muitos exercicio211

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**Resposta: b) 5**. A função \(\frac{\sin(5x)}{x}\) pode ser transformada usando a limitação 
do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k\). Portanto, ao aplicar essa 
definição, obtemos \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} = 5\). 
 
2. Qual é a derivada da função f(x) = 3x² - 4x + 7? 
 a) 6x - 4 
 b) 3x - 4 
 c) 6x + 4 
 d) 6x² - 4 
 **Resposta: a) 6x - 4**. Para encontrar a derivada, aplicamos a regra de potência: 
\(\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}\). Então, a derivada é \(\frac{d}{dx}(3x^2) = 6x\) e \(\frac{d}{dx}(-
4x) = -4\). A constante 7 se anula, pois a derivada de uma constante é zero. Finalmente, 
juntamos: \(6x - 4\). 
 
3. Qual é a integral definida de f(x) = 2x no intervalo [1, 3]? 
 a) 4 
 b) 6 
 c) 8 
 d) 10 
 **Resposta: b) 6**. A integral definida de \(f(x) = 2x\) é calculada como \(\int_1^3 2x \,dx = 
[x^2]_1^3 = 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8\). 
 
4. Se f(x) = x³ - 3x + 2, qual das opções representa o valor crítico da função f? 
 a) -1 
 b) 0 
 c) 1 
 d) 2 
 **Resposta: c) 1**. Para encontrar os valores críticos, calculamos a derivada f'(x) = 3x² - 3 e 
igualamos a zero: \(3x² - 3 = 0\) implica \(x² = 1\), portanto \(x = -1\) ou \(x = 1\), onde \(x = 1\) 
é um dos valores críticos. 
 
5. O que expressa a segunda derivada de uma função em um ponto? 
 a) A inclinação da reta tangente 
 b) A concavidade da função 
 c) O valor máximo da função 
 d) O valor mínimo da função 
 **Resposta: b) A concavidade da função**. A segunda derivada fornece informações sobre a 
concavidade da função. Se \(f''(x) > 0\) a função é côncava para cima, e se \(f''(x) < 0\), é 
côncava para baixo. 
 
6. Qual é a integral indefinida de f(x) = cos(x)? 
 a) sin(x) + C 
 b) -sin(x) + C 
 c) cos(x) + C 
 d) -cos(x) + C 
 **Resposta: a) sin(x) + C**. A integral da função cosseno é dada pela função seno, ou seja, 
\(\int \cos(x) \,dx = \sin(x) + C\), onde C é a constante de integração. 
 
7. Determine o valor de lim(x→∞) (1/x). 
 a) -1 
 b) 0 
 c) ∞ 
 d) Não existe 
 **Resposta: b) 0**. À medida que \(x\) aumenta, \(1/x\) se aproxima de 0. Portanto, o limite 
é 0. 
 
8. O que caracteriza um ponto de inflexão em uma função? 
 a) Onde a função atinge um máximo local 
 b) Onde a derivada é zero 
 c) Onde a concavidade da função muda 
 d) Onde a função é contínua 
 **Resposta: c) Onde a concavidade da função muda**. Um ponto de inflexão é definido 
como um ponto onde a segunda derivada muda de sinal, implicando uma quebra na 
concavidade da função. 
 
9. Qual é o valor da derivada da função f(x) = e^x? 
 a) e^x 
 b) x 
 c) 1 
 d) 0 
 **Resposta: a) e^x**. A função exponencial \(e^x\) possui a propriedade de que sua derivada 
é igual à própria função, ou seja, \(\frac{d}{dx}(e^x) = e^x\). 
 
10. Calcule o limite lim(x→2) (x² - 4)/(x - 2). 
 a) 2 
 b) 4 
 c) 0 
 d) 1 
 **Resposta: a) 2**. Podemos fatorar o numerador como \((x - 2)(x + 2)\), e depois cancelar 
com o denominador: \(\lim_{x \to 2} (x + 2) = 4\). 
 
11. Encontre a derivada da função g(x) = ln(x² + 1). 
 a) 1/(x² + 1) 
 b) 2x/(x² + 1) 
 c) 2/x² 
 d) 2x 
 **Resposta: b) 2x/(x² + 1)**. Usamos a regra da cadeia para calcular a derivada. A derivada 
de \(\ln(u)\) é \(1/u\) vezes \(du/dx\). Assim, \(\frac{d}{dx}[\ln(x² + 1)] = \frac{1}{x² + 1} \cdot 
(2x) = \frac{2x}{x² + 1}\). 
 
12. O que a regra do produto determina em cálculo? 
 a) Derivadas de somas 
 b) Derivadas de diferenças 
 c) Derivadas de produtos 
 d) Derivadas de frações 
 **Resposta: c) Derivadas de produtos**. A regra do produto é uma fórmula usada para 
encontrar a derivada de um produto de duas funções, e é expressa como \( (uv)' = u'v + uv'\). 
 
13. Determine a integral indefinida de f(x) = x³. 
 a) ¼ x^4 + C 
 b) ¾ x^3 + C 
 c) 1/3 x^3 + C 
 d) 1/4 x^4 - C 
 **Resposta: a) ¼ x^4 + C**. A integral de \(x^n\) é dada por \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\). Portanto, 
\(\int x^3 \,dx = \frac{1}{4}x^4 + C\). 
 
14. Como se chama a operação que determina a área sob a curva de uma função? 
 a) Integração 
 b) Derivação 
 c) Limitação 
 d) Aproximação 
 **Resposta: a) Integração**. A integração é o processo que calcula a área sob a curva de uma 
função em um determinado intervalo, sendo uma das principais aplicações do cálculo. 
 
15. O que representa a taxa de variação em uma função? 
 a) Derivada 
 b) Integral 
 c) Limite 
 d) Ponto crítico 
 **Resposta: a) Derivada**. A taxa de variação de uma função em um certo ponto é obtida 
pela derivada dessa função, que quantifica o quão rapidamente a função está mudando 
naquele ponto específico. 
 
16. Qual é o resultado da integral indefinida ∫ (6x - 2) dx? 
 a) 3x² - 2x + C 
 b) 6x² - 2x + C 
 c) 2x² - 2x + C 
 d) 3x² - 2 + C 
 **Resposta: a) 3x² - 2x + C**. Integramos termo a termo: \(\int 6x \, dx = 3x^2\) e \(\int -2 \, 
dx = -2x\). Portanto, a integral é \(3x^2 - 2x + C\). 
 
17. Encontre lim(x→1) (x³ - 1)/(x - 1). 
 a) 1