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2a LISTA DE EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADE II
Exerćıcio 1 (Hines et. al. E. 4-3, p. 91). Sejam X1 e X2 os escores em um teste de inteligência geral
e em um teste de preferência ocupacional, respectivamente. A função de densidade de probabilidade
das variáveis aleatórias [X1, X2] é dada por
f(x1, x2) =
{
k
1000 , 0 ≤ x1 ≤ 100, 0 ≤ x2 ≤ 10,
0, caso contrário.
(a) Ache o valor apropriado de k.
(b) Ache as densidades marginais de X1 e X2.
Exerćıcio 2 (Hines et. al. E. 4-4, p. 91). Considere uma situação em que se medem a tensão
superficial e a acidez de um produto qúımico. Essas variáveis são codificadas de tal modo que a tensão
superficial é medida em uma escala 0 ≤ X1 ≤ 2 e a acidez é a medida em uma escala 2 ≤ X2 ≤ 4. A
função de densidade de probabilidade de (X1, X2) é
f(x1, x2) =
{
k(6 − x1 − x2), 0 ≤ x1 ≤ 2, 2 ≤ x2 ≤ 4,
0, caso contrário.
(a) Ache o valor apropriado de k.
(b) Calcule a probabilidade de X1 < 1, X2 < 3.
(c) Calcule a probabilidade de X1 + X2 ≤ 4.
(d) Ache a probabilidade de X1 < 1, 5.
(e) Ache as densidades marginais de X1 e de X2.
Exerćıcio 3 (Hines et. al. E. 4-33, p. 93). Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias que
denotam a fração de um dia em que ocorre o pedido de mercadoria e a fração do dia em que ocorre o
recebimento de um carregamento, respectivamente. A função densidade de probabilidade conjunta é
f(x, y) =
{
1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1,
0, caso contrário.
(a) Qual é a probabilidade de que ambos, o pedido de mercadoria e o recebimento de um carrga-
mento, ocorram na primeira metade do dia?
(b) Qual é a probabilidade de que um pedido de mercardoria ocorra depois do seu recebimento?
Antes do seu recebimento?
Exerćıcio 4. Para que valor de k, a expressão f(x, y) = ke−(x+y) é a fdp conjunta de (X,Y ), sobre
a região 0 < x < 1, 0 < y < 1?
(a) Calcule a constante k.
(b) Ache a fdp marginal de X.
(c) Ache a fdp marginal de Y .
Exerćıcio 5 (Walpole et. al. E. 3.55, p. 66). Considere a seguinte função de densidade de probabili-
dade conjunta para as variáveis aleatórias X e Y é
f(x, y) =
{
3x−y
9 , 1 < x < 3, 1 < y < 2,
0, caso contrário.
(a) Determine as funções de densidade marginais de X e Y .
(b) X e Y são independentes?
(c) Determine P (X > 2).
Exerćıcio 6 (Walpole E.3.65 p.66). Dois componentes eletrônicos do sistema de um mı́ssil funcionam
em harmonia para o sucesso total do sistema. Considere X e Y a vida, em horas, dos dois componentes.
A densidade conjunta de X e Y é
f(x, y) =
{
ye−y(1+x) x, y ≥ 0
0, caso contrário.
1
(a) Dê as funções de densidade marginais para as duas variáveis aleatórias.
(b) Qual é a probabilidade de que as vidas de ambos os componentes excedam duas horas?
Exerćıcio 7. A densidade conjunta de X e Y é dada por:
f(x, y) =

1
4 , −2 ≤ x < 0, 0 ≤ y ≤ 1,
1
4 , 0 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y < 0,
0, caso contrário.
Calcule as marginais e verifique se X e Y são independentes.
Exerćıcio 8 (Meyer E.6.2 p.134). Suponha que a bidimensional (X,Y ) tenha conjunta dada por
f(x, y) =
{
kx(x− y), se 0 < x < 2, −x < y < x,
0, para outros valores.
(a) Calcule a constante k.
(b) Ache a marginal de X.
(c) Ache a marginal de Y .
(d) X e Y são independentes? Justifique.
Exerćıcio 9 (Meyer E.6.3 p.134). Suponha que a conjunta da bidimensional (X,Y ) seja dada por
f(x, y) =
{
x2 + xy3 , se 0 < x < 1, 0 < y < 2,
0, para outros valores.
Calcule
(a) P (X > 12).
(b) P (Y < X)
Exerćıcio 10 (Walpole E.3.77 p.68). Um sistema qúımico que resulta de uma reação qúımica tem
dois importantes componentes, entre outros, em sua mistura. A conjunta que descreve as proporções
X1 e X2 desses dois componentes é dada por
f(x1, x2) =
{
2, 0 < x1 < x2 < 1
0, caso contrário.
(a) Obtenha a distribuição marginal de X1.
(b) Obtenha a distribuição marginal de X2.
(c) Qual a probabilidade de que as proporções dos componentes produzam os resultados X1 < 0, 2
e X2 > 0, 5?
Exerćıcio 11. A densidade conjunta de X e Y é dada por
f(x, y) =
{
12
5 x(2 − x− y) se 0 < x < 1, 0 < y < 1
0 caso contrário
Calcule a densidade condicional de X, dado que Y = y, quando 0 < y < 1.
Exerćıcio 12. (a) Demonstre que a função
F (x, y) =
{
1 − e−x−y, x ≥ 0 e y ≥ 0
0, caso contrário
não é uma função de distribuição de um vetor aleatório.
(b) Mostre que a seguinte função é função de distribuição de algum (X,Y ):
F (x, y) =
{
(1 − e−x)(1 − e−y), x ≥ 0 e y ≥ 0
0, caso contrário
Exerćıcio 13. Um milionário excêntrico, uma vez por semana, deixa seu escritório com X milhares
de reais no bolso. Ao caminhar para sua cassa vai distribuindo esse dinheiro aos eventuais pedintes
que encontra. Admita que X tem densidade de probabilidade f(x) = x8 I(0,4)(x) e, também que o
dinheiro que lhe resta ao chegar em casa, denotado por Y , tem probabilidade uniforme entre zero e o
dinheiro com que deixou o escritório.
(a) Calcule a densidade conjunta entre X e Y .
(b) Determine a densidade marginal de Y .
Rectangle