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<p>MAIS UMA INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES</p><p>DIFERENCIAIS</p><p>(notas de aula de ma311 - cálculo iii )</p><p>Prof. Ricardo Miranda Martins</p><p>RMiranda@unicamp.br</p><p>http://www.ime.unicamp.br/˜rmiranda/</p><p>IMECC, Unicamp</p><p>Aviso: estas notas estão em constante modificação. Não imprima este texto.</p><p>Última atualização: 18 de janeiro de 2023, 16:46.</p><p>1</p><p>mailto:RMiranda@unicamp.br</p><p>http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda/</p><p>conteúdo</p><p>Conteúdo</p><p>Mais um texto de equações diferenciais 3</p><p>1 Exemplos iniciais de equações diferenciais 5</p><p>1.1 Nós já sabemos resolver equações diferenciais! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5</p><p>1.2 Sistemas de equações diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8</p><p>1.3 Um exemplo um pouco mais elaborado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10</p><p>2 Classificação e existência de soluções para equações diferenciais 14</p><p>2.1 Definições iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14</p><p>2.2 Classificação de equações diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14</p><p>2.3 Existência e unicidade de soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16</p><p>2.4 A geometria da solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19</p><p>2.5 Campo de direções e isóclinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19</p><p>2.6 Campo de direções para sistemas de equações diferenciais autônomas . . . . . . 22</p><p>2.7 Transformando equações diferenciais de ordem alta em sistemas de equações . . . 24</p><p>3 Equações diferenciais lineares de primeira ordem 26</p><p>3.1 Equações com coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26</p><p>3.2 EDOs lineares de primeira ordem com coeficientes variáveis . . . . . . . . . . . 29</p><p>3.3 Equações de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32</p><p>3.4 Equações separáveis: modo ingênuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33</p><p>4 Formas diferenciais 34</p><p>4.1 Campos vetoriais e formas diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34</p><p>4.2 Formas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35</p><p>4.3 Formas diferenciais em R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36</p><p>4.4 Equações envolvendo formas diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38</p><p>5 Equações separáveis e equações exatas 40</p><p>5.1 Equações separáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40</p><p>5.2 Equações exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42</p><p>5.3 Transformando equações não-exatas em equações exatas . . . . . . . . . . . . . . . 44</p><p>5.4 Redução de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48</p><p>6 Equações diferenciais lineares de segunda ordem 50</p><p>6.1 Existência de soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50</p><p>6.2 Equações homogêneas de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51</p><p>6.3 O Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53</p><p>6.4 O espaço-solução das equações diferenciais de segunda ordem . . . . . . . . . . 56</p><p>6.5 Equações homogêneas: método das equações caracterı́sticas . . . . . . . . . . . . 58</p><p>2</p><p>6.6 Equações não-homogêneas: método dos coeficientes a determinar . . . . . . . . . 61</p><p>6.7 Equações não-homogêneas: método da variação dos parâmetros . . . . . . . . . 66</p><p>6.8 Equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes não-constantes . . . . 69</p><p>6.9 Em termos de operadores diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72</p><p>6.10 Equações de ordens superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73</p><p>7 Transformada de Laplace 74</p><p>7.1 Motivação e definição da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74</p><p>7.2 Integrais impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75</p><p>7.3 Existência da Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76</p><p>7.4 Transformadas de Laplace e PVIs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78</p><p>7.5 Método geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80</p><p>7.6 Função degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81</p><p>7.7 Transformadas inversas e funções degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85</p><p>7.8 Função impulso e Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88</p><p>7.9 Transformadas de Laplace de produtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92</p><p>8 Sequências e séries numéricas 97</p><p>8.1 Relações de equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97</p><p>8.2 O conjunto dos números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103</p><p>8.3 Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105</p><p>8.4 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111</p><p>8.5 Critérios de convergência de séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112</p><p>9 Soluções em séries para equações diferenciais 120</p><p>9.1 Polinômios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120</p><p>9.2 Séries de Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121</p><p>10 Soluções em séries para EDOs: pontos regulares 129</p><p>10.1 Soluções em séries para EDOs: pontos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134</p><p>10.2 Soluções em séries para EDOs: caso singular-regular . . . . . . . . . . . . . . . . 136</p><p>11 Séries de Fourier e problemas de valor de contorno 141</p><p>11.1 Problemas de valor de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141</p><p>11.2 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142</p><p>11.3 Funções pares e funções ı́mpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146</p><p>12 Equações do calor, da onda e de Laplace 147</p><p>12.1 Equação do calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147</p><p>12.2 Como resolver a equação do calor? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147</p><p>12.3 A equação da onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150</p><p>12.4 A equação de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153</p><p>3</p><p>conteúdo</p><p>13 Sistemas lineares e exponencial matricial 154</p><p>13.1 Exponencial de.. matrizes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154</p><p>13.2 Espaços métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154</p><p>13.3 Espaços normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155</p><p>13.4 Exponencial matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159</p><p>14 Sistemas de equações diferenciais 162</p><p>14.1 Equações homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162</p><p>14.2 Equações não-homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163</p><p>14.3 Retrato de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164</p><p>14.4 Calculando explicitamente as exponenciais matriciais . . . . . . . . . . . . . . . 165</p><p>14.5 Sistemas não-homogêneos sem coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . 172</p><p>14.6 Resumo sobre soluções de sistemas de equações diferenciais de primeira ordem</p><p>lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175</p><p>15 Introdução à teoria qualitativa dos sistemas dinâmicos 177</p><p>15.1 Retratos de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177</p><p>15.2 Estabilidade estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179</p><p>Referências 183</p><p>mas precisamos ter algum cuidado com as constantes</p><p>de integração. A solução v(x) de (28) depende de uma constante de integração c, por isto vamos</p><p>denotá-la por v(x, c). Como obtemos a solução de (28)? Resolvendo a equação y′(x) = v(x, c)!</p><p>Se y′(x) = v(x, c), para acharmos y(x) aparecerá outra constante de integração c̃, logo</p><p>y(x) =</p><p>∫</p><p>v(x, c) dx + c̃.</p><p>Exemplo 5.16. Resolva a equação y′′ + 3y′ = x.</p><p>Fazendo a mudança v = y′ obtemos v′ + 3v = x. Esta é uma equação linear de 1a ordem. Sua</p><p>solução pode ser obtida e é</p><p>v(x) = −1</p><p>9</p><p>+</p><p>x</p><p>3</p><p>+ ce−3x.</p><p>Se y′(x) = v(x, c), para acharmos y(x) aparecerá outra constante de integração c̃, logo</p><p>y(x) =</p><p>∫</p><p>v(x, c) dx + c̃.</p><p>50</p><p>5.4. redução de ordem</p><p>Resolvendo a EDO y′(x) = −1</p><p>9</p><p>+</p><p>x</p><p>3</p><p>+ ce−3x obtemos</p><p>y(x) = −1</p><p>3</p><p>ce−3x +</p><p>x2</p><p>6</p><p>− x</p><p>9</p><p>+ c̃.</p><p>♣</p><p>Exercı́cio 5.17. Resolva a EDO 2x2y′′ + (y′)3 = 2xy′, x > 0. ▲</p><p>5.4.2 Equações do tipo y′′ = g(y, y′)</p><p>Neste caso11, a mudança de coordenadas não é tão óbvia.</p><p>Se v(x) = y′(x) então v′(x) = y′′(x) = g(y(x), v(x)) e a equação dependerá de muitas variáveis.</p><p>Pense que variável independente é y. Então</p><p>dv</p><p>dx</p><p>=</p><p>dv</p><p>dy</p><p>dy</p><p>dx</p><p>= v</p><p>dv</p><p>dy</p><p>,</p><p>e ficamos com</p><p>v</p><p>dv</p><p>dy</p><p>= f (y, v).</p><p>Obtivemos uma equação de 1a ordem, mas de um tipo que pode ser bem difı́cil de resolver.</p><p>Suponha que exista uma solução v(y) para</p><p>v</p><p>dv</p><p>dy</p><p>= f (y, v).</p><p>Poderemos achar y resolvendo</p><p>dy</p><p>dt</p><p>= v(y),</p><p>sendo que esta última equação é separável!</p><p>Exemplo 5.18. Resolva a equação y′′ + y = 0.</p><p>Seja y′ = v(y), de modo que y′′ = v(y)v′(y). A equação fica vv′ + y = 0, ou</p><p>v</p><p>dv</p><p>dy</p><p>= −y.</p><p>A equação é separável! v dv = −y dv. Agora é só terminar a resolução.</p><p>♣</p><p>Exercı́cio 5.19. Resolva 2y′′ − (y′)2 = y.</p><p>Dica: você vai recair numa equação de Bernoulli. ▲</p><p>11Este caso é muito degenerado e não recomendo dar muita atenção a ele.</p><p>51</p><p>6. equações diferenciais lineares de segunda ordem</p><p>6 Equações diferenciais lineares de segunda ordem</p><p>Neste capı́tulo vamos começar a estudar equações de ordem superior. O foco será nas de segunda</p><p>ordem, mas todo o conteúdo pode ser facilmente generalizado.</p><p>6.1 Existência de soluções</p><p>Sejam p, q, f : (a, b)→ R funções contı́nuas definidas num aberto (a, b) e considere a equação</p><p>x′′(t) + p(t)x′(t) + q(t)x(t) = f (t). (29)</p><p>Vamos também considerar condições iniciais x(t0) = x0 e x′(t0) = v0, onde t0 ∈ (a, b) e x0, v0 são</p><p>dados. Às vezes chamaremos t0 de tempo inicial, x0 de posição inicial, v0 de velocidade inicial.</p><p>Teorema 6.1 (Existência e unicidade para equações de segunda ordem). Se p, q, f : (a, b)→ R</p><p>são funções contı́nuas definidas no intervalo aberto (a, b), t0 ∈ (a, b), x0, y0 ∈ R, então o PVI x′′(t) + p(t)x′(t) + q(t)x(t) = f (t)</p><p>x(t0) = x0, x</p><p>′(t0) = v0</p><p>tem única solução φ : (a, b)→ R.</p><p>O Teorema anterior decorre do Teorema de Existência e Unicidade para equações de primeira</p><p>ordem se transformarmos (29) num sistema de equações de primeira ordem:x</p><p>′(t) = y(t),</p><p>y′(t) = −q(t)x(t) − p(t)y(t) + f (t),</p><p>onde y(t) = x′(t).</p><p>Observação 6.2. Este truque de transformar EDOs de ordem superior em um sistema de EDOs de</p><p>primeira ordem é bem geral: a equação</p><p>x′′′ + F(t, x, x′, x′′)x′′ + G(t, x, x′)x′ + F(t, x)x + H(t) = 0</p><p>se transforma no sistema</p><p>x′ = y,</p><p>y′ = z,</p><p>z′ = −F(t, x, y, z)z − G(t, x, y)y − F(t, x)x + H(t),</p><p>onde y = x′ e z = x′′. Quase todos os resultados desse capı́tulo são verdadeiros, ainda que com</p><p>adaptações, para equações de ordem superior.</p><p>52</p><p>6.2. equações homogêneas de segunda ordem</p><p>Assim como fizemos com EDOs de primeira ordem, vamos separar a análise conforme homoge-</p><p>neidade, constância dos coeficientes, etc.</p><p>6.2 Equações homogêneas de segunda ordem</p><p>Vamos considerar dois PVIs especiais:</p><p>E1,0 :</p><p>x</p><p>′′(t) + p(t)x′(t) + q(t)x(t) = 0,</p><p>x(t0) = 1, x′(t0) = 0,</p><p>e</p><p>E0,1 :</p><p>x</p><p>′′(t) + p(t)x′(t) + q(t)x(t) = 0,</p><p>x(t0) = 0, x′(t0) = 1.</p><p>Vamos denotar por φ1,0(t) a solução do PVI E1,0 e φ0,1(t) a solução do PVI E0,1, ambas definidas</p><p>em (a, b) com t0 ∈ (a, b). Denotando</p><p>φ(t) = αφ1,0(t) + βφ0,1(t)</p><p>então </p><p>φ′′(t) + p(t)φ′(t) + q(t)φ(t) = 0, (verifique!)</p><p>φ(t0) = αφ1,0(t0) + βφ0,1(t0) = α,</p><p>φ′(t0) = αφ′1,0(t0) + βφ′0,1(t0) = β</p><p>ou seja, φ(t) é solução do PVI x</p><p>′′(t) + p(t)x′(t) + q(t)x(t) = 0,</p><p>x(t0) = α, x′(t0) = β.</p><p>(30)</p><p>Teorema 6.3. Toda solução do PVI (30) pode ser obtida como combinação linear de φ1,0 e φ0,1.</p><p>Observação 6.4. Os PVIs E1,0 e E0,1 foram escolhidos para refletir a base canônica de R2. Po-</p><p>derı́amos ter usado outros PVIs, como por exemplo</p><p>Ea,b :</p><p>x</p><p>′′(t) + p(t)x′(t) + q(t)x(t) = 0,</p><p>x(t0) = a, x′(t0) = b,</p><p>e</p><p>Ec,d :</p><p>x</p><p>′′(t) + p(t)x′(t) + q(t)x(t) = 0,</p><p>x(t0) = c, x′(t0) = d,</p><p>53</p><p>6. equações diferenciais lineares de segunda ordem</p><p>desde que os vetores (a, b) e (c, d) sejam linearmente independentes. A única diferença é que seria</p><p>um pouco mais difı́cil de escrever a combinação linear (coisa que é trivial com a base canônica).</p><p>Observação 6.5. A propriedade da soma de soluções ser uma solução é chamada de princı́pio da</p><p>superposição. Ela decorre do fato da equação ser homogênea e linear. Vimos que um PVI tem</p><p>solução e ela é única. O teorema anterior diz que uma solução qualquer depende de duas soluções</p><p>“fundamentais”. No exemplo anterior, foram necessárias duas soluções fundamentais: φ1,0 e φ0,1.</p><p>Se a EDO tiver ordem k, precisaremos de k soluções fundamentais.</p><p>Definição 6.6. Duas funções φ1,φ2 : (a, b)→ R são linearmente dependentes (LD) se existe uma</p><p>constante k tal que φ2(t) = kφ1(t) para todo t ∈ (a, b). Caso contrário, as funções são chamadas de</p><p>linearmente independentes (LI).</p><p>Podemos ainda definir primeiro funções linearmente independentes e depois as linearmente</p><p>dependentes:</p><p>Definição 6.7. Duas funções φ1,φ2 : (a, b)→ R são linearmente independentes (LI) se</p><p>αφ1(t) + βφ2(t) = 0 ∀t ∈ (a, b)</p><p>implicar que α = β = 0. Caso contrário, as funções são chamadas de linearmente dependentes.</p><p>Observação 6.8. Estas definições de LI e LD são as mesmas vistas nos cursos de geometria analı́tica</p><p>ou álgebra linear e podem ser estendidas para um número qualquer de funções.</p><p>Exemplo 6.9. 1. As funções f (t) = t2 e g(t) = 2t são linearmente independentes.</p><p>2. As funções cos(t) e sen(t) são linearmente independentes.</p><p>3. As funções eat e ebt são linearmente independentes se a , b.</p><p>4. As funções t3 e |t|3 são linearmente independentes.</p><p>5. As funções p(t) = t2 e q(t) = 3t2 são linearmente dependentes.</p><p>♣</p><p>Observação 6.10. Pense um pouco sobre como se relacionam os gráficos de duas funções que são</p><p>linearmente dependentes.</p><p>54</p><p>6.3. o wronskiano</p><p>6.3 O Wronskiano</p><p>Dadas φ1,φ2 : (a, b)→ R funções diferenciáveis, o determinante</p><p>W(φ1,φ2)(t) = det</p><p>φ1(t) φ2(t)</p><p>φ′1(t) φ′2(t)</p><p></p><p>é chamado de Wronskiano de φ1 e φ2.</p><p>Exemplo 6.11. Vamos calcular alguns wronskianos:</p><p>(a) W(t2, 2t) = det</p><p>t2 2t</p><p>2t 2</p><p> = −2t2</p><p>(b) W(cos(t), sen(t)) = det</p><p> cos(t) sen(t)</p><p>− sen(t) cos(t)</p><p> = 1</p><p>(c) W(eat, ebt) = det</p><p> eat ebt</p><p>aeat bebt</p><p> = (b − a)e(a+b)t</p><p>(d) W(t2, 3t2) = det</p><p>t2 3t2</p><p>2t 6t</p><p> = 0</p><p>♣</p><p>Exemplo 6.12. Mostre que W(t3, |t|3) = 0 para todo t ∈ R.</p><p>O primeiro passo é mostrar que a função f (t) = |t|3 é diferenciável. Note que</p><p>f (t) =</p><p> t3 , t ≥ 0,</p><p>−t3 , t < 0.</p><p>Sabemos como calcular f ′(t) para t , 0. Precisamos descobrir f ′(0), e isto precisa ser feito</p><p>usando a definição de derivada lateral. Como</p><p>lim</p><p>h→0+</p><p>f (0 + h) − f (0)</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h→0+</p><p>h3 − 0</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h→0+</p><p>h2 = 0</p><p>e</p><p>lim</p><p>h→0−</p><p>f (0 + h) − f (0)</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h→0−</p><p>−h3 − 0</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h→0−</p><p>−h2 = 0</p><p>segue que f ′(0) existe e f ′(0) = 0. Obtemos então uma expressão para f ′(t):</p><p>f ′(t) =</p><p> 3t2 , t ≥ 0,</p><p>−3t2 , t < 0.</p><p>55</p><p>6. equações diferenciais lineares de segunda ordem</p><p>Calculando o Wronskiano para t ≥ 0 temos:</p><p>W(t3, |t|3) = W(t3, t3) = det</p><p> t3 t3</p><p>3t2 3t2</p><p> = 0.</p><p>Calculando agora para t < 0 temos:</p><p>W(t3, |t|3) = W(t3,−t3) = det</p><p> t3 −t3</p><p>3t2 −3t2</p><p> = 0.</p><p>Assim,</p><p>W(t3, |t|3) = 0</p><p>para todo t ∈ R.</p><p>♣</p><p>Teorema 6.13. Se φ1,φ2 : (a, b)→ R são diferenciáveis e existe t0 ∈ (a, b) tal que</p><p>W(φ1,φ2)(t0) , 0,</p><p>então φ1 e φ2 são linearmente independentes.</p><p>Suponha que φ1,φ2 sejam linearmente dependentes. Assim existem α, β ∈ R não ambas nulas</p><p>tais que</p><p>αφ1(t) + βφ2(t) = 0, ∀t ∈ (a, b).</p><p>Derivando:</p><p>αφ′1(t) + βφ′2(t) = 0.</p><p>O determinante do sistema associado é W(φ1,φ2)(t), que é diferente de zero para algum t0 ∈ (a, b),</p><p>contrariando a hipótese.</p><p>Observação 6.14. A recı́proca não é verdadeira: já vimos que t3 e |t|3 são LI, mas W(t3, |t|3) = 0</p><p>para todo t.</p><p>Apesar do comentário acima, podemos provar o seguinte:</p><p>Teorema 6.15. Se φ1,φ2 : (a, b)→ R são soluções de</p><p>x′′(t) + p(t)x′(t) + q(t)x(t) = 0, (31)</p><p>então elas são LI se, e somente se, W(φ1,φ2)(t0) , 0 para algum t0 ∈ (a, b).</p><p>56</p><p>6.3. o wronskiano</p><p>Prova. A “volta” segue do Teorema 6.13. Vamos provar a “ida”. Sejam φ1,φ2 soluções l.i. de (31).</p><p>Suponha, por contradição, que não existe ponto t0 ∈ (a, b) tal que W(φ1,φ2)(t0) , 0. Seja t0 ∈ (a, b).</p><p>Então o sistema  a1φ1(t0) + a2φ2(t0) = 0,</p><p>a1φ</p><p>′</p><p>1(t0) + a2φ</p><p>′</p><p>2(t0) = 0</p><p>tem solução não-trivial (a1, a2). Seja</p><p>φ(t) = a1φ1(t) + a2φ2(t).</p><p>Então φ(t) é solução de (31) e, como φ(0) = φ′(0) = 0, segue que φ(t) = 0 para todo t ∈ (a, b). Logo</p><p>φ1,φ2 são linearmente dependentes, contrariando a hipótese.</p><p>■</p><p>Corolário 6.16. Nas hipóteses do teorema anterior, se</p><p>W(φ1,φ2)(t) , 0</p><p>em um ponto t = t0, então</p><p>W(φ1,φ2)(t) , 0</p><p>para todo t ∈ (a, b).</p><p>Prova. Basta usar a fórmula de Abel-Liouville: para t0 ∈ (a, b),</p><p>W(φ1,φ2)(t) = W(φ1,φ2)(t0) exp</p><p>−</p><p>t∫</p><p>t0</p><p>p(s) ds</p><p> . (32)</p><p>■</p><p>Prova. (da fórmula de Abel-Liouville) Como</p><p>W(t) = det</p><p>φ1(t) φ2(t)</p><p>φ′1(t) φ′2(t)</p><p> = φ1(t)φ′2(t) − φ2(t)φ′1(t)</p><p>temos que</p><p>W′(t) = φ′1(t)φ′2(t) + φ1(t)φ′′2 (t) − φ′2(t)φ′1(t) − φ2(t)φ′′1 (t)</p><p>= φ1(t)φ′′2 (t) − φ2(t)φ′′1 (t)</p><p>= −p(t)W(t),</p><p>pois φ1,φ2 satisfazem (32) (verifique!). Assim, W(t) é solução de uma EDO de primeira ordem.</p><p>57</p><p>6. equações diferenciais lineares de segunda ordem</p><p>Já sabemos resolver esta EDO:</p><p>W(φ1,φ2)(t) = ce</p><p>−</p><p>t∫</p><p>t0</p><p>p(s) ds</p><p>,</p><p>onde c ∈ R e t0 ∈ (a, b). Determinar o valor de c é fácil: em t = t0 temos</p><p>W(φ1,φ2)(t0) = ce</p><p>−</p><p>t0∫</p><p>t0</p><p>p(s) ds</p><p>= c,</p><p>ou seja,</p><p>c = W(φ1,φ2)(t0)</p><p>e daı́ segue que</p><p>W(φ1,φ2)(t) = W(φ1,φ2)(t0)e</p><p>−</p><p>t∫</p><p>t0</p><p>p(s) ds</p><p>.</p><p>■</p><p>6.4 O espaço-solução das equações diferenciais de segunda ordem</p><p>Teorema 6.17. Sejam φ1,φ2 : (a, b)→ R duas soluções linearmente independentes de</p><p>x′′(t) + p(t)x′(t) + q(t)x(t) = 0.</p><p>Então qualquer outra solução φ(t) é da forma</p><p>φ(t) = αφ1(t) + βφ2(t),</p><p>para certos valores de α, β.</p><p>Prova. Sejam φ1,φ2 soluções linearmente independentes e φ uma outra solução qualquer. Seja t0</p><p>tal que</p><p>W(φ1,φ2)(t0) , 0.</p><p>Considere o sistema abaixo nas variáveis z, w:zφ1(t0) + wφ2(t0) = φ(t0),</p><p>zφ′1(t0) + wφ′2(t0) = φ(t0).</p><p>O determinante do sistema é W(φ1,φ2)(t0). Como W(φ1,φ2)(t0) , 0, o sistema tem única solução</p><p>(z, w) = (α, β).</p><p>Seja σ(t) = αφ1(t) + βφ2(t). Então σ(t) é solução da EDO com σ(t0) = φ(t0) e σ′(t0) = φ′(t0). Pelo</p><p>58</p><p>6.4. o espaço-solução das equações diferenciais de segunda ordem</p><p>TEU, segue</p><p>φ(t) = σ(t) = αφ1(t) + βφ2(t).</p><p>■</p><p>Observação 6.18. Se p, q são contı́nuas, a equação</p><p>x′′(t) + p(t)x′(t) + q(t)x(t) = 0</p><p>tem sempre duas soluções linearmente independentes, e já mostramos como encontrá-las: basta</p><p>considerar, por exemplo, PVIs como E1,0 e E0,1. Volte ao Teorema 6.3.</p><p>Observação 6.19. O Teorema 6.17 pode ser pensado em termos de operadores lineares, como já</p><p>fizemos antes. Seja I = (a, b) e lembre-se que Ck(I) é o conjunto das funções f : I → R que tem</p><p>todas as derivadas contı́nuas até ordem k. Mais que um conjunto, Ck(I) tem estrutura de espaço</p><p>vetorial (prove!).</p><p>Defina L : C2(I)→ C0(I) por</p><p>L(x(t)) = x′′(t) + p(t)x′(t) + q(t)x(t).</p><p>Pode-se mostrar que L é um operador linear. Então uma função x(t) resolve a equação</p><p>x′′(t) + p(t)x′(t) + q(t)x(t) = 0</p><p>se, e somente se, está no núcleo ker(L) do operador L, ou seja, o núcleo ker(L) é exatamente o</p><p>espaço vetorial das soluções da equação.</p><p>A prova do Teorema 6.17 basicamente é uma prova de que ker(L) é bidimensional.</p><p>Uma generalização desta construção garante que o espaço solução de uma equação homogênea</p><p>de ordem k, com boas hipóteses sobre as funções-coeficientes, terá dimensão k.</p><p>Observação 6.20. Continuando a observação anterior, no caso de equações não-homogêneas</p><p>x′′(t) + p(t)x′(t) + q(t)x(t) = f (t), (33)</p><p>em termos de operadores o que queremos é resolver</p><p>L(x(t)) = f (t),</p><p>ou seja, encontrar x(t) com</p><p>x(t) = L−1(f (t)).</p><p>Sejam φ1,φ2 ∈ ker(L) soluções linearmente independentes de (33) com f = 0 e seja φp uma</p><p>solução particular de (33). Então a solução geral da equação (33) é φ(t) = αφ1(t) + βφ2(t) + φp(t),</p><p>59</p><p>6. equações diferenciais lineares de segunda ordem</p><p>α, β ∈ R. O problema é como achar essa solução particular φp(t). Nas próximas seções veremos</p><p>como fazer isso para alguns tipos de equações.</p><p>A observação anterior nos permite enunciar o seguinte:</p><p>Proposição 6.21. Considere a equação</p><p>x′′(t) + p(t)x′(t) + q(t)x(t) = f (t). (34)</p><p>• Se φ1(t),φ2(t) são soluções de (34), então φ1(t) − φ2(t) é solução da EDO homogênea</p><p>associada</p><p>x′′(t) + p(t)x′(t) + q(t)x(t) = 0. (35)</p><p>• Seja φp(t) uma solução qualquer de (34) e φ1(t),φ2(t) soluções linearmente independen-</p><p>tes de (35). Então</p><p>φ(t) = αφ1(t) + βφ2(t) + φp(t)</p><p>é a solução geral de (34).</p><p>6.5 Equações homogêneas: método das equações caracterı́sticas</p><p>Vamos começar com as equações homogêneas da forma</p><p>x′′(t) + px′(t) + qx(t) = 0, (36)</p><p>em que os coeficientes são constantes.</p><p>Vamos buscar soluções na forma x(t) = eλt. Substituindo na equação obtemos</p><p>λ2eλt + pλeλt + qetλ = 0,</p><p>ou</p><p>eλt</p><p>(</p><p>λ2 + pλ + q</p><p>)</p><p>= 0,</p><p>o que implica que</p><p>λ2 + pλ + q = 0.</p><p>A equação</p><p>λ2 + pλ + q = 0 (37)</p><p>é conhecida como equação caracterı́stica. Para que x(t) = eλt seja solução de (36), λ terá que</p><p>satisfazer (37). Seja ∆ = p2 − 4q. Vamos estudar as soluções de (36) conforme o sinal de ∆.</p><p>60</p><p>6.5. equações homogêneas: método das equações caracterı́sticas</p><p>6.5.1 Caso ∆ > 0</p><p>Se ∆ > 0, as soluções de (37) são da forma</p><p>λ =</p><p>−p ±</p><p>√</p><p>p2 − 4q</p><p>2</p><p>.</p><p>Vamos denotar estas soluções por λ1, λ2. Note que λ1 , λ2. As soluções de (36) serão</p><p>x1(t) = eλ1t, x2(t) = eλ2t.</p><p>Como os expoentes são diferentes, as soluções são linearmente independentes. Verifique isto</p><p>calculando o Wronskiano das soluções.</p><p>A solução geral será</p><p>x(t) = αeλ1t + βeλ2t.</p><p>Exemplo 6.22. Encontre a solução geral da equação x′′ − 4x = 0.</p><p>Suponha que x(t) = eλt. Obtemos então a equação caracterı́stica</p><p>λ2 − 4 = 0,</p><p>que tem raı́zes ±2. Logo a solução geral da EDO é</p><p>x(t) = αe−2t + βe2t.</p><p>♣</p><p>Exercı́cio 6.23. Encontre a solução geral de x′′ − 5x′ + 6x = 0 e a solução do PVI x(0) = 1, x′(0) = 2.</p><p>▲</p><p>6.5.2 Caso ∆ = 0</p><p>Neste caso, a equação caracterı́stica</p><p>λ2 + pλ + q = 0</p><p>só tem a raiz λ = −p/2, que dá origem à solução</p><p>x1(t) = e−pt/2.</p><p>Como achar uma função x2(t) que seja solução da EDO e seja LI com esta? Vamos usar um</p><p>método conhecido como redução de ordem.</p><p>Suponha que a outra solução seja da forma</p><p>x2(t) = u(t)x1(t),</p><p>61</p><p>6. equações diferenciais lineares de segunda ordem</p><p>com alguma função u(t).</p><p>Substituindo na equação (36) obtemos</p><p>u(t)</p><p>(</p><p>x′′1 (t) + px′1(t) + qx1(t)</p><p>)</p><p>+ u′′(t)x1(t) + u′(t)</p><p>(</p><p>px1(t) + 2x′1(t)</p><p>)</p><p>= 0</p><p>Substituindo v(t) = u′(t) chegamos em</p><p>v′(t) +</p><p>(</p><p>p + 2</p><p>x′1(t)</p><p>x1(t)</p><p>)</p><p>v(t) = 0,</p><p>e daı́ resta</p><p>v′(t) = 0,</p><p>ou seja, v(t) = c e com isso</p><p>u(t) = ct + c̃.</p><p>Como c, c̃ podem ser escolhidos, ficamos com u(t) = t e daı́ a solução x2(t) é dada por</p><p>x2(t) = te−pt/2.</p><p>Agora resta calcular W(x1, x2)(t) e comprovar que estas funções são linearmente independentes</p><p>(exercı́cio!).</p><p>A solução</p><p>geral será</p><p>x(t) = αe−pt/2 + βte−pt/2.</p><p>Exemplo 6.24. Encontre a solução geral de x′′ + 2x′ + x = 0. ♣</p><p>6.5.3 Caso ∆ < 0</p><p>Se ∆ < 0, as raı́zes da equação caracterı́stica são complexas, que denotaremos</p><p>λ1 = −µ + iν, λ2 = −µ − iν,</p><p>onde µ = p/2 e ν =</p><p>√</p><p>4q − p2/2.</p><p>Temos um problema grave aqui: propomos uma solução da forma x(t) = eλt e agora vamos</p><p>colocar um número complexo aı́ nestes expoente?</p><p>Isto vai ser meio constrangedor, mas vamos fazer uma gambiarra matemática. Acreditem em</p><p>mim, vamos nos livrar em breve deste número complexo no expoente.</p><p>Sejam</p><p>z1(t) = eλ1t = e−µt+iνt = e−µteiνt</p><p>e</p><p>z2(t) = eλ2t = e−µt−iνt = e−µte−iνt</p><p>62</p><p>6.6. equações não-homogêneas: método dos coeficientes a determinar</p><p>as soluções complexas da EDO.</p><p>Como a EDO é linear e homogênea, se z1, z2 são soluções, também são soluções</p><p>x1(t) =</p><p>z1(t) + z2(t)</p><p>2</p><p>=</p><p>e−µteiνt + e−µte−iνt</p><p>2</p><p>e</p><p>x2(t) =</p><p>z1(t) − z2(t)</p><p>2i</p><p>=</p><p>e−µteiνt + e−µte−iνt</p><p>2i</p><p>O único resultado sobre números complexos que iremos usar é a identidade de Euler:</p><p>Teorema 6.25 (um dos 500 de Euler). Se θ ∈ R então eiθ = cos(θ) + i sen(θ).</p><p>Aplicando isto nas expressões de x1(t), x2(t):</p><p>x1(t) =</p><p>e−µteiνt + e−µte−iνt</p><p>2</p><p>= e−µt cos(νt)</p><p>e</p><p>x2(t) =</p><p>e−µteiνt + e−µte−iνt</p><p>2i</p><p>= e−µt sen(νt).</p><p>Pronto, nos livramos dos complexos e obtivemos duas soluções x1(t), x2(t). Calculando o</p><p>Wronskiano, conseguimos provar que estas soluções são linearmente independentes, e daı́ a</p><p>solução geral da equação é da forma</p><p>x(t) = αe−µt cos(νt) + βe−µt sen(νt),</p><p>onde</p><p>λ = −µ ± iν</p><p>são as raı́zes complexas da equação caracterı́stica, µ = p/2 e ν =</p><p>√</p><p>4q − p2/2.</p><p>Exemplo 6.26. Encontre as soluções de</p><p>x′′ − 2x′ + 5x = 0.</p><p>♣</p><p>6.6 Equações não-homogêneas: método dos coeficientes a determinar</p><p>Até agora, aprendemos a resolver equações homogêneas. É possı́vel encontrar soluções para</p><p>equações diferenciais lineares de segunda ordem, com coeficientes constantes e não-homogêneas</p><p>de uma forma bem simples: propondo soluções de formas particulares.</p><p>Este novo método se chama método dos coeficientes a determinar e se aplica a equações da</p><p>forma</p><p>63</p><p>6. equações diferenciais lineares de segunda ordem</p><p>x′′(t) + px′(t) + qx(t) = f (t), (38)</p><p>onde p, q ∈ R e f (t) é combinação de funções exponenciais, polinomiais e trigonométricas.</p><p>Vamos denotar por</p><p>L(x)(t) = x′′(t) + px′(t) + qx(t)</p><p>o operador diferencial. A equação (38) pode ser escrita como</p><p>L(x)(t) = f (t).</p><p>Denote ainda por</p><p>S(λ) = λ2 + pλ + q = 0</p><p>a equação caracterı́stica da equação homogênea associada à equação (38), que é</p><p>x′′(t) + px′(t) + qx(t) = 0.</p><p>O método dos coeficientes a determinar, como tudo na vida, tem vantagens e desvantagens:</p><p>• Desvantagem: não se aplica a qualquer função f (t).</p><p>• Vantagem: não precisaremos resolver integrais!</p><p>Vamos dividir nossa análise conforme o tipo de função f (t), a parte não homogênea de (38).</p><p>6.6.1 Caso f (t) = αeat</p><p>Neste caso, temos a equação L(x)(t) = αeat, ou seja,</p><p>x′′(t) + px′(t) + qx(t) = αeat. (39)</p><p>As soluções da equação homogênea</p><p>L(x)(t) = 0</p><p>serão denotadas por x1(t), x2(t) e podem ser facilmente encontradas com os métodos que já vimos.</p><p>Vamos supor que a solução da equação não-homogênea é da forma</p><p>xp(t) = ceµt.</p><p>Precisamos encontrar c e µ. Substituindo na equação (39) chegamos em</p><p>ceµt · S(µ) = αeat.</p><p>64</p><p>6.6. equações não-homogêneas: método dos coeficientes a determinar</p><p>Desta equação tiramos que µ = a e ficamos com</p><p>ceat · S(a) = αeat.</p><p>Portanto, c = α/S(a), desde que S(a) , 0. Assim a solução geral da equação é</p><p>x(t) = c1x1(t) + c2x2(t) +</p><p>α</p><p>S(a)</p><p>eat, c1, c2 ∈ R.</p><p>Exemplo 6.27. Resolva x′′(t) + 3x′(t) + 2x(t) = e3t.</p><p>As soluções da equação homogênea associada são x1(t) = e−2t e x2(t) = e−t. Se procurarmos</p><p>uma solução particular da equação não-homogênea da forma</p><p>xp(t) = ceµt,</p><p>ao substituir na equação obtemos</p><p>c · S(µ) · eµt = c · (µ2 + 3µ + 2) · eµt = e3t.</p><p>Resolvendo</p><p>c · S(µ) · eµt = e3t</p><p>para c, µ obtemos µ = 3. Com µ = 3 obtemos c = 1/20 e a solução geral:</p><p>x(t) = c1e</p><p>−2t + c2e</p><p>−t +</p><p>1</p><p>20</p><p>e3t, c1, c2 ∈ R.</p><p>♣</p><p>Ainda no caso das equações</p><p>x′′(t) + px′(t) + qx(t) = αeat,</p><p>teremos um problema se a for raiz da equação caracterı́stica: é o caso quando S(α) = 0, que</p><p>descartamos anteriormente. Veremos num exemplo o que acontece neste caso.</p><p>Exemplo 6.28. Encontre uma solução da equação x′′(t) − 5x′(t) + 4x(t) = e4t.</p><p>Mantendo a notação do começo da seção, temos que L(x) = x′′ − 5x′ + 4x. As soluções da</p><p>equação homogênea são x1(t) = et e x2(t) = e4t. Vamos procurar uma solução particular da</p><p>equação não-homogênea da forma</p><p>xp(t) = c · eµt.</p><p>Temos que</p><p>L(xp)(t) = c · (µ2 − 5µ + 4) · eµt.</p><p>Como queremos resolver</p><p>L(xp)(t) = e4t,</p><p>65</p><p>6. equações diferenciais lineares de segunda ordem</p><p>comparando os lados desta equação chegamos em</p><p>c · (µ2 − 5µ + 4) · eµt = e4t,</p><p>e daı́ comparando os expoentes obtemos µ = 4. Portanto, a equação fica 0 = e4t. Oops. E agora? ♣</p><p>Considere novamente</p><p>L(x)(t) = x′′(t) + px′(t) + qx(t),</p><p>com</p><p>S(λ) = λ2 + pλ + q = 0,</p><p>e sejam λ1, λ2 as soluções de S(λ) = 0.</p><p>Vamos supor agora que a = λ1 ou a = λ2, isto é S(a) = 0. Neste caso, se propormos uma solução</p><p>da forma</p><p>xp(t) = ceµt,</p><p>vimos que não funcionará, pois a equação obtida será</p><p>cS(µ)eµt = αeat,</p><p>que não tem solução nas variáveis c, µ. Vamos usar a mesma ideia de quando fizemos redução de</p><p>ordem e propor uma solução da forma</p><p>xp(t) = cteµt.</p><p>Assim</p><p>L(xp)(t) = c · eµt ·</p><p>[(</p><p>p + 2µ</p><p>)</p><p>+ t ·</p><p>(</p><p>µ2 + pµ + q</p><p>)]</p><p>= c · eµt ·</p><p>[</p><p>S′(µ) + t · S(µ)</p><p>]</p><p>.</p><p>Agora precisaremos resolver</p><p>c · eµt ·</p><p>[</p><p>S′(µ) + t · S(µ)</p><p>]</p><p>= α · eat.</p><p>Neste caso, tomaremos µ = a e restará</p><p>c ·</p><p>[</p><p>S′(a) + t · S(a)</p><p>]</p><p>= α.</p><p>Como S(a) = 0, supondo que S′(a) , 0 teremos</p><p>c = α/S′(a).</p><p>Assim chegamos à solução:</p><p>x(t) = c1e</p><p>λ1t + c2e</p><p>λ2t +</p><p>α</p><p>S′(a)</p><p>· t · eat,</p><p>66</p><p>6.6. equações não-homogêneas: método dos coeficientes a determinar</p><p>desde que S′(a) , 0. O que acontece se S′(a) = 0? Lembre que já tı́nhamos S(a) = 0, portanto a é</p><p>raiz de S(λ) e de S′(λ), o que significa que é solução com multiplicidade 2 de</p><p>S(λ) = 0.</p><p>Neste caso, propor uma solução da forma xp(t) = ct2 · eat funcionará. Verifique isto nos próximos</p><p>exercı́cios.</p><p>Exercı́cio 6.29 (S(a) , 0). Encontre a solução geral de x′′(t) − x′(t) − 2x(t) = −e5t. ▲</p><p>Exercı́cio 6.30 (S(a) = 0, S′(a) , 0). Encontre a solução geral de x′′(t) − 4x′(t) + 3x(t) = 2et. ▲</p><p>Exercı́cio 6.31 (S(a) = S′(a) = 0). Encontre a solução geral de x′′(t) − 6x′(t) + 9x(t) = 5e3t. ▲</p><p>6.6.2 Caso f (t) seja seno ou cosseno</p><p>Caso f (t) = cos(ωt) ou f (t) = sen(ωt), vamos propor uma solução também trigonométrica, com</p><p>xp(t) = A cos(ωt) + B sen(ωt).</p><p>Exercı́cio 6.32. Resolva a EDO x′′(t) − 5x′(t) + 6x(t) = sen(3t). ▲</p><p>6.6.3 Demais casos</p><p>Em [7, pág. 179] encontramos uma tabela que nos diz como escolher o formato para a “proposta”</p><p>de xp(t) conforme seja f (t):</p><p>f (t) xp(t)</p><p>eαt beαt</p><p>cos(βt) ou sen(βt) b1 cos(βt) + b2 sen(βt)</p><p>a1 + a1t + . . . + ant</p><p>n b1 + b1t + . . . + bnt</p><p>n</p><p>(a0 + a1t + . . . + ant</p><p>n)eαt cos(βt) ou (b0 + b1t + . . . + bnt</p><p>n)eαt cos(βt)+</p><p>(a0 + a1t + . . . + ant</p><p>n)eαt sen(βt) (c0 + c1t + . . . + cnt</p><p>n)eαt sen(βt)</p><p>Observação 6.33. Talvez seja um bom momento para fazer uma importante observação: caso o</p><p>termo f (t) seja uma expressão com “somas de funções”, os métodos terão que usados separada-</p><p>mente. Por exemplo, se</p><p>f (t) = t2e3t + cos(2t)</p><p>então deveremos escolher</p><p>xp(t) = (c0 + c1t + c2t</p><p>2)e3t + a cos(2t) + b sen(2t).</p><p>67</p><p>6. equações diferenciais lineares de segunda ordem</p><p>Exercı́cio 6.34. Resolva as EDOs:</p><p>1. x′′ + 2x′ + x = t2e2t</p><p>2. x′′ + 2x′ + x = 2te−t</p><p>3. x′′ − 2x′ + 2x = et cos(t) + xe2t</p><p>4. x′′ + 2x′ + 4x = e−5t(1 + t3 + t5) cos(2t) + t9e7t sen(8t) (“the monster”)</p><p>▲</p><p>6.7 Equações não-homogêneas: método da variação dos parâmetros</p><p>Vamos agora resolver algumas equações não-homogêneas da forma</p><p>x′′(t) + px′(t) + qx(t) = f (t). (40)</p><p>Sejam y(t), z(t) soluções linearmente</p>∈ U, existem um intervalo aberto I contendo x0 e uma única
função diferenciável φ : I→ R, com (x,φ(x)) ∈ U para todo x ∈ I, que é solução do problema y′ = f (x, y),
y(x0) = y0,
ou seja, φ′(x) = f (x,φ(x)) para todo x ∈ I e φ(x0) = y0 e também
φ(x) = y0 +
x∫
x0
f (s,φ(s)) ds, x ∈ I.
O teorema anterior nos dá alguma tranquilidade sobre a questão da existência de soluções para
EDOs e PVIs.
A prova do Teorema de Picard é complicada para este momento: ela usa o Teorema de Banach
para encontrar o ponto fixo (solução procurada) como limite de uma sequência (usando que a
sequência é de Cauchy), logo não exibe explicitamente qual é a solução do PVI. Como vamos então
encontrar soluções de EDOs e PVIs? Já já veremos, mas não vai ser pelo teorema de Picard..
Aliás, o Teorema de Picard fala em existência e unicidade de soluções. Fora das hipóteses desse
importante resultado, podemos perder facilmente a unicidade:
Exemplo 2.9 (Perda de unicidade). Encontre duas soluções para o PVI y′ = |y|1/2, y(0) = 0.
Note que a função y(x) ≡ 0 é uma solução. Outra solução é a função por partes
y(x) =
x
2/4, x ≥ 0,
−x2/4, x < 0.
♣
20
2.4. a geometria da solução
2.4 A geometria da solução
Dada uma equação diferencial qualquer
y(n) = f
(
t, y, y′, . . . , y(n−1)
)
,
cada solução y(t) é uma função e, portanto, pode ser representada por um gráfico. Em geral
chamaremos tais gráficos de curva solução.
Um outro conceito muito importante em termos de representação gráfica de soluções de EDOs
é o de curva integral. Uma curva γ é chamada de curva integral da equação diferencial se cada
segmento de γ que é gráfico de função é parte de uma solução da equação diferencial.
Note que toda curva solução é uma curva integral, mas a recı́proca não é verdadeira.
Exemplo 2.10. Como vimos antes, cada cı́rculo x2 + y2 = r2 é curva integral de u′′ + u = 0. Estes
cı́rculos são curvas integrais para a equação y′ = −x/y também: de fato, as funções
y(x) = ±
√
a2 − x2,
cujos gráficos são a “parte de cima” e a “parte de baixo” do cı́rculo, são soluções de y′ = −x/y com
x ∈ (−a, a). Verifique! ♣
Em muitos casos, não conseguiremos explicitar a curva solução (por não poder isolar y na
solução), então curvas integrais são muito importantes. Em particular, para algumas EDOs, vamos
descrever as curvas integrais como sendo curvas de nı́vel de alguma função h(x, y), e isso facilitará
muito o nosso trabalho.
2.5 Campo de direções e isóclinas
Vamos aprender agora uma estratégia para fazer esboços das soluções de PVIs, sem que tenhamos
que resolver a equação.
Considere uma equação de primeira ordem da forma
y′ = f (x, y). (10)
Seja g(x) uma solução para (10) com g(x0) = y0, ou seja, temos
g ′(x) = f (x, g(x))
para todo x num certo intervalo. Encontrar explicitamente g(x) pode ser difı́cil, mas sabemos qual
é a inclinação da reta tangente a essa curva: essa inclinação é f (x0, y0). Ou seja: você pode até não
saber como é o gráfico de y = g(x), mas sabe bem como é a reta tangente a esse gráfico perto do
ponto (x0, y0): é
y = y0 + f (x0, y0)(x − x0).
21
2. classificação e existência de soluções para equações diferenciais
Em cada ponto (x0, y0), vamos considerar um vetor com inclinação f (x0, y0) e com base nesse
ponto. Se fizermos isso para muitos pontos, teremos uma boa ideia de como é o comportamento
qualitativo das soluções. Grosso modo, se ”unirmos”esses vetores poderemos ter uma boa ideia de
como será o gráfico da solução y = g(x) (lembre-se de que nos casos “bons” por cada ponto passa
uma única curva solução).
Vamos a um exemplo.
Exemplo 2.11. Construa o campo de direções de
dy
dx
= 1 − xy.
Para construir o campo de direções dessa equação diferencial, vamos marcar vetores
X(x, y) = (1, 1 − xy)
no quadrado [−1,1] × [−1,1]. A escolha da primeira coordenada como sendo 1 é arbitrária: só
precisamos de um vetor diretor para uma reta que tenha inclinação 1 − xy no ponto (x, y).
A figura abaixo mostra uma versão um pouco modificada de X(x, y), a saber a versão normali-
zada X(x, y)/ ||X(x, y)||, simplesmente para facilitar a visualização:
Figura 3: Campo de direções de
dy
dx
= 1 − xy.
Vamos agora calcular numericamente uma solução e mostrá-la junto com o campo de direções
obtido anteriormente. Na figura abaixo, destacamos a solução com condição inicial y(−1) = −0.75:
Note como a curva vermelha “acompanha” os vetores do campo de direções.
♣
É possı́vel construir o campo de direções sem usar auxı́lio de ferramentas computacionais, e
inclusive é um conhecimento útil para decidir rapidamente sobre o comportamento de certas
equações, mas eu recomendo fortemente que vocês aprendam a usar Python, Mathematica, Julia,
Matlab, etc para construı́rem essas representações.
Exercı́cio 2.12. Exiba o campo de direções das equações diferenciais abaixo:
1. y′ = xy
22
2.5. campo de direções e isóclinas
Figura 4: Campo de direções de
dy
dx
= 1 − xy juntamente com solução com condição inicial
y(−1) = −0.75.
