Ajustamento de Observações - Apostila Prof Simões

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<p>Curso de Engenharia de Agrimensura e Cartográfica</p><p>AAJJUUSSTTAAMMEENNTTOO DDEE</p><p>OOBBSSEERRVVAAÇÇÕÕEESS PPOORR</p><p>MMÍÍNNIIMMOOSS QQUUAADDRRAADDOOSS</p><p>EEMM CCIIÊÊNNCCIIAASS GGEEOODDÉÉSSIICCAASS</p><p>Prof. Antonio Simões Silva</p><p>Viçosa – 2011</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 2</p><p>SUMÁRIO</p><p>Capítulo 01 AJUSTAMENTO DE OBSERVAÇÕES 03</p><p>Capítulo 02 TEORIA DOS ERROS 07</p><p>Capítulo 03 DISTRIBUIÇÃO NORMAL 13</p><p>Capítulo 04 PROPAGAÇÃO DE VARIÂNCIAS 18</p><p>Capítulo 05 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 31</p><p>Capítulo 06 MÉTODO PARAMÉTRICO 45</p><p>Capítulo 07 MÉTODO DOS CORRELATOS 68</p><p>Capítulo 08 MÉTODO COMBINADO 77</p><p>Capítulo 09 AJUSTAMENTO DE UMA TRIANGULAÇÃO 82</p><p>Capítulo 10 ELIPSE DE ERROS 92</p><p>REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 99</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>3</p><p>RN 1</p><p>RN 2</p><p>AJUSTAMENTO DE OBSERVAÇÕES</p><p>1.1. INTRODUÇÃO</p><p>Ao obter uma medida que se requer confiança, qualquer pessoa, intuitivamente repetirá</p><p>observações e não irá confiar em apenas uma observação. Mas a partir de várias observações de</p><p>uma mesma grandeza, que resultado final representa a melhor estimativa e que seja único deverá</p><p>ser utilizado?</p><p>O ajustamento de observações cuida da resolução de problemas deste tipo, bem como a</p><p>estimativa de precisão da solução adotada.</p><p>O ajustamento de observações leva, além de uma solução única, a coerência de</p><p>observações a modelos matemáticos apropriados a cada caso. Nos casos mais simples realiza-se</p><p>medidas sobre as próprias grandezas incógnitas. Quando tais incógnitas se ligam por equações de</p><p>condição o problema se torna menos simples. Outras vezes mede-se grandezas que se vinculam</p><p>às incógnitas através de relações funcionais conhecidas, é o caso de observações indiretas ou</p><p>parâmetros (ex. coordenadas, altitudes). Em qualquer caso o que se busca, é purificar as</p><p>observações das inconsistências que as acompanham, ou seja, ajustá-las, juntamente com</p><p>parâmetros (quando existem), a um modelo matemático.</p><p>Algumas dificuldades podem surgir quando se pretende ponderar as observações onde se</p><p>deve atribuir mais peso àquelas que têm maior precisão; isto pressupõe o conhecimento da</p><p>precisão com que as medidas são efetuadas.</p><p>Exemplo 01: A figura 1.1 esquematiza uma pequena rede de nivelamento geométrico.</p><p>Em função dos desníveis medidos, a altitude de RN1 pode ser transportada até RN2; como são</p><p>diversos os caminhos possíveis, estes poderão fornecer várias soluções.</p><p>Fig. 1.1</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 4</p><p>O ajustamento, entretanto, conduzirá a uma solução única tornando as observações</p><p>ajustadas com o modelo matemático adotado.</p><p>Alternativamente, a altitude de RN2 pode ser "fixada" como a de RN1; neste caso as</p><p>observações são ajustadas de tal maneira que o transporte de altitudes a partir de RN1 produza</p><p>em RN2 o valor igual ao prefixado.</p><p>Fig. 1.2</p><p>Exemplo 02: P e Q são vértices de uma cadeia de triangulação já ajustada, razão pela qual suas</p><p>coordenadas são consideradas "fixas". Na poligonal PABCQ medem-se os lados e os ângulos,</p><p>ambos eletronicamente. Admitindo-se que tais observações sejam, num caso ideal, isentas de</p><p>erros, ainda assim as coordenadas transportadas a partir de P podem chegar em Q com erro.</p><p>Neste caso em que não há erros de observações o que faz com que as coordenadas calculadas a</p><p>partir de P não "fechem" em Q, poderá ser o modelo matemático do cálculo do transporte numa</p><p>superfície diferente daquela superfície em que foram calculadas P e Q. Como exemplo, pode-se</p><p>citar um caso em que as coordenadas de P e Q poderiam estar no sistema UTM e o cálculo da</p><p>poligonal num plano topográfico em que não se levou em conta a esfericidade da superfície.</p><p>Fig. 1.3</p><p>A</p><p>7</p><p>D</p><p>8</p><p>6</p><p>C</p><p>5</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>4</p><p>B</p><p>A</p><p>P</p><p>B</p><p>C</p><p>Q</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>5</p><p>Exemplo 03: Na figura 1.3, nota-se os ângulos medidos de um quadrilátero completo de uma</p><p>triangulação geodésica. Depois de ajustados, a soma dos ângulos de todos os triângulos esféricos</p><p>do quadrilátero deverá satisfazer a condição matemática que é: a soma dos ângulos de cada</p><p>triângulo é igual a 180o mais o excesso esférico do triângulo.</p><p>1.2. O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS</p><p>Considerando o caso da medida direta de uma grandeza x; sejam l1, l2,...,ln os valores</p><p>obtidos em uma série de n observações.</p><p>Na impossibilidade de obter o verdadeiro valor de x, usa-se uma estimativa que seja mais</p><p>provável. Adotando, o valor x como o mais provável e calculando as diferenças:</p><p>x - l1 = v1</p><p>x - l2 = v2</p><p>x - l3 = v3</p><p>. . . (1.1)</p><p>. . .</p><p>x - ln = vn</p><p>Ou x - li = vi para i = 1, 2, 3, ..., n</p><p>Tais diferenças (vi) são os resíduos, isto é, os valores a priori desconhecidos, que</p><p>somados às observações reproduzem o valor estimado x.</p><p>Poder-se-ia, mudando o critério, eleger um valor diferente x' como o mais provável. Isto</p><p>resultaria num novo conjunto de resíduos:</p><p>x' – li = v'i (1.2)</p><p>Para um novo valor estimado de x, teríamos um novo conjunto de resíduos</p><p>x" – li = v"i (1.3)</p><p>e assim por diante</p><p>Qual dos valores x, x', x" dever-se-ia adotar? Em outras palavras, como escolher um</p><p>critério que permita, das observações repetidas li, discrepantes entre si, extrair um valor único</p><p>para representar a incógnita x?