M Mat 3

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CURSO MÉDIO DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES PRIMÁRIOS EM 
EXERCÍCIO E À DISTÂNCIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
METODOLOGIA DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 03 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ficha Técnica: 
 
Consultoria : 
• Rachael Elizabeth Thompson 
 
Direcção: 
• Maria da Graça Eugénio Simbine da Conceição Brás - Directora do IAP 
Coordenação: 
• Luís João Tumbo - Chefe do Departamento Pedagógico do IAP 
Digitação: 
• Fátima Nhantumbo 
• Filomena Paulino Uamusse 
• Hermínio Banze 
 
Ilustração: 
• Bié Artes 
 
Maquetização: 
 
• Hermínio Banze 
• Moisés Ernesto Magacelane 
Impressão : 
• Carlos Mundau Cossa 
• Esperança Pinto Muchine 
 
 
 
 
 
CURSO MÉDIO DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES PRIMÁRIOS EM 
EXERCÍCIO E À DISTÂNCIA 
(10ª + 2) 
 
 
 
 
 
 
 
METODOLOGIA DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO-03 
 
 
 
Elaboração: 
• Adélia Machaieie 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este é o terceiro módulo de Metodologia do ensino da Matemática. Mais uma vez 
vamos facilitar a sua tarefa de ensinar a adição e a subtracção de números naturais e 
suas propriedades. 
 
Portanto, o módulo estará dividido em quatro partes. 
 
PARTE A 
 
ADICÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS E SUAS PROPRIEDADES 
 
O facto básico da adição 
 
No módulo que acabamos de ler, vimos que ao trabalhar com agrupamentos, usando 
material de contagem, você inicia seus alunos na operação de adição. 
 
Ao explicar o facto básico, apresente situações variadas que levem a pensar, 
combinar e encontrar respostas. 
 
 
Facto básico é uma abordagem metodológica para facilitar o seu trabalho e o 
do aluno na prática da tabuada. 
 
Para trabalhar com factos básicos, o aluno deve continuar fazendo uso do material 
concreto, que lhe permita descobrir a relação entre os factos, pera, mais tarde, chegar 
à abstracção. A partir de uma situação-problema, conduza-o a encontrar o resultado, 
usando seus próprios meios, expressando e/ou demonstrando de que maneira 
chegou àquela conclusão. Assim, você estará proporcionando para o 
desenvolvimento do raciocínio. 
 
Quando você estiver explorando os factos básicos de um determinado total, 
apresente esta situação. 
Dalva tinha 4 doces, comprou mais 7. Com quantos doces ficou? 
Para analisar a situação peça a um colega da Dalva que represente a situação 
usando material concreto. Estarão representados os dados 4 e 7. Para dar a resposta, 
ele terá que reuni-los ou agrupá-los, dando o total de 11. Feito isto, peça a todos os 
colegas que escrevam, nos seus cadernos, todos os modos que eles conhecem para 
obter este total, somando dois números. Procedendo assim, você conduzirá o aluno à 
abstracção, cuja base é o registo, por meio de símbolos, dos agrupamentos ou 
combinações encontradas. 
 
Enquanto é realizado o trabalho, percorra a turma e, se aparecer algum aluno com 
dificuldades, sugira que ele pegue 11 objectos do material de contagem (pedrinhas ou 
palitos) e trabalhe com eles separando-os em dois grupos de vários modos. 
 
Após algum tempo, peça a um aluno que diga o que fez, registando no quadro preto 
suas respostas. Solicite aos demais que confiram essas respostas, verificando se 
foram encontradas todas as combinações (factos) com o total determinado. 
 
Faça um quadro, colocando os resultados de forma ordenada, como no exemplo: 
 
 
11 + 0 = 11 
10 + 1 = 11 
 9 + 2 = 11 
 8 + 3 = 11 
 7 + 4 = 11 
 6 + 5 = 11 
 
 0 + 11 = 11 
 1 + 10 = 11 
 2 + 9 = 11 
 3 + 8 = 11 
 4 + 7 = 11 
 5 + 6 = 11 
 
 
Uma vez efectuadas essas combinações, você poderá sugerirao aluno que as 
apresente numa certa ordem, como: ordenar o 1º número (parcela) partindo do menor 
para o maior. Consequentemente, o 2º número (parcela) estará ordenado do maior 
para o menor. 
 
 
+++
4
7;
3
8;
2
9
Depois do registo e organização das combinações ou factos, você conduzirá os 
alunos às conclusões: 
• A 1ª parcela cresce de 1 em 1, enquanto a 2ª decresce de 1 em 1: 
• Todas as combinações têm o mesmo resultado; 
• Tanto faz adicionar 2 + 9 =; como 9 + 2 = que o resultado será o mesmo. 
 
Os quadros confeccionados deverão ficar afixados, na turma, para que possam ser 
utilizados pelos alunos sempre que necessário. 
 
Você vai perceber que, pouco a pouco, o aluno inicia o processo de fixação. 
 
Preocupe-se em exercitar os seus alunos para que consigam calcular rapidamente a 
soma de dois números, primeiramente, dos menores que 10. 
 
Um exercício que desperta grande interesse nos alunos é o “ditado”. Você dita 
adições de dois números e os alunos escrevem imediatamente no seu caderno, 
apenas os resultados dessas adições. Depois ditar umas cinco ou seis adições, você 
corrige no quadro preto e os alunos verificam quantas somas estão correctas, 
marcando o número de acertos. 
 
Em seguida, você dita outra sequência de adições, seguindo a mesma estratégia. No 
fim, cada aluno verifica seu total de acertos. 
 
Procure, depois, fazer com que seus alunos consigam calcular com rapidez 
operações cuja soma seja superior a 10. 
 
Inicialmente, proponhas adições em que uma das parcelas seja e a outra um número 
menor que 10. 
 
 10 + 3 10 + 6 10 + 9 7 + 10 4 + 10 8 + 10 
 
 13 16 19 17 14 18 
Após terem realizado esse exercício, coloque no quadro preto a adição 8 + 6. 
Pergunte como irão encontrar o resultado. 
 
Oriente a resolução no sentido de os alunos perceberem que se um dos termos fosse 
10, eles obteriam rapidamente, o resultado. Logo, se conseguirem transformar essa 
escrita em uma outra equivalente, onde um dos termos seja 10, o exercício será 
facilitada. 
 
Isto poderá ser feito das seguintes maneiras: 
 
 8 + 6 8 + 6 
 
 8 + 2 + 4 4 + 4 + 6 
 
 10 4 + 10 
 
14 14 
 
Explore, sempre, a possibilidade de se representar os números por uma escrita 
aditiva. 
 
Além das adições sem dificuldades, deverão ser trabalhadas as adições de números 
representados por algarismos diferentes de zero e, mais tarde, com dificuldades nas 
unidades e dezenas. 
 
O funcionamento do algoritmo1 da adição para ser compreendido, sistematizado e 
automatizado, deve ser aplicado e demostrado passo a passo e caso a caso, com 
aplicação imediata, constante e diversificada. 
Observe: 
• 1º passo Adição sem transporte; 
• 2º passo Adição com transporte de unidade para dezena; 
• 3º passo Adição com transporte de dezena para centenas; 
• 4º passo Transporte de unidades de unidades para dezenas 
 e de dezena para centena. 
Dê dois números para que os alunos representem, por exemplo, 25 e 32. 
 
1 Algorítmo: processo de cálculo em que são estabelecidas regras gerais para obtenção de resultados. 
Depois de representados, peça que juntem as fichas do mesmo tamanho de forma a 
obter um terceiro que deve ser lido e representado. 
 
a) O primeiro número é representado. 
 
Centena Dezena Unidade 
 
 
 
 
 
 
 
b) Acrescenta-se o segundo número. 
 
Centena Dezena Unidade 
 
 
 
 
 
 
c) Obtém-se a soma dos dois números 
 
Centena Dezena Unidade 
 
 
 
 
 
 
A operação é efectuada no quadro preto, com a participação dos alunos, que 
prosseguirão sozinhos. 
 
 
 
Centena Dezena Unidade 
 2 5 
 
Centena Dezena Unidade 
 2 
3 
5 
2 
 
Centena Dezena Unidade 
 2 
 +3 
5 
5 
 +2 
7 
 
 
Em seguida, apresente uma série de adições para os alunos efectuarem do 
mesmo modo, isto é trabalhando com as fichas e depois, com as escritas. 
 
 12 + 17; 74 + 25; 134 + 235; 347 + 532; etc. 
 
Você pode, ainda fazer a decomposição, retomar o algoritmo da adição e 
explicá-lo desta outra forma. 
 
 25 + 32 20 + 5 
20 + 5 30 2 ou 30 + 250 + 7 
50 
 7 
57 
 
Esses mesmos procedimentos valem quando há transporte, ou seja, quando a soma 
dos algarismos das unidades ou das dezenas ultrapassa 9. 
 
 
1º caso – A soma dos algarismos da unidade ultrapassa 9. 
 
Proponha que os alunos representem os números 36 e 27, no quadro valor de lugar 
ou no ábaco. 
 
Primeiro, os alunos representam o 36 e, depois, o 27. 
 
Centena Dezena Unidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centena Dezena Unidade 
 
 
 
 •• ••••••••••• 
• • 
• • 
• • 
• • 
• • 
• • 
•••••••••••••• 
 
Centena Dezena Unidade 
 
 
 
 
 
Em seguida, peça para que juntem as fichas fazendo a contagem e observe se os 
alunos descobrem que, como há mais de dez fichas pequenas, estas devem ser 
trocadas por uma ficha média. 
 
Compreendida a operação, peça para que registem o resultado no caderno e façam a 
leitura dos números. 
 
Centena Dezena Unidade 
 3 6 
 
Centena Dezena Unidade 
 3 
2 
6 
7 
 
Centena Dezena Unidade 
 1 
3 
~ +2 
5 
 
6 
 +7 
�3 
 
 
Nesta actividade, o algoritmo da adição é apresentado com a dificuldade do 
“transporte de unidades para a dezena __” vai um” . Nesta fase, é importante que os 
alunos efectuem diariamente, algumas adições, de modo a garantir a compreensão, 
sistematização e automatização do seu algoritmo. 
 
Durante a actividade, poderão surgir outras formas de representar, para obter os 
resultados. Tais procedimentos deverão ser aceites e valorizados. 
 
Por exemplo: 15 + 38 
 15 + 26 10 + 5 
 10 +5 + 20 +6 20 + 6 
 30 + 11 30 + 11 
 
 30 + 10 + 1 30 + 10 1 
 
 41 41 
 
Entretanto, é aconselhável mostrar que o algoritmo torna mais simples o cálculo de 
adição com várias parcelas. 
 
2º caso – A soma dos algarismos da dezena ultrapassa 9 
 
O procedimento é o mesmo, só que desta feita, a soma dos algarismos das dezenas 
ultrapassa 9. Proponha a representação dos números 94 e 33. 
 
Centena Dezena Unidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centena Dezena unidade 
 
 
 
 •• •••••••••• 
• • 
• • 
• • 
• • 
• •• • • 
• • 
• • 
••••••• 
 
 
 
Centena Dezena Unidade 
 
 
 
 
 
Observar a proporção das fichas. 
 
Os alunos deverão perceber que há mais de dez fichas médias e que, portanto, 
deverá ser feita uma troca de dez fichas médias por uma grande. 
 
A mesma representação deve ser feita no quadro preto, para que os alunos 
acompanhem e confiram a soma. Em seguida, devem fazer o registo no caderno. 
Assim. 
 
Centena Dezena Unidade 
 8 2 
 
Centena Dezena Unidade 
 6 4 
 
Centena Dezena Unidade 
1 
1 
8 
 + 6 
�4 
 
2 
 + 4 
6 
 
 
Desta maneira, usando o algoritmo, os alunos chegarão a: 
 
 82 + 64 80 + 2 
 60 + 4 
 80 + 2 60 + 4 140 + 6 
 ou 
 
 140 + 6 100 + 40 + 7 
100 + 40 + 6 146 
 146 
3º caso – A soma dos algarismos da unidade e da dezena é maior do que 9. 
A adição em que a soma dos algarismos das unidades e dos algarismos das dezenas 
é maior que 9 – transporte de unidade para dezena e de dezena para centena – só 
deve ser apresentada quando as dificuldades anteriores estiverem totalmente 
compreendidas e automatização. A presente este caso passo a passo, seguindo as 
mesmas etapas. 
 
Seja a adição de 167 e 53 por exemplo. 
Primeiro deve ser representado o número 167 e depois o 53. 
 
Centena Dezena Unidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centena Dezena Unidade 
 
 
 
 •• ••••••••••• 
• • 
• • 
• • 
• • 
• • 
• • 
•••••••••••••• 
 
Peça para se juntarem os dois números. Observe se os alunos vão fazer o transporte 
das unidades e depois o transporte. das dezenas, trocando as fichas. 
 
 
 
 
 
 
 
Centena Dezena unidade 
 
 
 
 •• ••••••••• • 
• • 
• • 
• • 
• • 
• • 
• ••••••••••••• 
 
 
 
Centena Dezena Unidade 
 
 
 
 
 2 2 0 
 
O resultado deve ser lido e, em seguida você o professor(a) deve fazer a mesma 
representação no quadro, de modo que a operação fique bastante clara para os 
alunos. 
 
Assim, os alunos farão o registo de cada etapa no caderno e depois, o professor deve 
representar a operação no quadro usando a escrita numérica. Os alunos conferem o 
que fizeram e esclarecem as dúvidas se tiverem: 
 
Centena Dezena Unidade 
1 6 7 
 
Centena Dezena Unidade 
1 
 + 
6 
 5 
7 
 3 
 
Centena Dezena Unidade 
 
1 
1 
 6 
5 
 
7 
 3 
 
 � 0 
 
 
 
 
Centena Dezena Unidade 
1 
1 
2 
 1 
 6 
 5 
 �2 
 7 
 3 
 0 
 
 
 
Faça os alunos repetirem a operação com o algoritmo da adição. 
 
 167 + 53 100 + 60 + 7 
 100 + 60 + 7 50 + 3 50 + 3 
100 
 100 + 100 + 10 + 10 
100 + 110 + 10 ou 
 200 + 20 
100 100+ 10 + 10 
 220 
200 + 20 
 
 220 
 
 
ADIÇÃO NA 2ª E 3ª CLASSE 
 
O domínio da adição é importante o fundamental no processo de ensino-
aprendizagem, pois essa operação serve de base a aprendizagens posteriores, como 
a multiplicação, que nada mais é do que uma adição de parcelas iguais, e a 
subtracção sua operação inversa. 
 
Isso implica uma organização de actividades variadas que permitam a operação e a 
compreensão de sinais + e = ; Formas de representação: a horizontal 5+3=8 
e a vertical 5 
 +3 
 8 
 110 + 10 
 
Organize exercícios e manda os alunos completar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Une as parcelas cuja a soma é igual a 8. 
6 9 7 3 
1 � � 
2 5 
Segundo o modelo, completa correctamente. 
 
 3 + 0 3 1 + 2 ≈ 6 � 
 
Pinte da mesma cor os quadradinhos onde aparece adições com a mesma soma 
(resultado) 
 
 
 
 
 
 
O professor recorda aos seus alunos que a adição nem sempre tem duas parcelas. 
Para que eles se familiarizem com a escrita aditiva de várias parcelas, desenhe 2 
quadros com diferentes objectos para serem representados com a escrita aditiva. 
 
 
5 + ____ 
4 + ___ 
0 + 8 
2 + __ 
1 + 9 
__ + 7 
_ + 10 6 + __ 
 2 + 5 
 6 + 7 
 3 + 4 6 + 1 
 4 + 5 
 6 + 2 
 6 + 3 
 
 4 + 4 
 5 + 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Explore a escrita decomposta. 
 14 + 34 
 12 + 2 10 + 4 + 30 + 4 
 30 + 4 
 42 + 6 
 40 + 8 
 48 
 48 
Na apresentação das situações utilizadas para sistematizar os factos fundamentais da 
adição, você deve seguir esta sequência. 
 
1. Situações que mostrem que a união de quantidades diferentes pode resultar em 
uma mesma quantidade, isto é, 6 + 3 = 9 e 5 + 4 = 9; 
2. Situações em que verbalizem o resultado de operações como os problemas orais; 
3. Situações em que identifique a ausência de unidades comum em 5 + 0; 
 
 
 
 
 
 
 + + =+ + + 
= 
4. Situações em que efectuem o desdobramento de parcelas de forma a obter uma 
1ª soma igual a 10 e depois o total, isto é, 6 + 4 + 5; 
5. Situações que permitam comparar quantidades escritas sob a forma aditiva de 
diversas parcelas 16 = 5 + 7 + 4 ou 4 + 6 + 3 + 3; 
6. Situações que desenvolvam a habilidade para solução de problemas. 
 
É necessário e importante desenvolver habilidades para a solução de problemas. Este 
é um objectivo comum a todas as áreas. Resolvendo problemas, o aluno aprende a 
pensar, desenvolve o raciocínio encontrando soluções, e torna-se mais independente. 
Os problemas devem ser escolhidos de acordo com as condições dos alunos e o 
assunto que está sendo estudado. A linguagem deve ser clara e de fácil 
entendimento, pois o facto de a criança não entender bem o que está sendo pedido é 
causa de muitos erros. 
 
 
 
 
A ADIÇÃO NA 3ª , 4ª E 5ª CLASSES 
 
Os alunos na 3ª ou 4ª Classes, já devem ter automatizado os factos fundamentais e 
os tipos de adição mais difíceis, como a adição com transporte. Faça a revisão da 
adição com transporte, isto é, aquela em que a soma de duas parcelas de uma 
mesma ordem é superior a 10, empregando os processos já conhecidos. Continue na 
4ª e 5ª classe, observando a gradação das dificuldades. 
 
 
 
 
46 
+ 5 
 51 
40 + 6 
 + 5 
40 + 11 
40 + 10 + 1 
 
 50 + 1 
 51 
 
 
 
 
 
Use o cartaz de pregos, o quadro valor ou o ábaco e relembre-os que, ao efectuar 
uma adição, colocam-se os números em colunas, isto é, um abaixo do outro, de modo 
que as ordens (unidades, dezena, centena, etc.) fique uma abaixo da outra 
respectivamente. 
 
Trabalhe com a adição, aumentando gradativamente as dificuldades. Observa a 
sequência que propomos. 
 
• Adição de duas ou mais parcelas sem transporte, com dois e depois com três 
algarismos em cada parcela. 
 
 C D U C D U 
 
+ 
 
2 
4 
 
1 
2 
 
2 
4 
3 
1 
5 
2 
3 
2 
 21 
+34 
 55 
 6 3 
 
 32 
 213 
 452 
 698 
6 9 8 
 
A Adição com zero intercalado e parcelas de mais de dois algarismos. 
 
C D U C D U 
 5 
+ 3 
0 
0 
1 
2 
8 0 3 
2 
4 
1 
0 
0 
0 
4 
1 
2 
a) 501 
 302 
 803 
 
b) 203 
 401 
 102 
 706 
7 0 6 
 
Centena Dezena Unidade 
 1 
 + 4 
 5 
6 
 5 
 11 
 
 
 
M C D U 
2 
4 
0 
0 
0 
0 
3 
5 
c) 2003 
 4005 
 6008 
 6 0 0 8 
 
 
* Adição com transporte, primeiro na ordem das unidades, depois na dezena, na 
centena e em mais de uma ordem. 
 
 
 
 
 
 
 
 C D U C D U 
 
+ 
 
6 
4 
 
1 
2 
 
2 
4 
3 
1 
5 
2 
3 
2 
 
1 
10 3 
61 
42 
103 
1 0 3 
 
 32 
 213 
 452 
 698 
6 9 8 
 
 
Você pode chegar até adição de 4 algarismos em cada parcela. Dê sempre exercícios 
suficientes para haver a fixação de cada etapa aprendida. 
 C D U C D U 
3 
1 
4 
8 
1 
4 
1 
5 
2 
8 
 
+ 
4 
1 
1
2 
5 6 
1 
10 
34 
18 
52 
 5 2 
 
 112 
 + 458 
 570 
5 7 0 
 
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO 
 
Aplicando as propriedades da adição, o professor deve orientar as actividades de 
forma a que o aluno descubra as relações entre os factos e as leis que as regulam. 
Nunca apresentar o enunciado, já pronto, de cada propriedade. É o aluno que deve 
chegar à descoberta. Utilize diferentes exercícios e encaminhe o raciocínio do aluno, 
propiciando-lhe a descoberta. 
 
Use a propriedade associativa, quando a turma estiver operando adição em colunas. 
Providencie cartolinas em que de um lado haja um número e, no verso, a indicação 
CDU, DU ou U conforme ele tenha três, duas ou uma ordem. 
 
Veja, a seguir, o modelo de uma folha (frente e verso), que, recortada, formará um 
jogo de 20 cartolinas. Explique as regras do jogo “maior que 500 e menor que 600, 
cujo objectivo é verificar quem obter 1º uma soma. 
 Frente Verso 
9 5 3 0 U U U U 
70 87 13 38 DU DU DU DU 
95 6 59 41 DU DU DU DU 
28 79 148 321 CDU CDU DU DU 
256 405 299 100 
 
 
CDU CDU CDU CDU 
 
Forme grupos de 4 alunos. Cada grupo deverá confeccionar suas fichas (cartolinas). 
 
Para confeccionar as fichas, os alunos deverão colar as folhas (frente e verso) na 
frente e no verso de uma folha de cartolina ou de qualquer outro tipo de papel (por 
exemplo: material de caixas de sapatos ou de embalagens); isso evita que as fichas 
fiquem transparentes, o que permitiria perceber as informações que estão no seu 
verso. Em seguida, as fichas deverão ser recortadas. Feitas as fichas, inicia-se o jogo 
embaralhando-as e espelhando sobre a mesma, com os números escondidos. 
 
O objectivo do jogo é ver quem consegue obter primeiro uma soma que seja maior 
que 500, mas que não chegue a 600, usando os números marcados nas fichas que 
tiverem em mãos. Se um jogador obter uma soma igual ou maior que 600, ele sai for 
a do jogo. Cada jogador escolhe uma ficha de (cartolina) e, em seguida, o grupo 
determina quem joga em primeiro lugar, em segundo lugar, em terceiro lugar etc. 
 
Cada jogador, vendo o número que está em sua primeira ficha, deve ir escolhendo as 
próximas, de modo conveniente, para obter rapidamente, uma soma que ultrapasse 
500. A indicação CDU, DU ou U, que está na face da ficha que se encontra à vista, 
serve para que ele perceba de que ordem é o número que está escrito no verso 
daquela ficha, (se o número atinge a ordem das centenas; se sua grandeza só chega 
até a ordem das dezenas ou se nem sequer atinge a ordem das dezenas). 
 
Os próprios alunos deverão fiscalizar as somas realizadas pelos colegas do grupo e, 
por tanto, poderão usar o cálculo mental ou o algoritmo da adição. 
 
Você só intervirá em caso de dúvidas entre os participantes de um dado grupo. 
 
É interessante observar a discussão que poderá surgir no grupo, no caso de algum 
jogador conseguir obter uma soma exactamente igual a 500 (por exemplo: 405 + 95); 
pois a regra do jogo diz que a soma desejável deverá ultrapassar 500. Caso surjam 
dificuldades para a realização desse jogo, pode-se realizá-lo, inicialmente, apenas 
com números que sejam múltiplos de 10 e de 100, fazendo as fichas 10,20,30,… 
100,200, …, 400. 
 
Você deve dar, aos alunos oportunidades para que, em adições de vários números, 
somem os números dois a dois. Em adições de mais de duas parcelas, eles as 
associam duas a duas: estão utilizando, assim a propriedades associativa. 
 
Retome isso, considerando a soma. 
 →145 + 272 + 125 
 
some os dois primeiros números. 
 
 
 145 
 + 272 Este resultado é somado ao 3º número. 
 417 
 
 
 417 
 + 126 Este é o resultado final. 
 543 
 
Escreve, os mesmos números horizontalmente, separando as parcelas duas a duas 
ou por parênteses: 
 (145 + 272) + 126 ou (126 + 272) + 145 ou (145 + 126) + 272 
 
e deixe os alunos verificarem que a ordem das parcelas não altera a soma. 
 
