testes e numeros122

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46. **Problema:** Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \). 
 **Resposta:** \( 2 \) 
 **Explicação:** Aplicando a regra de L'Hôpital ou a série de Taylor. 
 
47. **Problema:** Calcule a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \). 
 **Resposta:** \( e - 1 \) 
 **Explicação:** Esta série é a representação da função exponencial menos 1. 
 
48. **Problema:** Resolva a integral \( \int e^{2x} \sin(3e^{2x}) \, dx \). 
 **Resposta:** Usando partes, a integral não tem uma forma fechada simples. 
 **Explicação:** A integral envolve funções exponenciais e trigonométricas. 
 
49. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3} \). 
 **Resposta:** \( \frac{1}{6} \) 
 **Explicação:** Usando a expansão de Taylor para \( \sin(x) \). 
 
50. **Problema:** Determine as raízes da equação \( x^2 - 5x + 6 = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = 2, 3 \) 
 **Explicação:** A equação pode ser fatorada como \( (x-2)(x-3) = 0 \). 
 
51. **Problema:** Calcule a integral \( \int_0 
 
^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x) \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{\pi}{4} \) 
 **Explicação:** Usando a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \). 
 
52. **Problema:** Encontre \( \int x e^{x^2} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( u = x^2 \). 
 
53. **Problema:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin^2(x)} \). 
 **Resposta:** \( 1 \) 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital ou a identidade \( \frac{\sin(x)}{x} \). 
 
54. **Problema:** Resolva a equação \( x^3 - 3x + 2 = 0 \). 
 **Resposta:** \( x = 1, -1, 2 \) 
 **Explicação:** Aplicando o Teorema do Resto e fatoração. 
 
55. **Problema:** Calcule o valor de \( \int_0^{1} \sqrt{x} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{2}{3} \) 
 **Explicação:** \( \int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} \). 
 
56. **Problema:** Encontre a integral \( \int e^{3x} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{1}{3} e^{3x} + C \) 
 **Explicação:** A integral de uma exponencial. 
 
57. **Problema:** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
 **Resposta:** \( 1 \) 
 **Explicação:** Usando a definição da derivada de \( e^x \). 
 
58. **Problema:** Determine a integral \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \). 
 **Resposta:** \( \tan^{-1}(x) + C \) 
 **Explicação:** Esta é a forma padrão da integral da função tangente inversa. 
 
59. **Problema:** Calcule a integral \( \int_0^1 x^2 (1 - x^2) \, dx \). 
 **Resposta:** \( \frac{1}{12} \) 
 **Explicação:** Expandindo e integrando cada termo separadamente. 
 
60. **Problema:** Resolva \( \int \sec^2(x) \, dx \). 
 **Resposta:** \( \tan(x) + C \) 
 **Explicação:** A derivada de \( \tan(x) \) é \( \sec^2(x) \).