2. y′ =
x2
1 − x2 − y2
3. y′ = y − x3
▲
2.5.1 Método das isóclinas
Seja y′ = f (x, y) uma equação diferencial. Um método que pode ajudar a esboçar o campo de
direções é o método das isóclinas. As curvas isóclinas associadas a esta equação são as curvas dadas
por f (x, y) = c, com c uma constante real.
No caso c = 0, teremos f (x, y) = 0, ou seja, y′ = 0: são os pontos onde vetores do campo de
direções são horizontais, assim como a curva f (x, y) = 1 contém os pontos onde o vetor tangente
aponta na direção do vetor (1, 1). Como usar a informação das isóclinas para desenhar o campo de
direções?
Exemplo 2.13. Obtenha o campo de direções de y′ = y(x − y).
Resolvendo y(x− y) = 0 obtemos y = 0 (eixo x) e a reta y = x. Em pontos destas retas, os vetores
do campo de direções serão horizontais. Os vetores apontarão para cima se y(x − y) > 0 e para
baixo se y(x − y) < 0, como na Figura 5.
♣
Exercı́cio 2.14. Esboce algumas isóclinas e o campo de direções de y′ = xy. Esboce também a
solução que passa pelo ponto (0, 1), ou seja, a solução do PVI
y′ = xy, y(0) = 1.
▲
23
2. classificação e existência de soluções para equações diferenciais
-4 -2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
Figura 5: A curva preta, y(x − y) = 1, representa os pontos cuja inclinação dos vetores do campo
de direções é 1, a curva vermelha representa os pontos cuja inclinação dos vetores do campo de
direções é 0 e a curva azul representa os pontos cuja inclinação dos vetores do campo de direções é
−1.
2.6 Campo de direções para sistemas de equações diferenciais autônomas
O que faremos aqui para dimensão 2 pode ser generalizado para qualquer dimensão (finita).
Considere um sistema de equações diferenciais da forma x′ = f (x, y),
y′ = g(x, y).
(11)
Considere agora um campo vetorial construı́do a partir desse sistema, definido por
X(x, y) = (f (x, y), g(x, y)). (12)
Seja α(t) = (x(t), y(t)) uma solução do sistema (11) com condição inicial α(0) = (x0, y0). Afirma-
mos que o campo vetorial X(x, y) é tangente a cada curva-solução do sistema (11).
Verificar isso não é difı́cil, principalmente se você acompanhar a conta fazendo umas figuras.
Basicamente precisamos provar que X(x, y) é paralelo a α′(t). Iremos verificar isso num ponto, só
para não carregar a notação, mas não é necessário.
Assim
α′(0) = (x′(0), y′(0)) = (f (x(0), y(0)), g(x(0), y(0))) = (f (x0, y0), g(x0, y0)) = X(x0, y0)
Portanto, para ter alguma noção qualitativa sobre as soluções de (11), podemos estudar a
geometria do campo vetorial (12).
Por exemplo, considere o sistema
24
2.6. campo de direções para sistemas de equações diferenciais autônomas
 u′(t) = v(t),
v′(t) = −u(t)
(13)
e o campo vetorial associado
X(u, v) = (u′, v′) = (v,−u).
A solução geral do sistema<p>Considere o operador L : C2([a, b],R)→ C0([a, b],R) dado por</p><p>L(x)(t) = x′′(t) + p(t)x′(t) + q(t)x(t).</p><p>O núcleo Ker(L) é o conjunto</p><p>Ker(L) = {x ∈ C2([a, b],R); L(x)(t) ≡ 0}.</p><p>Note que Ker(L) é o subespaço vetorial das soluções da EDO homogênea</p><p>x′′(t) + p(t)x′(t) + q(t)x(t) = 0</p><p>e já vimos que dim Ker(L) = 2.</p><p>Por outro lado, a imagem do operador L, Im(L), é o conjunto</p><p>Im(L) = {f ∈ C0([a, b],R);∃ x(t) ∈ C2([a, b],R) : L(x)(t) = f (t)},</p><p>ou seja, é o conjunto das soluções de EDOs não-homogêneas da forma</p><p>x′′(t) + p(t)x′(t) + q(t)x(t) = f (t),</p><p>variando f (t).</p><p>Vimos que toda equação da forma</p><p>x′′(t) + p(t)x′(t) + q(t)x(t) = f (t),</p><p>com f ∈ C0([a, b], tem solução, logo vimos que o operador L é sobrejetivo.</p><p>Como Ker(L) , {0}, L não é injetor, ou seja, a imagem inversa L−1(f ) é uma classe lateral da</p><p>forma</p><p>y(t) + Ker(L),</p><p>com y(t) ∈ L−1(F). Em palavras: a solução geral da não-homogênea pode ser obtida somando uma</p><p>solução particular da não-homogênea com a solução geral da homogênea.</p><p>74</p><p>6.10. equações de ordens superiores</p><p>6.10 Equações de ordens superiores</p><p>(em atualização)</p><p>75</p><p>7. transformada de laplace</p><p>7 Transformada de Laplace</p><p>Se você tentar enfrentar um guepardo numa corrida, certamente vai perder: ele pode chegar a</p><p>mais que 100 km/h, enquanto a maior velocidade já registrada por um ser humano foi de 44 km/h</p><p>(atingida por Usain Bolt em 2012). No entanto, se a competição com o guepardo for um duelo de</p><p>equações, aı́ o jogo vira e você terá uma boa chance de vencer (ou pelo menos empatar).</p><p>Dada uma equação diferencial que queremos resolver, a Transformada de Laplace nos levará</p><p>para uma arena onde a disputa será mais justa e onde teremos um pouco mais de recursos para</p><p>resolvê-la.</p><p>Mas não se anime tanto: ainda será um combate duro.</p><p>7.1 Motivação e definição da transformada de Laplace</p><p>A transformada de Laplace é uma transformação linear L : F1 → F2 entre conjuntos de funções</p><p>que tem a capacidade de transformar equações diferenciais em equações algébricas.</p><p>O que faremos é o seguinte: começamos com uma EDO:</p><p>y′′(t) + . . . = g(t, y, y′),</p><p>que não precisa ser de segunda ordem.</p><p>Aplicamos a transformada na equação anterior:</p><p>L{y′′(t) + . . .} = L{g(t, y, y′)}.</p><p>De alguma forma, faremos L{y′′(t)} se transformar12 numa expressão que envolve L{y(t)} e outros</p><p>termos, mas não envolve L{y′′(t)} ou L{y′(t)}. Agora isolamos L{y(t)} na equação:</p><p>L{y(t)} = G(t, y, y′)</p><p>e aplicamos a transformada inversa L−1:</p><p>L−1{L{y(t)}} = L−1{G(. . .)}.</p><p>Com isso, teremos que</p><p>y(t) = L−1{G(t, y, y′)},</p><p>ou seja, encontraremos a solução da EDO sem fazer nenhuma integração (explicitamente).</p><p>Usaremos a Transformada de Laplace, mas a teoria de transformadas é bem mais geral. Seja</p><p>K(s, t) uma função (que chamaremos de núcleo) e α, β ∈ R ∪ {−∞,∞}. Se f (t) é uma função “boa”</p><p>definida em [α, β], definimos a transformada de f (t) com núcleo13 K por</p><p>12Perdão pelo trocadilho.</p><p>13Sobre o uso da palavra núcleo neste contexto, recomendo o artigo David C. Sutherland, “The kernel of the Laplace</p><p>transform”, Pi Mu Epsilon Journal Vol. 7, no. 4, pág. 252–256, 1981.</p><p>76</p><p>7.2. integrais impróprias</p><p>TK{f (t)} = F(s) =</p><p>β∫</p><p>α</p><p>K(s, t)f (t) dt. (49)</p><p>Ou seja, a TK transforma f (t) em F(s), que é dada pela integral anterior. Esta pode ser uma</p><p>integral imprópria e que de fato, como a variável de integração é t, resta uma função de s.</p><p>Seja f (t) uma função “boa” definida para t ≥ 0. Definimos a transformada de Laplace de f (t)</p><p>por F(s) = L{f (t)}, onde</p><p>F(s) = L{f (t)} =</p><p>∞∫</p><p>0</p><p>e−st f (t) dt. (50)</p><p>Comparando com nossa definição anterior, o núcleo é K(s, t) = e−st.</p><p>Ainda temos que investigar se a transformada (50) existe para qualquer função f (t), já que a</p><p>integral que define F(s) na equação (50) é imprópria. Portanto, vamos a uma revisão sobre integrais</p><p>impróprias.</p><p>7.2 Integrais impróprias</p><p>Relembrando a definição da integral imprópria: seja a ∈ R e f (t) uma função contı́nua em [a,∞).</p><p>Definimos</p><p>∞∫</p><p>a</p><p>f (t) dt = lim</p><p>A→∞</p><p>A∫</p><p>a</p><p>g(t) dt.</p><p>Denotando I(A) =</p><p>A∫</p><p>a</p><p>g(t) dt, temos:</p><p>• se lim</p><p>A→∞</p><p>I(A) existe, então a integral é dita convergente.</p><p>• se lim</p><p>A→∞</p><p>I(A) não existe, então a integral é dita divergente.</p><p>Vamos fazer alguns exemplos de integrais impróprias.</p><p>Exemplo 7.1. Se f (t) = eαt e α , 0 então</p><p>∞∫</p><p>0</p><p>eαt dt = lim</p><p>A→∞</p><p>A∫</p><p>0</p><p>eαt dt = lim</p><p>A→∞</p><p>eαt</p><p>α</p><p>∣∣∣∣∣A</p><p>0</p><p>(51)</p><p>= lim</p><p>A→∞</p><p>1</p><p>α</p><p>(</p><p>eαA − 1</p><p>)</p><p>(52)</p><p>Portanto:</p><p>77</p><p>7. transformada de laplace</p><p>• Se α > 0 o limite acima não existe, logo a integral diverge.</p><p>• Se α < 0 o limite acima existe, logo a integral existe.</p><p>• No caso α = 0 ficamos com a integral</p><p>∞∫</p><p>0</p><p>1 dt, que também não existe.</p><p>♣</p><p>Exemplo 7.2. Mostre que</p><p>∞∫</p><p>1</p><p>1</p><p>t</p><p>dt</p><p>diverge. ♣</p><p>Solução. Temos que</p><p>∞∫</p><p>1</p><p>1</p><p>t</p><p>dt = lim</p><p>A→∞</p><p>A∫</p><p>1</p><p>1</p><p>t</p><p>dt = lim</p><p>A→∞</p><p>(</p><p>ln(A) − ln(1)</p><p>)</p><p>= ∞,</p><p>portanto a integral diverge. ◀</p><p>Exercı́cio 7.3. Mostre que</p><p>∞∫</p><p>1</p><p>1</p><p>tp</p><p>dt</p><p>diverge se p ≤ 1 e converge se p > 1. ▲</p><p>No caso da transformada de Laplace, precisamos obter hipóteses sobre f (t) para que a integral</p><p>imprópria</p><p>L{f (t)} =</p><p>∞∫</p><p>0</p><p>e−st f (t) dt</p><p>exista.</p><p>7.3 Existência da Transformada de Laplace</p><p>Finalmente vamos estabelecer condições para que a transformada de Laplace exista. Seja f :</p><p>[0, A]→ R uma função. Dizemos que f é contı́nua por partes se existe uma partição de [0, A] em</p><p>0 = t0 < t1 < . . . < tn = A de modo que f é contı́nua em cada intervalo (tj , tj+1), j = 0, . . . , n − 1 e</p><p>que limt−>tj f (t) existe (ou seja, é um número) para todo j = 0, . . . , n.</p><p>78</p><p>7.3. existência da transformada de laplace</p><p>Teorema 7.4. Suponha que</p><p>• f é contı́nua por partes em [0,∞) e</p><p>• |f (t)| ≤ Keat se t ≥ M para certos K, a, M ∈ R, com K, M > 0.</p><p>Então F(s) = L{f (t)} existe para todo s > a.</p><p>Prova. Feito em aula. Estará digitado aqui em algum momento. ■</p><p>Perceba que este teorema é MUITO geral: a transformada existe desde que a função seja</p><p>limitada por algum tipo de exponencial. Vamos calcular algumas transformadas.</p><p>Exemplo 7.5. L{1} =? ♣</p><p>Solução. Temos que:</p><p>L{1} =</p><p>∞∫</p><p>0</p><p>e−st · 1 dt = lim</p><p>A→∞</p><p>A∫</p><p>0</p><p>e−st · 1 dt = lim</p><p>A→∞</p><p>(</p><p>e−st</p><p>−s</p><p>)∣∣∣∣∣∣A</p><p>0</p><p>= lim</p><p>A→∞</p><p>(</p><p>e−sA</p><p>−s</p><p>− 1</p><p>−s</p><p>)</p><p>=</p><p>1</p><p>s</p><p>, s > 0.</p><p>◀</p><p>Exemplo 7.6. L{eat} =? ♣</p><p>Solução. Temos que:</p><p>L{eat} =</p><p>∞∫</p><p>0</p><p>e−st · eat dt = lim</p><p>A→∞</p><p>A∫</p><p>0</p><p>et(a−s) dt = lim</p><p>A→∞</p><p>(</p><p>et(a−s)</p><p>a − s</p><p>)∣∣∣∣∣∣A</p><p>0</p><p>= lim</p><p>A→∞</p><p>(</p><p>eA(s−a)</p><p>a − s</p><p>− 1</p><p>a − s</p><p>)</p><p>=</p><p>1</p><p>s − a</p><p>, s > a.</p><p>◀</p><p>Exercı́cio 7.7. Mostre que L{ sen(at)} =</p><p>a</p><p>s2 + a2 , s > 0. ▲</p><p>Exercı́cio 7.8. Mostre que L{cos(at)} =</p><p>s</p><p>s2 + a2 , s > 0. ▲</p><p>Uma propriedade importante da transformada de Laplace é que ela é linear: se as transformadas</p><p>de Laplace de f (t) e g(t) existem, então</p><p>L{af (t) + bg(t)} = aL{f (t)} + bL{g(t)},</p><p>para todos a, b ∈ R (prove!).</p><p>E o produto? O que acontece com</p><p>L{f (t) · g(t)}?</p><p>79</p><p>7. transformada de laplace</p><p>Veremos mais pra frente.</p><p>7.4 Transformadas de Laplace e PVIs</p><p>Nossa proposta inicial era usar a transformada de Laplace para resolver PVIs, e para isto é essencial</p><p>que a transformada se comporte bem com as derivadas.</p><p>É exatamente isto que acontece:</p><p>Teorema 7.9. Suponha que f é contı́nua e f ′ é contı́nua por partes em [0,∞). Além disto,</p><p>suponha que existem K, a, M ∈ R, com |f (t)| ≤ Keat, para todo t ≥ M. Então L{f ′(t)} existe</p><p>para todo s > a e</p><p>L{f ′(t)} = sL{f (t)} − f (0).</p><p>Prova. Feito em aula. Estará digitado aqui em breve. ■</p><p>Corolário 7.10. Se f ′ e f ′′ satisfazem as hipóteses do teorema anterior para f e f ′, então</p><p>L{f ′′(t)} existe para s > a e</p><p>L{f ′′(t)} = s2L{f (t)} − sf (0) − f ′(0).</p><p>Exercı́cio 7.11. Que tal tentar enunciar um corolário como o acima para o cálculo de L{f ′′′(t)} e</p><p>L{f (n)(t)}? ▲</p><p>Exemplo 7.12. Resolva y′′ − y′ − 2y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0 usando transformadas de Laplace. ♣</p><p>Solução. Aplicando L em ambos os lados da EDO teremos</p><p>L{y′′ − y′ − 2y} = L{0} = 0.</p><p>Como</p><p>• L{y′(t)} = sL{y(t)} − y(0),</p><p>• L{y′′(t)} = s2L{y(t)} − sy(0) − y′(0).</p><p>Substituindo na equação teremos:(</p><p>s2L{y(t)} − sy(0) − y′(0)</p><p>)</p><p>−</p><p>(</p><p>sL{y(t)} −</p><p>y(0)</p><p>)</p><p>− 2L{y(t)} = 0.</p><p>Como y(0) = 1 e y′(0) = 0, a equação fica</p><p>s2L{y(t)} − s − sL{y(t)} + 1 − 2L{y(t)} = 0.</p><p>80</p><p>7.4. transformadas de laplace e pvis</p><p>Denotando Y(s) = L{y(t)} e isolando Y(s) fica</p><p>Y(s) =</p><p>s − 1</p><p>s2 − s − 2</p><p>.</p><p>Encontramos L{y(t)}. Como encontraremos y(t)? ◀</p><p>A transformada de Laplace L é um operador linear. Portanto, se</p><p>Y(s) = L{y(t)}</p><p>então podemos calcular y(t) tomando L−1 em ambos os lados:</p><p>L−1{Y(s)} = L−1{L{y(t)}} = y(t).</p><p>Observação 7.13. Aqui temos um problema: a transformada de Laplace é invertı́vel? Esta questão</p><p>é delicada. A injetividade da transformada de Laplace pode ser demonstrada de forma simples, e é</p><p>uma consequência de um resultado geral, chamado de Teorema de Lerch: se duas funções f1(t),</p><p>f2(t) tem mesma transformada integral, digamos L{f1(t)} = L{f2(t)}, denotando δ0(t) = f1(t) − f2(t)</p><p>então temos que</p><p>a∫</p><p>0</p><p>δ0(t) dt = 0</p><p>para todo a > 0, ou seja, f1 = f2 a menos de possivelmente em alguns pontos, e portanto a</p><p>transformada de Laplace é injetora (neste sentido). Uma prova elementar dessa propriedade pode</p><p>ser feita diretamente, usando o Teorema da Aproximação de Weierstrass. Note que a transformada</p><p>envolvida não precisa ser necessariamente a de Laplace, vale para qualquer transformada integral</p><p>como (49). Em termos da sobrejetividade, não é fácil descrever o conjunto imagem da transformada</p><p>de Laplace - portanto, dada uma função qualquer G(s), não é simples decidir se existe L−1{G(s)}.</p><p>Para o que faremos com a transformada de Laplace, que é resolver equações diferenciais, em</p><p>geral a transformada inversa estará bem definida (a não ser que você esteja resolvendo equações</p><p>muito, mas muito estranhas). Em contextos um pouco mais gerais, existem teoremas de garantem a</p><p>sobrejetividade restringindo o domı́nio e o contra-domı́nio da transformada: um deles é o Teorema</p><p>de Schwartz-Paley-Wiener.</p><p>Exemplo 7.14. Vamos continuar o exemplo anterior. Seja</p><p>Y(s) =</p><p>s − 1</p><p>s2 − s − 2</p><p>.</p><p>Queremos encontrar y(t) tal que L{y(t)} = Y(s). Temos que y(t) = L−1{Y(s)}, ou seja:</p><p>y(t) = L−1{Y(s)} = L−1</p><p>{</p><p>s − 1</p><p>s2 − s − 2</p><p>}</p><p>.</p><p>81</p><p>7. transformada de laplace</p><p>Usando frações parciais, temos que</p><p>s − 1</p><p>s2 − s − 2</p><p>=</p><p>1/3</p><p>s − 2</p><p>+</p><p>2/3</p><p>s + 1</p><p>,</p><p>portanto</p><p>y(t) = L−1</p><p>{</p><p>1/3</p><p>s − 2</p><p>}</p><p>+ L−1</p><p>{</p><p>2/3</p><p>s + 1</p><p>}</p><p>.</p><p>Já vimos que</p><p>L</p><p>{</p><p>e2t</p><p>3</p><p>}</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>s − 2</p><p>, L</p><p>{</p><p>2e−t</p><p>3</p><p>}</p><p>=</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>s + 1</p><p>,</p><p>portanto como</p><p>y(t) = L−1</p><p>{</p><p>1/3</p><p>s − 2</p><p>}</p><p>+ L−1</p><p>{</p><p>2/3</p><p>s + 1</p><p>}</p><p>segue que</p><p>y(t) =</p><p>e2t</p><p>3</p><p>+</p><p>2e−t</p><p>3</p><p>.</p><p>Note que a resposta é exatamente a mesma se utilizarmos a equação caracterı́stica para encontrar</p><p>a solução (teste!). ♣</p><p>Observação 7.15. A história do desenvolvimento da transformada de Laplace começa por volta de</p><p>1740, e não tinha nenhuma relação com equações diferenciais. A utilização da forma como estamos</p><p>fazendo nesta seção só começou por volta de 1890, com Oliver Heaviside, que usava uma série</p><p>de procedimentos com funções para poder resolver equações, até que no começo do século XX a</p><p>ideia foi recuperada/formalizada como a transformada de Laplace, que já existia. Esta história</p><p>está contada rapidamente em [2], ou de forma bem mais detalhada nos dois artigos [27, 28].</p><p>7.5 Método geral</p><p>Se tivermos um PVI da forma</p><p>ay′′(t) + by′(t) + cy(t) = f (t), y(0) = α, y′(0) = β,</p><p>denotando L{y(t)} = Y(s) teremos, após a aplicação da transformada de Laplace:</p><p>Y(s) =</p><p>(as + b)y(0) + ay′(0)</p><p>as2 + bs + c</p><p>+</p><p>L{f (t)}</p><p>as2 + bs + c</p><p>e portanto</p><p>y(t) = L−1</p><p>{</p><p>(as + b)y(0) + ay′(0)</p><p>as2 + bs + c</p><p>+</p><p>L{f (t)}</p><p>as2 + bs + c</p><p>}</p><p>.</p><p>O problema estará em calcular a transformada inversa. O uso de frações parciais e uma tabela de</p><p>transformadas ajudará bastante. Uma tabela bem completa está no site</p><p>82</p><p>7.6. função degrau</p><p>https://tutorial.math.lamar.edu/classes/de/laplace_table.aspx</p><p>e também pode ser vista na última página destas notas.</p><p>Observação 7.16. O uso de Transformada de Laplace para resolver PVIs é particularmente interes-</p><p>sante quando as condições iniciais são fornecidas na origem. Se as condições iniciais forem num</p><p>ponto x0, a mudança de variáveis x̃ = x − x0 resolverá esse problema.</p><p>Exercı́cio 7.17. Resolva y′′ + y = sen(2t), y(0) = 2, y′(0) = 1 usando transformada de Laplace. ▲</p><p>Exercı́cio 7.18. Resolva y′′ − 5y′ + 6y = e−t, y(0) = 1, y′(0) = 1 usando transformada de Laplace.</p><p>▲</p><p>7.6 Função degrau</p><p>Vimos que a solução da equação</p><p>ay′′ + by′ + cy = f (t)</p><p>com y = y(t) e L{y(t)} = Y(s) é dada por</p><p>y(t) = L−1</p><p>{</p><p>(as + b)y(0) + ay′(0)</p><p>as2 + bs + c</p><p>+</p><p>L{f (t)}</p><p>as2 + bs + c</p><p>}</p><p>.</p><p>A parte difı́cil será calcular os termos</p><p>L−1</p><p>{</p><p>L{f (t)}</p><p>as2 + bs + c</p><p>}</p><p>e L−1</p><p>{</p><p>(as + b)y(0) + ay′(0)</p><p>as2 + bs + c</p><p>}</p><p>,</p><p>pois a transformada inversa de não costuma ser uma função do mesmo “tipo”. Precisamos aumentar</p><p>nosso zoológico de transformadas para incluir mais alguns tipos de funções.</p><p>Para c ∈ R, defina a função uc : R→ R por</p><p>uc(t) =</p><p>0, t < c,</p><p>1, t ≥ c.</p><p>Exercı́cio 7.19. Faça o gráfico de u1(t), u4(t), u3(t) + u5(t) e u2(t) − u7(t). ▲</p><p>Note que combinações lineares de funções uc(t) são funções constantes por partes.</p><p>Exemplo 7.20. Encontre A, B, C de modo que f (t) = A + Bu0(t) + Cu1(t), onde</p><p>f (t) =</p><p></p><p>2, t < 0,</p><p>3, 0 ≤ t < 1,</p><p>−1, 1 ≤ t.</p><p>83</p><p>https://tutorial.math.lamar.edu/classes/de/laplace_table.aspx</p><p>7. transformada de laplace</p><p>Figura 7: Esboço do gráfico de uc(t).</p><p>Figura 8: Gráfico de f (t).</p><p>♣</p><p>Vamos estudar a função uc(t)f (t − c). A função uc(t)f (t − c) está definida em R: seu gráfico</p><p>obtido pela translação do gráfico de f (t) c unidades para a direita se t ≥ c e completando com o</p><p>gráfico da função 0 para t < c. Note que, por definição,</p><p>uc(t)f (t − c) =</p><p>0, t < c,</p><p>f (t − c), t ≥ c.</p><p>Estas funções aparecerão bastante ao calcularmos transformadas inversas, principalmente por</p><p>conta da seguinte Proposição:</p><p>Proposição 7.21. Seja c ∈ R. Se f (t) está definida para todo t ≥ 0 e a transformada L{f (t)}</p><p>existe então L{uc(t)f (t − c)} = e−csL{f (t)}.</p><p>84</p><p>7.6. função degrau</p><p>Figura 9: Gráfico de uc(t)f (t − c).</p><p>Prova. A prova fica como exercı́cio, mas basicamente envolve escrever uc(t)f (t − c) como</p><p>uc(t)f (t − c) =</p><p>0, t < c,</p><p>f (t − c), t ≥ c</p><p>e daı́ calcular a integral. A região de integração será naturalmente alterada para [c,∞) e daı́ bastará</p><p>resolver a integral. ■</p><p>Exemplo 7.22. Temos que</p><p>L{uc(t)} = L{1 · uc(t)}</p><p>= e−csL{1}</p><p>=</p><p>1</p><p>s</p><p>· e−cs</p><p>Portanto</p><p>L</p><p>{</p><p>uc(t)</p><p>}</p><p>=</p><p>e−cs</p><p>s</p><p>e</p><p>L−1</p><p>{</p><p>e−cs</p><p>s</p><p>}</p><p>= uc(t).</p><p>♣</p><p>85</p><p>7. transformada de laplace</p><p>Exercı́cio 7.23. Mostre que se</p><p>h(t) =</p><p></p><p>t4, t < 5,</p><p>t4 + 3 sen</p><p>(</p><p>t</p><p>10</p><p>− 1</p><p>2</p><p>)</p><p>, t ≥ 5,</p><p>então</p><p>L{h(t)} =</p><p>4!</p><p>s5 +</p><p>3</p><p>10</p><p>e−5s</p><p>s2 +</p><p>1</p><p>100</p><p>Dica: a função h(t) pode ser escrita como</p><p>h(t) = t4 + 3u5(t) sen</p><p>(</p><p>1</p><p>10</p><p>· (t − 5)</p><p>)</p><p>.</p><p>▲</p><p>Exercı́cio 7.24. Calcule a transformada de Laplace de</p><p>f (t) =</p><p>t, t < 6,</p><p>−8 + (t − 6)2, t ≥ 6.</p><p>▲</p><p>Exercı́cio 7.25. Seja</p><p>f (t) = −t2u3(t) + sen(t)u6(t).</p><p>Calcule F(s) = L{f (t)} e faça os gráficos de f (t) e F(s). ▲</p><p>Exercı́cio 7.26. Encontre a transformada de Laplace de</p><p>f (t) =</p><p></p><p>0, t < 1,</p><p>t2, 1 ≤ t < 2,</p><p>0, t ≥ 2</p><p>Dica: escreva esta função em termos de g(t) = t2 e das funções degrau u1(t) e u2(t). ▲</p><p>Exercı́cio 7.27. O gráfico de g : [0,∞)→ R é dado abaixo. Calcule L{g(t)}. ▲</p><p>86</p><p>7.7. transformadas inversas e funções degrau</p><p>Figura 10: Gráfico de g(t).</p><p>7.7 Transformadas inversas e funções degrau</p><p>Transformadas inversas do tipo</p><p>L−1</p><p>{</p><p>p(t)eat</p><p>q(t)</p><p>}</p><p>costumam recair em expressões envolvendo funções degrau. Lembre-se que transformadas inversas</p><p>aparecem quando estamos resolvendo PVI’s usando transformadas de Laplace. Vamos ver num</p><p>exemplo como tratar estes casos.</p><p>Exercı́cio 7.28. Se H(s) =</p><p>se−4s</p><p>(3s + 2)(s − 2)</p><p>, calcule h(t) = L−1</p><p>{</p><p>H(s)</p><p>}</p><p>. ▲</p><p>Solução. Escrevendo F(s) =</p><p>s</p><p>(3s + 2)(s − 2)</p><p>, queremos calcular L−1{e−4sF(s)}. Já vimos que L{uc(t)g(t−</p><p>c)} = e−csL{g(t)}, então aplicando L−1 nos dois lados, teremos</p><p>uc(t)g(t − c) = L−1{e−csL{g(t)}}.</p><p>No nosso caso teremos</p><p>L−1{H(s)} = L−1{e−4sF(s)}</p><p>= u4(t)f (t − 4),</p><p>onde f (t) = L−1{F(s)}. Resta-nos calcular L−1{F(s)}, ou</p><p>L−1</p><p>{</p><p>s</p><p>(3s + 2)(s − 2)</p><p>}</p><p>.</p><p>Aqui entram as frações parciais. Muitas contas depois, temos que</p><p>s</p><p>(3s + 2)(s − 2)</p><p>=</p><p>1/4</p><p>3(s + 2/3)</p><p>+</p><p>1/4</p><p>s − 2</p><p>87</p><p>7. transformada de laplace</p><p>Portanto</p><p>L−1</p><p>{</p><p>s</p><p>(3s + 2)(s − 2)</p><p>}</p><p>= L−1</p><p>{</p><p>1/4</p><p>3(s + 2/3)</p><p>+</p><p>1/4</p><p>s − 2</p><p>}</p><p>.</p><p>Finalmente,</p><p>f (t) = L−1</p><p>{</p><p>s</p><p>(3s + 2)(s − 2)</p><p>}</p><p>=</p><p>1</p><p>12</p><p>e−2t/3 +</p><p>1</p><p>4</p><p>e2t</p><p>e com isto</p><p>h(t) = L−1 {H(s)} = u4(t)f (t − 4),</p><p>ou</p><p>h(t) = u4(t)</p><p>( 1</p><p>12</p><p>e−2(t−4)/3 +</p><p>1</p><p>4</p><p>e2(t−4)</p><p>)</p><p>.</p><p>◀</p><p>Muita calma. As coisas vão começar a ficar misturadas. Já já vamos fazer um exemplo. No que</p><p>segue, vamos denotar:</p><p>L</p><p> f (t)︸︷︷︸</p><p>letra minúscula e dependendo de t</p><p> = F(s)︸︷︷︸</p><p>maiúscula e dependendo de s</p><p>Por exemplo, L {y(t)} = Y(s). No caso de transformadas inversas, a notação é a mesma: se</p><p>a função tiver sido obtida como transforma de Laplace de alguma outra, letra maiúscula. Por</p><p>exemplo, L−1 {F(s)} = f (t).</p><p>Exemplo 7.29. Resolva o PVI abaixo usando transformada de Laplace:</p><p>y′′ − y′ + 5y = 4 + u2(t)e4−2t, y(0) = 2, y′(0) = −1.</p><p>♣</p><p>Solução. No nosso catálogo de transformadas, temos algumas informações sobre funções do tipo</p><p>uc(t)g(t − c). A parte não-homogênea é quase deste tipo; vamos deixá-la exatamente deste tipo?</p><p>Ou seja, vamos escrever</p><p>e4−2t = f (t − c)</p><p>para alguma função f . Note que neste caso c = 2, pois o c também aparece em uc e no nosso caso</p><p>temos u2.</p><p>Assim,</p><p>e4−2t = f (t − 2)⇒ f (t) = e−2t ⇒ f (t − 2) = e−2(t−2)</p><p>88</p><p>7.7. transformadas inversas e funções degrau</p><p>Figura 11: Gráfico de y(t).</p><p>Portanto, o lado direito é u2(t)e−2(t−2) e a EDO fica</p><p>y′′ − y′ + 5y = 4 + u2(t)e−2(t−2).</p><p>Calculando transformada de Laplace dos dois lados e isolando Y(s) = L {y(t)} obtemos</p><p>Y(s) =</p><p>2s2 − 2s + 4</p><p>s(s2 − s + 5)</p><p>+</p><p>e−2s</p><p>(s + 2)(s2 − s + 5)</p><p>Usando a transformada inversa obtemos</p><p>y(t) = L−1</p><p>{</p><p>2s2 − 2s + 4</p><p>s(s2 − s + 5)</p><p>}</p><p>+ L−1</p><p>{</p><p>e−2s</p><p>(s + 2)(s2 − s + 5)</p><p>}</p><p>.</p><p>Temos que:</p><p>• L−1</p><p>{</p><p>2s2 − 2s + 4</p><p>s(s2 − s + 5)</p><p>}</p><p>=</p><p>6et/2</p><p>(√</p><p>19 cos</p><p>(√</p><p>19t</p><p>2</p><p>)</p><p>− sen</p><p>(√</p><p>19t</p><p>2</p><p>))</p><p>5</p><p>√</p><p>19</p><p>+</p><p>4</p><p>5</p><p>• L−1</p><p>{</p><p>e−2s</p><p>(s + 2)(s2 − s + 5)</p><p>}</p><p>= enorme, veja no Wolfram.</p><p>Mesmo com estas expressões enormes, encontramos y(t)! Como será o gráfico de y(t)?</p><p>◀</p><p>Para finalizar, mais alguns exercı́cios.</p><p>Exercı́cio 7.30. Resolva o PVI y′′ + 4y = uπ(t) − u3π(t), y(0) = y′(0) = 0. ▲</p><p>Exercı́cio 7.31. Resolva o PVI y′′ + y′ + 5y/4 = g(t), y(0) = 0, y′(0) = 0 e</p><p>g(t) =</p><p> sen(t), 0 ≤ t < π,</p><p>0, t ≥ π.</p><p>▲</p><p>89</p><p>7. transformada de laplace</p><p>7.8 Função impulso e Delta de Dirac</p><p>A função degrau, uc(t), foi introduzida por Oliver Heaviside, no estudo de circuitos elétricos. O</p><p>objetivo era ter uma função voltagem (ou um switch), com valores 0 (desligado) e 1 (ligado).</p><p>Iremos estudar agora funções impulso, que são funções que são quase sempre 0, mas que</p><p>assumem valores diferentes de zero (e grandes) em pequenos intervalos.</p><p>O caso extremo disto é a “função” Delta de Dirac, que assume valor∞ em um único ponto e é</p><p>nula nos demais.</p><p>Observação 7.32. A “função” Delta de Dirac não é uma função, é uma distribuição. Não estu-</p><p>daremos distribuições neste curso, então iremos “fazer de conta” que ela é uma função, mas na</p><p>próxima definição você já perceberá que tem algo estranho.</p><p>Paul Dirac, que ganhou o Nobel de Fı́sica junto com Schrödinger (aquele do gato), introduziu o</p><p>conceito (teórico) de “função” δ para representar este “rápido impulso em um curto intervalo de</p><p>tempo”, satisfazendo:</p><p>δ(x) = 0 se x , 0, δ(0) = ∞,</p><p>∞∫</p><p>−∞</p><p>δ(x) dx = 1.</p><p>A relação entre a delta de Dirac e a função degrau é a seguinte:14</p><p>u0(t) =</p><p>x∫</p><p>−∞</p><p>δ(t) dt.</p><p>Para mais detalhes, veja a referência [10].</p><p>A função impulso dτ(t), usada para “aproximar”a função δ, é definida por</p><p>dτ(t) =</p><p></p><p>1</p><p>2τ</p><p>, −τ < t < τ</p><p>0, |t| ≥ τ.</p><p>Note que:</p><p>• enquanto τ fica pequeno (pense em τ → 0+), a função dτ(t) assume o valor de 0 em um</p><p>conjunto cada vez maior (−∞,−τ] ∪ [τ,∞) e</p><p>• assume um valor cada vez maior (1/2τ) em um intervalo pequeno (−τ, τ).</p><p>14Muito cuidado, muitas aspas aqui!!!</p><p>90</p><p>7.8. função impulso e delta de dirac</p><p>As integrais destas funções de −∞ até∞ sempre resultam em 1:</p><p>∞∫</p><p>−∞</p><p>dτ(t) dt = 2τ · (1/2τ) = 1.</p><p>Assim ∞∫</p><p>−∞</p><p>dτ(t) dt = 1 e lim</p><p>τ→0</p><p>dτ(t) = 0.</p><p>Além disto, “d0(t) = δ(t)”.</p><p>Para problemas que envolvem variação rápida e são modelados por equações diferenciais, é</p><p>comum que o lado direito da equação dependa da função delta de Dirac, ou de funções impulso,</p><p>ou seja, são equações da forma</p><p>ay′′ + by′ + cy = g(t),</p><p>em que g(t) é uma função nula exceto num pequeno intervalo (t0 − τ, t0 + τ), onde ela tem valor</p><p>muito grande. Por exemplo, poderı́amos ter</p><p>g(t) = dτ(t − t0) ou g(t) = δ(t − t0).</p><p>A solução desta EDO será obtida por meio da transformada de Laplace. Vamos definir a transfor-</p><p>mada de Laplace da função delta de Dirac utilizando que ela é limite da função impulso.</p><p>Seja t0 > 0 e defina</p><p>L {δ(t − t0)} = lim</p><p>τ→0</p><p>L {dτ(t − t0)}.</p><p>Vamos calcular</p><p>L {dτ(t − t0)}</p><p>91</p><p>7. transformada de laplace</p><p>e depois vamos fazer o limite</p><p>lim</p><p>τ→0</p><p>L {dτ(t − t0)}.</p><p>Temos</p><p>L {dτ(t − t0)} =</p><p>∞∫</p><p>0</p><p>e−stdτ(t − t0) dt</p><p>=</p><p>t0+τ∫</p><p>t0−τ</p><p>e−stdτ(t − t0) dt</p><p>=</p><p>1</p><p>2τ</p><p>t0+τ∫</p><p>t0−τ</p><p>e−st dt</p><p>=</p><p>1</p><p>2sτ</p><p>e−st0</p><p>(</p><p>esτ − e−sτ</p><p>)</p><p>=</p><p>sinh(sτ)</p><p>sτ</p><p>e−st0</p><p>Como</p><p>L {dτ(t − t0)} =</p><p>sinh(sτ)</p><p>sτ</p><p>e−st0</p><p>temos</p><p>L {δ(t − t0)} = lim</p><p>τ→0</p><p>sinh(sτ)</p><p>sτ</p><p>e−st0</p><p>(l’Hôpital) = lim</p><p>τ→0</p><p>s cosh(sτ)</p><p>s</p><p>e−st0</p><p>= e−st0</p><p>Logo</p><p>L {δ(t − t0)} = e−st0 .</p><p>Fazendo t0 → 0 obtemos L {δ(t)} = 1.</p><p>Observação 7.33. Se definirmos</p><p>∞∫</p><p>−∞</p><p>δ(t)f (t) dt = lim</p><p>τ→0</p><p>∞∫</p><p>−∞</p><p>dτ(t − t0)f (t) dt,</p><p>teremos que</p><p>∞∫</p><p>−∞</p><p>dτ(t − t0)f (t) dt =</p><p>1</p><p>2π</p><p>t0+τ∫</p><p>t0−τ</p><p>f (t) dt =</p><p>1</p><p>2τ</p><p>· 2τ · f (t∗) = f (t∗),</p><p>92</p><p>7.8. função impulso e delta de dirac</p><p>onde t∗ ∈ (t0 − τ, t0 + τ). Na última igualdade, usamos o TVM para integrais. Fazendo τ → 0</p><p>teremos t∗ → t0, logo</p><p>∞∫</p><p>−∞</p><p>δ(t − t0)f (t) dt = f (t0).</p><p>Exemplo 7.34. Vamos encontrar as soluções do PVI</p><p>2y′′ + y′ + 2y = δ(t − 5), y(0) = 0, y′(0) = 0.</p><p>Tomando a transformada de Laplace e isolando Y(s) = L {y(t)}, obtemos</p><p>Y(s) =</p><p>e−5s</p><p>2s2 + s + 2</p><p>.</p><p>Calculando transformada inversa temos</p><p>y(t) =</p><p>2</p><p>√</p><p>15</p><p>u5(t)e−(t−5)/4 sen</p><p>(√</p><p>15(t − 5)</p><p>4</p><p>)</p><p>.</p><p>♣</p><p>Observação 7.35. Note que se a equação do exemplo anterior fosse homogênea</p><p>2y′′ + y′ + 2y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 0,</p><p>a solução seria a função nula. O pulso enorme que acontece em t = 5 pela presença da função δ</p><p>faz com que a solução não seja nula: ela inicia um pico logo após t = 5 e depois decai para zero:</p><p>Exercı́cio 7.36. Resolva o PVI y′′ − 5y′ + 6y = sen(t) + δ(t − π) e compare a solução com a do PVI</p><p>y′′ − 5y′ + 6y = sen(t), ambos com condições iniciais y(0) = y′(0) = 0. ▲</p><p>93</p><p>7. transformada de laplace</p><p>7.9 Transformadas de Laplace de produtos</p><p>Muitas vezes precisamos calcular a transformada inversa de um produto de funções</p><p>L−1 {F(s) · G(s)},</p><p>onde F(s) = L {f (t)} e G(s) = L {g(t)}. Isto às vezes pode ser feito com frações parciais ou outras</p><p>decomposições bem escolhidas, mas quase sempre é bem difı́cil. Não seria ótimo se</p><p>L−1 {F(s)G(s)} = f (t)g(t)?</p><p>O mundo não é tão bom assim, mas ainda tem salvação:</p><p>Teorema 7.37 (Produto de convolução). Se F(s) = L {f (t)} e G(s) = L {g(t)} existem para</p><p>s > a ≥ 0, então o produto F(s) · G(s) pode ser descrito como a transformada de Laplace de</p><p>h(t) =</p><p>t∫</p><p>0</p><p>f (t − τ)g(τ) dτ =</p><p>t∫</p><p>0</p><p>f (τ)g(t − τ) dτ,</p><p>ou seja,</p><p>F(s) · G(s) = L {h(t)} = H(s), s > a.</p><p>A função h é chamada de convolução de f e g e a integral no enunciado do Teorema 7.37 é</p><p>chamada de integral de convolução. Ou seja:</p><p>L−1 {F(s)G(s)} =</p><p>t∫</p><p>0</p><p>f (t − τ)g(τ) dτ.</p><p>Prova. Sejam</p><p>F(s) =</p><p>∞∫</p><p>0</p><p>e−swf (w) dw, G(s) =</p><p>∞∫</p><p>0</p><p>e−sτg(τ) dτ.</p><p>94</p><p>7.9. transformadas de laplace de produtos</p><p>Então</p><p>F(s)G(s) =</p><p>∞∫</p><p>0</p><p>e−swf (w) dw</p><p>∞∫</p><p>0</p><p>e−sτg(τ) dτ</p><p>=</p><p>∞∫</p><p>0</p><p>e−sτg(τ)</p><p>( ∞∫</p><p>0</p><p>e−swf (w) dw</p><p>)</p><p>dτ</p><p>=</p><p>∞∫</p><p>0</p><p>g(τ)</p><p>( ∞∫</p><p>0</p><p>e−s(w+τ)f (w) dw</p><p>)</p><p>dτ</p><p>(t = w + τ) =</p><p>∞∫</p><p>0</p><p>g(τ)</p><p>( ∞∫</p><p>τ</p><p>e−stf (t − τ) dt</p><p>)</p><p>dτ</p><p>Agora vamos inverter a ordem de integração</p><p>na integral</p><p>∞∫</p><p>0</p><p>g(τ)</p><p>( ∞∫</p><p>τ</p><p>e−stf (t − τ) dt</p><p>)</p><p>dτ,</p><p>Agora vamos inverter a ordem de integração na integral</p><p>∞∫</p><p>0</p><p>g(τ)</p><p>( ∞∫</p><p>τ</p><p>e−stf (t − τ) dt</p><p>)</p><p>dτ :</p><p>Obtendo:</p><p>∞∫</p><p>0</p><p>e−st</p><p>( t∫</p><p>0</p><p>f (t − τ)g(τ) dτ</p><p>)</p><p>dt =</p><p>∞∫</p><p>0</p><p>e−sth(t) dt = L {h(t)}.</p><p>95</p><p>7. transformada de laplace</p><p>■</p><p>Exemplo 7.38. Calcule</p><p>L−1</p><p>{</p><p>8</p><p>s2(s2 + 4)</p><p>}</p><p>usando o teorema anterior. ♣</p><p>Solução. Se escrevermos</p><p>8</p><p>s2(s2 + 4)</p><p>=</p><p>4</p><p>s2 ·</p><p>2</p><p>s2 + 4</p><p>teremos</p><p>L−1</p><p>{</p><p>8</p><p>s2(s2 + 4)</p><p>}</p><p>= L−1</p><p>{ 4</p><p>s2 ·</p><p>2</p><p>s2 + 4</p><p>}</p><p>= L−1 {F(s)G(s)}.</p><p>Como F(s) = L {4t} e G(s) = L { sen(2t)}, segue que</p><p>L−1</p><p>{</p><p>8</p><p>s2(s2 + 4)</p><p>}</p><p>=</p><p>t∫</p><p>0</p><p>4(t − τ) sen(2τ) dτ = 2t − sen(2t).</p><p>◀</p><p>Vamos fixar por alguns momentos a notação: se H(s) = F(s)G(s), então</p><p>L−1 {H(s)} = L−1 {F(s)G(s)} =</p><p>t∫</p><p>0</p><p>f (t − τ)g(τ) dτ = h(t).</p><p>Iremos denotar a convolução de f e g por</p><p>h(t) = (f ∗ g)(t) =</p><p>t∫</p><p>0</p><p>f (t − τ)g(τ) dτ.</p><p>A operação de convolução f ∗ g tem algumas propriedades parecidas com a multiplicação.</p><p>Exercı́cio 7.39. Prove que:</p><p>• f ∗ g = g ∗ h</p><p>• f ∗ (g1 + g2) = f ∗ g1 + f ∗ g2</p><p>• (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h)</p><p>• f ∗ 0 = 0 ∗ f = 0 (0 = função nula)</p><p>▲</p><p>96</p><p>7.9. transformadas de laplace de produtos</p><p>Exercı́cio 7.40. Se 1 denota a função R→ R que é constante igual a 1, então mostre que em geral é</p><p>falso que f ∗ 1 = f , e que é também falso que f ∗ f é uma função sempre positiva (ou seja, f ∗ f</p><p>não é f (t)2). ▲</p><p>Exercı́cio 7.41. Resolva o PVI x′′ −5x′ + 6x = g(t), onde g(t) é a função que você preferir (cuidado!),</p><p>x(0) = 2, x′(0) = 1. ▲</p><p>Solução. Calculando transformada de Laplace da EDO, isolando X(s) = L {y(t)} e denotando</p><p>G(s) = L {g(t)} obtemos</p><p>X(s) = L {y(t)} =</p><p>2s − 9</p><p>s2 − 5s + 6</p><p>+</p><p>G(s)</p><p>s2 − 5s + 6</p><p>Para encontrarmos a solução do PVI deveremos obter L−1 {X(s)}. Como a transformada de</p><p>Laplace é linear, podemos quebrar o problema em dois:</p><p>L−1 {X(s)} = L−1</p><p>{ 2s − 9</p><p>s2 − 5s + 6</p><p>}</p><p>+ L−1</p><p>{</p><p>G(s)</p><p>s2 − 5s + 6</p><p>}</p><p>= a(t) + b(t).</p><p>Vamos determinar a(t) e b(t):</p><p>• a(t) pode ser calculada com frações parciais e não depende de g(t), só da parte homogênea</p><p>da EDO e das condições iniciais.</p><p>• calcular b(t) é mais complicado, pois</p><p>G(s)</p><p>s2 − 5s + 6</p><p>pode ser uma função de qualquer tipo.</p><p>Note que</p><p>G(s)</p><p>s2 − 5s + 6</p><p>= G(s) · 1</p><p>s2 − 5s + 6</p><p>e a convolução nos ajuda a resolver a transformada inversa de um produto de transformadas de</p><p>Laplace:</p><p>b(t) = L−1</p><p>{</p><p>G(s) · 1</p><p>s2 − 5s + 6</p><p>}</p><p>=</p><p>t∫</p><p>0</p><p>g(τ)h(t − τ) dτ,</p><p>onde G(s) = L {g(t)} e L {h(t)} =</p><p>1</p><p>s2 − 5s + 6</p><p>. Colocando tudo junto teremos</p><p>x(t) = L−1</p><p>{ 2s − 9</p><p>s2 − 5s + 6</p><p>}</p><p>+</p><p>t∫</p><p>0</p><p>g(τ)h(t − τ) dτ,</p><p>onde g é a função dada no PVI e h(t) = L−1</p><p>{ 1</p><p>s2 − 5s + 6</p><p>}</p><p>.</p><p>97</p><p>7. transformada de laplace</p><p>A resposta fica na dependência da integral f ∗ g, sendo que todas as funções envolvidas são</p><p>conhecidas ou podem “facilmente” ser calculadas. A integral que aparece acima, no entanto, pode</p><p>não ser simples de calcular. ◀</p><p>Observação 7.42. Ao resolvermos a equação diferencial ax′′(t) + bx′(t) + cx(t) = g(t), usando</p><p>transformadas de Laplace, a função</p><p>H(s) =</p><p>1</p><p>as2 + bs + c</p><p>aparece com frequência. Ela se chama função de transferência.</p><p>Exemplo 7.43. No exemplo anterior, fazendo g(t) = cos(t) temos que</p><p>x(t) = L−1</p><p>{ 2s − 9</p><p>s2 − 5s + 6</p><p>}</p><p>+</p><p>t∫</p><p>0</p><p>cos(τ)h(t − τ) dτ,</p><p>onde h(t) = e2t(et − 1), ou seja,</p><p>x(t) = −e2t</p><p>(</p><p>3et − 5</p><p>)</p><p>+</p><p>t∫</p><p>0</p><p>cos(τ)e2(t−τ)</p><p>(</p><p>et−τ − 1</p><p>)</p><p>dτ</p><p>= −e2t</p><p>(</p><p>3et − 5</p><p>)</p><p>+</p><p>1</p><p>10</p><p>(</p><p>e2t</p><p>(</p><p>3et − 4</p><p>)</p><p>− sen(t) + cos(t)</p><p>)</p><p>♣</p><p>98</p><p>8 Sequências e séries numéricas</p><p>Vimos que não há método muito eficiente para resolver PVIs do tipo</p><p>y′′(t) + p(t)y′(t) + q(t)y(t) = f (t), y(t0) = y0, y</p><p>′(t0) = y1,</p><p>com p, q e f funções não-constantes. Vamos então procurar uma solução em série, ou seja, a solução</p><p>será uma função dada por</p><p>y(t) =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(t − t0)n, t ∈ I,</p><p>onde I é um certo intervalo contendo t0. Vamos definir precisamente o que queremos dizer com</p><p>este somatório infinito, e para isto precisamos entender o conceito de sequência.</p><p>8.1 Relações de equivalência</p><p>Seja A um conjunto não-vazio. Uma relação de equivalência em A, é uma relação entre elementos</p><p>de A, em geral denotada por ∼, que é reflexiva, simétrica e transitiva: dados a, b, c ∈ A, temos que</p><p>• a ∼ a (reflexividade),</p><p>• se a ∼ b então b ∼ a (simetria),</p><p>• se a ∼ b e b ∼ c então a ∼ c (transitividade).</p><p>Relações de equivalência são usadas para classificar os elementos de A em “caixinhas”: tudo</p><p>que é parecido (elementos que se relacionam) vão pra mesma caixinha.</p><p>Exemplo 8.1. No conjunto dos números inteiros, defina a relação de equivalência por</p><p>x ∼ y ⇔ x e y tem mesma paridade.</p><p>Então ∼ é uma relação de equivalência. De fato:</p><p>• então n ∼ n, pois n tem a mesma paridade que n,</p><p>• se x ∼ y (x tem a mesma paridade que y), então y ∼ x (y tem a mesma paridade que x),</p><p>• se x ∼ y (x tem a mesma paridade que y) e y ∼ z (y tem a mesma paridade que z), então</p><p>x ∼ z (x tem a mesma paridade que z).</p><p>♣</p><p>Exemplo 8.2. A relação “ser igual”, em números inteiros, é uma relação de equivalência. De fato,</p><p>para todos k, m, n ∈ N temos que</p><p>99</p><p>8. sequências e séries numéricas</p><p>• n = n,</p><p>• se n = m então m = n,</p><p>• sek = m e m = n então k = n.