</p><p>Há mais de duzentos anos os geodesistas optaram por seguir o caminho indicado por</p><p>Gauss e Legendre: aceitar como melhor estimativa de x o valor que torna mínima a soma dos</p><p>quadrados dos resíduos.</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 6</p><p>Até a bem pouco, o M.M.Q., conservava a notação original de Gauss, respeitada</p><p>universalmente.</p><p>[v.v] = min , (1.4)</p><p>onde, o colchete indica somatório com intervalo de 1 a n, sem utilizar expoentes.</p><p>Quando as observações não oferecem o mesmo grau de confiança, é atribuído a cada uma</p><p>das observações um peso. Este traduz a precisão com que a observação foi obtida. A equação 1.4</p><p>fica:</p><p> min min</p><p>1</p><p>n</p><p>pi vi ou p v v</p><p>i</p><p>    </p><p></p><p>(1.5)</p><p>onde p representa pesos e v representa resíduos.</p><p>Modernamente prefere-se a linguagem matricial:</p><p>mintV V  (1.6)</p><p>em que V é o vetor coluna dos resíduos. À estas observações vincula-se pesos, ficando:</p><p>mintV PV  (1.7)</p><p>sendo P uma matriz quadrada (matriz dos pesos).</p><p>No capítulo 5 há mais discussões sobre o MMQ, método dos mínimos quadrados.</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>7</p><p>TEORIA DOS ERROS</p><p>2.1. INTRODUÇÃO</p><p>Na medida de uma determinada grandeza, certos fatores como a limitação humana,</p><p>imperfeição instrumental e instabilidade da natureza fazem com que as medidas não tenham</p><p>exatidão absoluta. Um operador repetindo várias vezes uma mesma medida, os resultados</p><p>provavelmente não serão idênticos, por maior que seja o cuidado utilizado nas observações.</p><p>Assim, pode-se afirmar que em todas as medidas há erros.</p><p>Com a finalidade de conhecer bem a teoria dos erros, serão apresentados, a seguir, alguns</p><p>conceitos importantes e de uso comum no ajustamento de observações.</p><p>2.2. ALGUNS CONCEITOS</p><p>2.2.1. Erro Verdadeiro</p><p>É a diferença, entre a observação de uma grandeza física e o seu verdadeiro valor.</p><p>Na prática, não se conhece o valor verdadeiro da grandeza; conhece-se o valor mais</p><p>provável desta grandeza.</p><p>2.2.2. Erro Aparente (e)</p><p>Erro aparente ou simplesmente erro (e) é a diferença, entre a observação de uma grandeza</p><p>(xi) e seu valor mais provável x .</p><p>xxe ii  (2.1)</p><p>2.2.4. Resíduo (v)</p><p>Denomina-se de resíduo o simétrico do erro, ou seja, é a grandeza com o mesmo valor do erro,</p><p>porém com sinal contrário.</p><p>i iv x x  (2.2)</p><p>2.2.5. Erro Relativo (er)</p><p>É a relação entre o módulo do erro aparente e o valor mais provável da grandeza ( x ).</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 8</p><p>e</p><p>er x</p><p> (2.3)</p><p>Considerando um conjunto de observações</p><p>variância a posteriori, fator de variância, sigma</p><p>zero a posteriori ou ainda variância de referência.</p><p>O valor estimado de 2</p><p>o</p><p>̂ é obtido pela fórmula:</p><p> </p><p>)mn(</p><p>PVTV2</p><p>0</p><p>ˆ</p><p></p><p> , [6.49]</p><p>em que n é o número de observações e m o número de parâmetros.</p><p>6.5 - ROTINA PARA APLICAÇÃO DO MODELO PARAMÉTRICO</p><p>Com a finalidade de tornar fácil aplicação do modelo paramétrico sugere-se a seguinte</p><p>seqüência de operações.</p><p>1 Estudar o problema e formular equações matemáticas para cada uma das observações,</p><p>evidentemente na forma: La = F(Xa).</p><p>2 Obter valores aproximados para os parâmetros (Xo).</p><p>3 Encontrar a matriz dos pesos = Cobs</p><p>.-1</p><p>4 Encontrar o vetor Lo = F(Xo).</p><p>5 Encontrar o vetor L= Lb - Lo.</p><p>6 Encontrar a matriz A.</p><p>7 Resolver o sistema de equações normais X = (ATPA)-1 ATPL.</p><p>8 Encontrar os parâmetros ajustados Xa=Xo+X</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>53</p><p>Se pelo menos uma das correções (X) não satisfizer um limite de tolerância pré-</p><p>estabelecido, deve-se realizar iterações. Quando se faz iterações volta-se ao passo 2 e</p><p>usa-se para os novos valores de Xo o Xa obtido na primeira passagem. Após o vetor X</p><p>atingir os valores especificados prossegue-se o ajustamento, indo para o passo 9.</p><p>9 Encontrar os resíduos V=AX-L</p><p>10 Estimar a variância a posteriori.</p><p>11 Calcular a matriz variância covariância dos parâmetros estimados (precisão dos</p><p>parâmetros estimados)</p><p>12 Encontrar as observações ajustadas La = Lb+V.</p><p>13 Calculam-se as precisões das observações ajustadas.</p><p>6.6 LINEARIZAÇÃO DE ALGUNS MODELOS FUNCIONAIS</p><p>6.6.1 Ângulos</p><p>12</p><p>12</p><p>13</p><p>13</p><p>NN</p><p>EE</p><p>tana</p><p>NN</p><p>EE</p><p>tana</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Derivadas parciais</p><p>2</p><p>31</p><p>13</p><p>2</p><p>21</p><p>12</p><p>1 d</p><p>NN</p><p>d</p><p>NN</p><p>E</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>31</p><p>13</p><p>2</p><p>21</p><p>12</p><p>1 d</p><p>EE</p><p>d</p><p>EE</p><p>N</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>21</p><p>12</p><p>2 d</p><p>NN</p><p>E</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>21</p><p>12</p><p>2 d</p><p>EE</p><p>N</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>31</p><p>13</p><p>3 d</p><p>NN</p><p>E</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>31</p><p>13</p><p>3 d</p><p>EE</p><p>N</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Figura 5.3</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 54</p><p>6.6.2 Distâncias</p><p>Função distância     2</p><p>1</p><p>2</p><p>12</p><p>2</p><p>1221 NNEED </p><p>Derivadas parciais</p><p>21</p><p>12</p><p>1 d</p><p>EE</p><p>E</p><p>D</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>21</p><p>12</p><p>1 d</p><p>NN</p><p>N</p><p>D</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>21</p><p>12</p><p>2 d</p><p>EE</p><p>E</p><p>D</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>21</p><p>12</p><p>2 d</p><p>NN</p><p>N</p><p>D</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>6.6.3Azimutes</p><p>Função azimute</p><p>12</p><p>12</p><p>21</p><p>NN</p><p>EE</p><p>tanaAz</p><p></p><p></p><p></p><p>Derivadas parciais</p><p>2</p><p>21</p><p>12</p><p>1 d</p><p>NN</p><p>E</p><p>Az</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>21</p><p>12</p><p>1 d</p><p>EE</p><p>N</p><p>Az</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>21</p><p>12</p><p>2 d</p><p>NN</p><p>E</p><p>Az</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>21</p><p>12</p><p>2 d</p><p>EE</p><p>N</p><p>Az</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Em consequência da diferenciação surge a dúvida como ficam as unidades dos elementos das</p><p>matrizes. Vejamos o caso da matriz dos coeficientes das incógnitas, a matriz A. As linhas da matriz A</p><p>provenientes das observações de ângulos e azimutes, quando as coordenadas aproximadas estão em</p><p>metros, têm dimensões 1/m.