Variáveis Aleatórias e Distribuição de Probabilidade

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UNESP SOROCABA 
ENGENHARIA AMBIENTAL – 05/09/2012 
VARIÁVEL ALEATÓRIA E DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE 
 
 Em qualquer experimento há diversas características que podem ser observadas ou medidas, mas 
na maioria dos casos o experimento enfocará um ou mais aspectos específicos da amostra. Por exemplo: 
em um estudo de padrões de transporte de uma área metropolitana, cada indivíduo por ser consultado 
sobre distância, sobre o número de pessoas que usam o mesmo veículo. Um pesquisador pode testar uma 
amostra de componentes e registrar apenas quantos apresentaram falhas dentro de mil horas, em vez de 
manter o registro de falhas individuais. 
 Em geral, cada resultado de um experimento é associado a um número, especificando-se uma 
regra de associação, por exemplo: a quantidade de componentes que apresentam falha em um período de 
mil horas em uma amostra de 10 componentes. Tal regra de associação é denominada variável aleatória. 
Variável porque é possível obter diferentes valores numéricos, e aleatória porque o valor observado 
depende de qual dos resultados possíveis do experimento é obtido. 
Uma variável aleatória (va) pode ser definida como: uma variável aleatória (va) X associa um 
valor numérico a cada resultado elementar de um experimento. Em termos matemáticos, uma va é uma 
função cujo domínio é o espaço amostral e o contra-domínio é um conjunto de números reais. 
As variáveis aleatórias são representadas por letras maiúsculas: X e Y, por exemplo. Uma letra 
minúscula representa um valor específico da variável aleatória correspondente. 
 Exemplo 1: quando um estudante tenta acessar um computador em uma rede, todas as portas estão 
ocupadas (F), caso em que o aluno não terá sucesso, ou haverá pelo menos uma porta livre (L), caso em 
que o estudante conseguirá acessar o sistema. Neste caso o espaço amostral é S = { F, L}. Uma va X pode 
ser definida como X(F) = 0 e X(L) = 1. A va X indica se o estudante pode ou não acessar a rede. 
 Exemplo 2: um sistema de comunicação de voz para uma empresa comercial contém 48 linhas 
externas. Em um certo tempo, o sistema é observado e algumas das linhas estão sendo usadas. Tomando a 
variável aleatória X como o número de linhas em uso, então X pode assumir qualquer valor entre 0 e 48. 
Quando o sistema for observado e se 10 linhas estiverem em uso, então x = 10. 
 Exemplo 3: em um processo de fabricação de um semicondutor, duas pastilhas de um lote são 
testadas. Cada pastilha é classificada como passa ou falha. Suponha que a probabilidade de uma pastilha 
passar no teste seja 0,8 e que as pastilhas seja independentes. O espaço amostral para o experimento é: 
 
Tabela 1: Teste das pastilhas 
Resultado Probabilidade x 
(passa, passa) 0,64 2 
(falha, passa) 0,16 1 
(passa, falha) 0,16 1 
(falha, falha) 0,04 0 
 
 A va X é definida como sendo igual ao número de pastilhas que passam no teste. Os valores que a 
variável aleatória X assume são: {0, 1, 2}. 
 
 As variáveis aleatórias podem ser de dois tipos: 
Variável aleatória discreta: assume um número finito ou infinito contável de valores numéricos. 
Variável aleatória contínua: assume um valor em um intervalo real, como por exemplo, a altura 
de uma pessoa. 
 
Distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta 
 
 A distribuição de probabilidade ou simplesmente a distribuição de uma v.a. discreta X é a listagem 
dos valores numéricos de X apresentados com suas probabilidades associadas. 
 Exemplo 4: existe uma probabilidade de que um bit transmitido através de um canal de 
transmissão digital seja recebido com erro. Sendo X igual ao número de bits com erro nos quatro 
próximos bits transmitidos, os valores possíveis são X = {0, 1, 2, 3, 4}. Suponha que as probabilidades 
são: 
 
Tabela 2: Distribuição de probabilidade de X 
Valor numérico de X Probabilidade 
0 
1 
2 
3 
4 
0,6561 
0,2916 
0,0486 
0,0036 
0,0001 
 
 Exemplo 5: seis lotes de um componente estão prontos para embarque em um fornecedor. O 
número de componentes com defeito em cada lote é: 
 
Lote 1 2 3 4 5 6 
Número de peças com defeito 0 2 0 1 2 0 
 
 Um desses lotes será selecionado aleatoriamente para embarque a um cliente específico. Seja X o 
número de peças com defeito no lote selecionado. Os valores possíveis para X são: 0, 1 e 2. As 
probabilidades são: P(X = 0) = 0,5; P(X = 1) = 0,1667 e P(X = 2) = 0,3333. 
 