Conduza as explicações de forma a que cheguem à conclusão de que, na adição de 
números INs, podemos associar as parcelas de maneiras diferentes sem que o 
resultado se altere. Caro professor em caso de dúvida retome a propriedade 
comutativa, explicando que comutar é o mesmo que trocar ou mudar. 
 
Organize, em pedaços de cartolina ou folhas de papel, adições do tipo: 
 
6 + 9 = 15; 9 + 6 = 15 
 
A troca de posições das cartolinas permite que os alunos comprovam a troca na 
ordem das parcelas. 
 
Realize vários exemplos para que os alunos descubram (ou relembrem) que a ordem 
das parcelas não altera o resultado. 
 
Quanto ao elemento neutro relembre a função do zero. Zero é o número que 
representa ausência de quantidade, a ideia de vazio e ausência de objectos. Assim 
por exemplo, o professor poderia perguntar aos alunos quantos objectos há numa 
colecçãoe retirá-los um a um. Ao retirar o último objecto, a pergunta será; há mais 
objectos, a resposta será; não há mais objecto. O número que apresenta esta ideia é 
zero. 
 
Assim sendo, se temos 6 rebuçados e ganhamos zero rebuçados continuamos a ter 6 
rebuçados apenas. 
 
Então, o número zero é chamado elemento neutro da adição porque, adicionado a 
qualquer número natural, não altera a soma.(resultado) 
 
Você, pode usar as cartolinas para comprovar esta propriedade. Coloque adições do 
tipo: 
5 + 0 = 5; 0 + 8 = 8, 5 + 0 + 5 = 5 + 5= 10 
 
Seus alunos vão, novamente, observar que nestas operações, em que uma das 
parcelas é zero, o resultado é sempre igual a outra parcela ou à soma das outras 
parcelas. 
 
Na propriedade do fechamento, mostre os alunos que a soma de dois números 
naturais é sempre um número natural. 
 
Se somarmos, por 3 + 9 o resultado é 12 e sabemos que o 3 e 9 são números 
naturais e 12 também é um número natural. 
 
Professor, mostre para os alunos como é que estas propriedades são usadas, na 
prática, principalmente a comutativa e a associativa. A comutativa é muito aplicada 
para verificar se a operação está correcta. A associativa é aplicada com o mesmo 
objectivo e em operações com mais de duas parcelas facilita o cálculo. 
 
 13 11 20 50 56 
 + 11 + 13 30 6 + 3 
 24 24 + 6 + 3 59 
 3 59 
59 
 
Sugere vários exercícios sobre os diferentes tipos de soma e sobre as propriedades 
da adição, para poder verificar se ficou absolutamente claro e compreendido esta 
matéria. 
 
* Caro colega! Veja que aqui estão destacados aspectos importantes a respeito do 
texto que acabou de ler. 
 
• O facto básico é uma abordagem metodológica para facilitar o trabalho do 
professor e do aluno na prática da tabuada. Por meio dele, os alunos obtêm todas 
as combinações possíveis de um total determinado. 
• Inicialmente, o professor deve usar o material concreto para explorar a relação 
existente entre factos conduzindo, pouco a pouco, o aluno à abstracção, ou seja, 
ao registo dos símbolos correspondentes às combinações encontradas. 
• Além do trabalho com os factos básicos, deve-se introduzir algumas propriedade 
da adição (3 + 2 = 2 + 3; 4 + 0 = 0 + 4 = 4). 
• As dificuldades iniciais da adição devem ser apresentadas da seguinte forma: 
Adição sem transporte, adição com transporte de unidade para dezena: adição 
com transporte de dezena para centena; transporte de unidade para dezena e de 
dezena para centena. 
• O algoritmo da adição deve ser tratado com material simbólico: quadro valor de 
lugar, quadro de pregas, ábacos e fichas (cartolina). 
• Na2ª Classe, é importante continuar a oferecer situações que propiciem, aos 
alunos entender e aplicar os sinais + e - pois essa operação vai servir de base à 
aprendizagem da multiplicação e a esta encontra-se associada. 
• A escrita aditiva deve ser entendida como representação do número total de 
elementos e pode constituir-se de 2,3 ou mais parcelas. E, mais, é preciso 
destacar ainda que um número pode ser representado por uma escrita aditiva. 
• A resolução de situações-problemas é o objectivo pelo qual se propõe a 
aprendizagem das operações. Dai porque vale lembrar a utilização de recursos 
variados para o encaminhamento do raciocínio nas crianças. O repertório dos 
factos fundamentais da adição o ábaco de papel, a redução de escritas aditivas, 
etc. devem ter o uso estimulado para chegar à descoberta das respostas. 
• Na 3ª e 4ª classes, o objectivo principal é relembrar a adição com transporte. 
Portanto, você deve trabalhar obedecendo a seguinte sequência: Adição de mais 
de duas parcelas sem transporte, com dois e depois com três algarismos em cada 
parcela; adição com zero intercalado e parcelas de mais de dois algarismos, 
adição com transporte, primeiro na ordem das unidades, depois na dezena, na 
centena e em mais de uma ordem. 
• Nestas classes, pode-se chegar até a adição de 4 algarismos em cada parcela, 
sendo importante que você relembre os alunos de que ao efectuar uma adição os 
números devem ficar um abaixo do outro. 
• As propriedades da adição devem ser aplicadas de forma que os alunos 
descubram as relações entre os factos e as leis que as regulam. 
• No treino da adição, utilize vários exercícios para a fixação, incluindo problemas 
sempre que possível. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
Bem, amigo cursista, Vamos verificar se você realmente aprendeu o que foi abordado 
nesta parte do módulo, passe, então, a realizar os exercícios que seguem: 
 
I 
 
Preencha os espaços em branco de modo a dar sentido às frases afirmativas 
utilizando as expressões que estão no rectângulo abaixo. 
 
Em grupo, individualmente, sequenciada, combinações, exercícios, 
agrupamentos, problemas, associativa, nem sempre, vivenciadas, aditiva, 
sempre, raciocínio, independente. 
 
a) É importante que você acompanhe _____________________ os alunos que 
apresentam dificuldades. 
b) Os exercícios devem incluir além de operações isoladas a resolução de _______. 
c) A adição ______________________ tem duas parcelas. 
d) Explorando o facto básico de uma operação, o aluno tem condições de encontrar 
todas as _______________________ ou ___________________ possíveis do 
resultado apresentado. 
e) A substituição de dois números por um único número que indica a mesma 
quantidade caracteriza a actividade de executar a escrita __________________. 
f) Pela resolução de situações-problemas, a criança desenvolve o _____________ 
e torna-se mais ________________________________. 
g) As situações-problema são propostas para que os alunos associem a operação 
de adição à situações __________________________________. 
h) As dificuldades no ensino do algoritmo da adição devem ser abordados de uma 
forma e sempre acompanhadas de ___________________________________. 
 
 
* Que bom! o cursista completou os espaços em branco acertadamente. 
a) É importante que você acompanhe individualmente os alunos que apresentam 
dificuldades. 
b) Os exercícios devem incluir além de operações isoladas a resolução de 
problemas. 
c) A adição nem sempre tem duas parcelas. 
d) Explorando o facto básico de uma operação, o aluno tem condições de encontrar 
todas as combinações ou agrupamentos possíveis do resultado apresentado. 
e) A substituição de dois números por um número que indique a mesma quantidade 
caracteriza a actividade de executar a escrita aditiva. 
f) Pela resolução de situações-problema, as crianças desenvolve o raciocínio e 
torna-semais independente. 
g) As dificuldades no ensino do algoritmo da adição devem ser abordadas duma 
forma sequenciada e sempre acompanhadas de exercícios. 
 
II 
 
Ordene, numerado de 1 a 6, a sequências ideia de apresentação das situações 
utilizadas para sistematizar os factos fundamentais da adição. 
a) situações em que os alunos verbalizem o resultado de operações. 
b) Situações em que os alunos efectuem o desdobramento de parcelas de forma 
a obter uma primeira soma igual a 10 e depois o total. 
c) Situações que mostrem aos alunos que a união de quantidades diferentes 
pode resultar em uma mesma quantidade. 
d) Situações em que os alunos identifiquem a ausência de unidade 
e) Situações que permitam aos alunos comparar quantidades escritas sob a 
forma aditiva de diversas parcelas. 
f) Situações que desenvolvam a habilidade para solução de problemas. 
 
* Óptimo! A sequência foi bem feita. 
a) 
 
c) 
 
e) 
 
b) 
 
d) 
 
f) 
 
 
 
 
III 
 
Assinale V(verdadeiro) ou F (falso) ao analisar as afirmações que seguem, tendo 
como base a adição de números naturais e suas propriedades: 
 
a) Uma das dificuldades que os alunos apresentam ao resolver os problemas é a 
interpretação do texto. 
b) O zero é o elemento neutroda adição e não altera o resultado. 
c) Com a propriedade comutativa da adição provamos que a ordem dos termos 
ou parcelas altera a soma. 
d) Facto básico é uma abordagem metodológica mais prática para a tabuada. 
e) A correcção dos exercícios não deve ser feita apenas pelo professor. 
f) O conceito da adição é pré-requisito para a aprendizagem da multiplicação e 
da subtracção. 
g) Nas situações de aprendizagem da operação de adição, você não deve se 
preocupar com o uso dos sinais 
h) Na adição, devemos demonstrar que a inversão da ordem das parcelas não 
altera o resultado. 
i) Na aprendizagem da operação da adição, os alunos, de iniciar, aplicam as 
propriedades da adição, tendo plena compreensão do que estão fazendo. 
 
* De certeza o cursista assinalou conforme: 
a) a) 
 
b) b) 
 
c) Com a propriedade comutativa da adição provamos que a ordem dos 
termos ou parcelas não altera a soma. 
 
d) 
 
e) 
 
f) 
 
g) 
 
h) 
 
i) Na aprendizagem da operação de adição, você já introduz a propriedade 
associativa, sem que as crianças saibam que estão usando esta 
propriedade. 
 
IV 
 
Depois de ler os tipos de actividades descritas a seguir, assinale as alternativas 
correctas em relação as acções. 
 
V 
V 
F 
V 
V 
V 
F 
V 
F 
A 
 Apresentar aos alunos duas escritas aditivas para que observem as 
quantidades e identifiquem o grupo que representa o maior número de 
objectos. 
 
 Apresentar aos alunos duas escritas aditivas para que comparem e 
descubram a quantidade que deve ser acrescentada a uma delas para que fique com 
a mesma quantidade. 
 
 
 Apresentar aos alunos situações em que reconheçam que a união de 
quantidades diferentes pode resultar numa mesma quantidade final. 
 
Com relação a estas actividades, podemos afirmar que: 
 
a) Todas são utilizadas para sistematizar os factos fundamentais da adição. 
b) Todas são utilizadas para introduzir a adição. 
c) Apenas a actividade C é utilizada para introduzir a adição. 
d) As actividades A e B permite às crianças comparar escritas sob a forma aditiva 
de diversas parcelas. 
 
Óptimo! Você assinalou conforme segue: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
V 
 
* Completa as frases, correctamente, escolhendo uma das duas palavras que estão 
colocadas nos parênteses. 
B 
C 
x 
X 
X 
 
a) Usamos a propriedade comutativa para verificar se a operação está __________ 
(somando/correcta) 
b) O zero é o número que representa ______________(presença/ausência) de 
quantidade. 
c) A propriedade da adição que demonstra que a soma de dois números naturais é 
sempre um número natural é a _______________(de divisão/de fechamento). 
d) A propriedade ________________(associativa/aditiva) nos demonstra que 
podemos associar parcelas que o resultado não se altera. 
e) Comutar é o mesmo que _____________(somar/trocar) a ordem das parcelas. 
 
* Você, respondeu as perguntas muito bem. 
 
a) Usamos a propriedade comutativa para verificar se a operação está correcta. 
b) Zero é o número que representa ausência de quantidade. 
c) A propriedade da adição que demonstra que a soma de dois números naturais é 
sempre um número natural é a de fechamento. 
d) A propriedade associativa nos demonstra que podemos associar parcelas que o 
resultado não se altera. 
e) Comutar é o mesmo que trocar a ordem das parcelas. 
 
* Como é! Amigo, está a entender bem a matéria? Se não está, volte a ler o texto e 
fazer os exercícios, se entendeu, avance, passa a estudar a parte B do módulo. 
 
PARTE B 
 
A SUBTRACÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS E SUAS PROPRIEDADES 
 
 
A subtracção é a operação inversa da adição isso quer dizer: Que na subtracção 
devemos procurar um número que somado ao que se retira seja igual ao total da 
adição correspondente. Observe o exemplo: 
 
* A Dalva comprou 10 doces e deu 4 a sua irmã Elsa, ficou com 6. Porque 6 é o 
número procurado, que somado com 4, dá o total de doces que a Dalva tinha 
inicialmente (10). 
 
Para representar a subtracção, usamos o sinal – (traço), colocamos o sinal na forma 
horizontal, entre os dois números da operação. 
 
Forma horizontal ; Forma vertical 
 10 – 4 = 6 10 
 - 4 
 6 
 
Esses termos são chamados: 
 
 10 Aditivo ou diminuendo 
 - 4 Subtractivo ou diminuidor 
 6 Diferença ou resto 
 
Como na adição, esses conceitos são apresentados aos alunos, duma forma 
sequenciada. 
 
Inicialmente, eles se familiarizarão com o conceito de subtracção, começando por 
relacionar quantidades pela identificação dos elementos que faltam a um grupo de 
objectos para se igualar a outro grupo. 
 
Senhor professor! Use material de contagem para concretizar a situação, assim: 
- Forme, sobre a sua mesa, duas colecções com quantidades diferentes: 
uma com 13 objectos e outra com 10, por exemplo. 
- Solicite aos alunos que façam, sobre a carteira, com o material de 
contagem, duas colecções com quantidades iguais as suas. 
- Agora, peça que façam as duas colecções ficarem iguais, isto é, com o 
mesmo número de objectos. 
- Observe como resolvem a situação: Umas acrescentarão objectos à 
colecção menor, enquanto outras retirarão elementos da colecção maior. 
- Converse sobre o que fizeram e repita as operações nas colecções que 
estão sobre a sua mesa, mostrando que à colecção menor faltavam 3 
objectos para se tornar igual à maior e que, retirando 3 objectos da 
colecção maior, esta ficaria igual à menor. 
 
Muitas outras situações em que seja preciso tirar elementos de uma colecção maior 
ou acrescentar elementos a uma colecção menor propiciarão condições para a 
introdução do conceito de subtracção. 
Feito isso, você apresentará a escrita a – b. 
 
AS TRÊS IDEIAS DA SUBTRACÇÃO 
 
A subtracção está associada às ideias de subtrair, comparar e completar. 
 
Para que os alunos possam inferir esses significados, entregue, a cada grupo de 4, 
uma cartolina quadriculada não rectangular e uma outra rectangular. 
 
 
 
 
 
 
 
Peça aos alunos que coloquem a cartolina menor sobre a maior. 
 
Adiante o número de casas de cada cartolina (50 e 15) e proponha exercícios às 
equipas: os grupos A e B vão descobrir quantas casas da cartolina maior restaram 
descobertas; os grupos C e D vão verificar quantas casas a cartolina maior tem a 
mais que a menor; os grupos E e F vão calcular as casas que faltam à cartolina 
menor para cobrir, exactamente a maior. 
 
Aí estão as três ideias, mas é preciso não esquecer a natural dificuldade que os 
alunos têm em compreender a equivalência entre elas. 
 
Na ideia de subtrair (ou de decompor) temos sempre uma colecção da qual é retirada, 
ou subtraída, uma certa quantidade de elementos. Trata-se, então, de saber quantos 
elementos restaram. 
 
 
Geralmente, esta ideia é apresentada da seguinte forma: 
 
 
 
 7 – 3 = 4 
Na ideia de comprar, temos sempre duas colecções e o problema consiste em saber 
qual delas tem mais elementos e quantos a mais. Geralmente, esta ideia é 
apresentada da seguinte forma: 
 
 
 
 7 – 3 = 4 
 
Na ideia de completar (ou adicionar), temos duas colecções e o problema consiste 
em saber quanto se deve acrescentar à que tem menos quantidade para obter uma 
colecção equivalente à primeira. 
 
É difícil para os alunos perceberem que o número de elementos a serem 
acrescentados é obtido através de uma subtracção. 
 
 
 
 
 
 7 – 3 = 4 
 
A dificuldade resultou do facto de os alunos estarem, na verdade, achando uma 
parcela desconhecida de uma adição, isto é 3 + … 7. 
 
È necessário trabalhar com actividades semelhantes a esta que, sem forçar oprocesso, permitam fazer a síntese entre essas ideias, expressando-as, mais tarde, 
através de um único tipo de escritas; a – b. 
 
A maneira como a escrita subtractiva foi apresentada nessas actividades propicia a 
oportunidade de que essa síntese se realize mais facilmente. 
 
Como os factos fundamentais da subtracção serão obtidos a partir dos factos 
fundamentais da adição, você deverá, antes, relacionar as duas operações, fazendo 
com que os alunos explicitem as relações: 
 Se a + b = c, então c – a = b e c – b = a. 
 
Resolva, com as crianças, a situação descrita da história que se segue: 
 
“A mãe da Elsa ia fazer rebuçados para vender, para isso, pediu a ela para ir comprar 
algumas latas de leite condensado na mercearia. As latas foram colocadas em dois 
sacos; um ficou com 5 latas e o outro ficou com 8 latas”. 
 
Solicite que desenhem os sacos que a Elsa teve que carregar e calcular quantas latas 
ela comprou. Após verificar os resultados, registe no quadro preto a que foi feito (5 + 
8 = 13). 
 
Continue a história: 
 
“A mãe da Elsa usou todas as latas de um dos pacotes”. 
Peça então, que cada um escolha um dos pacotes como sendo aquele utilizado pela 
mãe do Paulo e, em seguida, indique quantas latas restaram. 
 
Dê algum tempo para realizarem a tarefa e, a seguir, faça um levantamento para 
saber quem escolheu o pacote com 5 latas e quem escolheu o pacote com 8 latas. 
 
Comente as duas situações apresentadas no inicio da história registando-as no 
quadro preto. 
 
 
1) 
 Ao todo existem 13 latas 
 de leite condensado, porque Leite Leite Leite Leite 
 5 + 8 = 13 
 Leite Leite Leite Leite Leite Leite 
 
 Leite Leite Leite 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 Se a mãe da Elsa usou o 
 Pacote com 5 latas, então Leite Leite Leite Leite 
 Sobraram 8 delas. 
 Leite Leite Leite Leite Leite Leite 
 
 Leite Leite Leite 
 
 
3) 
 Se a mãe da Elsa usou o 
 Pacote com 8 latas, então Leite Leite Leite Leite 
 Sobraram 5 latas 
 Leite Leite Leite Leite Leite Leite 
 
 Leite Leite Leite 
 
Ou seja: Se 5 + 8 = 13 então 13 – 5 = 8 e 13 – 8 = 5. 
 
Em seguida, proponha exercícios onde sejam aplicadas as relações que acabam de 
ser explicitadas. 
Se 6 + 5 = 11 então 11 – 6 = _________ e 11 – 5 = ________ 
 
Se 8 + 7 = 15 então 15 – 8 = ___________ e 15 – 7 = ____________. 
Se 4 + 5 = 9 então _____ - 4 _____ e _____ - 5 = ______________ 
Cada uma das três ideias tem características próprias de representação. 
 
O aluno não deve ser informado de que um problema envolve esta ou aquela ideia, 
porém, ser-lhe-ão apresentadas situações-problemas envolvendo cada uma delas. 
 
De início, apresentamos situações envolvendo a ideia ou decompor, representamos, 
apenas, o aditivo. 
 
Retiramos ou subtraímos de uma colecção, uma certa quantidade de objectos, 
descobrindo quantos restaram na colecção. Este é um problema do tipo: 
 
 
 3 – 1 = 2 
 
Depois de ter apresentado muitos problemas envolvendo a ideia subtractiva, 
apresentamos outra os envolvendo a ideia comparativa. 
 
Nas acções expressas pela ideia de comparar, ambos os termos foram representados 
(aditivo e subtractivo) para a comparação através da correspondência entre as duas 
quantidades. É obrigatória a existência de duas colecções, identificando se a colecção 
que tem mais elementos e quantos são a mais esses elementos. 
 
 
 
 
 3 – 1 = 2 
 
A primeira colecção tem 2 quadradinhos a mais que a segunda. 
 
Das três ideias a que pode apresentar maior dificuldade é, repetimos, a ideia de 
completar ou aditiva. 
 
Concretizando a ideia aditiva ou de completar, só representamos a subtractivo, 
deixando lacunas para indicar o aditivo. Uma vez apresentadas duas colecções, o 
problema consiste em verificar quantos elementos são necessários adicionar à 
colecção menor para tornar as duas equivalentes. 
 
 
 
 
Assim: 
 
 
 (3 – 1 = 2 
 
 
Esta ideia é a mais complexa, pois, como vimos, chegamos à descoberta do número 
de elementos a serem acrescentados por meio de uma subtracção. Na realidade, 
encontramos o termo desconhecido de uma adição, que no caso seria: 
 
 
 
 1 + … = 3 
 
Faltam dois quadradinhos na segunda colecção para que fique, também, como três 
quadradinhos. Só a exercitação contínua proporcionará automatização do emprego 
da mesma escrita subtractiva para a representação dos três quadrinhos. Só a 
exercitação contínua proporcionará a automatização do emprego da mesma escrita 
subtractiva para a representação das três ideias. 
 
 
A SUBTRACÇÃO NAS 1ª E 2ª CLASSES 
 
Os primeiros factos fundamentais, a serem explorados e fixados derivam de adições 
com total até 9. Para conduzir os alunos a inferirem essas combinações, organize um 
material simples que poderá ser usado muitas vezes. Faça 10 tiras de papel ou 
cartolina, com 1 palmo de largura numeradas de 0 a 9. 
 
O 1 2 3 4 5 6 7 
 
8 9 
 
Oriente-os a fazerem fichinhas com os factos fundamentais da adição com total até 9, 
se eles ainda não as tiverem. São 55 fichinhas, cada uma com um dos factos. 
 
0 + 0 = 0 
0 + 1 = 1 
1 + 0 = 1 
0 + 2 = 2 
2 + 0 = 2 
0 + 3 = 3 
3 + 0 = 3 
0 + 4 = 4 
4 + 0 = 4 
0 + 5 = 5 
5 + 0 = 5 
0 + 6 = 6 
6 + 0 = 6 
0 + 7 = 7 
7 + 0 = 7 
0 + 8 = 8 
8 + 0 = 8 
0 + 9 = 9 
9 + 0 = 9 
1 + 1 = 2 
1 + 2 = 3 
2 + 1 =3 
1 + 3 = 4 
3 + 1 = 4 
1 + 5 = 6 
5 + 1 = 6 
1 + 6 = 7 
6 + 1 = 7 
1 + 7 = 8 
7 + 1 = 8 
1 + 8 = 9 
8 + 1 = 9 
2 + 2 = 4 
2 + 3 = 5 
3 + 2 = 5 
2 + 4 = 6 
4 + 2 = 6 
2 + 5 = 7 
5 + 2 = 7 
2 + 6 = 8 
6 + 2 = 8 
2 + 7 = 9 
7 + 2 = 9 
3 + 3 = 6 
3 + 4 = 7 
4 + 3 = 7 
3 + 5 = 8 
5 + 3 = 8 
3 + 6 = 9 
6 + 3 = 9 
4 + 4 = 8 
5 + 4 = 9 
5 + 4 = 9 
 
 
Peça também que cada um faça 10 envelopes ou caixinhas em que caibam as fichas, 
numerando-os de 0 a 9, e que preparem mais 110 fichinhas deixando-as em branco. 
 
A seguir, comece a actividade. 
 
