3. Taxas de Juros

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CAD 045 – Investimento e 
Cálculo Financeiro
Aula 03 – Taxas de Juros: Taxas 
Proporcionais e Taxas Equivalentes. 
Taxas nominais e efetivas.
Prof. Bruno Pérez Ferreira
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Tópicos desta seção
 Convenções no uso de taxas de juros
 Taxas Proporcionais e capitalização simples
 Taxas Equivalentes e capitalização composta
 Taxas Nominais e Taxas Efetivas
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Convenções no uso de taxas de juros
 Observação central: a taxa de juros deve sempre 
ser expressa, nos cálculos, na mesma unidade de 
tempo da variável n (prazo), podendo ser portanto 
uma taxa diária, mensal, trimestral, anual, etc.
 Assim, para períodos expressos em dias, devemos 
usar taxas diárias ou então expressar os dias como 
fração do mês/ano para taxas mensais/anuais.
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Exemplos
 Determinar o valor futuro de R$ 2.500,00 
aplicados hoje à taxa de 2,5% a.m. por um 
prazo de 25 dias.
 Determinar o valor presente de uma dívida 
de R$ 14.000,00 que vence em 68 dias, 
sabendo que a taxa de juros é de 28% a.a.
 Calcular a taxa anual de uma aplicação de 
R$ 8 mil feita no dia 03/01/08, com resgate 
de 8.659 no dia 11/10/08.
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Taxas Proporcionais e capitalização 
simples
 O conceito de taxas proporcionais está
diretamente ligado ao regime de 
capitalização simples;
 Assim, duas taxas i1 e i2 são proporcionais
quando, incidindo sobre o mesmo principal P, 
durante um mesmo prazo, geram o mesmo 
montante sob o regime de capitalização 
simples.
 Então, da igualdade de valores futuros, 
decorre n1i1= n2i2
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Exemplos
 Determinar a taxa trimestral proporcional à
taxa de 21%a.a.
 Determinar a taxa mensal proporcional à taxa 
de 36% a.a.
 Determinar a taxa diária proporcional à taxa 
de 3,7%a.m.
 Determinar a taxa anual proporcional à taxa 
de 0,053%a.d.
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Taxas Equivalentes e capitalização 
composta
 O conceito de taxas equivalentes está
diretamente ligado ao regime de 
capitalização composta;
 Duas taxas i1 e i2 expressas em unidades de 
tempo distintas, são ditas equivalentes
quando, incidindo sobre o mesmo principal 
durante o mesmo prazo, produzem o mesmo 
montante sob o regime de capitalização 
composta.
 Derivação
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Exemplos
 Determinar a taxa anual equivalente à taxa 
de 2,5% a.m.;
 Determinar a taxa diária equivalente à taxa 
de 4% a.m.;
 Determinar a taxa por dia útil equivalente à
taxa de 5,3% a.m. (mês com 21 dias úteis);
 Em uma operação, a taxa auferida foi de 
18,7% a.p. (período com 67 dias úteis). 
Determine a taxa por dia útil e a taxa mensal 
equivalentes.
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Observações
 A taxa diária equivalente, quando obtida sob 
a convenção de ano comercial, é conhecida 
no mercado como taxa por dia corrido;
 Esta expressão é utilizada para diferenciar 
esta taxa da taxa por dia útil, muito utilizada 
no mercado financeiro.
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Taxas Nominais e Taxas Efetivas
 Uma taxa nominal é aquela que não é
expressa na mesma unidade de tempo na 
qual os juros são capitalizados.
 Exemplos:
 6% a.a. capitalizados mensalmente;
 2,7% a.m. com capitalização diária.
 É utilizada com frequência no mercado 
financeiro, embora a legislação obrigue as 
instituições a também divulgar a taxa efetiva
da operação.
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Taxas Nominais e Taxas Efetivas
 A taxa efetiva é aquela que é expressa na 
mesma unidade de tempo da capitalização;
 Exemplos:
 5% a.m. com capitalização mensal;
 0,2% a.d. com capitalização diária;
 10% a.a. com capitalização anual.
 A derivação a seguir ilustra a relação entre 
estas duas formas de expressar uma taxa de 
juros:
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Taxas Nominais e Taxas Efetivas
 Seja in a taxa de juros nominal e m o número de 
períodos de capitalização contidos no período de um 
ano. A taxa efetiva será então dada pela resolução 
da seguinte igualdade:
 Onde ie é a taxa efetiva. A equação final é dada por:
 e
m
n iP
m
iPS 





 11














 11
m
n
e m
ii
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Exemplos
 Dada a taxa de 12%a.a., capitalizada 
mensalmente, determine a taxa efetiva;
 Para a mesma taxa de 12%a.a., determine a 
taxa efetiva com base em uma capitalização 
diária e na capitalização contínua;
 Dada a taxa de 3%a.m., capitalizada 
anualmente, determinar a taxa efetiva ao 
mês.
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Exercícios Propostos
 Samanez, página 65, exercícios 1 a 22. 
 Rangel, página 217, exercícios 1 a 9.
 Vieira Sobrinho, página 44, exercícios 15 a 
21.
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Leitura Sugerida:
 Básica:
 SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira. 5. ed. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2010. páginas 36-59.
 Complementar:
 CARVALHO, L.C.S. et al. Matemática Financeira Aplicada. 
Rio de Janeiro: Editora FGV, 2009. Páginas 61-64.
 SECURATO, J.R. Cálculo Financeiro das Tesourarias. 3. 
Ed. São Paulo: Editora Saint Paul, 2005. Páginas 61-69.
 VIEIRA SOBRINHO, J.D. Matemática Financeira. 7. ed. 
São Paulo: Atlas , 2000. Páginas 41 a 44 e capítulo 6.