</p><p>♣</p><p>Exemplo 8.3. Sejam x, y dois objetos quaisquer no universo que tenham alguma cor bem definida e</p><p>considere a relação de equivalência: x ∼ y se x e y tem a mesma cor. Assim, um caminhão amarelo</p><p>e uma banana estão relacionados, bem como um navio laranja e uma laranja. Um avião branco e</p><p>uma uva rosa, no entanto, não estão relacionados. (É claro que esta relação de equivalência não</p><p>está bem definida, mas é só um exemplo didático.) ♣</p><p>Exercı́cio 8.4. Mostre que, em R, a relação x ∼ y se x2 = y2 é uma relação de equivalência. ▲</p><p>O próximo exemplo provavelmente é o exemplo mais famoso de relação de equivalência.</p><p>Exemplo 8.5. Seja A = Z, m um inteiro positivo e defina a relação de congruência módulo m por:</p><p>x ∼ y ⇔ m|x − y.</p><p>Esta relação é em geral denotada por</p><p>x ≡ y mod m.</p><p>Uma forma análoga de se definir esta relação é dizer que x ∼ y se x e y deixam o mesmo resto</p><p>quando divididos por m. Por exemplo, se m = 5, então diremos que x ∼ y quando 5|x − y, ou</p><p>quando x e y deixam o mesmo resto quando divididos por 5. Note que:</p><p>• 7 ∼ 12 (ou melhor, 7 ≡ 12 mod 5) pois ambos deixam resto 2 quando divididos por 5;</p><p>• 6 ∼ 31, pois ambos deixam resto 1 quando divididos por 5.</p><p>A relação x ≡ y mod m é uma relação de equivalência (prove!) e particiona Z em m caixinhas:</p><p>• a caixinha dos números que deixam resto 0 quando divididos por m,</p><p>• a caixinha dos números que deixam resto 1 quando divididos por m,</p><p>•</p><p>...</p><p>• a caixinha dos números que deixam resto m − 1 quando divididos por m.</p><p>♣</p><p>100</p><p>8.1. relações de equivalência</p><p>Dada uma relação de equivalência ∼ num conjunto A, definimos a classe de equivalência de</p><p>x ∈ A como sendo</p><p>x = {y ∈ A, x ∼ y},</p><p>ou seja, a classe de equivalência do x é o conjunto de todos os elementos de A que se relacionam</p><p>com x. Outra notação para classe de equivalência é [x], ou mesmo [x]∼ se a relação precisar ser</p><p>explicitada. O elemento particular x que usamos para escrever [x] é chamado de representante</p><p>da classe. Note que qualquer elemento de [x] pode ser representante de [x], pois se y ∈ [x] então</p><p>[x] = [y].</p><p>O conjunto das classes de equivalência, chamado de quociente de A pela relação ∼, é denotado</p><p>por A/ ∼:</p><p>(A/ ∼) = {x, x ∈ A}.</p><p>Note que A/ ∼ é um conjunto de conjuntos. Informalmente, ele é o conjunto das “caixinhas”.</p><p>Exemplo 8.6. Quando consideramos a relação “igualdade” em Z, cada classe de equivalência só</p><p>contém um elemento: [x] = {x}, pois somente x é igual a x. Portanto, podemos dizer que o quociente</p><p>Z/ ∼ é o próprio Z (tecnicamente, existe uma bijeção entre Z e Z/ ∼, dada por f : Z→ Z/ ∼, com</p><p>f (x) = [x]. ♣</p><p>Exemplo 8.7. Considerando a relação x ∼ y como sendo a paridade, existem duas classes de</p><p>equivalência: a dos pares e a dos ı́mpares. Podemos escolher 0 e 1 como representantes destas</p><p>classes:</p><p>[0] = {n ∈ Z, n tem a mesma paridade que 0}</p><p>= {. . . ,−4,−2, 0, 2, 4, . . .},</p><p>[1] = {n ∈ Z, n tem a mesma paridade que 1} = {. . . ,−3,−1, 1, 3, . . .}.</p><p>Portanto, o quociente Z/ ∼ é igual a Z/ ∼= {[0], [1]}, um conjunto com dois elementos. Note ainda</p><p>que se n ∈ Z, então ou n ∈ [0] ou n ∈ [1], logo Z = [0] ∪ [1] e a união é disjunta. ♣</p><p>Exemplo 8.8. Considere em Z a relação de equivalência x ∼ y se x ≡ y mod 2. Vamos entender</p><p>quais são as classes de equivalência desta relação. Quem está na classe do 0? Todos os inteiros n</p><p>que satisfazem n ≡ 0 mod 2, ou seja, que 2|n − 0. Portanto, são os inteiros n que são divisı́veis por</p><p>2 (os pares!). Assim,</p><p>[0] = {. . . ,−2, 0, 2, . . .} = números pares.</p><p>Como 1 < [0] (já que 1 não é par), em que classe de equivalência o 1 está? Ora, se n ∼ 1 então n ≡ 1</p><p>mod 2, ou seja, 2|n − 1 (n − 1 é par). Logo, n é ı́mpar. Assim:</p><p>[1] = {. . . ,−3,−1, 0, 1, 3, . . .} = números ı́mpares.</p><p>Novamente temos que Z = [0] ∪ [1] e a união é disjunta. ♣</p><p>101</p><p>8. sequências e séries numéricas</p><p>Exemplo 8.9. Na relação de equivalência x ∼ y quando x, y tem as mesmas cores, o quociente</p><p>Universo/ ∼ é o conjunto das cores. ♣</p><p>Exercı́cio 8.10. Mostre que se a relação de equivalência for x ∼ y se x ≡ y mod m então as classes</p><p>de equivalência serão [0], [1], . . . , [m − 1] e portanto</p><p>Z/ ∼= {0, 1, . . . , m − 1, }.</p><p>Este conjunto é normalmente denotado por Zm. Mostre explicitamente que</p><p>Zm = [0] ∪ [1] ∪ . . . ∪ [m − 1]</p><p>e que esta união é disjunta. ▲</p><p>As classes de equivalência de uma relação de equivalência possuem algumas propriedades</p><p>interessantes.</p><p>Proposição 8.11. Para uma relação de equivalência ∼ definida num conjunto A, temos que:</p><p>1. Para todo x ∈ A temos que x ∈ [x].</p><p>2. Se y ∈ [x] então x ∈ [y] e, portanto, [x] = [y].</p><p>3. Se x, y ∈ A, então ou [x] = [y] ou [x] ∩ [y] = �.</p><p>Podemos definir relações de equivalência por meio de partições. Uma partição de um conjunto</p><p>A é uma famı́lia F não-vazia de subconjuntos de A com as seguintes propriedades:</p><p>1. se U, V ∈ F então ou U = V ou U ∩ V = � e</p><p>2.</p><p>⋃</p><p>U∈F</p><p>U = A.</p><p>A Proposição 8.11 nos diz que uma relação de equivalência em A induz uma partição em A,</p><p>dada pelas classes de equivalência. A recı́proca deste fato também é verdadeira:</p><p>Proposição 8.12. Seja F uma partição não-vazia de A. Defina uma relação de equivalência em</p><p>A por</p><p>x ∼ y ⇔ existe U ∈ F que contém x e y.</p><p>Então ∼ é uma relação de equivalência e F é exatamente o conjunto das classes de equivalência</p><p>de ∼.</p><p>Assim, partições definem relações de equivalência. O quociente A/ ∼ deve ser pensado da</p><p>seguinte forma: vamos fazer de conta que elementos de A que se relacionam são iguais, então A/ ∼</p><p>conterá somente os “tipos” de elementos distintos que estão em A.</p><p>102</p><p>8.1. relações de equivalência</p><p>Exemplo 8.13. Um número racional em geral é denotado como uma fração</p><p>a</p><p>b</p><p>com b , 0, de modo</p><p>que, aparentemente,</p><p>Q =</p><p>{a</p><p>b</p><p>, a, b ∈ Z, b , 0</p><p>}</p><p>⊆ Z × Z∗. (53)</p><p>Note que, com esta definição, estamos associando a fração</p><p>a</p><p>b</p><p>ao par ordenado (a, b).</p><p>A adição de números racionais é definida por</p><p>a</p><p>b</p><p>+</p><p>c</p><p>d</p><p>=</p><p>ad + bc</p><p>bd</p><p>e o produto por</p><p>a</p><p>b</p><p>· c</p><p>d</p><p>=</p><p>ac</p><p>bd</p><p>.</p><p>O problema é que, com a definição (53), as operações acima não ficam bem definidas. Por exemplo,</p><p>temos que</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>3</p><p>=</p><p>5</p><p>6</p><p>e</p><p>2</p><p>4</p><p>+</p><p>1</p><p>3</p><p>=</p><p>10</p><p>12</p><p>,</p><p>porém</p><p>5</p><p>6</p><p>e</p><p>10</p><p>12</p><p>são elementos diferentes do conjunto Q como definido em (53), pois não existe</p><p>nenhum tipo de “simplificação” de fração definido - nada na definição indica que</p><p>5</p><p>6</p><p>e</p><p>10</p><p>12</p><p>são</p><p>o mesmo elemento de Q, como sabemos que acontece. Vamos corrigir este problema fazendo a</p><p>construção de Q de uma maneira um pouco diferente, usando uma relação de equivalência.</p><p>No conjunto Z × Z∗, defina a relação de equivalência</p><p>(a, b) ∼ (c, d) se ad − bc = 0.</p><p>Fica como exercı́cio provar que ∼ é de fato uma relação de equivalência. Note que com esta</p><p>relação, temos que (5,6) ∼ (10,12), pois 5 · 12 − 6 · 10 = 0 - com nossa notação de par ordenado</p><p>representando uma fração, isto nos diz que as frações</p><p>5</p><p>6</p><p>e</p><p>10</p><p>12</p><p>são equivalentes.</p><p>O quociente (Z × Z∗)/ ∼ é o que chamamos de conjunto dos números racionais e denotamos</p><p>por Q, em geral escrevendo um elemento (a, b) como a/b. Note que, em Q, uma fração pode ser</p><p>“simplificada” até ficar da forma p/q com p, q coprimos, graças à relação de equivalência.</p><p>Note que esta relação de equivalência é inclusive compatı́vel com as operações usuais de soma</p><p>e produto de números racionais. Em termos de pares ordenados, pensando que “(a, b) = a/b”, as</p><p>operações são definidas como</p><p>(a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd)</p><p>103</p><p>8. sequências e séries numéricas</p><p>e</p><p>(a, b) · (c, d) = (ac, bd).</p><p>Para ver a compatibilidade das operações com a relação de equivalência, precisamos provar que</p><p>podemos operar com qualquer representante de uma classe. Sejam (a0, b0), (a1, b1) ∈ [(a, b)] e</p><p>(c0, d0), (c1, d1) ∈ [(c, d)]. Devemos provar que</p><p>(a0, b0) + (c0, d0)</p><p>está na mesma classe de equivalência que a soma</p><p>(a1, b1) + (c1, d1),</p><p>e o mesmo para os produtos.</p><p>Note que</p><p>(a0, b0) + (c0, d0) = (a0d0 + b0c0, b0d0)</p><p>(a1, b1) + (c1, d1) = (a1d1 + b1c1, b1d1)</p><p>Será que</p><p>[(a0d0 + b0c0, b0d0)] = [a1d1 + b1c1, b1d1]?</p><p>Para isto, precisamos que</p><p>(a0d0 + b0c0)b1d1 − (a1d1 + b1c1)b0d0 = 0.</p><p>Note que c0d1 − d0c1 = 0 e a0b1 − b0a1 = 0. Fica como exercı́cio você concluir as contas (é só abrir</p><p>a expressão anterior e tentar identificar estes termos por lá).</p><p>Com estas operações, e da forma como definimos, usando um quociente de Z × Z∗ por uma</p><p>relação de equivalência, Q é um corpo. ♣</p><p>Observação 8.14. A construção anterior de Q a partir de Z pode ser feita mais geralmente com um</p><p>anel A qualquer, e o corpo obtido será chamado de corpo de frações de A.</p><p>Exemplo 8.15. Seja V um espaço vetorial e W um subespaço de V. Quocientes da forma V/W</p><p>devem ser interpretados como quocientes da relação de equivalência u ∼ v ⇔ u − v ∈ W.</p><p>Pode-se provar que V/W também é um espaço vetorial, e se dim V < ∞ então</p><p>dim(V/W) = dim V − dim W.</p><p>Por exemplo, R2/⟨(1, 1)⟩ é um espaço vetorial de dimensão 1, ou seja, é isomorfo a R.</p><p>Um famoso teorema de álgebra linear nos diz que se T : V → U é um homomorfismo entre</p><p>espaços vetoriais, então V/ ker(T) é isomorfo à imagem de T. Aqui a dimensão não precisa ser</p><p>finita, mas se ela for ficamos com dim V = dim Im(T) + dim Ker(T)). ♣</p><p>104</p><p>8.2. o conjunto dos números reais</p><p>8.2 O conjunto dos números reais</p><p>Estamos trabalhando com o conjunto R dos números reais já faz um tempo, mas não sabemos</p><p>exatamente que conjunto é este.</p><p>Podemos construir N usando os axiomas de Peano e Z usando os axiomas de anel. O conjunto</p><p>Q, dos números racionais, pode ser definido como o corpo de frações de Z, como fizemos na seção</p><p>anterior.</p><p>Partindo deste ponto, vamos tentar entender o que é R. Vamos seguir o livro de Análise do Elon,</p><p>que introduz R de forma axiomática. Poderı́amos fazer a construção de R (a forma mais elementar</p><p>é usando cortes de Dedekind e definindo R como um conjunto de classes de equivalência), mas</p><p>vamos deixar isto para o curso de Análise.</p><p>Seja K um corpo ordenado. Seja X ⊆ K um conjunto limitado superiormente, ou seja, existe</p><p>M ∈ K tal que x ≤ M, para todo x ∈ X. Um elemento b ∈ K é o supremo do conjunto X quando:</p><p>s1. para todo x ∈ X, temos x ≤ b e</p><p>s2. se c ∈ K é tal que x ≤ c para todo x ∈ X, então b ≤ c.</p><p>A condição S1 diz que b é uma cota superior de X, enquanto a condição S2 diz que b é a menor</p><p>cota superior para X. A condição S2 pode ser trocada por:</p><p>s2’. dado c ∈ K com c < b então existe x ∈ X com c < x < b.</p><p>Quando um conjunto X ⊂ K tem um supremo, ele é único, e denotado por sup(X).</p><p>Seja Y ⊆ K um conjunto limitado inferiormente, ou seja, existe L ∈ K tal que y ≥ L, para todo</p><p>y ∈ Y. Um elemento a ∈ K é o ı́nfimo do conjunto Y quando:</p><p>i1. para todo y ∈ Y, temos y ≥ a e</p><p>i2. se c ∈ K é tal que c ≤ y para todo y ∈ Y, então c ≤ a.</p><p>A condição I1 diz que a é uma cota</p><p>inferior de Y, enquanto a condição I2 diz que a é a maior</p><p>cota superior para Y. A condição I2 pode ser trocada por:</p><p>i2’. dado c ∈ K com a < c então existe y ∈ Y com a < y < c.</p><p>Quando um conjunto Y ⊂ K tem um ı́nfimo, ele é único, e denotado por inf(X).</p><p>Observação 8.16. Não confunda supremo com máximo, nem ı́nfimo com mı́nimo. No entanto, se o</p><p>conjunto possuir elemento máximo, então o supremo será o máximo. Analogamente para ı́nfimo e</p><p>mı́nimo.</p><p>Exercı́cio 8.17. Mostre que todo conjunto finito possui ı́nfimo e supremo. ▲</p><p>105</p><p>8. sequências e séries numéricas</p><p>Exercı́cio 8.18. Mostre que se J = (a, b), então a = inf(J) e b = sup(J). ▲</p><p>Exercı́cio 8.19. Seja X = {1/n, n ∈ N, n ≥ 1} ⊂ Q. O que você acha sobre o supremo de X? E sobre</p><p>o ı́nfimo de X? ▲</p><p>Lema 8.20 (Lema de corpo arquimediano). Em um corpo ordenado K as três condições abaixo</p><p>são equivalentes:</p><p>1. N ⊂ K é ilimitado superiormente.</p><p>2. dado a ∈ K, a > 0, existe n ∈ N tal que 0 < 1/n < a.</p><p>3. dados a, b ∈ K, com a > 0, existe n ∈ N tal que na > b.</p><p>Dizemos que um corpo K é arquimediano quando uma das condições do lema anterior são</p><p>verdadeiras para ele.</p><p>Proposição 8.21. Q é corpo arquimediano.</p><p>Exercı́cio 8.22. Demonstre que inf(X) = 0 e sup(X) = 1, onde X é o conjunto definido no Exercı́cio</p><p>8.19. ▲</p><p>Exercı́cio 8.23. Considere os conjuntos de racionais X = {x ∈ Q, x ≥ 0, x2 < 2} e Y = {y ∈ Q, y ≥</p><p>0, y2 > 2}. Mostre que X é limitado superiormente, não tem supremo e Y é limitado inferiormente,</p><p>mas não tem ı́nfimo. ▲</p><p>Dizemos que um corpo ordenado K é completo quando todo subconjunto não-vazio X ⊂ K que</p><p>é limitado superiormente possui supremo.</p><p>Exemplo 8.24. Vimos no Exemplo 8.23 que existem conjuntos limitados em Q que não tem</p><p>supremo e/ou ı́nfimo. Logo Q não é completo. ♣</p><p>Axioma 8.25. Existe um corpo ordenado completo, denotado R e chamado de corpo dos</p><p>números reais.</p><p>Como N ⊂ R é ilimitado, segue que R é arquimediano. O conjunto R \Q é chamado de conjunto</p><p>dos números irracionais. Vamos parar os spoilers de Análise I por aqui. Em particular, R pode</p><p>ser construı́do utilizando completamento de espaços métricos ou usando cortes de Dedekind</p><p>(conjuntos parecidos com os que criamos no Exercı́cio 8.23), mas não faremos isto aqui.</p><p>106</p><p>8.3. sequências</p><p>8.3 Sequências</p><p>Vamos começar esta seção com uma pergunta: na sequência</p><p>2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, x,</p><p>qual é o valor de x? Se sua resposta foi algo do tipo “x é o que eu quiser”, você está certo15.</p><p>Uma sequência de números reais é uma função x : N→ R, onde usaremos N sem o zero. O valor</p><p>x(n) será denotado por xn, o n-ésimo termo da sequência. A sequência será denotada por (xn)n∈N</p><p>ou simplesmente (xn) e sempre representada por uma lista entre parênteses, como</p><p>(xn)n∈N = (x1, x2, x3, . . .).</p><p>Em geral a sequência é definida por meio de uma fórmula para seu termo geral, xn, e não</p><p>necessariamente precisa começar de n = 1.</p><p>Exemplo 8.26. Se a ∈ R, podemos definir a sequência (xn)n∈N por xn = a, para todo n ∈ N. Esta</p><p>sequência é constante, (xn)n = (a, a, a, . . .). ♣</p><p>Exemplo 8.27. A sequência de termo geral xn =</p><p>n</p><p>n − 1</p><p>, com n ≥ 2 é (xn)n≥2 =</p><p>(2</p><p>1</p><p>,</p><p>3</p><p>2</p><p>,</p><p>4</p><p>3</p><p>, . . .</p><p>)</p><p>. ♣</p><p>Exemplo 8.28. Sejam a, r ∈ R. A sequência de termo geral xn = a+ (n−1)r é chamada de progressão</p><p>aritmética com termo inicial a e razão r: (xn)n = (a, a + r, a + 2r, a + 3r, . . .). ♣</p><p>Exemplo 8.29. Sejam a, q ∈ R. A sequência de termo geral xn = aqn−1 é chamada de progressão</p><p>geométrica com termo inicial a e razão q: (xn)n = (a, aq, aq2, aq3, . . .). ♣</p><p>Exemplo 8.30. A sequência de termo geral xn = 1/n é (xn)n = (1/n)n = (1, 1/2, 1/3, . . .). ♣</p><p>Exemplo 8.31 (Sequência de Fibonacci). Além de darmos o termo geral, podemos fornecer alguma</p><p>fórmula de recorrência para a sequência. Defina x1 = 1, x2 = 1 e daı́ xn = xn−1 + xn−2, para n ≥ 3.</p><p>Esta é a famosa sequência de Fibonacci. Seus primeiros termos são 1,1,2,3,5,8,13,21,34, . . . e</p><p>esta sequência aparece com frequência na natureza. ♣</p><p>Exemplo 8.32. Considere (xn)n a sequência definida por: xj é o j-ésimo número natural cujo</p><p>“nome” começa com “d”. Então (xn)n = (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, 200, . . .). Esta sequência coincide</p><p>com a sequência do começo do capı́tulo - com a diferença de que esta aqui está bem definida. Você</p><p>consegue dizer quem é x2000? ♣</p><p>15Para os curiosos sobre esta sequência, veja o Exemplo 8.32.</p><p>107</p><p>8. sequências e séries numéricas</p><p>Observação 8.33. Ainda sobre o exemplo anterior, dar alguns termos da sequência e pedir o</p><p>próximo, sem fornecer a regra geral, é um problema indefinido que costuma ter infinitas soluções.</p><p>Por exemplo: dado que a1 =</p><p>4</p><p>3</p><p>, a2 =</p><p>9</p><p>4</p><p>, a3 =</p><p>16</p><p>5</p><p>, a4 =</p><p>25</p><p>6</p><p>, a sequência (an)n parece ter como termo</p><p>geral an =</p><p>(n + 1)2</p><p>n + 2</p><p>. Neste caso, terı́amos a5 =</p><p>36</p><p>7</p><p>. Porém, o termo geral também poderia ser</p><p>an = −17n5</p><p>360</p><p>+</p><p>89n4</p><p>180</p><p>− 169n3</p><p>90</p><p>+</p><p>571n2</p><p>180</p><p>− 169n</p><p>120</p><p>+ 1</p><p>e neste caso terı́amos a5 = 0.</p><p>Observação 8.34. O material sobre sequências e séries aqui é bem básico e muitos lemas, proposições</p><p>e teoremas serão apresentados sem suas demonstrações. Uma boa referência para acompanhar o</p><p>assunto em nı́vel básico é [5] (livro de Cálculo do Stewart, vol. 2 se for na versão em português).</p><p>Para o mesmo assunto, tratado num nı́vel mais avançado, veja [11] (livro de Análise do Elon, vol.</p><p>1).</p><p>Se (xn)n é uma sequência, o conjunto dos termos da sequência {xn} é um conjunto que contém</p><p>todos os termos da sequência sem nenhuma ordem em particular. Note que o conjunto dos termos</p><p>da sequência é diferente da sequência.</p><p>Exemplo 8.35. Se (xn)n = (a, a, a, . . .), o conjunto dos termos é unitário: {xn}n = {a}. ♣</p><p>Diremos que a sequência (xn) é limitada superiormente se existe b ∈ R tal que xn ≤ b para todo</p><p>n ∈ N. Analogamente, dizemos que (xn) é limitada inferiormente se existe a ∈ R tal que a ≤ xn para</p><p>todo n ∈ N. A sequência é limitada se for limitada superiormente e inferiormente.</p><p>Dada uma sequência x = (xn), uma subsequência de x é a restrição da função x a algum</p><p>subconjunto infinito N ⊂ N, N = {n1, n2, . . .}, e será denotada (xnj )j∈N.</p><p>Proposição 8.36. Subsequências de sequências limitadas também são limitadas.</p><p>Uma sequência (xn) é crescente, decrescente, não-crescente ou não-decrescente conforme a</p><p>função x : N→ R seja. Chamaremos a todas elas de sequências monótonas.</p><p>Dizemos que uma sequência x = (xn) converge para a ∈ R, ou que a é o limite da sequência</p><p>x = (xn), se para todo ε > 0, existir n0 ∈ N tal que |xn − a| < ε sempre que n ≥ n0.</p><p>Em palavras: a medida que n aumenta, os termos xn da sequência vão ficando cada vez mais</p><p>próximos de a, tão próximos quanto se queira.</p><p>Denotaremos isto por lim</p><p>n→∞</p><p>xn = a ou x→ a, e a sequência será dita convergente. Caso contrário,</p><p>a sequência será divergente.</p><p>Observação 8.37. Lembre-se que uma sequência (xn)n é uma função x : N → R, então quando</p><p>calculamos o limite da sequência limn→∞ xn estamos na verdade calculando o limite da função</p><p>x(n) com n→ ∞. Para funções definidas em N, só faz sentido calcular limites com n→ ∞. Não</p><p>108</p><p>8.3. sequências</p><p>podemos calcular limite com n → 2, pois não existe naturais perto de 2, para que possamos</p><p>aproximar de 2 por eles.</p><p>Exemplo 8.38. Sequências constantes são convergentes.</p><p>De fato, suponha xn = a para todo n. Vamos provar que xn → a. Dado ε > 0, tome qualquer</p><p>n0 ∈ N. Então</p><p>|xn − a| = |a − a| = 0 < ε.</p><p>♣</p><p>Um resultado que pode ajudar no cálculo de limn→ an é o seguinte:</p><p>Proposição 8.39. Se f (x) é uma função real e lim</p><p>x→∞</p><p>f (x) = L, definindo an = f (n) para n ∈ N,</p><p>temos que limn→∞ an = L.</p><p>Exemplo 8.40. A sequência xn = 1/n converge para 0.</p><p>Se fato, seja ε > 0. Como R é arquimediano, o conjunto dos naturais é ilimitado, portanto existe</p><p>n0 ∈ N tal que n0 > 1/ε. Logo, 1/n0 < ε. Assim, se n > n0, teremos</p><p>|xn − 0| = |xn| = 1/n < ε.</p><p>♣</p><p>Exercı́cio 8.41. Prove (e use no próximo exercı́cio) que xn → 0⇔ |xn| → 0.</p><p>4</p><p>Mais um texto de equações diferenciais</p><p>Bem-vindo a esta proposta de curso introdutório de equações diferenciais! Este curso se localiza</p><p>após os dois primeiros cursos de cálculo (limites, derivadas e integrais de funções de uma e várias</p><p>variáveis), um curso de geometria analı́tica e vetores, e talvez um curso introdutório de álgebra</p><p>linear.</p><p>Existem excelentes livros de equações diferenciais, em especial as referências [4], [1], [3], [7],</p><p>[9] e [2], que recomendo que você leia e procure exercı́cios para fazer.</p><p>O que esse material cobre?</p><p>Estas notas cobrem a ementa atual do curso de Cálculo III ministrado pelo IMECC, complementado</p><p>por alguns conteúdos que são importantes para alunos do Cursão e algumas engenharias. A</p><p>sequência é mais ou menos essa:</p><p>1. Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Equações lineares. Teorema de existência</p><p>e unicidade. Equações separáveis, exatas, fatores integrantes. Outros métodos substitutivos.</p><p>Equações homogêneas.</p><p>2. Equações diferenciais ordinárias lineares de ordem superior. Princı́pio da superposição.</p><p>Wronskiano. Equações homogêneas com coeficientes constantes. Métodos: Coeficientes inde-</p><p>terminados, variação dos parâmetros. Redução de ordem. Equações de Euler.</p><p>3. Transformadas de Laplace. Solução de problemas de valor inicial. Funções degrau. Funções</p><p>impulso. A integral de convolução.</p><p>4. Sequências. Séries numéricas. Testes da integral, da comparação, do limite, da razão, da raiz,</p><p>etc. Séries de potências. Séries de Taylor.</p><p>5. Soluções de equações diferenciais ordinárias por séries de potências (caso regular) e por</p><p>séries de Frobenius (caso singular).</p><p>6. Problemas de valores de fronteira. Séries de Fourier. Equações diferenciais parciais. Equações</p><p>da onda e do calor. Método de separação de variáveis. Equação de Laplace.</p><p>7. Exponencial matricial. Sistemas lineares.</p><p>Essas notas tem pouco conteúdo de modelagem e “real world applications”. Isso é um problema,</p><p>e talvez eu consiga melhorar isso em versões futuras. Outro problema sério dessas notas: o autor</p><p>escreve demais.</p><p>5</p><p>conteúdo</p><p>Agradecimentos</p><p>Essas nossas usam uma versão modificada do template LaTeX-lecture-notes-class, por V. H. Belvadi:</p><p>https://vhbelvadi.com/latex-lecture-notes-class/</p><p>Contribuı́ram com alguns exercı́cios e exemplos: Mayara Caldas (PED/2020), Pablo Lopes</p><p>(PAD/2020), Anna Carolina Ferrari (PAD/2022).</p><p>Ajudaram com correção de erros e/ou comentários durante a aula que viraram sugestões e</p><p>foram incorporados no texto: Marcos Emanuel do Nascimento, Maycon Bruno da Silva Santos,</p><p>Gabriel Dyniewicz Lemos, Pedro Bernardinelli, Bruna Helena Rotta Santiago e muitos outros (me</p><p>lembre de te agradecer!).</p><p>Copyright</p><p>Estas notas de aula estão regidas pela Licença Pública Creative Commons Atribuição 4.0 Internaci-</p><p>onal:</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/legalcode.pt</p><p>Veja um resumo clicando aqui:</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pt_BR</p><p>6</p><p>https://vhbelvadi.com/latex-lecture-notes-class/</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/legalcode.pt</p><p>https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pt_BR</p><p>1 Exemplos iniciais de equações diferenciais</p><p>Esse capı́tulo é uma conversa inicial sobre equações diferenciais. Depois de dois cursos de cálculo,</p><p>estamos acostumados com derivadas e integrais. Dada uma função f (t), sabemos calcular f ′(t)</p><p>e também conseguimos encontrar as “primitivas” de f (t), ou seja, funções F(t) de modo que</p><p>F′(t) = f (t). Note que F(t) satisfaz uma equação da forma y′(t) = f (t) se tomarmos y(t) = F(t).</p><p>Estudamos várias estratégias para calcular F(t) (“técnicas de integração”) para conseguir uma</p><p>expressão explı́cita para F(t). Em alguns casos isso é impossı́vel, mas o Teorema Fundamental do</p><p>Cálculo nos garante que a função</p><p>F(t) =</p><p>t∫</p><p>∗</p><p>f (s) ds</p><p>existe1. Estaremos interessados agora em resolver equações parecidas com y′(t) = f (t), mas com o</p><p>lado direito também dependendo de y(t). Tais equações serão chamadas de equações diferenciais.</p><p>Por exemplo,</p><p>y′(t) = −y(t) (1)</p><p>é uma equação diferencial; a solução dessa equação é uma função diferenciável y(t) que satisfaz</p><p>(1). Como você já deve ter percebido, existem infinitas funções que satisfazem (1), pois sempre</p><p>existe uma “constante” envolvida na solução. Poderemos escolher uma solução particular exigindo</p><p>um pouco mais da função, por exemplo que y(0) = y0, onde y0 é um valor pré-definido. Essa</p><p>condição será chamada condição inicial.</p><p>De maneira informal, uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função (que</p><p>é nossa incógnita, que queremos encontrar), bem como suas derivadas, além de outras funções.</p><p>No caso de alguma condição inicial ser fornecida junto com a equação, teremos um “problema de</p><p>valor inicial”.</p><p>Usaremos as notações x′(t) ou ẋ(t) para a derivada da função x(t) com respeito à variável t, ou</p><p>mesmo a notação dx/dt se for necessário dar ênfase à variável da derivada. Quando o contexto</p><p>for favorável, usaremos somente x′ ou somente ẋ para denotar a derivada de x com respeito à sua</p><p>variável2.</p><p>1.1 Nós já sabemos resolver equações diferenciais!</p><p>Espero que você não se empolgue com o tı́tulo da seção e pare de ler essas notas, mas ele é</p><p>verdadeiro: se você já fez um curso de Cálculo, já resolveu algumas equações diferenciais. Veremos</p><p>isso em alguns exemplos.</p><p>Exemplo 1.1. Determine funções u(t) que satisfazem u′ − u = 0.</p><p>1O * no extremo de integração pode ser qualquer valor admissı́vel.</p><p>2Adoramos você Leibniz, mas em alguns momentos a notação de Newton é bem superior.</p><p>7</p><p>1. exemplos iniciais de equações diferenciais</p><p>Usando todos os nossos conhecimentos de derivadas, será que conseguimos pensar em uma</p><p>função satisfazendo u′ = u? Claro! A exponencial! Se u(t) = cet, com c ∈ R, então</p><p>u′(t) = cet = u(t).</p><p>Note que a constante de integração satisfaz u(0) = c. Será que essa é a única solução satisfazendo</p><p>essa condição? Será que existem funções periódicas satisfazendo a essa equação? ♣</p><p>A estratégia de usar nossos conhecimentos de derivadas para encontrar soluções de equações é</p><p>boa. Vamos tentar mais uma vez, agora com uma equação um pouco mais complicada.</p><p>Exemplo 1.2. Encontre funções u(t) que satisfazem u′′ + u = 0.</p><p>O problema agora é um pouco mais difı́cil do que o anterior, pois a equação envolve derivadas</p><p>de segunda ordem. Podemos encontrar por “inspeção” algumas soluções da equação anterior:</p><p>• u1(t) = 0,</p><p>• u2(t) = cos(t),</p><p>• u3(t) = sen(t),</p><p>• u4(t) = a cos(t) + b sen(t).</p><p>2 4 6 8 10 12</p><p>-2</p><p>-1</p><p>1</p><p>2</p><p>Figura 1: Algumas soluções de u′′(t) + u(t) = 0: u1(t) = 0, u2(t) = cos(t), u3(t) = sen(t),</p><p>u4(t) = a cos(t) + b sen(t)</p><p>Curiosamente, todas as soluções acima são periódicas. Será que todas as soluções não-constantes</p><p>dessa equação são periódicas? ♣</p><p>Nos exemplos acima, encontramos a solução de forma “intuitiva”. Em breve vamos desenvolver</p><p>métodos sistemáticos para encontrar tais soluções, mas por enquanto fique com o exercı́cio abaixo.</p><p>Exercı́cio 1.3. Encontre soluções para a equação diferencial u′′′ + u = 0. ▲</p><p>8</p><p>1.1. nós já sabemos resolver equações diferenciais!</p><p>Vamos voltar à ideia de que podemos resolver EDOs com nossos conhecimentos de Cálculo I.</p><p>Exemplo 1.4. Determine uma solução para a equação diferencial y′(t) + y(t) = 2.</p><p>Na falta de ideia melhor, matemáticos costumam piorar as equações, para ver se alguma nova</p><p>possibilidade aparece. Vamos multiplicar a equação anterior por uma função µ(t), obtendo</p><p>y′(t)µ(t) + y(t)µ(t) = 2µ(t). (2)</p><p>Após olhar um pouco para o lado esquerdo da equação (2), começamos a perceber que ela é</p><p>parecida com a expressão da “regra do produto” para derivadas:</p><p>(y(t) · µ(t))′ = y′(t)µ(t) + y(t)µ′(t). (3)</p><p>Para que o lado esquerdo de (2) seja exatamente igual ao lado direito de (3), só precisamos que</p><p>µ(t) = µ′(t). Ora, vamos escolher</p><p>▲</p><p>Exercı́cio 8.42. Seja a ∈ R. Estude a convergência da sequência (xn) com xn = an. ▲</p><p>Lema 8.43. Se lim xn = a e lim xn = b então a = b.</p><p>Observação 8.44. O Lema anterior é verdade em R e em vários espaços mais gerais. No entanto,</p><p>em alguns espaços, com topologias mais complicadas, uma sequência pode de fato convergir para</p><p>dois pontos distintos.</p><p>Lema 8.45. Se lim xn = a então toda subsequência de (xn) converge para a.</p><p>109</p><p>8. sequências e séries numéricas</p><p>Lema 8.46. Toda sequência convergente é limitada.</p><p>Prova. Suponha que xn → a e tome ε = 1. Então existe n1 tal que se n ≥ n0 então |xa−a| < 1, ou seja,</p><p>todos os termos xn para n ≥ n1 estão no intervalo (a − 1, a + 1). Logo, estes termos estão limitados</p><p>inferiormente por a − 1 e superiormente por a + 1. Só precisamos agora “recolher” os termos que</p><p>ficaram de fora. Considere então L = min{x1, x2, . . . , xn1</p><p>, a − 1} e M = max{x1, x2, . . . , xn1</p><p>, a + 1}.</p><p>Assim, para todo n ∈ N, temos que L ≤ xn ≤ M e portanto a sequência é limitada. ■</p><p>Lema 8.47 (Teorema da Convergência Monótona). Toda sequência monótona e limitada é</p><p>convergente.</p><p>Exercı́cio 8.48. A soma dos limites é o limite das somas, desde que os limites existam. O mesmo</p><p>vale para o produto e para o limite de (1/xn) (caso xn , 0). ▲</p><p>Exercı́cio 8.49. Se lim xn = 0 e (yn) é limitada, então lim xnyn = 0. ▲</p><p>Exercı́cio 8.50. Se xn ≤ yn para todo n e (xn), (yn) são sequências convergentes, então lim xn ≤</p><p>lim yn ▲</p><p>Exercı́cio 8.51 (Teorema de Bolzano-Weierstrass, 1817). Toda sequência limitada possui uma</p><p>subsequência convergente. ▲</p><p>Existem várias possibilidades para que uma sequência não seja convergente. Destacaremos</p><p>uma delas em especial. Diremos que limn→∞ = ∞ quando dado M > 0, existe n0 ∈ N tal que se</p><p>n ≥ n0 temos an > M.</p><p>Exercı́cio 8.52. Mostre que lim</p><p>n→∞</p><p>2n = ∞. ▲</p><p>Por fim, o resultado abaixo mostra que sequências se comportam bem junto com funções</p><p>contı́nuas. A prova deste resultado fica como exercı́cio, e é um boa hora de treinar seu conhecimento</p><p>sobre epsilons, deltas e convergência de sequências.</p><p>Proposição 8.53. Se lim</p><p>n→∞</p><p>xn = a e f é uma função contı́nua em a, então lim</p><p>n→∞</p><p>f (xn) = f (a).</p><p>Exercı́cio 8.54. Calcule alguns termos e o limite da sequência (xn)n, onde xn = exp</p><p>(1</p><p>n</p><p>)</p><p>. ▲</p><p>110</p><p>8.3. sequências</p><p>Seja x = (xn) uma sequência num corpo K. Quando temos xn → a, os termos de (xn) se</p><p>aproximam de a quando os valores de n são grandes. Portanto, naturalmente os termos de (xn) se</p><p>aproximam um dos outros (pois todos se aproximam de a).</p><p>Não é verdade, no entanto, que se os termos de (xn) estão cada vez mais próximos uns dos</p><p>outros, eles deverão convergir para algum lugar.</p><p>Exercı́cio 8.55. Tente construir uma justificativa para o parágrafo anterior: encontre uma sequência</p><p>cujos termos vão se aproximando uns dos outros mas a sequência não converge. ▲</p><p>Dizemos que uma sequência (xn)n é de Cauchy se dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que |xn − xm| < ε</p><p>sempre que m, n ≥ n0, ou seja, a partir de um certo n0, os termos da sequência estão todos próximos</p><p>uns dos outros (ε-próximos).</p><p>Proposição 8.56. Se a sequência (xn)n converge, então ela é de Cauchy.</p><p>Prova. Suponha que xn → a e seja ε > 0. Da convergência, segue que existe n0 ∈ N tal que para</p><p>todo n ≥ n0, temos |xn − a| < ε/2. Sejam m, n > n0. Então temos que</p><p>|xm − xn| = |(xm − a) − (xn − a)| ≤ |xm − a| − |xn − a| < ε/2 + ε/2 = ε,</p><p>e daı́ a sequência é de Cauchy. ■</p><p>Exemplo 8.57. Seja 0 ≤ λ < 1 e seja (xn) uma sequência que satisfaz</p><p>|xn+2 − xn+1| ≤ λ|xn+1 − xn|,</p><p>para todo n ∈ N. Então ela é de Cauchy.</p><p>De fato, temos que</p><p>|x3 − x2| < λ|x2 − x1|, |x4 − x3| < λ2|x3 − x2|, |xn+1 − xn| < λn−1|xn − xn−1|, . . .</p><p>Sejam n, p ∈ N. Então</p><p>|xn+p − xn| = |xn+p − xn+p−1 + xn+p−1 + . . . + xn+2 − xn+1 + xn+1 − xn|</p><p>≤ |xn+p − xn+p−1| + . . . |xn+1 − xn|</p><p>≤</p><p>(</p><p>λn+p−2 + λn+p−3 + . . . + λn−1</p><p>)</p><p>|x2 − x1|</p><p>= λn−1 1 − λp</p><p>1 − λ</p><p>|x2 − x1| ≤</p><p>λn−1</p><p>1 − λ</p><p>|x2 − x1|</p><p>Finalmente obtemos que (xn) satisfaz</p><p>|xn+p − xn| ≤</p><p>λn−1</p><p>1 − λ</p><p>|x2 − x1|.</p><p>111</p><p>8. sequências e séries numéricas</p><p>Se x2 − x1 = 0 então teremos que xn+p − xn = 0 para todos n, p e daı́ (xn) é de Cauchy. Suponha</p><p>então que x2 , x1.</p><p>Seja ε > 0. Como λ ∈ [0, 1), segue que a sequência (λn−1) converge para zero. Portanto,</p><p>λn−1</p><p>1 − λ</p><p>|x2 − x1| → 0.</p><p>Seja n0 tal que</p><p>λn−1</p><p>1 − λ</p><p>|x2 − x1| <</p><p>ε</p><p>|x2 − x1|</p><p>.</p><p>Assim, se n > n0 teremos</p><p>|xn+p − xn| ≤</p><p>λn−1</p><p>1 − λ</p><p>|x2 − x1| ≤</p><p>ε</p><p>|x2 − x1|</p><p>|x2 − x1| = ε</p><p>Ou seja: (xn) é de Cauchy!</p><p>♣</p><p>Exemplo 8.58. Seja a ∈ R e encontre o limite da sequência (xn) dada por</p><p>xn+1 =</p><p>1</p><p>2</p><p>(</p><p>xn +</p><p>a</p><p>xn</p><p>)</p><p>, n ≥ 1,</p><p>supondo que ela converge.</p><p>Suponha que (xn) converge para um certo número α. Então podemos calcular limite na ex-</p><p>pressão acima, obtendo</p><p>α = lim xn = lim</p><p>1</p><p>2</p><p>(</p><p>xn +</p><p>a</p><p>xn</p><p>)</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>(</p><p>lim xn +</p><p>a</p><p>lim xn</p><p>)</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>(</p><p>α +</p><p>a</p><p>α</p><p>)</p><p>.</p><p>Resolvendo a equação em α, obtemos α =</p><p>√</p><p>a, logo se (xn) convergir, teremos xn →</p><p>√</p><p>a. ♣</p><p>Observação 8.59. Você pode usar a sequência do Exemplo 8.58 para resolver o Exercı́cio 8.23.</p><p>Exercı́cio 8.60. Mostre que a sequência dada por x1 = a e</p><p>xn+1 =</p><p>1</p><p>2</p><p>(</p><p>xn +</p><p>a</p><p>xn</p><p>)</p><p>, n ≥ 1,</p><p>satisfaz</p><p>|xn+2 − xn+1| ≤ λ|xn+1 − xn|,</p><p>portanto ela é de Cauchy. ▲</p><p>112</p><p>8.4. séries</p><p>Lema 8.61. Toda sequência de Cauchy é limitada.</p><p>Prova. A prova pode ser feita de forma análoga à do Lema 8.46, quando provamos que sequências</p><p>convergentes são limitadas: tome ε = 1 para resolver o problema da limitação dos termos com</p><p>m, n ≥ n0 e “recolha” os termos de fora usando máximos/mı́nimos de conjuntos finitos. ■</p><p>Teorema 8.62 (Critério de Cauchy). Em R, toda sequência de Cauchy é convergente.</p><p>Exercı́cio 8.63. Em Q, existem sequências de Cauchy que não são convergentes (ou: Q não é</p><p>completo). Consegue um exemplo? ▲</p><p>8.4 Séries</p><p>Seja (an) uma sequência em R e considere a sequência (sn), chamada de sequência das somas</p><p>parciais, e dada por</p><p>s1 = a1</p><p>s2 = a1 + a2 = s1 + a2</p><p>s3 = a1 + a2 + a3 = s2 + a3</p><p>sn =</p><p>n∑</p><p>k=1</p><p>ak = a1 + . . . + an = sn−1 + an</p><p>A sequência (sn) pode ou não ser convergente. Se for, denotaremos seu limite por</p><p>s = lim sn =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>an.</p><p>A soma anterior é chamada de série de termo geral an. O número s é chamado de soma da série.</p><p>Exemplo 8.64. Seja a ∈ (0,1) e considere a sequência (xn) dada por xn = 1 + a + . . . + an. Esta</p><p>sequência converge? Para onde?</p><p>Vocês já devem conhecer o truque:</p><p>xn = 1 + a + . . . + an</p><p>axn = a + a2 + . . . + an+1</p><p>Logo xn − axn = 1 − an+1 e daı́</p><p>xn =</p><p>1 − an+1</p><p>1 − a</p><p>.</p><p>113</p><p>8. sequências e séries numéricas</p><p>Como a ∈ (0, 1), segue que an+1 → 0, portanto</p><p>xn →</p><p>1</p><p>1 − a</p><p>.</p><p>♣</p><p>O próximo resultado é o primeiro de vários que estudam a convergência/divergência de uma</p><p>série.</p><p>Teorema 8.65 (TCM adaptado). Se an ≥ 0, a série</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>an converge se, e só se, a sequência (sn) é</p><p>limitada.</p><p>Prova. A prova não é difı́cil: como os termos são positivos, (sn) é monótona crescente. Se for</p><p>limitada, irá convergir! ■</p><p>Apesar da demonstração anterior, na prática, em casos concretos, não será tão fácil mostrar</p><p>diretamente que (sn) é uma sequência limitada.</p><p>Exemplo 8.66. A série</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>1</p><p>n</p><p>é chamada de série harmônica, e ela diverge.</p><p>De fato, seja sn = 1 + 1/2 + . . . + 1/n. Note que</p><p>s2 = 1 +</p><p>1</p><p>2</p><p>s4 = 1 +</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>3</p><p>+</p><p>1</p><p>4</p><p>≥ 1 +</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>4</p><p>+</p><p>1</p><p>4</p><p>= 1 +</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>2</p><p>4</p><p>s8 = 1 +</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>3</p><p>+</p><p>1</p><p>4</p><p>+</p><p>1</p><p>5</p><p>+</p><p>1</p><p>6</p><p>+</p><p>1</p><p>7</p><p>+</p><p>1</p><p>8</p><p>≥ 1 +</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>2</p><p>4</p><p>+</p><p>4</p><p>8</p><p>s2n ≥ 1 +</p><p>1</p><p>2</p><p>+</p><p>2</p><p>4</p><p>+</p><p>4</p><p>8</p><p>+ . . . +</p><p>2n−1</p><p>2n = 1 + n · 1</p><p>2</p><p>Portanto, a subsequência s2n →∞, e daı́ sn →∞! ♣</p><p>Exercı́cio 8.67. A série</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(−1)n diverge. Como é a sequência das somas parciais? ▲</p><p>8.5 Critérios de convergência de séries</p><p>Nesta seção veremos alguns critérios para determinar se uma série converge.