Cada aluno deve pegar uma ficha com um facto da adição e duas fichas em branco. 
Quem pegar, por exemplo, a ficha 3 + 4 = 7, escreverá numa ficha em branco, 
7 – 3 = 4 e na outra 7 – 4 = 3. A ficha 7 – 3 = 4 deverá ser guardada no envelope 4 e 
a 7 – 4 = 3, no envelope 3. 
 
A medida que o aluno vai terminando, confira e peça-lhe para pegar outra fichinha. 
 
Quando todas as fichas forem colocadas nos envelopes, prossiga com uma actividade 
diferente. 
 
Divida a turma em 10 grupos, entregando a cada um deles um dos envelopes 
numerados. 
 
Cada grupo deverá verificar se as cartolinas estão correctas, colocando de lado as 
que estiverem em dúvida ou as repetidas. 
 
Afixe no quadro preto os quadros de 0 a 9. 
 
Chame um representante de cada grupo que para que leia, em voz alta, as escritas 
que aparecem nas cartolinas. Se a turma estiver de acordo, escreva, com marcadas, 
essas escritas, nos seus respectivos quadros. 
 
Por exemplo: a escrita 7 – 5 = 2 deverá aparecer no quadro 2como 7 – 5. 
 
Aproveite para discutir os casos duvidosos, de modo que os alunos seleccionem 
apenas as escritas correctas. 
 
Proceda da mesma forma até todas os quadros estarem preenchidos. 
Caso seja necessário, refaça os quadros, juntamente com os alunos, de maneira que 
as escritas fiquem ordenadas. Assim: 
3 
3 – 0 
4 – 1 
5 – 2 
6 – 3 
7 – 4 
8 – 5 
9 - 6 
 
As listas devem permanecer afixadas na parede da sala de aula para serem 
consultadas sempre que necessário. 
 
A fixação dos factos fundamentais da subtracção pode, ainda, ser feita com o primeiro 
ou segundo termo determinado. 
 
Desenhe uma caixa de rebuçados. 
 
Colar pág.33 
 
Solicite que registem, através da escrita subtractiva, a quantidade de rebuçados e 
oriente a organização de listas como esta: 
 
 7 – 0 = 7 7 – 4 = 3 
 7 – 1 = 6 7 – 5 = 2 
 7 – 2 = 5 7 – 6 = 1 
 7 – 3 = 4 7 – 7 = 0 
 
Opere, também, como o segundo termo pré-determinado. 
 
Diga, agora, para as crianças que façam de contas que as caixas estavam cheias de 
rebuçados, mas que alguém retirou alguns. 
 
Ex.: Apresente a seguinte caixa. 
Colar pág. 33 
 
E pergunte: quantos rebuçados havia nessa caixa? (7) Quantos rebuçados foram 
retirados? (4) quantos rebuçados tem agora? (3). 
 
Organize e proponha que faça o registo correspondente, usando uma escrita 
subtractiva. Exemplo: 7 – 4 = 3; oriente grupos para que arrumem caixas em ordem 
sobre a carteira, e peça que escrevam as escritas subtractivas correspondentes. 
 
Exemplo: para caixas que contêm apenas três rebuçados, os registos deverão ser: 
 
 10 – 3 = 7 6 – 3 = 3 
 9 – 3 = 6 5 – 3 = 2 
 8 – 3 = 5 4 – 3 = 1 
 7 – 3 = 4 3 – 3 = 0 
 
Convide algumas equipas para exibirem suas listas e fazerem a leitura, em voz alta, 
dos factos nela registados. 
 
Mas uma vez, destaque os factos onde aparece o número zero. 
 
Proceda da mesma forma para analisar os registos de outras colecções. 
 
Os aditivos maiores que 10 serão obtidos usando-se os factos fundamentais da 
adição com total até 18. Você pode providenciar fichinhas semelhantes às que já 
mostramos. Daí em diante, os alunos automatizarão os factos e realizarão as 
operações simples com facilidade. 
Chame a atenção para o facto de que a escrita a – b, se a e b são números naturais, 
só é possível se a>b. Mostre, além disso, que a subtracção de números naturais não 
é providenciar 6 pedacinhos de papel ou cartolina de 2cm por 5cm e um envelope. 
 
Solicite a cada um que escreva em seu caderno um facto fundamental da adição. 
Verifique se todos acertaram. Caso existam duas escritas iguais, sugira que uma 
delas seja modificada. 
 
Em seguida, peça que copiem nas cartolinas (fichas) os números e os sinais 
utilizados. 
 
Por, exemplo: se alguém escreveu 9 + 6 = 15, deverá completar as cartolinas da 
seguinte maneira: 
 
 
Na última cartolina, deverá registar o sinal 
 
A próxima tarefa consiste em compor, com as seis cartolinas, todas as escritas 
verdadeiras e registá-las no caderno. 
 
De acordo com o exemplo: 
 
 9 + 6 = 15 
 
 
 6 + 9 = 15 
 
 
 15 – 9 = 6 
 
 15 – 6 = 9 
 
Peça para alguns alunos irem ao quadro preto explicar as escritas que obtiveram. 
 
Chame a atenção para o seguinte facto: enquanto na adição é possível obter duas 
escritas diferentes com o mesmo resultado, isso não ocorre na subtracção, pois, 
neste caso, para a escrita ser válida o primeiro termo tem sempre que ser maior ou 
igual ao segundo. 
 
Solicite aos alunos que escrevam seus nomes nos respectivos envelopes e guardem 
as seis cartolinas dentro deles. 
 
9 6 15 + = 
- 
9 + 6 = 15 
6 + 9 = 15 
15 - 9 = 6 
15 - 6 = 9 
Em diferentes actividades, faça com que troquem os envelopes entre si. Aquele que 
receber um jogo de seis cartolinas deverá fazer todas as combinações possíveis e 
registam no caderno as escritas correspondentes. 
 
A SUBTRACÇÃO NAS 2ª E 3ª CLASSES 
 
É importante trabalhar os factos da subtracção de forma a permitir que os alunos 
possam chegar às próprias conclusões. Os factos da subtracção apresentam algumas 
dificuldades a mais do que as da adição, embora as actividades com a operação 
inversa facilitem sua compreensão e, consequentemente, a fixação. De início, 
apresente, simultaneamente, os factos com um mesmo total ou aditivo. 
 
O conceito de subtracção, já vimos, é introduzido por meio da comparação de 
colecções que devem ser tornadas equivalentes, ou seja, dadas duas colecções, 
deve-se transformar uma delas numa colecção numericamente equivalente a outra. 
Veja como fazemos isso. 
 
Percorra a turma com duas caixas contendo dois tipos diferentes de materiais de 
contagem, por exemplo, tampinhas e palitos. Solicite a cada aluno que pegue um 
punhado de cada um deles é importante que o número de elementos retirados de 
cada um deles não seja muito pequeno, caso contrário poderá ser feita uma 
comparação “instantânea” entre eles. 
 
A actividade consiste em encontrar um modo de mostrar qual das duas colecções tem 
maior número de objectos. Diga que eles deverão descobrir uma maneira de realizar 
a actividade sem contesto os elementos. Um procedimento poderá ser o de 
estabelecer a correspondência por acasalamento, entre os elementos de cada 
colecção ou estabelecer a correspondência por agrupamento.. 
 
Exemplo, a cada palito corresponde uma tampinha ou a grupo de 3 palitos 
corresponde um grupo de 3 tampinhas etc. 
 
Em seguida, solicite que descubram um modo de obter duas colecções com o 
mesmo número de elementos. 
 
Já comentamos como os alunos procedem. O mais comum é retirar os elementos da 
colecção que possui maior quantidade. 
 
Solicite que deixem as colecções da forma como estavam no início da actividade, isto 
é com números diferentes de elementos. Diga que, agora, eles poderão pegar mais 
material nas caixas para obter duas colecções com o mesmo número de elementos. 
 
Chame alguns alunos à frente para explicarem o que fizeram. 
 
Ao final, oriente as discussões para que concluam que, neste caso, dois 
procedimentos são possíveis: 
- ou tirar elementos da colecção com maior número; 
- ou acrescentar elementos à colecção com menor número. 
 
Chame atenção aos alunos para o facto de que, ao retirar objectos da colecção, estão 
subtraindo. 
 
Logo após esta actividade, ofereça situações para que os alunos recordem a escrita a 
– b. 
 
Distribua a cada grupo de quatro alunos duas cartolinas quadriculadas, como as 
seguintes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cartolina 1 Cartolina 2 
 
Solicite que pintem o verso da cartolina 2. 
 
Em seguida, oriente-os a encontrarem o número de casas da cartolina 1, bem como o 
número de casas da cartolina 2. 
 
1ª SITUAÇÃO 
 
Diga aos alunos para colocarem, lado a lado, a cartolina maior e a cartolina menor 
com a face quadriculada voltada para cima. 
 
Por exemplo: 
 
 Colar página 36 
 
Solicite que indique quantas casas têm os dois quadriculados juntos e peça que 
façam o registo correspondente. 
Certifique se todos fizeram o registo correcto, isto é: 
 
 75 + 21 ou 21 + 75 ou 75 + 21 = 96 ou 21 + 75 = 96 
percorra cada recolocando as figuras lado a lado, porém modificando a posição da 
cartolina. 
 
Exemplo: 
 
Pergunte qual é o número de casas da nova figura. Repita a pergunta para outras 
posições da cartolina, se achar necessário. 
 
2ª SITUAÇÃODiga agora para colocarem a cartolina, com a face pintada voltada para cima, sobre a 
cartolina maior, de maneira que seus traços coincidam com traços do quadriculado. 
 
 
Exemplo: 
 
 
 ////// ////// ///// ////// ////// 
 ////// ////// ////// 
 ////// ////// ////// 
 ////// ////// ////// ////// ////// 
 ////// ////// ////// ////// ////// 
 
 
Peça que indique: 
• O número de casas de quadriculado maior (75) 
• O número de casas que ficara cobertas ou escondidas (21); 
• O número de casas que ficaram descobertas ou à mostra: 75–21 ou 75–2 =54 
 
Certifique que os registos estão correctos 
 
Proponha aos alunos que verifiquem quantas casas ficarão descobertas se 
colocarmos a cartolina em outra posição, sobre o quadriculado maior, desde que as 
linhas dos quadriculados coincidam. 
 
Se julgar necessário, repita a pergunta para outras posições da cartolina. 
 
Caso haja alunos ainda com dúvidas a respeito da independência das quantidades a 
+ b e a – b, em relação à posição das cartolinas, deixe que eles contem as “casas” 
para que aprendam este facto. 
 
Reforce o sinal – (menos) e faça a leitura das situações com a turma. 
 
É muito importante que os alunos percebam que a quantidade indicada por a – b não 
depende do tamanho ou formato das cartolinas apresentadas. Por tanto, varie o 
tamanho, a posição e o formato das cartolinas. Tomemos, por exemplo, as seguintes 
cartolinas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Após a distribuição do material indicado aos grupos de alunos, solicite aos alunos que 
pintem os versos das cartolinas menores, uma de cada cor. 
 
Forneça o número de casas da cartolina maior (69) e peça que determinem o número 
de casas de cada uma das cartolinas menor (9). Certifique-se encontraram o mesmo 
número de casas nas duas cartolinas menores. 
Oriente os alunos no sentido de colocarem uma das cartolinas sobre o quadrículo 
maior, com o lado pintado voltado para cima, de maneira que seus lados coincidam 
com traços do quadriculado. 
 
Por exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Peça que indiquem: 
• O número de casas do quadriculado maior 
• O número de casas do quadriculado maior que ficaram escondidas 
• O número de casas do quadriculado maior que ficaram descobertas (69–9 =60). 
 
Certifique-se os registos feitos estão correctos. 
 
Proponha aos alunos que repitam a mesma actividade, substituindo a cartolina usada 
pela outra e verificando casas do quadriculado maior que ficaram descobertas. Peça 
aos alunos que façam uma estimativa ao número de casas que ficarão descobertas, 
justificando-o. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apresente situações-problemas variados envolvendo a subtracção com dezenas 
exactas e número representados por algarismos diferentes de zero, sem dificuldades, 
para que os alunos leiam e interpretam. A apresentação de problemas orais para os 
alunos ouvirem, interpretarem e fazerem cálculos mentais, apresentando a resposta, 
não deve ser esquecida. 
 
Proponha, ainda actividades variadas, como: 
 
• Identificar a operação (em alguns casos você pode formular questões que 
envolvam as operações de adição e subtracção); 
• Registar a sentença matemática; 
• Representar a operação usando material concreto; 
• Efectuar a operação usando símbolos e apresentar a resposta; 
• Verificar a exactidão da operação por meio da sua inversa. 
 
Como a subtracção está intimamente relacionado com a adição, a ideia de completar 
conduz ao estabelecimento da relação entre adição e subtracção: Se 
a + b = c, então c – b = a. 
 
Essas representações explicitadas em actividades diversificadas vão permitir ao aluno 
deduzir os factos fundamentais da subtracção e constatar d condução necessária 
para que a escrita a-b seja válida, isto é, o a deve ser maior do que b. 
 
Esta observação conduz ainda a outra conclusão a subtracção não é comutativa 
como a adição. 
 
Também as relações existentes entre os factos fundamentais da subtracção precisam 
de exercícios variados para serem, automatizadas. 
 
Portanto, recorde com os alunos a elaboração das relações ordenadas a partir dos 
factos fundamentais, primeiro com um número pré-estabelecido como 1º termo e, 
depois, com o 2º termo, utilizando actividades semelhantes às utilizadas na 1ª classe. 
 
Feito isto, proponha uma actividade para que os alunos concluam que a diferença não 
se altera quando aos dois termos da subtracção por adicionado ou subtraído o 
mesmo número. 
 
Nesta actividade as equipas deverão organizar “caixas”, colocando juntas aquelas 
que tem em falta a mesma quantidade de rebuçados. 
 
Oriente as equipas que deverão organizar “caixas”, sobre a carteira, em ordem 
decrescente por exemplo, “caixas” onde faltam quatro rebuçados. 
 
 
 
\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\ 
 
 {{{{{{{{ {{{{{{{{ {{{{{{{{
{ 
{{{{{{{{
{ 
{{{{{{{{
{ 
 
 
 •••••••• •••••••• •••••••• •••••••• 
 
 ||||||||||| ||||||||||| ||||||||||| 
 
 ////////// ////////// 
 ««««« 
 
 
 
 
Solicite aos alunos que comparem as “caixas” dessa colecção e discuta com a turma 
todas as observações feitas. Espera-se que os alunos percebem o que foi 
acontecendo com o número de “lugares” de cada “caixa” e o número de “rebuçados” 
de cada caixa. 
 
Faça você mesmo, no quadro preto, uma lista das escritas correspondentes à 
situação de cada “caixa”, isto é, quantos rebuçados faltam para completá-la. 
 
 10 – 6 = 4 
 9 – 5 = 4 
 8 – 4 = 4 
 7 – 3 = 4 
 6 – 2 = 4 
 5 – 1 = 4 
 4 – 0 = 4 
 
Pergunte se alguém notou algo de interessante nesta lista. Espera-se que os alunos 
digam, com suas próprias palavras, que ambos os termos da subtracção foram 
diminuindo de uma em uma unidade e que manteve-se sempre a mesma. 
Num segundo momento, peça aos alunos que comparem as escritas: 
 9 – 6 = 3 e 5 – 2 = 3 
 
Convide alguns alunos para explicarem o que observaram. Conduza a observação de 
modo que percebem que os dois termos da 2ª subtracção possuem quatro unidades a 
menos que os da primeira e que os resultados são iguais. 
 
Com este procedimento os alunos concluirão que se diminuirmos a mesma 
quantidade dos dois termos da subtracção, o resultado não se altera. 
 
Repita a mesma actividade para outros pares de escritas, como por exemplo: 
 
• 4 – 1 = 3 
6 – 3 = 3 
• 7 – 3 = 4 
• 4 – 0 = 4 
• 8 – 8 = 0 
 18 – 18 = 0 
• 5 – 0 = 5 
• 15 – 10 = 5 
• 9 – 3 = 6 
• 6 – 0 = 6 
 10 – 2 = 8 
• 9 – 1 = 8 
• 3 – 1 = 2 
• 5 – 3 = 2 
• 2 – 1 = 1 
• 3 – 2 = 1 
 
 
Lembre-se companheiro/a que a operação de subtracção deve sempre ser trabalhada 
com material concreta, partindo de uma situação-problema. 
 
Quando julgar oportuno, inicie o trabalho com as subtracções mais difíceis, nas quais 
o algarismo das unidades do subtractivo seja maior que o seu correspondente no 
aditivo. Sugira, por exemplo, a subtracção dos números 782 e 265. 
 
O aluno deve consultar os dados que representam o subtractivo e iniciar a operação 
no quadro valor de lugar. 
 
Observe-se ele representa apenas o aditivo, pois o problema envolve ideia 
subtractiva. Neste caso, ele deve representar o aditivo, cortar as fichas (cartolina) 
correspondentes ao subtractivo e descobrir a diferença verificando as fichas não-
cortadas. 
 
É neste momento que ele depara com a dificuldade de que o número de unidades a 
serretirado do aditivo é maior do que as unidades existentes nessa ordem. A situação 
está criada: você deverá deixar que o aluno tente encontrar a solução, depois, se 
necessário, ajude-o a resolver. 
 
Peça que observe a quantidade representada no aditivo todo. Pergunte: dela se pode 
retirar o subtractivo? Então recorde que cada dezena é formada por dez unidades e 
que, assim como na adição, quando o número de unidades da ordem das unidades e 
que, assim como na adição, quando o número de unidades da ordem das unidades é 
igual ou maior que 10, agrupamos dez dessas unidades e as transportamos para a 
ordem das dezenas. Assim também pode ser tomada 1 dezena e decomposta em 10 
unidades que serão somadas às unidades existentes observe: 
 
 782 – 265 
Centena Dezena Unidade 
 
 
 
 
 
 
 
5 1 7 
 
Desse modo, quando a quantidade de unidades do aditivo não for suficiente para 
realizar a subtracção, soma-se uma dezena, que é decomposta em unidades, as 
quais deverão ser somadas à ordem das unidades. 
 
Apresente outras situações semelhantes para que os alunos resolvam. 
 
Valorize senhor professor a compreensão e não se esqueça da fixação. 
 
A SUBTRACÇÃO NAS 4ª E 5ª CLASSES 
 
Você tem mostrado aos alunos que adição e subtracção são operações inversas. 
Adicionar é juntar, somar; subtrair é tirar, separar, diminuir, tirar é uma ideia que a 
criança associa à subtracção. 
 
Converse com os alunos sobre o significado de termos “diferença”. Peça que dêem 
exemplos de situações em que este termo é usado. Podem surgir ideias como, por 
exemplo: a diferença entre as cores de dois objectos; a diferença entre as formas de 
dois objectos entre os modelos de suas carrinhas, entre as alturas de duas pessoas, 
entre os sabores de dois alimentos, entre duas quantidades de rebuçados, entre os 
pesos de duas pessoas, as diferenças entre o comportamento de duas pessoas etc. 
 
Vá anotando ao quadro as sugestões dadas pelas crianças (aluno). 
 
Peça, ainda aos alunos que copiem nos seus cadernos apenas as situações em que 
a diferença pode ser representada por um número. Para essa tarefa, poderão discutir 
com os colegas, isto feito, provoque uma discussão com os alunos e entre eles, 
colocando a pergunta: 
- Que operações usamos para determinar o número que representa cada 
uma dessas diferenças? 
Finalmente, peça que inventem problemas envolvendo diferença entre dois números. 
 
Discuta os problemas sugeridos e suas soluções. 
 
Nas situações-problemas apresentadas, ofereça condições para que o aluno trabalhe 
com as três ideias associadas à subtracção: subtrair, comparar e completar. Estas 
foram trabalhadas na 2ª e3ª classes e devem ser revistas. 
 
Experimente propostas como a seguinte. 
 
Divida a turma em grupos de 4 ou 5 alunos. 
 
Peça que copiem no caderno a situação que você vai escrever no quadro preto. 
 
A Elsa tem 367 figurinhas e o Hélio 189 figurinhas… 
 
Explore esse enunciado perguntando a um grupo de cada vez: 
- Este problema está completo? 
- Você poderiam acrescentar alguma coisa a ele? 
- É possível inventar problemas diferentes com este início? 
- O que falta neste enunciado para obtermos um problema completa? 
 
Provavelmente alguns dirão que devemos formular uma pergunta. 
 
Explique que a tarefa deles é exactamente esta: formular uma pergunta de maneira 
que a solução do problema assim enunciado seja representado por 367 – 189. 
 
Dê o tempo que for necessário para realizarem a tarefa e peça a cada grupo que 
mande um elemento registar no quadro preto a pergunta que formularem. 
 
Analise com os alunos uma das perguntas registadas no quadro preto, verificando se 
cada um dos problemas formulados poderá ser resolvido através da operação: 
 
 367 
 - 189 
 178 
 
Repita a mesma actividade para as situações abaixo: 
- “No ano passado, foram matriculados 1.932 alunos. Em dezembro estavam 
frequentando a escola 1.784 alunos…” 
- “Num álbum de fotografias há lugar para 300 fotografias. Já foram coladas 
277 fotografias…” 
 
Se alguma das ideias da subtracção não for lembrada, oriente os alunos para que 
formulem a questão adequada: 
 
Proponha, também, situações que permitam aos alunos perceber relações que os 
ajudarão a realizar rapidamente determinados cálculos sem precisarem recorrer à 
técnica operatória. 
 
Use exercícios em que fique evidente a relação entre números para obter 
determinados resultados. Veja: peça aos alunos que completem cada série de 
operações de forma a que consigam o resultado destacado. 
 
 4 40 400 
 10 – 6 100 – 60 1.000 – 600 
 ______ - 16 _____ - 160 ____ - 1.600 
 
 30 - _____ ______ - _____ 3.000 - ______ 
 _______ - ______ ______ - _____ ____ - ______ 
 _______ - 46 ______ - 460 ____ - ______ 
 60 - ______ 600 - _____ ____ - 5.600 
 _______ - ______ ______ - _______ 7.000 - _______ 
 _______ - ______ ______ - _______ ____ - _______ 
 
Supervisione a realização da tarefa e forme grupos para avaliarem as respostas 
encontradas. Promover uma discussão a respeito das observações feitas e pergunte 
qual das série foi completada com maior facilidade e se o preenchimento da primeira 
sequência facilitou o das outras. 
 
Sugira outras actividades com 3, 30 e 300; 6, 60 e 600, etc., por meio das quais os 
alunos poderão inferir as relações a – b = c, então 
10a – 10b = 10c, 100a – 100b = 100c, etc. 
 
Isso é o mesmo que descobrir se os termos de uma subtracção forem multiplicados 
por 10, 100, 1000, etc., seu resultado também será multiplicado por esses números. 
 
 8 – 3 = 5 
 x10 x10 
 80 – 30 = 50 
 x100 x100 
 800 – 300 = 500 
 
Estimule o cálculo rápido orientando os alunos a associarem e decomporem números 
para facilitar a descoberta do resultado da operação. 
 
Comente o facto de que em certos momentos da nossa vida nos vemos diante de 
situações em que necessitamos de realizar uma operação rapidamente e não temos 
em mãos, por exemplo, uma calculadora ou mesmo um lápis e um pedaço de papel. 
 
Pergunte aos alunos se eles já passaram por uma situação igual ou se já 
presenciaram outras pessoas numa situação como essa. Deixe os alunos fazerem os 
seus comentários e vá indagando o respeito de como eles ou outras pessoas 
resolveriam o problema. 
Coloque, no quadro preto, as expressões: 
 85 – 35 e 728 – 128 
 
Separe a turma em grupos de 4 ou 5 e peça a eles que apresentem uma maneira de 
calcular os resultados dessas operações. Para tal, deverão fazer de conta que estão 
numa dessas situações em que não é possível usar a calculadora nem o lápis e 
papel. 
 
Uma vez terminada a tarefa, peça aos alunos, que tiverem sugestão, para irem ao 
quadro preto explicar o que pensaram. 
 
Procure incentivar as ideias em que os alunos usaram apenas esquemas mentais 
para realizarem os cálculos. 
 
