aulas do mes 212

Prévia do material em texto

9. Qual é a derivada de \( f(x) = e^{2x} \)? 
a) \( 2e^{2x} \) 
b) \( e^{2x} \) 
c) \( 4e^{2x} \) 
d) \( 2xe^{2x} \) 
Resposta: a) \( 2e^{2x} \). Explicação: Usando a regra da cadeia, a derivada de \( e^{u} \) em 
relação a \( x \) é \( e^{u} \cdot u' \). 
 
10. O que é a integral de \( \int_1^e \frac{1}{x} \, dx \)? 
a) 1 
b) \( \ln(e) \) 
c) 0 
d) \( \ln(e) - \ln(1) \) 
Resposta: d) \( \ln(e) - \ln(1) \). Explicação: Isso resulta em \( 1 - 0 = 1 \). 
 
11. Qual é a derivada de \( f(x) = \tan(x) \)? 
a) \( \sec^2(x) \) 
b) \( \cot^2(x) \) 
c) \( \sin^2(x) \) 
d) \( \csc^2(x) \) 
Resposta: a) \( \sec^2(x) \). Explicação: A derivada padrão da tangente é a secante ao 
quadrado. 
 
12. O valor do limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2}{x^2 + 1} \) é: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) \(\infty\) 
Resposta: c) 3. Explicação: Dividindo todos os termos por \( x^2 \) e avaliando o limite nos dá 3. 
 
13. Qual é a fórmula da regra do trapézio para aproximação de integrais? 
a) \( \frac{b-a}{n} \left( f(a) + f(b) \right) \) 
b) \( \frac{b-a}{2n} \left( f(a) + 2 \sum f(x_i) + f(b) \right) \) 
c) \( \frac{b-a}{n} \sum f(x_i) \) 
d) Nenhuma das anteriores 
Resposta: b) \( \frac{b-a}{2n} \left( f(a) + 2 \sum f(x_i) + f(b) \right) \). Explicação: Esta é a 
fórmula correta para o método do trapézio. 
 
14. A que função corresponde a derivada \( \frac{d}{dx} \sin(x) \)? 
a) \( \cos(x) \) 
b) \( -\sin(x) \) 
c) \( \tan(x) \) 
d) \( \sec^2(x) \) 
Resposta: a) \( \cos(x) \). Explicação: A derivada de seno é o cosseno. 
 
15. Qual é o resultado da integral indefinida \( \int x^3 \, dx \)? 
a) \( \frac{1}{4}x^4 + C \) 
b) \( x^4 + C \) 
c) \( \frac{1}{3}x^3 + C \) 
d) \( \frac{1}{5}x^5 + C \) 
Resposta: a) \( \frac{1}{4}x^4 + C \). Explicação: A regra de potência aplica-se aqui. 
 
16. O que representa a integral de uma função em um intervalo? 
a) A medição do ângulo entre a função e o eixo x 
b) A soma das áreas sob a curva 
c) A taxa de variação da função 
d) Nenhuma das anteriores 
Resposta: b) A soma das áreas sob a curva. Explicação: A integral definida representa a área 
sob a curva entre dois pontos. 
 
17. Qual é o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \)? 
a) 0 
b) 1 
c) \( \infty \) 
d) Não existe 
Resposta: b) 1. Explicação: Este é outro limite fundamental que pode ser avaliado usando a 
série de Taylor ou o limite de seno. 
 
18. Qual é o derivado de \( f(x) = \sqrt{x} \)? 
a) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) 
b) \( \sqrt{x} \) 
c) \( 2x^{-1/2} \) 
d) \( \frac{1}{x} \) 
Resposta: a) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \). Explicação: Usando a regra da potência. 
 
19. Qual é a integral de \( \int e^{2x} \, dx \)? 
a) \( \frac{1}{2}e^{2x} + C \) 
b) \( e^{2x} + C \) 
c) \( 2e^{2x} + C \) 
d) \( e^{x} + C \) 
Resposta: a) \( \frac{1}{2}e^{2x} + C \). Explicação: A função exponencial se integra dividindo 
pelo coeficiente de \( x \). 
 
20. O que é \( \frac{d}{dx} \ln(x^2) \)? 
a) \( \frac{2}{x} \) 
b) \( 2\ln(x) \) 
c) \( \frac{1}{x} \) 
d) \( \frac{1}{2x} \) 
Resposta: a) \( \frac{2}{x} \). Explicação: Usando a regra de derivação de logaritmos. 
 
21. O que representa a integral \(\int_a^b f(x) \, dx\)? 
a) A altura média da função \( f(x) \) entre \( a \) e \( b \) 
b) A área entre a curva e o eixo x entre \( a \) e \( b \) 
c) O valor de \( f(b) - f(a) \) 
d) Nenhuma das opções acima 
Resposta: b) A área entre a curva e o eixo x entre \( a \) e \( b \). Explicação: A integral definida 
é a área sob a curva. 
 
22. Qual é a derivada da função \( f(x) = x \sin(x) \)? 
a) \( \sin(x) + x \cos(x) \) 
b) \( x \cos(x) \) 
c) \( \cos(x) - x \sin(x) \) 
d) \( x \sin(x^2) \) 
Resposta: a) \( \sin(x) + x \cos(x) \). Explicação: Aplicando a regra do produto. 
 
23. A que ponto se refere o teorema do valor médio? 
a) Um ponto onde a derivada é zero 
b) A média da função em um intervalo 
c) Um valor médio da função em \( [a, b] \) 
d) O ponto em que a função toca o eixo x 
Resposta: a) Um ponto onde a derivada é zero. Explicação: O teorema do valor médio garante 
que existe pelo menos um ponto em que a derivada é igual à média da inclinação. 
 
24. Qual é o valor da derivada de \( f(x) = \cos(4x) \)? 
a) \( -4\sin(4x) \) 
b) \( -\sin(4x) \) 
c) \( 4\cos(4x) \) 
d) \( -\cos(4x) \) 
Resposta: a) \( -4\sin(4x) \). Explicação: Aplicando a regra da cadeia. 
 
25. Qual é a integral de \( \int \cos(x) \, dx \)? 
a) \( \sin(x) + C \) 
b) \( -\sin(x) + C \) 
c) \( \cos(x) + C \) 
d) \( -\cos(x) + C \) 
Resposta: a) \( \sin(x) + C \). Explicação: O integral de cosseno resulta em seno.