</p><p>Para que o vetor X tenha a dimensão metros, multiplicamos essas derivadas por 206264,8” (ou</p><p>dividimos por sen1”). Com isso os elementos dessas linhas passam a ter a dimensão em seg/m (usamos</p><p>aqui a notação seg para segundos de arcos para facilitar a digitação). Vejamos o que acontece com o vetor</p><p>   PLAPAAX TT 1</p><p> no caso de uma linha proveniente de uma observação de ângulo. O primeiro</p><p>parênteses terá dimensão</p><p>1</p><p>22</p><p>2 1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>segm</p><p>seg</p><p>que resulta em m2. O segundo parênteses terá a dimensão</p><p>1</p><p>22</p><p>2 1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>segm</p><p>seg</p><p>que resulta em</p><p>m</p><p>1</p><p>. Com isso o vetor resultante X será em metros.</p><p>6.7 Exercícios</p><p>Exercício 1 - O quadro e o esquema que se seguem referem-se um nivelamento geométrico que</p><p>partiu da referência de nível A, de altitude igual a 656,260 m; as setas indicam o sentido em que</p><p>o terreno se eleva.</p><p>Linha Desnível Comprimento</p><p>A-B 6,67 m 4 Km</p><p>A-C 12,78 m 2 Km</p><p>B-C 6,15 m 2 Km</p><p>A-d 1,92 m 4 Km</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>55</p><p>D-C 11,88 m 2 Km</p><p>D-B 5,77 m 4 Km</p><p>Estimar, pelo modelo paramétrico, as altitudes das estações B, C e D, com as correspondentes</p><p>precisões.</p><p>Solução: Estudando o problema, pode-se verificar que os parâmetros são as 3 altitudes</p><p>incógnitas.</p><p>Resolvendo-se o problema obedecendo à seqüência sugerida anteriormente, temos:</p><p>1: As equações de observações que envolvem os parâmetros</p><p>1 B A</p><p>2 C A</p><p>3 C B</p><p>4 D A</p><p>5 C D</p><p>6 B D</p><p>dn H H</p><p>dn H H</p><p>dn H H</p><p>dn H H</p><p>dn H H</p><p>dn H H</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p>2: Os parâmetros aproximados</p><p>X</p><p>H dn</p><p>H dn</p><p>H dn</p><p>o</p><p>A</p><p>A</p><p>A</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>2</p><p>4</p><p>662 930</p><p>669 040</p><p>658 180</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>3 O peso, em se tratando de nivelamento, pode ser considerado como o inverso do comprimento</p><p>das seções niveladas (veja equação5.52) , sendo portanto uma matriz quadrada (6x6), e contendo</p><p>elementos diferentes de zero apenas na diagonal, ou</p><p>P </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1 4 0 0 0 0 0</p><p>0 1 2 0 0 0 0</p><p>0 0 1 2 0 0 0</p><p>0 0 0 1 4 0 0</p><p>0 0 0 0 1 2 0</p><p>0 0 0 0 0 1 4</p><p>/</p><p>/</p><p>/</p><p>/</p><p>/</p><p>/</p><p>4 O vetorLo=F(Xo)</p><p>Lo=F(Xo) =</p><p>6 67</p><p>12 78</p><p>6 11</p><p>1 92</p><p>10 86</p><p>4 75</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>5 Vetor L</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 56</p><p>L = Lb-Lo =</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>02,1</p><p>02,1</p><p>00,0</p><p>04,0</p><p>00,0</p><p>00,0</p><p>77,575,4</p><p>88,1186,10</p><p>92,192,1</p><p>15,611,6</p><p>78,1278,12</p><p>67,667,6</p><p>6 Sendo 6 observações e 3 parâmetros, a matriz A será 6x3, e tem a seguinte forma:</p><p>A </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>1 1 0</p><p>0 0 1</p><p>0 1 1</p><p>1 0 1</p><p>7: Efetuar as multiplicações de matrizes para resolver o sistema de equações.</p><p>A P A PAT T</p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>0 25 0 0 5 0 0 0 25</p><p>0 0 5 0 5 0 0 5 0</p><p>0 0 0 0 25 0 5 0 25</p><p>1 0 5 0 25</p><p>0 5 1 5 0 5</p><p>0 25 0 5 1</p><p>, , ,</p><p>, , ,</p><p>, , ,</p><p>, ,</p><p>, , ,</p><p>, ,</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p>612,0</p><p>212,0</p><p>188,0</p><p>)(</p><p>765,0</p><p>530,0</p><p>235,0</p><p>1 PLAPAAXPLA TTT</p><p>8 Parâmetros ajustados</p><p>662,930 0,188 663,118</p><p>Xa Xo X 669,040 0,212 669,252</p><p>658,180 0,612 657,568</p><p>   </p><p>   </p><p>    </p><p>   </p><p>      </p><p>9 Vetor dos resíduos:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>220,0</p><p>196,0</p><p>612,0</p><p>016,0</p><p>212,0</p><p>188,0</p><p>LAXV</p><p>10 matriz variância covariância dos parâmetros</p><p>a) fator de variância a posteriori</p><p>mn</p><p>PVV</p><p>ˆ</p><p>T</p><p>2</p><p>o</p><p></p><p></p><p>Antonio Simões 2011</p><p>57</p><p>2</p><p>o</p><p>0,15638</p><p>ˆ 0,052127</p><p>6 3</p><p>  </p><p></p><p>Veremos adiante que este fator é importante para a avaliação do ajustamento. Para um bom</p><p>ajustamento este fator de variância a posteriori deverá ser igual ao fator de variância a priori, ou</p><p>seja igual a 1. Neste exemplo isto não acontece, mesmo assim prosseguiremos com os passos do</p><p>ajustamento. Mais adiante trataremos desse assunto. No momento calculemos a MVC supondo</p><p>que o valor do</p><p>2</p><p>o̂ igual a 1 foi obtido.