Aula 01 - Função Quadrática Pro Militares

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1. FUNÇÃO QUADRÁTICA
 Uma aplicação de f de R em R recebe o nome de função 
quadrática ou função do segundo grau quando associa a cada 
elemento x ∈ R o elemento (ax2 + bx + c) ∈ R, onde a ≠ 0. 
Isto é: 
f: R → R.
x → ax2 + bx + c, a ≠ 0
Exemplos de funções quadráticas
a) f(x) = x2 – 3x + 2 onde a = 1, b = - 3 e c = 2
b) f(x) = 2x2 + 4x – 3 onde a = 2, b = 4 e c = - 3 
c) f(x) = x2 – 4 onde a = 1, b = 0 e c = - 4
d) f(x) = –3x+ + 5x – 1 onde a = - 3, b = 5 e c = - 1
1.1. GRÁFICO
O gráfico da função quadrática é uma parábola.
Uma parábola é o conjunto de pontos no plano que são 
equidistantes de um ponto dado {\displaystyle F}F (foco) e 
uma reta dada { \displaystyle r}d (diretriz) que não contém F.{ \
displaystyle F}FF 
1.2. CONCAVIDADE
A parábola representativa da função quadrática y = ax2 
+ bx + c pode ter concavidade voltada para “cima”ou para 
“baixo”. 
Se a > 0, a concavidade está voltada para cima
Acesse o código para assistir ao vídeo.
FUNÇÃO QUADRÁTICA
y
x
Se a < 0, a concavidade está voltada para baixo.
y
x
1.3. PONTO DE INTERSEÇÃO 
DA PARÁBOLA COM OY
Quando x = 0 temos f(0) = c portanto o ponto em que a 
parábola corta o eixo das ordenadas é o ponto (0, c).
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( ) ( )− − D   − + D − − D − D − −
= = = = = =      
22 2 2 2
1 2 2 2 2
bb b b ( ) b (b 4ac) 4a
P x .x .
2a 2a 4a 4a 4a
c
4 2a
=
c
a
Daí = −
b
S
a
 e =
c
P
a
.
2. GRÁFICO
Seguem os tipos de gráficos que podemos obter.
a > 0
e
D e 0
ei
xo
 d
e
si
m
et
ria
y
xP1 P2
V
a > 0
e
D = 0
y
xV
 
a > 0
e
D < 0
y
x
V
Esses foram os gráficos para a > 0, agora veremos para 
a < 0.
(0, c)
1.4. ZEROS OU RAÍZES DA 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Os zeros ou raízes da função quadrática f(x) = ax2 + bx 
+ c são os valores de x reais tais que f(x) = 0 e, portanto, as 
soluções da equação do segundo grau ax2 + bx + c.
− ± −
=
2b b 4ac
x
2a
1.4.1. DISCUSSÃO
Observe que a existência da raiz da equação do segundo 
grau ax2 + bx + c fica condicionada ao fato de ∆ ∈ R. Assim 
temos 3 possibilidades distintas.
I. D > 0, a equação apresentará duas raízes reais e distintas.
II. D = 0, a equação apresentará duas raízes reais e iguais. 
III. D < 0, a equação não apresentará raízes reais.
1.4.2. SOMA E PRODUTO 
DAS RAÍZES
podemos encontrar a soma e o produto das raízes sem 
antes calcular essas raízes pela fórmula de Baskara.
Sendo 
− + D − − D
= =1 2
b b
x e x
2a 2a
 teremos que
− + D
= + =1 2
b
S x x
  − − D
+ 
 
