Cálculo Numérico: Interpolação e Sistemas Lineares

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Universidade Federal de Itajubá
Instituto de Matemática e Computação
GABARITO DA PROVA 2
MAT012-Cálculo Numérico
Profa. Nancy Chachapoyas
Questão 1 (30 pts)
Dada a tabela:
x i -2 -1 0 1 2 3
f (x i) 1 a 11 16 13 b
(1)
(a) (20 pts) Encontrar os valores de a e b , sem efetuar truncamentos e/ou arredondamentos, assumindo
que f [x0,x1,x2,x3,x4] = 0 e que a diferença dividida de ordem 5 é
1
60 . [Trabalhe somente com
frações].
(b) (10 pts) Em seguida, usando interpolação de Newton encontre o polinômio que interpola os pon-
tos tabelados (1) e encontre o valor de f (1.5). Trunque e arredonde apenas o resultado final.
Obrigatoriamente, o polinômio tem que estar no formato a0 + a1 x + a2 x2 + . . . .
Solução:
(a) O operador diferenças divididas de ordem (i) é definido por: (05 pts)
f [x0, . . . ,x i] =
f [x1, . . . ,x i]− f [x0, . . . ,x i−1]
x i − x0
, i = 1, . . . ,n.
Assim, usando os dados da tabela (1) temos (os pontos são dados se, foi apresentado todos os detalhes,
foi usado a notação e definição de forma correta e não fez truncamentos e/ou arredondamentos, caso
contrário o item será zerado).
Ordem 1 : f [x0,x1] =
f [x1]− f [x0]
x1−x0
= a− 1. , f [x1,x2] =
f [x2]− f [x1]
x2−x1
= 11− a , · · · .
Ordem 2 : f [x0,x1,x2] =
f [x1,x2]− f [x0,x1]
x2−x0
= 12−2a2 . , f [x1,x2,x3] =
f [x2,x3]− f [x1,x2]
x3−x1
= −6+a2 .
Continuando o processo. . . , chegamos a tabela de diferenças divididas (14 pts)
x ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3 ordem 4 ordem 5
x0 = −2 1
(a− 1)
x1 = −1 a
12−2a
2
(11− a) −18+3a6 =
−6+a
2
x2 = 0 11
−6+a
2
16−4a
4×6 =
4−a
6
5 −2−a6
−16+5a+b
120
x3 = 1 16 −4
a+b
24
−3 −2+b6
x4 = 2 13
−10+b
2
(−13+ b)
x5 = 3 b
Como f [x0,x1,x2,x3,x4] = 0 então
4−a
6 = 0, logo a = 4 (5 pts) .
A diferença dividida de ordem 5 é −16+5a+b120 =
1
60 então 4+ b = 2 portanto b = −2 (5 pts).
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(b) Em nosso caso, há 6 pontos, então o polinômio interpolador de Newton é dado por
P5(x) = f [x0] + f [x0,x1](x − x0) + f [x0,x1,x2](x − x0)(x − x1)+
f [x0,x1,x2,x3](x − x0)(x − x1)(x − x2) + f [x0,x1,x2,x3,x4](x − x0)(x − x1)(x − x2)(x − x3)+
f [x0,x1,x2,x3,x4,x5](x − x0)(x − x1)(x − x2)(x − x3)(x − x4) (2)
Assim, obtemos o polinômio interpolador de grau cinco.
P5(x) = 1+3(x +2)+2(x +2)(x +1)−1(x +2)(x +1)x +
1
60
(x +2)(x +1)x(x −1)(x −2).(04pts)
Fazendo as operações de polinômios, obtemos
P5(x) = 11+
106
15 x − x
2 − 1312 x
3 + 160 x
5. (01pts)
Temos que f (1.5)≈ P5(1.5) = −11+
106
15 (1.5)− (1.5)
2 − 1312 (1.5)x
3 + 160 (1.5)
5 = 15.8203 (5pts)
Questão 2 (35 pts)
Seja o sistema linear Ax = b. Onde A=


1 6 7
5 6 −1
5 −3 1

 e b =


3
2
1

.
(a) (15 pts) Reordene as equações (troca de linhas) de modo que o critério de Sassenfeld seja satisfeito!
Solução:
Temos que:
β1 =
6
1 +
7
1 = 13> 1 (Falhou!).
Trocamos linhas 1 e 3; obtemos:
A=


5 −3 1
5 6 −1
1 6 7

 e b =


1
2
3

 (4 pts).
β1 =
1
5 +
3
5 =
4
5 < 1
β2 =
5
6β1 +
1
6 =
5
6 < 1
β3 =
1
7β1 +
6
7β2 =
29
35 < 1 (11 pts).
Portanto satisfaz o critério de Sassenfeld.
(b) (8 pts) Usando o item anterior escreva as equações do processo iterativo para o Método de Gauss-
Seidel.
Solução:
Temos que o algoritmo do método de Gauss-Seidel é
x (k+1)i =
1
aii
 