Por exemplo, em 85 – 35 um bom esquema poderia ser: 
 85 – 35 = 50 
 80 – 30 = 50 
em 728 – 128 poderia aparecer a sugestão: 
 728 – 28 = 700 
 700 – 100 = 600 
 
Acrescente outros exercícios, como: 
a) 735 – 35 
b) 227 – 29 
c) 929 – 30 
d) 94 – 36 
 
Procure estar sempre atento ao desenvolvimento da habilidade de realizar cálculo 
mental, para que os seus alunos adquiram agilidade e rapidez nas operações 
matemáticas. 
 
Quando os alunos souberem utilizar com segurança estes procedimentos práticos, 
aprenderão as técnicas operatórias da subtracção com desenvoltura. 
Desenvolva o trabalho passo a passo para que a turma compreenda totalmente os 
processos apresentados, transferindo os procedimentos usados nas operações já 
realizadas. 
 
Existem várias técnicas operatórias para a operação de subtracção. 
 
Usando o ábaco ou o quadro de valor de lugar, os alunos vão executando, passo a 
passo, as operações, sob sua orientação. 
 
Retome as etapasde dificuldade. 
 
1º caso: Subtracção sem recurso, com subtractivo e aditivo formados por três 
algarismos (497-235). 
 
Solicite que os alunos representem o número 497 no àbaco ou no QVL (Quadro valor 
de lugar). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Do número representado, deve ser retirado, deve ser retirado o número 253. 
 
 
 
 
 
 
 
Sobrou o número 244 
 
 
 
 
 
 
 497 
 -253 
 244 
 
 
2º caso: Operações do tipo 297 – 149, subtracção com recurso na ordem das 
unidades, em que aditivo e o subtractivo são formados por três algarismos. 
 
Faça representar o número 297. 
 
 
 
 
 
 
 
Como não é possível tirar 9 de 7 fichas que estão na ordem das unidades, procure 
obter dos alunos a sugestão para trocar uma ficha média (dezena) por dez fichas 
pequenas (unidades) 
 
 
 
 
 
 
 
 
A ordem das unidades ficou, então com 17 fichas. Destas 17, são retiradas 9, que 
correspondem ao algarismo da ordem das unidades do segundo número (149). 
 
 
 
 
 
 
 
Na ordem das dezenas, retiram-se4 fichas e, da centena uma ficha (sem recurso). 
Fica assim o resultado. 
 
 
 
 
 
 
 297 
 -149 
 148 
 
Ou seja, o número 148 
 
3º caso: 346 – 158. Subtracção com recurso na ordem das unidades e das dezenas, 
sendo o aditivo e o subtractivo formados por três algarismos. 
 
O procedimento é igual ao 2º caso, só que agora, a troca de fichas ocorre, também, 
na ordem das dezenas. 
Representação do número 346 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como não é possível tirar 8 de 6 fichas que correspondem à ordem das unidades, faz-
se a troca de uma fichas média, que corresponde à dezena, por dez fichas pequenas 
(unidades). 
 
 
 
 
 
 
 
Na ordem das unidades ficarão 16 fichas. Agora podem ser retiradas as 8 fichas 
necessárias, restando 8. 
 
 
 
 
 
 
 
A mesma coisa acontece, agora, na ordem das dezenas. Vai ser necessário trocar 
uma ficha grande (centena) por dez médias (dezenas), para que seja possível fazer a 
subtracção. 
 
 
 
 
 
 
 
Ficaram 13 fichas na ordem das dezenas. São retiradas 5 e ficam 8. Das 3 fichas 
grandes, da ordem das centenas, ficaram 2. Retirando mais uma (algarismo da 
centena do segundo número) das 2 fichas que sobraram na centena do primeiro 
número, resta 1. O resultado obtido foi o número 188, que está assim representado: 
 
 
 
 
 
 
 
Veja, agora, uma outra forma de representar as operações. 
 
1º caso: 198 – 132 subtracção sem recurso, aditivo e subtractivo formados por três 
algarismos. 
 
Peça aos alunos que representem, no ábaco, os dois números. 
 
 
 
 
 
 198 – aditivo em cima 
 132 – subtractivo em baixa 
 
 346 
 - 158 
 188 
 
 
 
trabalhando com a ideia de completar, o aluno deve ver quantas fichas faltam ao 
subtractivo para igualar ao aditivo. 
 
 
 
 
 
 
 
Faltam seis unidades, 6 dezenas, o (zero) centenas; logo, o resultado será 66. 
 
2º caso: 347 – 239. Subtracção com recurso na ordem das unidades, sendo o aditivo 
e o subtractivo formados por três algarismos. 
 
Representam-se os dois números. 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, o aluno verifica que tem 7 unidades para retirar 9. Então, não pode 
acrescentar fichas ao subtractivo, para completar o subtractivo. Levanta o problema e 
oriente a discussão até surgir a ideia de que devem ser acrescentadas dez fichas 
pequenas (dez unidades) ao aditivo e uma ficha média, (1 dezena = dez unidades) ao 
subtractivo, para que não se altere o resultado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mostre que foi usada uma propriedade da subtracção, pela qual a diferença não se 
altera quando um mesmo número é adicionado ou subtraído no aditivo e ao 
subtractivo. Explique e demonstre, através de vários exemplos, esta propriedade. 
 
Agora é possível a comparação e verifica-se que faltam 8 unidades, o (zero) dezenas 
e 1(uma) centena. Logo, o resultado é 108. 
 
Se fosse uma operação com recurso na ordem das dezenas também, o aluno não 
faria a comparação, continuaria o processo acrescentando 10 dezenas ao aditivo, 1 
centena ao subtractivo, fazendo então a comparação e obtendo o resultado da 
operação. 
 
As dificuldades, como vimos, devem aumentar gradativamente. Repetindo, vêm, em 
primeiro lugar, as operações sem recurso com aditivo e subtractivo com dois e depois 
com três algarismos; depois, operações com recurso na ordem das unidades, na 
ordem das unidades e dezenas. Seguem-se as operações com zero na ordem das 
unidades e dezenas, primeiro sem recurso e depois com recurso; as operações com 
zero apenas no aditivo e as operações com aditivo e subtractivo formados por quatro 
algarismos, sem recurso e, a seguir, com recurso. 
 
Prepare uma série de actividades sobre a resolução de situações-problema 
envolvendo adição e subtracção. As operações não devem ser vistas mecanicamente, 
devem ser procedidas de problemas orais. Assim, as operações são compreendidas e 
não apenas memorizadas. 
 
Depois dos problemas orais, são apresentados problemas escritos, nos quais o aluno 
tem oportunidades de utilizar, na sua resolução, as operações já aprendidas (adição e 
subtracção – seu conceito e técnica operatória). 
 
Experimente propor aos alunos que descubram dados que uma tabela não mostra. 
 
Invente um caso, diga que apagaram ou que o quadro foi manchado e que 
precisamos reconstrui-lo. 
 
Deixe a turma exercitar em grupo sobre quadros como o resultante em que vão 
associar a subtracção à adição, além de exercitarem a compreensão do significado 
das operações. 
 
Observe como a actividade foi elaborada. 
 
Aproveitando o período de férias escolares, o Conselho da Cidade realizou um 
espectáculo musical para jovens e crianças. O espectáculo foi apresentado de terça a 
domingo durante os meses de Janeiro e Fevereiro. 
 
A tabela abaixo foi preenchida por um trabalhador do conselho e visava mostrar que: 
- O dia da semana em que o espectáculo era mais frequentado; 
- O total de frequentadores do mês de Janeiro e do mês de Fevereiro; 
- O total de frequentadores durante todo o período em que o espectáculo se 
realizou. 
 
 
Mês 
Dia 
 
Janeiro 
 
Fevereiro 
 
Totais 
Terça 4.951 8.930 
Quarta 1.785 6.999 
Quinta 3.234 5.341 
Sexta 375 6.723 
Sábado 4.358 9.123 
Domingo 1.239 
Totais 44.374 
 
 
Ao final, peça a alguns alunos para exporem aos demais que formas encontraram 
para obter números que faltavam. 
 
Bem, querido(a) professor(a), vamos resumir o que foi lido e estudado nesta parte B, 
conforme o quadro que segue. 
• O conceito de subtracção é um dos mais complexos de serem entendidos pelos 
alunos e deve ser introduzido pela comparação de colecções que devem ser 
tornadas equivalente. 
• Você deve propor actividades variadas trabalhando, inicialmente, com material 
concreto e partindo sempre de uma situação-problema. 
• Apresente primeiramente situações que envolvam subtracções sem 
reagrupamento, explorando as três ideias da subtracção (subtractivo, comparativa 
e aditiva), uma de cada vez e nesta sequência. Após a automatização dos factos 
fundamentais da subtracção e da escrita subtractiva, introduza o trabalho com as 
subtracções que exijam reagrupamento. 
• É importante não privilegiar qualquer das ideias ao desenvolver as actividades. Ao 
contrário, proporcione condições para que os alunos as sintetizem, expressando-
as, através de um único tipo de escrita: a – b. 
• Você deve trabalhar o termo diferença, explorando, de início, situações nas quais 
os alunos tenham que identificar diferenças, tais como entre as cores de dois 
objectos, entre as forma de dois objectos, etc., para que, em seguida, destaquem 
apenas as situações que podem ser representadas numericamente, finalmente, 
criem problemas envolvendo diferençasentre dois números e trabalhando com as 
três ideias que a subtracção envolve (subtracção, comparação e completação). 
• Proponha, também, situações em que os alunos realizem cálculos sem recorrer a 
técnica operatória e estimule-os a associarem e a decomporem números para 
adquirirem agilidade nas operações matemáticas. 
• Usando o ábaco ou o quadro valor de lugar introduza, passo a passo, as técnicas 
operatórias para a operação de subtracção: subtracção sem recurso, com 
subtractivo formado por três algarismos; subtracção com recurso na ordem das 
unidades, em que o aditivo e o subtractivo são formados por três algarismos; 
subtracção em recurso na ordem das unidades e das dezenas, sendo o aditivo e o 
subtractivo formados por três algarismos. 
• Aplique, ainda uma série de actividades envolvendo adição e subtracção (seu 
conceito e técnica operatória) primeiramente, com problemas orais e depois, com 
problemas escritos. 
 
* Muito bem, passemos, agora, caro(a) professor(a) a realizar alguns exercícios sobre 
a parte B. É a melhor maneira de ajudá-lo a reter os conteúdos dados. 
 
 
I 
 
Completa os espaços em branco para dar sentido às frases: 
a) Quando os dois termos da subtracção for adicionado ou subtraído o mesmo 
número, a diferença ________________________________.. 
b) A automatização da escrita subtractiva é conseguida por meio da 
_________ contínua. 
c) Os factos da subtracção devem ser apresentados de forma a permitir que 
os alunos possam chegar _________________________. 
d) O conceito de subtracção é um dos mais _____________________a serem 
aprendidos. 
 
 
* Muito bem. Veja, para já, como devem ficar as frases. Tenho a certeza que você 
acertou ao responder que: 
 
a) Quando aos dois termos da subtracção for adicionado ou subtraído o 
mesmo número, a diferença não se altera. 
b) A automatização da escrita subtractiva é conseguido por meio da 
exercitação contínua. 
c) Os actos da subtracção devem ser apresentados de forma a permitir que os 
alunos possam chegar às próprias conclusões. 
d) O conceito de subtracção é um dos mais complexos a serem aprendidos. 
 
 
 
 
 
 
II 
 
* Assinale com F, se a afirmação por falsa e com V se for verdadeira, com base no 
texto da parte B do módulo. 
 
a) O conteúdo de Matemática deve ser apresentado gradativamente, de 
acordo com as dificuldades. 
b) O conceito de subtracção deve ser introduzido por meio da comparação 
de duas colecções, com número diferente de elementos, sabendo que 
uma delas deve ser transformada de modo a tornar-se equivalente à 
outra. 
c) A subtracção é comutativa como a adição. 
d) As três ideias da subtracção devem ser trabalhadas simultaneamente. 
e) O aluno deve sempre ser informado se o problema apresentado envolve 
ideia subtractiva, comparativa ou aditiva. 
f) O conteúdo deve ser aprofundado independentemente das experiências 
e das habilidades mentais. 
g) O professor deve utilizar, ao ensinar a subtracção, desde o início, 
situações-problema que envolvam reagrupamento. 
h) É importante que o professor apresente problemas orais para o aluno 
ouvir, interpretar e fazer cálculos mentais. 
i) Os factos fundamentais da subtracção são deduzidos a partir da adição. 
j) Você deve iniciar o estudo da subtracção pelos factos básicos. 
k) Os termos da subtracção são aditivo, subtractivo e diferença. 
l) Podemos afirmar que o conceito de subtracção envolve três ideias 
distintas, subtrair, comparar e completar. 
 
Óptimo! Você está atento. Para já, confira a forma como assinalou. 
 
 a) 
 b) 
 
c) A subtracção não é comutativa 
 
V 
V 
F 
F 
d) As três ideias de subtracção devem ser trabalhadas uma de cada vez. 
 
e) O aluno não deve ser informado de que um problema envolve esta ou 
aquela ideia 
f) O conteúdo deve ser aprofundado à medida que as experiências do aluno 
são ampliadas e as habilidades mentais vão sendo desenvolvidas. 
g) O professor deve utilizar inicialmente situações-problema que não 
envolvam reagrupamento. 
h) .. 
 
i) 
j) . Antes de iniciar o estudo sistematizado sobre os factos básicos da 
subtracção, trabalhe com noções básicas a partir da adição. 
k) 
 
l) 
 
 
III 
 
* Escreva, no espaço indicado, o nome das ideias subtractivas representadas a 
seguir: 
 
 a) _________________________. 
 
 6 – 2 = 4 
 
 b) ___________________________ 
 
 ____________________________ 
 1 + … = 4 
 
 c) ______________________________ 
 
F 
F 
F 
V 
V 
V 
F 
V 
… … … 
 
 
 4 – 1 = 3 
 
Você certamente identificou as ideias conforme segue: 
 
a) Ideia subtractiva 
b) Ideia aditiva 
c) Ideia comparativa 
IV 
 
Para cada uma das três afirmações que vêm de seguida, há uma alternativa que 
completa e lhes dá sentido. Assinale-as. 
 
← Para introduzir o conceito de subtracção, você deve: 
a) Apresentar, em primeiro lugar, o sinal de subtracção. 
b) Oferecer situações em que as crianças relacionem quantidades 
verificando como torná-las iguais. 
c) Iniciar com a escrita aditiva. 
d) Trabalhar com actividades em que o primeiro termo da subtracção seja 
predeterminando. 
 
 
↑ Como relação às situações-problemas, podemos afirmar que 
 
a) Podem ser dramatizadas pelas crianças facilitando a compreensão. 
b) Devem retratar a realidade das crianças. 
c) Podem ser resolvidos em grupo ou individualmente. 
d) Todas as alternativas estão correctas. 
→ Para estimular e desenvolver o raciocínio. 
 
a) Coloque as crianças diante de uma situação-problema em que elas 
tenham que utilizar seus próprios recursos para chegar a conclusão. 
b) Introduza o conceito de subtracção. 
c) Resolva as situações-problema para as crianças. 
d) Nenhuma das alternativas está correcta. 
 
* Estás de parabéns amigo(a), pois você assinalou correctamente. 
 
← b) 
← a) 
 
← a) 
 
 
 
V 
Escreva, ao lado das setas, o nome corresponde ao termo da subtracção. 
 
 18 
 14 
 4 
 
Muito bem. Você respondeu exactamente dizendo que: 
 
 18 aditivo 
 14 subtractivo 
 4 diferença 
 
VI 
 
Complete os espaços em branco, das afirmações que seguem, consultando as 
expressões que estão no rectângulo abaixo, que completou e dão sentido a elas. 
 
 Memorização, não altera, cálculo mental, altera, ábaco, compreensão, quadro valor 
de lugar, adição 
 
 
a) Dentre os recursos utilizados para o ensino das técnicas operatórias da 
operação da subtracção, pode nos destacar o _____________________ e 
o _________________________________. 
b) Os problemas orais devem anteceder os escritos porque facilitam a 
________________________ das operações e evitam a simples 
______________________________________-. 
c) O raciocínio e a rapidez na resolução dos problemas podem, ser 
desenvolvidos por meio do ___________________________________ 
d) A subtracção é a operação inversa da __________________________. 
e) Na subtracção, a ordem das parcelas ______________________a 
diferença 
Amigo(a). Você completou os espaços em branco correctamente. 
a) Dentre os recursos utilizados para o ensino das técnicas operatórias da operação 
da subtracção, podemos destacar o ábaco e o quadro valor de lugar. 
b) Os problemas orais devem anteceder os escritos porque facilitam a compreensão 
das operações e evitam a simples memorização. 
c) O raciocínio e a rapidez na resolução de problemas podem ser desenvolvidos por 
meio do cálculo mental. 
d) A subtracção é a operação inversa da adição. 
e) Na subtracção, a ordemdas parcelas altera a diferença. 
 
VII 
 
Ordene, numerando de 1 a 7, o grau de dificuldade a ser seguido na apresentação 
das operações de subtracção. 
a) Operações com aditivo e subtractivo formados por quatro algarismos, 
sem recurso. 
b) Operações sem recurso com aditivo e subtractivo com dois e depois 
com três algarismos. 
c) Operações com zero na ordem das unidades e dezenas, com recurso. 
d) Operações com recurso na ordem das unidades, na ordem das 
unidades e dezenas. 
e) Operações com zero na ordem das unidades e dezenas, sem recurso. 
f) Operações com aditivo e subtractivo formado por quatro algarismo, com 
recurso. 
g) Operações com zero apenas no aditivo. 
 
* Óptimo! Certamente que você respondeu bem. 
 
a) … 
 
b) – 
 
c) – 
 
d) 
 
e) 
 
f) 
 
g) 
 
* Parabéns. Caro(a)amigo(a) professor(a), você chegou ao fim do estudo do módulo. 
 
Para ter certeza da sua aprendizagem, realize a Auto-Avaliação que segue. Esta é a 
melhor forma de testar a sua aprendizagem. Antes de responder as questões 
colocadas, releia todo o módulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
1 
4 
2 
3 
7 
5 
 
EXERCÍCIOS 
 
I 
 
1. Responde as questões seguintes: 
a) Defina “facto básico” 
b) Com que tipo de material deverá ser tratado o algoritmo da adição? 
c) Conceitue subtracção. 
d) Quais são os termos da subtracção? 
 
II 
 
Assinale V para as afirmações verdadeiras que aparecem de seguida e F para as 
falsas, tendo em conta a adição e a subtracção de números naturais e suas 
propriedade. 
 
 
a) Uma das dificuldades que os alunos apresentam ao resolver os 
problemas é a interpretação do texto 
b) O zero é o elemento neutro da adição e não altera o resultado 
c) Com a propriedade comutativa da adição provamos que a ordem dos 
termos ou parcelas altera a soma. 
d) Nas situações de aprendizagem da operação de adição, você não deve 
se preocupar com uso dos sinais. 
e) Na adição, devemos demonstrar que a inversão da ordem das parcelas 
não altera o resultado. 
f) A subtracção é comutativa como a adição. 
g) O conceito de subtracção deve ser introduzido por meio da comparação 
de duas colecções, com número diferente de elementos, sendo que uma 
delas deve ser transformada de modo a tornar-se equivalente à outra. 
h) As três ideias da subtracção devem ser trabalhadas simultaneamente. 
 
 
III 
 
* Preencha os espaços em branco das frases, utilizando as expressões que estão no 
rectângulo abaixo, para dar-lhes o sentido correcto quanto à adição de números 
naturais. . 
 
a) As dificuldades no ensino do algoritmo da adição devem ser abordadas 
__________________ e sempre acompanhadas. De ________________. 
b) É importante que você acompanhe ________________ os alunos que 
apresentam dificuldades. 
c) Pela resolução de situações-problema, a criança desenvolve o 
___________________ e torna-se mais _________________________. 
d) A adição _____________________________ tem duas parcelas. 
 
 
 
 
IV 
 
* Completa as frases, preenchendo os espaços com as expressões que aparecem no 
rectângulo abaixo, para dar-lhe sentido quanto à subtracção de números naturais. 
 
 
Não se altera, às próprias conclusões, exercitação. 
 
a) Quando aos dois termos da subtracção for adicionado ou subtraído o 
mesmo número, a diferença 
______________________________________. 
b) A automatização da escrita subtractiva é conseguida por meio da 
___________________________ contínua. 
c) Os factos da subtracção devem ser apresentados de forma a permitir que 
os alunos possam chegar __________________________________. 
 
 
V 
Ordene, numerando de 1 e 7, o grau de dificuldade a ser seguido na apresentação 
das operações de subtracção. 
 
a) Operações com aditivo e subtractivo formados por quatro algarismos, 
sem recurso. 
b) Operações sem recurso com aditivo e subtractivo com dois e depois 
com três algarismos. 
c) Operações com zero na ordem das unidades e dezenas, com recurso. 
d) Operações com recurso na ordem das unidades, na ordem das 
unidades e dezenas. 
e) Operações com zero na ordem das unidades e dezenas, sem recurso. 
f) Operações com aditivo e subtractivo formados por quatro algarismos, 
com recurso. 
g) Operações com zero apenas no aditivo. 
 
 
Confira, as suas respostas à Auto-Avaliação. 
 
I 
 
a) Também chamada de tabuada, o facto básico é uma abordagem 
metodológica que tem por finalidade facilitar o trabalho do professor na 
prática dessa tabuada. 
b) O material a ser utilizado para ensinar o algoritmo da adição é o simbólico 
ou seja: quadro valor de lugar, quadro de pregas, ábaco e ficha (cartolinas). 
c) A subtracção é a operação inversa da adição. Na subtracção, devemos 
procurar um número que somado ao que se refira seja igual ao total da 
adição correspondente. 
d) Os termos da subtracção são: Aditivo, subtractivo e diferença. 
 
 
 
 
II 
 
a) ….. 
b) ….. 
 
c) Com a propriedade comutativa da adição provamos que a ordem dos 
termos ou parcelas não altera a soma. 
d) As situações de aprendizagem da adição devem proporcionar a 
compreensão dos sinais. 
e) 
 f) A subtracção não é comutativa. 
 
 g) 
 
h) As três ideias da subtracção devem ser trabalhadas uma de cada vez. 
 
III 
 
a) Gradativamente/exercícios 
b) Individualmente 
c) Raciocínio/independente 
d) Nem sempre 
 
IV 
 
a) Não se altera 
b) Exercitação 
c) Às próprias conclusões. 
 
 
 
 
 
 
V 
V 
F 
F 
F 
V 
F 
V 
V 
 
a) … 
 
b) – 
 
c) – 
 
d) 
 
e) 
 
f) 
 
g) 
 
• Parabéns. Querido(a) professor(a). Se você acertou a Auto-avaliação e está 
seguro da sua aprendizagem, compareça ao núcleo pedagógico para realizar 
após-Avaliação. Caso contrário, volte a reestudar o módulo integralmente. Boa 
sorte. 
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS 
 
Amigo(a), vamos ao longo desta parte preocupar-mo-nos com as técnicas que 
ilustram de uma forma clara como multiplicar números naturais. Será também nossa 
preocupação a procura de caminhos que nos levem às propriedades de que goza a 
multiplicação, sobretudo como abordar estes no ensino básico. 
 
Antes de falarmos propriamente das técnicas é preciso responder a algumas 
questões pontuais tais como: 
 
O que é a multiplicação? 
 
A multiplicação é a soma de parcelas iguais 
6 
1 
4 
2 
3 
7 
5 
 
 
Exemplo: a) 3 + 3 + 3 + 3 = 4 x 3 
 b) a + a + a + a + a = 5a 
 
Como pode notar nos dois exemplos considerados temos 3 a ser adicionado quatro 
vezes e o “a” a ser adicionado cinco vezes. 
 
Pronto. veja está claro que já se recordou efectivamente do conceito de multiplicação, 
sobretudo a sua relação com a adição. 
 