</p><p>b) MVC dos parâmetros ajustados</p><p>12</p><p>ox NˆC </p><p>Supondo que o fator de variância a posteriori igual a 1, temos,</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p>6,18,08,0</p><p>8,02,18,0</p><p>8,08,06,1</p><p>NC 1</p><p>x</p><p>Os valores encontrados no item 8 agora podem ter sua qualidade avaliada, dessa forma as</p><p>altitudes calculadas têm as seguintes precisões:</p><p>Alt de B 663,118 1,26m</p><p>Alt de C 669,252 1,09m</p><p>Alt de D 657,568 1,26m</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>11: Observações ajustadas:</p><p>6.7 ANÁLISE DO AJUSTAMENTO COM BASE NO TESTE qui quadrado</p><p>A variância a priori é geralmente igual a 1. O valor do fator de variância a posteriori é</p><p>determinado por:</p><p>gl</p><p>PVV</p><p>mn</p><p>PVV TT</p><p>2</p><p>0</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>donde </p><p> 2</p><p>0</p><p>.gl = VTPV.</p><p>Sabe-se que</p><p>2</p><p>gl2</p><p>o</p><p>T PVV</p><p></p><p></p><p>e portanto</p><p>2</p><p>gl2</p><p>o</p><p>2</p><p>0</p><p>gl.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Para testar se este valor é igual a variância a priori fazemos as seguintes hipóteses:</p><p>6,67 0,188 6,858</p><p>12,78 0,212 12,992</p><p>6,15 0,016 6,134</p><p>La Lb V</p><p>1,92 0,612 1,308</p><p>11,88 0,196 11,684</p><p>5,77 0,220 5,550</p><p>     </p><p>     </p><p>     </p><p>     </p><p>         </p><p>     </p><p>     </p><p>     </p><p>     </p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 58</p><p></p><p></p><p>22</p><p>22</p><p>ooHa</p><p>ooHo</p><p></p><p></p><p>Chamadas hipóteses nula e alternativa respectivamente.</p><p>Compara-se o valor calculado</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>0</p><p>T</p><p>2</p><p>o</p><p>T</p><p>2 PVVPVV</p><p>com os valores teóricos (tabelados)</p><p> </p><p></p><p></p><p>2</p><p>2</p><p>1,g</p><p>2</p><p>2</p><p>,g</p><p>e</p><p></p><p>A hipótese nula não é rejeitada ao nível de significância , se</p><p>glgl</p><p>2</p><p>2</p><p>1,g</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>,g</p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p>Isto é verificado usando a Tabela I (Anexa) ou usando o programa PQUI disponível no</p><p>endereço www.ufv.br/dec/eam.</p><p>No exemplo anterior 2</p><p>0̂ = 0,052127</p><p>Para o nível de significância de 5% e grau de liberdade igual 3, os valores tabelados são</p><p>22,02</p><p>025,0;3  e 35,92</p><p>975,0;3 </p><p>E a região de aceitação vai de 0,22/3 = 0.073 a 9,35/3=3,116. Neste caso a hipótese nula é</p><p>rejeitada com 5% de chance de se está cometendo um erro tipo I. Esse erro tipo I é quando no</p><p>nível de significância de % (no exemplo 5%) está se rejeitando a Ho quando ela é verdadeira.</p><p>O erro tipo II é quando se aceita a Ho e ela é falsa. A probabilidade de cometer o erro tipo I é  e</p><p>a probabilidade de se cometer o erro tipo II é  = 1-.</p><p>Supondo que não houve erro de cálculo nem erro grosseiro e que o modelo matemático está</p><p>correto, poderíamos atribuir esse valor do sigma zero ao peso super ou sub estimado.se isso for</p><p>verdade podemos redimensionar a MVC das observações multiplicando esta pelo fator de</p><p>variância a posteriori. Esta opção de corrigir os pesos é feita somente quando os erros nas</p><p>observações são pequenos de tal modo que os resíduos não sejam grandes. Os resíduos exercem</p><p>papel preponderante no cálculo do fator de variância a posteriori uma vez que este é calculado</p><p>com base no somatório do quadrado dos resíduos. Se os resíduos tiverem valores altos o </p><p> 2</p><p>0</p><p>também terá, informando que poderá haver erros grosseiros nas observações.</p><p>A precisão final dos coordenadas é calculada a partir da MVC dos parâmetros ajustados.</p><p>1T2</p><p>0X</p><p>)PAA(ˆC</p><p></p><p></p><p>Se ̂</p><p>2</p><p>0</p><p>é estatisticamente igual a 1 temos</p><p>1)(  PAAT</p><p>XC que a forma que se espera.</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>59</p><p>Exercício 6.2 Dada a poligonal com cinco vértices cujas observações se seguem, ajustar pelo</p><p>modelo paramétrico, e preencher o quadro de resultados. Verificar se o </p><p> 2</p><p>0</p><p>é estatisticamente</p><p>igual a um. Caso não seja analisar qual a causa.</p><p>VALORES FIXOS</p><p>E1=7708,490 E5 =9574,490</p><p>N1 = 8875,290 N5 = 9727,470</p><p>Az1-2 72o 08’ 58”</p><p>Az4-5 58o 17’ 56”</p><p>Ângulos Horários</p><p>em de para Grau min Seg. Sigma</p><p>P2 P1 P3 162 37 21 2”</p><p>P3 P2 P4 193 18 06 2”</p><p>P4 P3 P5 170 08 49 2”</p><p>em para Distancia (m) sigma</p><p>P2 P1 703,280 2mm</p><p>P2 P3 473,290 2mm</p><p>P3 P4 687,480 2mm</p><p>P4 P5 202,310 2mm</p><p>RESULTADOS</p><p>E(m) E(mm) N(m) N(mm)</p><p>P1 7708,490 0,0 8875.290 0,0</p><p>P2 8377.987 1,7 9090.890 0,5</p><p>P3 8764.536 2.1 9364.164 2,1</p><p>P4 9402.283 1,5 9621.108 0,9</p><p>P5 9574.490 0,0 9727.470 0,0</p><p>Exercício 6.3 – Intercessão a ré. São conhecidas as coordenadas dos vértices P1, P2, P3 e P4 e</p><p>foram observadas a partir de um ponto P de coordenadas desconhecidas, as distâncias deste</p><p>àqueles de coordenadas conhecidas.</p><p>Este Norte</p><p>P1 842,281 m 925,523 m</p><p>P2 1.337,544 996,249</p><p>P3 1.831,727 723,962</p><p>P4 840,408 658,345</p><p>A caderneta de campo com as distâncias observadas e respectivos desvios padrões, é:</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 60</p><p>li Distância (m) m</p><p>p-p1 244,512 0,012</p><p>p-p2 321,570 0,016</p><p>p-p3 773,154 0,038</p><p>p-p4 279,992 0,014</p><p>Pede-se estimar as coordenadas da estação P assim como as suas precisões.</p><p>Resposta.: Coordenadas de P, N = 824,733 ± 0,016m e E = 1065,081 ± 0.009m.</p><p>Exercício 6.4 - Foi rastreado com um receptor GPS um ponto P1 para determinação de suas</p><p>coordenadas geodésicas tridimensionais no sistema WGS 84, conhecem-se as coordenadas dos 6</p><p>satélites rastreados e as coordenadas aproximadas do ponto. Do rastreamento resultaram 6</p><p>pseudodistâncias (que são as observações). São dados ainda os erros dos relógios dos satélites</p><p>(ds) e os desvios padrões das pseudodistâncias observadas. Estimar as coordenadas do ponto P1</p><p>e suas precisões.</p><p>a) Calcular as coordenadas X, Y, Z do ponto P</p><p>b) Com base nos resíduos das observações identificar qual o satélite que fornece a</p><p>observação com maior resíduo.