(x)) \). 
 **Resposta:** \( 3x^2 \ln(x) + x^2 \). 
 **Explicação:** Use a regra do produto e a derivada de \( \ln(x) \). 
 
45. **Problema:** Determine o volume de um cilindro com raio 2 e altura 5. 
 **Resposta:** \( 20\pi \). 
 **Explicação:** Use a fórmula \( \pi r^2 h \). 
 
46. **Problema:** Qual é o valor de \( \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) \)? 
 **Resposta:** 1. 
 **Explicação:** O seno de \( \frac{\pi}{2} \) é 1 por definição. 
 
47. **Problema:** Encontre a soma dos quadrados dos primeiros 10 inteiros. 
 **Resposta:** 385. 
 **Explicação:** Use a fórmula da soma dos quadrados: \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \), onde \( 
n = 10 \). 
 
48. **Problema:** Resolva a integral \( \int_0^2 (x^2 + 2x) \, dx \). 
 **Resposta:** 10. 
 **Explicação:** Integre cada termo separadamente e avalie nos limites. 
 
49. **Problema:** Determine o valor de \( \cos(0) \). 
 **Resposta:** 1. 
 **Explicação:** O cosseno de 0 é 1 por definição. 
 
50. **Problema:** Resolva a equação \( \sqrt{2x + 3} = x - 1 \). 
 **Resposta:** \( x = 2 \). 
 **Explicação:** Eleve ambos os lados ao quadrado e resolva a equação resultante. 
 
51. **Problema:** Calcule o determinante da matriz 
 \[ 
 \begin{pmatrix} 
 2 & 3 \\ 
 1 & 4 
 \end{pmatrix}. 
 \] 
 **Resposta:** 5. 
 **Explicação:** Use a fórmula do determinante \( ad - bc \). 
 
52. **Problema:** Encontre a integral de \( \cos(x) \). 
 **Resposta:** \( \sin(x) + C \). 
 **Explicação:** A integral de \( \cos(x) \) é \( \sin(x) \), mais uma constante de integração. 
 
53. **Problema:** Resolva a equação \( x^2 - 4 = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = \pm 2 \). 
 **Explicação:** Fatorize como \( (x - 2)(x + 2) = 0 \). 
 
54. **Problema:** Determine o valor de \( \int x \sin(x) \, dx \). 
 **Resposta:** \( -x \cos(x) + \sin(x) + C \). 
 **Explicação:** Use integração por partes. 
 
55. **Problema:** Qual é a área de um triângulo com base 10 e altura 5?