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Profº Túlio de Almeida 
Pesquisa Operacional II 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 2 – APOIO MULTICRITÉRIO E TEORIA DA DECISÃO 
 
QUESTÕES PARA DISCUSSÃO 
 
 
Q1 Defina decisão. 
 
Q2 Quais conceitos devem ser levados em conta em 
um processo de decisão? 
 
Q3 Quais são as problemáticas abordadas em 
problemas de Apoio Multicritério à Decisão? Cite 
exemplos. 
 
Q4 Qual a função dos métodos elementares da 
dominância e do método conjuntivo? 
 
Q5 Cite pelo menos 3 métodos ordinais, explanando 
as diferenças entre eles. 
 
Q6 Quais as vantagens e desvantagens entre os 
métodos de Borda, Condorcet e Coppeland? 
Apresente aplicações. 
 
Q7 Pesquise a definição matemática e o modelo de 
aplicação dos métodos: 
a. Analytic Hierarch Process (AHP) 
b. Utilité Additive (UTA) 
c. Data Envelopment Analysis (DEA) 
d. Família ELECTRE 
e. Promethé 
 
Q8 Explique como funciona o processo de decisão 
sob certeza, risco e incerteza. 
 
Q9 Quais são as abordagens para processos de 
decisão sob incerteza? Equacione cada uma delas. 
 
Q10 Como funciona o critério do Valor Esperado? O 
que é preciso para este seja aplicado? 
 
Q11 O que é Valor Esperado para Informação 
Perfeita? 
 
Q12 Quais as diferenças entre decisão sem 
experimentação e decisão com experimentação? 
 
Q13 Quais as diferenças entre probabilidades a priori 
e probabilidades a posteriori? 
 
Q14 Explique o Teorema de Bayes, e mostre como 
este pode ser aplicado na Decisão sob Risco. 
 


n
1j
jjk
jjk
k
jjk
kj
)S(P).St(P
)S(P).St(P
)t(P
)S(P).St(P
)tS(P
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
E1 Pretende-se analisar um conjunto de 
equipamentos industriais, com os seguintes atributos. 
Identifique, justificando, as alternativas dominadas. 
Identifique o Ideal. 
 Performance 
(0,0 – 5,0) 
Custo (K€) Consumo 
de água 
(L) 
1 1,6 15,0 450 
2 4,4 16,0 210 
3 2,8 13,0 370 
4 4,4 17,0 250 
5 2,0 12,6 310 
6 4,0 15,6 130 
7 4,4 12,2 450 
 
E2 Considere as seguintes 7 propostas de 
fornecimento de equipamento, avaliadas segundo três 
critérios. Indique quais são as soluções dominadas, 
justificando. 
 Preço (K€) Qualidade 
Técnica 
(0,0 – 5,0) 
Prazo de 
Entrega 
(semanas) 
1 150 4,0 10 
2 145 1,0 9 
3 160 5,0 8 
4 120 3,0 16 
5 160 4,0 10 
6 160 3,0 4 
7 150 2,0 11 
 
E3 Obtenha a melhor alternativa para a matriz de 
ganho por meio das abordagens Otimista, Pessimista 
e Laplace. 
 
 
 
 
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 54321 SSSSS 











400300200020
45035025015050
35030032013050
2002002002000
180250170120100
a
a
a
a
a
5
4
3
2
1
 
 
E4 Considerando a matriz de custos, faça uma análise 
de sensibilidade pelo modelo de Hurwicz. 
 54321 SSSSS 










14100136001200070006200
89507500874065603500
15500130001020061309000
4200350020001200200
31802650170014201000
a
a
a
a
a
5
4
3
2
1
 
 
E5 Use o critério do Mínimo Arrependimento de 
Savage ne exercício E4. 
 