</p><p>c) Com base na variância a posteriori estipular qual seria a precisão da observação de cada</p><p>satélite para que a variância a posteriori fosse igual a 1.</p><p>Solução.</p><p>a) A fórmula para o cálculo da pseudodistância é PD</p><p>S</p><p>R (t) =  S</p><p>R (t) - c. dts + c.dtr</p><p>Em que  é a distancia calculada de receptor ao satélite(conhecida como distancia geométrica); c</p><p>é a velocidade da luz (c = 299792458.0m/seg); ds é o erro do relógio do satélite e dr é o erro do</p><p>relógio do receptor.O valor aproximado de dr é zero.</p><p>Coordenadas dos satélites, ds, pseudodistâncias, e desvios-padrões</p><p>Xs (m) Ys (m) Zs (m) ds(seg) Pseudodistância</p><p>observ.(m)</p><p>dp</p><p>(m)</p><p>sat7 16738224.211 -16596912.868 12513940.581 -0.00010600 22985761.906 30.0</p><p>sat8 12582105.850 -8823397.583 -21859402.787 -0.00002433 21771517.547 30.0</p><p>sat10 -2076553.603 -24105796.503 -10667729.513 0.00006071 22637640.680 30.0</p><p>sat13 25618586.335 -6059209.650 3151665.020 -0.00000814 21990296.031 30.0</p><p>sat27 19074927.760 -1396544.290 -18056906.295 0.00002878 21720173.102 30.0</p><p>sat28 12278566.010 -20500494.406 -10997880.073 0.00004694 20195216.406 30.0</p><p>coordenadas aproximadas no ponto rastreado</p><p>Xo = 4373304,83930m</p><p>Yo = -4059433,05580m</p><p>Zo = -2247309,64520m</p><p>Erro aproximado do relógio do receptor, dr = 0.00000</p><p> = [(Xs –Xo)2 + (Ys – Yo)2 + (Zs- Zo)2]1/2</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>61</p><p>distância geométrica do sat 1 22977687.859m</p><p>distância geométrica do sat 2 21787931.739m</p><p>distancia geométrica do sat 3 22679524.513m</p><p>distância geométrica do sat 4 22011588.305m</p><p>distância geométrica do sat 5 21752517.999m</p><p>distância geométrica do sat 6 20232996.202m</p><p>Matriz Var Cov das Observações</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>900</p><p>0900</p><p>00900</p><p>000900</p><p>0000900</p><p>00000900</p><p>Matriz A</p><p>0299792458.0.4324900.8125870.390711-</p><p>0299792458.0.7267940.122417- 0.675858-</p><p>0299792458.0.245279-0.090851 0.965186-</p><p>0299792458.0.371279 0.8838970.284391</p><p>0299792458.0.9001360.2186520.376759-</p><p>0299792458.0.642417-0.5456370.538127-</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Vetor L</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>223707.5380-</p><p>823716.8703-</p><p>723732.5842-</p><p>123683.4328-</p><p>523708.1422-</p><p>523703.9536-</p><p>Matriz AT PA =N</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>150.599170E 060.513978E060.809175E 060.886803E-</p><p>060.513978E 02-0.237359E 03-0.460712E 03-0.345881E-</p><p>060.809175E 03-0.460712E02-0.201149E03-0.496741E-</p><p>060.886803E-03-0.345881E-03-0.496741E- 02-0.228159E</p><p>Matriz Inversa de N</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 62</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>13-0.382860E 05-0.434877E- 04-0.115124E-04-0.117152E</p><p>05-0.434877E-030.939771E 040.121739E040.128276E-</p><p>04-0.115124E- 040.121739E040.400542E 040.341803E-</p><p>040.128276E-040.341803E-04-0.117152E 040.405311E</p><p>Vetor AT PL = U</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>8.762184738470337-</p><p>40.63926-</p><p>63.96499-</p><p>70.16784</p><p>Vetor das Correções X =</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>.00008-</p><p>4.76662-</p><p>2.08157-</p><p>40.69439</p><p>Vetor dos resíduos = AX - L</p><p>AX L V</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2813 23708.-</p><p>23719.3417-</p><p>23726.9262-</p><p>23680.6650-</p><p>23708.7063-</p><p>23708.6009-</p><p>-</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>23707.5380-</p><p>23716.8704-</p><p>23732.5843-</p><p>23683.4328-</p><p>23708.1423-</p><p>23703.9537-</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>0.74325-</p><p>2.47133-</p><p>5.65810</p><p>2.76777</p><p>0.56401-</p><p>4.64727-</p><p>Sigma zero quadrado a posteriori 0.1947</p><p>Coordenadas e erro do relógio ajustadas e precisões</p><p>X = 4 373 345.534m ± 12.397m</p><p>Y = -4 059 435.137m ± 12.324m</p><p>Z = -2 247 314.412m ± 5.969m</p><p>dr = -0.00008 seg ± 0.00000</p><p>b) O satélite cuja observação tem o maior resíduo é o satélite 13</p><p>c) O valor da variância a posteriori está dentro do intervalo de aceitação, que é, para 5% de</p><p>significância, entre 0,025 e 3,69, portanto é estatisticamente igual a 1.</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>63</p><p>TABELA I Distribuição Qui-quadrado</p><p>A tabela dá o valor da distribuição qui-quadrado (</p><p>2 ) que, para os graus de liberdade (g.l., primeira</p><p>coluna), deixa probabilidade ps (primeira linha) na cauda superior.</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 64</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>65</p><p>MÉTODO DAS EQUAÇÕES DE CONDIÇÕES</p><p>7.1 Introdução</p><p>O método das equações de condições (ou dos correlatos) não envolve parâmetros, o</p><p>modelo matemático é função dos valores observados ajustados. O exemplo clássico de aplicação</p><p>deste método é o ajustamento das observações de um triangulo plano em que os valores</p><p>observados, depois de ajustados, deverão satisfazer a uma equação de condição como segue:</p><p>a + b+ c =180º</p><p>Em se tratando de valores simplesmente observados, é sabido que:</p><p>a + b + c - 180o =W (Triângulo plano)</p><p>a + b + c - (180º + ) = W (Triângulo esférico).</p><p>Onde  é o excesso esférico e W o erro de fechamento</p><p>As observações deverão ser tratadas ou ajustadas, a fim de satisfazer uma condição</p><p>matemática.</p><p>O modelo matemático que caracteriza observações condicionadas, na forma matricial é:</p><p>F(La) = 0 [7.1]</p><p>onde F simboliza r equações e La é o vetor das observações ajustadas.