b
2a
  −
= 
 
2
2a
b
2
= −
b
a a
( ) ( )− − D   − + D − − D − D − −
= = = = = =      
22 2 2 2
1 2 2 2 2
bb b b ( ) b (b 4ac) 4a
P x .x .
2a 2a 4a 4a 4a
c
4 2a
=
c
a
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Ponto mínimo (a > 0):
v
y
Yv
4a
∆
= −
b
Xv
2a
= −
x
Ponto máximo (a < 0):
v
y
Yv
4a
∆
= −
b
Xv
2a
= −
x
Eixo de simetria – O gráfico da função quadrática admite 
um eixo de simetria perpendicular ao eixo dos x e (paralelo a y) 
que passa pelo vértice.
x
V
eixo de simetria
A M B
4a
∆
−
b
2a
−
y
v v
b
x e y
2a 4a
∆
= − = −
a < 0
e
D > 0
x
V
P1 P2
y
a < 0
e
D = 0
x
V
y
a < 0
e
D < 0
x
V
y
2.1. VÉRTICE DA PARÁBOLA
O ponto V 
b
,
2a 4a
− −∆ 
  
 é chamado vértice da parábola repre-
sentativa da função quadrática.
2.2. MÁXIMO E MÍNIMO
O ponto do vértice da parábola é o ponto onde a imagem 
(ordenada eixo y) e o x são máximos para a > 0 e são mínimos 
para a < 0.
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GABARITO: A
h = 10 + 5t – t2 = 14 ⇒ t2 – 5t + 14 = 0 ⇒ t = 1 ou 
t = 4 ⇒ Dt = 4 – 1 = 3.
03. (UNI-RIO - 2000) Em uma fábrica, o custo de 
produção de x produtos é dado por c (x) = –x2 + 22x + 1. 
Sabendo-se que cada produto é vendido por R$10,00, 
o número de produtos que devem ser vendidos para se 
ter um lucro de R$44,00 é:
a) 3 
b) 10 
c) 12 
d) 13 
e) 15
GABARITO: E
Custo de x unidades: c(x) = –x² + 22x + 1
Venda de 1 unidade: R$ 10,00 ⇒ Receita com a venda 
de x unidades: r(x) = 10x.
Lucro na venda de x unidades: 
= − = + − − = − −2 2L(x) r(x) c(x) 10x x 22x 1 x 12x 1 .
= = − − ⇒ − − = ⇒2 2L(x) 44 x 12x 1 x 12x 45 0
= = −x 15 ou x 3 .
04. (UENF – 2005) Considere as seguintes funções, 
relativa a uma ninhada de pássaros:
C = 5 + 10n
C = custo mensal, em reais, para a 
manutenção de n pássaros
V = –5n2 + 100n – 320
V = valor mensal arrecadado, em reais, com 
a venda de n pássaros, para 4 ≤ n ≤ 16 
Sabe-se que o lucro mensal obtido é dado pela 
diferença entre os valores de venda V e custo C.
a) Determine os possíveis valores de n, para que 
haja lucro nas vendas.
b) Calcule o valor de n que proporciona o maior 
lucro possível e o valor, em reais, desse lucro.
GABARITO:
C = 5 + 10n ⇒ V = –5n2 + 100n – 320, 4 ≤ n ≤ 16.
a) Lucro: L = –5n2 + 100n – 320 – (5 + 10n) = –5n2 + 
90n – 325
Raízes: n = 5 ou n = 13
5 13
n
L > 0 ⇔ 5 < n < 13 ⇒ 6 ≤ n ≤ 12
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
01. (UFF – 2001) Considere a função f: R+ → R 
definida por f (x) = (3 – x) (x – 1). Identifique a melhor 
representação do gráfico de f.
a)
0 1 3
y
x
-3
d)
0 1
-3
3
y
x
b)
0 1
3
3
y
x
e)
0
1
3
3
y
x
c)
0 1
3
3
y
x
GABARITO: D
f: ℝ+→ ℝ, ( ) ( )= − − = − + −2f(x) 3 x x 1 x 4x 3 .
Domínio: [ [+ ∞0,
Concavidade para baixo
Raízes: 1 e 3
Interseção com o eixo Oy: = ⇒ = −x 0 y 3
02. (UERJ – 2005) Numa operação de salvamento 
marítimo, foi lançado um foguete sinalizador que 
permaneceu aceso durante toda sua trajetória. 
Considere que a altura h, em metros, alcançada por 
este foguete, em relação ao nível do mar, é descrita 
por h = 10 + 5t – t2, em que t é o tempo, em segundos, 
após seu lançamento. A luz emitida pelo foguete é 
útil apenas a partir de 14 m acima do nível do mar. O 
intervalo de tempo, em segundos, no qual o foguete 
emite luz útil é igual a:
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6
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03. O conjunto solução da equação do segundo grau no 
conjunto dos números reais = +
2x 3 5
x
4 8 2 
é: 
a) S = {1, 2} 
b)  = − 
 