</p><p>114</p><p>8.5. critérios de convergência de séries</p><p>Teorema 8.68. Se</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an converge, então an → 0.</p><p>Prova. De fato, seja (sn)n≥1 dada por</p><p>sn = a1 + . . . + an.</p><p>Então</p><p>s =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>an = lim</p><p>n→∞</p><p>sn,</p><p>ou seja, temos a convergência</p><p>a1, a1 + a2, a1 + a2 + a3, . . .→ s.</p><p>Agora um</p><p>truque: se a sequência</p><p>a1, a1 + a2, a1 + a2 + a3, . . .→ s</p><p>então é óbvio que podemos eliminar alguns termos iniciais da sequência e ela continuará conver-</p><p>gindo, ou seja:</p><p>a1 + a2, a1 + a2 + a3, . . .→ s</p><p>Portanto, (sn+1)n também satisfaz sn+1 → s. Note que nós não eliminamos termos da sequência</p><p>(an), isto faria com que a soma fosse alterada. Só alteramos a sequência das somas parciais!</p><p>Sendo assim, a sequência (sn+1 − sn)n converge para 0. Como sn+1 − sn = an, segue que an → 0.</p><p>■</p><p>Exercı́cio 8.69. A recı́proca do teorema anterior é falsa. Consegue um exemplo? ▲</p><p>Exercı́cio 8.70. A série</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>n + 1</p><p>n</p><p>diverge. ▲</p><p>Exercı́cio 8.71. A série</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>1</p><p>n(n + 1)</p><p>é convergente, e soma 1. Para provar, utilize frações parciais</p><p>e calcule as somas parciais. Este tipo se série é chamada de série telescópica (descubra o motivo</p><p>deste nome!). ▲</p><p>Exercı́cio 8.72. Podemos generalizar um pouco o Exemplo 8.64 da seguinte forma: seja a ∈ R. Se</p><p>|a| < 1, a série</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an converge para</p><p>1</p><p>1 − a</p><p>. Por outro lado, se |a| ≥ 1, a série diverge. ▲</p><p>115</p><p>8. sequências e séries numéricas</p><p>Exemplo 8.73. A série</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>1</p><p>nr</p><p>converge se r ≥ 2. ♣</p><p>Lema 8.74. Se an ≥ 0 então (sn) é limitada se, e só se, alguma subsequência é limitada.</p><p>Diremos que uma série</p><p>∑</p><p>an é absolutamente convergente se</p><p>∑</p><p>|an| converge. Quando</p><p>∑</p><p>an</p><p>converge, mas</p><p>∑</p><p>|an| diverge, diremos que</p><p>∑</p><p>an é condicionalmente convergente.</p><p>Teorema 8.75. Toda série absolutamente convergente é convergente.</p><p>Teorema 8.76 (Critério de Leibniz). Se (bn)n é não-crescente e lim</p><p>n→∞</p><p>bn = 0, então a série</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(−1)nbn converge.</p><p>Exemplo 8.77. A série</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(−1)n+1</p><p>n</p><p>= 1 − 1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>3</p><p>− 1</p><p>4</p><p>+</p><p>1</p><p>5</p><p>− 1</p><p>6</p><p>+ . . .</p><p>converge (para ln(2)).</p><p>De fato, seja sN =</p><p>N∑</p><p>n=1</p><p>(−1)n+1</p><p>n</p><p>. Temos que</p><p>• s1 = 1</p><p>• s3 = 1 −</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>− 1</p><p>3</p><p>)</p><p>• s5 = 1 −</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>− 1</p><p>3</p><p>)</p><p>−</p><p>(</p><p>1</p><p>4</p><p>− 1</p><p>5</p><p>)</p><p>Ou seja, quando pegamos os termos ı́mpares de (sn)n, começamos em 1 e vamos decrescendo.</p><p>Esta sequência só contém números positivos, portanto é limitada inferiormente por 1 (prove por</p><p>indução!).</p><p>Por outro lado:</p><p>• s2 = 1 − 1</p><p>2</p><p>• s4 =</p><p>(</p><p>1 − 1</p><p>2</p><p>)</p><p>+</p><p>(</p><p>1</p><p>3</p><p>− 1</p><p>4</p><p>)</p><p>• s6 =</p><p>(</p><p>1 − 1</p><p>2</p><p>)</p><p>+</p><p>(</p><p>1</p><p>3</p><p>− 1</p><p>4</p><p>)</p><p>+</p><p>(</p><p>1</p><p>5</p><p>− 1</p><p>6</p><p>)</p><p>116</p><p>8.5. critérios de convergência de séries</p><p>Ou seja, quando pegamos os termos pares de (sn)n, começamos em 1/2 e vamos aumentando.</p><p>Todos os termos desta sequência são menores do que 1 (prove por indução!).</p><p>Como</p><p>s2n+1 − s2n =</p><p>1</p><p>2n + 1</p><p>> 0</p><p>segue que lim s2n+1 − lim s2n = 0 e daı́ lim s2n+1 = lim s2n.</p><p>Se denotarmos este limite por s, teremos que (sn) converge para s. Quem é s? Podemos mostrar</p><p>que s = ln(2) utilizando a soma de Riemann da função f (x) = 1/x no intervalo [1,2], pegando</p><p>intervalos de mesmo comprimento e considerando o erro por excesso. Isto está provado em [26].</p><p>Escrever uma série como uma soma de Riemann é uma forma muito boa de obter sua soma!</p><p>♣</p><p>Exemplo 8.78 (Cuidado com séries condicionalmente convergentes!). Seja</p><p>s =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(−1)n+1</p><p>n</p><p>= 1 − 1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>3</p><p>− 1</p><p>4</p><p>+</p><p>1</p><p>5</p><p>− 1</p><p>6</p><p>+ . . . .</p><p>Acabamos de provar que s = ln(2). Porém:</p><p>1 − 1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>3</p><p>− 1</p><p>4</p><p>+</p><p>1</p><p>5</p><p>− 1</p><p>6</p><p>+</p><p>1</p><p>7</p><p>− 1</p><p>8</p><p>+</p><p>1</p><p>9</p><p>− 1</p><p>10</p><p>+ . . . =(</p><p>1 − 1</p><p>2</p><p>)</p><p>− 1</p><p>4</p><p>+</p><p>(</p><p>1</p><p>3</p><p>− 1</p><p>6</p><p>)</p><p>− 1</p><p>8</p><p>+</p><p>(</p><p>1</p><p>5</p><p>− 1</p><p>10</p><p>)</p><p>+ . . . =</p><p>1</p><p>2</p><p>− 1</p><p>4</p><p>+</p><p>1</p><p>6</p><p>− 1</p><p>8</p><p>+</p><p>1</p><p>10</p><p>+ . . . =</p><p>1</p><p>2</p><p>(</p><p>1 − 1</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>3</p><p>− 1</p><p>4</p><p>+ . . .</p><p>)</p><p>= ln(2)/2</p><p>Série condicionalmente convergentes podem ser re-arranjadas para obtermos qualquer número!</p><p>Que coisa, não? ♣</p><p>Não é nosso objetivo neste curso discutir com detalhes testes de convergência. Utilizaremos</p><p>essencialmente quatro critérios para decidir sobre a convergência de uma série.</p><p>• teste da comparação</p><p>• teste da razão</p><p>• teste da raiz</p><p>• teste da integral</p><p>Estes testes em geral são aplicados nos termos gerais das séries, mas todos tem em comum</p><p>algum tipo de resultado inconclusivo. Ou seja, existem séries que nenhum deles consiga provar a</p><p>convergência/divergência da série. Existem testes mais eficientes que estes, mas também existem</p><p>séries bastante resistentes a testes.</p><p>117</p><p>8. sequências e séries numéricas</p><p>Exemplo 8.79. Seja (pn)n a sequência dos números primos, ou seja, pn é o n-ésimo número primo,</p><p>(pn)n = (2, 3, 5, 7, 11, . . .). Seja an = 1 se pn e pn + 2 são primos e an = 0 caso contrário. Provar que</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>an diverge é equivalente a provar que existem infinitos números primos gêmeos. Este ainda é</p><p>um problema em aberto. ♣</p><p>Enfim, vamos aos testes.</p><p>Teorema 8.80 (Teste da comparação). Sejam</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an e</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>bn duas séries de termos não-negativos,</p><p>com</p><p>0 ≤ an ≤ bn</p><p>para todo n ≥ 1.</p><p>• se</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an diverge então</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>bn também diverge.</p><p>• se</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>bn converge então</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an também converge.</p><p>A vantagem do teste da comparação é que ele é fácil de aplicar. A desvantagem é que você</p><p>precisa usar outra série com comportamento bem conhecido.</p><p>Na medida que você conhecer a convergência de mais séries, conseguirá usar melhor este teste.</p><p>Exemplo 8.81. Estude a convergência da série</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>ln n</p><p>n</p><p>.</p><p>Seja an =</p><p>ln n</p><p>n</p><p>. Note que ln(e) = 1 e ln(x) é uma função crescente, portanto ln(n) > 1 para todo</p><p>n ≥ 3. Assim, temos que</p><p>ln n</p><p>n</p><p>></p><p>1</p><p>n</p><p>para todo n ≥ 3 e como a série</p><p>∞∑</p><p>n=3</p><p>1</p><p>n</p><p>é divergente, segue que</p><p>∞∑</p><p>n=3</p><p>ln(n)</p><p>n</p><p>também diverge - e daı́,</p><p>incluindo uma quantidade finita de termos, provamos também que</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>ln(n)</p><p>n</p><p>diverge.</p><p>♣</p><p>Exercı́cio 8.82. Estude a convergência da série</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>1</p><p>2n + n2 . ▲</p><p>Exercı́cio 8.83. Estude a convergência da série</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>1</p><p>12 + 22 + . . . + n2 . ▲</p><p>118</p><p>8.5. critérios de convergência de séries</p><p>Teorema 8.84 (Teste da razão). Seja (an)n uma sequência com an , 0 para todo n e suponha que</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>|an+1|</p><p>|an|</p><p>= L.</p><p>Então,</p><p>• se L < 1, a série</p><p>∑</p><p>an é absolutamente convergente.</p><p>• se L > 1, a série é divergente (considere∞ > 1).</p><p>• se L = 1, o teste é inconclusivo.</p><p>Novamente a vantagem é que é um teste simples de aplicar. A desvantagem neste caso é que ele</p><p>é inconclusivo em muitos casos. É especialmente útil quando a série envolve fatoriais ou potências</p><p>dependendo de n.</p><p>Exemplo 8.85. Estude a convergência da série</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>n3</p><p>3n .</p><p>Seja an =</p><p>n3</p><p>3n . Temos que</p><p>an+1</p><p>an</p><p>=</p><p>(n + 1)3</p><p>3n+1</p><p>3n</p><p>n3 =</p><p>(n + 1)3</p><p>n3</p><p>1</p><p>3</p><p>Portanto,</p><p>lim</p><p>n→</p><p>an+1</p><p>an</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>< 1</p><p>e daı́ a série converge (absolutamente). ♣</p><p>Exercı́cio 8.86. Estude a convergência da série</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>3n + 1</p><p>2n + 1</p><p>. ▲</p><p>Exercı́cio 8.87. Estude a convergência da série</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>n!</p><p>nn</p><p>. ▲</p><p>119</p><p>8. sequências e séries numéricas</p><p>Teorema 8.88 (Teste da raiz). Seja (an)n uma sequência e considere</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>n</p><p>√</p><p>|an| = L.</p><p>Então</p><p>• se L < 1, a série</p><p>∑</p><p>an é absolutamente convergente.</p><p>• se L > 1, a série é divergente (considere∞ > 1).</p><p>• se L = 1, o teste é inconclusivo.</p><p>Este é um teste muito poderoso, porém o limite pode ser complicado de calcular. Útil quando a</p><p>série envolve potências dependendo de n.</p><p>Exemplo 8.89. Estude a convergência da série</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(</p><p>2n + 4</p><p>3n + 1</p><p>)n</p><p>.</p><p>Seja an =</p><p>(</p><p>2n + 4</p><p>3n + 1</p><p>)n</p><p>. Então</p><p>n</p><p>√</p><p>an = n</p><p>√(</p><p>2n + 4</p><p>3n + 1</p><p>)n</p><p>=</p><p>2n + 4</p><p>3n + 1</p><p>e com isso</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>n</p><p>√</p><p>an =</p><p>2</p><p>3</p><p>< 1</p><p>e a série converge. ♣</p><p>Exercı́cio 8.90. Estude a convergência da série</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>5n+1</p><p>(ln n)n</p><p>. ▲</p><p>Exercı́cio 8.91. Estude a convergência da série</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>3n</p><p>n32n</p><p>. ▲</p><p>120</p><p>8.5. critérios de convergência de séries</p><p>Teorema 8.92 (Teste da integral). Se</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an é uma série de termos positivos e f : [M,∞)→ R é</p><p>uma função integrável, com M > 0, de modo que</p><p>• f (x) ≥ 0,</p><p>• f (x) é decrescente e</p><p>• an = f (n),</p><p>então a série</p><p>∑</p><p>an converge se, e só se,</p><p>∞∫</p><p>M</p><p>f (x) dx converge.</p><p>O teste da integral funciona muito bem. O único problema é conseguir calcular a integral.</p><p>Observação 8.93. Cuidado: Não é verdade que</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>an =</p><p>∞∫</p><p>M</p><p>f (x) dx.</p><p>Exemplo 8.94. Estude a convergência da série</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>n</p><p>n2 + 1</p><p>.</p><p>Para aplicar o teste da integral, devemos estudar a convergência da integral</p><p>∞∫</p><p>1</p><p>x</p><p>x2 + 1</p><p>dx,</p><p>e não é difı́cil provar que esta integral diverge! Logo,</p><p>a série também diverge. ♣</p><p>Exercı́cio 8.95. Estude a convergência da série</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>n tg</p><p>(</p><p>1</p><p>n</p><p>)</p><p>. ▲</p><p>Exercı́cio 8.96. Estude a convergência da série</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>1</p><p>(3 + 2n)2 . ▲</p><p>121</p><p>9. soluções em séries para equações diferenciais</p><p>9 Soluções em séries para equações diferenciais</p><p>Neste capı́tulo mostraremos como usar uma função definida por uma série para resolver equações</p><p>diferenciais. Vamos começar relembrando o polinômio de Taylor de uma função, que pode ser</p><p>usado para aproximar uma função f (x) por um polinômio.</p><p>9.1 Polinômios de Taylor</p><p>Vimos no primeiro curso de cálculo que se f (x) é uma função com derivadas de ordem n no ponto</p><p>x = x0, seu polinômio de Taylor de grau n é dado por</p><p>Tn(f , x0)(x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) +</p><p>f ′′(x0)</p><p>2!</p><p>(x − x0)2 + . . . +</p><p>f (n)(x0)</p><p>n!</p><p>(x − x0)n.</p><p>O gráfico do polinômio de Taylor de grau 1 é exatamente a reta tangente ao gráfico de f no</p><p>ponto (x0, f (x0)):</p><p>T1(f , x0)(x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0).</p><p>Um dos principais ensinamentos do curso de Cálculo I é que a função y = f (x0) + f ′(x0)(x − x0)</p><p>aproxima muito bem y = f (x) para valores de x próximos de x0. De forma mais geral, o polinômio</p><p>de Taylor de grau n é a melhor maneira que temos para aproximar f por um polinômio de grau n.</p><p>Exemplo 9.1. Considere f (x) = ex. Então temos que f (n)(0) = 1 para todo n. Com isso, alguns</p><p>polinômios de Taylor de f (x) na origem são: p1(x) = T1(f , 0)(x) = 1 + x,</p><p>p2(x) = T2(f , 0)(x) = 1 + x +</p><p>x2</p><p>2</p><p>,</p><p>p5(x) = T5(f , 0)(x) = 1 + x +</p><p>x2</p><p>2</p><p>+</p><p>x3</p><p>3!</p><p>+</p><p>x4</p><p>4!</p><p>+</p><p>x5</p><p>5!</p><p>e</p><p>p10(x) = T10(f , 0)(x) = 1 + x +</p><p>x2</p><p>2!</p><p>+</p><p>x3</p><p>3!</p><p>+ . . . +</p><p>x10</p><p>10!</p><p>.</p><p>Calculando p1(1), p2(1), p5(1) e p10(1), teremos aproximações cada vez melhores para p(1). ♣</p><p>É importante ter em mente que o polinômio de Taylor de grau n aproxima a função, mas não é</p><p>igual à função, exceto no caso da função já ser um polinômio de grau n.</p><p>Se x está próximo de a mas é diferente de a, a diferença |f (x) − p(x)| é positiva e será denotada</p><p>por En(f , x) ou somente En(x). Podemos quantificar este erro de várias formas, e vamos relembrar</p><p>uma delas.</p><p>122</p><p>9.2. séries de potências</p><p>Teorema 9.2 (Fórmula de Taylor com erro integral). Seja f uma função com as n + 1 primeiras</p><p>derivadas contı́nuas num intervalo contendo o ponto x = a. Então, para todo x neste intervalo</p><p>temos</p><p>f (x) = Tn(f , a) + En(x),</p><p>onde</p><p>Tn(f , a) =</p><p>n∑</p><p>k=0</p><p>f (k)(a)</p><p>k!</p><p>(x − a)k</p><p>é o polinômio de Taylor de grau n e o erro é dado por</p><p>En(x) =</p><p>1</p><p>n!</p><p>x∫</p><p>a</p><p>(x − t)nf (n+1)(t) dt.</p><p>O polinômio de Taylor é, como todo polinômio, uma soma finita de termos. O que iremos fazer</p><p>agora é representar funções por somas infinitas,</p><p>f (x) =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n = a0 + a1x + a2x</p><p>2 + . . . + anx</p><p>n + . . . . (54)</p><p>Mais que isto, iremos definir funções por meio de uma série como esta. Na igualdade anterior, se</p><p>truncarmos a série da direita para obter um polinômio de grau n, não teremos mais igualdade,</p><p>mas o que sobrará na direita será exatamente o polinômio de Taylor de f de grau n.</p><p>9.2 Séries de Potências</p><p>Uma série de potências é uma série da forma</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x − x0)n = a0 + a1(x − x0) + b2(x − x0)2 + . . . + bk(x − x0)k + . . . (55)</p><p>onde x é uma variável e os ak são os coeficientes da série.</p><p>Note que para cada valor fixado de x, a série (55) se torna uma série numérica, como as que</p><p>estudamos no capı́tulo anterior, portanto ela pode ser convergente ou divergente. Uma série de</p><p>potências, portanto, é uma função de x, cujo domı́nio é o conjunto dos pontos x para os quais ela</p><p>converge. Note que o domı́nio sempre inclui x0, pois para x = x0 a série sempre converge.</p><p>Diremos que</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x − x0)n é absolutamente convergente em x = b se a série</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>|an| · |b − x0|n</p><p>123</p><p>9. soluções em séries para equações diferenciais</p><p>converge. Como esperado, convergência absoluta⇒ convergência, mas a recı́proca é falsa.</p><p>Não é esperado que uma série seja convergente para todo valor de x. Se a série</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x − x0)n</p><p>converge para todo x no intervalo (x0 − R, x0 + R) e diverge para |x − x0| > R, diremos que o raio</p><p>de convergência da série é R. Os testes de convergência que aplicamos anteriormente para séries</p><p>numéricas em geral revelam o raio de convergência.</p><p>Proposição 9.3. Dada uma série de potências</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x − x0)n, existem três possibilidades para</p><p>seu raio de convergência:</p><p>1. R = 0, ou seja, a série só converge em x = x0,</p><p>2. R = ∞, ou seja, a série converge para todo x ∈ R ou</p><p>3. 0 < R < 0, ou seja, a série converge sempre que |x − x0| < R e diverge se |x − x0| > R.</p><p>Exemplo 9.4. Determine o raio de convergência de</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(2x + 1)n</p><p>n2 .</p><p>Vamos aplicar o teste da razão.∣∣∣∣∣∣(2x + 1)n+1</p><p>(n + 1)2 · n2</p><p>(2x + 1)n</p><p>∣∣∣∣∣∣ = |2x + 1| · n2</p><p>(n + 1)2</p><p>Portanto, |an+1/an| → |2x + 1| e o teste da razão diz que a série de potências converge desde que</p><p>|2x + 1| < 1, ou seja, se −1 < x < 0.</p><p>Note que se x = −1 ou x = 0 a série também converge, portanto a série converge para todo</p><p>−1 ≤ x ≤ 0. Podemos então definir uma função como sendo esta série, ou seja, f (x) =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(2x + 1)n</p><p>n2</p><p>está bem definida no domı́nio [−1, 0]. ♣</p><p>Observação 9.5. É importante perceber que o intervalo onde a série converge pode ou não incluir</p><p>os extremos.</p><p>Proposição 9.6. Temos que:</p><p>1. Se</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x − x0)n converge para x = x1, então ela converge para todo x com |x − x0| <</p><p>|x1 − x0|.</p><p>2. Se</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x − x0)n diverge em x = x1, então ela diverge para todo x com |x − x0| > |x1 − x0|.</p><p>124</p><p>9.2. séries de potências</p><p>Exemplo 9.7. Estude a convergência da série</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(−1)n+1n(x − 1)n.</p><p>O termo geral desta série é an = (−1)n+1n(x − 1)n. Usando o teste da razão temos∣∣∣∣∣an+1</p><p>an</p><p>∣∣∣∣∣ =</p><p>∣∣∣∣∣(−1)n+2(n + 1)(x − 1)n+1</p><p>(−1)n+1n(x − 1)n</p><p>∣∣∣∣∣ =</p><p>(n + 1)|x − 1|</p><p>n</p><p>→ |x − 1|.</p><p>Portanto, se |x − 1| < 1, a série é convergente, ou seja, se 0 < x < 2 a série converge e se x < 0 ou</p><p>x > 2 ela diverge. O que acontece se x = 0 ou x = 2?</p><p>Vamos testar: Se x = 0 teremos</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(−1)n+1n(−1)n =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>n→ diverge</p><p>Se x = 2 teremos</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(−1)n+1n =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(−1)n+1n→ diverge</p><p>Portanto a série converge se, e só se, 0 < x < 2, sendo divergente nos demais pontos.</p><p>♣</p><p>Quando uma série de potências</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x − x0)n tem raio de convergência positivo, ela define</p><p>uma função f (x) =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x − x0)n.</p><p>O que acontece quando começamos com uma função f (x) e conseguimos obter uma série tal</p><p>que f (x) =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>bn(x − x0)n?</p><p>A próxima proposição nos dá várias propriedades úteis na manipulação das séries de potências,</p><p>inclusive uma relação entre bn e alguns valores de f (x) e suas derivadas. A demonstração ficará</p><p>como exercı́cio.</p><p>Proposição 9.8. Sejam</p><p>f (x) =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x − x0)n e g(x) =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>bn(x − x0)n</p><p>e suponha que ambas as séries convergem no intervalo |x − x0| < R, com R > 0 (ou seja, o raio</p><p>de convergência é R). Então:</p><p>1. f (x) ± g(x) =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(an ± bn)(x − x0)n para |x − x0| < R.</p><p>2. f (x) · g(x) converge.</p><p>3. f (x)/g(x) converge, desde que g(x0) , 0.</p><p>125</p><p>9. soluções em séries para equações diferenciais</p><p>Proposição 9.9. Seja f (x) =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x − x0)n e suponha que esta série converge no intervalo</p><p>|x − x0| < R, com R > 0 Então:</p><p>1. a função f é contı́nua, tem derivadas de todas as ordens e a derivada pode ser calculada</p><p>derivando os termos da série, ou seja,</p><p>f ′(x) = a1 + 2a2(x − x0) + 3a3(x − x0)2 + . . . ;</p><p>2. para todo n ∈ N, an =</p><p>f (n)(x0)</p><p>n!</p><p>;</p><p>3.</p><p>∫</p><p>f (x) dx = c + a0(x − x0) + a1</p><p>(x − x0)2</p><p>2</p><p>+ +a2</p><p>(x − x0)3</p><p>3</p><p>+ . . . = c +</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an</p><p>(x − x0)n+1</p><p>n + 1</p><p>Além disso, o raio de convergência das séries em (1) e (3) também é R.</p><p>A proposição anterior nos mostra que podemos derivar e integrar uma série convergente termo</p><p>a termo, e isto é fantástico! Dada uma função f (x), a série</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>f (n)(x0)</p><p>n!</p><p>(x − x0)n</p><p>é chamada de série de Taylor de f (x) em x = x0. Se f tem expansão em série de Taylor em torno de</p><p>x = x0 com raio de convergência R > 0, ela é dita</p><p>ser analı́tica em x0 e daı́ podemos escrever</p><p>f (x) =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>f (n)(x0)</p><p>n!</p><p>(x − x0)n. (56)</p><p>Quando “R = ∞”, a função é dita ser inteira em x0. Note que a expressão (56) é como se fizéssemos</p><p>n→∞ na expressão (54).</p><p>Exemplo 9.10. Seja f (x) = ex. Como f (n)(x) = ex para todo n ∈ N, temos que f (n)(0) = 1, para todo</p><p>n ∈ N. A série de Taylor de f é</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>1</p><p>n!</p><p>xn, que tem raio de convergência infinito, logo ex =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>1</p><p>n!</p><p>xn.</p><p>♣</p><p>Exercı́cio 9.11. Calcule as séries de Taylor das funções abaixo, e determine os raios de convergência.</p><p>• p(x) =</p><p>1</p><p>1 + x</p><p>, ponto x = 0.</p><p>• q(x) = sen(x), ponto x = 0.</p><p>• f (x) = cos(x), ponto x = 0.</p><p>• g(x) = ln(x), ponto x = 1.</p><p>126</p><p>9.2. séries de potências</p><p>• h(x) =</p><p>e</p><p>−1/x, x > 0</p><p>0 x ≤ 0</p><p>, ponto x = 0.</p><p>▲</p><p>Quando temos séries convergentes, às vezes podemos manipulá-las termo a termo. Além disso,</p><p>se tivermos uma boa “enciclopédia” de séries, podemos reconhecer algumas delas como funções já</p><p>bem conhecidas.</p><p>9.2.1 Determinando a soma de séries</p><p>A série</p><p>1</p><p>12 +</p><p>1</p><p>22 +</p><p>1</p><p>32 +</p><p>1</p><p>42 + . . .</p><p>1</p><p>n2 + . . .</p><p>é convergente. Qual é sua soma?</p><p>O problema de se obter a soma desta série é conhecido como problema de Basel. Ele foi proposto</p><p>por Pietro Mengoli em 1650 e foi resolvido por Euler em 1734. Vários matemáticos da famı́lia</p><p>Bernoulli tentaram sem sucesso resolver este problema. O nome “problema de Basel” é uma</p><p>homenagem à cidade natal tanto de Euler como dos Bernoulli, que fica na Suiça.</p><p>Curioso sobre a soma?</p><p>1</p><p>12 +</p><p>1</p><p>22 +</p><p>1</p><p>32 +</p><p>1</p><p>42 + . . .</p><p>1</p><p>n2 + . . . =</p><p>π2</p><p>6</p><p>.</p><p>Na prova original, Euler “fatorou” a série de Taylor de a série de Taylor de sen(x)/x como se</p><p>fosse um polinômio infinito.</p><p>Figura 12: Recorte do artigo original de Euler, disponı́vel integralmente aqui: http://</p><p>eulerarchive.maa.org//pages/E041.html</p><p>Se f é uma função analı́tica em x = a, ou seja, que é representada por sua série de Taylor em</p><p>torno de x = a, então é possı́vel escrever</p><p>f (x) = f (a) + f ′(a)x +</p><p>f ′′(a)</p><p>2!</p><p>x2 +</p><p>f ′′′(a)</p><p>3!</p><p>x3 + . . . +</p><p>f (n)(a)</p><p>n!</p><p>xn + . . .</p><p>127</p><p>http://eulerarchive.maa.org//pages/E041.html</p><p>http://eulerarchive.maa.org//pages/E041.html</p><p>9. soluções em séries para equações diferenciais</p><p>Exemplo 9.12. Determine se a série abaixo é convergente. Se for, determine sua soma:</p><p>1 − 1</p><p>3</p><p>+</p><p>1</p><p>5</p><p>− 1</p><p>7</p><p>+</p><p>1</p><p>9</p><p>+ . . .</p><p>♣</p><p>Para resolver este problema, seja f (x) = arctan(x). Assim</p><p>f ′(x) =</p><p>1</p><p>1 + x2 =</p><p>1</p><p>1 − (−x2)</p><p>.</p><p>Esta é a expressão da soma de uma PG, desde que |x| < 1. Portanto,</p><p>f ′(x) =</p><p>1</p><p>1 + x2 =</p><p>1</p><p>1 − (−x2)</p><p>= 1 − x2 + x4 − x6 + x8 + . . .</p><p>e com isto</p><p>f (x) = arctan(x) =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(−1)nx2n+1</p><p>2n + 1</p><p>= x − x3</p><p>3</p><p>+</p><p>x5</p><p>5</p><p>+ . . .</p><p>f (x) = arctan(x) =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(−1)nx2n+1</p><p>2n + 1</p><p>= x − x3</p><p>3</p><p>+</p><p>x5</p><p>5</p><p>+ . . .</p><p>Note que a série anterior converge se x = 1 também (justifique!). Fazendo x = 1 obtemos</p><p>π</p><p>4</p><p>=</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(−1)n</p><p>2n + 1</p><p>= 1 − 1</p><p>3</p><p>+</p><p>1</p><p>5</p><p>− 1</p><p>7</p><p>+</p><p>1</p><p>9</p><p>+ . . .</p><p>ou ainda</p><p>π =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(−1)n4</p><p>2n + 1</p><p>= 4 − 4</p><p>3</p><p>+</p><p>4</p><p>5</p><p>− 4</p><p>7</p><p>+</p><p>4</p><p>9</p><p>+ . . .</p><p>Dificuldade: achar a função que tenha a série de Taylor que queremos. Seja s ∈ C e considere a</p><p>série ∞∑</p><p>n=1</p><p>1</p><p>ns</p><p>.</p><p>Lembre que se s = a + bi então</p><p>ns = na+bi = na</p><p>(</p><p>cos(b) + i sen(b)</p><p>)</p><p>,</p><p>e com isto |ns| = na. Portanto, a soma acima converge quando a > 1. Denote</p><p>ζ(s) =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>1</p><p>ns</p><p>.</p><p>Esta função, com domı́nio {z ∈ C, Re(z) > 1} é conhecida como função zeta de Riemann.</p><p>128</p><p>9.2. séries de potências</p><p>No caso s = 1, a série não converge (é a série harmônica). É possı́vel estender analiticamente</p><p>o domı́nio da função ζ(s) para todos os valores z ∈ C com z , 1. O problema de Basel então é</p><p>determinar explicitamente ζ(2). Além de sabermos que ζ(2) = π2/6, sabemos também que ζ(3) é</p><p>irracional, apesar de ainda não ter sido “calculada” em termos de outras constantes já conhecidas.</p><p>Mais para a frente, utilizaremos séries de Fourier para provar que ζ(2) = π2/6.</p><p>Vamos terminar esta seção com mais fatos sobre a função ζ(s) de Riemann. No caso em que</p><p>Re(s) > 1, podemos escrever</p><p>ζ(s) =</p><p>1</p><p>Γ (s)</p><p>∞∫</p><p>0</p><p>xs+1</p><p>ex − 1</p><p>dx,</p><p>onde a função Γ (s) é dada por</p><p>Γ (s) =</p><p>∞∫</p><p>0</p><p>xs−1e−x dx.</p><p>A função Γ (s), quando restrita aos naturais, satisfaz</p><p>Γ (n) = (n − 1)!.</p><p>É possı́vel encontrar z ∈ C tal que ζ(z) = 0? Usando séries, não é muito difı́cil provar que</p><p>ζ(−2n) = 0, para todo n ≥ 1. Em 1914, Hardy provou que existem infinitos valores de t ∈ R tais</p><p>que</p><p>ζ</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>+ it</p><p>)</p><p>= 0.</p><p>É um problema em aberto, conhecido como hipótese de Riemann, provar que todos os zeros de</p><p>ζ(s) são desta forma, ou seja, números pares negativos ou números complexos com parte real 1/2.</p><p>Em particular, a solução deste problema vale 1 milhão de dólares, pagos pelo Clay Institute.</p><p>Euler provou que se Re(s) > 1 então</p><p>ζ(s) =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>1</p><p>ns</p><p>=</p><p>∏</p><p>p primo</p><p>1</p><p>1 − p−s</p><p>=</p><p>1</p><p>1 − 2−s</p><p>· 1</p><p>1 − 3−s</p><p>· 1</p><p>1 − 5−s</p><p>· . . .</p><p>Uma relação muito importante existe entre a função ζ(s) e a distribuição dos números primos.</p><p>Seja π(x) a função que dá o número de primos menores ou iguais a x. Por exemplo, π(2) = 1,</p><p>π(3) = 2, π(4) = 2, π(5) = 3, π(100) = 25, e por aı́ vai.</p><p>O Teorema dos Números Primos diz que</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>π(x)(</p><p>x</p><p>ln(x)</p><p>) = 1,</p><p>ou seja, que a função</p><p>x</p><p>ln(x)</p><p>é uma boa aproximação para π(x), para valores grandes de x.</p><p>Todas as demonstrações conhecidas do Teorema dos Números Primos fazem uso da Hipótese</p><p>129</p><p>9. soluções em séries para equações diferenciais</p><p>de Riemann, ou seja, que ζ(s) = 0 somente quando s = −2n ou s =</p><p>1</p><p>2</p><p>+ ti para algum t ∈ R. Que tal</p><p>usar seu tempo livre para tentar resolver o problema? Se conseguir, e ganhar o prêmio do Clay,</p><p>lembre-se deste seu pobre professor :)</p><p>130</p><p>10 Soluções em séries para EDOs: pontos regulares</p><p>Sejam P, Q, R funções boas (neste caso, polinômios) e considere a EDO</p><p>P(x)y′′(x) + Q(x)y′(x) + R(x)y(x) = 0. (57)</p><p>Se x0 é tal que P(x0) , 0, diremos que x0 é um ponto regular; caso contrário, será chamado ponto</p><p>singular.</p><p>Vamos considerar problemas de valor inicial com y(x0) = y0. Neste caso, se x0 não for regular,</p><p>como P(x0) = 0, a equação vai ser degenerada, o que não desejamos.</p><p>Sendo x0 um ponto regular, pela continuidade de P, existirá um intervalo ao redor de x0 onde</p><p>P(x) , 0. Dividindo a equação (57) por P(x), obteremos</p><p>y′′(x) + p(x)y′(x) + q(x)y(x) = 0, (58)</p><p>onde p = Q/P e q = R/P. Pelo Teorema de Existência e Unicidade, a equação (58) tem solução</p><p>(única). Vamos procurar tal solução em termos de uma série de potências.</p><p>Exemplo 10.1. Encontre uma solução em séries para y′′ + y = 0.</p><p>Note que nesta equação todo ponto é um ponto regular, já que P(x) = 1 é constante. Seja</p><p>y(x) =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n = a0 + a1x + a2x</p><p>2 + . . .</p><p>uma solução da equação no enunciado, e vamos assumir que esta série converge em algum intervalo</p><p>|x| < ρ. Temos que</p><p>y′(x) =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>nanx</p><p>n−1 = a1 + 2a2x + 3a3x</p><p>2 + . . .</p><p>y′′(x) =</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>n(n − 1)anx</p><p>n−2 = 2a2 + 6a3x + . . . .</p><p>Substituindo na EDO, temos</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>n(n − 1)anx</p><p>n−2 +</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n = 0.</p><p>Reescrevendo os somatórios do lado esquerdo para que tenham a mesma potência de x no termo</p><p>geral (isto é importante!) temos</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n + 2)(n + 1)an+2x</p><p>n +</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n = 0,</p><p>131</p><p>10. soluções em séries para edos: pontos regulares</p><p>e colocando num só somatório obtemos</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(</p><p>(n + 2)(n + 1)an+2 + an</p><p>)</p><p>xn = 0.</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(</p><p>(n + 2)(n + 1)an+2 + an</p><p>)</p><p>xn = 0.</p><p>A igualdade acima é uma igualdade de séries. Comparando os coeficientes, devemos ter</p><p>(n + 2)(n + 1)an+2 + an = 0,</p><p>para todo n ≥ 0. E agora?</p><p>n = 0 : 2a2 + a0 = 0⇒ a2 = −a0</p><p>2</p><p>= −a0</p><p>2!</p><p>n = 1 : 6a3 + a1 = 0⇒ a3 = −a1</p><p>6</p><p>= −a1</p><p>3!</p><p>n = 2 : 12a4 + a2 = 0⇒ a4 = − a2</p><p>12</p><p>=</p><p>a0</p><p>24</p><p>=</p><p>a0</p><p>4!</p><p>n = 3 : 20a5 + a3 = 0⇒ a5 = − a3</p><p>20</p><p>=</p><p>a1</p><p>120</p><p>=</p><p>a1</p><p>5!</p><p>Todos os coeficientes ak com k ≥ 2 vão ficar em termos de a0 e a1. Isto faz bastante sentido, já</p><p>que precisamos de dois coeficientes livres para aplicar as condições iniciais.</p><p>Portanto, se k ≥ 1, temos</p><p>a2k =</p><p>(1)k</p><p>(2k)!</p><p>a0 e a2k+1 =</p><p>(−1)k</p><p>(2k + 1)!</p><p>a1.</p><p>Colocando de volta na expressão de y(x) teremos que a solução é</p><p>y(x) = a0</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(−1)n</p><p>(2n)!</p><p>x2n + a1</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(−1)n</p><p>(2n + 1)!</p><p>x2n+1,</p><p>com a0, a1 ∈ R. Reconhece estas séries? Claro: y(x) = a0 cos(x) + a1 sen(x). Em particular, isto pode</p><p>ser usado como definição destas funções!</p><p>♣</p><p>Que tal agora fazer alguns exemplos cujas soluções não conhecemos a priori? A EDO não é</p><p>homogênea, mas vocês verão que não faz muita diferença.</p><p>Exemplo 10.2. Resolva o PVI</p><p>y′′(x) + x2y′(x) + xy(x) = ex, y(0) = 1, y′(0) = 0.</p><p>132</p><p>Seja y(x) =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n. Primeiro calculamos as séries que vamos precisar.</p><p>y′(x) =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>nanx</p><p>n−1,</p><p>y′′(x) =</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>n(n − 1)anx</p><p>n−2,</p><p>ex =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>1</p><p>n!</p><p>xn.</p><p>Substituindo tudo na EDO, temos:</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>n(n − 1)anx</p><p>n−2 + x2</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>nanx</p><p>n−1 + x</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>1</p><p>n!</p><p>xn</p><p>que é equivalente a</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>n(n − 1)anx</p><p>n−2 +</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>nanx</p><p>n+1 +</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n+1 =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>1</p><p>n!</p><p>xn</p><p>Precisamos arrumar as potências dentro dos somatórios, e também os ı́ndices iniciais. Isto</p><p>não é difı́cil, mas exige atenção. Um erro aqui é fatal. Vamos levar tudo para potência n. Para</p><p>uniformizar assim, poderá ser necessário tirarmos alguns termos de dentro do somatório.</p><p>faça n′ = n − 2 :</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>n(n − 1)anx</p><p>n−2 =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n + 2)(n + 1)an+2x</p><p>n</p><p>faça n′ = n − 1 :</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>nanx</p><p>n+1 =</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>(n − 1)an−1x</p><p>n</p><p>faça n′ = n − 1 :</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n+1 =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>an−1x</p><p>n</p><p>Assim a EDO fica</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(n + 2)(n + 1)an+2x</p><p>n +</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>(n − 1)an−1x</p><p>n +</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>an−1x</p><p>n =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>1</p><p>n!</p><p>xn</p><p>133</p><p>10. soluções em séries para edos: pontos regulares</p><p>Vamos começar todos os somatórios em 2.(</p><p>2a2 + 6a3x +</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>(n + 2)(n + 1)an+2x</p><p>n</p><p>)</p><p>+</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>(n − 1)an−1x</p><p>n +</p><p>(</p><p>a0x +</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>an−1x</p><p>n</p><p>)</p><p>=</p><p>1 + x +</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>1</p><p>n!</p><p>xn</p><p>Reagrupando:</p><p>2a2 − 1 + (a0 + 6a3 − 1)x+</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>(</p><p>(n + 2)(n + 1)an+2 + (n − 1)an−1 + an−1 −</p><p>1</p><p>n!</p><p>)</p><p>xn = 0</p><p>Igualando todos os coeficientes a zero:</p><p>2a2 − 1 = 0,</p><p>a0 + 6a3 − 1 = 0,</p><p>(n + 2)(n + 1)an+2 + nan−1 −</p><p>1</p><p>n!</p><p>= 0, ∀n ≥ 2.</p><p>Simplificando e calculando alguns termos</p><p>a2 = 1/2,</p><p>a3 = (1 − a0)/6,</p><p>a4 =</p><p>1</p><p>12</p><p>(</p><p>1</p><p>2!</p><p>− 2a1</p><p>)</p><p>,</p><p>a5 =</p><p>1</p><p>20</p><p>(</p><p>1</p><p>3!</p><p>− 3a2</p><p>)</p><p>an+2 =</p><p>1</p><p>(n + 2)(n + 1)</p><p>(</p><p>1</p><p>n!</p><p>− nan−1</p><p>)</p><p>,</p><p>Das condições iniciais y(0) = 1 e y′(0) = 0 tiramos que a0 = 1 e a1 = 0. Logo a0 = 1, a1 = 0,</p><p>134</p><p>a2 = 1/2, a3 = 0,</p><p>a4 =</p><p>1</p><p>12</p><p>(</p><p>1</p><p>2!</p><p>)</p><p>=</p><p>1</p><p>24</p><p>,</p><p>a5 =</p><p>1</p><p>20</p><p>(</p><p>1</p><p>3!</p><p>− 3</p><p>2</p><p>)</p><p>= − 1</p><p>15</p><p>an+2 =</p><p>1</p><p>(n + 2)(n + 1)</p><p>(</p><p>1</p><p>n!</p><p>− nan−1</p><p>)</p><p>.</p><p>Calculando mais alguns termos, obtemos os primeiros termos da “solução”:</p><p>y(x) = 1 +</p><p>x2</p><p>2</p><p>+</p><p>x4</p><p>24</p><p>+</p><p>x5</p><p>15</p><p>+</p><p>x6</p><p>720</p><p>− x7</p><p>210</p><p>+</p><p>289x8</p><p>40320</p><p>− x9</p><p>7560</p><p>+</p><p>1537x10</p><p>3628800</p><p>+ . . . (59)</p><p>Esta série converge? Qual o raio de convergência? Qual o termo geral? O que fizemos foi supor</p><p>que existia uma solução em série e encontrar o termo geral. Nem sequer provamos que de fato a</p><p>série encontrada é convergente. Precisamos de um teorema!</p><p>♣</p><p>A definição de ponto regular e ponto singular que demos anteriormente é muito boa no caso</p><p>em que P, Q, R são polinômios. Vamos aperfeiçoar esta definição para casos mais gerais.</p><p>Dada uma EDO P(x)y′′ + Q(x)y′ + R(x)y = 0, diremos que x0 é um ponto regular se as funções</p><p>p = Q/P e q = R/P forem analı́ticas em x0. Se existir um termo não-homogêneo S(x), suporemos</p><p>também que f = S/P é analı́tica em x0.</p><p>Caso contrário, diremos que x0 é um ponto singular.