Exercícios de Cálculo III

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<p>UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ - UFC</p><p>CENTRO DE CIÊNCIAS</p><p>DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA</p><p>Lista de Exerćıcios de Cálculo III</p><p>Aluno:</p><p>Exerćıcios</p><p>1. Determine os valores máximos e mı́nimos locais e pontos de sela da função.</p><p>(a) f(x, y) = 9− 2x+ 4y − x2 − 4y2.</p><p>(b) f(x, y) = x2 + y2 + x2y + 4.</p><p>(c) f(x, y) = e4y−x2−y2 .</p><p>(d) f(x, y) = ex cos y.</p><p>2. Determine os valores máximo e mı́nimo absolutos de f no conjunto D.</p><p>(a) f(x, y) = 1 + 4x − 5y, D é a região triangular fechada com vértices (0, 0), (2, 0) e</p><p>(0, 3).</p><p>(b) f(x, y) = 4x + 6y − x2 − y2, D é a região triangular fechada fechada com vértices</p><p>(1, 0), (5, 0) e (1, 4).</p><p>3. Determine a menor distância entre o ponto (2, 1,−1) e o plano x+ y − z = 1.</p><p>4. Determine os valores extremos da função f(x, y) = x2 + 2y2 no ćırculo x2 + y2 = 1.</p><p>5. Determine os valores máximo e mı́nimo da função f(x, y) = x2 + y2; xy = 1.</p><p>6. Determine os valores máximo e mı́nimo da função f(x, y) = 4x+ 6y; x2 + y2 = 13.</p><p>7. Determine os volumes máximo e mı́nimo da caixa retangular cuja superf́ıcie tem 1.500 cm2</p><p>e cuja soma dos comprimentos das arestas é 200 cm.</p><p>8. Calcule</p><p>∫ ∫</p><p>R y sen(xy), onde R = [1, 2]× [0, π].</p><p>9. Calcule a integral iterada.</p><p>(a)</p><p>∫ 3</p><p>1</p><p>∫ 1</p><p>0 (1 + 4xy)dxdy.</p><p>(b)</p><p>∫ 4</p><p>2</p><p>∫ 1</p><p>−1(x</p><p>2 + y2)dydx.</p><p>(c)</p><p>∫ π/2</p><p>0</p><p>∫ π/2</p><p>0 sen x cos y dydx.</p><p>10. Calcule a integral dupla.</p><p>(a)</p><p>∫ ∫</p><p>R(6x</p><p>2y3 − 5y4)dA, R = {(x, y); 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1}.</p><p>(b)</p><p>∫ ∫</p><p>R cos(x+ 2y)dA, R = {(x, y); 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ π/2}.</p><p>11. Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 3x+ 2y + z = 12 e acima</p><p>do retângulo R = {(x, y); 0 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 4}.</p><p>12. Calcule</p><p>∫ ∫</p><p>D(x+2y)dA, onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1+x2.</p><p>13. Calcule a integral</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>∫ 1</p><p>x sen(y2)dydx.</p><p>14. Calcule a integral</p><p>∫ ∫</p><p>D x3y2dA, onde D = {(x, y); 0 ≤ x ≤ 2, −x ≤ y ≤ x}.</p><p>“Nossa maior fraqueza é desistir.</p><p>O caminho mais certo para o sucesso é sempre tentar apenas uma vez mais.”</p><p>(Thomas Edison)</p><p>2</p>