5
S ,4
2
 
c)  =  
 
5
S ,4
2
 
d) S = {2, 5} 
e) S = { } 
04. A temperatura, em graus Celsius, de um objeto 
armazenado em um determinado local é modelada pela 
função = − + +
2x
f(x) 2x 10,
12
 com x dado em horas. A 
temperatura máxima atingida por esse objeto nesse local de 
armazenamento é de 
a) 0°C 
b) 10°C 
c) 12°C 
d) 22°C 
e) 24°C 
05. Durante as competições Olímpicas, um jogador de 
basquete lançou a bola para o alto em direção à cesta. A 
trajetória descrita pela bola pode ser representada por uma 
curva chamada parábola, que pode ser representada pela 
expressão: h = –2x2 + 8x (onde "h" é a altura da bola e 
"x" é a distância percorrida pela bola, ambas em metros). 
A partir dessas informações, encontre o valor da altura máxima 
alcançada pela bola: 
a) 4m 
b) 6m 
c) 8m 
d) 10m 
e) 12m 
06.(Fgv) O gráfico de uma função quadrática f (x) tem as 
seguintes características:
• vértice é o ponto (4,-1).
• Intercepta o eixo das abscissas no ponto (5,0).
O ponto de intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas é: 
a) (0,14) 
b) (0,15) 
c) (0,16) 
d) (0,17) 
e) (0,18) 
07. Um veículo foi submetido a um teste para a verificação do 
consumo de combustível. O teste consistia em fazer o veículo 
percorrer, várias vezes, em velocidade constante, uma distância 
de 100km em estrada plana, cada vez a uma velocidade 
diferente. Observou-se então que, para velocidades entre 
20km/h e 120km/h, o consumo de gasolina, em litros, era 
função da velocidade, conforme mostra o gráfico seguinte.
b) O máximo da função L ocorre para 
( )
−
= =
−
90
n 9
2 5; = ⇒ = − × + × − =n 9 L 5 81 90 9 325 80 .
05. (UFF – 2001) A reta de equação y = –1 é tangente 
à parábola de equação y = mx2 – 4x + 1. O valor da 
constante m é:
a) –2 
b) –1 
c) 0 
d) 1 
e) 2
GABARITO: E
y = mx2 – 4x + 1y = – 1
V
( )− − ⋅ ⋅
> = − ⇒ − = − ⇒
2
V
4 4 m 1
m 0 e y 1 1
4m
− = ⇒ =16 4m 4m m 2 .
EXERCÍCIOS DE 
TREINAMENTO
01. A equação (x – 3)/2 + 1/x = –3, em R, é verdadeira, se x2 
for igual a: 
a) 0 
b) 1 
c) 4 
d) 1 ou 4 
e) -1 ou -2 
02. Resolvendo a equação biquadrada 6x4 – 5x2 + 1 = 0, 
obtém-se: 
a) 
  = − − 
  