</p><p>Teorema 10.3 (Fuchs, 1866). Seja x0 é um ponto regular de</p><p>P(x)y′′ + Q(x)y′ + R(x)y = 0,</p><p>ou seja, p(x) = Q(x)/P(x) e q(x) = R(x)/P(x) são analı́ticas em x0. Então existe uma solução em</p><p>série da forma</p><p>y(x) =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>an(x − x0)n = a0y1(x) + a1y2(x),</p><p>onde a0, a1 são constantes e y1, y2 são séries de potências analı́ticas em x0. As soluções y1, y2</p><p>formam um conjunto fundamental, e o raio de convergência de y é pelo menos igual ao menor</p><p>dos raios de convergência das séries de p e q.</p><p>Agora sim, temos um teorema que garante a existência de soluções em séries, ao menos no caso</p><p>analı́tico.</p><p>Exemplo 10.4. Do teorema anterior, concluı́mos que o raio de convergência da série (59) do</p><p>Exemplo 10.2 é infinito. ♣</p><p>135</p><p>10. soluções em séries para edos: pontos regulares</p><p>Exercı́cio 10.5. Determine o raio de convergência da solução em série de</p><p>cos(x)y′′ + y′ + R(x)y = 0</p><p>em torno de x = 0, onde R(x) é um polinômio. ▲</p><p>Exercı́cio 10.6. Mostre que a equação de Chebyshev</p><p>(1 − x2)y′′ − xy′ + α2y = 0, α ∈ R,</p><p>tem soluções polinomiais nos casos em que α = 0, 1, 2, 3.</p><p>▲</p><p>10.1 Soluções em séries para EDOs: pontos singulares</p><p>Agora vamos considerar x0 um ponto singular da EDO</p><p>P(x)y′′(x) + Q(x)y′(x) + R(x)y(x) = 0</p><p>e tentar obter uma solução em série perto de x0 - lembre-se que isto significa que Q(x)/P(x) não é</p><p>analı́tica em x = x0. Será que o mesmo método anterior ainda funciona?</p><p>Exemplo 10.7. Considere a equação xy′′ + y′ = 0. Se supomos uma solução da forma</p><p>y =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n</p><p>teremos que</p><p>x</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>n(n − 1)anx</p><p>n−2 +</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>nanx</p><p>n−1 = 0.</p><p>Expandindo, teremos</p><p>x</p><p>(</p><p>2a2 + 6a3x + 12a4x</p><p>2 + . . .</p><p>)</p><p>+ (a1 + 2a2x + 3a3x</p><p>2 + . . .) = 0,</p><p>e agrupando</p><p>a1 + 4a2x + 9a3x</p><p>2 + 16a4x</p><p>3 + . . . = 0</p><p>Como é uma igualdade de funções, obtemos que a1 = 0, a2 = 0 e ak = 0 para todo k, ou seja, a</p><p>única solução que obteremos é a solução nula. ♣</p><p>O exemplo anterior mostra que precisamos de um novo método, e é o que vamos começar a</p><p>procurar agora! Vamos começar com um exemplo bastante representativo do que poderá acontecer</p><p>136</p><p>10.1. soluções em séries para edos: pontos singulares</p><p>na situação geral: a equação de Euler</p><p>x2y′′ + αxy′ + βy = 0,</p><p>com α, β ∈ R e x0 = 0.</p><p>Note que x0 = 0 é o único ponto singular da equação, pois P(x) = x2. Iremos procurar soluções</p><p>válidas para x > 0.</p><p>Vamos supor que a equação de Euler tem uma solução do tipo y(x) = xr . Sentimento de déjà</p><p>vu? Pois é. Substituindo y′(x) = rxr−1 e y′′(x) = r(r − 1)xr−2 na equação temos</p><p>x2r(r − 1)xr−2 + αxrxr−1 + βxr = 0,</p><p>ou</p><p>xr</p><p>(</p><p>r(r − 1) + αr + β</p><p>)</p><p>= 0.</p><p>Se r for solução de</p><p>r(r − 1) + αr + β = 0</p><p>então y(x) = xr será solução de</p><p>x2y′′ + αxy′ + βy = 0.</p><p>As soluções de</p><p>r(r − 1) + αr + β = 0 (60)</p><p>são</p><p>r1,2 =</p><p>−(α − 1) ±</p><p>√</p><p>(α − 1)2 − 4β</p><p>2</p><p>.</p><p>Estas soluções podem ser reais e iguais, reais e distintas ou complexas, e para cada tipo temos</p><p>uma estratégia. É importante notar que as soluções não necessariamente são inteiras, logo podem</p><p>aparecer soluções do tipo y(x) = x1/5.</p><p>Não iremos demonstrar a maioria dos resultados a seguir, mas é muito importante, ao perceber</p><p>que o ponto é singular, utilizar estes métodos. Simplesmente propor uma série de potências</p><p>“tradicional”não vai funcionar.</p><p>O primeiro caso é quando as raı́zes r1, r2 de (60) são reais e distintas. Se r1, r2 são soluções de</p><p>r(r−1)+αr+β = 0, com r1 , r2 então y1(x) = xr1 e y2(x) = xr2 são soluções da EDO x2y′′+αxy′+βy =</p><p>0, e a solução geral é</p><p>y(x) = cxr1 + c̃xr2 .</p><p>Note que r1 (ou r2) pode ser irracional, e neste caso definimos a potência como xr = er ln x.</p><p>Exercı́cio 10.8. Resolva a EDO 2x2y′′ + 3xy′ − y = 0, x > 0. ▲</p><p>137</p><p>10. soluções em séries para edos: pontos regulares</p><p>No caso das soluções de (60) serem iguais, r2 = r2, obtemos uma única solução y1(x) = xr1 . É</p><p>possı́vel mostrar que a segunda solução pode ser escolhida tomando y2(x) = xr1 ln x, com x > 0. A</p><p>solução geral terá a forma</p><p>y(x) = cxr1 + c̃ ln(x)xr1 , x > 0.</p><p>Se as raı́zes de (60) forem complexas, usaremos um truque parecido com o que fizemos antes</p><p>para obter separamente a parte real e a parte imaginária da solução.</p><p>Sejam r1 = λ + iµ e r2 = λ − iµ. As soluções serão</p><p>• ỹ1 = xr1 = xλ+iµ = xλxiµ e</p><p>• ỹ2 = xr2 = xλ−iµ = xλx−iµ.</p><p>Como xr = er ln(x), segue que xiµ = eiµ ln(x), logo</p><p>• ỹ1 = xr1 = xλxiµ = xλ</p><p>(</p><p>cos(µ ln(x)) + i sen(µ ln(x))</p><p>)</p><p>e</p><p>• ỹ2 = xr2 = xλx−iµ = xλ</p><p>(</p><p>cos(µ ln(x)) − i sen(µ ln(x))</p><p>)</p><p>.</p><p>Usando o mesmo truque de antes, consideramos</p><p>y1 =</p><p>ỹ1 + ỹ2</p><p>2</p><p>= xλ cos(µ ln x), y2 =</p><p>ỹ1 − ỹ2</p><p>2i</p><p>= xλ sen(µ ln x)</p><p>Estas soluções são linearmente independentes (calcule o Wronskiano!), e a solução geral tem a</p><p>forma</p><p>y(x) = cxλ cos(µ ln x) + c̃xλ sen(µ ln x).</p><p>Exemplo 10.9.</p><p>Resolva a EDO x2y′′ + xy′ + y = 0, x > 0. ♣</p><p>O que mostramos até agora é como obter as soluções para x > 0. Para estender a solução ao</p><p>intervalo x < 0, vamos simplesmente trocar x por |x| nas soluções. Confira que isto funciona e de</p><p>fato obtemos uma solução fazendo isto.</p><p>O caso x = 0 é mais delicado: dependendo do expoente r, a solução pode ou não ser estendida</p><p>para x = 0. Por exemplo, se r1, r2 forem reais, certamente poderemos incluir o x = 0 na solução.</p><p>No caso de expoentes r1, r2 negativos, em geral não será possı́vel.</p><p>10.2 Soluções em séries para EDOs: caso singular-regular</p><p>No caso de equações gerais, da forma</p><p>P(x)y′′ + Q(x)y′ + R(x)y = 0,</p><p>138</p><p>10.2. soluções em séries para edos: caso singular-regular</p><p>iremos melhorar nossa definição de ponto singular. Diremos que um ponto x0 é um ponto singular</p><p>regular para esta equação se</p><p>lim</p><p>x→x0</p><p>(x − x0)</p><p>Q(x)</p><p>P(x)</p><p>e lim</p><p>x→x0</p><p>(x − x0)2 R(x)</p><p>P(x)</p><p>são finitos (existem). Isto significa que as funções</p><p>(x − x0)</p><p>Q(x)</p><p>P(x)</p><p>e (x − x0)2 R(x)</p><p>P(x)</p><p>tem séries de Taylor em torno de x0. Demais pontos singulares são chamados de pontos singulares</p><p>irregulares e não serão estudados neste curso.</p><p>Exemplo 10.10. Classifique os pontos singulares da equação</p><p>2x(x − 2)2y′′ + 3xy′ + (2 − x)y = 0.</p><p>♣</p><p>Dividindo a equação por P(x) = 2x(x − 2)2 obtemos</p><p>y′′ +</p><p>3</p><p>2(x − 2)2︸ ︷︷ ︸</p><p>p(x)</p><p>y′ +</p><p>1</p><p>2x(x − 2)︸ ︷︷ ︸</p><p>q(x)</p><p>y = 0.</p><p>Portanto os pontos singulares são x = 0 e x = 2. Vamos classificá-los.</p><p>Denote p(x) =</p><p>3</p><p>2(x − 2)2 e q(x) =</p><p>1</p><p>2x(x − 2)</p><p>.</p><p>Exemplo 10.11. Classifique os pontos singulares da equação</p><p>2x(x − 2)2y′′ + 3xy′ + (2 − x)y = 0.</p><p>x = 0:</p><p>• lim</p><p>x→0</p><p>xp(x) = lim</p><p>x→0</p><p>x · 3</p><p>2(x − 2)2 = 0</p><p>• lim</p><p>x→0</p><p>x2q(x) = lim</p><p>x→0</p><p>x2 · 1</p><p>2x(x − 2)</p><p>= 0</p><p>x = 2:</p><p>• lim</p><p>x→2</p><p>(x − 2)p(x) = lim</p><p>x→2</p><p>3</p><p>2(x − 2)</p><p>→∞</p><p>Logo x = 0 é singular regular e x = 2 é singular irregular. ♣</p><p>Dividindo a equação</p><p>P(x)y′′ + Q(x)y′ + R(x)y = 0</p><p>139</p><p>10. soluções em séries para edos: pontos regulares</p><p>por P(x) obtemos</p><p>y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0. (61)</p><p>Se x = 0 é ponto singular regular, então xp(x) e x2q(x) são analı́ticas em x = 0. Portanto, tem séries</p><p>de Taylor convergentes</p><p>xp(x) =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>pnx</p><p>n, x2q(x) =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>qnx</p><p>n</p><p>com |x| < ρ, ρ > 0. Multiplicando (61) por x2 a equação fica</p><p>x2y′′ + x2p(x)y′ + x2q(x)y = 0.</p><p>Como</p><p>xp(x) =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>pnx</p><p>n e x2q(x) =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>qnx</p><p>n,</p><p>ficamos com</p><p>x2y′′ + x</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>pnx</p><p>ny′ +</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>qnx</p><p>ny = 0,</p><p>ou</p><p>x2y′′ + x(p0 + p1x + p2x</p><p>2 + . . .)y′ + (q0 + q1x + q2x</p><p>2 + . . .)y = 0.</p><p>Note que p0 = limx→0 x</p><p>Q(x)</p><p>P(x)</p><p>e q0 = limx→0 x</p><p>2 R(x)</p><p>P(x)</p><p>. Se p0 , 0, q0 , 0 e todos os outros termos</p><p>pj , qj são nulos, então esta equação é exatamente a equação de Euler. Caso contrário, vamos assumir</p><p>que uma solução é dada por</p><p>y = xr</p><p>(</p><p>a0 + a1x + . . . + anx</p><p>n + . . .</p><p>)</p><p>=</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>n+r ,</p><p>com a0 , 0, e procurar os coeficientes. Este método se chama método de Frobenius. Neste curso</p><p>vamos assumir a convergência desta série e somente determinar o raio R > 0.</p><p>Exercı́cio 10.12. Resolva a equação</p><p>x2y′′ + x</p><p>(</p><p>xp(x)</p><p>)</p><p>y′ +</p><p>(</p><p>x2q(x)</p><p>)</p><p>y = 0,</p><p>onde xp(x) =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>pnx</p><p>n e x2q(x) =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>qnx</p><p>n são séries convergentes em (−R, R). ▲</p><p>O ponto x = 0 é ponto singular regular. Vamos procurar uma solução da forma</p><p>y(x) =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>anx</p><p>r+n,</p><p>140</p><p>10.2. soluções em séries para edos: caso singular-regular</p><p>com a0 , 0. Substituindo tudo na equação:</p><p>a0r(r − 1)xr + a1(r + 1)rxr+1 + . . . + an(r + n)(r + n − 1)xr+n + . . .</p><p>+ (p0 + p1x + . . . + pnx</p><p>n + . . .) ×</p><p>×</p><p>(</p><p>a0rx</p><p>r + a1(r + 1)xr+1 + . . . + an</p><p>(</p><p>r + n</p><p>)</p><p>xr+n + . . .</p><p>)</p><p>+ (q0 + q1x + . . . + qnx</p><p>n + . . .) ×</p><p>× (a0x</p><p>r + a1x</p><p>r+1 + . . . + anx</p><p>n+r + . . .) = 0</p><p>Reorganizando, ficamos com</p><p>a0F(r)xr + [a1F(r + 1) + a0(p1r + q1)]xr+1</p><p>+ [a2F(r + 2) + a0(p2r + q2) + a1(p1(r + 1) + q1)]xr+2</p><p>+ . . . + [anF(r + n) + a0(pnr + qn) + a1(pn−1(r + 1) + qn−1)]</p><p>+ . . . + an−1[p1(r + n − 1) + q1]xr+n + . . . = 0</p><p>que pode ser reescrito como</p><p>a0F(r)xr +</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>[</p><p>F(r + n)an +</p><p>n−1∑</p><p>k=0</p><p>ak</p><p>(</p><p>(r + k)pn−k + qn−k</p><p>)]</p><p>xr+n = 0,</p><p>onde</p><p>F(r) = r(r − 1) + p0r + q0</p><p>e F(r) = 0 é chamada de equação indicial. Da equação indicial</p><p>r(r − 1) + p0r + q0 = 0</p><p>descobriremos quem é r; daı́ é só utilizar a relação de recorrência</p><p>F(r + n)an +</p><p>n−1∑</p><p>k=0</p><p>ak</p><p>(</p><p>(r + k)pn−k + qn−k</p><p>)</p><p>= 0</p><p>e descobrir o coeficiente de xr+n (este coeficiente dependerá de todos os anteriores e também de r).</p><p>Sejam r1, r2 ∈ R, r1 ≥ r2, as soluções da equação indicial. Olhe de novo para a relação de</p><p>recorrência:</p><p>vF(r + n)an +</p><p>n−1∑</p><p>k=0</p><p>ak</p><p>(</p><p>(r + k)pn−k + qn−k</p><p>)</p><p>= 0.</p><p>Se, em algum momento, tivermos F(r + n) = 0, não poremos calcular an. Como as únicas soluções</p><p>de F(m) = 0 são F(r1) = 0 e F(r2) = 0, não existe solução do tipo F(r1 + n) (pois a outra solução é</p><p>141</p><p>10. soluções em séries para edos: pontos regulares</p><p>r2 ≤ r1), logo uma solução da EDO é dada por</p><p>y1 = xr1</p><p>(</p><p>1 +</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>an(r1)xn</p><p>)</p><p>.</p><p>No caso em que r1 , r2 e r1 − r2 não é um inteiro positivo, então podemos encontrar a outra solução</p><p>da mesma forma, obtendo</p><p>y2 = xr2</p><p>(</p><p>1 +</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>an(r2)xn</p><p>)</p><p>,</p><p>pois neste caso, F(r2 + n) , 0 sempre. Teremos problemas se r1 − r2 ∈ Z+, ou se r1, r2 ∈ C. Não</p><p>iremos tratar este caso.</p><p>Exercı́cio 10.13. Resolva a EDO</p><p>2x(1 + x)y′′ + (3 + x)y′ − xy = 0</p><p>usando séries perto dos pontos singulares. ▲</p><p>142</p><p>11 Séries de Fourier e problemas de valor de contorno</p><p>11.1 Problemas de valor de contorno</p><p>Considere a equação diferencial</p><p>y′′ + p(x)y′ + q(x)y = g(x) (62)</p><p>e vamos procurar uma solução desta equação definida no intervalo [α, β] e que satisfaça y(α) = y1</p><p>e y(β) = y2, para certos valores y1, y2. Este tipo de condição sobre a solução é conhecido como</p><p>“valor de contorno”.</p><p>Vamos fazer um exemplo.</p><p>Exemplo 11.1. Seja L > 0 uma constante fixada. Quais as soluções da equação y′′ + λy = 0, com</p><p>condições de contorno y(0) = 0 e y(L) = 0?</p><p>Vamos separar em alguns casos, conforme o sinal de λ.</p><p>• Se λ < 0, então podemos escrever λ = −µ2 e obter a solução geral da EDO como</p><p>y(x) = c1 cosh(µx) + c2 sinh(µx).</p><p>Aplicando as condições de contorno, teremos que a única solução possı́vel é a nula (confira!).</p><p>• Se λ = 0 então a solução geral é da forma y(x) = c1x+ c2, e aplicando as condições de contorno</p><p>obtemos que c1 = c2 = 0, logo a solução nula é a única possı́vel.</p><p>• Se λ > 0, digamos λ = µ2, com µ > 0. Então a equação fica y′′ + µ2y = 0. O polinômio</p><p>caracterı́stico é r2 + µ2 = 0, com raı́zes r = ±iµ, o que nos dá a solução geral</p><p>y = c1 cos(µx) + c2 sen(µx).</p><p>Da primeira condição, y(0) = 0, teremos que c1 = 0. Aplicando a segunda condição, y(L) = 0,</p><p>teremos c2 sen(µL) = 0. É razoável supor que não estamos interessados na solução nula, então</p><p>vamos supor que c2 , 0. Logo sen(µL) = 0, e daı́ µL precisará ser um múltiplo inteiro de π,</p><p>ou seja, µL = nπ com n ∈ Z, e daı́ µ = nπ/L, ou λ = n2π2/L2. Com isso, os valores possı́veis</p><p>para λ são: π2/L2, 4π2/L2, 9π2/L2, etc.</p><p>A solução portanto é y(x) = c2 sen(nπx/L), com c2 ∈ R - mas lembramos que esta solução é</p><p>para o caso em que λ = n2π2/L2. Se λ for positivo mas não for um destes valores, o problema</p><p>de valor de contorno não terá solução.</p><p>♣</p><p>Observação 11.2. O Teorema de Existência e Unicidade era para PVIs e não vale aqui. Com isso,</p><p>podemos não ter solução para o PVC (62) com as condições de contorno y(α) = y1 e y(β) = y2.</p><p>143</p><p>11. séries de fourier e problemas de valor de contorno</p><p>11.2 Séries de Fourier</p><p>Lembre-se que dizemos que uma função f é periódica de perı́odo T > 0 (ou T-periódica) se o</p><p>domı́nio de f contém x + T sempre que contém x, e além disto f (x + T) = f (x). O perı́odo de f</p><p>será o menor T > 0 que satisfaz esta propriedade.</p><p>Exemplo 11.3. Nossos primeiros exemplos de funções periódicas são as funções trigonométricas</p><p>sen(x) e cos(x), que são 2π-periódicas. Generalizando um pouco, se k > 0, a função cos(kx) é</p><p>2π/k-periódica. ♣</p><p>Uma série da forma</p><p>a0</p><p>2</p><p>+</p><p>∞∑</p><p>m=1</p><p>(</p><p>am cos</p><p>(</p><p>mπx</p><p>L</p><p>)</p><p>+ bm sen</p><p>(</p><p>mπx</p><p>L</p><p>))</p><p>é chamada de série de Fourier. Já já vamos mostrar sob que condições uma série assim converge.</p><p>O motivo do argumento das funções trigonométricas envolvidas na série anterior ser</p><p>mπx</p><p>L</p><p>será</p><p>compreendido em breve, e tem relação direta com o Exemplo 11.1.</p><p>falar do argumento da base, ortogonal, gerador, etc. motivador para a</p><p>Se u, v são funções definidas no intervalo [α, β], vamos definir o produto interno de u e v no</p><p>intervalo [α, β] por</p><p>⟨u, v⟩ =</p><p>β∫</p><p>α</p><p>u(x)v(x) dx.</p><p>As funções u, v são ditas ortogonais em [α, β] se ⟨u, v⟩ = 0. Um conjunto de funções é dito ser</p><p>ortogonal se todas as funções do conjunto são, duas a duas, ortogonais.</p><p>Teorema 11.4. As funções sen(mπx/L) e cos(mπx/L), m ∈ Z+, são mutualmente ortogonais no</p><p>intervalo [−L, L]. Mais que isto,</p><p>⟨cos</p><p>(</p><p>mπx</p><p>L</p><p>)</p><p>, cos</p><p>(</p><p>nπx</p><p>L</p><p>)</p><p>⟩ =</p><p>L∫</p><p>−L</p><p>cos</p><p>(</p><p>mπx</p><p>L</p><p>)</p><p>cos</p><p>(</p><p>nπx</p><p>L</p><p>)</p><p>dx = δmnL,</p><p>⟨cos</p><p>(</p><p>mπx</p><p>L</p><p>)</p><p>, sen</p><p>(</p><p>nπx</p><p>L</p><p>)</p><p>⟩ =</p><p>L∫</p><p>−L</p><p>cos</p><p>(</p><p>mπx</p><p>L</p><p>)</p><p>sen</p><p>(</p><p>nπx</p><p>L</p><p>)</p><p>dx = 0,</p><p>⟨ sen</p><p>(</p><p>mπx</p><p>L</p><p>)</p><p>= sen</p><p>(</p><p>nπx</p><p>L</p><p>)</p><p>⟩ =</p><p>L∫</p><p>−L</p><p>sen</p><p>(</p><p>mπx</p><p>L</p><p>)</p><p>sen</p><p>(</p><p>nπx</p><p>L</p><p>)</p><p>dx = δmnL.</p><p>Suponha que a série</p><p>a0</p><p>2</p><p>+</p><p>∞∑</p><p>m=1</p><p>(</p><p>am cos</p><p>(</p><p>mπx</p><p>L</p><p>)</p><p>+ bm sen</p><p>(</p><p>mπx</p><p>L</p><p>))</p><p>144</p><p>11.2. séries de fourier</p><p>converge, e denote-a por f (x). Quem são os coeficientes am, bm? Quando tı́nhamos séries de Taylor,</p><p>os coeficientes tinha relação com as derivadas de f , e agora?</p><p>Observação 11.5. Dada a presença de várias funções trigonométricas na expressão da série de</p><p>Fourier, é esperado que esta série faça bastante sentido no caso de funções periódicas.</p><p>Teorema 11.6 (Fórmula de Euler-Fourier). Se</p><p>f (x) =</p><p>a0</p><p>2</p><p>+</p><p>∞∑</p><p>m=1</p><p>(</p><p>am cos</p><p>(</p><p>mπx</p><p>L</p><p>)</p><p>+ bm sen</p><p>(</p><p>mπx</p><p>L</p><p>))</p><p>,</p><p>onde estamos supondo que a série converge, então</p><p>a0 =</p><p>1</p><p>L</p><p>L∫</p><p>−L</p><p>f (x) dx,</p><p>an =</p><p>1</p><p>L</p><p>L∫</p><p>−L</p><p>f (x) cos</p><p>(</p><p>nπx</p><p>L</p><p>)</p><p>dx,</p><p>bn =</p><p>1</p><p>L</p><p>L∫</p><p>−L</p><p>f (x) sen</p><p>(</p><p>nπx</p><p>L</p><p>)</p><p>dx, n ≥ 1.</p><p>Exemplo 11.7. Seja</p><p>f (x) =</p><p></p><p>−x, −l ≤ x < 0,</p><p>x, 0 ≤ x < l,</p><p>f (x + 2l) = f (x).</p><p>Esta função é periódica de perı́odo 2l. Sua série de Fourier é</p><p>f (x) =</p><p>a0</p><p>2</p><p>+</p><p>∞∑</p><p>m=1</p><p>(am cos(mπx/l) + bm sen(mπx/l)),</p><p>com</p><p>145</p><p>11. séries de fourier e problemas de valor de contorno</p><p>a0 =</p><p>1</p><p>l</p><p>0∫</p><p>−l</p><p>(−x) dx +</p><p>1</p><p>l</p><p>l∫</p><p>0</p><p>(x) dx = l</p><p>bm = 0</p><p>am =</p><p>−4l/(mπ)2, m ı́mpar,</p><p>0, m par .</p><p>Portanto</p><p>f (x) =</p><p>l</p><p>2</p><p>− 4l</p><p>π2</p><p>∞∑</p><p>m=1</p><p>cos((2n − 1)πx/l)</p><p>(2n − 1)2 . (63)</p><p>Para l = 2, temos:</p><p>-4 -2 2 4</p><p>0.5</p><p>1.0</p><p>1.5</p><p>2.0</p><p>-4 -2 2 4</p><p>0.5</p><p>1.0</p><p>1.5</p><p>2.0</p><p>Figura 13: Gráfico de (63) com l = 2 para n = 2 (esquerda) e n = 10 (direita).</p><p>♣</p><p>Observação 11.8. No Mathematica, o comando FourierSeries calcula a série de Fourier, mas a</p><p>representa em termos de funções complexas. Mesmo assim, se você usar o Plot, vai conseguir</p><p>plotar com sucesso a função.</p><p>Exemplo 11.9. Seja</p><p>f (x) =</p><p></p><p>0, −3 < x < −1,</p><p>1, −1 < x < 1,</p><p>0, 1 < x < 3</p><p>e estenda a definição por periodicidade para podermos definir f : R→ R, ou seja, exigindo que</p><p>f (x + 6) = f (x), para todo x ∈ R. Qual a série de Fourier de f ?</p><p>Neste caso, o perı́odo é 6, portanto l = 3. A série de Fourier terá a forma</p><p>f (x) =</p><p>a0</p><p>2</p><p>+</p><p>∞∑</p><p>m=1</p><p>(am cos(mπx/3) + bm sen(mπx/3)).</p><p>146</p><p>11.2. séries de fourier</p><p>Calculando os coeficientes, obtemos a0 = 2/3, bn = 0, an = (2/nπ) sen(nπ/3) e com isso a série fica</p><p>f (x) =</p><p>1</p><p>3</p><p>+</p><p>√</p><p>3</p><p>π</p><p>(</p><p>cos(πx/3) +</p><p>cos(2πx/3)</p><p>2</p><p>− cos(4πx/3)</p><p>4</p><p>− cos(5πx/3)</p><p>5</p><p>+ . . .</p><p>)</p><p>(64)</p><p>O gráfico a seguir mostra a função f (x) e o gráfico do lado direito de (64) com n = 50.</p><p>-3 -2 -1 1 2 3</p><p>0.2</p><p>0.4</p><p>0.6</p><p>0.8</p><p>1.0</p><p>-3 -2 -1 1 2 3</p><p>0.2</p><p>0.4</p><p>0.6</p><p>0.8</p><p>1.0</p><p>Figura 14: Gráfico de f (x) e de (64) com n = 50.</p><p>♣</p><p>Teorema 11.10 (Teorema de Convergência). Seja f uma função tal que f , f ′ são contı́nuas</p><p>por partes em [−L, L]. Além disto, suponha que f está definida fora do intervalo [−L, L] por</p><p>extensão periódica (de perı́odo 2L). Então f tem uma série de Fourier dada por</p><p>f (x) =</p><p>a0</p><p>2</p><p>+</p><p>∞∑</p><p>m=1</p><p>(</p><p>am cos</p><p>(</p><p>mπx</p><p>L</p><p>)</p><p>+ bm sen</p><p>(</p><p>mπx</p><p>L</p><p>))</p><p>,</p><p>com coeficientes dados anteriormente. A série de Fourier converge para f (x) em todos os pontos</p><p>onde f é contı́nua, e converge para a média</p><p>(</p><p>f (x+) + f (x−)</p><p>)</p><p>/2 nos pontos de descontinuidade.</p><p>Observação 11.11. Note que:</p><p>• As condições para que uma função tenha uma série de Fourier são muito mais simples do</p><p>que exigimos antes para convergência da série de Taylor.</p><p>• A notação f (c+) significa lim</p><p>x→c+</p><p>f (x), análogo para f (c−).</p><p>Exercı́cio 11.12. Calcule a série de Fourier de</p><p>f (x) =</p><p>x + 2, −2 ≤ x < 0,</p><p>2 − 2x, 0 ≤ x ≤ 2</p><p>e faça um esboço comparando f (x) com o truncamento da série de Fourier até ordem 10. ▲</p><p>147</p><p>11. séries de fourier e problemas de valor de contorno</p><p>11.3 Funções pares e funções ı́mpares</p><p>Seja f (x) uma função definida em [−L, L]. Dizemos que a função f (x) é par se f (x) = f (−x), e</p><p>dizemos que ela é ı́mpar se f (x) = −f (−x). Você já sabe disto. O que você talvez não saiba, e pode</p><p>facilmente provar, é que:</p><p>1. Se f é par e tem uma série de Fourier, então a série de Fourier de f só tem termos com</p><p>cossenos.</p><p>2. Analogamente, se f tem uma série de Fourier e f é ı́mpar, então f só tem senos em sua série</p><p>de Fourier.</p><p>Seja f (x) definida em [0, L]. Para calcular a série de Fourier, precisamos estender f (x) para</p><p>[−L, L], e você tem algumas formas de fazer isto. Dependendo da escolha, as coisas podem ficar</p><p>mais fáceis ou mais difı́ceis.</p><p>extensão par: fpar(x) =</p><p>f (x), 0 ≤ x ≤ L,</p><p>f (−x), −L < x < 0</p><p>extensão ı́mpar: fimp(x) =</p><p></p><p>f (x), 0 < x < L,</p><p>0, x = 0, L,</p><p>−f (−x), −L < x < 0.</p><p>extensão “genérica”: fgen(x) =</p><p>f (x), 0 ≤ x ≤ L,</p><p>qualquer coisa, por exemplo 0, −L < x < 0.</p><p>Exercı́cio 11.13. Se f : [0, 1]→ R é dada por f (x) = x, calcule os três tipos de extensões para f (x)</p><p>e suas séries de Fourier. ▲</p><p>148</p><p>12 Equações do calor, da onda e de Laplace</p><p>12.1 Equação do calor</p><p>Vamos estudar o problema da condução de calor numa barra metálica. Suponha que a barra está</p><p>isolada, ou seja, seus extremos não fazem trocas de calor. Suponha que a barra está localizada no</p><p>eixo x, entre x = 0 e x = L. Suponha também que a barra tem uma constante de difusão térmica α2</p><p>(esta constante depende do material da barra).</p><p>Seja u(x, t) a função que dá a temperatura num ponto x ∈ (0, L) e num instante t > 0 após o</p><p>inı́cio da variação de temperatura. Neste caso, a função u(x, t) satisfaz à equação diferencial</p><p>α2uxx = ut, 0 < x < L, t > 0,</p><p>onde α > 0 é uma constante que depende de propriedades fı́sicas da barra.</p><p>Vamos supor que inicialmente a temperatura na barra seja dada por uma função f (x), x ∈ [0, L],</p><p>ou seja, u(x, 0) = f (x). Assumiremos que nos extremos a temperatura é constante e igual a zero:</p><p>u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0, ou seja, temos a equação diferencial parcial</p><p>α2uxx = ut,</p><p>u(x, 0) = f (x),</p><p>u(0, t) = 0,</p><p>u(L, t) = 0.</p><p>12.2 Como resolver a equação do calor?</p><p>O ano era 1822 e o jovem Joseph Fourier (nem tão jovem, ele tinha 54 anos na época) tentava</p><p>resolver uma EDP que descrevia o fluxo de calor numa barra. Após várias tentativas, Fourier</p><p>decide que iria procurar soluções de uma maneira especial: supôs que a solução seria da forma</p><p>u(x, t) = X(x)T(t),</p><p>ou seja, que as variáveis estivessem, de certa forma, separadas.</p><p>Este método é conhecido como método de separação de variáveis. O que acontece quando colo-</p><p>camos isto na equação? Se u(x, t) = X(x)T(t), então uxx = X′′(x)T(t) e ut = X(x)T′(t). Substituindo</p><p>em α2uxx = ut obtemos</p><p>α2X′′(x)T(t) = X(x)T′(t),</p><p>ou</p><p>X′′(x)</p><p>X(x)</p><p>=</p><p>1</p><p>α2</p><p>T′(t)</p><p>T(t)</p><p>. (65)</p><p>O lado esquerdo de (65) só depende de x, e o lado direito de (65) só depende de t. A única</p><p>149</p><p>12. equações do calor, da onda e de laplace</p><p>forma disto ser possı́vel é se cada lado for constante! Seja −λ esta constante. Assim</p><p>X′′(x)</p><p>X(x)</p><p>=</p><p>1</p><p>α2</p><p>T′(t)</p><p>T(t)</p><p>= −λ,</p><p>ou seja, temos duas equações diferenciais ordinárias:</p><p>X′′ + λX = 0,</p><p>T′ + α2λT = 0.</p><p>Quais as condições iniciais? Começando pela 1a equação:</p><p>u(0, t) = X(0)T(t) = 0⇒ X(0) = 0,</p><p>u(L, t) = X(L)T(t)</p><p>= 0⇒ X(L) = 0.</p><p>Ou seja, teremos o problema de valor de contorno</p><p>X′′ + λX = 0, X(0) = 0, X(L) = 0. (66)</p><p>Reconhece esta equação? As soluções de (66) podem ser obtidas como fizemos no Exemplo 11.1,</p><p>usando o método da equação caracterı́stica. Se X(x) = eat é uma solução, então a2 + λ = 0 e daı́</p><p>a = ±</p><p>√</p><p>−λ. Já vimos que se λ ≤ 0 então a única solução é a nula, portanto suporemos λ > 0 e daı́ a</p><p>solução geral será da forma</p><p>X(x) = c1 cos(</p><p>√</p><p>λx) + c2 sen(</p><p>√</p><p>λx).</p><p>Usando as condições de contorno, obtemos primeiro que c1 = 0 e depois que sen(</p><p>√</p><p>λL) = 0, ou seja,√</p><p>λL = nπ para n ∈ N, de onde teremos que</p><p>√</p><p>λ = nπ/L. Assim, a solução é X(x) = c2 sen(nπx/L),</p><p>com n ∈ Z, n > 0. Para cada n, considere as funções Xn(x) = sen(nπx/L), n = 1, 2, 3, . . . , associadas</p><p>aos valores λn = n2π2/L2, n = 1, 2, . . . . Observe que as funções Xn são autofunções (autovetores)</p><p>do operador associado à equação diferencial, e os autovalores correspondentes são justamente</p><p>os valores de λn. Estes são os únicos valores possı́veis de λ. Substituindo estes valores de λ na</p><p>equação que envolve T, teremos</p><p>T′ + (n2π2α2/L2)T = 0.</p><p>As soluções desta equação são fáceis de obter:</p><p>T(t) = ke−n</p><p>2π2α2t/L2</p><p>.</p><p>Juntando isto com as soluções da outra equação, e ignorando a constante multiplicativa, teremos</p><p>un(x, t) = e−n</p><p>2π2α2t/L2</p><p>sen(nπx/L), n = 1, 2, . . .</p><p>150</p><p>12.2. como resolver a equação do calor?</p><p>Note que TODAS as funções un(x, t) satisfazem à EDP, bem como combinações lineares delas.</p><p>Portanto, a solução geral da EDP tem a forma</p><p>u(x, t) =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>cnun(x, t) =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>cne</p><p>−n2π2α2t/L2</p><p>sen(nπx/L).</p><p>Ainda temos que verificar a condição inicial, u(x, 0) = f (x), isto é, precisamos que</p><p>u(x, 0) =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>cn sen(nπx/L) = f (x).</p><p>Ou seja: a série</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>cn sen(nπx/L) é a série de Fourier de f (x), o que nos permite calcular os</p><p>coeficientes cn:</p><p>cn =</p><p>2</p><p>L</p><p>L∫</p><p>0</p><p>f (x) sen(nπx/L) dx.</p><p>Proposição 12.1 (Solução da equação do calor). Portanto, a solução de</p><p>α2uxx = ut,</p><p>u(x, 0) = f (x),</p><p>u(0, t) = 0,</p><p>u(L, t) = 0</p><p>é</p><p>u(x, t) =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>cne</p><p>−n2π2α2t/L2</p><p>sen(nπx/L)</p><p>com</p><p>cn =</p><p>2</p><p>L</p><p>L∫</p><p>0</p><p>f (x) sen(nπx/L) dx.</p><p>Observação 12.2. • A hipótese de que os extremos estão fixados com temperatura 0 é desne-</p><p>cessária, podemos colocar temperatura T1 em um extremo e T2 em outro que obteremos um</p><p>desenvolvimento parecido.</p><p>• Os extremos da barra podem estar isolados, sem fluxo de calor, por exemplo com uma</p><p>condição ux(L, t) = 0. Neste caso também é possı́vel obter a solução.</p><p>• A versão n-dimensional deste problema tem solução bem parecida. Por exemplo, no caso</p><p>bidimensional, teremos uma “placa” sendo aquecida.</p><p>151</p><p>12. equações do calor, da onda e de laplace</p><p>Exemplo 12.3. Encontre a solução do problema de condição de calor uxx = 4ut, 0 < x < 2, t > 0,</p><p>com u(0, t) = u(2, t) = 0 para t > 0 e u(x, 0) = 2 sen(πx/2) − sen(πx) + 4 sen(2πx) para 0 ≤ x ≤ 2.</p><p>A solução de</p><p>1</p><p>4</p><p>uxx = ut é dada por</p><p>u(x, t) =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>cne</p><p>−n2π2</p><p>1</p><p>4</p><p>t/(22)</p><p>sen(nπx/2).</p><p>Eu recomendo você a reduzir novamente esta equação, como fizemos anteriormente, para fixar o</p><p>procedimento, ao invés de usar a “fórmula”. A distribuição inicial de calor na barra é dada por</p><p>u(x, 0) =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>cn sen</p><p>(nπx</p><p>2</p><p>)</p><p>= 2 sen(πx/2) − sen(πx) + 4 sen(2πx),</p><p>ou seja, c1 = 2, c2 = −1, c3 = 0, c4 = 4 e cn = 0 para todo n > 4. Portanto,</p><p>u(x, t) = 2e−π</p><p>2t/16 sen(πx/2) − e−π</p><p>2t/4 sen(πx) + 4e−π</p><p>2t sen(2πx)</p><p>é a solução.</p><p>Vamos tentar entender o que isso significa nos gráficos a seguir.</p><p>0.5 1.0 1.5 2.0</p><p>-2</p><p>0</p><p>2</p><p>4</p><p>6</p><p>(a) Distribuição inicial de tempe-</p><p>ratura (t = 0).</p><p>0.5 1.0 1.5 2.0</p><p>-2</p><p>0</p><p>2</p><p>4</p><p>6</p><p>(b) Temperatura em t = 0, 1.</p><p>0.5 1.0 1.5 2.0</p><p>-2</p><p>0</p><p>2</p><p>4</p><p>6</p><p>(c) Temperatura em t = 1.</p><p>Figura 15: Evolução da temperatura num ponto x da barra.</p><p>♣</p><p>12.3 A equação da onda</p><p>“Onda, onda, olha a onda” – Tchakabum</p><p>Considere uma corda elástica de comprimento L, fixada em suportes localizados em x = 0 e</p><p>x = L. Se esta corda for colocada em movimento, como ela evolui? Seja u(x, t) a posição do ponto</p><p>x ∈ [0, L] após t unidades de tempo do inı́cio do movimento. Então u satisfaz uma equação do tipo</p><p>a2uxx = utt, onde a depende de propriedades do material da corda.</p><p>Como a corda está fixada nos extremos, temos que u(0, t) = u(L, t) = 0, para todo t > 0. Vamos</p><p>supor que a posição inicial é dada por uma função f (x), ou seja, u(x, 0) = f (x), x ∈ [0, L].</p><p>152</p><p>12.3. a equação da onda</p><p>Além disto, considere que existe uma velocidade inicial (a corda por ser ”jogada”) ut(x, 0) = g(x),</p><p>x ∈ [0, L]. Vamos precisar que f (0) = f (L) = 0 e g(0) = g(L) = 0.</p><p>A função u(x, t) que descreve o movimento da corda satisfaz</p><p>a2uxx = utt,</p><p>u(0, t) = u(L, t) = 0,</p><p>u(x, 0) = f (x),</p><p>ut(x, 0) = g(x).</p><p>Como procurar soluções? Faremos primeiro o caso em que g ≡ 0. Vamos repetir o processo de antes,</p><p>supor u(x, t) = X(x)T(t). No entanto, agora será muito mais difı́cil. Substituindo u(x, t) = X(x)T(t)</p><p>na equação a2uxx = utt nos leva, quase como antes, em</p><p>X′′(x)</p><p>X(x)</p><p>=</p><p>1</p><p>α2</p><p>T′′(t)</p><p>T(t)</p><p>.</p><p>O lado esquerdo só depende de x, o direito só de t, então precisam ser constantes,</p><p>X′′(x)</p><p>X(x)</p><p>=</p><p>1</p><p>α2</p><p>T′′(t)</p><p>T(t)</p><p>= −λ.</p><p>Isto nos dá duas equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. X′′ + λX = 0</p><p>T′′ + a2λT = 0</p><p>,</p><p>com as condições X(0) = 0, X(L) = 0 e T′(0) = 0. A equação para x tem exatamente as mesmas</p><p>soluções que antes, as autofunções Xn(x) = sen(nπx/L), n = 1, 2, 3, . . . associadas aos autovalores</p><p>λn = n2π2/L2, n = 1,2, . . . . Substituindo estes valores de λ na equação que envolve T, teremos</p><p>T′′ + (n2π2a2/L2)T = 0. Esta é uma EDO de 2a ordem razoavelmente simples de resolver, e daı́</p><p>obtemos</p><p>T(t) = k1 cos(nπat/L) + k2 sen(nπat/L).</p><p>Da condição inicial T′(0) = 0 teremos que k2 = 0, portanto T(t) = k1 cos(nπat/L). Logo</p><p>un(x, t) = sen(nπx/L) cos(nπat/L), n = 1, 2, . . .</p><p>satisfaz a EDP, e daı́ a solução geral é</p><p>u(x, t) =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>cn sen(nπx/L) cos(nπat/L).</p><p>Da condição u(x, 0) = f (x) temos f (x) = u(x, 0) =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>cn sen(nπx/L), portanto esta série é a série de</p><p>153</p><p>12. equações do calor, da onda e de laplace</p><p>Fourier de f (x), ou seja,</p><p>cn =</p><p>2</p><p>L</p><p>L∫</p><p>0</p><p>f (x) sen(nπx/L) dx, n = 1, 2, 3, . . . .</p><p>O que acontece se g(x) não for nula? Até obtermos a solução geral</p><p>u(x, t) =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>kn sen(nπx/L) cos(nπat/L)</p><p>tudo continua igual. Vamos supor que f (x) ≡ 0. Assim</p><p>ut(x, 0) =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>nπa</p><p>L</p><p>kn sen(nπx/L) = g(x)</p><p>e daı́</p><p>kn =</p><p>L</p><p>nπa</p><p>2</p><p>L</p><p>L∫</p><p>0</p><p>g(x) sen(nπx/L) dx, n = 1, 2, . . .</p><p>Proposição 12.4 (Solução da equação da onda). A solução de a2uxx = utt,</p><p>u(0, t) = u(L, t) = 0, u(x, 0) = f (x), ut(x, 0) = g(x)</p><p>é dada por</p><p>u(x, t) =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(</p><p>kn + cn</p><p>)</p><p>sen(nπx/L) cos(nπat/L)</p><p>com</p><p>cn =</p><p>2</p><p>L</p><p>L∫</p><p>0</p><p>f (x) sen(nπx/L) dx, n = 1, 2, 3, . . . ,</p><p>kn =</p><p>L</p><p>nπa</p><p>2</p><p>L</p><p>L∫</p><p>0</p><p>g(x) sen(nπx/L) dx, n = 1, 2, . . . .</p><p>Observação 12.5. Refletindo um pouco sobre as soluções da equação da onda e da equação do</p><p>calor, note que na equação do calor temos uma exponencial, o que faz sentido já que é esperado</p><p>que com t →∞, a temperatura tenda a zero (temperatura do ambiente). Já aqui, na equação da</p><p>onda, não temos termo exponencial, somente senos e cossenos, o que faz sentido, pois a corda tem</p><p>comprimento fixo e só vai ficar oscilando.</p><p>154</p><p>12.4. a equação de laplace</p><p>Exercı́cio 12.6. Encontre a solução do problema de vibração de uma corda elástica uxx = utt, com</p><p>0 < x < 1, t > 0, e condições de contorno u(0, t) = u(1, t) = 0, t > 0, ut(x,0) = 0, 0 < x < 1,</p><p>u(x, 0) = 2x se x ∈ [0, 1/2) e u(x, 0) = 2(1 − x) se x ∈ [1/2, 1). ▲</p><p>12.4 A equação de Laplace</p><p>Exercı́cio 12.7. Dada uma função f (x), utilize o método da separação de variáveis para obter a</p><p>solução do problema de Dirichlet no retângulo:</p><p>uxx + uyy = 0 (equação de Laplace)</p><p>u(x, 0) = 0, u(x, b) = 0, 0 < x < a,</p><p>u(0, y) = 0, u(a, y) = f (y), 0 ≤ y ≤ b.</p><p>▲</p><p>Observação 12.8. Agora que você já sabe alguma coisa sobre EDPs, já está mais perto de conseguir</p><p>resolver o Exemplo 2.3 e ganhar seu milhão.</p><p>155</p><p>13. sistemas lineares e exponencial matricial</p><p>13 Sistemas lineares e exponencial matricial</p><p>Neste capı́tulo vamos introduzir a exponencial matricial. Veremos que será mais simples represen-</p><p>tar as soluções de um sistema de equações diferenciais utilizando este conceito.</p><p>Recomendo a leitura de [29] para complementar este capı́tulo.</p><p>13.1 Exponencial de.. matrizes?</p><p>Se t ∈ R, já vimos que</p><p>exp(t) = et =</p><p>∞∑</p><p>k=0</p><p>1</p><p>k!</p><p>tk = 1 + t +</p><p>t2</p><p>2!</p><p>+</p><p>t3</p><p>3!</p><p>+ . . . ,</p><p>pois esta série de potências tem raio de convergência R = ∞.</p><p>Seja A ∈ Mn×n(R) uma matriz n × n de entradas reais. Definimos a exponencial de A por</p><p>exp(A) = eA =</p><p>∞∑</p><p>k=0</p><p>1</p><p>k!</p><p>Ak = Id + A +</p><p>1</p><p>2!</p><p>A2 +</p><p>1</p><p>3!</p><p>A3 + . . . , (67)</p><p>onde Id é a matriz identidade n × n. A expressão (67) tem muitos problemas, e o maior deles é</p><p>que não sabemos nada sobre a convergência desta soma.</p><p>Quando estudamos séries numéricas, a noção de soma infinita era apresentada como limite</p><p>de uma sequência: a sequência das somas parciais. Podemos fazer isto aqui, mas também temos</p><p>problemas ao seguir por este caminho. Para sequências, a noção de convergência é bem conhecida,</p><p>graças à estrutura de R: dizemos que a sequência (xn)n de números reais converge para a ∈ R se</p><p>dado ε > 0, existir n0 ∈ N tal que |xn − a| < ε sempre que n ≥ n0.</p><p>Na definição acima, se ingênua e informalmente trocarmos os termos da sequência real xn ∈ R</p><p>pelos termos de uma sequência de matrizes Xn ∈ Mm×m(R), o único conceito que não poderá ser</p><p>passado diretamente para matrizes é a parte |xn − a|, pois não sabemos o que isto significa para</p><p>matrizes. Nos falta a noção de “distância” entre duas matrizes.</p><p>Vamos definir precisamente o que significa isto e para tal precisaremos voltar a falar sobre</p><p>espaços métricos. Já abordamos o assunto quando enunciamos o Teorema de Existência e Unicidade</p><p>pra EDOs.</p><p>13.2 Espaços métricos</p><p>Existem várias noções de distância em matemática, e uma das mais simples é a métrica. Seja X um</p><p>conjunto. Uma métrica em X é uma função d : X × X→ R que satisfaz</p><p>1. d(x, y) ≥ 0 para todos x, y ∈ X,</p><p>2. d(x, y) = 0⇔ x = y,</p><p>3. d(x, y) = d(y, x), para todos x, y ∈ X,</p><p>156</p><p>13.3. espaços normados</p><p>4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), para todos x, y, z ∈ X.</p><p>O par (X, d) se chama espaço métrico. Uma vantagem enorme de uma métrica: ela pode</p><p>ser colocada num conjunto qualquer, sem estrutura “algébrica” adicional. Mas ela também tem</p><p>limitações: em conjuntos sem estrutura, não dá para medir “tamanhos” de elementos, só distâncias.</p><p>Se (X, d) é um espaço métrico, dado a ∈ X e r > 0, o conjunto</p><p>B(x, r) = {y ∈ X, d(x, y) < r}</p><p>é chamado de bola aberta com centro x e raio r.</p><p>Exemplo 13.1. Se X , ∅, podemos definir uma métrica em X como sendo</p><p>d(x, y) =</p><p>1, x , y,</p><p>0, x = y.</p><p>Quem são as bolas B(x, r)? ♣</p><p>Exemplo 13.2. Se X = R, então uma métrica canônica é dada por d(x, y) = |x − y|, onde</p><p>|z| =</p><p>z, z ≥ 0,</p><p>−z, z < 0.