bi −
i−1
∑
j=i
ai j x
(k+1)
j
n
∑
j=i+1
ai j x
(k)
j
!
, i = 1, . . . ,n.
Em nosso caso temos que n= 3, e o algoritmo nos levará a
x (k+1)1 =
1
5
(1+ 3x k2 − x
k
3); x
(k+1)
2 =
1
6
(2− 5x (k+1)1 + x
k
3); x
(k+1)
3 =
1
7
(3− x (k+1)1 − 6x
(k+1)
2 ).
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(c) (12 pts) Determine o valor aproximado da solução do sistema reordenado em (a), usando as equa-
ções iterativas de Gauss-Seidel, considerando x0 = (0,0,0) com precisão relativa ε = 0.1. Sem a
justificativa do item anterior a resposta será zerada.
Solução:
Para k = 0, temos x (0) = (x (0)1 , x
(0)
2 , x
(0)
3 ) = (0,0,0). Logo:
x (1)1 =
1
5 (1+ 3(0)− 0) =
1
5 = 0.2;
x (1)2 =
1
6 (2− 5(0,2) + 0) =
1
6 = 0.1667;
x (1)3 =
1
7 (3− 0,2− 6(
1
6 )) =
1,8
7 = 0.2571.
x (2)1 =
1
5 (1+ 3(
1
6 )− 0,2571) = 0,2486;
x (2)2 =
1
6 (2− 5(0,2486) + 0.2571) = 0.1690;
x (2)3 =
1
7 (3− 0,2486− 6(0.1690)) = 0.2582.
Desta forma, obtemos
k x (k+1)1 x
(k+1)
2 x
(k+1)
3 ‖x
(k+1)‖∞ ‖x (k+1) − x k‖∞ Erro relativo
0 0.2 0.1667 0.2571 0.2571 0.2571 1
1 0.2486 0.1690 0.2482 0.2582 0.0486 0.1955
2 0.2518 0.1649 0.2513 0.2518 0.0041 0.0163
(10pts)
Então a solução aproximada x do sistema linear, com precisão menor que 0.1, obtida pelo
método de Gauss-Seidel, é x = x3 = (0.2518; 0.1649;0.2518). (02 pts).
Questão 3 (35 pts)
Seja I =
∫ 1
0
f (x)d x , onde f (x) =
4
1+ x2
.
(a) (10 pts) Usando a regra dos Trapézios, qual é o número de subdivisões de modo que o erro seja
inferior a 2× 10−4?.
Dica: Use f (ii)(x) = 8
(−1+ 3x2)
(1+ x2)3
e o fato que o máximo de | f (ii)(x)| em [0,1] esta num dos extremos.
Solução:
O número se subdivisões, para que o erro seja menor do que |ETR|, pode ser obtido por: (se a
fórmula está incorreta, o item será zerado):
n>
√
√
√
maxx∈[a,b] | f ′′(x)|(b− a)3
12|ETR|
.
Temos que:
f (ii)(x) = 8
(−1+ 3x2)
(1+ x2)3
. E o máximo de | f (ii)(x)| em [0,1] esta num dos extremos.
f (ii)(0) = 8
(−1+ 3(0)2)
(1+ (0)2)3
= −8
f (ii)(1) = 8
(−1+ 3(1)2)
(1+ (1)2)3
= 2
Então M2 = 8 (04 pts). Assim, para a Regra Composta do Trapézio, o número mínimo de
subintervalos para que o erro fosse menor do que 2× 10−4 é:
n>
√
√8× 104
12× 2
∼= 57,7350.
Então n= 58. (06 pts)
(b) (15 pts) Calcule I, usando a regra 13 de Simpson com erro inferior a 1.5× 10
−3.
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Gabarito da Prova 2 - 07/12/2021(continuação)
Dica: Use f (iv)(x) = 96
(1− 10x2 + 5x4)
(1+ x2)5
e o fato que o máximo de | f (ii)(x)| em [0,1] esta num dos
extremos.
Solução:
Temos que:
f (iv)(x) = 96
(1− 10x2 + 5x4)
(1+ x2)5
e que o máximo de | f (ii)(x)| em [0,1] esta num dos extremos.
f (iv)(0) = 96
(−1+ 3(0)2)
(1+ (0)2)3
= −8
f (iv)(1) = 96
−4
25
=
−96
23
.
Então M4 = 96 (02 pts).
Assim, para a Regra de Simpson Repetida o número mínimo de subintervalos para que o erro
fosse menor do que 1.5× 10−3 é:
m>
4
√
√
√
maxx∈[a,b] | f iv(x)|(b− a)5
180|ESR|
= 4
√
√ 96× 103
180× 1,5
= 4
p
355,5556∼= 4,3423
Como m é par, então m= 6 (06 pts).
Temos
f (x) =
4
1+ x2
, h=
1
6
.
x 0 16
2
6
3
6
4
6
5
6 1
f(x) 4 14437
18
5
16
5
36
13
144
61 2
ISR =
1
18
(4+ 4(
144
37
+
16
5
+
144
61
)2(
18
5
+
36
13
) + 2) =
1
18
(4+ 4(9,4525) + 2(6,3692) + 2)
=
1
18
(56,5484) = 3,1416 (07pts).
(c) (10 pts) Estime I, usando quadratura Gaussiana com 3 pontos.
Solução:
Fazendo mudança de variáveis: x(t) = 12 ((b− a)t + a+ b). Temos, que,
∫ b
a
f (x)d x =
∫ 1
−1
F(t)d t, onde F(t) = f
�
1
2
((b− a)t + a+ b)
�
(b− a)
2
.
Então, em nosso caso,
I =
∫ 1
0
4
1+ x2
d x =
∫ 1
−1
F(t)d t, onde F(t) =
1
2
f
�
1
2
(t + 1)
�
=
1
2
�
16
t2 + 2t + 5
�
=
8
t2 + 2t + 5
.(05pts)
Usando quadratura Gaussiana com pontos 3 (n= 2). Temos,
I =
∫ 1
−1
F(t)d t ≈
5
9
F
�
−
√
√3
5
�
+
8F(0)
9
+
5
9
F
�√
√3
5
�
=
5
9
(1.97492) +
8
9
(1,6) +
5
9
(1.11901) = 3.14107.
Logo, I =
∫ 1
0 f (x)d x ≈ 3.14107. usando quadratura Gaussiana com 3 pontos. (05 pts)
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