 Função de probabilidade: A distribuição de probabilidade de uma va discreta X assumindo um 
número finito de valores x1, x2,...,xk é definida como uma função de probabilidade f(xi) = P(X = xi) que 
satisfaz as seguintes condições: 
 
1. 0)( ixf , para todo ix 
2. 


k
i
ixf
1
1)( 
 
 A função de probabilidade de uma variável aleatória pode ser representada pelo histograma de 
probabilidade. Considere que a probabilidade de um cliente comprar um laptop é de 80% e a 
probabilidade de comprar um desktop é de 20%. O histograma com essas probabilidades é: 
 
Histograma de probabilidades
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1
x
f(x
)
 
 
 
 
 
Uma aproximação da distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é dada 
considerando as frequências relativas como estimadores empíricos das probabilidades associadas a cada 
valor numérico da va X. 
 
Exemplo 7: seja X uma va que representa o número de revistas assinadas por um estudante de uma 
universidade. Em uma amostra aleatória com 400 estudantes, foi encontrada a seguinte distribuição: 
 
Número de Assinaturas Frequência Frequência Relativa 
0 
1 
2 
3 
4 
61 
153 
106 
56 
24 
0,1525 
0,3825 
0,2650 
0,1400 
0,0600 
Total 400 1,0000 
 
A distribuição de probabilidades de uma va X pode ser usada para determinar probabilidades de 
eventos em termos de X. Para calcular a probabilidade de X ser maior ou igual a 2, ou seja, a 
probabilidade de um aluno assinar duas ou mais revistas, é equivalente à união dos eventos disjuntos: 
{X = 2} ,{X = 3} e {X = 4}. Assim: P(X  2) = f(2) + f(3) + f (4) = 0,265 + 0,14 + 0,06 = 0,465. 
 Da mesma forma: P(X < 2) = f(0) + f(1) = 0,1525 + 0,3825 = 0,535 
 
 A média ou esperança de uma distribuição de probabilidade de uma va X é dada por: 
 

i
ii xfxXE )( )(  
No exemplo 7 a esperança é: 
 
5725,106,0*414,0*3265,0*23825,0*11525,0*0)( 
i
ii xfx 
 
 ou seja, o número média de assinaturas de revistas por aluno da universidade é 1,5725. 
 
A variância de uma distribuição de probabilidade é definida por: 
 
 
i
ii xfxXVar )()()(
22  
E o desvio padrão de uma distribuição de probabilidade: 
 
)(XVar 
 
Exemplo 8: dada a distribuição de probabilidade, calcule a média a variância e o desvio padrão: 
 
x )(xf )(xxf )( x 2)( x )()( 2 xfx  
0 
1 
2 
3 
4 
0,1 
0,2 
0,4 
0,2 
0,1 
 
Total 1,0 
 
 
 
 
 Função de probabilidade acumulada F(x) com função de probabilidade f(x) é definida como: 
 



cx
xfcXPcF )(}{)( 
Considerando o exemplo 7 acima tem-se, por exemplo, 
 
80,02650,03825,01525,0}2{)2(  XPF 
 
 
Exercícios 
 
1) Uma apólice de seguro de uma agência de turismo paga $1000,00 para o cliente no caso de perda de 
bagagem num roteiro de 5 dias. Se o risco desta perda é dado por 1 em 200, qual é o prêmio médio a ser 
pago por esta apólice? 
 