Amigo(a). Não basta recordar o conceito é preciso aprofundar um pouco mais. 
Retomemos os exemplos anteriores: 
 
 3 + 3 + 3 +3 = 4 x 3 a + a +a + a + a = 5 x a 
 Parcelas Parcelas 
número de vezes 
em que foi repetida 
 a parcela 
 
 
 4 x 3 ou 4 . 3 5 x a ou 5 . a 
 
 Factores Factores 
 
 4 . 3 = 12 
 
 Factores Produto 
 
Qual é o nome que recebe cada um dos factores? 
 
 4 . 3 = 12 
 produto 
 Multiplicando 
 Multiplicador 
 
Multiplicador – É o número que indica as vezes que o outro número se repete. 
 
Multiplicando – é o número que se obtém através da multiplicação do multiplicador e 
do multiplicando; é o resultado da multiplicação. 
 
 Na multiplicação de dois números a ordem dos factores não altera o produto ou seja: 
 3 . 5 = 15 ou 5 . 3 = 15 Logo 3 . 5 = 5 . 3 
Amigo professor, veja que na multiplicação de dois números ou mais, a ordem dos 
factores não altera o resultado(produto). Ou seja: 
 
155.3 = ou 153.5 = ; logo 3.55.3 = 
486.4.2 = ou 484.2.6 = logo 4.2.66.4.2 = 
 
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROSNATURAIS 
 
Amigo(a). Você já recordou o conceito de multiplicação bem como a sua relação com 
a adição. Vamos agora encontrar formas de como ensinar este conceito e como criar 
condições para que seja interiorizado pelas crianças. Lembre-se das investigações de 
Piaget vieram mostrar que as crianças, até a idade de 11-12 anos, para chegarem a 
assimilar certas experiências e conhecimentos, necessitam de lidar, concretamente, 
com os objectos e de os manusear. 
 
Você pode aproveitar este conhecimento procedendo por exemplo da seguinte 
maneira. 
 
Como preparação para este tema peça que as crianças tragam pauzinhos ou tampas 
de garrafas de refrescos ou mesmo botões. Se for numa zona onde é facil coleccionar 
por exemplo canhú, castanha, sugira que as crianças tragam, pois poderá tornar a 
sua aula muito interessante. 
 
Tomemos como exemplo um caso em que foi possível coleccionar castanha, 
pauzinhos e tampas. 
 
Peça que façam grupos de castanhas do mesmo tamanho, pauzinhos do mesmo 
tamanho ou tampas de mesma marca. 
Em seguida procure saber quantos elementos tem os pequenos conjuntos. 
Sugira que se faça a partir dos conjuntos formados, outros conjuntos como a seguir. 
 
 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 
 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / conjunto de Pauzinhos 
 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 
 
 A B C D 
 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 
 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 
 
 
 Outros grupos formados 
 
Formados estes conjuntos é preciso procurar explorar os pequenos conjuntos 
formados usando questões como as seguintes: 
• Quantos elementos tem os conjuntos? 
• Quantas vezes foi preciso colocar o pauzinho para formar o conjunto A? 
• Se cada pauzinho do conjunto B representar o número 2 quantas vezes temos 
o número 2 neste conjunto? 
 
Pode também representar graficamente o número de elementos do conjunto A da 
seguinte forma: 
 
 
 
 / / / / + / + / + / + / + / = 6 vezes o pauzinho 
 / / / 
 
Faça esta exploração com os outros conjuntos até que chegue a uma situação em 
que substitui pauzinhos por números ou conjuntos por números. 
 
Exemplo: 
 
 
 / / / = 6 
 / / / 
 
 / / / = 6 3 vezes 6 
 / / / 
 
 / / / = 6 
 / / / 
 
 
 
Você pode proceder da mesma forma com tampas de refrescos, castanhas, etc. 
 
Chegamos à multiplicação mas não nos devemos esquecer da sua relação com a 
adição. 
 
Explore o seguinte facto. Sendo a multiplicação a soma de parcelas iguais pode-se 
mostrar que é mais cómoda a multiplicação do que a adição. 
 
Desta maneira estará a falar da escrita aditiva e da escrita multiplicativa, o que se 
recomenda pois com a compreensão desta relação que se pode construir os factos 
fundamentais da multiplicação, evitando uma simples memorização. 
 
Insista muito neste aspecto até que todos reconheçam que a escrita multiplicativa 
simplifica determinadas escritas aditivas, e por isso, prefiram a escrita multiplicativa. 
 
Distribua, como exercício uma folha, segundo o modelo. 
 
Simbolicamente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Feita a distribuição peça que todos pintem com a cor as escritas que representam o 
mesmo número. Assim, estarão identificando as escritas equivalentes. Você pode, 
então fazer com que descubram que a multiplicativa simplifica a aditiva. Providencie 
papel quadriculado, cola e tesoura. 
 
1ª FASE 
 
Afixe no quadro preto os cartazes com as escritas: 
 
7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 e 10 x 7 
 
Distribua a cada aluno uma folha de papel quadriculado. Peça a cada fila, 
alternadamente, que pinte um muro correspondente a uma das escritas. Quando 
terminarem a tarefa, cada um deve recortar o seu muro, escrever atrás a escrita que 
utilizou e comparar o tamanho dele com o do grupo do colega da fila ao lado. 
 
Se para dois alunos, o tamanho dos muros não for o mesmo, solicite a outros dois, 
para os quais isto não acontecem, que ajudem os colegas a descobrirem o que 
aconteceu. Depois de resolvido o problema, peça que expliquem a turma o que 
concluíram. 
 
2ª FASE 
 7 + 7 + 7 6 . 4 7 . 1 
3 + 3 + 3 + 3 + 3 5 x 5 x 5 
5 x 3 3 x 7 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 
3 x 5 3 x 7 2 x 6 6 + 6 
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 
 
Afixe, no quadro preto, os cartazes com as escritas: 
 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 e 11 x 9 
 
Distribua uma folha de papel quadriculado para cada aluno. Eles devem escolher uma 
das escritas dadas e pintar o muro correspondente a ela na folha quadriculada. O 
procedimento é o mesmo, como da 1ª fase. No fim, faça um levantamento de quantos 
escolheram cada uma das escritas. 
 
Deixe que discutam, para concluir qual delas é a mais fácil. 
 
Na segunda fase, a maioria escolhe a escrita multiplicativa, pois ela evita a contagem 
dos números nove, existentes na escrita aditiva. Aqueles que não apresentarem o tal 
resultado devem ser a ele conduzidos. 
 
Você, após essa etapa, tem condições + e . 
Para evidenciar essa diferença, distribua para cada aluno uma folha com as seguintes 
figuras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 + 5 2 x 5 6 + 3 6 x 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 + 2 3 x 4 4 + 7 4 . 5 
 
O exercício consiste em completar, quando necessário, a quantidade de florinhas 
indicadas escritas dadas. 
 
Peça aos alunos que preparem cartolinas com factos fundamentais como os do 
modelo. Essas cartolinas serão utilizadas muitas vezes em jogos variados. 
 
 
0.1 2.1 1.6 2.8 
2.9 0.2 2.7 1.5 
5.1 1.1 0.3 2.2 
1.7 5.2 2.6 0.4 
5.7 1.2 0.5 5.3 
5.8 0.6 2.3 1.8 
0.7 1.9 5.5 5.6 
2.4 0.8 1.3 2.5 
1.4 5.4 0.9 5.9 
 
Mostrando uma das cartolinas, pergunte: “Qual é o resultado desta multiplicação? 
 
Uma vez que a turma concorde com o resultado, peça que o escrevam no verso. 
Repita o mesmo para as demais cartolinas. 
 
Agora os alunos jogam dois a dois. Um deles pega uma das cartolinas e pergunta ao 
outro o resultado. Vire a cartolina para que quem respondeu possa confirmar. 
 
O jogo com as cartolinas relâmpago deve ser retomado várias vezes mudando a 
dupla. O jogo deve também ser retomado construindo-se novas cartolinas com os 
factos fundamentais onde um dos factores é 3 ou 4. 
 
A sistematização e a fixação dos factos fundamentais só devem ocorrer após a 
compreensão do processo, evitando-se a mera memorização dos factos no estilo da 
tradicional “tabuada”. 
 
Enquanto sistematiza os factos fundamentais mostre o papel dos termos da 
multiplicação propondo várias actividades em que os alunos tenham que identificar o 
multiplicando e o multiplicador. 
 
Apresente um desenho como este 
 
 
 
 
 
Pergunte quantos grupos de 6 estão sendo apresentados. Incentive uma discussão 
para saber que escrita aditiva (usando o sinal +) e que escrita multiplicativa (usando o 
sinal). 
 
Oriente a discussão a fim de que fique claro tratar-se de: 6 + 6 e 2 . 6 
Escreva isto no quadro preto chamando a atenção que são 2 vezes o 6 é por isso que 
temos 6 + 6 
 
Coloque no quadro as representações, seguintes e peça que copiem o também dêem 
as duas maneiras possíveis de representar o total de pontos, sempre verificando 
quantos grupos de uma determinada quantidades estão sendo considerados. 
 
 
 
• • • 
• • • 
• • • 
• • • 
 
 
 
 
 
 • = + + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 • = ++ + + 
 
 
 
 
c) 
 
 
 • = + = 6 
 
d) 
 
 • = 
 
e) 
 
• • • 
• • • • 
• • • 
• • • 
 • • • 
 • • • 
 
a) 
 • • 
 • • 
• • • 
 • 
 • • 
 • • 
 •••• 
•••• •••• •••• 
 
 
b) 
 • 
• • 
• • 
• 
• • 
• • 
• • 
• • 
• • 
• • 
• • • 
• • 
 • 
• • • 
 • 
 
 • = 
 
Na 1ª ou 2ª classe, os alunos devem resolver situações que envolvam as 
propriedades da adição sem, no entanto, identificá-las pelo nome. 
 
As multiplicações por 1 (elemento neutro) e por o (zero) elemento absorvente) ou que 
elemento que anula o produto devem ser exercitadas para que fique claro que todo 
número multiplicado por 1 é igual a ele mesmo, e toda multiplicação por zero é igual a 
zero. 
 
Proponha exercícios individuais do tipo: 
 
a) 4 . 1 = + + + = 2 x 1 
 3 . 1 = ; 5 . 1 = ; 8 . 1 = ; 6 . 1 
 
 5 . 1 = + + + + = ; 9 . 1 = ; 7 . 1 = 
 
No fim, pergunte quanto é: 
 
 1 . 5= ; 1 . 3 ; 1 . 4; 1 . 7 
 1 . 2= ; 1 . 9; 1 . 6; 1 . 3 
 
b) Calcule: 
 2 . 0 = + = 
 3 . 0 == + + = 
 6 . 0 = + + + + + = 
 9 . 0 = + + + + + + + + = 
 4 . 0= + + + = 
 5 . 0= + + + + = 
 7 . 0= + + + + + + = 
 
No fim, pergunte quanto é: 
 0 . 2= 0 . 5= 0 . 4= 
 0 . 3= 0 . 9= 
 0 . 6= 0 . 7= 
 
Observe que, tendo sido a multiplicação apresentada como uma adição de parcelas 
iguais, as escritas (0 . a) ou (1 . a) ficariam sem sentido. 
 
A fim de dar um significado a esses tipos de escritas multiplicativas, aplicamos a 
propriedade comutativa da multiplicação a saber: 
 
 1) Se a . 1 = 1 + 1 + 1 = a, onde é a parcela, logo 1 . a é, 
necessariamente, igual a a 
 
 a . 1 = 1 + 1 + 1 = a 
 a parcelas 
 (quantidade á de parcelas) 
 
 2) Se a . 0 = 0 + 0 + 0 = 0 
 
 a parcelas 
 (quantidade a de parcelas) 
logo: 0 . a é, necessariamente, igual a 0. 
 
A propriedade comutativa pode ser empregue juntamente com a associação das 
escritas aditiva e multiplicativa. 
 
Organize exercícios como os que se seguem para mostrar que a . b e b . a são 
equivalentes. Indique de acordo com o modelo, o número de quadradinhos 
representado em cada escrita 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
 
Ajude as crianças que não chegarem a 3 . 4 = 12 e 4 . 3 = 12, etc. 
A MULTIPLICAÇÃO NAS 2ª E 3ª CLASSE 
 
As relações entre as escritas multiplicativas, as aditivas e as subtractivas permitem 
retomar o estudo dos factos fundamentais e verificar o domínio dos conceitos relativos 
às operações estudadas. Por isso, essas relações devem ser exercidas 
continuamente a fim de garantir a sistematização do aprendido, cabendo a você criar 
as mais diversas situações e proporcionar aos alunos actividades que abrangem 
todas as situações estudadas. 
 
Reelabore a multiplicação como adição de parcelas iguais, propondo alguns 
problemas do tipo: 
1) Uma sala de aula tem 7 filas de carteiras. Em cada fila há 5 carteiras. 
Quantas carteiras há na sala? 
2) Na fachada de um prédio há 6 janelas por andar. Esse prédio tem 15 
andares. Quantas janelas há na sua fachada? 
3) Um pacote de rebuçados tem 20 rebuçados. Quantos rebuçados terei, se 
ganhar 5 pacotes iguais a esse. 
 3 . 4 = 3 . 2 = 4 . 2 = 
 4 . 3 = 2 . 3 = 2 . 4 = 
 
Peça que desenhem cada uma das situações apresentadas antes de as resolverem. 
 
Durante a resoluções, dos problemas, verifique quais os procedimentos utilizados 
para obter cada uma das respostas. 
Para o primeiro problema poderão aparecer as soluções. 
 
 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 ou 7 . 5 = 35 ou 
 
 10 + 10 + 10 + 5 
 20 + 10 + 5 
 + 5 
 30 + 5 
 
 35 
 
No fim, escolha soluções diferentes para um mesmo problema a fim de compará-las e 
rever o conceito de multiplicação e evidenciar o papel de cada um dos termos. 
 
Note que ao resolver os problemas os alunos poderão encontrar as respostas através 
de diferentes procedimentos: Uns poderão utilizar a escrita aditiva, outros a escrita 
multiplicativa ou ainda a contagem. O importante é reconhecer como mais económico 
o procedimento que utiliza a multiplicação. Também vamos ver que não só a adição 
está associada á multiplicação. Mostre aos seus alunos que a subtracção também 
pode ser relacionada a ela. 
 
Sugerimos então, que você começa de um problema. Escreva no quadro preto o 
seguinte problema: 
 “Na aula de Matemática, a professora perguntou ao Uamusse qual era o 
resultado de 8 . 9. O Uamusse não soube responder. Quase no fim da aula ele se 
lembrou que 10.8 é igual a 80. Então, ele descobriu um jeito inteligente de calcular o 
resultado de 8 . 9. Você já sabe que 8 . 9 é igual a 72, mas será que você é capaz de 
mostrar como o Uamusse descobriu isto?” 
 
Peça aos alunos que tentem resolver. Enquanto eles trabalham, acompanha a turma 
observando a resolução e as soluções encontradas. 
 
Chame alguns alunos à frente para explicarem como obtiveram a solução. 
No fim, a turma deverá concluir que a solução é obtida da seguinte maneira: 
 10 . 8 = 80 logo, 8.9 = 80 – 8 = 72 
 
Durante o treino, você pode pedir aos alunos para organizarem, uma “tabuada”, 
utilizando só a subtracção para descobrir o resultado da multiplicação. Veja. 
 
 10 . 7 = 70 2 . 7 = 14 
 9 . 7 = 70 – 7 = 63 1 . 7 = 14 – 7 = 7 
 8 . 7 = 63 – 7 = 56 
 
Use o mesmo procedimento para reforçar a relação da adição com a multiplicação, 
mostrando que somando, pode-se descobrir o resultado da multiplicação. Veja. 
 
 1 . 9 = 9 
 2 . 9 = 9 + 9 = 18 
 3 . 9 = 9 + 9 + 9 = 27 
 
Essas tabuadas são uma forma diferente de apresentação dos factos fundamentais 
da multiplicação. 
 
Os conceitos de dobro e triplo devem ser, agora, representados pela escrita 
multiplicativa. Mostre aos alunos que a relação “é o dobro de” corresponde à escrita 2 
. a e que a relação “é o triplo de”, à escrita 3 . a. 
 
Para apresentar a relação “dobro de” como multiplicação por 2, conte uma história 
para a turma. 
 
“Perto da casa da Esperança há uma padaria e uma clínica dentária. No parque de 
estacionamento da padaria há lugar para 8 ligeiros. No parque do estacionamento da 
clínica dentária há o dobro do número de vagas”. 
 
Solicite aos alunos que façam um desenho para mostrar quantos ligeiros podem 
estacionar em frente à padaria, e em frente à clínica dentária, apresentando, em 
seguida, as escritas correspondentes a cada um deles. 
 
Discuta os diferentes desenhos e escritas propostas. Chame a atenção a turma para 
o facto de que o dobro de 8 é igual a 2 . 8, ou seja, 16. 
 
Continue diversificando exercícios individuais e em grupo. 
a) Complete: 
O dobro de 4 é ____________ 
O dobro de 6 é ____________ 
O dobro de 9 é ____________ 
b) Ligue cada número com o seu dobro: 
4 30 
6 22 
2 50 
11 4 
25 12 
100 16 
15 8 
 8 200 
c) Complete correctamente as sequências: 
 
5 101 2 4 8 
 
3 6 8 
 
11 22 
 
25 50 
 
Para trabalhar com o conceito de “triplo de” relacionado à multiplicação por 3, 
descreva para os alunos situações-problemas variadas deste tipo. Observe. 
 
“ A Delucha está brincando de fazer pulseiras e colares. Em cada pulseira ela coloca 
cinco pontas coloridas para fazer um colar, ela amarra três pulseiras. Quantas pontas 
ela precisa para fazer um colar?”. 
 
Proponha aos alunos que encontrem uma maneira de representar a resposta. Em 
seguida, solicite a alguns alunos que mostrem no quadro as representações 
encontradas. 
 
Possíveis representações: 
 
 
 
 
 
 
 5 + 5 + 5 3 . 5 
 
Explique que o número de pontas de um colar é o triplo do número de pontas de uma 
pulseira e que, para fazer um colar, é preciso três vezes o número de pontas de uma 
pulseira. 
 
Isto pode ser representado por: 
 
 5 + 5 5 ou 3 . 5 
 
Explore diferentes situações onde apareça o cálculo do triplo. 
 
Preocupe-se com as dificuldades da multiplicação, apresentado-as passo a passo, 
começando com 1 algarismo no multiplicador e sem reagrupamentos ou reserva. 
 
Experimente esta sequência, após certificar-se do domínio dos factos fundamentais. 
 
1º Caso: 12 25 63 46 
 2 3 5 4 
 
2º Caso: multiplicação sem reservar com 2 algarismos no multiplicando e 1 no 
multiplicador. 
 
 25 12 63 46 
 3 ; 2 ; 5 ; x4 
 
3º Caso: multiplicação sem reservar com zero no fim do multiplicando e 1 algarismo 
no multiplicador. 
 
 20 50 150 700 
 2 ; 3 ; 4 ; 5 
 
Observação: Se você preferir ensinar as operações pela decomposição do 
multiplicando. Este passo é suprimido. 
 
34 30 + 4 
 2 . 2 
 68 ; 60 + 8 
 
132 100 + 30 + 2 
 3 ; . 3 
 396 300 + 90 + 6 
 
 396 
 
4º Caso: multiplicação sem reserva com zero na ordem das dezenas do multiplicando 
e 1 algarismo no multiplicador. 
 
 
 302 203 104 
 ; 2 ; 3 ; 4 
 
5º Caso: multiplicação por 1 algarismo com reserva na ordem das dezenas 
 
 24 45 54 58 32 
 6 ; 3 ; 4 ; 5 6 
 
Observação: Mostre, no quadro valor de lugar, que a reservar pode ser 2,3 ou mais 
unidades. 
 
6º Caso: multiplicação por 1 algarismo com reserva na ordem das centenas. 
 
 121 153 464 253 
 x 8 ; x 2 ; x 2 ; x 3 
 
7º Caso: multiplicação por 1 algarismo, com reserva na ordem das dezenas e 
centenas. 
 425 654 252 273 
 x 5 ; x3 ; x 4 ; x 6 
 
8º Caso: multiplicação com reserva, por algarismo, com zero na ordem das unidades. 
 
 240 180 260 140 
 x 3 ; x 6 ; x 5 ; x 7 
 
O cartaz de pregas, o quadro valor de lugar, o ábaco de papel e fichas (cartolinas) 
são valiosos auxiliares para o desenvolvimento de experiências que permitam aos 
alunos realizar as multiplicações com compreensão. 
 
 
 
 
 
A MULTIPLICAÇÃO NA 4ª E 5ªCLASSE 
 
Recorde com a turma que na multiplicação os números que são multiplicados são 
chamados, factores e o resultado, produto. 
 
Demonstre, para que os alunos concluam, que a ordem dos factores não altera o 
resultado, (produto). A alteração se dá apenas, quanto à posição de multiplicando e 
do multiplicador. 
 
7 . 3 
multiplicando, 1º factor 
multiplicador ou 2º factor 
 
 3 . 7 
multiplicando, 1º factor 
multiplicador ou 2º factor 
 
Recorde que o multiplicador indica quantas vezes deve-se o multiplicando e que a 
operação é indicada pelos símbolos: 
• (ponto) ou x (xis) 
 
3 . 5 ou 5 . 3 
 
vezes vezes 
 
Proponha a seguinte actividade: 
 
Amigo(a) professor(a), já foram analisadas várias questões ligadas à multiplicação. 
Vamos agora antes de fazer o resumo mostrar como outros povos no passado 
realizaram a multiplicação. 
 
 
 
 
MÉTODO DE GELOSIA 
 
Amigo(a), este método foi assim denominado pois usa uma grelha que em Italiano se 
chama gelosia. Vamos em breve apresentar este método tornando como exemplo o 
produto de 423 por 12. 
 
 
 4 2 3 
 1 1º Construímos a grelha respectiva 
escrevendo o multiplicador e o 
multiplicando nas posições indicadas 
 2 
 
 4 2 3 
 1 2º Traçam-se as diagonais de cada 
quadradinho 
 2 
 
 4 2 3 
 0 
 4 
0 
 2 
0 
 3 
1 3º Multiplica-se o multiplicador pelo 
número representado pelo algarismo 
das dezenas do multiplicando 2 
 
 4 2 3 
 0 
 4 
0 
 2 
0 
 6 
1 4º Faz-se o mesmo para o número 
representado pelo algarismo das 
unidades 0 
 8 
0 
 4 
0 
 6 
2 
 
 4 2 3 
0 
 
0 
 4 
0 
 2 
0 
 3 
1 5º Adicionou-se os números de cada 
diagonal, começando pela direita. 
 
6º. O produto obtêm-se escrevendo os 
 
5 
0 
 8 
0 
 4 
0 
 6 
2 
Algarismos pela ordem indicada pela sete. 
 423 x 12 = 5076 
 0 7 6 
 
PROCESSO DOS CAMPONESES RUSSOS 
 
Este foi um dos processos primitivos de efectuar a multiplicação. Mas você só poderá 
ensinar aos seus alunos depois de eles saberem multiplicar e dividir por 2. Tomemos 
como exemplo o seguinte: 
 
 17 x 25 = ? 
 
1º Coloca-se o menor número à esquerda. 
Divide-se o número da esquerda por 2 
(desprezando o resto) e multiplica-se o da 
direita por 2. 
Efectuam-se os cálculos indicados 
anteriormente as vezes necessários para 
se obter 1 na coluna da esquerda. 
 17 25 
 
 
 
 1 400 
2º Riscam-se as linhas correspondentes aos 
números pares da coluna da esquerda. 
 425 
 
3º Adicionam-se os números que restam na 
coluna da direita. 
 
Logo 17 x 25 = 425 
 
 
 
Pronto. Você já tem mais dois métodos para multiplicar mas como pode ver não são 
métodos que servem para uma situação de introdução, podem ser úteis para a 
consolidação tanto da multiplicação como da divisão. 
 
Separe a turma em grupos de 4 alunos. Distribua a cada aluno uma folha de papel 
quadriculado. Peça aos alunos que, usando esse material, calculem o resultado de 4 . 
12, discutindo, dentro do grupo, as maneiras de fazer isso. 
 