</p><p>Verifique que de fato d satisfaz aos axiomas de métrica. Neste caso, quem é B(a, r)? ♣</p><p>Exemplo 13.3. Se X = Rn, então a métrica canônica é d(x, y) = ||x − y||, onde se z = (z1, . . . , zn)</p><p>temos ||z|| =</p><p>√</p><p>z2</p><p>1 + . . . + z2</p><p>n. Neste caso, quem é B(a, r)? ♣</p><p>Exercı́cio 13.4. Em R2, seja d1(x, y) = |x1 − y1| + |x2 − y2| e d2(x, y) = max{|x1 − y1|, |x2 − y2|}. Prove</p><p>que d1 e d2 são métricas e para um ponto a ∈ R2 fixado, descreva o conjunto B(a, r) = {x ∈</p><p>R2, dj(x, a) < 1} para j = 1, 2. ▲</p><p>13.3 Espaços normados</p><p>Em conjuntos com estrutura melhor, o conceito de norma também pode ser usado para medir</p><p>tamanhos e distâncias. Toda norma induz uma métrica, mas a recı́proca é falsa. Se X é um espaço</p><p>vetorial real ou complexo, uma função || · || : X→ R+ é uma norma se</p><p>1. ||x|| = 0⇔ x = 0</p><p>2. ||αx|| = |α| · ||x||</p><p>157</p><p>13. sistemas lineares e exponencial matricial</p><p>3. ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||</p><p>O par (X, || · ||) é chamado de espaço vetorial normado.</p><p>Exemplo 13.5. Se || · || é uma norma, então d(x, y) = ||x − y|| é uma métrica. ♣</p><p>Exemplo 13.6. O exemplo que você precisa ter na mente é Rn com a norma usual ||x|| =</p><p>√</p><p>x2</p><p>1 + . . . + x2</p><p>n.</p><p>♣</p><p>Exemplo 13.7. Outro exemplo importante: seja l∞ o conjunto de todas as sequências limitadas.</p><p>Então l∞ é um espaço normado, com norma ||(xn)||∞ = sup{|xn|}. ♣</p><p>Podemos introduzir a noção de convergência de sequência em um espaço normado da seguinte</p><p>forma. Seja (X, || · ||) um espaço normado e (xn)n uma sequência em X, ou seja, x : N→ X é uma</p><p>função e iremos denotar xn = x(n).</p><p>Diremos que (xn)n converge para a ∈ X se, dado ε > 0, existir n0 ∈ N tal que ||xn − a|| < ε para</p><p>todo n ≥ n0.</p><p>Diremos que (xn)n é uma sequência de Cauchy em X se, dado ε > 0, existir n0 ∈ N tal que para</p><p>todos m, n ≥ n0 temos ||xn − xm|| < ε.</p><p>Um espaço vetorial normado onde toda sequência de Cauchy converge é chamado de espaço de</p><p>Banach. Vamos denotar por L(Rn) o espaço vetorial dos operadores lineares de Rn em Rn. Note</p><p>que L(Rn) é isomorfo a Mn×n(R) (este isomorfismo depende de uma escolha de base).</p><p>Vamos agora introduzir algumas normas no espaço L(Rn).</p><p>Como L(Rn) é isomorfo a Mn×n(R), e o o conjunto Mn×n(R) é basicamente um RN com N</p><p>grande (no caso, N = n2), poderı́amos pensar em usar em L(Rn) uma norma construı́da assim:</p><p>dado T ∈ L(Rn), escolha uma base B de Rn e calcule a matriz A = [T]B . Esta matriz pode ser</p><p>pensada como um vetor em Rn2</p><p>, e neste espaço temos a norma usual. Poderı́amos definir ||T|| = ||A||.</p><p>O problema disso é que a norma ficaria dependendo da escolha particular da base B. Para contornar</p><p>isto, poderı́amos supor que sempre usarı́amos a base canônica. Aı́ entra um problema mais sutil:</p><p>existe uma certa desigualdade envolvendo a norma matricial que queremos que seja verdadeira,</p><p>e ela não é verdadeira usando esta norma “herdada” de Rn2</p><p>. Faremos a definição de ||T|| de uma</p><p>forma um pouco mais complicada, mas que provará bem o seu valor em breve.</p><p>Primeiro denote por ⟨·, ·⟩ o produto interno usual de Rn e por || · || a norma usual, ou seja, se</p><p>x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) então</p><p>⟨x, y⟩ = x1y1 + . . . + xnyn</p><p>e</p><p>||x|| =</p><p>√</p><p>⟨x, x⟩ =</p><p>√</p><p>x2</p><p>1 + . . . + x2</p><p>n.</p><p>158</p><p>13.3. espaços normados</p><p>Se A ∈ L(Rn), vamos definir a norma de A por</p><p>||A|| = sup</p><p>{</p><p>||Ax||</p><p>||x||</p><p>, x , 0</p><p>}</p><p>= sup {||Ax||, ||x|| = 1} .</p><p>A primeira pergunta: este supremo está bem definido? Sim!</p><p>Prova (Versão difı́cil). O conjunto dos x ∈ Rn tais que ||x|| = 1 é compacto; como a função x 7→ Ax</p><p>é contı́nua, o conjunto dos Ax é também compacto, daı́ o conjunto dos ||Ax|| é limitado e portanto</p><p>tem supremo. ■</p><p>Prova (Versão também difı́cil, mas como é álgebra linear, vamos fazer o caso bidimensional e</p><p>deixar o caso geral como exercı́cio, que é o que matemáticos fazem). Sejam x = (x, y) e</p><p>A =</p><p>a b</p><p>c d</p><p> .</p><p>Então</p><p>Ax =</p><p>ax + by</p><p>cx + dy</p><p> .</p><p>Seja x , 0 e vamos calcular ||Ax||/ ||x||.</p><p>||Ax||</p><p>||x||</p><p>=</p><p>√</p><p>(ax + by)2 + (cx + dy)2√</p><p>x2 + y2</p><p>=</p><p>√</p><p>a2x2 + b2y2 + c2x2 + d2y2 + 2axby + 2cxdy√</p><p>x2 + y2</p><p>=</p><p>√</p><p>x2</p><p>x2 + y2 (a2 + c2) +</p><p>y2</p><p>x2 + y2 (b2 + d2) +</p><p>xy</p><p>x2 + y2 (2ab + 2cd)</p><p>≤</p><p>√</p><p>a2 + c2 + b2 + d2 + 2ab + 2cd</p><p>Portanto, o conjunto dos valores ||Ax||/ ||x|| é limitado (por uma constante que não depende de x).</p><p>Logo, o supremo existe e a norma está bem definida! ■</p><p>Agora temos uma norma em L(Rn) (e também em Mn×n(Rn)). O problema é que com a definição</p><p>||A|| = sup {||Ax||, ||x|| = 1}</p><p>não fica tão simples calcular de fato as normas. Vamos fazer um exemplo bidimensional para</p><p>entender como podemos proceder.</p><p>159</p><p>13. sistemas lineares e exponencial matricial</p><p>Exemplo 13.8. Considere a matriz</p><p>A =</p><p>1 0</p><p>0 3</p><p></p><p>e vamos calcular ||A||. Seja x = (a, b) ∈ R2 satisfazendo ||x|| = 1, ou seja, a2 + b2 = 1. Note que</p><p>Ax =</p><p>1 0</p><p>0 3</p><p> ab</p><p> = (a, 3b)</p><p>e portanto</p><p>||Ax|| = ||(a, 3b)|| =</p><p>√</p><p>a2 + 9b2.</p><p>Assim,</p><p>||A|| = sup{</p><p>√</p><p>a2 + 9b2, a2 + b2 = 1}.</p><p>Para calcular o supremo acima, precisamos determinar qual é o “maior” valor</p><p>que a expressão√</p><p>a2 + 9b2 assume, dado que temos a restrição a2 + b2 = 1. Vamos chamar este maior valor de K.</p><p>Assim,</p><p>√</p><p>a2 + 9b2 = K e a2 + b2 = 1. Geometricamente, isto significa que o ponto (a, b) está ao</p><p>mesmo tempo sobre o cı́rculo unitário x2 + y2 = 1 e sobre a elipse x2 + 9y2 = K2.</p><p>Se você fizer algumas figuras, vai se convencer de que isto só é possı́vel se K ∈ [1,3]. Como</p><p>queremos o “maior” valor de K (as aspas são por conta de não ser o maior, mas sim o supremo),</p><p>deveremos ter K = 3. Logo, ||A|| = 3. ♣</p><p>Observação 13.9. Sobre o exemplo anterior, perceba que 3 é exatamente o módulo do maior</p><p>autovalor de A. Será que é coincidência?</p><p>Lembra que definimos a norma de ||A|| de uma forma complicada por conta de uma desigual-</p><p>dade? Ei-la:</p><p>Proposição 13.10 (Justificativa da escolha da norma). Se A ∈ L(Rn) e x ∈ Rn então ||Ax|| ≤</p><p>||A|| · ||x||. Por consequência, temos ||AB|| ≤ ||A|| · ||B|| e também ||An|| ≤ ||A||n.</p><p>Observação 13.11. Podemos definir qualquer norma em L(Rn), já que como o espaço tem dimensão</p><p>finita, elas são todas equivalentes. Só estamos usando a norma definida anteriormente para</p><p>ganharmos a desigualdade da Proposição 13.10.</p><p>Observação 13.12. Cuidado, na Proposição 13.10 estamos usando o sı́mbolo || · || para muitas coisas</p><p>diferentes! Decida qual é a norma pelo contexto.</p><p>Teorema 13.13. L(Rn) é um espaço de Banach.</p><p>É fácil provar isto com o lema</p><p>160</p><p>13.4. exponencial matricial</p><p>Lema 13.14. Rk é um espaço de Banach para todo k ≥ 1.</p><p>juntamente com a observação de que as normas são equivalentes, ou seja, se denotarmos por</p><p>||A||2 a norma de Mn×n(Rn) quando considerado Rn2</p><p>, então temos que existem constantes c, c̃ com</p><p>c||A||2 ≤ ||A|| ≤ c̃||A||2.</p><p>13.4 Exponencial matricial</p><p>Seja A uma matriz n × n. Voltemos à série que usamos para definir a exponencial de matriz,</p><p>exp(A) = Id + A +</p><p>1</p><p>2!</p><p>A2 +</p><p>1</p><p>3!</p><p>A3 + . . . +</p><p>1</p><p>n!</p><p>An + . . .</p><p>Como provar que exp(A) é uma matriz (ou um operador)? Simples, vamos provar que a</p><p>sequência das somas parciais da série acima é de Cauchy, logo ela será convergente (pois L(Rn) é</p><p>um espaço de Banach). Seja ε > 0. Denote</p><p>Sn =</p><p>n∑</p><p>k=0</p><p>1</p><p>k!</p><p>Ak .</p><p>Devemos achar n0 tal que se m, n ≥ n0 então ||Sn − Sm|| < ε. Suponha sem perda de generalidade</p><p>que n > m e seja n = m + p. Vamos usar uma série auxiliar para concluir a prova: seja</p><p>exp(t) =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>1</p><p>n!</p><p>tn</p><p>a série de Taylor da função exponencial (de números reais). Podemos calcular exp(t) em t = ||A||,</p><p>pois a norma de A é um número real. Então a série</p><p>exp(||A||) =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>1</p><p>n!</p><p>(||A||)n</p><p>converge. Portanto, a sequência das somas parciais desta série é de Cauchy.</p><p>Vamos denotar (Wn)n a sequência de somas parciais da série</p><p>exp(||A||) =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>1</p><p>n!</p><p>(||A||)n,</p><p>ou seja,</p><p>Wn =</p><p>n∑</p><p>k=0</p><p>1</p><p>k!</p><p>(||A||)k .</p><p>Como (Wn)n é de Cauchy, existe n0 ∈ N tal que para todo m, n ≥ n0 temos |Wn −Wm| < ε, ou seja,</p><p>161</p><p>13. sistemas lineares e exponencial matricial</p><p>se escrevermos n = m + p, temos∣∣∣∣∣∣∣</p><p>m+p∑</p><p>k=0</p><p>1</p><p>k!</p><p>||A||k −</p><p>m∑</p><p>k=0</p><p>1</p><p>k!</p><p>||A||k</p><p>∣∣∣∣∣∣∣ =</p><p>∣∣∣∣∣∣∣</p><p>m+p∑</p><p>k=m+1</p><p>1</p><p>k!</p><p>||A||k</p><p>∣∣∣∣∣∣∣ < ε.</p><p>Vamos voltar agora para nossa sequência (Sn)n, das somas parciais da exponencial matricial.</p><p>Sejam m, n ≥ n0 (o mesmo n0 que encontramos antes), com n = m + p. Usando a desigualdade</p><p>triangular da norma e também o fato de que ||Ak || ≤ ||A||k temos</p><p>||Sm+p − Sm|| =</p><p>∣∣∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣∣∣</p><p>m+p∑</p><p>k=0</p><p>1</p><p>k!</p><p>Ak −</p><p>m∑</p><p>k=0</p><p>1</p><p>k!</p><p>Ak</p><p>∣∣∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣∣∣</p><p>=</p><p>∣∣∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣∣∣</p><p>m+p∑</p><p>k=m+1</p><p>1</p><p>k!</p><p>Ak</p><p>∣∣∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣∣∣</p><p>≤</p><p>m+p∑</p><p>k=m+1</p><p>1</p><p>k!</p><p>||A||k < ε</p><p>Assim, (Sn)n é de Cauchy e portanto convergente! Com isto, mostramos que a aplicação</p><p>exponencial matricial está bem definida.</p><p>Vamos calcular nossa primeira exponencial matricial:</p><p>Exemplo 13.15. Se</p><p>A =</p><p>1 0</p><p>0 3</p><p></p><p>então</p><p>eA =</p><p>e 0</p><p>0 e3</p><p></p><p>. ♣</p><p>Uma propriedade importante da exponencial de números reais é a seguinte: se x, y ∈ R então</p><p>ex+y = exey . A exponencial matricial não satisfaz esta propriedade, e o motivo é simples: a fórmula</p><p>do binômio não vale para matrizes, pois elas não são comutativas. Ou seja, se A, B são matrizes,</p><p>então</p><p>(A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + AB + BA + B2</p><p>e em geral não podemos juntar os termos AB e BA, pois eles podem ser distintos.</p><p>Se A, B são matrizes, defina [A, B] = AB − BA. Esta operação é chamada de colchete de Lie de</p><p>A, B. Temos que A, B comutam se, e só se, [A, B] = 0. Portanto, temos o seguinte:</p><p>Proposição 13.16. Se A, B são matrizes e [A, B] = 0 então eA+B = eAeB.</p><p>162</p><p>13.4. exponencial matricial</p><p>Prova. Fica como exercı́cio, mas o passo fundamental é perceber que, no caso [A, B] = 0, a fórmula</p><p>do binômio também é verdadeira. ■</p><p>Exercı́cio 13.17. Verifique estas propriedades da exponencial matricial:</p><p>1. exp(0) = Id.</p><p>2. exp(A) sempre tem inversa, dada por exp(−A).</p><p>3. Mostre que se D é diagonal, D = (a1, . . . , an) então exp(D) = (ea1 , . . . , ean).</p><p>▲</p><p>Observação 13.18. Seja Mn×n(R) o conjunto das matrizes reais n × n e Gl(n,R) o conjunto das</p><p>matrizes invertı́veis. O exercı́cio anterior nos diz que exp : Mn×n(R) → Gl(n,R), ou seja, exp</p><p>transforma uma matriz qualquer em uma matriz invertı́vel. Uma reta em Mn×n(R) pode ser</p><p>definida escolhendo uma matriz A e considerando o conjunto {At, t ∈ R}. A aplicação exp leva</p><p>esta reta numa curva em Gl(n,R).</p><p>163</p><p>14. sistemas de equações diferenciais</p><p>14 Sistemas de equações diferenciais</p><p>Neste capı́tulo, aplicaremos os resultados do capı́tulo anterior na solução de sistemas de equações</p><p>diferenciais.</p><p>14.1 Equações homogêneas</p><p>Se A é uma matriz n × n e t ∈ R então</p><p>eAt = exp(At) =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>1</p><p>n!</p><p>Antn.</p><p>Seja x0 ∈ Rn. Sendo eAt uma matriz, o produto eAtx0 está bem-definido e é um elemento de Rn.</p><p>Vamos denotar x(t) = eAtx0. Note que x(0) = x0 e16</p><p>d</p><p>dt</p><p>x(t) =</p><p>d</p><p>dt</p><p>(</p><p>eAtx0</p><p>)</p><p>=</p><p>d</p><p>dt</p><p>( ∞∑</p><p>n=0</p><p>1</p><p>n!</p><p>Antn</p><p>)</p><p>x0</p><p> = AeAtx0 = Ax(t)</p><p>Portanto x(t) = eAtx0 é uma solução do problema de valor inicial</p><p>d</p><p>dt</p><p>x(t) = Ax(t), x(0) = x0.</p><p>Proposição 14.1. Seja A uma matriz n × n, a ∈ Rn e x(t) = (x1(t), . . . , xn(t) uma função R→ Rn</p><p>cujas coordenadas são diferenciáveis. Então a solução do problema de valor inicial x′(t) = Ax(t),</p><p>x(0) = a é x(t) = eAta.</p><p>Exemplo 14.2. Considere</p><p>A =</p><p>1 0</p><p>0 −2</p><p> .</p><p>O problema de valor inicial ẋ = Ax, x(0) = (1, 3) é equivalente ao sistema de equações ẋ1 = x1</p><p>ẋ2 = −2x2</p><p>com condições iniciais x1(0) = 1, x2(0) = 3. A solução deste PVI pode ser obtida de forma simples:</p><p>x(t) = exp(At)(1, 3). Como</p><p>exp(At) = exp</p><p>t 0</p><p>0 −2t</p><p> =</p><p>et 0</p><p>0 e−2t</p><p> ,</p><p>16Não provamos que esta série pode ser derivada termo a termo, mas assim como no caso de séries de potências,</p><p>isto pode ser feito.</p><p>164</p><p>14.2. equações não-homogêneas</p><p>segue que</p><p>x(t) =</p><p>et 0</p><p>0 e−2t</p><p> 1</p><p>3</p><p> =</p><p> et</p><p>3e−2t</p><p> ,</p><p>ou seja, x1(t) = et e x2(t) = 3e−2t. ♣</p><p>14.2 Equações não-homogêneas</p><p>Um caso um pouco mais complicado, mas que pode ser resolvido usando a Proposição 14.3, é o</p><p>dos sistemas da forma</p><p>ẋ = Ax + b(t).</p><p>Para resolver este sistema, vamos achar um fator integrante. Como? Multiplicando por uma</p><p>exponencial matricial, claro!</p><p>Multiplicando</p><p>ẋ − Ax = b(t)</p><p>por e−At obtemos</p><p>e−Atẋ − e−AtAx = e−Atb(t),</p><p>que pode ser reescrita como</p><p>d</p><p>dt</p><p>(</p><p>e−Atx(t)</p><p>)</p><p>= e−Atb(t)</p><p>e integrada como</p><p>e−Atx(t) =</p><p>∫</p><p>e−Atb(t) dt.</p><p>A integral do lado direito de</p><p>e−Atx(t) =</p><p>∫</p><p>e−Atb(t) dt</p><p>pode ser resolvida para obtermos ∫</p><p>e−Atb(t) dt = g(t) + c</p><p>e daı́</p><p>x(t) = eAtg(t) + eAtc,</p><p>onde c = (c1, . . . , xn). Portanto, todo o problema está em calcular uma primitiva para a função</p><p>vetorial g ′(t) = e−Atb(t).</p><p>165</p><p>14. sistemas de equações diferenciais</p><p>Proposição 14.3. Seja A uma matriz n × n, b(t) uma função contı́nua. Então a solução do</p><p>problema de valor inicial x′(t) = Ax(t) + b(t) é x(t) = eAtg(t) + eAtc, com g ′(t) = e−Atb(t) e c</p><p>uma constante (que dependerá das condições iniciais).</p><p>Exercı́cio 14.4. Mostre que a solução de ẋ = x + t,</p><p>ẏ = 5y + 2.</p><p>é da forma x(t) = aet</p><p>então uma função µ(t) que satisfaça essa condição: µ(t) = et e</p><p>começar tudo de novo.</p><p>Então temos que resolver a equação</p><p>y′(t) + y(t) = 2,</p><p>que não sabı́amos resolver, e daı́ resolvemos multiplicá-la por µ(t) = et, ficando com</p><p>y′(t)et + y(t)et = 2et.</p><p>Olhando com carinho para o lado esquerdo, percebemos que podemos reescrever a equação como</p><p>(y(t)et)′ = 2et.</p><p>Essa última equação pode ser resolvida com nossos conhecimentos de Cálculo I, integrando</p><p>ambos os lados: obteremos</p><p>y(t)et =</p><p>∫</p><p>2et dt,</p><p>o que dá</p><p>y(t)et = 2et + c,</p><p>que por sua vez nos dá o valor de y(t) como sendo</p><p>y(t) = 2 +</p><p>c</p><p>et</p><p>,</p><p>com c ∈ R. ♣</p><p>Nas primeiras semanas do curso vamos formalizar a ideia da solução do exemplo anterior,</p><p>e aplicá-la a equações de primeira ordem um pouco mais complicadas, quando o lado direito</p><p>depender também de t.</p><p>9</p><p>1. exemplos iniciais de equações diferenciais</p><p>1.2 Sistemas de equações diferenciais</p><p>Neste curso, estaremos interessados também em resolver sistemas de equações diferenciais. Um</p><p>sistema de equações diferenciais é basicamente um conjunto com mais que uma equação. A solução</p><p>do sistema, em geral um vetor de funções, precisa satisfazer a todas as equações do sistema.</p><p>Como um primeiro exemplo, vamos resolver o sistema de equações diferenciais x′(t) = 2x(t),</p><p>y′(t) = 2y(t).</p><p>(4)</p><p>Antes de mais nada, vamos reescrever o sistema na forma matricial:x′(t)y′(t)</p><p> =</p><p>2 0</p><p>0 2</p><p> x(t)</p><p>y(t)</p><p></p><p>Já que estamos usando notação vetorial, vamos trocar as variáveis, usando z1(t) = x(t) e</p><p>z2(t) = y(t), ficando com: z′1z′2</p><p> =</p><p>2 0</p><p>0 2</p><p> z1(t)</p><p>z2(t)</p><p></p><p>Você se lembra como fica a solução de u′(t) = au(t): ora, fica u(t) = ceat. Então basicamente</p><p>a gente coloca uma exponencial elevada ao número que está ali multiplicando e põe um t junto.</p><p>Agora temos um sistema da forma</p><p>z′(t) = Az(t).</p><p>Então a gente faz a mesma coisa e obtém</p><p>z(t) = eAtc,</p><p>onde c = (c1, c2) ∈ R2 só para a multiplicação fazer sentido.3</p><p>Agora você deve estar pensando: calma aı́, Ricardo - você colocou uma matriz dentro da</p><p>exponencial?</p><p>Sim, meu caro. Se A é uma matriz, vamos definir a exponencial de A como sendo</p><p>eA =</p><p>∞∑</p><p>j=0</p><p>1</p><p>j!</p><p>Aj . (5)</p><p>Em algum momento vamos estudar com detalhes essa expressão, incluindo sua convergência,</p><p>mas por enquanto note que quando A é uma matriz diagonal, então o produto Aj é simples de</p><p>3Eu tenho uma teoria de que muita coisa na matemática é generalizada só para que as notações continuem fazendo</p><p>sentido, e o uso da exponencial matricial para resolver EDOs é uma dessas coisas! Matemáticos adoram notações</p><p>universais.</p><p>10</p><p>1.2. sistemas de equações diferenciais</p><p>fazer e obteremos</p><p>exp</p><p>α 0</p><p>0 β</p><p> =</p><p>∞∑</p><p>j=0</p><p>1</p><p>j!</p><p>α 0</p><p>0 β</p><p>j =</p><p></p><p>∞∑</p><p>j=0</p><p>1</p><p>j!</p><p>αj 0</p><p>0</p><p>∞∑</p><p>j=0</p><p>1</p><p>j!</p><p>βj</p><p> =</p><p>eα 0</p><p>0 eβ</p><p> ,</p><p>portanto</p><p>exp</p><p>αt 0</p><p>0 βt</p><p> =</p><p>etα 0</p><p>0 etβ</p><p> .</p><p>No nosso caso tı́nhamos</p><p>A =</p><p>2 0</p><p>0 2</p><p> ,</p><p>portanto</p><p>eAt =</p><p>e2t 0</p><p>0 e2t</p><p> ,</p><p>e daı́ a solução</p><p>z(t) = eAtc</p><p>é igual a</p><p>z(t) = (c1e</p><p>2t, c2e</p><p>2t),</p><p>o que faz bastante sentido! Verifique que se x(t) = c1e</p><p>2t e y(t) = c2e</p><p>2t é de fato solução de (4).</p><p>Exercı́cio 1.5. Encontre uma solução de x′(t) = x(t),</p><p>y′(t) = −y(t).</p><p>por inspeção, e depois encontre as soluções usando a exponencial matricial que definimos anteri-</p><p>ormente. ▲</p><p>Exercı́cio 1.6. Encontre uma solução de x′(t) = −y(t)</p><p>y′(t) = x(t).</p><p>usando a exponencial matricial que definimos anteriormente.</p><p>Dica: defina</p><p>A =</p><p>0 −1</p><p>1 0</p><p></p><p>e entenda bem como funcionam as potências de A, antes se aventurar a calcular exp(At). ▲</p><p>11</p><p>1. exemplos iniciais de equações diferenciais</p><p>Para entendermos bem como calcular eA para uma matriz qualquer, será muito útil sabermos</p><p>como calcular a forma de Jordan de uma matriz A. Nos preocuparemos com isso na parte final do</p><p>curso.</p><p>Observação 1.7. Os sistemas de EDOs dos exemplos anteriores poderiam ter sido resolvidos sem</p><p>usar exponencial matricial, seja procurando soluções por “inspeção” ou mesmo usando algo que se</p><p>chama “matriz fundamental” do sistema. A solução envolvendo exponencial matricial, no entanto,</p><p>é muito mais elegante e será usada nesse curso.</p><p>1.3 Um exemplo um pouco mais elaborado</p><p>Esta seção não foi feita na aula.</p><p>Pergunta 1.8. A equação diferencial</p><p>u′′(t) + u(t) = 2u′(t) (6)</p><p>tem alguma solução periódica?</p><p>Essa é a versão simples de um problema comum para quem faz pesquisa em equações diferen-</p><p>ciais ou sistemas dinâmicos: temos fixação em procurar soluções periódicas.</p><p>Um truque muito interessante é transformar essa equação de segunda ordem num sistema de</p><p>equações de primeira ordem. Para isso, fazemos o seguinte: seja u(t) uma solução de equação (6).</p><p>Denote v(t) = u′(t). Então v′(t) = u′′(t). Como u(t) é solução de (6), temos que</p><p>v′(t) = u′′(t) = 2u′(t) − u(t) = 2v(t) − u(t).</p><p>Alerta. A construção que fizemos no parágrafo anterior é complicada. Pegue um lápis e refaça-a</p><p>algumas vezes para tentar entender.</p><p>Em resumo, encontrar u(t) que resolve (6) é equivalente a encontrar u(t), v(t) que resolvem u′(t) = v(t),</p><p>v′(t) = 2v(t) − u(t).</p><p>(7)</p><p>Em termos matriciais, (7) é equivalente au′(t)v′(t)</p><p> =</p><p> 0 1</p><p>−1 2</p><p> u(t)</p><p>v(t)</p><p> , (8)</p><p>Podemos então tentar duas estratégias: calcular a exponencial da matriz do sistema (8) (o que</p><p>até dá pra fazer, mas vai levar tempo) ou então tentar propor uma solução “por inspeção”. Pense</p><p>nisso por alguns segundos.</p><p>12</p><p>1.3. um exemplo um pouco mais elaborado</p><p>Talvez você não tenha pensado em nada, mas se você estivesse preso em uma torre e sua vida</p><p>dependesse disso, aposto que essas seriam as ideias que teriam passado pela sua cabeça:</p><p>• Propor soluções u(t), v(t) polinomiais (não vai funcionar, mas tente assim mesmo).</p><p>• Chutar algumas soluções u(t), v(t) que seja combinações lineares de funções trigonométricas</p><p>(também não funciona).</p><p>• Por fim, antes de desistir, nós podemos misturar funções polinomiais, exponenciais e trigo-</p><p>nométricas. Dessa vez vai funcionar!</p><p>Depois de muitas tentativas, você vai propor uma solução da forma</p><p>u(t) = ea1t(a2 + a3t), v(t) = eb1t(b2 + b3t)</p><p>e encontrar que</p><p>u(t) = et(a2 + a3t), v(t) = et(a2 + a3 + a3t),</p><p>com a2, a3 parâmetros reais.</p><p>Será que essa solução pode ser periódica? Bom, se ela for periódica, então a função ||(u(t), v(t))||</p><p>deverá ser periódica.</p><p>Alerta. Entenda com detalhes a afirmação anterior: “se a solução é periódica, sua norma é uma</p><p>função periódica”.</p><p>Calculando ||(u(t), v(t))|| teremos</p><p>||(u(t), v(t))|| → ∞,</p><p>logo nenhuma solução pode ser periódica (faça essa conta!).</p><p>Observação 1.9. Resolver o sistema (7) usando a exponencial matricial não é difı́cil. O problema é</p><p>que ainda não temos condições de calcular rapidamente a exponencial. Denotando</p><p>A =</p><p> 0 1</p><p>−1 2</p><p></p><p>temos que</p><p>exp(At) =</p><p> et(1 − t) ett</p><p>−ett et(t + 1)</p><p> ,</p><p>e portanto a solução é</p><p>z(t) = (u(t), v(t)) =</p><p>(</p><p>c1e</p><p>t(1 − t) + c2e</p><p>tt, c2e</p><p>t(t + 1) − c1e</p><p>tt</p><p>)</p><p>,</p><p>13</p><p>1. exemplos iniciais de equações diferenciais</p><p>-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0</p><p>-1.0</p><p>-0.5</p><p>0.0</p><p>0.5</p><p>1.0</p><p>Figura 2: Soluções de u′′(t) + u(t) = 2u′(t).</p><p>com c1, c2 ∈ R. A presença dos exponenciais na expressão faz com que a norma de z(t) tenta a</p><p>infinito quanto t →∞ se (c1, c2) , (0, 0).</p><p>Observação 1.10. Vamos dar uma prova um pouco mais “teórica” da não-existência de soluções</p><p>periódicas, que serve para outros casos. A versão geral dessa técnica se chama Critério de Bendixson.</p><p>Ela usa o Teorema de Green e pode ser difı́cil de acompanhar num primeiro momento.</p><p>Suponha que exista uma solução suave α(t) =</p><p>(</p><p>u(t), v(t)</p><p>)</p><p>para o sistema (7) que seja T-periódica.</p><p>Seja R a região limitada cuja fronteira é a curva α.</p><p>Então ∮</p><p>α</p><p>(v,−u + 2v) · n ds =</p><p>∮</p><p>α</p><p>v dv − (2v − u) du,</p><p>mas a integral da esquerda precisa ser zero,</p><p>− 1 − t, y(t) = be5t − 2/5, onde a, b são constantes. ▲</p><p>14.3 Retrato de fase</p><p>Um sistema de n equações diferenciais lineares de primeira ordem exige n condições iniciais, uma</p><p>para cada função envolvida. No caso de sistemas bidimensionais, as condições iniciais são da</p><p>forma x(t0) = α e y(t0) = β. No caso de sistemas autônomos, o valor de t0 não importará; iremos</p><p>sempre considerar t0 = 0.</p><p>Uma consequência do teoria de existência e unicidade no caso de sistemas autônomos é que</p><p>as soluções decompõe o espaço. Veja o exemplo anterior: dados dois pontos P, Q ∈ R2, ou eles</p><p>pertencem à mesma curva-solução ou eles pertencem a soluções diferentes. Em outras palavras,</p><p>o conjunto das soluções é uma partição do espaço, e portanto podemos definir a relação de</p><p>equivalência: x ∼ y quando x, y estão na mesma curva-solução.</p><p>Chamaremos de trajetória a cada uma das curvas-solução do sistema. Chamaremos de retrato</p><p>de fase à união de todas as trajetórias (ou à sua representação geométrica, como na figura acima).</p><p>Muitas vezes incluiremos o campo vetorial no retrato de fase. Quando a figura só incluir o campo</p><p>vetorial, chamaremos de campo de direções.</p><p>Exercı́cio 14.5. Construa o retrato de fase do sistema x′ = x,</p><p>y′ = 3y.</p><p>▲</p><p>Exercı́cio 14.6. Construa o retrato de fase do sistema x′ = x,</p><p>y′ = −3y.</p><p>▲</p><p>166</p><p>14.4. calculando explicitamente as exponenciais matriciais</p><p>Exemplo 14.7 (Caso geral). Seja A uma matriz diagonal, A = diag(λ, µ), com λ, µ ∈ R. Vamos</p><p>determinar o retrato de fase de ẋ = Ax.</p><p>ẋ = Ax⇔</p><p> x′ = λx,</p><p>y′ = µy.</p><p>Neste caso é fácil calcular a exponencial de A:</p><p>exp(At) =</p><p>eλt 0</p><p>0 eµt</p><p> .</p><p>Assim, se x(0) = (α, β) é a condição inicial, a solução é dada por</p><p>x(t) = eAtx(0) =</p><p>(</p><p>αeλt, βeµt</p><p>)</p><p>Caso 1: λ > 0 e µ > 0 (repulsor)</p><p>x(t) = eAtx(0) =</p><p>(</p><p>αeλt, βeµt</p><p>)</p><p>Caso 2: λ < 0 e µ < 0 (atrator)</p><p>x(t) = eAtx(0) =</p><p>(</p><p>αeλt, βeµt</p><p>)</p><p>Caso 3: λ < 0 e µ > 0 (µ = −ρ, ρ > 0) (ou vice-versa) (sela)</p><p>x(t) = eAtx(0) =</p><p>(</p><p>αeλt, βe−ρt</p><p>)</p><p>♣</p><p>14.4 Calculando explicitamente as exponenciais matriciais</p><p>Até agora, calculamos exponenciais de matrizes diagonais. Veremos agora como calcular algumas</p><p>exponenciais matriciais um pouco mais gerais. O funcionamento do método é garantido pelo</p><p>seguinte resultado:</p><p>Teorema 14.8. Sejam A, B matrizes n × n e suponha que exista uma matriz invertı́vel M tal que</p><p>A = MBM−1. Então exp(At) = exp((MBM−1)t) = M exp(Bt)M−1.</p><p>Prova. Fica como exercı́cio, e a dica é perceber que</p><p>(MBM−1)n = (MBM−1)(MBM−1) · · · (MBM−1) = MBnM−1.</p><p>■</p><p>Como vamos usar este teorema neste curso?</p><p>167</p><p>14. sistemas de equações diferenciais</p><p>Se quisermos resolver um sistema ẋ = Ax onde exp(At) é “difı́cil” de calcular, iremos pro-</p><p>curar matrizes B, M tais que exp(Bt) seja mais fácil de calcular e satisfazendo A = MBM−1; daı́</p><p>conseguiremos obter exp(At) pela fórmula</p><p>exp(At) = exp((MBM−1)t) = M exp(Bt)M−1.</p><p>Como encontrar B e M? Pelos autovalores e autovetores! Vamos fazer em detalhes o caso 2 × 2.</p><p>Considere A uma matriz real n × n. Seja</p><p>pA(λ) = det(A − λI)</p><p>o polinômio caracterı́stico de A. Os autovalores de A são as raı́zes λ1, . . . , λn deste polinômio. No</p><p>caso de matrizes 2 × 2 o polinômio caracterı́stico tem a forma</p><p>pA(λ) = λ2 − tr(A)λ + det(A).</p><p>Note que os autovalores podem ser reais ou complexos. Seja λ um autovalor de A. Então</p><p>det(A − λI) = 0</p><p>e isto significa que o sistema linear homogêneo</p><p>(A − λI)x = 0</p><p>tem uma solução não-nula, digamos x = u. Esta solução não nula é chamada de autovetor associado</p><p>a λ. Note que se (A − λI)u = 0 então Au = λu.</p><p>Quando λ ∈ C \ R, pode acontecer do autovetor u também ter coordenadas complexas. Iremos</p><p>contornar isto mais para frente. No caso em que λ ∈ R, então o autovetor u também só terá</p><p>coordenadas reais.</p><p>No caso em que os autovalores são iguais, λ = µ, pode acontecer de não existirem dois autove-</p><p>tores linearmente independentes.</p><p>Seja então A uma matriz 2 × 2, λ, µ seus autovalores. Vamos encontrar as matrizes B e M.</p><p>Suponha primeiro que λ , µ. Assim teremos dois autovetores u, v, com Au = λu e Av = µv.</p><p>Acabamos de descobrir a matriz B:</p><p>B =</p><p>λ 0</p><p>0 µ</p><p> .</p><p>Para construir M, se u = (u1, u2) e v = (v1, v2), defina</p><p>M =</p><p>u1 v1</p><p>u2 v2</p><p> .</p><p>Assim,</p><p>A = MBM−1</p><p>168</p><p>14.4. calculando explicitamente as exponenciais matriciais</p><p>e</p><p>exp(At) = M exp(Bt)M−1.</p><p>O que é a matriz M? A matriz M é uma matriz de mudança de base. Estamos trocando a base,</p><p>da base canônica de R2 para a base {u, v}. Ou seja, estamos trocando a base na qual a matriz da</p><p>transformação linear TA : R2 → R2, TA(x) = Ax está escrita.</p><p>Se C denota a base canônica e B = {u, v}, então</p><p>A = MBM−1 ⇔ [A]CC = [I]BC [B]BB[I]CB ,</p><p>onde M = [I]BC é a matriz mudança de base, da base B para a base canônica.</p><p>O que acontece se λ, µ forem complexos? Neste caso vamos usar a Forma de Jordan Real, ou</p><p>Forma de Jordan-Schur da matriz. Vamos escrever todos os objetos em termos de suas partes reais</p><p>e imaginárias: sejam λ = a + bi e µ = λ = a − bi os autovalores de A. Analogamente, quebramos os</p><p>autovetores associados em suas partes reais e imaginárias: u = z + wi, v = u = z − wi.</p><p>Agora vem uma conta muito boa. Como Au = λu, temos que</p><p>A(z + wi) = (a + bi)(z + wi)</p><p>= (a + bi)z + (−b + ai)w</p><p>= az − bw + i(bz + aw)</p><p>Comparando partes reais e partes imaginárias, obtemos que</p><p>Az = az − bw, Aw = bz + aw.</p><p>Seja C′ = {z, w}. Então C′ é base de R2 (exercı́cio!) e iremos usar esta base, ao invés de base C.</p><p>Fazendo isto, a matriz B ficará</p><p>B =</p><p>a −bb a</p><p></p><p>e a matriz M será</p><p>B =</p><p>z1 w1</p><p>z2 w2</p><p> ,</p><p>onde z = (z1, z2) e w = (w1, w2).</p><p>O que acontece se só existir 1 autovalor? Suponha que os autovalores sejam iguais, λ = µ e</p><p>que só exista um autovalor, denotado por u. Não terá como obtermos a matriz na forma diagonal</p><p>(pois para isto precisarı́amos de uma base com dois autovetores). O que acontece neste caso</p><p>é que (A − λI)x = 0 só tem uma solução (só um autovetor). Noutras palavras, a imagem da</p><p>transformação linear A − λI : R2 → R2 tem dimensão 1. Uma vez escolhido o autovetor u, seja v</p><p>tal que Av − λv = u (u existe!).</p><p>Considere agora a base B′′ = {u, v}, temos:</p><p>Au = λu, Av = u + λv.</p><p>169</p><p>14. sistemas de equações diferenciais</p><p>Para quem já estudou álgebra linear, isto significa que</p><p>[A]CB′′ =</p><p>λ 1</p><p>0 λ</p><p> .</p><p>Portanto, se considerarmos agora M como sendo a matriz mudança de base, de B′′ para C, teremos</p><p>a igualdade</p><p>A = MBM−1.</p><p>Teorema 14.9. Seja A uma matriz 2 × 2. Então existe uma matriz invertı́vel M com</p><p>A = MBM−1,</p><p>onde B é de uma das formas abaixo:λ 0</p><p>0 µ</p><p> , λ 0</p><p>0 λ</p><p> , λ 1</p><p>0 λ</p><p> , a −bb a</p><p> .</p><p>Observação 14.10. Os comentários nos parágrafos anteriores nos mostram como calcular M para</p><p>cada um dos casos do teorema anterior.</p><p>Iremos reduzir o problema do cálculo de exp(At) ao cálculo de exp(Aj t), onde</p><p>A1 =</p><p>λ 0</p><p>0 µ</p><p> , A2 =</p><p>λ 0</p><p>0 λ</p><p> , A3 =</p><p>λ 1</p><p>0 λ</p><p> , A4 =</p><p>a −bb a</p><p> .</p><p>Fica como exercı́cio17 mostrar que:</p><p>• exp(A1t) =</p><p>eλt 0</p><p>0 eµt</p><p> , exp(A2t) =</p><p>eλt 0</p><p>0 eλt</p><p></p><p>• exp(A3t) =</p><p>eλt teλt</p><p>0 eλt</p><p></p><p>• exp(A4t) =</p><p>eat cos(bt) −eat sen(bt)</p><p>eat sen(bt) eat cos(bt)</p><p></p><p>Exemplo 14.11. Encontre a solução geral do sistema ẋ = 2x − y,</p><p>ẏ = x + 2y</p><p>e esboce o retrato de fase.</p><p>17Eu fiz as contas durante a aula. Em algum momento elas estarão aqui.</p><p>170</p><p>14.4. calculando explicitamente as exponenciais matriciais</p><p>Seja</p><p>A =</p><p>2 −1</p><p>1 2</p><p> .</p><p>Desta vez é fácil: a matriz é do tipo A4, portanto</p><p>exp(At) =</p><p> e2t cos(t) e2t sen(t)</p><p>−e2t sen(t) e2t cos(t)</p><p></p><p>Se x(0) = (a, b) é a condição inicial, então a solução é dada por</p><p>x(t) =</p><p> e2t cos(t) e2t sen(t)</p><p>−e2t sen(t) e2t cos(t)</p><p> ab</p><p></p><p>O retrato de fase está na figura a seguir.</p><p>6 4 2 0 2 4 6</p><p>x</p><p>6</p><p>4</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>4</p><p>6</p><p>y</p><p>♣</p><p>Exemplo 14.12. Encontre a solução geral do sistema ẋ = x − 2y,</p><p>ẏ = −3x +</p><p>2y</p><p>e esboce o retrato de fase.</p><p>Seja</p><p>A =</p><p> 1 −2</p><p>−3 2</p><p> .</p><p>Neste caso precisaremos de nossa amiga álgebra linear, pois exp(At) não é tão simples de calcular</p><p>diretamente. Então vamos calcular autovalores, autovetores, matriz B e matriz M.</p><p>Seja A a matriz do sistema. Os autovalores de A são: λ = −1 e µ = 4, associados aos autovetores</p><p>u = (1, 1), v = (−2, 3). Defina</p><p>B =</p><p>−1 0</p><p>0 4</p><p> , M =</p><p>1 −2</p><p>1 3</p><p> .</p><p>171</p><p>14. sistemas de equações diferenciais</p><p>Temos que (confira!)</p><p>MBM−1 = A</p><p>e que</p><p>exp(Bt) =</p><p>e−t 0</p><p>0 e4t</p><p> .</p><p>Como exp(At) = M exp(Bt)M−1, segue que</p><p>exp(At) = M exp(Bt)M−1 =</p><p>1 −2</p><p>1 3</p><p> e−t 0</p><p>0 e4t</p><p>  3</p><p>5</p><p>2</p><p>5</p><p>−1</p><p>5</p><p>1</p><p>5</p><p></p><p>=</p><p></p><p>3e−t</p><p>5</p><p>+</p><p>2e4t</p><p>5</p><p>2e−t</p><p>5 −</p><p>2e4t</p><p>5</p><p>3e−t</p><p>5</p><p>− 3e4t</p><p>5</p><p>2e−t</p><p>5 + 3e4t</p><p>5</p><p></p><p>Portanto, se a condição inicial for x(0) = (a, b), a solução será dada por</p><p>x(t) =</p><p> 3e−t</p><p>5 + 2e4t</p><p>5</p><p>2e−t</p><p>5 −</p><p>2e4t</p><p>5</p><p>3e−t</p><p>5 −</p><p>3e4t</p><p>5</p><p>2e−t</p><p>5 + 3e4t</p><p>5</p><p> ab</p><p> .</p><p>Por exemplo, se a condição inicial for x(0) = (1/2, 3/4), a solução será dada por</p><p>x(t) =</p><p>(</p><p>− 1</p><p>10</p><p>e−t</p><p>(</p><p>e5t − 6</p><p>)</p><p>,</p><p>3</p><p>20</p><p>e−t</p><p>(</p><p>e5t + 4</p><p>))</p><p>No próximo gráfico, fazemos várias condições iniciais em azul e esta em particular em vermelho.</p><p>6 4 2 0 2 4 6</p><p>x</p><p>6</p><p>4</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>4</p><p>6</p><p>y</p><p>♣</p><p>Exercı́cio 14.13. Encontre o retrato de fase dos sistemas abaixo:</p><p>1. ẋ = x − 2y, ẏ = x − y</p><p>2. ẋ = 3x − 2y, ẏ = x − y</p><p>3. ẋ = 4x − 2y, ẏ = 3x − y</p><p>▲</p><p>172</p><p>14.4. calculando explicitamente as exponenciais matriciais</p><p>Exemplo 14.14. Vamos resolver o sistemaẋ = x + 3y + t,</p><p>ẏ = −3x + y + 2.</p><p>Seja</p><p>A =</p><p> 1 3</p><p>−3 1</p><p> , b(t) =</p><p> t</p><p>2</p><p> .</p><p>Temos que</p><p>eAt =</p><p> et cos(3t) et sen(3t)</p><p>−et sen(3t) et cos(3t)</p><p></p><p>e daı́</p><p>e−Atb(t) =</p><p> 2et sen(3t) + ett cos(3t)</p><p>2et cos(3t) − ett sen(3t)</p><p></p><p>Integrando cada função coordenada em e−Atb(t), obtemos a função g(t) dada por</p><p>g(t) =</p><p></p><p>1</p><p>50</p><p>et((15t + 7) sen(3t) + (5t − 26) cos(3t))</p><p>1</p><p>50</p><p>et((26 − 5t) sen(3t) + (15t + 7) cos(3t))</p><p></p><p>A solução geral da equação é</p><p>z(t) = eAtg(t) + etA(c1, c2)t.</p><p>Note que z(0) = g(0) + (c1, c2)t, então não é tão imediato achar uma solução particular. ♣</p><p>Exemplo 14.15. Vamos resolver o sistema ẋ1 = −2x1 + x2 + 2et,</p><p>ẋ2 = x1 − 2x2 + 3t.</p><p>Considere</p><p>A =</p><p> −2 1</p><p>1 −2</p><p> , b(t) =</p><p> 2e−t</p><p>3t</p><p> .</p><p>Desta forma,</p><p>eAt =</p><p></p><p>1</p><p>2</p><p>e−3 t +</p><p>1</p><p>2</p><p>e−t</p><p>1</p><p>2</p><p>e−t − 1</p><p>2</p><p>e−3 t</p><p>1</p><p>2</p><p>e−t − 1</p><p>2</p><p>e−3 t 1</p><p>2</p><p>e−3 t +</p><p>1</p><p>2</p><p>e−t</p><p></p><p>173</p><p>14. sistemas de equações diferenciais</p><p>e daı́</p><p>e−Atb(t) =</p><p></p><p>1 + e2 t − 3</p><p>2</p><p>te3 t +</p><p>3</p><p>2</p><p>tet</p><p>−e2 t + 1 +</p><p>3</p><p>2</p><p>tet +</p><p>3</p><p>2</p><p>te3 t</p><p></p><p>Agora integramos cada função coordenada de e−Atb(t), obtendo</p><p>g(t) =</p><p></p><p>t +</p><p>1</p><p>2</p><p>e2 t − 1</p><p>2</p><p>te3 t +</p><p>1</p><p>6</p><p>e3 t +</p><p>3</p><p>2</p><p>tet − 3</p><p>2</p><p>et</p><p>−1</p><p>2</p><p>e2 t + t +</p><p>3</p><p>2</p><p>tet − 3</p><p>2</p><p>et +</p><p>1</p><p>2</p><p>te3 t − 1</p><p>6</p><p>e3 t</p><p></p><p>Desta forma, a solução geral da EDO é</p><p>x(t) = etAg(t) + etA(c1, c2)T.</p><p>♣</p><p>14.5 Sistemas não-homogêneos sem coeficientes constantes</p><p>Nesta aula veremos como resolver sistema da forma</p><p>ẋ = A(t)x + b(t),</p><p>onde A(t) = (ai,j(t))i,j é uma matriz n × n e as funções ai,j(t) são contı́nuas no intervalo (α, β).</p><p>Vamos começar com caso b(t) ≡ 0:</p><p>ẋ = A(t)x. (68)</p><p>Neste caso, temos n equações diferenciais lineares. Note que se x(t) e y(t) são soluções da equação</p><p>(68), então pela linearidade, c1x(t) + c2y(t) também será solução.</p><p>Será que existe um conjunto mı́nimo de soluções? Sim, existe!</p><p>Teorema 14.16. O conjunto das soluções de (68) é um espaço vetorial de dimensão n.</p><p>Como encontrar uma base deste espaço vetorial? Usando o teorema abaixo:</p><p>Teorema 14.17. Se x1(t), . . . , xn(t) são soluções de (68) no intervalo (α, β) então o Wronskiano</p><p>W(x1(t), . . . , xn(t))</p><p>ou é a função nula ou nunca vale zero. Se nunca valer zero, as funções são l.i.</p><p>Outra forma de encontrar uma base para o espaço-solução de (68) é a seguinte. Sejam e1 =</p><p>(1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . e en = (0, . . . , 0, 1).</p><p>174</p><p>14.5. sistemas não-homogêneos sem coeficientes constantes</p><p>Teorema 14.18. Sejam x1(t), . . . , xn(t) soluções de (68) com condições iniciais xj(0) = ej , no</p><p>intervalo (α, β). Então</p><p>{x1(t), . . . , xn(t)}</p><p>é uma base para o conjunto-solução de (68), chamada de conjunto fundamental de solucões.</p><p>A prova do teorema acima é fácil: o Wronskiano destas soluções sempre vale 1 em t = 0.</p><p>Considere novamente a equação</p><p>ẋ = A(t)x</p><p>e seja {x1(t), . . . , xn(t)} um conjunto fundamental de soluções.