E6 Obtenha a melhor alternativa pelo critério Valor 
Esperado e calcule o Valor Esperado da Informação 
Perfeita. 
Cenários Decisão A1 Decisão A2 Decisão A3 
Estados 
Possíveis 
da 
Economia 
Prob. Investir na 
Poupança 
Investir em 
Dólar 
Investir em 
Fundos 
S1: 
Recessão 
0,40 $ 300,00 $ 400,00 - $ 100,00 
S2: 
Estabilidade 
0,40 $ 300,00 $ 300,00 $ 200,00 
S3: 0,20 $ 300,00 $ 200,00 $ 700,00 
Expansão 
 
E7 Numa escola com 1200 alunos foi realizada uma 
pesquisa sobre conhecimento desses em duas línguas 
estrangeiras, inglês e espanhol. 
Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam 
inglês, 500 alunos falam espanhol e 300 não falam 
qualquer um desses idiomas. 
Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e 
sabendo-se que ela não fala inglês, qual a 
probabilidade de que esse aluno fale espanhol? 
Dica: Use Probabilidade Condicional 
 
E8 Mulheres solteiras, com curso superior e renda até 
R$2.000,00. Esse é o perfil do brasileiro que busca 
aperfeiçoamento profissional gratuito na Internet, 
como mostra levantamento feito pelo FGV on-line, de 
março a setembro de 2009. 
(Jornal O Globo, 03 mar. 2010) 
 O resultado desse levantamento é apresentado a 
seguir: 
 São mulheres: 58,3% 
 Ganham até R$2 mil por mês: 77,7% 
 Têm graduação: 68,1% 
 Concentram-se em SP, RJ e MG: 62,8% 
 Ocupam o cargo de analista: 34,1% 
 Considere que 2.000 pessoas participaram dessa 
entrevista e que, do total de pessoas que se 
concentram em São Paulo, Rio de Janeiro e Minas 
Gerais, 50% são homens. Escolhendo-se, ao acaso, 
um dos homens entrevistados, qual é, 
aproximadamente, a probabilidade de que ele seja de 
São Paulo, Rio de Janeiro ou Minas Gerais? 
 
 
PROBLEMAS E APLICAÇÕES 
 
P1 O departamento de recursos humanos de uma 
empresa tem 10 candidatos, com as seguintes 
características: 
 C1 C2 C3 C4 C5 C6 
A 40 1395,00 15,0 60 4 3 
B 22 1530,00 14,0 91 3 3 
C 14 1170,00 17,0 79 2 3 
D 50 1800,00 8,0 87 3 3 
E 6 900,00 17,0 58 3 3 
F 26 1125,00 13,0 40 4 3 
G 21 1575,00 13,2 85 3 3 
H 20 1665,00 15,0 72 2 1 
I 10 900,00 10,4 47 2 2 
J 16 1350,00 6,5 53 1 3 
 
onde: 
Critério 1: Experiência (meses) 
Critério 2: Pretensão Salarial (R$) 
Critério 3: Qualificação Acadêmica (Titulação) 
Critério 4: Teste Prático (Nota 0,0 – 100,0) 
Critério 5: Idiomas (Quantidade) 
Critério 6: Motivação 
O Gerente do departamento de Recursos 
Humanos precisa escolher um desses candidatos, 
mas ele tem certas restrições. Ele precisa de 
uma pessoa com no mínimo de um ano de 
experiência e que fale pelo menos duas línguas. 
Defina a problemática de decisão e resolva 
utilizando os métodos aprendidos. Para o método 
da soma ponderada, considere ponderações iguais 
para cada um dos critérios. 
 
