Lista_Exercicios (1)

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Universidade Federal do Espírito Santo 
Departamento de Informática 
Profa. Claudine Badue 
Algoritmos Numéricos I 
 
Lista de Exercícios 
 
Exercício 1 [Campos, 2007; Exercício 2.11] 
 
Resolver o sistema abaixo pelo método da 
eliminação de Gauss sem pivotação parcial. 
Verificar também a unicidade e exatidão da 
solução. 
 [− − ] [ ] = [ ] 
 
Exercício 2 [Campos, 2007; Exercício 2.12] 
 
Resolver o sistema abaixo pelo método da 
eliminação de Gauss com pivotação parcial. 
Verificar também a unicidade e exatidão da 
solução. 
 [− −− ] [ ] = [−− ] 
 
Exercício 3 [Campos, 2007; Exercício 2.16] 
 
Resolver o sistema abaixo pelo método da 
decomposição LU com a estratégia indicada. 
Verificar também a unicidade e exatidão da 
solução. 
 [ −.− ] [ ] = [ ] 
 
a) Sem pivotação. 
b) Com pivotação parcial. 
 
Exercício 4 [Campos, 2007; Exercício 2.29] 
 
Calcular a inversa da matriz A pela 
decomposição LU com pivotação parcial, 
sendo 
 
� = [ − ] 
 
Exercício 5 [Ruggiero e Lopes, 2009; 
Exemplo 3.10] 
 
Resolva o sistema linear: 
 [ ] [ ] = [− ] 
 
pelo método de Jacobi com =. − . . � e ∈= . usando os 
critérios de parada 
‖��−��−1‖∞ ‖��‖∞ ∈ e � �max. 
 
Exercício 6 [Ruggiero e Lopes, 2009; 
Exercício 3.23] 
 
a) Usando o critério das linhas, verifique 
para que valores positivos de k se tem 
garantia de que o método de Gauss-
Seidel vai gerar uma sequência 
convergente para a solução do sistema: 
 [�� ] [ ] = [ ] 
 
b) Escolha o menor valor inteiro e 
positivo para k e faça duas iterações do 
método de Gauss-Seidel para o sistema 
obtido. 
c) Calcule o erro relativo cometido no 
item (b). 
 
Exercício 7 [Ruggiero e Lopes, 2009; 
Exercício 5.1] 
 
Dada a tabela abaixo, 
 
x � 
2.4 11.02 
2.6 13.46 
2.8 16.44 
3.0 20.08 
3.2 24.53 
3.4 29.96 
3.6 36.59 
3.8 44.70 
 
 
a) Calcule . usando um polinômio de 
interpolação sobre três pontos na forma 
de Lagrange ou Newton. 
b) Dê um limitante para o erro cometido 
no item (a). 
 
Exercício 8 [Ruggiero e Lopes, 2009; 
Exercício 5.9] 
 
Construa a tabela de diferenças divididas com 
os dados: 
 
x f(x) 
0.0 -2.78 
0.5 -2.241 
1.0 -1.65 
1.5 -0.594 
2.0 1.34 
2.5 4.564 
 
a) Estime o valor de f(1.23) da melhor 
maneira possível usando um polinômio 
interpolador na forma de Lagrange ou 
Newton. 
b) Estime o erro cometido no item (a). 
c) Justifique o grau do polinômio que 
você escolheu para resolver o item (a). 
 
Exercício 9 [Campos, 2007; Exercícios 4.6 e 
4.7] 
 
Seja a tabela: 
i xi yi 
1 1.4 4.2 
2 2.1 2.3 
3 3.0 1.9 
4 4.4 1.1 
 
a) Calcular os coeficientes do modelo = + . 
b) Calcular o coeficiente de determinação � do modelo. 
c) Determinar a variância residual � do 
modelo. 
 
Exercício 10 [Campos, 2007; Exercícios 
4.29] 
 
Repita o exercício anterior usando o modelo: 
a) = + + ; 
b) = �; 
c) = �; e 
d) = ��. 
 
Exercício 11 [Ruggiero e Lopes, 2009; 
Exercícios 7.1] 
 
a) Calcule a integral ∫ � pela regra 
do trapézio usando quatro e seis 
divisões de [a, b]. 
b) Calcule pela regra do / de Simpson. 
 
Exercício 12 [Ruggiero e Lopes, 2009; 
Exercícios 7.2] 
 
a) Usando a integral do exercício anterior, 
com quantas divisões do intervalo, no 
mínimo, podemos esperar obter erros 
menores que − pela regra do 
trapézio? 
b) E pela regra do / de Simpson? 
 
Exercício 13 [Ruggiero e Lopes, 2009; 
Exercícios 7.5] 
 
c) Qual o erro máximo cometido na 
aproximação de ∫ − + 
pela regra do trapézio usando quatro 
subintervalos? 
d) E pela regra do / de Simpson? 
 
Exercício 14 [Ruggiero e Lopes, 2009; 
Exercício 7.17] 
 
Considere a integral: 
 ∫ � + sen +�
. 
 
a) Estime I pela regra do 1/3 de Simpson 
usando ℎ = �
. 
b) Estime I por Quadratura Gaussiana 
usando 2 pontos. 
c) Sabendo que o valor exato de I (usando 
4 casas decimais) é 30.4239, quantos 
pontos seriam necessários para que a 
regra do trapézio obtivesse a mesma 
precisão que a estimativa obtida para I 
em (b)? 
 
Exercício 15 [Ruggiero e Lopes, 2009; 
Exercício 2.19] 
 
O polinômio � = − 9 + tem 
seus cinco zeros reais, ξ , ξ , ⋯, ξ , todos no 
intervalo − , . Encontre as duas primeiras 
aproximações para: 
a) ξ ∈ − , − . pelo método de 
Newton com x = − . ; 
b) ξ ∈ − . , − . pelo método da 
bisseção; 
c) ξ ∈ − . , . pelo método da 
posição falsa; e 
d) ξ ∈ . , pelo método da secante. 
 
Exercício 16 [Ruggiero e Lopes, 2009; 
Exemplo da página 46] 
 
Se desejarmos encontrar , o zero da função = log − que está no intervalo [ , ] com precisão � = − , quantas 
iterações, no mínimo, devemos efetuar pelo 
método da bisseção? 
 
Exercício 17 [Ruggiero e Lopes, 2009; 
Exercício 2.15] 
 
Seja = � − e  sua raiz no 
intervalo , . Tomando = . , encontre  com � = − , usando o método de Newton. 
 
Exercício 18 [Ruggiero e Lopes, 2009; 
Exercício 8.17] 
 
Considere o PVI: 
 { ′ = −= . 
 
a) Encontre a solução aproximada usando 
o método de Euler com ℎ = . e ℎ = . , considerando ∈ [ , ]; 
b) Repita o item (a) usando o método de 
Euler modificado; 
c) Repita o item (a) usando o método de 
Euler melhorado. 
 
Exercício 19 [Ruggiero e Lopes, 2009; 
Exercício 8.20] 
 
a) Escreva a equação de 2a ordem 
 { ′′ = exp − /= ′ = 
 
como um sistema de equações de 1a 
ordem. 
b) Resolva-o para ∈ [ , . ] usando ℎ = pelo método de Euler. 
 
 
Referências 
 
F. F. Campos. Algoritmos Numéricos. Livros 
Técnicos e Científicos, Segunda Edição, 2007. 
 
M. A. G. Ruggiero & V. L. da R. Lopes. 
Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e 
Computacionais. Pearson Makron Books, 
Segunda Edição, 2009.