</p><p>A matriz</p><p>Ψ (t) =</p><p></p><p>x1</p><p>1(t) x1</p><p>2(t) · · · x1</p><p>n(t)</p><p>x2</p><p>1(t) x2</p><p>2(t) · · · x2</p><p>n(t)</p><p>...</p><p>...</p><p>. . .</p><p>...</p><p>xn1(t) xn2(t) · · · xnn(t)</p><p></p><p>é chamada de matriz fundamental do sistema, onde</p><p>xj(t) = (x1</p><p>1(t), . . . , xn1(t)).</p><p>Como {x1(t), . . . , xn(t)} um conjunto fundamental de soluções, as colunas de Ψ (t) são l.i., logo</p><p>Ψ (t) é uma matriz invertı́vel, para todo valor de t ∈ (α, β). A solução geral da equação (68) é dada</p><p>por</p><p>x(t) = c1x1(t) + . . . + cnxn(t),</p><p>ou em termos da matriz fundamental,</p><p>x(t) = Ψ (t)c,</p><p>onde c = (c1, . . . , cn). Se o sistema (68) estiver acompanhado de uma condição inicial x(t0) = x0 =</p><p>(x0</p><p>1, . . . , x</p><p>0</p><p>n) então a solução do sistema poderá ser obtida fazendo</p><p>x(t) = Ψ (t)Ψ −1(t0)x0,</p><p>onde Ψ (t) é a matriz fundamental. Quando a matriz fundamental for construı́da usando as</p><p>soluções como no Teorema 14.18 (xj(0) = ej), ela será denotada por Φ(t). Neste caso, a solução do</p><p>sistema (68) com condição inicial x(0) = x0 é</p><p>x(t) = Φ(t)x0.</p><p>A matriz fundamental não se parece muito com a exponencial da matriz dos coeficientes? Sim!</p><p>Porém, a técnica vale mesmo quando os coeficientes não são constantes, enquanto a exponencial</p><p>175</p><p>14. sistemas de equações diferenciais</p><p>matricial só vale quando temos coeficientes constantes.</p><p>No caso em que os coeficientes não forem constantes, como eu vou achar a matriz fundamental?</p><p>Sei lá. Quer dizer, já tı́nhamos este problema antes. Use algum método: coeficientes a determinar,</p><p>variação de parâmetros, etc. Use qualquer método que produza as soluções x1(t), . . . , xn(t).</p><p>Considere a equação</p><p>ẋ = A(t)x + b(t)</p><p>e suponha que você tenha uma matriz fundamental Ψ (t) para o problema homogêneo associado.</p><p>A solução da equação não-homogênea vai ser obtida conseguindo uma solução particular para</p><p>ela, usando o método de variação dos parâmetros.</p><p>Assuma que existe uma solução na forma</p><p>x(t) = Ψ (t)u(t).</p><p>Derivando em t, obtemos</p><p>Ψ ′(t)u(t) + Ψ (t)u′(t) = P(t)Ψ (t)u(t) + b(t)</p><p>Como Ψ (t) é a matriz fundamental, temos que Ψ ′(t) = A(t)Ψ (t). Logo a equação anterior se</p><p>reduz a</p><p>Ψ (t)u′(t) = b(t).</p><p>Como Ψ (t) é invertı́vel, segue que</p><p>u′(t) = Ψ −1(t)b(t).</p><p>Esta equação pode ser facilmente resolvida:</p><p>u(t) =</p><p>∫</p><p>Ψ −1(t)b(t) dt + c,</p><p>onde c é um vetor constante. Resolvendo agora para x(t) temos</p><p>x(t) = Ψ (t)c + Ψ (t)</p><p>t∫</p><p>t1</p><p>Ψ −1(s)b(s) ds,</p><p>com t1 ∈ (α, β). Se nossa condição inicial for x(t0) = x0 e a matriz fundamental escolhida for a Φ(t)</p><p>então a solução será</p><p>x(t) = Φ(t)x0 + Φ(t)</p><p>t∫</p><p>t0</p><p>Φ−1(s)b(s) ds.</p><p>176</p><p>14.6. resumo sobre soluções de sistemas de equações diferenciais de primeira ordem</p><p>lineares</p><p>14.6 Resumo sobre soluções de sistemas de equações diferenciais de primeira</p><p>ordem lineares</p><p>Considere o sistema ẋ = A(t)x + b(t).</p><p>1. Se A(t) ≡ A e b(t) ≡ 0, então a solução é dada por</p><p>x(t) = exp(At)x0,</p><p>onde x0 é o vetor com as condições iniciais.</p><p>• Para calcular exp(At) pode ser necessário escrever A = MBM−1 (forma de Jordan), onde</p><p>B é a matriz com os autovalores e M é a matriz mudança de base.</p><p>• Atenção ao caso complexo e também ao caso de autovalores repetidos.</p><p>2. Se A(t) ≡ A e b(t) , 0 então</p><p>x(t) = eAtg(t) + eAtc,</p><p>onde</p><p>g(t) + c =</p><p>∫</p><p>e−Atb(t) dt,</p><p>• Note que c não necessariamente é o vetor das condições iniciais, mas pode ser descoberto</p><p>a partir dele.</p><p>• Podemos calcular exp(At) da mesma forma que</p><p>antes, passando pela forma de Jordan.</p><p>3. No caso geral A = A(t) e b = b(t), a solução é dada por</p><p>x(t) = Φ(t)x0 + Φ(t)</p><p>t∫</p><p>t0</p><p>Φ−1(s)b(s) ds,</p><p>onde x(t0) = x0 é o vetor com condições iniciais.</p><p>• A matriz fundamental Φ(t) é construı́da colocando em suas colunas as soluções dos</p><p>PVIs com condições iniciais xj(0) = ej .</p><p>• Atenção: se A = A(t), não podemos calcular exp(At)! Por isto recorremos à matriz</p><p>fundamental.</p><p>• Como achar as soluções xj(t)? Usando coeficientes a determinar, ou variação dos</p><p>parâmetros, ou qualquer outro método, incluindo sonhar com as soluções.</p><p>• O método geral é bastante complicado, e é difı́cil achar soluções explı́citas escritas em</p><p>termos de funções elementares.</p><p>177</p><p>14. sistemas de equações diferenciais</p><p>Exercı́cio 14.19. Resolva o PVI  ẋ = −2y,</p><p>ẏ = x + aet,</p><p>com condições iniciais x(0) = y(0) = 1, e onde a ∈ R é uma constante.</p><p>• Mostre que a solução depende continuamente de a.</p><p>• Esboce a solução deste PVI com a = 0 e com a = 1 e veja como as soluções são diferentes.</p><p>• Tente fazer com valores menores de a e veja que as trajetórias nunca são curvas fechadas se</p><p>a , 0.</p><p>▲</p><p>Exercı́cio 14.20 (agora em 3D). Resolva o PVI</p><p>ẋ = −2y,</p><p>ẏ = x,</p><p>ż = z + x,</p><p>com condições iniciais x(0) = y(0) = z(0) = 1. Você consegue fazer um esboço desta trajetória? ▲</p><p>178</p><p>15 Introdução à teoria qualitativa dos sistemas dinâmicos</p><p>Este capı́tulo contém um “sabor” da a teoria qualitativa das equações diferenciais/sistemas</p><p>dinâmicos.</p><p>15.1 Retratos de fase</p><p>Considere os dois sistemas</p><p>S1 :</p><p>ẋ = −3x + y,</p><p>ẏ = x + y.</p><p>e</p><p>S2 :</p><p>ẋ = −2x + y,</p><p>ẏ = x + y.</p><p>Seus retratos de fase estão a seguir:</p><p>S1 :</p><p>ẋ = −3x + y,</p><p>ẏ = x + y.</p><p>S2 :</p><p>ẋ = −2x + y,</p><p>ẏ = x + y.</p><p>-2 -1 0 1 2</p><p>-2</p><p>-1</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>-2 -1 0 1 2</p><p>-2</p><p>-1</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>Retrato de fase de S1, à esquerda, e de S2, à direita.</p><p>Consegue perceber alguma diferença “importante” entre eles? Não, você não consegue. Ninguém</p><p>consegue. São esboços, então você poderia usar qualquer um deles para representar qualquer um</p><p>dos dois sistemas.</p><p>Seja A1 a matriz do sistema S1 e A2 a matriz do sistema S2. Temos o seguinte:</p><p>A1 =</p><p>−3 1</p><p>1 1</p><p>, autovalores −1 ±</p><p>√</p><p>5</p><p>A2 =</p><p>−2 1</p><p>1 1</p><p>, autovalores −1/2 ±</p><p>√</p><p>13/2</p><p>Nos dois casos: um dos autovalores é positivo e o outro é negativo. É isto que caracteriza este</p><p>comportamento, que chamamos de “sela”.</p><p>179</p><p>15. introdução à teoria qualitativa dos sistemas dinâmicos</p><p>O “esboço” do retrato de fase é o que chamamos de comportamento qualitativo, ou seja,</p><p>ignorando os números e “ângulos” envolvidos, o retrato de fase é este.</p><p>É o que acontece por exemplo com qualquer sistema linear 2 × 2 cuja matriz dos coeficientes</p><p>tenha um autovalor positivo e outro negativo: serão sempre como a figura abaixo, a menos de</p><p>rotações, escalas e mudanças de direção das setinhas.</p><p>-2 -1 0 1 2</p><p>-2</p><p>-1</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>Seja então A uma matriz 2 × 2. Já que o retrato de fase é caracterizado pelos autovalores e</p><p>autovetores de A, vamos fazer uma classificação completa baseada nisto.</p><p>Vimos que o polinômio caracterı́stico de A é da forma</p><p>pA(λ) = λ2 − tr(A)λ + det(A).</p><p>Portanto, os autovalores são</p><p>λ =</p><p>tr(A) ±</p><p>√</p><p>tr(A)2 − 4 det(A)</p><p>2</p><p>.</p><p>Assim, os autovalores dependem do traço e do determinante de A. Vamos denotar T = tr(A) e</p><p>D = det(A).</p><p>λ =</p><p>T ±</p><p>√</p><p>T2 − 4D</p><p>2</p><p>.</p><p>• se D < 0, os autovalores serão reais e de sinal trocado, portanto o retrato de fase será do tipo</p><p>sela.</p><p>• Se 0 < D < T2/4 então os autovalores serão reais, distintos e de mesmo sinal. O retrato de</p><p>fase será do tipo atrator se T < 0 e do tipo repulsor se T > 0.</p><p>• Se 0 < T2/4 < D, os autovalores são complexos (não-imaginários puros, nem reais). O retrato</p><p>de fase é do tipo foco (atrator se T < 0 e respulsor se T > 0).</p><p>Vamos agora representar todos os tipos possı́veis de comportamentos dinâmicos de um sistema</p><p>linear bidimensional. Usaremos o diagrama traço-determinante, chamado também de diagrama</p><p>de Poincaré.</p><p>180</p><p>15.2. estabilidade estrutural</p><p>Lembre-se que os autovalores são dados por</p><p>λ =</p><p>T ±</p><p>√</p><p>T2 − 4D</p><p>2</p><p>.</p><p>A parábola T2 − 4D = 0 (ou D = T2/4) será importante para distinguir as regiões.</p><p>15.2 Estabilidade estrutural</p><p>Considere as regiões coloridas no diagrama abaixo. Um ponto neste diagrama é um sistema de</p><p>equações diferenciais. Por exemplo, em qualquer sistema ẋ = Ax que estiver na região rosa, teremos</p><p>que os autovalores de A serão reais e com sinais trocados. Logo, o sistema terá uma sela na origem.</p><p>NA: nó atrator, FA: foco atrator, FR: foco repulsor, NR: nó repulsor, S: sela</p><p>Suponha que ẋ = Ax esteja na região rosa (ou em qualquer outra região colorida, exceto nos</p><p>eixos e na curva D = T2/4).</p><p>181</p><p>15. introdução à teoria qualitativa dos sistemas dinâmicos</p><p>Então, modificando um pouco a matriz A e obtendo uma matriz Ã, os autovalores de Ã</p><p>seus autovalores continuarão sendo reais e de sinais opostos. Portanto, o retrato de fase do</p><p>sistema ẋ = Ãx ainda estará na região rosa. Isto significa que os sistemas nas partes coloridas são</p><p>estruturalmente estáveis (a definição precisa é muito mais complicada).</p><p>Observação 15.1. Enunciamos um teorema nos parágrafos anteriores: que os autovalores depen-</p><p>dem continuamente da matriz (“variando um pouco a matriz A...”). Isto é verdade, mas não é uma</p><p>prova muito fácil.</p><p>O que acontece com os sistemas que estão sobre as curvas, por exemplo com sistemas que estão</p><p>na região T = 0, D > 0?</p><p>Estes sistemas tem todas as soluções periódicas, já vimos isto. “Qualquer” perturbação na</p><p>matriz A “criará uma parte real nos autovalores” e fará com que o sistema“caia” em FA ou FR. Ou</p><p>seja: tais sistemas não são estruturalmente estáveis.</p><p>Isto só vale quando perturbamos a matriz A para obter outro sistema linear. O que acontece</p><p>quando fazemos o sistema deixar de ser linear?</p><p>Seja A uma matriz fixada e suponha que o retrato de fase de ẋ = Ax esteja numa das regiões</p><p>coloridas do diagrama anterior. Considere agora o sistema</p><p>ẋ = Ax + f (x),</p><p>onde f (x) é uma função C1 não-linear com f (0) = 0 (só para que a origem continue sendo uma</p><p>singularidade).</p><p>Encontrar uma solução explı́cita para este sistema pode ser muito difı́cil (ou mesmo imposı́vel,</p><p>apesar da solução existir).</p><p>No entanto, se olharmos perto da origem, o comportamento do sistema será exatamente o</p><p>mesmo da parte linear. Este resultado bastante surpreendente é conhecido como Teorema de</p><p>Hartman-Grobman.</p><p>Exemplo 15.2. Qual o retrato de fase do sistema abaixo?ẋ = −2x + 3y.</p><p>ẏ = x + y.</p><p>Os autovalores da matriz associada são reais de sinais opostos (confira!), então teremos uma</p><p>sela. Sabemos exatamente como será o retrato de fase pois sabemos encontrar as soluções deste</p><p>sistema usando exponencial matricial. Ele é dado no próximo slide.</p><p>182</p><p>15.2. estabilidade estrutural</p><p>-2 -1 0 1 2</p><p>-2</p><p>-1</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>♣</p><p>Vamos agora a um próximo exemplo, agora não-linear.</p><p>Exemplo 15.3. Qual o retrato de fase do sistema abaixo?ẋ = −2x + 3y + 5x2</p><p>ẏ = x + y.</p><p>Aqui temos um problema sério para calcular o retrato de fase, já que não sabemos soluções</p><p>explı́citas deste sistema.</p><p>Perto da origem, no entanto, o comportamento é exatamente igual ao de antes! É o que garante</p><p>o Teorema de Hartman-Grobman. Nos próximos slides, temos o comportamento deste sistema</p><p>perto da origem e depois numa visão mais global.</p><p>-0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2</p><p>-0.2</p><p>-0.1</p><p>0.0</p><p>0.1</p><p>0.2</p><p>Não-linear.</p><p>183</p><p>15. introdução à teoria qualitativa dos sistemas dinâmicos</p><p>-2 -1 0 1 2</p><p>-2</p><p>-1</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>, -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2</p><p>-0.2</p><p>-0.1</p><p>0.0</p><p>0.1</p><p>0.2</p><p>Linear Vs Não-linear</p><p>-4 -2 0 2 4</p><p>-4</p><p>-2</p><p>0</p><p>2</p><p>4</p><p>Não-linear global</p><p>♣</p><p>O que garante esta “proximidade” entre os sistemas lineares e não-lineares são as condições</p><p>dadas no próximo resultado:</p><p>Teorema 15.4 (Hartman-Grobman adaptado). Se f (x) é uma função de classe C1 com f (0) = 0,</p><p>então o comportamento do sistema ẋ</p><p>= Ax + f (x) é parecido com o do sistema linear associado</p><p>ẋ = Ax numa pequena vizinhança da origem, desde que todo os autovalores da matriz A</p><p>tenham parte real diferente de zero.</p><p>Uma matriz nas condições do teorema anterior é chamada de matriz hiperbólica. O “parecido”</p><p>no teorema anterior é em nı́vel de homeomorfismo.</p><p>O que acontece se a matriz não for hiperbólica?</p><p>Exemplo 15.5 (Van der Pol, 1926). Considere o sistemaẋ = y,</p><p>ẏ = −x + εy(1 − x2).</p><p>184</p><p>15.2. estabilidade estrutural</p><p>Como é o retrato de fase do sistema, conforme seja o valor de ε? ♣</p><p>Note que se ε = 0 então todas as trajetórias são fechadas: já vimos isto, os autovalores do sistema</p><p>associado serão ±i.</p><p>Variando um pouco este sistema, fazendo ε > 0, a parte linear será alterada e teremos autovalo-</p><p>res com partes reais diferentes de zero e a origem será um foco atrator (ou seja, o comportamento</p><p>será diferente, já que neste caso não existe estabilidade estrutural).</p><p>-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0</p><p>-1.0</p><p>-0.5</p><p>0.0</p><p>0.5</p><p>1.0</p><p>-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0</p><p>-1.0</p><p>-0.5</p><p>0.0</p><p>0.5</p><p>1.0</p><p>-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0</p><p>-1.0</p><p>-0.5</p><p>0.0</p><p>0.5</p><p>1.0</p><p>ε < 0, ε = 0, ε > 0</p><p>Será que existe alguma trajetória fechada neste retrato de fase? Isso é assunto pra outra hora..</p><p>185</p><p>referências</p><p>Referências</p><p>Qualquer um dos três livros abaixo pode ser usado como referência principal desta disciplina.</p><p>Apesar das abordagens distintas, o conteúdo está explicado de forma muito boa e eles são ótimas</p><p>fontes de exercı́cios. O [3] é um clássico do Strang - ele é o autor das vı́deo-aulas do MIT, que são</p><p>muito boas!</p><p>[1] William F. Trench, Elementary Differential Equations (2013). Faculty Authored and Edited</p><p>Books & CDs. 8. https://digitalcommons.trinity.edu/mono/8/</p><p>[2] Dennis G. Zill, A First Course in Differential Equations with Modeling Applications, Cengage</p><p>Learning, 11a edição, 2018. (aqui tem algumas aplicações bem legais)</p><p>[3] Gilbert Strang, Differential equations and linear algebra, Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge</p><p>Press, 2014. Biblioteca: 515.35 St81d</p><p>[4] William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Elementary differential equations and boundary value</p><p>problems, Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, c2005. Biblioteca: 515.35 B692e.</p><p>As próximas referências cobrem alguns pré-requisitos deste curso.</p><p>[5] J. Stewart, Calculus – Early Transcendentals, 6a edição, Thomson Learning, Inc, 2008. (na</p><p>versão em português do livro do Stewart, veja especialmente o vol. 2)</p><p>[6] H. L. Guidorizzi, Um curso de Cálculo, vols. 1–4, Editora LTC.</p><p>As referências abaixo são boas para matemáticos. Tem notas históricas e são um pouco mais</p><p>formais que a referência [4].</p><p>[7] Djairo Guedes de Figueiredo, Equações diferenciais aplicadas, 12o Coloquio Brasileiro de</p><p>Matematica, Rio de Janeiro, RJ : IMPA, 1979. (515.35 F469e)</p><p>[8] Djairo Guedes Figueiredo & Aloisio Freiria Neves, Equações diferenciais aplicadas, Rio de</p><p>Janeiro, RJ: IMPA, 2008. (515.35 F469e)</p><p>[9] George F. Simmons, Differential equations with applications and historical notes, Boca Raton,</p><p>FL: CRC/Taylor & Francis, c2017. (515.35 Si47d) (gosta de notas históricas? este é seu livro! -</p><p>aliás, qualquer livro do Simmons é muito bom)</p><p>[10] José R. dos Santos Filho, “A função delta de Dirac”, Notas de Minicurso, 2o Colóquio de</p><p>Matemática do Sudeste, 2013.</p><p>As próximas duas referências serão usadas para a parte de sequências e séries. O livro de Espaços</p><p>Métricos do Elon, bem como o excelente livro [14] do prof. Chaim (conhece a piada?), são essen-</p><p>ciais para quem quer entender os detalhes do Teorema de Existência e Unicidade de equações</p><p>diferenciais.</p><p>186</p><p>https://digitalcommons.trinity.edu/mono/8/</p><p>[11] Elon Lages Lima, Curso de Análise, vol. 1, SBM/IMPA. (para a parte de sequências e séries)</p><p>[12] Elon Lages Lima, Espaços Métricos, 6a edição, Projeto Euclides, IMPA, 2020.</p><p>[13] Djairo Guedes de Figueiredo, Análise I, LTC. (para a parte de sequências e séries)</p><p>[14] Chaim S. Hönig, Aplicações da Topologia à Análise, 3o CBM, 1961.</p><p>Os próximos livros tratam de aplicações e também de exercı́cios resolvidos.</p><p>[15] M. Fogiel, David R. Arterburn & outros, The differential equations problem solver: a complete</p><p>solution guide to any textbook, Piscataway, NJ: REA, c1998. (código da biblioteca 515.35</p><p>D568) (todos os exercı́cios do mundo resolvidos - só temos um na biblioteca!)</p><p>[16] Coleção Schaum de Equações Diferenciais (código da biblioteca 515.35 B789d ou 515.35076</p><p>Ay74e) (o REA é melhor, mas aqui também tem muitos exercı́cios resolvidos)</p><p>[17] D. Zill, Advanced Engineering Mathematics, 2012.</p><p>[18] T. P. Dreyer, Modelling with ordinary differential equations, Routledge, 2017.</p><p>[19] M. Braun, Equações Diferenciais e suas aplicações, Editora Campus, 1979.</p><p>Para quem quer continuar estudando equações diferenciais e iniciar o estudo dos sitemas</p><p>dinâmicos, as próximas referências são muito boas.</p><p>[20] L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Springer-Verlag, 2000.</p><p>[21] Morris W. Hirsch and Stephen Smale, Differential equations, dynamical systems and linear</p><p>algebra, New York, NY: Academic Press, c1974 (515.35 H615d) (para quem quer estudar um</p><p>pouco mais de sistemas dinâmicos)</p><p>[22] Morris W. Hirsch, Stephen Smale & Robert L. Devaney, Differential equations, dynamical</p><p>systems, and an introduction to chaos, Amsterdam, Elsevier Academic Press, c2004. (515.35</p><p>H615d) (é uma reedição da ref anterior, agora com figuras melhores)</p><p>Algumas referências online com exercı́cios resolvidos e também alguma teoria.</p><p>[23] Math22 at Harvard: https://people.math.harvard.edu/ knill/teaching/math22b2019/ (visi-</p><p>tem!)</p><p>[24] Paul’s Online Notes: http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/DE.aspx (ótimas notas, com</p><p>ótimos exemplos)</p><p>[25] Math24 - Differential Equations: https://math24.net/topics-differential-equations.html (ma-</p><p>terial excelente! veja os exemplos resolvidos de lá.)</p><p>Artigos e livros variados.</p><p>187</p><p>referências</p><p>[26] Matt Hudelson, Proof Without Words: The Alternating Harmonic Series Sums to ln 2, Math. Mag.</p><p>83 (2010) 294.</p><p>[27] Michael A. B. Deakin, The Development of the Laplace Transform, 1737-1937: I. Euler to Spitzer,</p><p>1737-1880. Archive for History of Exact Sciences, vol. 25, no. 4, 1981, pp. 343–90. JSTOR,</p><p>http://www.jstor.org/stable/41133637</p><p>[28] Michael A. B. Deakin, The development of the Laplace Transform, 1737–1937 II. Poincaré to</p><p>Doetsch, 1880–1937. Arch. Hist. Exact Sci. 26, 351–381 (1982). https://doi.org/10.1007/</p><p>BF00418754</p><p>[29] Aloisio Neves, Forma de Jordan e Equações Diferenciais Lineares, Notas de aula, disponı́veis em</p><p>http://www.ime.unicamp.br/˜aloisio/documentos/jordan.pdf.</p><p>188</p><p>http://www.jstor.org/stable/41133637</p><p>https://doi.org/10.1007/BF00418754</p><p>https://doi.org/10.1007/BF00418754</p><p>http://www.ime.unicamp.br/~aloisio/documentos/jordan.pdf</p><p>Tabela de Transformadas de Laplace</p><p>f(t) F (s)</p><p>1</p><p>1</p><p>s</p><p>eat</p><p>1</p><p>s− a</p><p>tn</p><p>n!</p><p>sn+1</p><p>ta</p><p>Γ(a+ 1)</p><p>sa+1</p><p>sen at</p><p>a</p><p>s2 + a2</p><p>cos at</p><p>s</p><p>s2 + a2</p><p>senh at</p><p>a</p><p>s2 − a2</p><p>cosh at</p><p>s</p><p>s2 − a2</p><p>eatsen bt</p><p>b</p><p>(s− a)2 + b2</p><p>eat cos bt</p><p>(s− a)</p><p>(s− a)2 + b2</p><p>tneat</p><p>n!</p><p>(s− a)n+1</p><p>f(t) F (s)</p><p>uc(t) = u(t− c)</p><p>e−cs</p><p>s</p><p>uc(t)f(t− c) e−csF (s)</p><p>ectf(t) F (s− c)</p><p>f(ct)</p><p>1</p><p>c</p><p>F</p><p>(s</p><p>c</p><p>)</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>f(t− τ)g(τ)dτ F (s)G(s)</p><p>δc(t) = δ(t− c) e−cs</p><p>f (n)(t) snF (s)− sn−1f(0)− . . .− f (n−1)(0)</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>f(τ)dτ</p><p>F (s)</p><p>s</p><p>f(t)</p><p>t</p><p>∫ ∞</p><p>s</p><p>F (σ)dσ</p><p>(−t)nf(t) F (n)(s)</p><p>f(t), peŕıodo p</p><p>1</p><p>1− e−ps</p><p>∫ p</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt</p><p>1</p><p>referências</p><p>Lista de conteúdos que precisam ser melhorados/adicionados.</p><p>• Melhorar as figuras.</p><p>• Adicionar soluções computacionais (Python e Mathematica).</p><p>• Adicionar exercı́cios e exemplos (principalmente exemplos mais simples e com solução</p><p>completa).</p><p>• Adicionar algo sobre discretização de equações e soluções numéricas, ainda que bem simples</p><p>(talvez no capı́tulo sobre soluções em série, comparando os desempenhos?)</p><p>Sequencias e séries numéricas</p><p>• falar sobre produto de séries numéricas - produto de Cauchy</p><p>• melhorar a parte de criação de corpos numéricos</p><p>- inserir axiomas de Peano, ou outro sistema</p><p>axiomático.</p><p>Soluções em séries para equações diferenciais</p><p>• falar sobre produto de séries de potencias</p><p>Soluções em séries para EDOs: pontos regulares</p><p>• adicionar mais comentários sobre o caso singular e singular-regular</p><p>Equações do calor, da onda e de Laplace</p><p>• ilustrações!</p><p>• fazer eq do calor e da onda com outros tipos de condições de contorno.</p><p>Sistemas de equações diferenciais</p><p>• melhorar a parte de álgebra linear</p><p>• comentar sobre pegar a matriz M com det(M) > 0</p><p>• discussão sobre pegar autovetores unitários ou quaisquer</p><p>Introdução à teoria qualitativa dos sistemas dinâmicos</p><p>• passar tudo sobre retrato de fase para este capı́tulo</p><p>• explicitar que no caso da sela, a direção dos autovetores é invariante</p><p>• explicar melhor como o foco é uma “espiral” com base na norma</p><p>• inserir alguns códigos computacionais</p><p>Séries de Fourier e problemas de valor de contorno</p><p>• detalhar mais a parte de séries de Fourier</p><p>190</p><p>Mais um texto de equações diferenciais</p><p>Exemplos iniciais de equações diferenciais</p><p>Nós já sabemos resolver equações diferenciais!</p><p>Sistemas de equações diferenciais</p><p>Um exemplo um pouco mais elaborado</p><p>Classificação e existência de soluções para equações diferenciais</p><p>Definições iniciais</p><p>Classificação de equações diferenciais</p><p>Existência e unicidade de soluções</p><p>A geometria da solução</p><p>Campo de direções e isóclinas</p><p>Campo de direções para sistemas de equações diferenciais autônomas</p><p>Transformando equações diferenciais de ordem alta em sistemas de equações</p><p>Equações diferenciais lineares de primeira ordem</p><p>Equações com coeficientes constantes</p><p>EDOs lineares de primeira ordem com coeficientes variáveis</p><p>Equações de Bernoulli</p><p>Equações separáveis: modo ingênuo</p><p>Formas diferenciais</p><p>Campos vetoriais e formas diferenciais</p><p>Formas lineares</p><p>Formas diferenciais em R2</p><p>Equações envolvendo formas diferenciais</p><p>Equações separáveis e equações exatas</p><p>Equações separáveis</p><p>Equações exatas</p><p>Transformando equações não-exatas em equações exatas</p><p>Redução de ordem</p><p>Equações diferenciais lineares de segunda ordem</p><p>Existência de soluções</p><p>Equações homogêneas de segunda ordem</p><p>O Wronskiano</p><p>O espaço-solução das equações diferenciais de segunda ordem</p><p>Equações homogêneas: método das equações características</p><p>Equações não-homogêneas: método dos coeficientes a determinar</p><p>Equações não-homogêneas: método da variação dos parâmetros</p><p>Equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes não-constantes</p><p>Em termos de operadores diferenciais</p><p>Equações de ordens superiores</p><p>Transformada de Laplace</p><p>Motivação e definição da transformada de Laplace</p><p>Integrais impróprias</p><p>Existência da Transformada de Laplace</p><p>Transformadas de Laplace e PVIs</p><p>Método geral</p><p>Função degrau</p><p>Transformadas inversas e funções degrau</p><p>Função impulso e Delta de Dirac</p><p>Transformadas de Laplace de produtos</p><p>Sequências e séries numéricas</p><p>Relações de equivalência</p><p>O conjunto dos números reais</p><p>Sequências</p><p>Séries</p><p>Critérios de convergência de séries</p><p>Soluções em séries para equações diferenciais</p><p>Polinômios de Taylor</p><p>Séries de Potências</p><p>Soluções em séries para EDOs: pontos regulares</p><p>Soluções em séries para EDOs: pontos singulares</p><p>Soluções em séries para EDOs: caso singular-regular</p><p>Séries de Fourier e problemas de valor de contorno</p><p>Problemas de valor de contorno</p><p>Séries de Fourier</p><p>Funções pares e funções ímpares</p><p>Equações do calor, da onda e de Laplace</p><p>Equação do calor</p><p>Como resolver a equação do calor?</p><p>A equação da onda</p><p>A equação de Laplace</p><p>Sistemas lineares e exponencial matricial</p><p>Exponencial de.. matrizes?</p><p>Espaços métricos</p><p>Espaços normados</p><p>Exponencial matricial</p><p>Sistemas de equações diferenciais</p><p>Equações homogêneas</p><p>Equações não-homogêneas</p><p>Retrato de fase</p><p>Calculando explicitamente as exponenciais matriciais</p><p>Sistemas não-homogêneos sem coeficientes constantes</p><p>Resumo sobre soluções de sistemas de equações diferenciais de primeira ordem lineares</p><p>Introdução à teoria qualitativa dos sistemas dinâmicos</p><p>Retratos de fase</p><p>Estabilidade estrutural</p><p>Referências</p><p>já que o campo (v,−u + 2v) é tangente à curva α e o</p><p>campo vetorial n, sendo normal a α, será normal também a (v,−u + 2v).</p><p>Por outro lado, pelo Teorema de Green,∮</p><p>α</p><p>v dv − (2v − u)du =</p><p>�</p><p>R</p><p>2 du dv.</p><p>Temos então �</p><p>R</p><p>2 du dv = 0,</p><p>o que é um absurdo, pois essa integral não pode dar zero (calcula uma área). De onde vem o</p><p>absurdo? De termos suposto que existe a curva α, solução periódica.</p><p>14</p><p>1.3. um exemplo um pouco mais elaborado</p><p>Neste primeiro capı́tulo apresentamos algumas técnicas que iremos usar durante o curso. Elas</p><p>precisam de alguma formalização, mas com calma chegaremos lá.</p><p>15</p><p>2. classificação e existência de soluções para equações diferenciais</p><p>2 Classificação e existência de soluções para equações diferenciais</p><p>Neste capı́tulo aprenderemos a classificar as equações diferenciais, em termos da maior ordem de</p><p>derivação presente, além da presença de linearidades.</p><p>Veremos com alguns detalhes, mas sem demonstrações, os teoremas que garantem a existência</p><p>de soluções para equações diferenciais. Veremos que os teoremas são bastante gerais, com hipóteses</p><p>simples.</p><p>2.1 Definições iniciais</p><p>Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma ou mais derivadas de uma função. É</p><p>importante ter em mente que a solução da equação diferencial é uma função, e não mais um valor</p><p>para a variável independente x.</p><p>Por exemplo,</p><p>y′(x) + y(x) = 0</p><p>é uma equação diferencial. Para resolvê-la, precisamos encontrar uma função y(x) que satisfaça</p><p>y′(x) + y(x) = 0.</p><p>Se você pensar um pouco sobre soluções para essa equação, encontrará várias. Isso se deve ao</p><p>fato da solução depender de uma constante de integração. Se procuramos uma solução especı́fica,</p><p>devemos informar alguma outra propriedade da função, por exemplo exigindo que y(0) = 1.</p><p>Assim, teremos o que chamamos de problema de valor inicial (PVI): por exemplo,</p><p>y′ + y = 0, y(0) = 1.</p><p>Como acima, em geral omitiremos o argumento da função, escrevendo simplesmente y ao invés</p><p>de y(x).</p><p>2.2 Classificação de equações diferenciais</p><p>Divide et impera. – Julius Caesar</p><p>Vamos separar nossas equações em algumas caixinhas para analisá-las melhor.</p><p>Uma equação diferencial é chamada de:</p><p>• ordinária, se a equação só envolve derivadas com respeito a uma variável:</p><p>– y′′(x) + 3y(x)2 = cos(x),</p><p>– zx(x, y) + zx(x, y)3 = 1.</p><p>• parcial, se a equação envolve derivadas com respeito a mais que uma variável:</p><p>– α2uxx(x, t) = ut(x, t),</p><p>16</p><p>2.2. classificação de equações diferenciais</p><p>– α2uxx(x, t) = utt(x, t).</p><p>Iremos utilizar bastante a notação de “operador” para representar uma equação diferencial.</p><p>Um operador é uma função que pega funções e variáveis num conjunto que é o produto cartesiano</p><p>de espaços de funções com R e os leva numa combinação desses elementos.</p><p>Por exemplo, a equação</p><p>y′′(t) − 3y′(t) + 2y(t) + cos(t) = 0</p><p>está associada à equação</p><p>L(t, y, y′, y′′) = 0,</p><p>onde L(t, y, y′, y′′) = y′′ − 3y′ + 2y + cos(t).</p><p>Considere então a equação diferencial</p><p>L</p><p>(</p><p>t, y, y′, . . . , y(n)</p><p>)</p><p>= 0,</p><p>definida pelo operador L. Essa equação é dita:</p><p>• linear, se o operador L é linear nas variáveis y, y′, . . . , y(n) (pode ser não-linear em x):</p><p>– y′′(t) + 3ety(t) = cos(t),</p><p>– 7y′′(t) + 3y′(t) − y(t) = t.</p><p>• não linear, se o operador L é não linear:</p><p>– (y′(t))2 + y(t) = t</p><p>– y(t)y′(t) + cos(t) = 1</p><p>A ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivação que aparece na equação</p><p>diferencial.</p><p>• (y′(t))4 + y′′′(t) = 2 é uma equação de ordem 3</p><p>• y(t)y′(t) + cos(t) = y′′(t) é uma equação de ordem 2</p><p>No restante desse texto, vamos supor que o termo com maior ordem de derivação sempre pode</p><p>ser “isolado”, ou seja, que as equações são da forma</p><p>y(n) = f</p><p>(</p><p>t, y, y′, . . . , y(n−1)</p><p>)</p><p>para algum operador f , de modo que apareça de fato algum termo dependendo de y ou de suas</p><p>derivadas no lado direito da equação. Isto não nos impedirá de resolver equações como</p><p>cos</p><p>(</p><p>y′(t)</p><p>)</p><p>= t</p><p>de vez em quando, mas elas podem ser bem complicadas.</p><p>17</p><p>2. classificação e existência de soluções para equações diferenciais</p><p>Observação 2.1. Quando temos uma equação de ordem n, para construir um PVI devemos fornecer</p><p>n condições. Assim, se</p><p>y(n) = f</p><p>(</p><p>t, y, y′, . . . , y(n−1)</p><p>)</p><p>,</p><p>o PVI associado terá a forma</p><p>y(n) = f</p><p>(</p><p>t, y, y′, . . . , y(n−1)</p><p>)</p><p>, y(0) = y0, y</p><p>′(0) = y1, . . . , y</p><p>(n−1) = yn−1</p><p>para certas constantes y0, y1, . . . , yn−1.</p><p>Exercı́cio 2.2. Agora é hora de você produzir um exemplo de EDO de cada tipo que classificamos</p><p>acima. Esse exercı́cio parece bobo, mas não é. ▲</p><p>Exemplo 2.3. Uma famosa equação diferencial parcial não-linear de segunda ordem cuja solução</p><p>vale 1 milhão de dólares é a equação de Navier-Stokes4:</p><p>∂</p><p>∂t</p><p>ui +</p><p>n∑</p><p>j=1</p><p>uj</p><p>∂ui</p><p>∂xj</p><p>= ν∆ui −</p><p>∂p</p><p>∂xi</p><p>+ fi(x, t), x ∈ Rn, t ≥ 0,</p><p>div u =</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>∂ui</p><p>∂xi</p><p>= 0, x ∈ Rn, t ≥ 0,</p><p>u(x, 0) = u◦(x), x ∈ Rn,</p><p>onde ∆ é o Laplaciano. ♣</p><p>Exemplo 2.4. A função y(t) = kebt é solução da equação diferencial linear de primeira ordem</p><p>y′(t) = by(t). ♣</p><p>Exemplo 2.5. A função y(t) = a + kebt satisfaz y′(t) = kbebt = b(y(t) − a), logo é solução de</p><p>y′ = −ab + by. ♣</p><p>2.3 Existência e unicidade de soluções</p><p>Encontrar a solução y(x) do Problema de Valor Inicial y′(x) = f (x, y),</p><p>y(x0) = y0</p><p>(9)</p><p>4Dê um Google por “Clay Problems” para ver a lista dos outros problemas cujas soluções valem um milhão de</p><p>dólares.</p><p>18</p><p>2.3. existência e unicidade de soluções</p><p>significa encontrar uma função y(x) que satisfaça ao sistema (9), ou seja, de modo que</p><p>y′(x) = f (x, y(x))</p><p>e y(x0) = y0. A solução será da forma</p><p>y(x) = y0 +</p><p>x∫</p><p>x0</p><p>f (s, y(s)) ds,</p><p>para x num certo intervalo I contendo x0, mas nem sempre será fácil encontrar explicitamente tal</p><p>solução.</p><p>Seja C um conjunto de funções (que iremos definir melhor a frente) e considere a aplicação</p><p>L : C → C que associa a cada função y ∈ C uma função L(y) ∈ C dada por</p><p>L(y)(x) = y0 +</p><p>x∫</p><p>x0</p><p>f (s, y(s)) ds.</p><p>Uma função como L é chamada de operador diferencial.</p><p>Lembre-se que um ponto fixo de uma função g(x) é um valor x0 que satisfaz g(x0) = x0. Note</p><p>que</p><p>y(x) resolve o PVI</p><p> y′(x) = f (x, y),</p><p>y(x0) = y0.</p><p>⇔ a função y é ponto fixo de L,</p><p>pois</p><p>L(y) = y ⇔ y(x) = y0 +</p><p>x∫</p><p>x0</p><p>f (s, y(s)) ds,</p><p>que, como vimos, é a solução de (9).</p><p>Como garantir a existência de um ponto fixo para o operador L?</p><p>Teorema 2.6 (Teorema do Ponto Fixo de Banach). Seja (M, d) um espaço métrico completo e</p><p>seja f : M→ M uma contração, ou seja, existe uma constante 0 ≤ k < 1 tal que</p><p>d</p><p>(</p><p>f (x), f (y)</p><p>)</p><p>≤ k d(x, y), ∀ x, y ∈ M.</p><p>Então existe um único p ∈ M tal que f (p) = p.</p><p>Prova. De forma muito resumida: seja x0 ∈ M e construa a sequência xn = f (xn−1), n ≥ 1. Então</p><p>xn → p, onde p é um ponto fixo (o único)5.</p><p>■</p><p>5Isso não é tão simples como parece, e você precisa estudar bastante coisa para entender bem esse argumento.</p><p>19</p><p>2. classificação e existência de soluções para equações diferenciais</p><p>Observação 2.7. Se você leu o enunciado do teorema anterior e não sabe o que é um espaço</p><p>métrico completo, ele é uma generalização de um espaço vetorial normado completo (ou espaço</p><p>de Banach), que por sua vez é uma generalização de Rn, que pode ter dimensão infinita. Como</p><p>exemplo fundamental, pense que M é um conjunto de funções f : U ⊂ R → R limitada e que</p><p>definimos a distância entre duas funções f , g como sendo</p><p>d(f , g) = ||f − g ||∞ = sup{|f (x) − g(x)|, x ∈ U},</p><p>ou seja, a distância entre f e g é “mais ou menos” a maior distância entre os gráficos dessas</p><p>funções.</p><p>A partir do Teorema do Ponto Fixo, podemos provar o teorema abaixo, que nos assegura a</p><p>existência e unicidade de soluções para uma EDO:</p><p>Teorema 2.8 (Teorema de Picard, versão simples). Seja f (x, y), com f : U ⊂ R2 → R uma</p><p>função contı́nua definida num aberto U e suponha que a derivada parcial com relação a y seja</p><p>contı́nua. Então, para cada (x0, y0)</p><p>é dada por6</p><p>α(t) = (u(t), v(t)) =</p><p>(</p><p>a cos(t) + b sen(t),−a sen(t) + b cos(t)</p><p>)</p><p>.</p><p>Para mostrar que X(u, v) é um campo tangente a α(t), devemos calcular a derivada</p><p>α′(t) = (u′(t), v′(t))</p><p>e ver que esse vetor tangente é paralelo a X(u, v).</p><p>Note que X(u, v) é ortogonal à direção radial, R(u, v) = (u, v), portanto as curvas-solução de</p><p>(13) devem ser cı́rculos passando pela origem.</p><p>A próxima figura mostra algumas soluções, bem como o campo vetorial associado.</p><p>Figura 6: Campo vetorial X(x, y) e algumas soluções de (13).</p><p>Em resumo, temos o seguinte resultado:</p><p>6Por enquanto, acredite em mim!</p><p>25</p><p>2. classificação e existência de soluções para equações diferenciais</p><p>Teorema 2.15 (Relação entre EDOs autônomas e campos vetoriais). Supondo boas funções f , g,</p><p>o campo vetorial</p><p>X(x, y) =</p><p>(</p><p>f (x, y), g(x, y)</p><p>)</p><p>é tangente às soluções do sistema de equações diferenciais x′(t) = f</p><p>(</p><p>x(t), y(t)</p><p>)</p><p>,</p><p>y′(t) = g</p><p>(</p><p>x(t), y(t)</p><p>)</p><p>.</p><p>Além disso, as soluções deste sistema existem e são únicas se fixarmos um ponto (x0, y0) por</p><p>onde a solução passa. Uma solução de um sistema como o acima é chamada de órbita ou</p><p>trajetória do sistema.</p><p>A representação gráfica de algumas soluções da equação diferencial costuma ser chamada de</p><p>retrato de fase (apesar de existir uma definição matemática mais precisa, em termos de quocientes</p><p>e relações de equivalência, pensar no retrato de fase como uma figurinha com várias curvas é</p><p>bastante adequado). Ela não precisa incluir o campo de direções, como na Figura 6.</p><p>Exercı́cio 2.16. Esboce o campo vetorial associado ao sistema de equações diferenciais x′ = y,</p><p>y′ = x</p><p>e tente dizer alguma coisa sobre as soluções desse sistema, fazendo um esboço de seu retrato de</p><p>fase. ▲</p><p>2.7 Transformando equações diferenciais de ordem alta em sistemas de equações</p><p>Agora vamos ver uma estratégia interessante, que transforma equações diferenciais envolvendo</p><p>derivadas de ordem 2 em sistemas de equações que só envolvem derivadas de ordem 1.</p><p>Faremos isso com uma equação bem particular, procurando um sistema de equações diferenciais</p><p>que seja, em um certo sentido, equivalente à equação</p><p>u′′(t) + u(t) = 0. (14)</p><p>A estratégia para fazer isso é a seguinte:</p><p>• Seja u(t) uma solução da equação (14).</p><p>• Denote v(t) = u′(t). Então v′(t) = u′′(t).</p><p>• Como u(t) é solução de (14), temos que u′′(t) = −u(t).</p><p>26</p><p>2.7. transformando equações diferenciais de ordem alta em sistemas de equações</p><p>• Portanto, v′(t) = u′′(t) = −u(t).