</p><p>Assim tendo-se como resultado n observações ajustadas, que podem ser obtidas por:</p><p>La = Lb + V [7.2]</p><p>então:</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 66</p><p>F(Lb + V) = 0, [7.3]</p><p>aplicando a esta equação a linearização utilizando o desenvolvimento em série de Taylor na</p><p>forma matricial, vem:</p><p>F L F L V F L</p><p>F</p><p>L</p><p>Va b b</p><p>a Lb</p><p>( ) ( ) ( )    </p><p></p><p></p><p>0 [7.4]</p><p>A função F(Lb) dos valores observados, tem o significado de um erro de fechamento e</p><p>será simbolizado por W.</p><p>W = F(Lb) [7.5]</p><p>Chamando de B a matriz rxn (sendo r o número de equações e n o número de</p><p>observações) resultante de aplicações dos valores observados Lb nas derivadas parciais, ou:</p><p>b</p><p>LLa</p><p>L</p><p>F</p><p>n</p><p>B</p><p>r </p><p></p><p></p><p>[7.6]</p><p>e daí temos</p><p>BV+W=0 [7.7]</p><p>que é o modelo linearizado do método dos correlatos, representativo de r equações de</p><p>condição transformadas, ligando n incógnitas vi.</p><p>Esta última equação sintetiza, na realidade, sob a forma matricial, n equações de</p><p>observação, ou:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>W</p><p>W</p><p>W</p><p>W</p><p>v</p><p>v</p><p>v</p><p>l</p><p>f</p><p>l</p><p>f</p><p>l</p><p>f</p><p>l</p><p>f</p><p>l</p><p>f</p><p>l</p><p>f</p><p>l</p><p>f</p><p>l</p><p>f</p><p>l</p><p>f</p><p>n</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>n</p><p>2</p><p>1</p><p>n</p><p>r</p><p>2</p><p>r</p><p>1</p><p>r</p><p>n</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>n</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>...</p><p>......</p><p>......</p><p>......</p><p>...</p><p>...</p><p>[7.8]</p><p>Para que as incógnitas se subordinem ao MMQ e ao mesmo tempo satisfaçam às</p><p>equações de condição, utiliza-se a técnica lagrangiana em forma matricial.</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>67</p><p>Definindo a função :</p><p> )( WBVK2PV</p><p>T</p><p>V mínimo [7.9]</p><p>sendo k o vetor (rx1) dos multiplicadores de Lagrange (ou correlatos).</p><p>Igualando a zero as derivadas parciais em relação a V e a K:</p><p>0KBPV0KB2PV2</p><p>V</p><p>TT </p><p></p><p></p><p>[7.10]</p><p>0WBV0)WBV(2</p><p>K</p><p></p><p></p><p></p><p>[7.11]</p><p>A primeira das equações matriciais anteriores:</p><p>0KBV.P 1rr</p><p>T</p><p>n1nnn  [7.12]</p><p>representa n equações algébricas e a segunda,</p><p>0WV.B 1r1nnr  [7.13]</p><p>r equações algébricas lineares.</p><p>Resolvendo a equação 7.12 em relação a V ou</p><p>V= P-1BTK [7.14]</p><p>e introduzindo este vetor na equação 7.13</p><p>B P-1 BTK + W = 0 [7.15]</p><p>obtém-se a equação matricial representativa do sistema de r equações normais que proporciona</p><p>os r multiplicadores de Lagrange (correlatos):</p><p>K = - (BP-1 BT)-1 . W [7.16]</p><p>ou K = -M-1 W [7.17]</p><p>com M=B . P-1 BT. [7.18]</p><p>Uma vez obtido o vetor dos correlatos K, chega-se no vetor dos resíduos com</p><p>V = P-1 BT K. [7.19]</p><p>Com os resíduos conhecidos, pode-se então chegar nas observações ajustadas:</p><p>La = Lb + V. [7.20]</p><p>7.2. M.V.C. dos Valores Ajustados</p><p>As formulas a seguir, da matriz variância-covariancia das observações ajustadas têm sua</p><p>derivações em Gemael,1994. O leitor é encorajado a acompanhar aquelas deduções para ampliar</p><p>seu domínio de cálculo matricial.</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 68</p><p>1 1 T 1 1</p><p>CLa P P B M .B.P   </p><p>  [7.21]</p><p>Pode-se reescrever a equação anterior da seguinte forma:</p><p> 1 T 1 1C P I B M .B.PLa</p><p>    [7.22]</p><p>Sendo I uma matriz identidade.</p><p>A matriz covariância das observações brutas tem, como não poderia deixar de ser , a mesma</p><p>forma daquela do método paramétrico</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2 1</p><p>31</p><p>obs</p><p>2</p><p>m</p><p>C P</p><p></p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p>  </p><p> </p><p> </p><p> </p><p>  </p><p>[7.23]</p><p>logo</p><p> 1BP1MTBI</p><p>Lb</p><p>C</p><p>La</p><p>C  [7.24]</p><p>Assim vê-se que a segunda parte desta última equação representa uma melhoria às</p><p>precisões das observações, introduzida com o ajustamento.</p><p>7.3 VARIÂNCIA DA OBSERVAÇÃO DE PESO UNITÁRIO A POSTERIORI (</p><p>2</p><p>o̂ )</p><p>O valor estimado de</p><p>2</p><p>o̂ pode ser calculado com a fórmula:</p><p>r</p><p>PVVT</p><p>2</p><p>o</p><p>ˆ  [7.25]</p><p>sendo r o número de equações de condições.</p><p>Pode-se demonstrar que:</p><p>WKTPVTV  [7.26]</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>69</p><p>A</p><p>2</p><p>B</p><p>3</p><p>4</p><p>C</p><p>1</p><p>5</p><p>7.4 ROTINA PARA APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS CORRELATOS</p><p>Com a finalidade de tornar fácil aplicação do método dos correlatos para tratar dados</p><p>relativos a um determinado problema, a seqüência de passos a seguir pode ser obedecida:</p><p>1º Formular equação, na forma F (La)=0</p><p>2º Encontrar a matriz nPn= 1</p><p>Lb</p><p>2</p><p>oC</p><p>3º Encontrar o vetor dos erros de fechamento W</p><p>4º Encontrar a matriz rBn</p><p>5º Resolver o sistema de equações   W</p><p>1</p><p>BTBP 1K</p><p></p><p>KBTP 1V </p><p>6º Obter as observações ajustadas La=Lb+V</p><p>7º Obter a MVC de La</p><p>8º Se pelo menos um dos resíduos não satisfizer um limite de tolerância pré-estabelecido,</p><p>retornar ao item 2 e resolver novamente fazendo Lb igual ao resultado do item 6. Lb=La.</p><p>7.5. EXERCÍCIOS</p><p>Exercício 7.1. Sejam o esquema e os dados da caderneta a seguir que se referem a uma rede de</p><p>nivelamento geométrico. Pede-se efetuar o ajustamento pelo método dos mínimos quadrados</p><p>utilizando-se o método das equações de condição.</p><p>Linha R - V Desnível (m) Dist. (KM)</p><p>1 C - 4 10,038 1,14</p><p>2 4 – 3 8,297 2,84</p><p>3 3 – 5 1,949 3,21</p><p>4 5 – 1 -5,217 6,03</p><p>5 4 – 5 10,244 6,75</p><p>6 3 – 2 1,562 0,84</p><p>7 1 – 2 4,837 2,94</p><p>8 2 – B -3,370 2,01</p><p>9 A - 1 -15,979 5,28</p><p>Altitudes conhecidas:</p><p>HÁ = 33,831 m</p><p>HB = 19,316 m</p><p>HC = 2,791 m</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 70</p><p>1) O número de observações é nove (n = 9) (desníveis medidos) e o número de pontos cujas</p><p>altitudes não são conhecidas (incógnitas) é cinco (u = 5), então o número de equações de</p><p>condições r = n - u = 4.