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P2 Uma indústria do ramo químico deseja selecionar 
um fornecedor a fim de obter o máximo de benefícios. 
A tabela de decisão que contém os fornecedores (A, 
B, C, D, E, F, G e H) juntamente com os critérios e os 
valores pesquisados se encontram em seguida: 
 C1 C2 C3 C4 C5 C6 
A 1.560,00 12 dias 3352 R$ 6,00 6 Bom 
A 2.900,00 10 dias 1090 R$ 8,50 10 Excelente 
C 1.850,00 15 dias 3163 R$ 8,00 4 Bom 
D 880,00 60 dias 3386 R$ 4,00 2 Regular 
E 1.330,00 10 dias 913 R$ 5,00 1 Regular 
F 2.490,00 14 dias 3732 R$ 7,00 8 Muito Bom 
G 3.000,00 5 dias 282 R$ 7,50 12 Excelente 
H 1.560,00 30 dias 1646 R$ 4,70 8 Muito Bom 
 
onde: 
Critério 1: Preço da Matéria Prima (R$/tonelada) 
Critério 2: Tempo de Entrega (dias/tonelada) 
Critério 3: Distância da Fábrica (km) 
Critério 4: Custo Logístico (R$/ton.km) 
Critério 5: Certificações(Quantidade) 
Critério 6: Avaliações Anteriores 
 
Obtenha o “Top 3”, utilizando os métodos ordinais de 
Borda, Condorcet e Coppeland. 
 
P3 Você tem a oportunidade de fazer um investimento 
em três fundos, A, B e C. O valor do investimento 
mudará dependendo das condições do mercado. 
Existe um 10% de possibilidade do mercado em 
baixa, 50% do mercado permanecer moderado e 
40% do mercado apresente um bom 
comportamento. A tabela apresenta as 
percentagens de variação do valor do investimento 
nas três condições: 
Alternativa Mercado 
em Baixa 
(%) 
Mercado 
Moderado 
(%) 
Mercado 
em Alta 
(%) 
A +5 +7 +8 
B -10 +5 +30 
C +2 +7 +20 
a. Represente o problema como uma árvore de 
decisão. 
b. Qual fundo você escolheria e por que? 
 
P4 Uma empresa está preparando o lançamento de 
uma nova comida rápida (fast food). O departamento 
de pesquisa está convencido de que a nova comida 
terá muito sucesso e não quer fazer publicidade do 
produto. Já o departamento de marketing discorda e 
quer realizar uma campanha de publicidade 
intensiva. A campanha terá um custo de US$ 
100.000 e se tem sucesso terá um lucro de US$ 
950 .000. Se a campanha não tiver sucesso(existe uma probabilidade de 30% de possibilidade 
de que aconteça) o lucro estimado é US$ 200 000. 
Se a publicidade não for utilizada, o lucro estimado é 
400 000 com probabilidade de 0,8 se os clientes são 
receptivos e 200 000 com probabilidade 0,2 caso 
contrário. 
 
P5 Uma empresa está preparando um 
acampamento de verão no sul num lugar deserto 
com a finalidade de fazer um treinamento de 
sobrevivência. Estima-se que as inscrições estarão 
em uma de quatro categorias: 200, 250, 300 e 
350. O custo de acampar é mínimo se ele for 
implementado para cumprir exatamente com a 
demanda Os desvios por cima ou por baixo dos 
níveis de demanda ocasionam custos adicionais 
resultantes da construção de capacidade excedente 
ou de perda de oportunidades de inscrição. 
Sejam A1 a A4 os tamanhos dos acampamentos 
(200, 250, 300 e 350) e S1 a S4 os níveis de 
inscrição, a tabela a seguir apresenta os custos 
(em milhares de reais) para cada situação. 
Selecione a melhor alternativa. 
 