2 3 3 2
S , , ,
2 3 3 2
 
b) 
  = − − 
  
5 2 2 5
S , , ,
2 2 2 2
 
c) 
  = − − 
  
3 1 1 3
S , , ,
2 2 2 2
 
d) 
  = − − 
  
5 1 1 5
S , , ,
2 2 2 2
 
e) 
  = − − 
  
2 1 1 2
S , , ,
2 2 2 2
 
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11. (CEFET - 2000) Uma função quadrática tem por imagem 
o intervalo ]–∞ ,3]. A sua representação gráfica num plano 
cartesiano é uma parábola, a reta x = 2 é o eixo de simetria e 
a distância entre os zeros da função vale 6.
a) Quais as coordenadas do vértice da parábola?
b) Faça o gráfico desta função, no sistema de eixos abaixo, 
identificando os pontos de interseção com os eixos e o 
vértice.
c) Qual a expressão da função?
12. (UFF – 2000) Dada a função real de variável real f tal que 
+ =
−2
2xf (2x 1)
x 1
, ≠x 1 e ≠ −x 1, determine:
a) a expressão de f(x);
b) o domínio da função f.
13.(UFF – 2001) Seja a função f: [2,8] → R definida por 
f(x) = x² – 9x + 18. Considere os números u e v tais que f(u) 
e f(v) são, respectivamente, o maior e o menor valor que f 
assume. Calcule a média aritmética entre f(u) e f(v).
14. (EsFAO – 2002) Na figura são representadas as parábolas 
y = x2 e y = –x2 + 2x – 3. Considere os segmentos verticais que 
tem uma extremidade em cada uma das parábolas. O menor 
desses segmentos mede:
a) 5
2
 
b) 
3
2
 
c) 2 
d) 3 
e) 4
15. (UFRJ – 2004) Determine o comprimento do segmento 
cujas extremidades são os pontos de interseção da reta y = x + 1 
com a parábola y = x².
16. (UFF – 2002) Um muro, com 6 metros de comprimento, 
será aproveitado como parte de um dos lados do cercado 
retangular que certo criador precisa construir. Para completar 
o contorno desse cercado o criador usará 34 metros de cerca. 
Determine as dimensões do cercado retangular de maior área 
possível que o criador poderá construir.
17. (UFF – 2005) A relação entre o preço p de determinado 
produto e a quantidade q disponível no mercado obedece à 
seguinte lei: 5q = p2 + 2p – 3, sendo p e q quantidades positivas e 
q ∈ [1,9].
a) Determine uma expressão que defina p em função de q;
b) Na figura que se encontra no espaço reservado para 
respostas, faça um esboço da parte do gráfico de p em 
função de q que está contida na região quadriculada.
velocidade (km/h)
consumo (litros)
16
8
20 60 100 120
Se esse gráfico é parte de uma parábola, quantos litros de 
combustível esse veículo deve ter consumido no teste feito à 
velocidade de 120km/h? 
a) 20 
b) 22 
c) 24 
d) 26 
e) 28 
08. Um corpo A desloca-se em Movimento Retilíneo 
Uniformemente Variado de modo que a sua posição, em 
relação a uma origem previamente determinada, é dada 
pela função horária = + −
2
A
7t t
S 2 .
4 4
 Um corpo B desloca-se 
em Movimento Retilíneo e Uniforme, na mesma direção do 
movimento de A, de forma que a sua posição, em relação à 
mesma origem, é dada pela função horária = +B
t
S 2 .
2
 A e 
B iniciaram seus movimentos no mesmo instante. Em ambas 
as funções, t está em segundos e S, em metros. Depois de 
certo tempo, os corpos chocam-se frontalmente. O maior 
afastamento, em metros, entre os corpos A e B é
a) 25/4 
b) 25/8 
c) 25/16 
d) 81/8 
e) 81/16 
09. (Fgv) A função quadrática f (x) = 16x – x2 definida no 
domínio dado pelo intervalo [0, 7] tem imagem máxima igual a:
a) 64
b) 63,5
c) 63
d) 62,5
e) 62
10.(Fuvest) A função f: R → R tem como gráfico uma parábola 
e satisfaz f(x + 1) – f(x) = 6x – 2, para todo número real x. 
Então, o menor valor de f(x) ocorre quando x é igual a 
a) 
11
6
 d) 0 
b) 
7
6
 e) −
5
6
 