</p><p>Assim, devem ser formuladas 4 equações de condição independentes entre si.</p><p>a) Formular equações:</p><p>Dentre as várias possibilidades sejam por exemplo:</p><p>0</p><p>a</p><p>6l</p><p>a</p><p>7l</p><p>a</p><p>4l</p><p>a</p><p>3l</p><p>0a</p><p>5</p><p>la</p><p>3</p><p>la</p><p>2</p><p>l</p><p>0</p><p>A</p><p>H</p><p>B</p><p>Ha</p><p>8</p><p>la</p><p>7</p><p>la</p><p>9</p><p>l</p><p>0CHBH</p><p>a</p><p>8l</p><p>a</p><p>6l</p><p>a</p><p>2l</p><p>a</p><p>1l</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>)(</p><p>)(</p><p>b) Matriz dos Pesos:</p><p>Considerando as observações independentes entre si, e os pesos como sendo</p><p>inversamente proporcional ao comprimento das seções niveladas, a inversa da matriz peso será</p><p>então:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>28,500000000</p><p>001,20000000</p><p>0094,2000000</p><p>00084,000000</p><p>000075,60000</p><p>0000003,6000</p><p>00000021,300</p><p>000000084,20</p><p>0000000014,1</p><p>1P</p><p>c) Vetor dos erros de fechamento:</p><p>)(</p><p>)(</p><p>)(</p><p>)( mm</p><p>7</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>b</p><p>6</p><p>lb</p><p>7</p><p>lb</p><p>4</p><p>lb</p><p>3</p><p>l</p><p>b</p><p>5</p><p>lb</p><p>3</p><p>lb</p><p>2</p><p>l</p><p>A</p><p>H</p><p>B</p><p>Hb</p><p>8</p><p>lb</p><p>7</p><p>lb</p><p>9</p><p>l</p><p>C</p><p>H</p><p>B</p><p>Hb</p><p>8</p><p>lb</p><p>6</p><p>lb</p><p>2</p><p>lb</p><p>1</p><p>l</p><p>4</p><p>w</p><p>3</p><p>w</p><p>2</p><p>w</p><p>1</p><p>w</p><p>bLFW</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>d) Matriz dos coeficientes B:</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>71</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>001101100</p><p>000010110</p><p>111000000</p><p>010100011</p><p>9</p><p>B</p><p>4</p><p>e) Resolver o Sistema de Equações Normais:</p><p>TB1BPMeW1MK0WKM </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>00942840003621300</p><p>000075602138420</p><p>285012942000000</p><p>00120840000842141</p><p>PB 1</p><p>,,,,</p><p>,,,</p><p>,,,</p><p>,,,,</p><p>.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>0213213942840</p><p>21380120842</p><p>94202310012</p><p>840842012836</p><p>TB1BPM</p><p>,,,,</p><p>,,,</p><p>,,,</p><p>,,,,</p><p>M  </p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>0 185 0 046 0 050 0 035</p><p>0 117 0 019 0 034</p><p>0 097 0 031</p><p>0 084</p><p>, , , ,</p><p>, , ,</p><p>, ,</p><p>,</p><p>e K M W  </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>0 37</p><p>0 06</p><p>0 07</p><p>0 57</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>Cálculo do vetor dos resíduos: KTB1PV </p><p>P B V P B KT T  </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1 1</p><p>114 0 0 0</p><p>2 84 0 2 84 0</p><p>0 0 3 21 3 21</p><p>0 0 0 6 03</p><p>0 0 6 75 0</p><p>0 84 0 0 0 84</p><p>0 2 94 0 2 94</p><p>2 01 2 01 0 0</p><p>0 5 28 0 0</p><p>0 4</p><p>0 8</p><p>1 6</p><p>3 4</p><p>0 5</p><p>0 2</p><p>1 8</p><p>0 9</p><p>0 3</p><p>,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>,</p><p>,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>, ,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>mm</p><p>f) Cálculo das Observações Ajustadas:</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 72</p><p>L L Va b  </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>10 0376</p><p>8 2962</p><p>1 9474</p><p>5 2204</p><p>10 2435</p><p>1 5622</p><p>4 8352</p><p>3 3709</p><p>15 9793</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>Verificações:</p><p>As equações de condição, tanto naturais como transformadas, prestam-se as verificações,</p><p>as primeiras mediante os desníveis ajustados e as segundas mediantes os resíduos.</p><p>Por exemplo:</p><p>525,165251,16</p><p>525,163709,35622,12962,80376,10</p><p>8621</p><p></p><p></p><p> CB</p><p>aaaa HHllll</p><p>o mesmo poderia ser feito com as outras equações.</p><p>Altitudes:</p><p>As altitudes das equações novas são obtidas das altitudes fixas somando-se os respectivos</p><p>desníveis ajustados, independentemente do caminho percorrido; assim:</p><p>829,12</p><p>a</p><p>2l</p><p>a</p><p>6l</p><p>a</p><p>8lBHIH</p><p>ou829,12038,10791,2</p><p>a</p><p>1lCHIH</p><p></p><p></p><p>Exercício 7.2: Dada a poligonal cujas observações se seguem, ajustar pelo método dos</p><p>correlatos.</p><p>VALORES FIXOS</p><p>E1=7708,490 E5 =9574,490</p><p>N1 = 8875,290 N5 = 9727,470</p><p>Az1-2 72o 08’ 58”</p><p>Az4-5 58o 17’ 56”</p><p>Ângulos Horarios</p><p>em de para Grau Min Seg Sigma</p><p>P2 P1 P3 162 37 21 2”</p><p>P3 P2 P4 193 18 06 2”</p><p>P4 P3 P5 170 08 49 2”</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>73</p><p>em para Distancia (m) sigma</p><p>P2 P1 703,280 2mm</p><p>P2 P3 473,290 2mm</p><p>P3 P4 687,480 2mm</p><p>P4 P5 202,310 2mm</p><p>RESULTADOS</p><p>E E N N</p><p>P1</p><p>P2</p><p>P3</p><p>P4</p><p>P5</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 74</p><p>MÉTODO COMBINADO</p><p>8.1 INTRODUÇÃO</p><p>O método combinado, nada mais é que uma combinação entre o método paramétrico e o</p><p>condicionado. Como já foi visto, no método paramétrico aparecem parâmetros desconhecidos e</p><p>no condicionado quantidades observadas. No combinado aparecerá simultaneamente parâmetros</p><p>e quantidades observadas,</p><p>No método do paramétrico, cujo modelo matemático é:</p><p>)</p><p>a</p><p>X(F</p><p>a</p><p>L  [8.1]</p><p>nos diz que os valores observados ajustados podem ser expressos como uma função explicita dos</p><p>parâmetros ajustados.</p><p>No método dos correlatos, cujo modelo matemático é:</p><p>0)</p><p>a</p><p>L(F </p><p>[8.2]</p><p>nos diz que os valores observados ajustados ligam-se através de equações de condição.