Lista V

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Lista 5
Prof. Marcos Oliveira Prates
Disciplina: Probabilidade
1. Suponha que 3 bolas são escolhidas sem reposição de uma urna com 5 bolas brancas
e 8 vermelhas. Seja Xi igual a 1 se a i-ésima bola escolhida é branca, e Xi igual a 0
caso contrário. Ache a distribuição de probabilidade conjunta de
a) X1, X2.
b) X1, X2, X3.
2. A função de densidade conjunta de X e Y é dada por
f(x, y) =
6
7
(x2 +
xy
2
) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2
a) Verifque que f(x, y) é uma densidade conjunta válida
b) Ache a distribuição marginal de X
c) Ache P (X > Y = y)
d) Ache P (Y > 1
2
|X = 1
2
)
e) Ache E(X)
f) Ache E(Y )
3. A função de densidade conjunta de X e Y é dada por
f(x, y) = xe−(x+y) x > 0, y > 0
a) Verifque que f(x, y) é uma densidade conjunta válida
b) Ache a distribuição marginal de Y
c) Ache P (Y > 1)
d) Ache P (Y > 1|X > 1)
e) X e Y são independentes? Por quê?
4. A função de densidade conjunta de X e Y é dada por
f(x, y) = 2 0 < x < y, 0 < y < 1.
1
X e Y são independentes? Por quê?
5. A função de densidade conjunta de X e Y é dada por
f(x, y) = 12xy(1− x) 0 < x < 1, 0 < y < 1
a) X e Y são independentes? Por quê?
b) Ache E(X)
c) Ache E(Y )
d) Ache V (X)
e) Ache V (Y )
6. A função de densidade conjunta de X e Y é dada por
f(x, y) = xe−x(y+1) x > 0, y > 0
a) Ache a distribuição condicional de X, dado Y = y (f(x|y))
b) Ache a distribuição condicional de Y , dado X = x (f(y|x))
c) Ache P (X > 1)
d) Ache P (Y > 1|X = 1
2
)
e) Ache E(Y |X = 1
2
)
7. A função de densidade conjunta de X e Y é dada por
f(x, y) = e−y x > 0, y > x
a) Ache a distribuição marginal de Y
b) Ache a distribuição condicional de X, dado Y = y (f(x|y))
c) Ache P (X < 1
2
|Y = 1)
d) Ache E(X|Y = 1)
8. A função de densidade conjunta de X e Y é dada por
f(x, y) =
1
y
e−(y+
x
y
) x > 0, y > 0
a) Ache E(Y )
b) Ache E(X)
c) Mostre que Cov(X, Y ) = 1
2
9. A função de densidade conjunta de X e Y é dada por
f(x, y) =
1√
2pi
e−ye−
(x−y)2
2 −∞ < x < +∞, y > 0
a) Ache E(Y )
b) Ache f(x|y)
c) Ache E(X|Y = y)
d) Ache E(X)
10. Seja X1, . . . , X20 variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson(1).
Ache a P (
∑20
i=1Xi > 15) (Dica: use o TCL).
11. Se X ∼ Gamma(n, 1).
a) Qual deve ser o tamanho de n para que
P (|X/n− 1| > 0.01) < 0.01 (Dica: Inequalidade de Tchebyshev’s)
b) Mostra que Xn = X/n converge em probabilidade para 1
12. Seja X1, . . . , Xn iid Bernoulli(p)
a) Mostre que Y =
√
n(
∑n
i=1Xi
n
−p)√
p(1−p) converge em distribuição para N(0, 1) (Dica: use o
TCL).
b) Suponha que p = 0.5. Ache P (
∑n
i=1Xi > n/2)
3