</p><p>Obtivemos então o sistema de equações diferenciais u′(t) = v(t),</p><p>v′(t) = −u(t),</p><p>(15)</p><p>que é, de certa forma, equivalente à equação (14): se você conseguir encontrar u(t), v(t) que</p><p>resolvem (15), então u(t) será solução de (14).</p><p>Agora você decide o que é melhor:</p><p>1. Procurar uma função que é solução da equação (14), que depende de uma derivada de 2a</p><p>ordem.</p><p>2. Procurar duas funções, soluções do sistema (15), que depende somente de derivadas de 1a</p><p>ordem.</p><p>A estratégia também funciona com equações de ordem k > 2, e nesse caso obteremos com um</p><p>sistema com k equações.</p><p>Exercı́cio 2.17. Transforme a equação</p><p>x′′′ − 2x′′ + (x′)2 = x</p><p>em um sistema de equações diferenciais lineares.</p><p>Dica: se x(t) é solução da equação, denote y(t) = x′(t) e z(t) = y′(t) = x′′(t). Assim, z′(t) = x′′′(t).</p><p>▲</p><p>27</p><p>3. equações diferenciais lineares de primeira ordem</p><p>3 Equações diferenciais lineares de primeira ordem</p><p>Neste capı́tulo vamos começar a resolver nossas primeiras equações diferenciais: as equações</p><p>diferenciais lineares com coeficientes constantes. Veremos um método bastante poderoso para</p><p>lidar com essas equações que também servirá em situações mais gerais.</p><p>Aprenderemos também que a notação de Leibniz é muito poderosa, e terminaremos o capı́tulo</p><p>fazendo aquilo que sempre nos falaram para não fazer.</p><p>3.1 Equações com coeficientes constantes</p><p>Vamos focar inicialmente em equações da forma</p><p>y′(t) + ay(t) = b. (16)</p><p>em que a, b são números reais. Essas equações são lineares e tem coeficientes constantes. Note que</p><p>se b = 0 então a solução nula y(t) ≡ 0 resolve (16). Como encontrar as soluções não-triviais?</p><p>Depois de algum tempo olhando para essas equações, você vai começar a pensar em coisas</p><p>como:</p><p>“se o lado esquerdo de (16) pudesse ser colocado no formato (µ(t) · y(t))′ para alguma função µ(t), então</p><p>eu conseguiria resolver essa equação.”</p><p>Faz sentido: se a equação fosse da forma(</p><p>µ(t) · y(t)</p><p>)′</p><p>= g(t)</p><p>então podemos resolver pela Teorema Fundamental do Cálculo, obtendo</p><p>µ(t) · y(t) =</p><p>∫</p><p>g(t) dt</p><p>e daı́</p><p>y(t) =</p><p>1</p><p>µ(t)</p><p>∫</p><p>g(t) dt.</p><p>Alerta. Você deve entender o argumento/construção acima!</p><p>Bom, podemos tentar arrumar o lado esquerdo de (16) multiplicando por µ(t), onde µ(t) é uma</p><p>função a ser definida. A equação se transformará em</p><p>µ(t)y′(t) + aµ(t)y(t) = bµ(t).</p><p>Mas esse não é nosso objetivo: queremos que o lado esquerdo seja da forma(</p><p>µ(t)y(t)</p><p>)′</p><p>= µ(t)y′(t) + µ′(t)y(t)</p><p>28</p><p>3.1. equações com coeficientes constantes</p><p>e ele ficou</p><p>µ(t)y′(t) + aµ(t)y(t).</p><p>Como resolver o problema? Ora, precisamos escolher µ(t) satisfazendo</p><p>aµ(t) = µ′(t).</p><p>Relembrando um pouco o que aprendemos sobre derivadas, chegamos em</p><p>µ(t) = keat.</p><p>Assim, ficamos com</p><p>(µ(t)y(t))′ = bµ(t),</p><p>o que implica em</p><p>(keaty(t))′ = bkeat.</p><p>Agora podemos resolver a equação anterior usando o Teorema Fundamental do Cálculo e obter</p><p>y(t) =</p><p>bk</p><p>keat</p><p>∫</p><p>eat dt =</p><p>b</p><p>eat</p><p>(</p><p>eat</p><p>a</p><p>+ c</p><p>)</p><p>=</p><p>b</p><p>a</p><p>− c̃e−at</p><p>que é a solução da EDO acima. A função µ(t) é chamada de fator integrante, pois ela permite que</p><p>a equação diferencial seja integrada.</p><p>Alerta. Note que, na construção anterior, a constante k não foi importante - por isso não usaremos</p><p>mais constantes de integração ao construir fatores integrantes.</p><p>Passo a passo para encontrar a solução:</p><p>1. Comece com a equação</p><p>y′(t) + ay(t) = b. (17)</p><p>2. Para tentar colocar o lado esquerdo de (17) na forma (µ(t)y(t))′, multiplicamos a equação</p><p>toda por uma função µ(t) (chamada de fator integrante), obtendo</p><p>µ(t)y′(t) + aµ(t)y(t) = bµ(t).</p><p>3. Comparando os termos, precisamos que µ′(t) = aµ(t), ou seja, µ(t) = eat.</p><p>4. A equação então fica</p><p>eaty′(t) + aeaty(t) = beat,</p><p>que pode ser escrita como (</p><p>eaty(t)</p><p>)′</p><p>= beat,</p><p>29</p><p>3. equações diferenciais lineares de primeira ordem</p><p>o que integrando dá</p><p>eaty(t) = b</p><p>∫</p><p>eat dt + c.</p><p>5. Finalmente chegamos em</p><p>y(t) =</p><p>1</p><p>eat</p><p>b</p><p>∫</p><p>eat dt +</p><p>c</p><p>eat</p><p>,</p><p>e resolvendo a integral obtemos</p><p>y(t) =</p><p>b</p><p>a</p><p>+</p><p>c</p><p>eat</p><p>,</p><p>onde c é a constante de integração.</p><p>6. Se for um PVI, aplicando a condição y(x0) = y0 obteremos o valor especı́fico de c.</p><p>Exemplo 3.1. Resolva a equação diferencial y′ = 2y − 3.</p><p>Multiplicando por µ(t), temos</p><p>µ(t)y′(t) − 2µ(t)y(t) = −3µ(t).</p><p>Queremos que o lado esquerdo seja</p><p>(µ(t)y(t))′ = µ(t)y′(t) + µ′(t)y(t).</p><p>Portanto, devemos escolher µ(t) tal que</p><p>µ′(t) = −2µ(t).</p><p>Uma escolha possı́vel é</p><p>µ(t) = e−2t.</p><p>Portanto teremos</p><p>(µ(t)y(t))′ = −3µ(t)</p><p>ou</p><p>y(t) = − 3</p><p>µ(t)</p><p>∫</p><p>µ(t) dt.</p><p>Substituindo µ(t) = e−2t teremos</p><p>y(t) = − 3</p><p>e−2t</p><p>∫</p><p>e−2t dt = − 3</p><p>e−2t</p><p>∫</p><p>e−2t dt</p><p>Resolvendo a integral teremos</p><p>y(t) = − 3</p><p>e−2t</p><p>(</p><p>−1</p><p>2</p><p>e−2t + c</p><p>)</p><p>=</p><p>3</p><p>2</p><p>− 3c e2t</p><p>30</p><p>3.2. edos lineares de primeira ordem com coeficientes variáveis</p><p>Note que y(0) =</p><p>3</p><p>2</p><p>− 3c. ♣</p><p>Exemplo 3.2. Resolva o PVI y′ = 7y + 1, y(0) = 1.</p><p>Multiplicando a equação por µ(t) ficamos com</p><p>µ(t)y′(t) − 7µ(t)y(t) = µ(t).</p><p>Gostarı́amos que fosse algo do tipo</p><p>µ(t)y′(t) + µ′(t)y(t) = µ(t),</p><p>então vamos escolher µ′(t) = −7µ(t), o que implica</p><p>µ(t) = e−7t.</p><p>Assim a equação fica</p><p>e−7ty′(t) − 7e−7ty(t) = e−7t,</p><p>que pode ser escrita como (</p><p>e−7ty(t)</p><p>)′</p><p>= e−7t.</p><p>Integrando e fazendo as devidas algebrizações, obtemos</p><p>y(t) = −1</p><p>7</p><p>+</p><p>c</p><p>e−7t .</p><p>Aplicando a condição inicial y(0) = 1 ficamos com</p><p>1 = y(0) = −1</p><p>7</p><p>+ c,</p><p>o que nos dá c = 8/7. Logo a solução do PVI é</p><p>y(t) = −1</p><p>7</p><p>+</p><p>8</p><p>7e−7t .</p><p>♣</p><p>Exercı́cio 3.3. Resolva o PVI y′ + 5y − 2 = 0, y(0) = 2. ▲</p><p>3.2 EDOs lineares de primeira</p><p>ordem com coeficientes variáveis</p><p>Vamos agora estudar equações da forma</p><p>y′(t) + p(t)y(t) = g(t), (18)</p><p>31</p><p>3. equações diferenciais lineares de primeira ordem</p><p>onde p(t), g(t) são funções “boas”. A técnica será a mesma de antes, multiplicar por um fator</p><p>integrante que nos permita utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo.</p><p>Multiplicando a equação (18) por uma função µ(t) ficamos com</p><p>µ(t)y′(t) + p(t)µ(t)y(t) = µ(t)g(t).</p><p>Queremos que o lado esquerdo seja da forma(</p><p>µ(t)y(t)</p><p>)′</p><p>= µ(t)y′(t) + µ′(t)y(t)</p><p>para poder usar o TFC, então precisaremos escolher µ(t) com</p><p>µ′(t) = p(t)µ(t).</p><p>Assim, teremos</p><p>µ′(t)</p><p>µ(t)</p><p>= p(t)</p><p>nos pontos em que µ(t) , 0. Integrando, obtemos</p><p>ln µ(t) =</p><p>∫</p><p>p(t) dt,</p><p>ou</p><p>µ(t) = exp</p><p>(∫</p><p>p(t) dt</p><p>)</p><p>,</p><p>e este é nosso fator integrante.</p><p>Com esta escolha de µ(t) teremos (</p><p>µ(t)y(t)</p><p>)′</p><p>= µ(t)g(t),</p><p>o que isolando y(t) nos dá7</p><p>y(t) =</p><p>1</p><p>µ(t)</p><p>∫</p><p>µ(t)g(t) dt</p><p>= exp</p><p>(</p><p>−</p><p>∫</p><p>p(t) dt</p><p>)</p><p>·</p><p>∫ [</p><p>g(t) · exp</p><p>(∫</p><p>p(t) dt</p><p>)]</p><p>dt,</p><p>que é a solução geral de (18).</p><p>Exemplo 3.4. Resolva a equação diferencial y′ + 2xy = x.</p><p>Essa é uma equação diferencial linear de 1a ordem! Multiplicando por µ(x) temos</p><p>µ(x)y′(x) + 2µ(x)xy(x) = µ(x)x.</p><p>7Conselho: nem pense em decorar esta fórmula. O método é mais importante.</p><p>32</p><p>3.2. edos lineares de primeira ordem com coeficientes variáveis</p><p>Se fosse (</p><p>µ(x)y(x)</p><p>)′</p><p>= µ(x)y′(x) + µ′(x)y(x)</p><p>terı́amos µ′(x) = 2µ(x)x, portanto devemos escolher µ(x) = ex</p><p>2</p><p>. ♣</p><p>Exercı́cio 3.5. Resolva o PVI y′ = xy, y(0) = 1 e compare com o que você fez no Exercı́cio 2.14. ▲</p><p>Exemplo 3.6. Resolva o PVI y′ + 3y = cos(t) com condição inicial y(0) = 1.</p><p>Multiplicando por µ(t) temos</p><p>µ(t)y′(t) + 3µ(t)y(t) = cos(t)µ(t).</p><p>Para que seja</p><p>µ(t)y′(t) + µ′(t)y(t) = cos(t)µ(t)</p><p>devemos escolher µ′(t) = 3µ(t), ou seja, µ(t) = e3t. A equação então fica</p><p>e3ty′(t) + 3e3ty(t) = cos(t)e3t.</p><p>Simplificando temos (</p><p>e3ty(t)</p><p>)′</p><p>= cos(t)e3t.</p><p>Com mais algum algebrismo:</p><p>y(t) =</p><p>3 cos(t) + sen(t)</p><p>10</p><p>+</p><p>c</p><p>e3t .</p><p>Agora usando a condição inicial:</p><p>1 = y(0) =</p><p>3 cos(0) + sen(0)</p><p>10</p><p>+</p><p>c</p><p>e0 =</p><p>3</p><p>10</p><p>+ c⇒ c =</p><p>7</p><p>10</p><p>.</p><p>Portanto, a solução8 do PVI é:</p><p>y(t) =</p><p>3 cos(t) + sen(t) +</p><p>7</p><p>10e3t</p><p>10</p><p>.</p><p>♣</p><p>Exercı́cio 3.7. Resolva o PVI y′ +</p><p>1</p><p>x</p><p>· y = sen(x), y(π) = 1. ▲</p><p>8Que tal testar se esta função satisfaz mesmo y′ + 3y = cos(t)?</p><p>33</p><p>3. equações diferenciais lineares de primeira ordem</p><p>3.3 Equações de Bernoulli</p><p>Algumas equações que não estão no formato que estudamos nas seções anteriores também podem</p><p>ser resolvidas explicitamente. É o caso das equações de Bernoulli, da forma</p><p>y′(t) + P(t)y(t) = Q(t)yn(t), (19)</p><p>que generalizam as equações anteriores.</p><p>A estratégia é eliminar o termo yn e transformar essa equação numa equação de primeira</p><p>ordem com coeficientes variáveis.</p><p>Primeiro multiplicamos a equação (19) por y−n, obtendo</p><p>y−n(t)y′(t) + P(t)y1−n(t) = Q(t).</p><p>Agora fazermos a mudança de variáveis w(t) = y1−n(t), que implica em</p><p>w′(t) = (1 − n)y−n(t)y′(t),</p><p>e daı́ substituindo na equação (19) temos</p><p>1</p><p>1 − n</p><p>w′(t) + P(t)w(t) = Q(t).</p><p>Deste ponto em diante, podemos usar fatores integrantes e obter a solução.</p><p>Passo a passo para resolver a Equação de Bernoulli y′ + P(x)y = Q(x)yn :</p><p>Para n = 0 ou n = 1, sabemos o que fazer. Já para n ≥ 2:</p><p>• multiplique a equação por y−n: y−ny′ + P(x)y1−n = Q(x),</p><p>• faça a mudança de variáveis w = y1−n, w′ = (1 − n)y−ny′,</p><p>• ficamos com</p><p>1</p><p>1 − n</p><p>w′ + P(x)w = Q(x).</p><p>Exercı́cio 3.8. Resolva a EDO y′ + xy = xy2. ▲</p><p>Exercı́cio 3.9. Resolva a EDO y′ + y = cos(t)y2 e obtenha a solução</p><p>y(t) =</p><p>2</p><p>2cet + cos(t) − sen(t)</p><p>.</p><p>▲</p><p>34</p><p>3.4. equações separáveis: modo ingênuo</p><p>3.4 Equações separáveis: modo ingênuo</p><p>Começaremos agora a aprender a resolver um segundo tipo de equações diferenciais de primeira</p><p>ordem: as separáveis. Nas próximas seções veremos mais detalhes sobre isto, mas aqui vai algo</p><p>para vocês pensarem.</p><p>Alerta. Atenção, use a técnica abaixo com muita moderação! Material altamente explosivo.</p><p>Considere uma equação diferencial da forma</p><p>dy</p><p>dx</p><p>= f (x)g(y),</p><p>onde f , g são funções “boas”.</p><p>Vamos cometer uma insanidade e “multiplicar cruzado” os diferenciais:</p><p>dy</p><p>g(y)</p><p>= f (x) dx.</p><p>Colocando sı́mbolos de integrais em ambos os lados, ficamos com∫</p><p>dy</p><p>g(y)</p><p>=</p><p>∫</p><p>f (x) dx.</p><p>Podemos agora resolver essas integrais, e faremos isso no exemplo a seguir.</p><p>Exemplo 3.10. Resolva a equação diferencial</p><p>dy</p><p>dx</p><p>= xey .</p><p>Primeiro “multiplique” os diferenciais e obtenha</p><p>dy</p><p>ey</p><p>= x dx.</p><p>Agora integre em ambos os lados: ∫</p><p>dy</p><p>ey</p><p>=</p><p>∫</p><p>x dx.</p><p>Resolvendo as integrais, teremos:</p><p>−e−y =</p><p>x2</p><p>2</p><p>+ c.</p><p>Portanto</p><p>y = − ln</p><p>(</p><p>x2</p><p>2</p><p>+ c</p><p>)</p><p>.</p><p>♣</p><p>Que fique claro: precisamos formalizar isto. Não saia por aı́ multiplicando diferenciais sem</p><p>supervisão de um adulto com doutorado em matemática. No próximo capı́tulo falaremos sobre</p><p>formas diferenciais, para poder fazer isso de forma “profissional”.</p><p>35</p><p>4. formas diferenciais</p><p>4 Formas diferenciais</p><p>Em algum sentido, esse capı́tulo é opcional. O conteúdo dele é bastante denso, e no fim consegui-</p><p>remos um “atalho” para tratar equações exatas/separáveis.</p><p>Mesmo assim, recomendo que o leia. Compreendê-lo é uma espécie de “licença para multiplicar</p><p>diferenciais”, ou quase isso.</p><p>Um espı́rito matemático aceitará o formalismo, e tirará vantagens dos procedimentos formais se entender</p><p>o seu sentido correto e sentir que todos eles podem ser justificados. – Djairo G. de Figueiredo & Aloisio</p><p>Neves</p><p>4.1 Campos vetoriais e formas diferenciais</p><p>Um campo vetorial em Rn é uma aplicação F : Ω ⊂ Rn → Rn, onde Ω é um conjunto aberto. Uma</p><p>ideia geométrica para isto é colocar em cada ponto x ∈ Rn, o vetor F(x).</p><p>Exemplo 4.1. Se F : Ω ⊂ R2 → R é uma função diferenciável, então o gradiente de F</p><p>∇F(x, y) = (Fx(x, y), Fy(x, y))</p><p>é um campo vetorial. ♣</p><p>Dizemos que um campo vetorial F : Ω ⊂ Rn → Rn é um campo gradiente se F = ∇G para</p><p>alguma função G.</p><p>A função G, neste caso, é chamada de potencial do campo F.</p><p>Exemplo 4.2. Para determinar se o campo</p><p>F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y))</p><p>é um campo gradiente, ou seja, se</p><p>F(x, y) = ∇G(x, y)</p><p>para alguma função G(x, y), devemos estudar a existência de uma função diferenciável G(x, y) tal</p><p>que</p><p>P(x, y) = Gx(x, y), Q(x, y) = Gy(x, y).</p><p>♣</p><p>Podemos decidir se um campo é campo gradiente sem necessariamente ter que achar o potencial.</p><p>Por exemplo, das relações</p><p>P = Gx, Q = Gy ,</p><p>caso o campo seja C2, deduzimos que Py = Qx (Teorema de Clairaut-Schwarz).</p><p>Um campo vetorial que satisfaz a estas condições é dito ser um campo fechado.</p><p>36</p><p>4.2. formas lineares</p><p>Alerta. Você deve se lembrar dessas coisas do Cálculo II e, se não lembrar, é uma boa hora para</p><p>reler suas notas de aula.</p><p>Usaremos o conteúdo desse capı́tulo para estudar duas classes de equações diferenciais: as da</p><p>forma</p><p>y′ =</p><p>f (x)</p><p>g(y)</p><p>e as da forma</p><p>N(x, y)y′ + M(x, y) = 0.</p><p>Sendo bastante displicente com a notação y′ = dy/dx, podemos reescrever estas equações nas</p><p>formas</p><p>g(y)dy = f (x)dx</p><p>e</p><p>M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0.</p><p>Você vai entender melhor o motivo pelo qual fazemos essa atrocidade se ler as próximas seções.</p><p>É importante observar que, apesar de parecer bastante, não estamos “multiplicando” diferenciais</p><p>como se fosse frações. Você perceberá que Leibniz era um cara esperto e introduziu uma notação</p><p>bem poderosa.</p><p>4.2 Formas lineares</p><p>Uma forma linear (ou funcional linear) em R2 é uma função L : R2 → R tal que</p><p>L(aα + bβ) = aL(α) + bL(β),</p><p>onde a, b ∈ R e α, β ∈ R2.</p><p>Note que uma forma linear fica definida se soubermos seu valor numa base {e1, e2} de R2, pois</p><p>se u = ae1 + be2 então</p><p>L(u) = aL(e1) + bL(e2).</p><p>Exemplo 4.3. A aplicação L : R2 → R dada por L(α1, α2) = 3α1 − 2α2 é uma forma linear. ♣</p><p>Defina duas formas lineares e1, e2 declarando que</p><p>e1(e1) = 1, e1(e2) = 0, e2(e1) = 0, e2(e2) = 1.</p><p>Note que toda forma linear L pode ser escrita como</p><p>L = ae1 + be2,</p><p>para certos valores de a, b (que são exatamente os valores desta forma em e1 e e2).</p><p>37</p><p>4. formas diferenciais</p><p>Exemplo 4.4. A forma L(α1, α2) = 3α1 − 2α2 pode</p><p>ser decomposta como</p><p>L(α1, α2) = 3e1(α1, α2) − 2e2(α1, α2).</p><p>♣</p><p>O conjunto das formas lineares em R2 é um espaço vetorial de dimensão 2, chamado de espaço</p><p>dual de R2 e denotado por (R2)∗. Os elementos de (R2)∗ são chamados de covetores. Os covetores</p><p>e1 e e2 que definimos antes formam uma base de (R2)∗.</p><p>Note que ei(ej) = δij , ou seja, a base {e1, e2} não precisa ser a canônica.</p><p>Alerta. Você já deve ter percebido que tudo isto se generaliza facilmente para Rn e (Rn)∗. Não</p><p>iremos focar nisso, mas prepare-se para estudar essas coisas no curso de Álgebra Linear Avançada.</p><p>4.3 Formas diferenciais em R2</p><p>Seja Ω um aberto de R2. Uma 1-forma diferencial (ou só forma diferencial) é uma função</p><p>ω : Ω ⊂ R2 → (R2)∗.</p><p>Assim, se ω é uma forma diferencial, para cada (x, y) ∈ R2,</p><p>w(x, y) : R2 → R</p><p>é uma forma linear (um funcional linear) e será calculada em (u, v) ∈ R2, ou seja,</p><p>ω(x, y)(u, v) ∈ R.</p><p>Ora, {e1, e2} é base do espaço vetorial das formas lineares, logo ω(x, y) pode ser escrita como</p><p>combinação linear de e1 e e2:</p><p>ω(x, y) = ω1(x, y)e1 + ω2(x, y)e2,</p><p>onde ω1,ω2 : Ω→ R são chamadas de componentes da forma ω. Diremos que ω é de classe Cr se</p><p>ω1,ω2 forem.</p><p>Observação 4.5. Uma observação muito importante: ω1(x, y) e ω2(x, y) não precisam ser lineares,</p><p>já que ω não é uma forma linear. A “coisa” linear envolvida na história é ω(x, y), que aı́ sim é uma</p><p>forma linear.</p><p>Exemplo 4.6. Seja ω : Ω→ (R2)∗ dada por</p><p>ω : Ω → (R2)∗</p><p>(x, y) → ω(x, y) : R2 → R</p><p>(α1, α2) → ω(x, y)(α1, α2) = yα1 + xyα2</p><p>38</p><p>4.3. formas diferenciais em R2</p><p>Lembra da nossa forma linear L(α1, α2) = 3α1 − 2α2?</p><p>Note que</p><p>ω(−2/3, 3) = L = 3e1 − 2e2.</p><p>♣</p><p>Vamos definir agora duas formas diferenciais muito importantes e com nomes muito especiais.</p><p>• dx : Ω→ (R2)∗ é a forma dx = 1 · e1 + 0 · e2, ou seja,</p><p>dx(x, y)(α1, α2) = α1</p><p>• dy : Ω→ (R2)∗ é a forma dy = 0 · e1 + 1 · e2, ou seja,</p><p>dy(x, y)(α1, α2) = α2</p><p>Assim, se ω é uma forma qualquer, então</p><p>ω = ω1dx + ω2dy</p><p>para certas funções ω1,ω2.</p><p>Alerta. Verifique a afirmação acima, por exemplo trabalhando a afirmação com o exemplo anterior.</p><p>Alerta. É bom lembrar que podemos somar formas componente a componente, e podemos multi-</p><p>plicar uma forma ω : Ω→ (R2)∗ por uma função f : Ω→ R multiplicando as componentes de ω</p><p>por f .</p><p>Se f : Ω→ R é uma função diferenciável, definimos a forma diferencial df por</p><p>df : Ω→ (R2)∗</p><p>como sendo a forma diferencial cujas componentes são fx e fy , ou seja,</p><p>df (x, y) =</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>(x, y) dx +</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>(x, y) dy,</p><p>ou</p><p>df = fx dx + fy dy. (20)</p><p>Exercı́cio 4.7. Verifique que</p><p>• d(f + g) = df + dg</p><p>• d(f g) = f dg + g df</p><p>39</p><p>4. formas diferenciais</p><p>• d(c) = 0 se c é constante</p><p>• df = 0 implica f constante (se Ω for conexo)</p><p>▲</p><p>Uma forma diferencial ω : Ω→ (R2)∗ é exata se existir f : Ω→ R tal que ω = df . Uma forma</p><p>diferencial é fechada se</p><p>∂w1</p><p>∂y</p><p>=</p><p>∂w2</p><p>∂x</p><p>.</p><p>Teorema 4.8. Toda forma exata é fechada. A recı́proca não é verdadeira.</p><p>Teorema 4.9. Se Ω for simplesmente conexo, uma forma ω : Ω→ (R2)∗ é exata se, e só se, ela</p><p>for fechada.</p><p>Alerta. Reflita um pouco sobre isso: Formas exatas estão na imagem do operador d; formas</p><p>fechadas estão no núcleo do operador d.</p><p>Em termos de integrais, o próximo resultado relaciona formas diferenciais e integrais de linha.</p><p>Teorema 4.10. Uma forma diferencial ω : Ω→ (R2)∗ é exata se, e só se,∫</p><p>α</p><p>ω = 0</p><p>para todos os caminhos fechados α : [a, b]→ Ω contidos em Ω, onde</p><p>∫</p><p>α</p><p>ω =</p><p>b∫</p><p>a</p><p>ω(α(t))α′(t) dt.</p><p>4.4 Equações envolvendo formas diferenciais</p><p>Agora que sabemos alguma coisa sobre formas diferenciais, vamos estudar equações envolvendo</p><p>tais objetos. Como a forma df envolve derivadas parciais, essas equações envolverão derivadas de</p><p>funções.</p><p>Se você está pensando que é aı́ que as equações diferenciais entram na história: bingo! Acertou</p><p>em cheio. Seja ω = f (x) dx − g(y) dy uma forma diferencial e considere a equação</p><p>f (x) dx − g(y) dy = 0.</p><p>40</p><p>4.4. equações envolvendo formas diferenciais</p><p>Note que o lado esquerdo da equação</p><p>f (x) dx − g(y) dy = 0</p><p>é uma forma diferencial exata e pode ser escrito como dH = 0, onde</p><p>H(x, y) =</p><p>∫</p><p>f (x) dx −</p><p>∫</p><p>g(y) dy.</p><p>De fato, para calcularmos dH usamos a fórmula (20) observamos que</p><p>Hx = f (x), Hy = g(y)</p><p>e portanto</p><p>dH = Hx dx + Hy dy = f (x) dx + g(y) dy.</p><p>As soluções desta equação são da forma H(x, y) = constante.</p><p>Observação 4.11. As soluções de dH = 0 são curvas da forma H(x, y) = constante, e nem sempre</p><p>será possı́vel isolar y ou x nessa equação (serão curvas dadas implicitamente).</p><p>Já na equação geral M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, se o lado esquerdo for uma forma exata dV = 0</p><p>devemos ter Vx = M e Vy = N; logo as soluções serão da forma V(x, y) = constante.</p><p>Caso a forma diferencial do lado esquerdo de</p><p>M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0</p><p>não seja exata, podemos tentar torná-la exata multiplicando por um fator integrante µ, até que</p><p>µ(x, y) M(x, y) dx + µ(x, y) N(x, y) dy</p><p>seja uma forma exata. Vamos estudar dois tipos particulares de tais equações: as equações diferen-</p><p>ciais exatas e as equações diferenciais separáveis.</p><p>Observação 4.12. Nesse ponto você deve estar pensando: “esse professor está me enganando com</p><p>essa história de formas diferenciais. Afinal de contas,</p><p>M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0</p><p>é uma equação diferencial ou uma forma diferencial?”</p><p>Pouco tempo atrás, quando falamos (informalmente) sobre sistemas de equações diferenciais,</p><p>fizemos a associação entre uma equação diferencial e um campo vetorial. A solução, naquele caso,</p><p>era uma curva que tinha como campo vetorial tangente a equação diferencial inicial.</p><p>A situação aqui é exatamente a mesma: temos um “campo vetorial” e procuramos uma curva</p><p>“integral” desse campo. É exatamente aı́ que entra a ligação entre equações diferenciais como a</p><p>acima e as formas diferenciais.</p><p>41</p><p>5. equações separáveis e equações exatas</p><p>5 Equações separáveis e equações exatas</p><p>Mostraremos como resolver equações exatas e equações separáveis sem fazer uso explı́cito de</p><p>formas diferenciais. Para detalhes sobre isso, consulte o capı́tulo anterior.</p><p>5.1 Equações separáveis</p><p>Considere uma equação diferencial da forma</p><p>M(x, y) + N(x, y)</p><p>dy</p><p>dx</p><p>= 0,</p><p>com M, N funções de classe C2.</p><p>Vamos supor que as funções M, N são ainda mais especı́ficas: que M = M(x) e que N = N(y),</p><p>portanto a equação se escreve como</p><p>M(x) + N(y)</p><p>dy</p><p>dx</p><p>= 0. (21)</p><p>A equação anterior é chamada de equação separável, pois em termos de formas diferenciais,</p><p>ela pode ser escrita como</p><p>M(x)dx + N(y)dy</p><p>e daı́ cada diferencial aparece multiplicada somente por funções que dependem daquela variável</p><p>(ou seja, pode-se “separar” as variáveis).</p><p>A equação (21) pode ser escrita como</p><p>dy</p><p>dx</p><p>= −M(x)</p><p>N(y)</p><p>(22)</p><p>desde que N(y) , 0.</p><p>Podemos resolver (22) usando um truque simples. Sejam</p><p>F(x) =</p><p>∫</p><p>M(x) dx, G(y) =</p><p>∫</p><p>N(y) dy.</p><p>Então as soluções y(x) de (22) satisfazem</p><p>G(y(x)) = F(x) + constante.</p><p>Isto significa que a curva-solução é dada implicitamente pela equação</p><p>G(y) − F(x) = c.</p><p>42</p><p>5.1. equações separáveis</p><p>A justificativa disso é a seguinte: a equação (21) pode ser escrita como</p><p>F′(x) + G′(y)</p><p>dy</p><p>dx</p><p>= 0.</p><p>Como y = y(x), a equação fica</p><p>F′(x) + G′(y(x))y′(x) = 0.</p><p>Lembrando da derivada da regra da cadeia e integrando a equação anterior, temos que</p><p>F(x) + G(y(x)) = c,</p><p>onde c é constante. Portanto: se y(x) satisfaz</p><p>F(x) + G(y(x)) = c,</p><p>então y(x) também satisfaz (21). Se houver uma condição inicial y(x0) = y0 associada à equação</p><p>(21), então teremos que</p><p>F(x0) + G(y(x0)) = c,</p><p>ou seja,</p><p>c = F(x0) + G(y0)</p><p>e a solução fica</p><p>F(x) + G(y(x)) = F(x0) + G(y0).</p><p>Passo a passo: Considere a equação diferencial da forma</p><p>y′ =</p><p>f (x)</p><p>g(y)</p><p>,</p><p>onde g(y) , 0.</p><p>• Passando para formas diferenciais, ou multiplicando os diferenciais, podemos reescrever a</p><p>equação como</p><p>g(y) dy − f (x) dx = 0.</p><p>Se você não tiver lido o capı́tulo anterior, essa equação não significa nada, e ela só serve para</p><p>você se lembrar como achar</p><p>a solução.</p><p>• Obtendo primitivas G(y) de g(y) e F(x) de f (x), temos que a equação é equivalente a da</p><p>forma dH = 0, onde H(x, y) = F(x) − G(y), ou seja</p><p>G(y) − F(x) = constante.</p><p>43</p><p>5. equações separáveis e equações exatas</p><p>• Logo a solução y(x) da equação diferencial satisfaz</p><p>G(y(x)) − F(x) = constante</p><p>e as curvas-solução são dadas implicitamente por</p><p>G(y) − F(x) = constante.</p><p>Exemplo 5.1. Resolva o PVI y′ = −x3/(y + 1)2, y(0) = 0.</p><p>• Forma diferencial equivalente: (y + 1)2 dy + x3 dx.</p><p>• A solução y(x) satisfaz</p><p>x4</p><p>4</p><p>+</p><p>(y + 1)3</p><p>3</p><p>= constante.</p><p>• Da condição inicial: 0 +</p><p>1</p><p>3</p><p>= c.</p><p>• A solução do PVI é a curva</p><p>x4</p><p>4</p><p>+</p><p>(y + 1)3</p><p>3</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>.</p><p>♣</p><p>Exercı́cio 5.2. Descreva todas as soluções de y′ = x/y. ▲</p><p>Exercı́cio 5.3. Descreva todas as soluções de y′ = −2xy. ▲</p><p>5.2 Equações exatas</p><p>Vamos estudar um pouco mais o caso das equações do tipo</p><p>M(x, y) + N(x, y)y′ = 0, (23)</p><p>com M, N funções C1 definidas no aberto conexo Ω.</p><p>A equação (23) será chamada de exata se existir um potencial9 V para o campo vetorial (M, N),</p><p>ou seja, se</p><p>(M, N) = ∇V = (Vx, Vy).</p><p>Neste caso, a equação fica</p><p>Vx + Vyy</p><p>′ = 0</p><p>9ou “integral primeira”.</p><p>44</p><p>5.2. equações exatas</p><p>e as soluções y(x) satisfazem V(x, y(x)) = constante, ou seja, as soluções de (23) estão contidas nas</p><p>curvas de nı́vel de V.</p><p>Proposição 5.4. Nas hipóteses anteriores, se M, N forem C1 e Ω for simplesmente conexo</p><p>então</p><p>M(x, y) + N(x, y)y′ = 0</p><p>é exata se, e só se, My = Nx.</p><p>Passo a passo: Considere a equação</p><p>M(x, y) + N(x, y)y′ = 0, My = Nx. (24)</p><p>Se a equação (24) for exata teremos10 My = Nx. Encontre um potencial V(x, y) satisfazendo</p><p>M = Vx e N = Vy . As soluções são</p><p>V(x, y(x)) = constante.</p><p>Nem sempre será possı́vel “isolar” y nesta equação, então teremos que ficar satisfeitos com soluções</p><p>implı́citas.</p><p>Exemplo 5.5. Resolva a EDO y′ = −</p><p>3e3xy − 2x</p><p>e3x .</p><p>Existem pelo menos duas formas de resolver essa EDO: a primeira é reescrevê-la como</p><p>3e3xy − 2x</p><p>e3x + y′ = 0,</p><p>tomar</p><p>M(x, y) =</p><p>3e3xy − 2x</p><p>e3x</p><p>e</p><p>N(x, y) = 1.</p><p>Neste caso temos My = 3, Nx = 0 e concluiremos que a EDO não é exata.</p><p>Outra possibilidade é “multiplicar cruzado” e escrever a EDO como</p><p>(3e3xy − 2x) + e3xy′ = 0.</p><p>Neste caso, M(x, y) = 3e3xy − 2x, N(x, y) = e3x e como My = Nx = 3e3x, a equação é exata.</p><p>Então o primeiro comentário é o seguinte: a maneira como a EDO está escrita tem bastante</p><p>influência em nossa determinação a priori de sua exatidão. Na Seção 5.3 veremos como lidar com a</p><p>10É preciso um bom comportamento das funções envolvidas para isto funcionar. Tome cuidado no caso de funções</p><p>com baixa regularidade.</p><p>45</p><p>5. equações separáveis e equações exatas</p><p>primeira abordagem acima; por enquanto, vamos considerar a equação reescrita como</p><p>(3e3xy − 2x) + e3xy′ = 0.</p><p>Neste caso, como já vimos, temos que My = Nx. Como as funções M, N são de classe C1, a EDO</p><p>é exata. Calculando um potencial, obteremos V(x, y) = e3xy − x2, logo as soluções são da forma</p><p>y =</p><p>c + x2</p><p>e3x , c constante.</p><p>♣</p><p>Exercı́cio 5.6. Descreva as soluções de (x2 + 4y)y′ + (2xy + 1) = 0. ▲</p><p>Exercı́cio 5.7. Descreva as soluções de (x2 + 1)y′ + 2xy − x2 = 0. ▲</p><p>Exercı́cio 5.8. A equação</p><p>xy′ − y = 0</p><p>não é exata: ela é equivalente a</p><p>x dy − y dx = 0,</p><p>com N = x, M = −y, e My , Nx. Se multiplicarmos a equação por 1/x2, ela se tornará exata. Será</p><p>que sempre poderemos fazer isto? ▲</p><p>5.3 Transformando equações não-exatas em equações exatas</p><p>Motivados pelo exemplo anterior, vamos focar em equações do tipo</p><p>M(x, y) + N(x, y)y′(x) = 0, (25)</p><p>com M, N funções de classe C1 definidas num aberto Ω ⊂ R2.</p><p>Se (M, N) é um campo gradiente com potencial V, então</p><p>M = Vx, N = Vy (26)</p><p>e sabemos resolver a equação (25). Vimos também que ser gradiente é equivalente a (26) no caso</p><p>de Ω ser simplesmente conexo. O que fazer quando temos uma equação como (25) sem a condição</p><p>(26)?</p><p>O mesmo truque de sempre: vamos multiplicar (25) por um fator integrante µ(x, y), obtendo</p><p>µ(x, y)M(x, y) + µ(x, y)N(x, y)y′(x) = 0.</p><p>46</p><p>5.3. transformando equações não-exatas em equações exatas</p><p>Nosso objetivo é que esta equação seja exata, ou seja, precisaremos que</p><p>∂</p><p>∂y</p><p>(</p><p>µ(x, y)M(x, y)</p><p>)</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂x</p><p>(</p><p>µ(x, y)N(x, y)</p><p>)</p><p>,</p><p>o que é equivalente a</p><p>1</p><p>µ</p><p>(</p><p>Nµx −Mµy</p><p>)</p><p>= My − Nx. (27)</p><p>Como encontrar µ que satisfaz (27)? Somos bons em encontrar fatores integrantes que dependam</p><p>de somente uma variável, então vamos começar daı́.</p><p>5.3.1 Fatores integrantes que só dependem de y</p><p>Suponha que µ(x, y) só dependa de y. Assim, µx = 0 e a condição (27) se transforma em</p><p>µy</p><p>µ</p><p>=</p><p>Nx −My</p><p>M</p><p>.</p><p>Integrando, obtemos</p><p>ln(µ(y)) =</p><p>∫ Nx −My</p><p>M</p><p>dy,</p><p>ou seja,</p><p>µ(y) = exp</p><p>( ∫ Nx −My</p><p>M</p><p>dy</p><p>)</p><p>.</p><p>Agora devemos encontrar o potencial V(x, y). Ele satisfaz</p><p>Vy(x, y) = µ(y)N(x, y), Vx(x, y) = µ(y)M(x, y),</p><p>ou seja, V satisfaz</p><p>V(x, y) =</p><p>∫</p><p>µ(y) N(x, y) dy + c1(x)</p><p>e também</p><p>V(x, y) = µ(y)</p><p>∫</p><p>M(x, y) dx + c1(y).</p><p>Observação 5.9. Com funções iniciais boas, sempre será possı́vel encontrar o potencial V.</p><p>Observação 5.10. A hipótese “µ só depende de y” implica que</p><p>Nx −My</p><p>M</p><p>também só depende de y.</p><p>Exemplo 5.11. Resolva a EDO (3x2 − y2)y′ − 2xy = 0.</p><p>Note que</p><p>(Nx −My)/M</p><p>47</p><p>5. equações separáveis e equações exatas</p><p>só depende de y. Logo</p><p>µ(y) = exp</p><p>∫ Nx −My</p><p>M</p><p>dy</p><p>é um fator integrante, o que no nosso caso é igual a</p><p>µ(x, y) = e−4 ln(y) = 1/y4.</p><p>Precisamos achar V com Vx = µM e Vy = µN, ou seja,</p><p>Vx = −2xy/y4, Vy = (3x2 − y2)/y4.</p><p>Integrando obtemos</p><p>V(x, y) = −x2/y3 + c1(y), V(x, y) = −(x2/y3) + 1/y + c2(x).</p><p>Portanto,</p><p>V(x, y) = −(x2/y3) + 1/y.</p><p>As soluções da EDO cumprem</p><p>− x2</p><p>y(x)3 +</p><p>1</p><p>y(x)</p><p>= constante.</p><p>♣</p><p>5.3.2 Fatores integrantes que só dependem de x</p><p>Agora suponha que µ(x, y) só dependa de x. Da condição (27)</p><p>1</p><p>µ</p><p>(</p><p>Nµx −Mµy</p><p>)</p><p>= My − Nx</p><p>obtemos que</p><p>1</p><p>µ</p><p>(</p><p>Nµx</p><p>)</p><p>= My − Nx,</p><p>ou seja,</p><p>µx</p><p>µ</p><p>=</p><p>My − Nx</p><p>N</p><p>.</p><p>Logo</p><p>µ(x) = exp</p><p>( ∫ My − Nx</p><p>N</p><p>dx</p><p>)</p><p>.</p><p>Encontrado o fator integrante, a solução da EDO pode ser encontrada como no caso anterior.</p><p>Exercı́cio 5.12. Resolva a EDO (x2y − x)y′ + y = 0. ▲</p><p>48</p><p>5.3. transformando equações não-exatas em equações exatas</p><p>Exercı́cio 5.13. Resolva a EDO</p><p>3e3xy − 2x</p><p>e3x + y′ = 0 achando um fator integrante. ▲</p><p>5.3.3 Outros tipos de fatores integrantes</p><p>Vimos que se</p><p>Nx −My</p><p>M</p><p>só depender de y, poderemos escolher um fator integrante que também só depende de y. Já se</p><p>My − Nx</p><p>N</p><p>só depender de x, poderemos escolher um fator integrante que também só depende de x. Existem</p><p>pelo menos outros dois casos em que achar o fator integrante é razoavelmente simples:</p><p>• Quando (My − Nx)/(Ny −Mx) é função de x · y, como por exemplo em</p><p>(3x3y4 + x)y′ + y = 0.</p><p>Note que, na expressão anterior, temos derivadas parciais no numerador e produtos no</p><p>denominador.</p><p>• Se M, N são funções homogêneas de mesmo grau então um fator integrante é</p><p>µ =</p><p>1</p><p>x ·M + y · N</p><p>,</p><p>como por exemplo em</p><p>y2 + (x2 − xy − y2)y′ = 0.</p><p>Exercı́cio 5.14. Considere a equação</p><p>y′ =</p><p>αx + βy</p><p>γx + δy</p><p>,</p><p>com cγx + δy , 0.</p><p>(a) Transforme essa equação numa equação exata multiplicando-a por um fator integrante (veja</p><p>comentário anterior) e resolva a equação</p><p>(b) Resolva a equação de outra forma, usando a mudança de variáveis</p><p>y(t) = u(t)x(t)</p><p>e obtendo uma equação separável. Esta mesma mudança de variável serve para vários tipos</p><p>de equações.</p><p>49</p><p>5. equações separáveis e equações exatas</p><p>▲</p><p>Exercı́cio 5.15. Resolva a EDO</p><p>y′ =</p><p>2x + y</p><p>5x − 3y</p><p>.</p><p>▲</p><p>5.4 Redução de ordem</p><p>Até agora estudamos equações de primeira ordem, ou seja, que que só envolvem y′. Algumas</p><p>equações de segunda ordem podem ser transformadas em equações de primeira ordem. Veremos</p><p>como fazer isto com dois tipos de equações:</p><p>• equações sem y : y′′ = f (x, y′),</p><p>• equações sem x : y′′ = g(y, y′).</p><p>5.4.1 Equações do tipo y′′ = f (x, y′)</p><p>Neste caso, fazemos a mudança v(x) = y′(x), o que nos dá v′(x) = y′′(x). Logo, podemos escrever a</p><p>equação como</p><p>v′ = f (x, v). (28)</p><p>Estas equações são de fato equivalentes,</p>- inserir axiomas de Peano, ou outro sistema
axiomático.
Soluções em séries para equações diferenciais
• falar sobre produto de séries de potencias
Soluções em séries para EDOs: pontos regulares
• adicionar mais comentários sobre o caso singular e singular-regular
Equações do calor, da onda e de Laplace
• ilustrações!
• fazer eq do calor e da onda com outros tipos de condições de contorno.
Sistemas de equações diferenciais
• melhorar a parte de álgebra linear
• comentar sobre pegar a matriz M com det(M) > 0
• discussão sobre pegar autovetores unitários ou quaisquer
Introdução à teoria qualitativa dos sistemas dinâmicos
• passar tudo sobre retrato de fase para este capı́tulo
• explicitar que no caso da sela, a direção dos autovetores é invariante
• explicar melhor como o foco é uma “espiral” com base na norma
• inserir alguns códigos computacionais
Séries de Fourier e problemas de valor de contorno
• detalhar mais a parte de séries de Fourier
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	Mais um texto de equações diferenciais
	Exemplos iniciais de equações diferenciais
	Nós já sabemos resolver equações diferenciais!
	Sistemas de equações diferenciais
	Um exemplo um pouco mais elaborado
	Classificação e existência de soluções para equações diferenciais
	Definições iniciais
	Classificação de equações diferenciais
	Existência e unicidade de soluções
	A geometria da solução
	Campo de direções e isóclinas
	Campo de direções para sistemas de equações diferenciais autônomas
	Transformando equações diferenciais de ordem alta em sistemas de equações
	Equações diferenciais lineares de primeira ordem
	Equações com coeficientes constantes
	EDOs lineares de primeira ordem com coeficientes variáveis
	Equações de Bernoulli
	Equações separáveis: modo ingênuo
	Formas diferenciais
	Campos vetoriais e formas diferenciais
	Formas lineares
	Formas diferenciais em R2
	Equações envolvendo formas diferenciais
	Equações separáveis e equações exatas
	Equações separáveis
	Equações exatas
	Transformando equações não-exatas em equações exatas
	Redução de ordem
	Equações diferenciais lineares de segunda ordem
	Existência de soluções
	Equações homogêneas de segunda ordem
	O Wronskiano
	O espaço-solução das equações diferenciais de segunda ordem
	Equações homogêneas: método das equações características
	Equações não-homogêneas: método dos coeficientes a determinar
	Equações não-homogêneas: método da variação dos parâmetros
	Equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes não-constantes
	Em termos de operadores diferenciais
	Equações de ordens superiores
	Transformada de Laplace
	Motivação e definição da transformada de Laplace
	Integrais impróprias
	Existência da Transformada de Laplace
	Transformadas de Laplace e PVIs
	Método geral
	Função degrau
	Transformadas inversas e funções degrau
	Função impulso e Delta de Dirac
	Transformadas de Laplace de produtos
	Sequências e séries numéricas
	Relações de equivalência
	O conjunto dos números reais
	Sequências
	Séries
	Critérios de convergência de séries
	Soluções em séries para equações diferenciais
	Polinômios de Taylor
	Séries de Potências
	Soluções em séries para EDOs: pontos regulares
	Soluções em séries para EDOs: pontos singulares
	Soluções em séries para EDOs: caso singular-regular
	Séries de Fourier e problemas de valor de contorno
	Problemas de valor de contorno
	Séries de Fourier
	Funções pares e funções ímpares
	Equações do calor, da onda e de Laplace
	Equação do calor
	Como resolver a equação do calor?
	A equação da onda
	A equação de Laplace
	Sistemas lineares e exponencial matricial
	Exponencial de.. matrizes?
	Espaços métricos
	Espaços normados
	Exponencial matricial
	Sistemas de equações diferenciais
	Equações homogêneas
	Equações não-homogêneas
	Retrato de fase
	Calculando explicitamente as exponenciais matriciais
	Sistemas não-homogêneos sem coeficientes constantes
	Resumo sobre soluções de sistemas de equações diferenciais de primeira ordem lineares
	Introdução à teoria qualitativa dos sistemas dinâmicos
	Retratos de fase
	Estabilidade estrutural
	Referências