 S1 S2 S3 S4 
A1 5 10 18 25 
A2 8 7 12 23 
A3 21 18 12 21 
A4 30 22 19 15 
 
P6 Suponha que duas empresas que fabricam 
pizza devem determinar o preço de venda de um 
tipo especial de pizza. A empresa A considera que o 
preço de venda da Empresa B é uma variável 
aleatória D com a seguinte função de 
probabilidade (massa): P(D = 6 u.m.) = 0,25; 
 P(D = 8 u.m.) = 0,5 e P(D = 10 u.m.) = 0,25. Se a 
Empresa A determina um preço de venda p1 e a 
Empresa B determina um preço p2, a Empresa A 
venderá 100 + 25(p2 – p1) pizzas. A Empresa A 
tem um custo de 4 u.m. por pizza, e ela está 
considerando cobrar 5, 6, 7, 8 ou 9 u.m. por 
pizza. Qual o preço que a Empresa A deve cobrar 
por pizza? 
 
P7 Uma grande companhia de energia oferece R$ 
60.000,00 ao proprietário de determinado sitio, 
pelos direitos de exploração do gás natural e 
opção para desenvolvimento futuro. A opção, se 
concretizada, é equivalente a um adicional de R$ 
600.000,00 ao proprietário, mas somente ocorrerá 
se o gás natural for descoberto durante a fase de 
exploração. O proprietário, vendo que o interesse 
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da companhia é uma boa indicação de que o gás 
existe, está disposto a desenvolver o empreendimento 
ele mesmo. Para isso, é necessário contratar 
especialistas em exploração e desenvolvimento. O 
custo inicial é R$ 100.000,00, os quais serão 
perdidos se nenhum gás for encontrado. Se o gás for 
descoberto, entretanto, o proprietário estimará um 
lucro de 2 milhões. A probabilidade de encontrar gás é 
de 0,6. 
a. Qual deveria ser a escolha do proprietário? 
b. O proprietário fez sondagens no sítio onde o gás 
natural suspeita-se existir a um custo de R$ 
30.000,00. As sondagens indicaram que o gás 
não existe, mas o teste não é totalmente perfeito. 
A companhia que realiza as sondagens garante 
que 30% das vezes o teste indica a inexistência 
de gás, quando ele de fato existe. Quando o gás 
não existe, o teste é correto 90% das vezes. 
Determine a decisão recomendada ao proprietário. 
 
P8 Uma gerente deve decidir entre lançar um 
novo produto ou não lançar nenhum. Os lucros 
obtidos nas duas situações encontram-se na tabela a 
seguir. 
 
 Sucesso Normal Fracasso 
Lançar 1000 200 -500 
Não Lançar 0 0 0 
Probabilidade 0,20 0,50 0,30 
 
Foi realizada uma pesquisa de mercado para 
determinar as probabilidades de cada um dos 
resultados em função do estado real da natureza, 
obtendo-se os seguintes resultados. 
 
Estado 
Real 
T1 = 
Sucesso 
T2 = 
Normal 
T3 = 
Fracasso 
Sucesso 0,70 0,20 0,10 
Normal 0,20 0,60 0,20 
Fracasso 0,10 0,20 0,70 
 
Qual seria a recomendação ao gerente? 
 
P9 Considere a situação de um agricultor que 
pode cultivar milho ou soja. As probabilidades de 
o preço aumentar, permanecer igual ou diminuir 
são 0,25, 0,30 e 0,45. Se os preços aumentarem, o 
cultivo de milho terá um lucro neto de 30.000 dólares e 
a soja de 10.000 dólares. Se os preços permanecem 
iguais, ele não terá perdas. Com baixa nos preços, 
os cultivos de milho e soja terão perdas de 
35.000 e 5.000, respectivamente. Qual será o cultivo 
que ele escolherá? 
Considere que o agricultor tem uma opção 
adicional de utilizar a terra como pasto, em cujo 
caso tem a garantia de U$ 7.500,00. Ele possui 
informação adicional com relação ao grau de 
estabilidade dos preços futuros da mercadoria. A 
avaliação “favorável” e “desfavorável” são as 
seguintes probabilidades condicionais: 
 A1 A2 
S1 0,15 0,85 
S2 0,50 0,50 
S3 0,85 0,15 
 
Onde A1 e A2 representam a avaliação 
“desfavorável” e “favorável” e S1 e S3 representam 
a mudança “para cima” e “para abaixo” nos 
preços futuros respectivamente. Qual a decisão neste 
caso? 
 