c) 
5
6
 
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(CFT) Uma função real f tem a propriedade f(x+1) = x2 + 2, 
para x ∈ R. O valor de f(3) é
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.
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(CFT) Considerando-se a função f(x) = ax2 + bx + 1/3, cujos 
zeros são – 1/3 e 1/3, pode-se afirmar que
a) a ≠ 0 e b ≠ 0.
b) a = 0 e b ≠ 0.
c) a ≠ 0 e b = 0.
d) a = 0 e b = 0
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(CFT) Sejam a função f(x) = 2x2 – 5x + 2 e o intervalo A = ]0, 
2[. Se x ∈ A, a função f
a) é crescente para x < 1/2 e decrescente para x > 1/2.
b) é sempre crescente.
c) em uma raiz real.
d) tem duas raízes reais.
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(CFT) Seja a parábola que representa a função y = kx2 – x + 1. 
Os valores de k, para os quais essa parábola não intercepta o 
eixo das abscissas, são tais que
a) k > 1/4.
b) k > – 4.
c) – 4 < k < 1/4.
d) – 1/4 < k < 4.
18. (UERJ – 2002) Um fruticultor, no primeiro dia da colheita 
de sua safra anual, vende cada fruta por R$2,00. A partir daí, 
o preço de cada fruta decresce R$0,02 por dia. Considere que 
esse fruticultor colheu 80 frutas no primeiro dia e a colheita 
aumenta uma fruta por dia.
a) Expresse o ganho do fruticultor com a venda das frutas 
como função do dia da colheita.
b) Determine o dia da colheita de maior ganho para o 
fruticultor.
19. (UFRJ – 2003) Seja f a função real dada por f(x) = ax2 + bx 
+ c, com a > 0. Determine a, b e c sabendo que as raízes da 
equação |f(x) = 12| são –2, 1, 2 e 5.
20. (UFRJ – 2004) Para quantos números reais x, o número y, 
onde y = –x² + 6x – 1, é um número pertencente ao conjunto 
N = {1, 2, 3, 4, ...}?
EXERCÍCIOS DE COMBATE
Acesse o código para assistir ao vídeo.01
Determinar os zeros reais das funções
a) f(x) = x2 – 3x + 2
b) f(x) = x2 + 7x – 12
c) f(x) = x2 + 4x + 4
d) f(x) = –3x2 + 6
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Determinar os valores de m para que a função (x) = mx2 + 
(m + 1) x + (m –1) tenha um zero real duplo.
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Na equação do segundo grau 2x2 – 5x – 1 = 0 de raízes x1 e 
x2, calcular.
a) x1 + x2
b) x1 . x2 
c) 1/ x1 + 1/x2
46 PROMILITARES
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A equação do 2º grau, (m + 1)x² – 2mx + (m – 1), de incógnita 
x, possui 
1 2
1 1
3
x x
+ = . Sendo assim o valor de m² é
a) 1
b) 4
c) 16
d) 25
e) 9
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EEAR) O vértice da parábola y = –x2 + 6x – 5 é o ponto cuja 
ordenada é
a) – 2
b) – 1
c) 4
d) 6
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Na parábola descrita pela função de IR → IR f(x) = x2 + bx + 1, 
b ∈ IR, o vértice tem coordenadas (– 0,5; – 0,75). Então:
a) b < –1.
b) –1 ≤ b < 0.
c) 0 ≤ b < 1.
d) 1 ≤ bb < 2.
GABARITO
EXERCÍCIOS DE TREINAMENTO
01. D 
02. A
03. B
04. D
05. C
06. B
07. D
08. C
09. C
10. C
11. 
a) (2,3); 
b)
3
5/3
–1
2
5
y
x
c) = − + +
2x 4x 5f(x)
3 3 3
. Seja = + +2f(x) ax bx c .
12. 
a) 
−
=
− −2
2x 2f(x)
x 2x 3
; 
b) ∈{x R ≠ − ≠| x 1 e x 3} . 
13. 
31
8
.
14. A
15. 10 .
16. 10m e 10m.
17. 
a) = + −p 5q 4 1; 
b) 
p
6
2
1 9 q
18. 
a) = − + +2g(x) 0,02x 0,44x 159,58 ; 
b) 11º dia.
19. a = 2, b = –6, c = –8.
20. 15 números.
EXERCÍCIOS DE COMBATE
01. DISCURSIVA
02. DISCURSIVA
03. DISCURSIVA
04. D
05. C
06. D
07. A
08. E
09. C
10. D