quest 23

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100. **Problema:** Encontre a raiz de \(f(x) = x^3 - 2x^2 - 5\) usando o método de Newton. 
 **Resposta:** \(x \approx 3.732\) 
 **Explicação:** Iteramos até a convergência. 
Vou começar a gerar os problemas. Será um pouco extenso, então por favor, tenha paciência. 
 
1. **Problema**: Resolva a equação \(x^3 - 3x^2 + 4x - 12 = 0\) para \(x\). 
 **Resposta**: \(x = 2\), \(x = 1 + \sqrt{2}\), \(x = 1 - \sqrt{2}\). 
 **Explicação**: Use o método de fatoração para encontrar as raízes. O polinômio pode ser 
fatorado em \((x - 2)(x^2 - x + 6) = 0\), e então resolva o quadrático. 
 
2. **Problema**: Qual é a integral definida de \( \int_{0}^{1} (4x^3 - 2x^2 + 3) \, dx \)? 
 **Resposta**: \( \frac{19}{4} \). 
 **Explicação**: Calcule a integral de cada termo individualmente e avalie nos limites de 0 a 
1. 
 
3. **Problema**: Determine o valor de \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \). 
 **Resposta**: \( \frac{\pi^2}{6} \). 
 **Explicação**: Esta é a série de Basileia, e seu valor é conhecido. 
 
4. **Problema**: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = y^2 - x^2 \). 
 **Resposta**: \( y = \frac{x^2 + C}{1 - Cx} \). 
 **Explicação**: Use a técnica de separação de variáveis e integre. 
 
5. **Problema**: Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{3x^2 - 2x + 1}{2x^2 + x - 3} 
\right) \)? 
 **Resposta**: \( \frac{3}{2} \). 
 **Explicação**: Divida o numerador e o denominador por \( x^2 \) e simplifique. 
 
6. **Problema**: Determine a soma dos primeiros 100 termos da sequência \(a_n = 2^n\). 
 **Resposta**: \(2^{101} - 2\). 
 **Explicação**: Use a fórmula da soma de uma progressão geométrica. 
 
7. **Problema**: Encontre os valores de \(x\) que satisfazem \( e^x = x^e \). 
 **Resposta**: \(x = e\), \(x = 1\). 
 **Explicação**: Compare os gráficos das funções \(e^x\) e \(x^e\) ou use métodos 
algébricos. 
 
8. **Problema**: Resolva o sistema de equações \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ x + y = 0 
\end{cases} \). 
 **Resposta**: \(x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\), \(y = \mp \frac{1}{\sqrt{2}}\). 
 **Explicação**: Substitua \( y = -x \) na primeira equação e resolva para \(x\). 
 
9. **Problema**: Qual é o menor valor de \(f(x) = x^4 - 4x^2 + 4\)? 
 **Resposta**: \(0\). 
 **Explicação**: Complete o quadrado para obter \( (x^2 - 2)^2 \), que é sempre não 
negativo. 
 
10. **Problema**: Resolva \( \log_2 (x^2 - 4) = 3 \). 
 **Resposta**: \(x = \pm 6\). 
 **Explicação**: Reescreva a equação como \(x^2 - 4 = 2^3\) e resolva a equação quadrática 
resultante. 
 
11. **Problema**: Determine o valor de \( \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx \). 
 **Resposta**: \( \frac{\pi}{2} \). 
 **Explicação**: Use a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \) para simplificar a 
integral. 
 
12. **Problema**: Qual é a solução geral da equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} + 4y = 0 
\)? 
 **Resposta**: \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \). 
 **Explicação**: Resolva a equação característica associada e encontre a solução geral. 
 
13. **Problema**: Encontre a área da região limitada pelas curvas \(y = x^2\) e \(y = 4 - x^2\). 
 **Resposta**: \(\frac{16}{3}\).