Enquanto os grupos trabalham, acompanha a turma, dando orientações àqueles que 
apresentarem dificuldades. Feito isso, peça a um dos grupos que apresente à turma o 
seu trabalho. Os demais grupos poderão ir colocando outros tipos de soluções 
encontradas. 
 
Provavelmente, eles terão feito um “muro” com 4 linhas e 12 colunas (ou vice-versa). 
 
 
 4 
 
 
 
 02 
 
Para calcular o total desses “quadradinhos”, os alunos poderão ter usado vários tipos 
de agrupamentos como, por exemplo: 
 
 1212 
 
 5 5 2 6 6 
 
 
4 4 
 
 
 
4 • 12 = (4 • 5) + ( 4 • 5) + (4 • 2) = 4 • 12 = (4 • 6) + ( 4 • 6) = 
 = 20 + 20 + 8 = 48 = 24 + 24 = 48 
 
 
 
 
 
 
 
Alguma equipa poderá ter feito: 
 
 10 2 
 
 
4 
 
 
 
Obs.: Se ninguém tiver feito tal agrupamento, você poderá sugeri-lo. 
 
Comente com os alunos que, como a multiplicação por 10 é sempre muito simples, foi 
aproveitada essa forma de agrupar os “quadradinhos”, para “armar a conta”, do 
seguinte modo: 
 10 + 2 10 + 2 
 x 4 ou x 4 
 40 + 8 8 
 + 40 
 48 
 
Em seguida, apresente outras multiplicações (onde não aparece o “vai um”) que os 
alunos poderão calcular, usando o quadriculado, se for necessário. 
 
a) 53 . 2 
50 + 3 ou 50 + 3 
 . 2 . 2 
100 + 6 6 
 100 
 106 106 
 
b) 132 . 3 
 
 
100 + 30 + 2 100 + 30 + 2 
 . 3 ou . 3 
300 + 90 + 6 6 
 90 
 + 300 
 396 396 
 
 
c) 202 . 4 
200 + 2 ou 200 + 2 
 . 4 . 4 
800 + 8 + 8 
 800 
808 808 
 
Trabalhe, também, com ábaco. Mostre que ao operá-lo, os números são decompostos 
em suas diversas ordens de unidades, dezenas, centenas, etc. Tomemos, por 
exemplo: 4 e 12. 
 
 Primeiro é representado o número 12. 
 
Centena Dezena Unidade 
 
 
 
 
Depois, 4 . 12 = 48 
 
Centena Dezena Unidade 
 
 
 
 
Chegando finalmente a 
D U 
1 
• 
2 
4 
4 8 
 
É importante que os alunos notem que estão usando a propriedade distributiva da 
multiplicação em relação à adição, não importa a técnica que tenham adoptado. 
 
 A . (b + c) = a . b + a . c 
 
Passe à multiplicação com transporte, deixando que os alunos tentem resolver 
sozinhos situações como estas, através de trocas e agrupamentos. 
 
4.13 
 
C D U 
• 1 3 
5 
 5 
+1 
ℵ5 
 5 
 6 5 
 
 132 . 4 
 
C D U 
1 
x 
3 2 
4 
4 
1 
12 8 
5 2 8 
 
 
 C D 
U 
 C D 
U 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 . 13 
 
10 + 3 10 + 3 
 . 4 . 4 
40 + 12 12 
 + 40 
 52 52 
 
 
152 . 3 
 
100 + 50 + 2 100 + 50 + 2 
 . 3 ou . 3 
300 + 150 + 6 6 
 150 
 300 
 456 456 
 
 
Proponha actividades variadas para que os alunos treinem e aperfeiçoem a técnica 
operatória. 
 
Como na adição, apresente gradativamente as dificuldades: 
- multiplicação sem transporte com 2 e depois 3 algarismos no multiplicando 
e no multiplicador; 
- multiplicação com zero intercalado; 
- multiplicação com transporte; 
- multiplicação com 2 algarismos no multiplicador, primeiro sem transporte e 
depois com transporte. 
 
Para multiplicar dois números com mais de uma ordem, pode considerá-los 
decompostos em suas diferentes ordens e depois adicionar os resultados de acordo 
com as regras do sistema decimal. Por exemplo: 
 
28 . 35 28 = 2 dezenas + 8 unidades = 20 + 8 
 35 = 3 dezenas + 5 unidades = 30 + 5 
 
1º maneira de resolução 
 
 20 + 8 - multiplica-se as parcelas 
 30 + 5 do multiplicador por todas as parcelas do multiplicador: 
 100 + 40 
 240 1) 5 . 8 = 40 
 + 600 5 . 20 = 100 
 940 + 40 = 980 30 . 8 = 240 
 30 . 20 = 600 
2ª maneira de resolução 
 
Adicionou-se as respectivas ordens. 
 
Na prática, acontece o seguinte: 
 
1) 5 . 8 = 40 como 40 são 4 dezenas e o (zero) unidades, sendo o produto da 
ordem das unidades, coloca-se o zero e a adiciona 4 à próxima multiplicação. 
 
2) 5 . 2 = 10 10 adicionando a 4 dá 14, o que completa a 1ª ordem 140. 
 
3) Agora, passamos a colocar os resultados a partir da 2ª ordem do número até agora 
obtido (140), porque sabemos que se deve manter unidades e dezenas abaixo de 
dezena e assim por diante. 
 
4) 3 . 8 = 24 são 4 unidades mais 2 dezenas; coloca-se o 4 debaixo de 4 (do 
total de 140, da 1ª ordem) e ao próximo resultado adiciona-se uma dezena. 
 
5) 3 . 2 = 6 6 adicionado a 1 é igual a 7, que deu 84 como resultado da 2ª 
ordem. 
6) Como não há mais números a multiplicar, adicionamos os resultados parciais, 
obtendo o resultado final que é 980, ou seja: 
 28 
 . 35 
 140 
 + 84 
 980 
 
Vários recursos podem ser utilizados, para que a multiplicação seja realizada com 
compreensão antes de chegar à forma final. 
 
Não se esqueça que propor exercícios em que um dos factores é uma potência ou 
múltiplo de 10. Continue retomando, também as propriedades da multiplicação que 
devem ser relembradas sempre que houver oportunidade. 
 
A propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição já foi vista pelos 
alunos. Sem que fosse citado o seu nome: 
a . (b + c) = a . b + a . c. 
 
Partindo desses exercícios, passe a apresentar as propriedades da multiplicação. 
Tome em consideração o que foi dito para a adição. 
 
Use as cartolinas para demonstrar a propriedade comutativa. Como já vimos, comutar 
é trocar, então, a ordem dos factores não altera o resultado, (produto). 
 
 
 
 
 
 2 . 4 
 4 . 2 
 
A propriedade associativa consiste, como o próprio nome diz, em agrupar os factores 
dois a dois, sem alterar o resultado. 
 
 
• 
• 
•
• 
• 
•
• 
•
• 
•
• 
•
• 
•
 3 . 2 . 4 
 
 6 . 4 = 24 
Primeiro multiplica-se 3 . 2, o resultado é 6, multiplica o factor 4 chegando-se ao 
produto 24. 
 
Na prática, os números dois a dois podem ser separados por parênteses: 
 
 (3 . 2) . 4 = 2 . (3 . 4) 
 
Você pode escolher situações-problemas para que o aluno empregue esta 
propriedade. Veja. 
 
Em 3 caixas grandes há 4 caixas pequenas, cada uma com 20 rebuçados. Quantos 
rebuçados têm as caixas? 
 
• 4 . 3 = 12 caixas pequenas de rebuçados 
• 12 . 20 = 240 rebuçados 
• 12 caixas cada uma com 20 rebuçados = 240 ou 4 . (3 . 20) = 4 . 60 = 240. 
 
O elemento neutro é aquele que, operado com qualquer outro, não altera o resultado. 
Na multiplicação é o número 1 (um). 
 
 5 . 1 = 5 5 . 1 = 1 . 5 
 1 . 5 = 5 
 
Apresente diferentes actividades para os alunos perceberem que todo número 
multiplicado por 1 é igual ao próprio número. Para explicar a propriedade do 
fechamento proceda como na adição. Faça com queos alunos observem que o 
produto de dois números naturais é também um número natural. 
 
A propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição é aquela em que 
multiplicar uma soma de várias parcelas por um número é o mesmo que multiplicar 
cada uma das parcelas por este número, adicionando os resultados. 
 3 . (2 + 5) = 3 . 2 + 3 . 5 
 = 6 + 15 3 . (2 + 5) = 3 . 7 = 21 
 
 = 21 
Para a propriedade distributiva em relação à subtracção o procedimento é o mesmo. 
Demonstre que o resultado não se altera se for feita a multiplicação do aditivo e 
subtractivo pelo número indicado, subtraindo então os dois produtos. 
 
 2 . (5 - 3) = 2 . 5 - 2 . 3 2 . (5 – 3) = 2 . 2 
 = 10 - 6 = 4 
 
 = 4 
 
Ao demonstrar as propriedades, sugira uma actividade de forma que, ao realizá-la, o 
aluno descubra, com a sua orientação, a propriedade que está sendo vista. 
 
Caro(a) professor(a), chegamos ao final da parte A do módulo. Agora, veja um 
resumo daquilo que acabou de ler e estudar conforme segue. 
• É importante que os alunos apreendam designar um número por meio de uma 
escrita multiplicativa, assim como associar essa escrita à escrita correspondente. 
• A partir daí os alunos vão facilmente perceber que a multiplicação simplifica a 
adição. 
• Os factos fundamentais da adição são apresentados, inicialmente, como resultado 
da transformação de adições em que as parcelas são iguais. 
• Embora na 1ª classe os alunos aplicam as propriedades comutativas e 
associativa, o fazem sem que ainda reconheçam esses termos. 
• Nas 2ª e 3ª classe, o tratamento da multiplicação se inicia desde o momento em 
que o aluno efectua adições cujas parcelas sejam representadas pelos mesmos 
algarismos ou quando expressa a contagem em diferentes sequências. 
• Você deve trabalhar inicialmente com o argumento de conjuntos equivalentes e a 
separação em outros conjuntos também equivalentes, criando situações para que 
os alunos percebam a quantidade de elementos de um determinado conjunto e o 
número de vezes que essa quantidade é repetida. 
• Quando estiver suficientemente compreendido o processo de formação desses 
grupos, os alunos deverão verbalizar estas situações, explorando todas as 
possibilidades. 
• Após o domínio desse processo, deve-se apresentar a operação de multiplicação, 
com um algarismo no multiplicador. É muito importante que você se preocupe com 
o grau de dificuldade dessas operações. Primeiro, o aluno deve dominar as 
operações que não envolvem reagrupamento. Em seguida, apresente operações 
que peçam reagrupamento das unidades para a dezena e dezena, para a centena. 
• Para rever as escritas multiplicativas e aditivas equivalentes, proponha situações-
problema variadas. Lembre-se também de associar a multiplicação com a 
subtracção e as noções de dobro e triplo à multiplicação por 2 e 3 
respectivamente. 
• Todas as actividades devem ser realizadas primeiro com material concreto e 
depois, com o material simbólico. 
• Ao retomar a multiplicação, nas 4ª e 5ª classes, faça uma revisão da terminologia, 
explore a técnica operatória e amplie o conhecimento das propriedades, 
trabalhando com a representação em quadrinhos e com o ábaco. 
• Da mesma forma que na adição, as dificuldades devem ser apresentadas 
gradualmente: multiplicação sem transporte com 2 e depois com 3 algarismos no 
multiplicando e um no multiplicador; multiplicação com zero intercalado; 
multiplicação com transporte; multiplicação com 2 algarismos no multiplicador, 
primeiro sem transporte e depois com transporte. 
 
* Está de parabéns amiguinho! Claro que sim. Você está indo muito bem. Vamos, 
então, realizar alguns exercícios para fixar melhor os conteúdos. 
I . Complete os espaços em branco das frases que aparecem a seguir para dar-
lhes sentido, usando as palavras que estão no rectângulo. 
 
 
 
Antes, iguais, factores, fixação, produto, zero, depois, multiplicador, multiplicando 
um, associação. 
 
a) Os alunos reconhecem a propriedade comutativa pela _________________ da 
escrita aditiva e multiplicativa. 
b) Qualquer número multiplicado por zero é sempre ______________________. 
c) A sistematização e ____________________________ dos factores fundamentais 
da multiplicação devem acontecer _____________________ do processo ser bem 
compreendido. 
d) Os números que formam a operação são chamados ___________________ e o 
resultado, ____________________. 
e) A multiplicação é uma adição de parcelas ____________________________. 
 
No fim confira como ficaram as frases, depois de preenchidas os espaços em branco. 
 
a) Os alunos reconhecem a propriedade comutativa pela associação da escrita 
aditiva e multiplicativa. 
b) Qualquer número multiplicado por zero é sempre zero. 
c) A sistematização e fixação dos factos fundamentais da multiplicação deve 
acontecer depois do processo ser bem compreendido. 
d) A multiplicação é uma adição de parcelas iguais. 
e) Os números que formam a operação são chamados factores e o resultado, 
produto. 
 
II . Faça o que se pede. 
 
ℵ Indique, na forma de multiplicação, as adições. 
a) 2 + 2 +2 +2 + 2 + 2 + 2 = 
b) y + y + y + y = 
 
ℑ Escreva todos os pares de números naturais cujo produto é 20. 
 
ℜ Indique o multiplicando e o multiplicador do exemplo a seguir: 
 9 . 4 = 36 
a) multiplicando _______________________ 
b) multiplicador ________________________ 
 
Parabéns pelas suas respostas. De certeza foram estas. 
 ℵ a) 7 . 2 
 b) 4 . y 
 
 ℑ 1 . 20 = 2 . 10 = 4 . 5 = 20 
 
 ℜ a) 9 
 b) 4 
 
III. Assinale com F se a afirmação for falsa e com V se for verdadeira, com relação à 
multiplicação dos números naturais e suas propriedades. 
 
a) O aluno deve iniciar a aprendizagem da multiplicação, associando-a à 
adição de parcelas iguais. 
b) Deve ficar bem claro para os alunos que a escrita aditiva é mais 
simplificada que a multiplicativa. 
c) Primeiramente, os alunos devem realizar as operações de multiplicação 
que exigem o reagrupamento das unidades para a dezena e dezena, 
para centena. 
d) Os alunos devem aprender a resolver uma mesma situação-problema 
de diferentes maneiras. 
e) A organização de uma tabuada é uma actividade que pode ser feita para 
que os alunos visualizem que há vários totais iguais. 
 
Certo: Você assinalou acertadamente. 
 
 a) 
 
V 
F 
c) Deve ficar bem claro para os alunos que a escrita multiplicativa 
simplifica a aditiva. 
 
 
c) Primeiramente os alunos devem realizar as operações que não exijam 
reagrupamento. 
 d) 
 
e) 
 
IV. Preencha os espaços em branco das frases que estão a seguir, usando as 
expressões que estão no rectângulo abaixo indicado. 
 
Zero, associativa, de fechamento, de anulamento de uma mesma maneira, um, 
comutativa de diferentes maneiras, distributiva. 
 
a) A multiplicação é ______________________, isto é, a ordem dos factores altera o 
produto. 
b) A multiplicação é ___________________, ou seja, podemos multiplicar dois ou 
mais factores que são associados ______________________. 
c) Quando, para se multiplicar um número por uma soma, multiplicamos esse 
número pelas parcelas da soma e juntamos os resultados, estamos usando a 
propriedade ___________________________ da multiplicação. 
d) O elemento neutro da multiplicação é o número __________________________. 
e) O factor que anula o produto na multiplicação é o número __________________. 
 
Veja, para já, como deve ter preenchido os espaços em branco das frases. 
 
a) A multiplicação é comutativa, isto é, a ordem dos factores não altera o 
resultado. (produto). 
b) A multiplicação é associativa, ou seja, podemos multiplicar dois ou mais 
factores que são associados de diferentes maneiras. 
F 
V 
V 
c) Quando, para multiplicar um número por uma soma, multiplicamos esse 
número pelas parcelas da somae juntamos os resultados, estamos usando 
a propriedade distributiva da multiplicação. 
d) O elemento neutro da multiplicação é o número um. 
e) O factor que anula o produto na multiplicação é o número zero. 
V. Escreva, no espaço indicado, o nome da propriedade aplicada. 
 
a) 1235 . 0 
b) 2 . 8 
c) 1 . 345 = 345 . 1 
d) (4 . 7) . 8 = 4 . (7 . 8) 
e) 3 . (6 + 4) = (3 . 6) + (3 . 4) 
 
* Óptimo! De certeza você escreveu as seguintes propriedades. 
 
a) anulamento 
b) fechamento 
c) elemento neutro 
d) associativa 
e) distributiva 
 
VI. Responda as seguintes perguntas: 
 
a) O que acontece se você multiplicar um número por 1? 
b) Qual o resultado da multiplicação de um número por zero? 
 
* Você certamente respondeu bem dizendo que: 
 
a) Todo número multiplicado por 1 é igual a si próprio, pois 1 é o elemento 
neutro da multiplicação. 
b) O resultado da multiplicação de um número por zero é sempre zero, pois 
ele anula o resultado (produto). 
 
Parabéns? Óptimo. Você está indo muito bem. Se tem dúvidas, volte a ler e estudar o 
texto e realizar os exercícios. Se não as tem, prossiga com o estudo do módulo. 
 
 
 
 
PARTE B 
 
A DIVISÃO DOS NÚMEROS NATURAIS E SUAS PROPRIEDADES 
 
A divisão nas 1ª e 2ª Classes 
 
A introdução do conceito de metade deve ser feita com a utilização de material 
concreto que permita uma divisão o mais exacto possível. O aluno deverá concluir 
que a metade, ou seja, um meio de alguma coisa é exactamente uma parte das duas 
de igual tamanho em que foi dividido o inteiro. 
 
Utilize material como folhas de papel, cartolina, feltro e tecido, recortados sob a forma 
de figuras geométricas planas (círculo, quadrado, rectângulo, triângulo equilátero ou 
isósceles). É mais conveniente que seja assim, pois os alunos podem medir as partes 
antes determinar o meio, ou medi-las para verificar se realmente cada uma delas 
representa a metade da figura. 
 
Para a introdução deste conceito, pode-se criar uma situação-problema como esta. 
“Tenho uma laranja apenas, para dar a duas pessoas, mas nenhuma pode 
comer mais que a outra. O que devo fazer?” 
 
Torne a situação bastante real, usando material concreto. Você pode, por exemplo, 
separar os alunos dois a dois distribuindo para cada par uma folha recortada em 
forma de círculo, dizendo que essa folha representa a laranja. Então, peça que 
resolvam o problema. Observe o que vão fazer para encontrar a solução. Pergunte o 
que fizeram e como fizeram. Finalmente, deixe que descrevam a parte que têm nas 
mãos, em relação ao inteiro. Por certo, eles apresentarão o conceito de meio. 
 
Use actividades variadas, como as relacionadas a seguir, para orientar os seus 
alunos na aquisição dos vários conceitos relacionados com a noção de meio. 
 
Lembre-se que é necessário caminhar com cautela, trabalhando uma e etapa cada 
vez. 
 
 1ª etapa: 
• Use situações de classe onde seja necessária a divisão de objectos em 
duas partes. 
• Use a expressão “pedaço” ou “parte” quando, depois de feita a divisão, 
se constatar que os pedaços não são do mesmo tamanho. 
• Oriente a turma a generalização. 
 
Podemos dividir um objecto em partes menores 
 
2ª etapa: 
 
• Tente dividir folhas de papel, ou material semelhante de modo que haja duas 
partes do mesmo tamanho. 
 
Observação: restringir o uso da expressão “partes iguais”, pois os tamanhos é que 
são iguais; uma parte só é igual a si mesmo. 
 
• Sugira ou reforce o uso da terminologia adequada:: meios ou metades. 
• Corte figuras ao meio. 
 
 
 
 
 
Todo objecto dividido em duas partes do mesmo tamanho está em metades 
 
3ª etapa: 
 
• Tome as figuras cortadas ao meio e recomponha as figuras originais. 
• Use 2,4,6,8 metades para formar respectivamente 1,2,3,4 inteiros. 
• Observe que, com 3 metades, podemos formar 1 inteiro e mais uma metade. 
2 metades formam novamente inteiro. 
 
4ª etapa 
 
• Recorte várias figuras de papel. 
• Dobre-as ao meio, assim. 
 
 
 
 
 
• Verifique que o pedaço dobrado corresponde à metade da figura inteira. 
• Tome vários rectângulos (ou vários quadrados) e dobre-os de diferentes maneiras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Observe as 2 metades, de aspectos diferentes, obtidas em cada figura. 
• Apresente, misturadas, as diversas metades de inteiros do mesmo tamanho, para 
recompô-los, unindo as metades duas a duas. 
 
Há várias maneiras de achar a metade de um inteiro. 
 
 
 
5ª etapa: 
 
• Apresente discos (ou quadrados, ou triângulos) de tamanhos diferentes. 
 
 
 
 
• Compare-os quantos ao tamanho, colocando-os em ordem e numerando-os. 
 
 
 
 
 
• Dobre-os ao meio: 
 
 
 
 1 
 
• Compare o tamanho das metades assim obtidas.. 
• Verifique que a metade menor corresponde ao disco menor, e assim por diante. 
• Daí, conclua que: 
 
O tamanho da metade depende do tamanho do inteiro. 
 
 
6ª etapa: 
 
• Apresente figuras de formas diferentes. 
• Compare metades obtidos de diferentes inteiros. 
 
 
1 
2 
3 
4 
2 
3 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Verifique que: 
 
A forma da metade depende da forma inteira. 
 
 
7ª etapa 
 
As actividades referentes a esta etapa devem estar relacionadas com o estudo das 
medidas: 
 
• Procura metades de objectos e passe-as: 
- metade de um queijo; 
- metade de um bolo; 
• procura metades de objectos e meça-as: 
- metade do comprimento duma sala 
- metade de uma fita métrica 
• Conclua que: 
 
Há várias maneiras de se achar a metade de um objecto; 
as vezes é necessário pesá-lo ou medi-lo, para achar a 
metade. 
 
Quando a turma apresentar bastante segurança no que se refere à metade do inteiro, 
pode ser iniciado o trabalho com a metade de colecções, que levará ao conhecimento 
da metade de números. 
Proponha outras actividades. Peça também, sugestões para os alunos. Lembre-se 
ainda que o planelógrafo é outro recurso que pode ser usado nessas actividades. 
 
O conceito de quarto deve ser ensinado com o mesmo material usado para a 
introdução do conceito de metade. Efectuam de divisão exacta, o aluno pode verificar 
que um quarto, por exemplo, é exactamente uma parte de um objecto que foi dividido 
em 4 partes de mesmo tamanho. 
 
Uma actividade que pode ser desenvolvida, junto com o conceito de quarto, é a 
divisão de quadrado ou rectângulo em 4 partes de mesmo tamanho, embora de 
maneiras diferentes. 
 
Folhas de forma quadradas e tamanhos diferentes, deverão também ser divididas em 
quartos e os tamanhos dos quartos das diversas folhas deverão ser comparados. 
 
Essas actividades deverão ser realizados da mesma maneira como foram realizadas 
as dos meios. Antes de trabalhar com quartos, você deve sondar as experiências que 
o aluno já possui sobre meios. 
 
Desenvolvendo actividades como as sugeridas, por certo os alunos chegarão a 
conclusões como o fizeram com os meios. 
 
• O tamanho do quarto depende do tamanho do inteiro. 
• A forma do quarto depende da maneira pela qual eles foram divididos. 
• Os quartos de um mesmo inteiro podem ter por mas diferentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4
1
 
4
1
 
 
 
 
 
4
1
 
4
1
 
 
 
 
A exploração de meios e quartos e de suas medidas deverá ser feita com a utilização 
de material concreto. Os próprios alunos deverão verificar, através de medições, que 
um litro tem, 2 meios litros ou 4 quartos de litros, ou que 2 litros tem 4 meios litros, por 
exemplo. Todas essas descobertas feitas por eles deverão ser comprovadas e 
registadas. 
 
