O MÉTODO DOS QUADRADOS MÍNIMOS

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O MÉTODO DOS QUADRADOS MÍNIMOS 
Profª.: Sarah Faria Monteiro Mazzini Costa
Na Unidade 4 vimos como interpolar uma função através de pontos
conhecidos de seu gráfico. Entretanto, esse método não é aconselhável
quando é preciso obter um valor aproximado da função em um ponto que
está fora do intervalo determinado pelos pontos conhecido.
Para esses casos utilizaremos o Método dos quadrados mínimos.
O MÉTODO DOS QUADRADOS 
MÍNIMOS
• CASO LINEAR DISCRETO
Consideremos um conjunto de dados isolados e vamos aproximá-los por uma
função do primeiro grau, ou seja, vamos aproximá-los por uma reta.
Exemplo: Determinar a equação da reta que passa pelos pontos 𝟏, 𝟔 , (𝟐, 𝟏𝟑)
e (𝟒, 𝟒𝟓).
Ao calcular o determinante destes três pontos (ou ao tentar encontrar a
equação da reta que contém os três) percebemos que estes não são
colineares. É possível escolher apenas dois pontos para determinar uma
aproximação para a reta procurada, mas quais pontos devemos escolher? Em
outras palavras:
Qual a melhor aproximação para a reta procurada?
Dado um ponto 𝒙𝒊, 𝒚𝒊 e seu correspondente 𝒙𝒊, 𝒂𝒙𝒊 + 𝒃 , podemos medir o
quanto a reta 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃 se distancia do conjunto de dados { 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 , … , (𝒙𝒏, 𝒚𝒏)}
através dos elementos
𝒅𝒒𝒊 = 𝒚𝒊 − 𝒂𝒙𝒊 + 𝒃
𝟐
,
Chamados desvios quadrados.
O objetivo é encontrar 𝑸 = σ𝒊=𝟎
𝒏 𝒅𝒒𝒊 = σ𝒊=𝟎
𝒏 𝒚𝒊 − 𝒂𝒙𝒊 + 𝒃
𝟐
o menor possível.
Utilizando ferramentas do cálculo encontramos as equações
𝒂෍
𝒊=𝟎
𝒏
𝒙𝒊
𝟐 + 𝒃෍
𝒊=𝟎
𝒏
𝒙𝒊 =෍
𝒊=𝟎
𝒏
𝒙𝒊𝒚𝒊
𝒂෍
𝒊=𝟎
𝒏
𝒙𝒊 + 𝒃 𝒏 + 𝟏 =෍
𝒊=𝟎
𝒏
𝒚𝒊
Os valores de 𝒂 e 𝒃 encontrados ao resolver as equações anteriores fornecem
os coeficientes da reta que melhor aproxima os pontos{ 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 , … , (𝒙𝒏, 𝒚𝒏)}.
Exemplo: Voltando ao exemplo enunciado no terceiro slide, resolvendo o
sistema
𝒂෍
𝒊=𝟎
𝒏
𝒙𝒊
𝟐 + 𝒃෍
𝒊=𝟎
𝒏
𝒙𝒊 =෍
𝒊=𝟎
𝒏
𝒙𝒊𝒚𝒊
𝒂෍
𝒊=𝟎
𝒏
𝒙𝒊 + 𝒃 𝒏 + 𝟏 =෍
𝒊=𝟎
𝒏
𝒚𝒊
Obtemos 𝒂 =
𝟗𝟒
𝟕
e 𝒃 = −𝟏𝟎. Portanto a reta que melhor aproxima os pontos
𝟏, 𝟔 , (𝟐, 𝟏𝟑) e (𝟒, 𝟒𝟓) é a reta 𝒚 =
𝟗𝟒
𝟕
𝒙 − 𝟏𝟎.
• CASO QUADRÁTICO DISCRETO
Para este caso, a aproximação é dada por uma parábola. Dados os
pontos 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 , … , 𝒙𝒏, 𝒚𝒏 , encontramos os coeficientes da parábola 𝒚 = 𝒂𝒙
𝟐 +
𝒃𝒙 + 𝒄 resolvendo o sistema
𝒂෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒙𝒊
𝟒 + 𝒃෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒙𝒊
𝟑 + 𝒄෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒙𝒊
𝟐 = 𝒙𝒊
𝟐𝒚𝒊
𝒂෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒙𝒊
𝟑 + 𝒃෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒙𝒊
𝟐 + 𝒄෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒙𝒊 = 𝒙𝒊𝒚𝒊
𝒂෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒙𝒊
𝟐 + 𝒃෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒙𝒊 + 𝒄 𝒏 + 𝟏 =෍
𝒊=𝟎
𝒏
𝒚𝒊
O método discreto pode se tornar cada vez mais geral, com
aproximação por funções polinomiais de grau arbitrário.
Essa aproximação se torna cada vez mais precisa. Entretanto a
complexidade do problema aumenta à medida em que fazemos isso.
• O CASO CONTÍNUO
Seja 𝒇 uma função contínua em um intervalo [𝒂, 𝒃]. Queremos aproximar a
função 𝒇 por um conjunto de funções também contínuas em [𝒂, 𝒃] ,
escolhidas de alguma forma.
Para o caso simplificado de duas funções 𝒈𝟏(𝒙) e 𝒈𝟐 𝒙 , precisamos
encontrar duas constantes reais 𝜶𝟏 e 𝜶𝟐 tais que 𝝓 𝒙 = 𝜶𝟏𝒈𝟏 𝒙 + 𝜶𝟐𝒈𝟐(𝒙)
esteja o mais próximo possível de 𝒇 𝒙 .
Para o método dos mínimos quadrados, fazer com que 𝝓(𝒙) esteja o mais
próximo possível de 𝒇 𝒙 significa que
𝑸 = න
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 − 𝝓 𝒙 𝟐 𝒅𝒙
deve ter o menor valor possível.
Exemplo: Encontre uma função do primeiro grau que minimiza o desvio
quadrado total em relação à função 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝟔 no intervalo 𝟎, 𝟏 .
Neste caso devemos calcular 𝟎׬
𝟏
𝒙𝟑 + 𝟔 − 𝒂𝒙 + 𝒃 𝒅𝒙 .
Temos 
𝑸 = න
𝟎
𝟏
𝒙𝟑 + 𝟔 − 𝒂𝒙 + 𝒃 𝒅𝒙 =
𝟐𝟕𝟒
𝟕
−
𝟑𝟐𝒂
𝟓
−
𝟐𝟓𝒃
𝟐
+
𝒂𝟐
𝟑
+ 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
Para encontrar o valor mínimo de 𝑸, precisamos deriva-lo em relação a 𝒂 e a 𝒃 e
igualar essas derivadas a zero.
Fazendo isso encontramos a função 𝜹 𝒙 = 𝟎, 𝟗𝒙 + 𝟓, 𝟖 que minimiza o desvio
quadrado total em relação à função 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝟔 no intervalo 𝟎, 𝟏 .