2) Um engenheiro tem duas oportunidades de investimento numa indústria que exigem igualmente R$ 
10.000,00 para cada investimento. O retorno estimado no investimento X será de R$ 40.000,00; R$ 
20.000,00 ou R$ 0,00. Com probabilidades 0,25; 0,50 e 0,25 respectivamente. Para o investimento Y os 
retornos estimados serão de R$ 30.000,00; R$ 20.000,00 ou R$ 10.000,00 com probabilidades 1/3 em 
cada caso. 
a) Escrever as distribuições de probabilidade para X e Y. 
b) Calcular E(X) e E(Y) 
c) Calcular Var(X) e Var(Y) 
d) Com qual investimento você ficaria? 
 
3) A função de probabilidade de uma va X é dada por: 
 
xxf 2
1
31
32)(  , para x = 1, 2, 3, 4, 5 
 
Calcule o valor numérico de f(x) para cada x e construa uma tabela de distribuição de probabilidade. Faça 
umhistograma de probabilidades. Calcule a média e o desvio-padrão desta distribuição. 
 
4) Assumindo o fato de que chover em um dia é independente de chover em outro dia e que a 
probabilidade de chover em um dia é de 40%, faça a distribuição de probabilidade para uma previsão de 
chuva em três dias. Calcule a média, a variância, o desvio-padrão e o valor esperado desta distribuição. 
 
5) O número de computadores por família em uma pequena cidade (EUA) é dado na tabela abaixo: 
 
X 0 1 2 3 
f(x) 300 200 95 20 
 
Use a distribuição de frequência para obter a distribuição de probabilidade e calcule a média, a variância, 
o desvio padrão e interprete os resultados. 
 
6) Uma produção diária de 850 peças fabricadas contém 50 que não obedecem ao requerimento do 
consumidor. Duas peças são selecionadas ao acaso, sem reposição do lote. Seja X a variável aleatória que 
designa o número de peças não conformes da amostra. Qual é a função de probabilidade acumulada de X? 
 
7) Um bit transmitido através de um canal digital pode ser recebido com erro. As probabilidades para a 
ocorrência de erro nos quatro próximos bits são, respectivamente: P(X=0) = 0,6561, P(X=1) = 0,2916, 
P(X=2) = 0,0486, P(X=3) = 0,0036 e P(X=4) = 0,0001. Verifique se é uma distribuição de probabilidade. 
Se for, calcule a média, a variância e o desvio padrão. 
 
8) O primeiro dígito de um número serial de uma peça é igualmente provável de ser qualquer dígito de 0 a 
9. Se uma peça for selecionada de um lote e X for o primeiro dígito do número serial, qual a 
probabilidade deste dígito ser menor do que 5? E maior igual a 8? 
 
9) Uma variável aleatória assume os seguintes valores X = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sabendo que P(X<4) = 
0,76 e P(X>4) = 0,16 determine P(X = 4). 
 
10) Um técnico presta assistência de máquinas de postagem em empresas em São Paulo. Dependendo do 
tipo de defeito, uma chamada de assistência pode levar 1, 2, 3 ou 4 horas. Os diferentes tipos de defeito 
ocorrem aproximadamente na mesma frequência. Desenvolva uma distribuição de probabilidade para a 
duração de uma chamada de assistência. Uma chamada de assistência chega as 15h e o técnico 
habitualmente deixa o trabalho às 17h. Qual a probabilidade de que o técnico terá de trabalhar em hora 
extra para consertar a máquina no mesmo dia? 
 
11) Uma empresa de computador está considerando uma expansão de fábrica que tornará possível à 
empresa começar a produzir um novo modelo de computador. O presidente da empresa precisa 
determinar se faz a expansão em média ou grande escala. Uma incerteza é a demanda para o novo 
produto, que para propósitos de planejamento pode Ter uma baixa demanda, uma média demanda ou uma 
alta demanda. As estimativas para as demandas são de 0,20, 0,50 e 0,30 respectivamente. Se X e Y 
indicam os lucros anuais em R$ 1.000,00, os planejadores da empresa têm de desenvolver as seguintes 
previsões de lucro para os projetos de expansão de média e de grande escala: 
 
Demanda X Y 
Alta 50 0 
Média 150 100 
Baixa 200 300 
 
a) calcule o valor esperado par o lucro associado às duas alternativas de expansão. Que decisão é 
preferida se o objetivo é maximizar o lucro esperado? 
b) Calcule a variância para o lucro associado às duas alternativas de expansão. Que decisão é preferida 
se o objetivo é minimizar o risco ou a incerteza?