A divisão nas 2ª e 3ª classes 
 
No estudo da divisão, é necessário que os alunos percebam que a divisão tem 
relação directa com a subtracção e inversa com a multiplicação. Em outras palavras, 
é importante que os alunos compreendam que a divisão apresenta as ideias de 
repartir e a de subtracções sucessivas.Apresente uma situação-problema para verificar como está a turma, em relação à 
divisão. Dê uma quantidade de palitinhos aos alunos, pedindo que dividam entre 
colegas de forma a receberem quantidades iguais. Cinco para cada um, por exemplo. 
Se a quantidade de objectos não for um múltiplo de 5, não vai haver divisão exacta. 
 
Faça uma sondagem com a turma para verificar como aplicam a divisão à soluções 
de um problema. 
 
Proponha a seguinte situação-problema: 
“A Dalva tinha 16 pedrinhas e queria formar grupos de 4 pedrinhas.” 
Quantos grupos formou? 
 
Você pode desenhar as pedrinhas no quadro preto e aguardar sugestões. Ouça, 
comente e depois diga que a Dalva resolveu fazer assim 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16 – 4 = 12 8 – 4 = 4 
 12 – 4 = 8 4 – 4 = 0 
 ou 
 
 16 12 8 4 
 4 4 4 4 
 12 8 4 0 
 
Observe que o 4 é subtraído, 4 vezes, sucessivamente, de 16. Então, em 16, há 4 
grupos de 4. Portanto, Dalva formou 4 grupos. 
 
Esta é a divisão por subtracções sucessivas. 
 
Aproveite a ideia das subtracções sucessivas e oriente seus alunos para que 
generalizem o significado da divisão, ou seja, que dados dois números quaisquer a e 
b, sendo b ≠0, é possível determinar q e r, de forma que: 
 a = q . b + r, desde que o 0 r < b. em outras palavras, tomando q e r 
como quociente e resto respectivamente, podemos dizer: 
 
“Dados dois números quaisquer a eb (a, o dividendo e b, o divisor) e b diferente de 0 
(zero) seja igual ou maior que zero e menor que o divisor de tal forma que, 
multiplicando o divisor b pelo quociente q e adicionando com o resto r, obtêm-se o 
divisor a”. 
 
A actividade que vamos sugerir parte de subtracções sucessivas de 10 unidades. 
 
Mostre, no quadro preto, uma sequência de subtracções como esta: 
 
 
 
 
Pergunte aos alunos se perceberam como você montou a sequência e peça que 
expliquem o que você fez. 
42 10 32 10 22 10 12 10 2 
 
Uma vez explicada a série de subtracções, sugira uma escrita diferente. 
 
 
 
E, agora, peça que expliquem a relação entre as escritas. 
 
Os alunos deverão concluir que nas duas situações foram retirados 4 grupos de 10 do 
número 42 e que sobraram 2, não sendo portanto possível formar um outro grupo de 
10. 
 
Possivelmente, comentarão que o que está sendo feito é a divisão de 42 por 10, onde 
o quociente é 4 e o resto é 2. Caso esse comentário não surja espontaneamente, 
provoque você mesmo uma discussão nesse sentido. 
 
Após a discussão e a compreensão dos dois esquemas, escreva no quadro preto: 
 
 42 = 4 . 10 + 2 (1) 
 
Pergunte se essa igualdade é verdadeira e o que ela tem a ver com os esquemas 
feitos. 
 
Continue provocando a turma para que compreendam a representação de um 
número por meio da escrita. 
 
 q . b + r 
 
Peça aos alunos que completam igualdades do tipo: 
 
 75 = 20 + (2) 
 
oriente-os para usarem as sequências anteriores. 
 
 
42 (4 . 10) ou 40 2 
 
Em seguida, coloque em discussão a questão: 
“É possível para qualquer par de números diferentes de zero escrever uma igualdade 
como (1) e (2)?” 
 
Para responderem a essa pergunta, peça que façam diversas experiências com 
diferentes pares de números. 
 
Num dado momento, proponha você mesmo pares de números que poderão causar 
alguma dificuldade. Por exemplo: 
a) 35 e 32 (onde é possível formar apenas um grupo) 
35 = 1 . 32 + 3 
b) 46 e 23 (onde o resto é igual a zero): 46 = 2 . 23 + 0 
 
c) 325 + 325 (onde os números apresentados são iguais): 
325 = 1.325 + 0 
 
d) 85 e 123 (onde o primeiro é menor que o segundo) : 85 = 0 .123 + 85 
 
Após o estudo dessas diferentes situações, os alunos concluirão que: dados dois 
números, em que o primeiro é maior ou igual ao segundo, sempre é possível escrever 
igualdades do tipo das igualdades (1) e (2). 
 
Isto feito, proponha que discutam situações em que um dos números apresentados é 
zero. Por exemplo: 0 e 18. 
 
Seria possível completarmos esta igualdade tornando-a verdadeira? 
 
 0 = ………………. . 18 + …=0 
Após a discussão, tentativas, etc. deverão concluir que a única solução é completar a 
igualdade com zeros: 
 0 = 0 . 18 = 0. 
 
Faça o mesmo. Situação, convide os alunos a completar a igualdade: 
 25 = … . 0 + … 
 
A seguir, peça que venham ao quadro preto, um a um para registarem a solução 
encontrada. Provavelmente as sugestões serão variadas como, por exemplo: 
 
 25 = 3 . 0 + 25 
 25 = 8 . 0 +25 
 25 = 1 . 0 + 25 
 25 = 0 . 0 25 
 25 = 32 . 0 + 25 
 
Faça uma discussão das sugestões apresentadas levando-os a concluir que, quando 
o segundo número for zero, não é possível determinar o quociente da divisão. 
 
Você deve dar aos seus alunos condições para que reconheçam que o resto de uma 
divisão, depende da situação, pode ser considerado ou não. 
 
Conte uma situação como a que se segue. 
“ A turma da 4ª classe foi fazer um piquenique. Numa machamba. Quando se 
encontravam perto, o autocarro avariou. A solução foi fazerem o resto do percurso 
numa carrinha. Eram 38 alunos. A carrinha só transportava 6 de cada vez. 
Descubram quantas viagens foram feitas para transportar todos os alunos”. 
 
Para encontrar a solução, alguns alunos podem fazer a divisão em grupos. 
 
 a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E obterão a resposta: 6 viagens com 6 pessoas e uma com 2 pessoas. 
 
Outras podem fazer subtracções sucessivas. 
 
 b) 38 32 26 20 14 8 
 6 6 6 6 6 6 
 32; 26; 20; 14; 8; 2 
 
e encontrarão a mesma resposta. Outros, ainda, chegarão a: 
 
 c) 
 
 
 
Haverá, talvez, quem faça assim 
d) 
38 6 
 - 6 1 
 32 
 -6 1 
 20 
 - 6 1 
 14 
 -6 1 
 8 
 - 6 1 
 (2) 6 
e poderá surgir a divisão: 
 
 
e) 38 6 
 - 36 6 
 2 
38 
2 
(6 . 6) ou 36 
 
Proponha aos alunos que analisem, em grupos, cada uma dessas soluções, 
procurando descobrir o raciocínio que os colegas fizeram em cada uma. 
 
Faça uma discussão com a turma toda a respeito das soluções que estão no quadro 
preto. 
 
Análise com eles cada uma dessas soluções levando-os a perceber o facto de que: 
 
- Em a, b e d, as pessoas realizaram a divisão através de sucessivas 
subtracções. 
- As subtracções sucessivas foram acontecendo até ao momento em que a 
quantidade restante ficou inferior a 6. 
- O esquema utilizado em c é uma simplificação do esquema b. 
- A técnica utilizada em e) é uma simplificação da técnica de d. 
- A qualquer uma dessas soluções podemos associar a igualdade: 
38 = 6 . 6 + 2. 
- Se o número de pessoas a serem transportadas fosse muito grande, por 
exemplo, 425 pessoas, teríamos muito trabalho para resolver o problema da 
maneira como foi resolvido em a, b e d. 
- Em todas as soluções, foram encontrados 6 grupos de 6, no entanto, o total 
de viagens a serem realizadas é 7, porque as 2 pessoas restantes também 
precisam de ser transportadas. 
 
• Proponha, então, uma situação-problema a resposta a ser dada não deve 
considerar o resto da divisão. Por exemplo: 
“ Com 38 ovos, quantas caixas de meia dúzia podemos formar?” 
 
peça que resolvam o problema. A seguir, faça uma discussão das soluções 
encontradas comparando com as soluções é resposta dada no problema anterior. 
 
 
 
 
A DIVISÃO NA 4ª E 5ª CLASSES 
 
Depois de cada etapa vencida, convêm lembrar que o reinicio parte sempre de uma 
revisão do que foi aprendido anteriormente. 
 
Ao voltar ao estudo da divisão, uma das suas preocupações deve ser a de mostrar 
aos alunos que a divisão de um número natural nem sempre tem como resultado um 
número natural.Daí existirem dois tipos de divisão: 
 
a) Divisão exacta; 
b) Divisão aproximada ou não exacta. 
 
Deixe que concluam que a divisão exacta consiste em verificar por quanto devemos 
multiplicar o divisor para obter o dividendo, e só será verdade se o dividendo contiver 
exactamente o divisor, como em: 
 36 : 9 = 4⇔36 = 9 . 4 
36 dividido por 9 é igual a 4. Então, na divisão o resto é sempre igual a zero, 
significando que o número é dividido em parcelas iguais. 
 
Já na divisão aproximada ou não-exacta, o resto é sempre diferente de zero, isto 
significa que o número não é dividido em parcelas iguais. 
 
E, representa-se: 
 
Dividendo = divisor. Quociente + resto (sendo o divisor diferente a zero). 
 
Oriente os alunos até sistematizarem a técnica operatória. Use o processo longo que 
facilita o desenvolvimento da operação, tem a vantagem de ser perfeitamente 
compreendido pelos alunos até mesmo sem que você precise explicar casos como o 
zero intercalado. 
 
Seja 156 : 13 
 
 
 
Dividendo 156 13 Divisor 
 
 - 130 12 Quociente 
 26 
 26 
 0 Resto 
 
- Da esquerda para a direita, separa-se o dividendo de modo a formar o 
menor número possível de se dividir pelo divisor, no caso, o número 15. 
- Procura-se um número que multiplicando pelo divisor dê mais próximo ou 
igual a 15. 
Para descobrir o número, pode ser organizada uma lista de múltiplos do divisor. 
 
 13 . 1 = 13 ; 13 . 2 = 26 
 
Nesta divisão o número é 1 porque 13 . 1 = 13. 
 
- O produto 13 é subtraído do número que foi dividido. Em seguida, ao 
primeiro resto obtido acrescenta-se a primeira ordem que sobrou no 
dividendo e, assim sucessivamente, enquanto for possível usar o processo. 
- Encontramos o resto zero, logo a divisão é exacta. 
- Tomando agora a operação. 
 
1 . 346 23 
 - 115 58 
0 196 
 184 
 012 
- Da esquerda para a direita divide-se 134 por 23. 
 
23 . 1 = 2 
23 . 2 = 46 
23 . 3 = 69 
23 . 4 = 92 
23 . 5 = 115 + próximo 
23 . 6 = 138 maior que 134 
 
- Acrescenta-se (abaixa-se) a próxima ordem. 
- Divide-se 196 por 23 e obtemos 12 de resto. 
- Divisão aproximada. 
 
Esta divisão também pode ser feita sem registar as subtracções. 
 
 1.346 23 
0 196 58 
 012 
Faça os seus alunos identificarem a presença da multiplicação e da subtracção na 
técnica operatória da divisão, pedindo que adivinhem os números que faltam em 
operações como estas. 
 
 a) 3 32 b) 87 
 - 16 - 73 
 2 1 3 0 2 6 8 
 
 
 0 2 1 
 
Obs.: Cada deve ser substituída por 1 algarismo. 
 
Cabe a você decidir se é tempo ou não, de introduzir as representações fraccionária e 
decimal. Às vezes na 4ª classe e as vezes na 5ª classe, e até mais tarde, pois este é 
um trabalho que exige muita calma e cuidado, devido à dificuldade que os alunos 
podem ter. 
 
Peça aos alunos que preparem tiras de papel ou cartolina, de um mesmo tamanho, e 
pintar cada uma com as cores: encarnada, verde-clara, preta, amarela, verde-escuro 
castanha, azul e laranja, permanecendo uma delas com a cor branca. Feito isto, 
recontem-nas. 
 
Proponha que trabalhem com a tirar encarnada. Diga que você quer dividi-lo em 2 
partes iguais. Peça que imaginem diferentes maneiras de fazê-lo, desenhando no 
quadro preto as soluções. 
 
 
 
 
 1ª solução 2ª solução 3ª solução 
 
Oriente, então, que para facilitar as discussões todos deverão dividir a tira/encarnada 
da mesma maneira. Sugira a 1ª solução. Pergunte, então, qual das escritas 
representa o que foi feito. 
 
 1 + 2 2 + 1 
 1 . 2 2 . 1 
 1 : 2 2 : 1 
 1 – 2 2 – 1 
 
A escrita escolhida deve ser 1: 2 (uma tira, dividida em partes). Pergunte o que cada 
uma das partes é da tira inteira e a seguir, coloque questão: 
 
- Como representar cada uma dessas metades? 
- Verifique as sugestões dadas. Introduz então, a escrita 
2
1
. 
 
A tarefa, agora, é dividir as tiras restantes num determinado número de partes e 
representar cada uma delas através de uma escrita do tipo ....
4
1
;
3
1
;
2
1
n
1






 Portanto, 
os alunos podem dobrar, recortar medir com régua, etc. 
 
 
 Tira preta: 4 partes 
 Tira amarela : 5 partes 
 Tira castanha : 8 partes 
 Tira laranja : 10 partes 
 Tira verde clara : 3 partes 
 Tira verde escuro: 6 partes 
 Tira azul : 9 partes. 
 
Muitas outras experiências, usando essas tiras ou não, precisam ser usadas para que 
todos entendam que a escrita 
n
1
 representa o quociente de 1 por n, sendo n um 
número natural diferente de zero. 
 
Converse com os alunos sobre a variedade de acções que podem ser representadas 
por 
n
1
. Sugira algumas como estas: 
 
a) colocar 18 rebuçados em 3 saquinhos de modo que todos fiquem com 
quantidades iguais. 
b) Distribuir igualmente 15 lápis entre 3 alunos. 
c) Repartir um tablete de chocolate entre 2 meninos. 
d) Dividir 15 bolinhos entre Maria, Marta, Elsa, e Angélica. 
e) Distribuir 13 livros em 3 prateleiras de modo que nas 3 fique a mesma 
quantidade de livros. 
f) Dividir um bolo entre 3 pessoas, de forma que fiquem com pedaços iguais. 
 
Discuta as situações com a turma e deixe que as resolva, usando lápis, canetas, 
folhas de papel, etc. para representá-las. Depois, solicito que apresentem as soluções 
no caderno ou no quadro preto. Os alunos podem ter feito a representação através de 
um desenho ou uma escrita numérica. 
 
Após verificar que todos terminaram a tarefa, discuta as soluções apresentadas. 
 
Os alunos devem chegar a perceber que: 
 * Há situações em que a divisão é exacta; todos os objectos são distribuídos e não 
sobra nenhum. 
 * Há situações em que a divisão é feita e ainda sobram objectos; 
* Há situações em que os objectos restantes não podem ser subdividas (caso 
das canetas e dos livros.); 
 * Há situações em que os objectos restantes podem ser subdivididos (caso 
do tablete de chocolate; 
 * Explore mais detalhadamente as situações c, e, g e h, verificando possíveis 
soluções nos diferentes casos. 
 
 
 
 
Na situação e), cada tablete pode ser dividido ao meio dando-se três metades a cada 
aluno. 
 
 
 
 
Ou apenas um dos tabletes é dividido ao meio dando-se a cada aluno um tablete 
inteiro e uma metade. 
 
 
 
 
Podem ter aparecido representações através de escritas numéricas ou mesmo 
através do algoritmo da divisão: 
 



=
=÷
exacta foi divisão a que em casos
63:18
35:15
aSituação
bSituação
 
 
 
 
 


 .subdividdo ser pode não resto o que em casos
415dSituação
313fSituação
 
 
 
As situações (c,e,g e h) devem ter sido representadas apenas por esquemas gráficos. 
A tarefa agora é representar as acções realizadas por meio de escritas numéricas. 
Retome cada uma delas propondo a turma a tarefas indicada. Poderão aparecer 
representações, tais como: 
 
Situação c 1 : 2 = 
2
1
 
Situação d 
 
 
2
1
.3
2
1
2
1
2
1
2:3 =++= 
Situação e 
 
2
1
3
2
1
2
1
2
1
23 •=++=+ 
 .etc
2
1
123 +=÷ 
Situação g 
 
 
4
1
3
4
1
4
1
4
1
43 •=++=+ 
 
 
4
1
2
1
43 +=+ 
 
 
 
1 
Prepare, com os alunos, cartolinas ou círculos que representem meios, terços, 
quartos, quintos etc. para serem manuseados em experiências que conduzam à 
construção de famílias de equivalência de 
1
1
dee
5
1
;
4
1
;
3
1
;
2
1
 
 
Tos os círculos ou cartolinas, se for o caso, devem ser do mesmo tamanho; assim, 
qualquer que seja a fracção, todas as partes unidas, os inteiros terão o mesmo 
tamanho. 
 
Cada cartolina ou círculo deve ser colorido e com a mesma cor. Assim, as metades 
podem ser azuis; os terços amarelos; os quartos, encarnados e assim por diante com 
as cartolinas ou círculos prontos, peça que escrevam em cada parte o que ela 
representa em relaçãoà cartolina ou ao círculo e que descubram as semelhanças e 
as diferenças entre elas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em cada grupo, alguns alunos podem trabalhar com as tiras e outras com aos discos. 
A proposta é: descobrir possíveis maneiras de cobrir a peça encarnada, usando 
peças da mesma cor. 
 
Para registar as diferentes possibilidades, os alunos não podem usar palavras nem 
desenhos. Percorra os grupos, observando como resolvem o problema. É provável, 
que apareçam registos como, por exemplo: 
4
1
 + 
4
1
 ou 2 . 
4
1
 ou 
4
2
 para representar duas pretas. 
2
1
 
2
1
 2
1
 
2
1
 
4
1
 
4
1
 
4
1
 
4
1
 
4
1
 
4
1
 
4
1
 
4
1
 
 
.escurasverdestrêsrrepresentapara
6
3
ou
6
1
.3ou
6
1
6
1
6
1
−++ 
 
castanhas.quatrorepesentarpara
8
4
ou
8
1
.4ou
8
1
8
1
8
1
++ 
 
s.alaranjada5rrepresentapara
10
5
ou
10
1
.5ou
10
1
10
1
10
1
10
1
+++ 
 
Comente que há, portanto, diferentes maneiras de se representar a metade. 
 
 
10
5
8
4
6
3
4
2
===
2
1
 
Analise com eles o significado de cada uma dessas escritas, a partir do que fizeram 
para descobrir a peça encarnada. 
 
Pergunto, então, se conseguem imaginar outras escritas que representem a metade, 
ampliando a relação acima. 
 
18
9
16
8
12
6
== 
Aproveite para fixar os termos numerador e denominador, isto facilitará a 
comunicação dominada a nomenclatura apresentada, discutes então, se servia 
possível encontrar uma fracção com denominador menor que 2 e que também 
representasse a metade. 
 
Repita a actividade com terços, quartos, quintos, etc. (use as cores para facilitar a 
identificação). 
 
O objectivo aqui é o de facilitar a percepção de que cada número racional admite mais 
de uma representação. 
 
As fracções que representa um mesmo número racional são ditas equivalentes e 
formam o que chamamos de “família de equivalência”. É importante observar que 
qualquer elemento da família é representante da mesma. Desse modo, podemos não 
referir à família de equivalência de 
6
3
;
4
2
; etc. 
Amigo(a) professor(a), já foram analisadas várias questões ligadas à multiplicação. 
Vamos agora antes de fazer o resumo mostrar como outros povos no passado 
realizaram a multiplicação. 
 
 
MÉTODO DE GELOSIA 
 
Amigo(a), este método foi assim denominado pois usa uma grelha que em Italiano se 
chama gelosia. Vamos em breve apresentar este método tornando como exemplo o 
produto de 423 por 12. 
 4 2 3 
 1 
 2 
 
1º Construímos a grelha respectiva 
escrevendo o multiplicador e o 
multiplicando nas posições 
indicadas. 
 
 
 
 
 4 2 3 
 1 
 2 
 
2º Traçam-se as diagonais dos 
rectângulos 
 
 4 2 3 
O 
 4 
O 
 2 
0 
 3 
 1 
 
 
 2 
 
3º Multiplica-se o multiplicador pelo 
número representado pelo algarismo 
das dezenas do multiplicando. 
 
 
 4 2 3 
O 
 4 
O 
 2 
0 
 3 
 1 
0 
 8 
0 
 4 
0 
 6 
 2 
 
4º Faz-se o mesmo para o número 
representado pelo algarismo das 
unidades 
 
 
 4 2 3 
5º Adicionam-se os números de cada 
diagonal, começando pela direita. 
 
0 
0 
 4 
0 
 2 
0 
 3 
 1 
 
5 
0 
 8 
0 
 4 
0 
 6 
 2 6º O produto obtêm-se escrevendo 
os algarismos pela ordem indicada 
pela seta. 423 x 12 = 5076 0 7 6 
 
 
 
PROCESSO DOS CAMPONESES RUSSOS 
 
Este foi um dos processos primitivos de efectuar a multiplicação. Mas você só poderá 
ensinar aos seus alunos depois de eles saberem multiplicar e dividir por 2. Tomemos 
como exemplo o seguinte: 
16 x 25 =? 
 
1º Coloca-se o menor número à esquerda 
Divide-se o número da esquerda por 2 
(desprezando o resto). E multiplica-se o 
da direita por 2. 
 
Efectuam-se os cálculos indicados 
anteriormente as vezes necessários para 
se obter 1 na coluna da esquerda. 
 
17 25 
 
8 50 
 
5 100 
 
2 200 
1 400 
 
 
 
2º Riscou-se as linhas correspondentes 
aos números pares da coluna da 
esquerda 
 
 3º Adicionou-se os números que restam na 
coluna da direita 
17 25 
8 50 
4 100 
2 200 
1 400 
425 
 
 Logo 17 x 25 = 425 
 
Pronto. Você já tem mais dois métodos para multiplicar mas como pode ver não são 
métodos que servem para uma situação de introdução, podem ser úteis para a 
consolidação tanto da multiplicação como da divisão. 
 
Naturalmente, não há necessidade de introduzir para o aluno expressões com 
“fracções equivalentes” ou “família de equivalência”, também, neste tema, pode-se 
verificar que a “ classificação” está presente. 
 
Faça, ainda, a comparação das fracções com a unidade. 
 
Divida a turma em 4 grupos e dê a cada um 7 folhas de revista. 
 
Escreva, no quadro preto, as três situações-problema que se seguem, para que sejam 
representadas, através de desenhos e de escritas numéricas. 
a) Dividindo-se 3 folhas para 2 alunos, quantas folhas recebe cada aluno? 
b) Dividindo-se 2 folhas para 2 alunos, quantas folhas recebe cada aluno? 
c) Dividindo-se 2 folhas para 3 alunos, quantas folhas recebe cada aluno? 
 
Após algum tempo, chame alguns alunos para explicarem como resolveram e 
representaram cada uma das situações. 
 
Situação a: 
 
 
 
Cada aluno recebeu 1 + 
2
1
 (uma folha e meia) 
 
 
 
Cada aluno recebeu 3 . 
2
1
 (três metades de folha) conte, então, que 1 + 
3
1
 são 
escritas equivalentes e que poderiam ser substituídas por uma escrita mais simples e 
também equivalente a eles: 
2
3
. Discuta um pouco mais o significado de cada uma 
dessas escritas. 
 
