aulas C

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**Resposta:** \( \text{Ei}(1) - \text{Ei}(0) \), onde \(\text{Ei}\) é a função exponencial 
integral. 
 **Explicação:** Utilize a função exponencial integral para obter o resultado. 
 
15. **Problema:** Calcule \(\int_{-1}^1 x^2 \sqrt{1 - x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{8}\). 
 **Explicação:** Utilize a substituição trigonométrica \(x = \sin(\theta)\). 
 
16. **Problema:** Determine \(\int_0^1 \frac{\ln(x)}{1 + x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(-\frac{\pi \ln(2)}{4}\). 
 **Explicação:** Use a série de Taylor para simplificar a integral. 
 
17. **Problema:** Resolva a integral \(\int_0^1 x e^x \, dx\). 
 **Resposta:** \(e - 2\). 
 **Explicação:** Use a integração por partes para resolver a integral. 
 
18. **Problema:** Calcule a integral \(\int_0^\infty \frac{x e^{-x}}{(1 + x^2)^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{8 e}\). 
 **Explicação:** Utilize a técnica de substituição e integrais conhecidas. 
 
19. **Problema:** Determine \(\int_0^1 x^3 e^{x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{e - 1}{2}\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = x^2\) para simplificar a integral. 
 
20. **Problema:** Resolva \(\int_0^\pi x \cos(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(2\pi\). 
 **Explicação:** Utilize a integração por partes para resolver. 
 
21. **Problema:** Calcule \(\int_0^\pi \sin^3(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{4}{3}\). 
 **Explicação:** Use a identidade trigonométrica para simplificar a integral. 
 
22. **Problema:** Determine a integral \(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\sqrt{\pi}\). 
 **Explicação:** Esta é uma integral conhecida que resulta na raiz quadrada de \(\pi\). 
 
23. **Problema:** Calcule \(\int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{2}\). 
 **Explicação:** Utilize a substituição trigonométrica \(x = \sin(\theta)\) para resolver. 
 
24. **Problema:** Determine \(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x(1 - x)}} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\pi\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(x = \sin^2(\theta)\) para simplificar a integral. 
 
25. **Problema:** Resolva \(\int_0^\infty x e^{-x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{2}\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = x^2\) para resolver. 
 
26. **Problema:** Calcule \(\int_0^\infty \frac{dx}{x^2 + x + 1}\). 
 **Resposta:** \(\frac{2\pi}{\sqrt{3}}\). 
 **Explicação:** Utilize a substituição trigonométrica para resolver a integral. 
 
27. **Problema:** Determine \(\int_0^\pi \sin^4(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{3\pi}{8}\). 
 **Explicação:** Use a identidade \(\sin^4(x) = \frac{3 - 4 \cos(2x) + \cos(4x)}{8}\) e integre. 
 
28. **Problema:** Resolva \(\int_0^1 \frac{e^x - 1}{x} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\gamma\), a constante de Euler-Mascheroni. 
 **Explicação:** Esta é a integral conhecida como integral exponencial. 
 
29. **Problema:** Calcule \(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin(x) \cos^2(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{2}{3}\).