P10 Thiago é um aluno inteligente e normalmente tira 
boas notas, contanto que possa revisar o material do 
curso na noite anterior ao teste. Para o teste de 
amanhã Thiago enfrenta um pequeno problema. Seus 
companheiros de república vão dar uma festa durante 
a noite, da qual ele gostaria de participar. Ele tem três 
opções: 
 a1 – participar da festa a noite inteira 
 a2 – dividir a noite em partes iguais entre 
estudar e participar da festa 
 a3 – estudar a noite inteira 
O teste de amanhã pode ser fácil (S1), moderado (S2) 
ou difícil (S3), dependendo do imprevisível humor do 
professor. Thiago antecipa as seguintes situações: 
 321 SSS 








8288100
818592
406085
a
a
a
3
2
1
 
Recomende um curso de ação para Thiago com base 
em cada um dos critérios de decisão sob incerteza. 
 
P11 Para a próxima estação de plantio, o fazendeiro 
Everaldo pode plantar milho (a1), trigo (a2) ou soja (a3), 
ou utilizar a terra para pasto (a4). Os retornos 
associados com as diferentes ações são influenciados 
pela quantidade de chuva: grande precipitação pluvial 
(S1), precipitação pluvial moderada (S2), leve 
precipitação (S3) ou estação seca (S4). A matriz de 
retorno em milhares de reais pode ser vista em 
seguida. 
 S1 S2 S3 S4 
A1 -20 60 30 -5 
A2 40 50 35 0 
A3 -50 100 45 -10 
A4 12 15 15 10 
Desenvolva um curso de ação para o fazendeiro 
Everaldo. 
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DESAFIOS 
 
D1 Nos campeonatos de formula 1 são realizadas ordenações de pilotos segundo a pontuação obtida nas 
corridas realizadas ao longo do ano. O método utilizado atualmente pode ser injusto para alguns pilotos que 
mostram um desempenho homogêneo ao longo do campeonato, assim foi utilizado o método Condorcet para 
fazer uma nova ordenação do campeonato de 2002. Após a análise das corridas, foi construída a matriz de 
adjacências mostrada a seguir: 
 
 
Faça a ordenação dos pilotos. Verifique se esta ordenação é diferente da obtida pelo método de Coppeland. 
 
Observação: Esta matriz foi obtida do artigo “Use of ordinal multi-criteria methods in the analysis of the Formula 1 
World Championship” de João Carlos Correia Baptista Soares de Mello, Luiz Flávio Autran 
Monteiro Gomes, Eliane Gonçalves Gomes e Maria Helena Campos Soares de Mello, Cadernos EBAPE.BR, 
Vol. III, Nº 2, 2005. 
Ele se encontra disponível no portal: www.ebape.fgv.br/cadernosebape, e também no portal: 
www.uff.br/decisao. 
 
D2 Elabore um exemplo (somente a matriz) e resolva utilizando as abordagens para problemas de decisão sob 
incerteza. 
 Otimista 
 Pessimista 
 Laplace 
 Hurwicz 
Mínimo Arrependimento 
 
D3 Um jornaleiro conhece as probabilidades de venda de determinada revista. O custo de compra do fornecedor é de 
R$ 0,90 e seu preço de venda é de 1,50. Ele não pode devolver as revistas que não forem vendidas. Qual a 
quantidade ideal de revistas que ele deve pedir para o fornecedor? 
Número de 
revistas 
vendidas 
Probabilidade 
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10 0,10 
11 0,15 
12 0,20 
13 0,25 
15 0,30 
Total 1,00 
 
a. Use todas as abordagens segundo um processo de decisão sob incerteza 
b. Use um processo de decisão sob risco. 
c. Qual opção é a mais sensata?