Quando escrevemos 
2
3
, estamos dizendo que, ao dividirmos três objectos entre duas 
pessoas, cada pessoa recebe três metades desses objectos, ou seja, 3. 
2
1
 como 
duas dessas metades formam um inteiro, cada pessoa recebe um objecto inteiro e 
uma metade, ou seja, 1 + 
2
1
. Assim: 3 : 2 = 3 x 
2
1
 = 1 + 
2
1
 
 
Situação b: 
 
 Cada aluno recebe 1 folha. 
 
Assim 2 : 2 = 
2
2
 
 
Situação c: 
 
 Cada aluno recebe (dois terços) 
 2 : 3 =
3
2
 de folhas. 
 
Coloque no quadro preto o seguinte quadro. Solicite aos alunos que o copiem nos 
seus cadernos, destacando as alternativas correctas. Eles devem ter por base o que 
foi feito na divisão de folhas. 
 
 
 
 
 1
2
2
1
2
3
1
2
3
>>> 
 
 1
2
2
1
2
3
1
3
2
<<< 
 
 1
2
2
1
2
3
1
3
2
=== 
 
Discuta as alternativas assinaladas e as conclusões mais gerais que podem ser 
tiradas da comparação entre o numerador e o denominador de fracções. 
 
- Explique que o numerador sempre indica o número de partes que são 
tomadas e o denominador indica o número de partes em que foi dividido 
cada inteiro. numerador
rdenominado
→
→3
2
 
- O inteiro foi dividido em 3 partes e apenas duas foram tomadas. 
 
Quando os seus alunos conseguirem representar as fracções com segurança, 
encaminhe-os para que descubram uma forma de compararem números racionais 
representados por fracções do mesmo numerador ou do mesmo denominador. 
 
Coloque, no quadro, dois grupos de fracções: 1º grupo, fracções com mesmo 
denominador, 2º grupo, fracções com o mesmo numerador. 
 
4
1
 
4
2
 
4
3
 
4
4
 
 
1
4
 
2
4
 
3
4
 
4
4
 
 
Peça para os alunos observarem os dois grupos e dizerem o que observaram. 
 
Eis o quadro 
Depois de constatarem que no 1º grupo todas as fracções têm o mesmo denominadore no 2º grupo os numeradores são iguais, peça para que representem, graficamente, 
o 1º grupo. 
 
Os alunos podem fazer desenhos, usar as cartolinas, ou discos (círculos) com as 
fracções. 
 
4
1
 
4
3
 
 
4
2
 
4
4
 
 
em seguida, devem observar as fracções identificando se estão em ordem observar 
as fracções identificando se estão em ordem crescente ou decrescente. Oriente-os 
para que possam concluir que fracções que têm o mesmo denominador, a maior é 
aquela que tiver maior numerador. 
 
Use o mesmo procedimento para o 2º grupo de fracções. Depois de todos fazerem a 
representação gráfica, comente com eles que, num grupo de fracções com o mesmo 
numerador, a fracção maior é aquela que tem o menor denominador, porque o inteiro 
foi dividido em menos partes. Mostre que um pedaço de um chocolate dividido ao 
meio é maior do que um pedaço do mesmo chocolate que foi dividido em 4 partes. 
 
Proponha diversas actividades em que seja usado o conceito de número racional e 
equivalência de fracções na resolução de situações – problema. 
 
Bem compreendida esta parte, introduza a representação decimal de um número 
racional. Os alunos devem reconhecer que 
10
1
 é o mesmo que 0,1 (um décimo). 
Peça aos alunos que representem no caderno, graficamente, as fracções. 
 
10
10
,...,
10
3
,
10
2
,
10
1
 
Ajude-os a completar esta actividade. 
 
10
1
 
 
 
 10
2
 
 
 __ 
 
 
 
10
4
 
 
 
 10
5
 
 
 
 10
6
 
 
 __ 
 
 
 
 
 10
8
 
 
 __ 
 
 
 
 10
10
 
 
Conte como se faz a leitura dessas fracções e diga então que eles irão conhecer uma 
outra representação dessas fracções de denominador dez. Para isso, convide-os a 
preencher um quadro como este. 
 
 10
____________
____________
÷ 
 
 m c d u m c d u 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
========
10
2
;
10
20
;
10
200
;
10
2.000
10
1
;
10
10
;
10
100
;
10
1.000
 
Comente a possibilidade de eliminar os zeros à esquerda. Naturalmente, a dificuldade 
vai surgir, no registo da última divisão solicitada (1:10). Diga que é possível, e as 
vezes necessário, dividir a unidade em 10 partes (chame atenção para o que foi feito 
anteriormente) e que a décima parte da unidade já foi representada por eles através 
da escrita 
10
1
. 
Discuta as seguintes questões: 
 
O que acontece ao se efectuar a primeira divisão? (O número 1 passou a ocupar a 
casa das centenas e a centena é a décima parte de milhar.) 
 
- E ao dividir 100 por 10? (…) 
- E ao dividir 10 por 10 (…) 
Diga, então, que para representar a divisão de 1 por 10, o 1 passa representar a 
divisão de 1 por 10, o 1 passa a ocupar a direita da casa das unidades, e, para indicar 
que tal resultado não contêm unidades, utiliza-se, nesta casa, o zero: uma convenção 
1 0 0 0 
 
 
0 2 0 0 
que se adopta é o uso da Vírgula para separar a casa das unidades da casa das 
décimas. Pergunte da possibilidade ou não de se dispensar o zero à esquerda da 
vírgula. 
 m… c d u 
1 O O O O O O 1 
 
O 1 O O O O O O 1 
 
O O 1 O 
 
Assim 0,1
10
1
= 
 
 
Solicite aos alunos que acabem de completar o quadro (concluindo que 2,0
10
2
= ) e 
depois voltem à primeira representação escrevendo, ao lado de cada escrita, na 
forma fraccionária, a correspondente na forma decimal. 
 
Todos esses procedimentos devem ser demonstrados no quadro de valor de lugar 
ou no cartaz de pregas. 
Centenas Dezenas Unidades Décimo 
 O, 1 
 
O,1 
Um décimo 
 
O, 
2 
 
0,2 
Dois décimos 
 
O, 
7 
 
0,7 
Sete décimos 
 
 
Na representação decimal, a vírgula separa a parte inteira (à esquerda) e a decimal (à 
direita). Assim, a parte decimal é sempre menor do que o inteiro. 
Use figuras demarcadas em papel quadriculado e com legendas para ampliar a 
habilidade de representação de um número decimal. Estes são modelas. Você pode 
criar muitos outros. 
 
 
 x x x x x 
 x x x x x 
 x x x x x 
 x x x x x 
 x x x x x 
 7 7 7 7 7 
 / / / / / 
 / / / / / 
 / / / / / 
 / / / / / 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LEGENDA 
 = 5,0
100
50
= 
 = 25,0
100
25
= 
 
 = 25,0
100
25
= 
FIGURA 1 
 
Mostre a figura 1 aos alunos e solicite aos grupos que completem a legenda referente 
à figura 2, representando, com escrita numérica as diferentes partes de cada um 
desses quadrados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X 
/ 
 
 
 
 
 
 
 
 x 7 7 7 7 
 x / / / / 
 x / / / / 
 x / / / / 
 x / / / 
 
 
 
 
 
LEGENDA 
 
FIGURA 2 
 
Dê um tempo para a realização da tarefa e depois passe a analisar com os grupos as 
soluções apresentadas. Possivelmente, vão aparecer escritas diferentes. Insista para 
que concluam como segue: 
 
 = 
100
75
=
4
3
 
100
5
 
100
19
 
100
1
 
 
Diga-lhes então que já conhecem a representação 0,1 para 
10
1
 e que há uma 
representação desse tipo para 
100
1
. Como será? 
 
Deixe que os alunos dêem as suas opiniões e conduza-os à representação 0,01. 
 
 
 
 
X 
/ 
0 x / 
 c d u 
 1 
 : 10 
 c d u décimo 
 O, 1 
 
 : 10 c d u décimo 
 O, O 1 centésimo 
 
* Bem caro(a) professor(a), de certeza você está a perceber bem os conteúdos. No 
entanto, para facilitar a sua assimilação, veja o quadro-resumo a seguir. 
 
• É fundamental que os alunos entendam que a divisão apresenta as ideias de 
repartir e a de subtracções sucessivas. 
• Em primeiro lugar, deve-se sondar a turma por meio de situações-problema, para 
verificar a situação dos alunos em relação à divisão. Em seguida, apresente 
actividade para que os alunos possam exercitar-se aplicando os mecanismos da 
técnica operatória. Certifique-se, por meio destas, se já sabem associar a técnica 
operatória a uma distribuição equitativa. Caso não seja possível dividir em 
quantidades iguais, observe-se sobrou o menor número de objectos. 
• Feito isso, deve-se introduzir a divisão por subtracções sucessivas orientando os 
alunos para que generalizem o significado da divisão, isto é dados dois números 
quaisquer a e b, sendo b ≠≠≠≠ O, é possível determinar q e r, de forma que 
 a = Q . b + r, desde que o br<≤ . 
• Em princípio, sugira actividades com subtracções sucessivas de 10 unidades. 
Depois, insista no treino da escrita q . b + r, propondo situações com diferentes 
pares de números (onde é possível formar apenas um grupo; onde o resto é igual 
a zero; onde os números apresentados são iguais; onde o primeiro é menor que o 
segundo). Após este treino, introduza situações em que um dos números 
apresentados é zero. 
• Há dois tipos de divisão: divisão exacta e divisão aproximada. Na divisão exacta 
o resto é sempre igual a zero; E na divisão aproximada, o resto é sempre diferente 
de zero. 
• É importante que você destaque a multiplicação e a subtracção na técnica 
operatória da divisão e sistematize a técnicaoperatória da divisão, desenvolvendo 
o raciocínio do aluno por meio de situações variadas e motivadoras. 
• Os números racionais são introduzidos na 4ª e 5ª classes, tanto na representação 
fraccionária quanto na decimal. 
• Devem ser abordados o conceito de número racional e a equivalência de fracções, 
sempre através de experiências com material concreto. 
• Parte do estudo das noções de metade, um terço e um quarto, que os alunos já 
possuem associadas à divisão de grandezas contínuas. 
• O conceito de número fraccionário deve permitir ao aluno: 
- associar o símbolo 
b
a
 ao quociente de dois números naturais a e b, sendo 
b ≠ O e. 
- Verificar que o resultado da divisão de p por q( sendo q ≤≤≤≤ p ≠≠≠≠ O) é o 
mesmo que dividir a unidade em q partes iguais e tomar p dessas unidades 
em partes. 
• Os números decimais são compreendidos a partir da estrutura do nosso sistema 
de numeração e do conceito de fracção e a sua escrita mostra uma outra forma de 
representação do número racional. 
• Formule situações bastante diversificadas para fixar esses conceitos. 
 
* Para já, vamos exercitar sobre os conteúdos da parte B. 
 
É a melhor maneira de reforçar a sua aprendizagem. 
 
I. Assinale com F se a afirmação por falsa e com V se por verdadeira, em relação 
à divisão de números naturais e suas propriedades: 
a) O conceito de quarto deve ser trabalhado de modo diferente que o de 
metade. 
b) A divisão apresenta apenas a ideia de repartir. 
c) Os alunos deverão perceber que a forma do meio e do quarto depende 
do objecto dividido. 
d) A exploração de meios e quartos e das suas medidas deverá ser feita 
com a utilização de material concreto. 
e) A divisão em quarto só pode ser feita de uma única maneira. 
f) A escrita a : b = c ⇔⇔⇔⇔ b . c = a nos indica que a multiplicação e divisão 
são operações inversas 
g) Na 4ª e 5ª classe, você deve, de início fazer uma sondagem, para 
verificar a situação dos alunos em relação à divisão. 
h) Na escrita q . b + r, quando o 2º número é zero, não podemos 
determinar o quociente da divisão. 
i) Ao mencionarmos que em 9 há 3 grupos de 3, estamos usando a ideia 
de repartir. 
j) Na divisão exacta, o resto é sempre diferente de zero. 
 
 
* Muito bem. Você conhece bem a divisão de números naturais e por isso assinalou 
certo. Agora confira. 
 
a) Os conceitos de meio e de quarto devem ser trabalhados do mesmo 
modo. 
b) A divisão apresenta duas ideias: a de repartir e a de subtracções 
sucessivas. 
c) 
 
d) 
 
e) Há várias maneiras de se dividir um inteiro em quartos. 
 
f) .. 
 
g) … 
 
h) …. 
 
F 
F 
V 
V 
V 
V 
V 
F 
i) Ao mencionarmos que em 9 há 3 grupos de 3, estamos usando a ideia 
de subtracções sucessivas. 
 
j) É exactamente o contrário, na divisão exacta, o resto é sempre zero. 
 
 
II. Numere a 2ª coluna de acordo com a 1ª, identificando as afirmações 
correspondentes: 
1) Divisão exacta a) O número é dividido em 
 parcelas iguais 
 b) O resto é sempre igual a zero 
2) Divisão aproximada 
c) O número é dividido em partes em 
partes iguais 
d) O resto é sempre diferente de zero. 
 
Parabéns amiguinho você numerou acertadamente, pois domina os termos 
correctamente. Verifique. 
 a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
III. Preencha os espaços em branco das frases para dar-lhes sentido. 
a) O tamanho do meio e do quarto depende do tamanho do _____________. 
b) O aluno deve perceber que um quarto é exactamente uma parte de um 
objecto que foi dividido em 4 partes de ____________________________. 
c) Os alunos poderão comprovar a divisão em meios e quartos por meio de 
___________________. 
 
 
F 
F 
2 
1 
1 
2 
* Muito bem, de certeza você preencheu os espaços conforme segue: 
 
a) O tamanho do meio e do quarto depende do tamanho do inteiro. 
b) O aluno deve perceber que um quarto é exactamente uma parte de um 
objecto que foi dividido em 4 partes de um mesmo tamanho. 
c) Os alunos poderão comprovar a divisão em meios e quartos por meio de 
medições. 
 
IV. Preencha as lacunas das frases, utilizando as palavras que estão no 
rectângulo abaixo, para dar-lhes sentido. 
 
Fracção – racionais – fraccionários decimais - tomadas 
 
a) O conceito de __________ ajuda na compreensão dos números_________. 
b) O numerador indica o número de partes que são _______ do inteiro. 
c) Os números __________ são introduzidos na 4ª e 5ª classes, tanto na 
representação fraccionário quanto na decimal. 
 
Óptimo! Você completou as lacunas acertadamente: 
a) O conceito de fracção ajuda na compreensão dos números decimais. 
b) O numerador indica o número de partes que são tomadas do inteiro. 
c) Os números racionais são introduzidos na 4ª e 5ª classes, tanto na 
representação fraccionária quanto na decimal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AUTO AVALIAÇÃO 
 
Caro(a) professor(a), chegamos ao final do estudo do 3º módulo. Para ter certeza da 
sua aprendizagem, realize a Auto-Avaliação que segue. Esta é a melhor maneira de 
testar a sua aprendizagem. Antes porém, releia todo o módulo realizando os 
exercícios propostos. 
 
I 
 
1. Assinale com F, se a afirmação for falsa e com V se for verdadeira em relação a 
subtracção dos IN. 
 
a) O conceito de subtracção deve ser introduzida por meio da comparação 
de duas colecções com número diferente de elementos, sendo que uma 
delas deve ser transformada de modo a tornar-se equivalente à outra. 
b) Os termos da subtracção são aditivo, subtractivo e diferença. 
c) As três ideias da subtracção devem ser trabalhadas simultaneamente. 
 
2. Para cada uma das duas afirmações que vêm de seguida, há uma alternativa que 
completa e lhes dá sentido. Assinale-as 
2.1. Para introduzir o conceito de subtracção, você deve: 
a) Apresentar, primeiramente, o sinal de subtracção. 
b) Oferecer situações em que as crianças relacionem quantidades verificando 
como torná-las iguais. 
c) Iniciar com a escrita aditiva. 
d) Trabalhar com actividade em que o 1º termo da subtracção seja 
predeterminado. 
 
3. Com relação às situações-problema, podemos afirmar que: 
a) Podem ser dramatizadas pelas crianças facilitando a compreensão. 
b) Devem retratar a realidade das crianças. 
c) Podem ser resolvidas em grupo ou individualmente. 
d) Todas as alternativas estão correctas. 
 
II 
 
1. Complete as frases, correctamente, escolhendo uma das duas palavras que estão 
colocadas nos parênteses. 
a) Zero é o número que representa ___________ (presença/ausência) de 
quantidade. 
b) Usamos a propriedade comutativa para verificar se a operação está 
_______________ (somando/correcta). 
c) Comutar é o mesmo que __________ (trocar/somar) a ordem das parcelas 
d) A propriedade da adição que demonstra que a soma de dois números naturais 
é sempre um número natural é o __________________ (de divisão/de 
fechamento). 
 
2. Ordene, numerando de 1 a 6, a sequência correcta de apresentação das situações 
utilizadas para sistematizar os factos fundamentais da adição. 
a) Situações em que os alunos verbalizem o resultado de operações. 
b) Situações em que os alunos efectuem o desdobramento de parcelas de 
forma a obter uma primeira soma igual a 10 e depois o total. 
c) Situações que mostrem aos alunos que a união de quantidades 
diferentes pode resultar em uma mesma quantidade. 
d) Situações em que os alunos identifiquem a ausência de unidades. 
e) Situações que permitam aos alunos comparar quantidades escritas sob 
a forma aditiva de diversas parcelas. 
f) Situações que desenvolvam a habilidade para solução de problemas. 
 
III 
 
* Faça o que se pede 
 
1. Indique, na forma de multiplicação, as adições: 
a) 3 + 3 +3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 
b) d + d + d + d + d = 
 
 
2. Escreva todos os pares de números naturais cujo o produto é 30 
_____________________; ____________; _____________, _______________. 
 
3. Indique o multiplicando, o multiplicador e o produtodo exemplo a seguir. 
4 . 6 = 24 
 
a) multiplicando 
b) produto 
c) multiplicador 
 
4. Preencha os espaços em branco das frases que estão a seguir, usando as 
expressões que estão no rectângulo abaixo para lhes dar sentido. 
 
Comutativa, um, zero, associativa, de anulamente, de 
diferentes maneiras, distributiva, de uma mesma maneira.. 
 
a) A multiplicação é _________________, ou seja, podemos multiplicar dois 
ou mais factores que são associados _________________________ . 
b) Quando, para se multiplicar um número por uma soma, multiplicamos esse 
número pelas parcelas da soma e juntamos os resultados, estamos usando 
a propriedade _____________________ da multiplicação. 
c) O elemento neutro da multiplicação é de número ___________________. 
d) O factor que anula o produto na multiplicação é o número ____________. 
 
IV 
1. Assinale com F se a afirmação for falsa e com V se for verdadeira, em relação à 
divisão de números naturais e suas propriedades: 
a) A divisão em quarto só pode ser feita de uma única maneira. 
b) A divisão apresenta apenas a ideia de repartir. 
c) Na 4ª e 5ª classes, você deve, de início, fazer uma sondagem, para verificar 
a situação dos alunos em relação à divisão. 
d) Na divisão exacta, o resto é sempre diferente de zero. 
e) Na escrita a . b + r, quando o segundo número é zero, não podemos 
determinar o quociente da divisão. 
f) A escrita a ac.bba ====⇔⇔⇔⇔====÷÷÷÷ nos indica que a multiplicação e divisão são 
operações inversas. 
 
2. Numerar a 2ª coluna de acordo com a 1ª, identificando as afirmações 
correspondentes: 
1) Divisão exacta a) O número não é dividido em parcelas iguais. 
2) Divisão aproximada b) O resto é sempre igual a zero. 
 c) O número é dividido em partes iguais. 
 d) O resto é sempre diferente de zero. 
 
3. Preenche os espaços em branco das frases, utilizando as palavras que estão no 
rectângulo abaixo, para dar-lhes sentido. 
 
Tomadas, fracção, racionais, fraccionário, decimais. 
 
a) O conceito de __________________ ajuda na compreensão dos números 
___________________________. 
b) O numerador indica o número de partes que são ________________ do 
inteiro. 
c) Os números ___________________ são introduzidos na 4ª e 5ª classes, 
tanto na representação fraccionária quanto na decimal. 
 
* Amigo(a)! Confira de seguida, suas respostas à auto-avaliação. 
 
 
I 
Questão 1 
 a) 
 
 b) 
d) As três ideias de subtracção devem ser trabalhadas uma de cada 
vez. 
 
F 
V 
V 
Questão 2 
 b) 
Questão 2.2 
 a) 
II 
Questão 1 
a) Zero é o número que representa ausência de quantidade. 
b) Usamos a propriedade comutativa para verificar se a operação está 
correcta. 
c) A propriedade da adição que demonstra que a soma de dois números 
naturais é sempre um número natural é a de fechamento. 
 
 
Questão 2 
a) Zero é o número que representa ausência de quantidade. 
b) Usamos a propriedade comutativa para verificar se a operação está 
correcta. 
c) A propriedade da adição que demonstra que a soma de dois números 
naturais é sempre um número natural é a fechamento 
 
Questão 2 
 
 a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
f) 
 
2 
4 
1 
3 
5 
6 
III 
Questão 1 
 
a) 7 x 3 
b) 5 x d 
 
Questão 2 
 •••• 30 . 1 = 30 
 •••• 2 . 15 = 30 
 •••• 3 . 10 = 30 
 •••• 5 . 6 = 30 
Questão 3 
 
a) multiplicando 4; produto 24. 
c) multiplicador 6 
 
Questão 4 
 
a) A multiplicação é associativa, ou seja, podemos multiplicar dois ou mais 
factores que são associados de diferentes maneiras 
b) Quando, para multiplicar um número por uma soma, multiplicamos esse 
número pelas parcelas da soma e juntamos os resultados, estamos, usando 
a propriedade distributiva da multiplicação. 
c) O elemento neutro da multiplicação é o número um 
d) O factor que anula o produto na multiplicação é o número zero. 
 
IV 
 
Questão 1 
 
a) Há várias maneiras de se dividir um inteiro em quartos. 
 
F 
b) A divisão apresenta duas ideias. A de repartir e a de subtracção 
sucessivas. 
c) 
 
d) É exactamente o contrário, na divisão exacta, o resto é sempre zero. 
 
e) 
 
f) . 
 
 
 
Questão 2 
 
 a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
Questão 3 
 
a) O conceito de fracção ajuda na compreensão dos números decimais. 
b) O numerador indica o número de partes que são tomadas do inteiro. 
c) Os números racionais são introduzidos na 4ª e 5ª classes, tanto na 
representação fraccionária quanto na decimal. 
 
Parabéns, caro(a) amigo(a) professor(a). Se você acertou a Auto-
Avaliação e está seguro da sua aprendizagem, compareça ao núcleo 
pedagógico para realizar a Pós-Avaliação. Caso contrário, volte a 
reestudar o módulo calmamente. Boa sorte! 
F 
V 
F 
V 
V 
2 
1 
1 
2 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
 
BICUDO, Maria aparecida V. Educação matemática – São Paulo: Morães,  19  
 
NOGUEIRA, Dilma Oliveira. Machado, JOACI, Oliveira. Dourado, Regina Lúcia 
Negomuceno. Projecto desenvolvimento de novas metodologias aplicáveis ao 
processo ensino-aprendizagem para o ensino do 1º grau: Matemática – 1ª série. 
Brasília: MEC/DEF-CETEB, 1977. 
 
PILETTI, Claudino. Didáctica especial. 2. Ed. São Paulo: Ática, 1985. 
 
ROSA, Neto, Ernesto. Didáctica Matemática. São Paulo: Ática, 1987. 
 
SILVA, Maria Helena Braga Regendo de. Didáctica de Matemática 9 ed. Rio de 
Janeiro: Conquista, 1985. 
 
CHILUNDO, Niquice Chilundo, Metodologia do Ensino da Matemática, Maputo, IAP, 
2ª edição revista – 1998 M.2,3,4. 
 
EQUIPA TÉCNICA DO CETEB, Matemática, Brasília, DF, 1993 M. 1,2