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1GEO  ANALITICA  1ª LISTA COORD  DIST PONTOS  VETORES 2012

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CATÓLICA Prof. Cláudio Maciel
Geometria Analítica 
1ª Lista de exercícios: Coordenadas retangulares, Distância entre dois pontos, 
 Vetores em R2 e R3. 
Coordenadas na Reta ( Reta Numérica) 
 Coordenadas sobre uma reta: representar os pontos da reta por meio de números reais, toma-se um desses pontos como origem e associar a ele o número 0 e em seguida escolhe-se uma unidade de comprimento e faz-se corresponder um ponto P à direita e um ponto Q à esquerda deste 0. à direita faz-se corresponder um número real positivo x = d (O,P) e a esquerda um número real negativo x1 = d (O,Q) e assim temos uma reta orientada ao escolhermos um sentido de percurso, chamado positivo e o sentido inverso negativo..
 A esta reta orientada, de origem 0 e uma correspondência biunívoca com o conjunto dos números reais R, chamamos de eixo e o número real x , que corresponde ao ponto P do eixo chama-se coordenada desse ponto. Num eixo, como os números ( x ) são representados por pontos, é costume designá-los por “ ponto x”. 
 Q P
 
 
 x1 0 x 
 Figura 1: x = d(O,P) e x1 = – d(0,Q).
 
Coordenadas no Plano: 
 Aos pontos de um plano também podemos associar coordenadas, tomando-se dois eixos no plano, com a mesma origem e mutuamente perpendiculares → Sistema Cartesiano Ortogonal ou de Eixos ( Cartesiano: De Renatus Cartesius forma latinizada de René Descartes)
 P2 P (x,y)
 y
 
 O x P1 
 Existe uma correspondência, 
, e a cada par (x,y) corresponde um, e somente um, ponto P e a pares distintos correspondem pontos distintos → “ ponto (x,y) “ .
Aplicação: Plotar dispersões e dados tabulares
Tabela: Velocidade classificatória nas 500 milhas de Indianápolis.
 Ano t → Velocidade S (mi/h)
�
193,976
188.975
198,884
202,156
193,736
192,256
200,546
207,004
2007,395
210,029
212,583
216,828
215,390
219,198
223,885
225,301
224,113
232,482
223,967
228,001.�
Plotagem de dispersão de S versus t
 S
235
225
215
205
195
185
 t
 1975 1980 1985 1990 1995 
Gráfico de linhas
 S
235
225
215
205
195
185
 t
 1975 1980 1985 1990 1995 
Gráfico de barras
 S
235
225
215
205
195
185 t 
 1975 1980 1985 1990 1995 
Distância entre dois Pontos
 I ) Sejam P( x1, y1 ) e Q( x2 , y2 ) pontos do R2. 
 
 
II) Sejam P( x1, y1, z1 ) e Q( x2 , y2 , z2 ) pontos do R3. 
 
 
 
Ponto de divisão de um segmento numa razão dada
 Y 
 y2 P2
 y2 – y1
 
 y P N
 x2 – x 
 
 y – y1
 y1 P1 M
 x – x1
 0 x1 x x2 X
 Considere a segmento orientado P1P2 e o ponto P (x,y) um ponto que divide o segmento na razão 
 e dos triângulos semelhantes, temos:
 
 
Exercícios
Um cubo de lado 4 tem seu centro geométrico na origem e suas faces paralelas aos planos coordenados. Esboce o cubo e dê as coordenadas dos cantos.
Mostre que A(4,5,2), B(1,7,3) e C(2,4,5) são vértices de um triângulo eqüilátero.
Mostre que A(2,1,6), B(4,7,9) e C(8,5,-6) são vértices de um triângulo retângulo. Que vértice está no ângulo reto? Determine a área do triângulo.
Calcule a medida da mediana relativa ao vértice A do triângulo ABC. Dados A(0,1), 
 B (2,9) e C (5, -1).
Determine um ponto que dista 20 unidades do ponto A(0,0) e 15 do ponto B(25,0).
Determine o ponto do eixo das abscissas que é eqüidistante dos pontos A(1,-1) e 
 B(5,7).
Obtenha o ponto da bissetriz do 1º quadrante que eqüidista de P(0,1) e A(7,0).
Obter o vértice C de um triângulo retângulo, sabendo que C pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares e que a hipotenusa tem extremidades A(2,1) e B(5,2).
 Determinar o ponto eqüidistante de A(0,1) e B(4,-1) e cuja ordenada é o triplo da abscissa.
Mostrar que o ponto P(2,2,3) é eqüidistante dos pontos Q(1,4,-2) e R(3,7,5).
Determinar, no eixo das ordenadas, um ponto eqüidistante de A(1,1,4) e B(-6,6,4).
Determinar o ponto eqüidistante de A ( 1,7 ), B ( 8, 6 ) e C ( 7, – 1 ).
Calcular o perímetro do triângulo cujos vértices são: A ( – 2 , 5 ), B ( 4, 3 ) e C ( 7, – 2 ).
Obtenha os vértices de um triângulo sendo dados os pontos médios dos lados: M ( a, 0 ), N ( 3a, 0 ) e P ( 2a, a ). 
Para que valores de x o triângulo de vértices A ( - 6, 0 ) , B(0, 6 ) e C( x, - x ) é eqüilátero.
Determinar a equação da circunferência C (x0, y0 ) que passa pelo ponto A (x1, y1 ).
Determinar a equação da circunferência C ( 2, 5 ) que passa pelo ponto A ( 4, 1 ).
Determinar a equação do lugar geométrico dos pontos, cujas distâncias a A( 2, – 3 , 4 ) são duas vezes maiores que as distâncias a B( – 1 , 2 , – 2 ).
Determine a equação da mediatriz do segmento que une os pontos A( 2, – 1 ) e B( – 4 , 2 ).
Determinar a equação do lugar geométrico, sabendo-se que as somas das distâncias de seus pontos a A( 0, 3, 0 ) e B(0, – 3, 0 ) são iguais a 10.
Determinar a equação do lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de A( 1, 3, 8 ) , B( – 6 ,– 4,2 ) e C( 3, 2, 1 ). 
Deduzir a equação da esfera de centro C ( x0, y0, z0 ) que passa pelo ponto A( x1, y1, z1 ).
Instituir a equação da esfera de centro em C( 2 , – 2 , 3 ), que passa por A( 7, – 3 , 5 ). 
24) Um ponto móvel P(x,y) se desloca de tal forma que sua distância a C( 2, -1) é sempre igual a 5. 
 Determinar a equação do lugar geométrico descrito.
25) Um ponto P(x,y) que se move de modo que a soma dos quadrados de suas distâncias a A(0,0) 
 e B(2, -4) é sempre igual a 20. Deduzir a equação do lugar geométrico descrito.
26) Um ponto P( x,y) que se move de modo que a soma de suas distâncias aos eixos de 
 coordenadas é igual ao quadrado de sua distância à origem. Determinar a equação do lugar 
 gerado pelo ponto.
27) Deduzir a equação do lugar geométrico de um ponto móvel P(x,y), cuja distância ao ponto 
 A( 3 , 2 ) é sempre igual a sua distância ao eixo dos y.
28) Determine a equação da