exercicios e etc AE

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C) 9 
 D) 12 
 **Resposta:** B) 6 
 **Explicação:** Integrando, temos \( \int 3x \, dx = \frac{3}{2}x^2 + C \). Avaliando de 1 a 3: 
\( \left[\frac{3}{2}(3^2) - \frac{3}{2}(1^2)\right] = \frac{3}{2}(9 - 1) = \frac{3}{2} \cdot 8 = 12 \). 
 
40. **Qual é o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \)?** 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2 
 D) Não existe 
 **Resposta:** B) 1 
 **Explicação:** Este limite pode ser calculado usando L'Hôpital, pois resulta na forma 
indeterminada \( \frac{0}{0} \). A derivada do numerador é \( e^x \) e a do denominador é 1, 
resultando em \( \lim_{x \to 0} e^x = 1 \). 
 
41. **Qual é a derivada de \( f(x) = \sin(x^2) \)?** 
 A) \( 2x \cos(x^2) \) 
 B) \( \cos(x^2) \) 
 C) \( -2x \sin(x^2) \) 
 D) \( 2x \sin(x^2) \) 
 **Resposta:** A) \( 2x \cos(x^2) \) 
 **Explicação:** Aqui aplicamos a regra da cadeia: a derivada de \( \sin(u) \) é \( \cos(u)u' \), 
tendo \( u = x^2, u' = 2x \). Assim, a derivada de \( \sin(x^2) \) resulta em \( 2x \cos(x^2) \). 
 
42. **Qual é a integral indefinida de \( f(x) = 8x^3 \)?** 
 A) \( 8x^4 + C \) 
 B) \( 2x^4 + C \) 
 C) \( 4x^4 + C \) 
 D) \( 2x^2 + C \) 
 **Resposta:** C) \( 2x^4 + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( 8x^3 \) é calculada subindo o expoente e dividindo pelo novo 
expoente: \( \int 8x^3 \, dx = 2x^4 + C \). 
 
43. **O que representa a derivada de uma função em um ponto?** 
 A) A inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. 
 B) O valor máximo da função. 
 C) A soma das áreas sob a curva. 
 D) O valor médio da função. 
 **Resposta:** A) A inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. 
 **Explicação:** A derivada em um ponto \( x = a \) represente a taxa de variação da função \( 
f(x) \) nesse ponto, que é a inclinação da reta tangente à curva da função em \( x = a \). 
 
44. **Qual é a integral de \( f(x) = 1/x^2 \)?** 
 A) \( -\frac{1}{x} + C \) 
 B) \( \ln(x) + C \) 
 C) \( -\ln(x) + C \) 
 D) \( \frac{1}{x} + C \) 
 **Resposta:** A) \( -\frac{1}{x} + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( \frac{1}{x^n} \) onde \( n = 2 \) é obtida usando a fórmula 
geral: \( \int x^{-n} \, dx = -\frac{1}{n-1}x^{1-n} + C = -\frac{1}{x} + C \). 
 
45. **Qual é a derivada de \( f(x) = \exponential{x} \)?** 
 A) \( \exponential{x} \) 
 B) \( x\exponential{x} \) 
 C) \( e^x \) 
 D) \( xe^x \) 
 **Resposta:** C) \( e^x \) 
 **Explicação:** A função exponencial \( e^x \) é única pois a sua derivada é igual à própria 
função. Portanto, \( \frac{d}{dx} e^x = e^x \). 
 
46. **Qual é a forma correta do limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3}{5x^2 + 7} \)?** 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2 
 D) 5 
 **Resposta:** C) 2 
 **Explicação:** Ao considerar os termos de maior grau, temos \( \lim_{x \to \infty} \frac{2 + 
\frac{3}{x^2}}{5 + \frac{7}{x^2}} = \frac{2}{5} \). 
 
47. **O que é um ponto crítico em cálculo?** 
 A) Um valor \( x \) onde a função atinge seu valor mínimo local. 
 B) Um valor onde a função não é contínua. 
 C) Um valor \( x \) onde \( f'(x) = 0 \) ou \( f'(x) \) não existe. 
 D) Um ponto onde a derivada da função é máxima. 
 **Resposta:** C) Um valor \( x \) onde \( f'(x) = 0 \) ou \( f'(x) \) não existe. 
 **Explicação:** Ponto crítico refere-se aos valores de \( x \) que são importantes para a 
análise do comportamento da função, incluindo máximos, mínimos e pontos de inflexão. 
 
48. **Qual é a mensagem do Teorema do Valor Médio?** 
 A) Haverá um ponto onde a função é máxima. 
 B) Em um intervalo, a média do deslocamento da função é igual à slope da reta secante. 
 C) A derivada de uma função sempre existirá. 
 D) O comportamento da função será sempre contínuo. 
 **Resposta:** B) Em um intervalo, a média do deslocamento da função é igual à slope da 
reta secante. 
 **Explicação:** O Teorema do Valor Médio afirma que, em um intervalo [a, b], existe pelo 
menos um ponto \( c \in (a, b) \) tal que a derivada nesse ponto é igual à inclinação da reta 
secante entre \( a \) e \( b \). 
 
49. **Qual é a integral de \( f(x) = 4x^2 \)?** 
 A) \( 2x^3 + C \) 
 B) \( \frac{4}{3}x^3 + C \) 
 C) \( 4x^3 + C \) 
 D) \( 4x^2 + C \) 
 **Resposta:** B) \( \frac{4}{3}x^3 + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( 4x^2 \) é obtida aumentando o expoente em 1 e dividindo 
pelo novo expoente: \( \int 4x^2 \, dx = \frac{4}{3}x^3 + C \). 
 
50. **Qual é a derivada de \( h(x) = x^{-3} \)?** 
 A) \( -3x^{-4} \) 
 B) \( 3x^{-4} \) 
 C) \( x^4 \) 
 D) \( -x^3 \) 
 **Resposta:** A) \( -3x^{-4} \) 
 **Explicação:** Usando a regra do poder, a derivada é \( -3x^{-4} \), ou seja, \( h'(x) = -3x^{-
4} \). 
 
51. **O que representa o gráfico de \( y = \cos(x) \)?** 
 A) Função exponencial. 
 B) Função periódica com período \( 2\pi \). 
 C) Uma linha reta. 
 D) Função crescente. 
 **Resposta:** B) Função periódica com período \( 2\pi \). 
 **Explicação:** A função \( \cos(x) \) tem um padrão que se repete a cada \( 2\pi \), 
definindo sua natureza periódica. 
 
52. **Qual é a integral de \( 5\sin(x) \)?** 
 A) \( -5\cos(x) + C \) 
 B) \( \cos(x) + C \) 
 C) \( -\sin(x) + C \) 
 D) \( 5\cos(x) + C \) 
 **Resposta:** A) \( -5\cos(x) + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( \sin(x) \) é \( -\cos(x) \), e então, \( \int 5\sin(x) \, dx = -
5\cos(x) + C \). 
 
53. **Qual é o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \)?** 
 A) 1 
 B) 0 
 C) Não existe