</p><p>Já no método combinado, o modelo matemático aparece sob a seguinte forma</p><p>0)</p><p>a</p><p>X,</p><p>a</p><p>L(F  [8.3]</p><p>a qual reúne tanto valores ajustados como valores observados ajustados, porém ligados por uma</p><p>função não explícita.</p><p>Para proceder a linearização do modelo F(La,Xa)=0 utilizando-se o desenvolvimento de</p><p>Taylor, e sabendo que</p><p>Xa= Xo+X [8.4]</p><p>e La= Lb+ V [8.5]</p><p>, vem:</p><p>0)LL(</p><p>L</p><p>F</p><p>)XX(</p><p>X</p><p>F</p><p>)L,X(F</p><p>)VL,XX(F)L,X(F</p><p>ba</p><p>La</p><p>oa</p><p>Xa</p><p>bo</p><p>boaa</p><p>bo</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>[8.6]</p><p>em que</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>75</p><p>: A</p><p>F</p><p>X</p><p>B</p><p>F</p><p>L</p><p>e W F X L</p><p>a X a L</p><p>o b</p><p>o b</p><p>  </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>; ( , )</p><p>Vem:</p><p>AX + BV + W = 0 [8.7]</p><p>que é o modelo linearizado.</p><p>Admitindo que existem n valores observados e m parâmetros ligados por r equações,</p><p>resultam as seguintes dimensões para as matrizes:</p><p>0</p><p>1</p><p>W</p><p>r1</p><p>V</p><p>n</p><p>.</p><p>n</p><p>B</p><p>r1</p><p>X</p><p>m</p><p>.</p><p>m</p><p>A</p><p>r</p><p></p><p>[8.8]</p><p>Para que as incógnitas se subordinem ao MMQ e ao mesmo tempo satisfaçam às</p><p>equações de condição, como no caso anterior (método dos correlatos), utiliza-se a técnica</p><p>Lagrangiana em forma matricial, definindo a função :</p><p>imomin)WBVAX(TK2PVTV  [8.9]</p><p>sendo K, como anteriormente, o vetor dos multiplicadores de Lagrange ou dos correlatos.</p><p>Igualando a zero as derivadas parciais em relação a V, K e X:</p><p>0KBPVKB2PV2</p><p>V</p><p>TT </p><p></p><p></p><p>[8.10]</p><p>0WBVAX)WBVAX(2</p><p>K</p><p></p><p></p><p></p><p>[8.11]</p><p>0KAKA2</p><p>X</p><p>TT </p><p></p><p></p><p>[8.12]</p><p>O sistema envolvendo as equações anteriores representa um conjunto de n + r + m</p><p>equações algébricas envolvendo n + r + m incógnitas: n resíduos (v), r correlatos (K) e m</p><p>parâmetros (X). Ou, as três equações matriciais envolvem três incógnitas, os vetores V,.K e X e</p><p>podem ser reunidas em uma híper-matriz:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1m</p><p>1r</p><p>1n</p><p>1m</p><p>1r</p><p>1r</p><p>1m</p><p>1r</p><p>1n</p><p>mmr</p><p>T</p><p>mnm</p><p>mr</p><p>mnr</p><p>T</p><p>nnn</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>W</p><p>0</p><p>X</p><p>K</p><p>V</p><p>.</p><p>0A0</p><p>Ar0rrBn</p><p>0BP</p><p>[8.13]</p><p>As equações 8.10 a 8.12 ou a híper-equacão anterior, representam as equações normais</p><p>do método combinado</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 76</p><p>8.2 RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES NORMAIS</p><p>Pode-se seguir dois raciocínios:</p><p>1o) A resolução direta da hiper-equação anterior:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>0</p><p>W</p><p>0</p><p>.</p><p>1</p><p>0A0</p><p>A0B</p><p>0TBP</p><p>X</p><p>K</p><p>V</p><p>[8.14]</p><p>Que proporciona simultaneamente os n + r + u valores desconhecidos mas que tem como</p><p>inconveniente a necessidade de se trabalhar com matrizes de dimensão muito elevada,</p><p>principalmente na inversão da matriz.</p><p>2o) A resolução na forma mais simples, ou equação por equação.</p><p>Têm-se as seguintes equações normais:</p><p>0KBPV T  [8.15]</p><p>0WBVAX  [8.16]</p><p>0KAT  [8.17]</p><p>Resolvendo a [8.15] tem-se:</p><p>V = P-1 BT K [8.18]</p><p>Substituindo e em [8.16]</p><p>: AX + BP-1 BT K + W = 0 [8.19]</p><p>Chamando M = BP-1BT</p><p> AX + MK + W = 0 [8.20]</p><p>Explicitando K : K = -M-1 (AX + W) [8.21]</p><p>Substituindo em [8.17]</p><p>: -ATM-1(AX + W) = O [8.22]</p><p>AT M-1AX - AT M-1 W= 0 [8.23]</p><p>X=-(ATM-1 A)-1 ATM-1 W [8.24]</p><p>Obtidas as componentes xi do vetor das correções X, a seguinte seqüência se observa:</p><p>Obter:</p><p>K = -M-1(AX+W) [8.25</p><p>V = P-1 BTK [8.26]</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>77</p><p>e então: Xa = Xo + X e La = Lb + V</p><p>8.3. M.V.C. no MÉTODO COMBINADO</p><p>Sem apresentar deduções, mas também ciente de que é resultado da aplicação de lei de</p><p>propagação de covariâncias às equações envolvidas, a MVC dos parâmetros ajustados pode ser</p><p>obtida utilizando-se:</p><p>1</p><p>AMTA2</p><p>oˆxaC 1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>  [8.27]</p><p>Simultaneamente pode-se obter a MVC dos valores observados ajustados:</p><p>]1BP1MTB1P1BP1MTA)A1MTA(A1MTB1P1P[2</p><p>oLaC 1   8.28</p><p>8.4 VARIÂNCIA DA OBSERVAÇÃO DE PESO UNITÁRIO A POSTERIORI</p><p>Pode ser obtido pela expressão</p><p>ur</p><p>P VTV2</p><p>o</p><p>ˆ</p><p></p><p> [8.29]</p><p>ur</p><p>WTK2</p><p>o</p><p>ˆ</p><p></p><p></p><p> [8.30]</p><p>8.5 – Exercícios</p><p>Exercício 8.2: Dada a poligonal cujas observações se seguem, ajustar pelo método combinado.</p><p>VALORES FIXOS</p><p>E1=7708,490 E5 =9574,490</p><p>N1 = 8875,290 N5 = 9727,470</p><p>Az1-2 72o 08’ 58”</p><p>Az4-5 58o 17’ 56”</p><p>Ângulos Horarios</p><p>em de para Grau Min Seg Sigma</p><p>P2 P1 P3 162 37 21 2”</p><p>P3 P2 P4 193 18 06 2”</p><p>P4 P3 P5 170 08 49 2”</p><p>em para Distancia (m) sigma</p><p>P2 P1 703,280 2mm</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 78</p><p>P2 P3 473,290 2mm</p><p>P3 P4 687,480 2mm</p><p>P4 P5 202,310 2mm</p><p>RESULTADOS</p><p>E E N N</p><p>P1</p><p>P2</p><p>P3</p><p>P4</p><p>P5</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>79</p><p>AJUSTAMENTO DE UMA TRIANGULAÇÃO</p><p>1. Introdução</p><p>A triangulação é o processo de determinação de posições geodésicas em que as</p><p>observações são majoritariamente ângulos. É necessário o conhecimento de um par de</p><p>coordenadas e uma escala para que o levantamento tenha uma escala e uma referência (datum).</p><p>A triangulação é composta de uma sucessão de quadriláteros completos. O quadrilátero completo</p><p>é aquele formado por quatro vértices. De cada um deles são observados os outros três perfazendo</p><p>um total de oito ângulos.</p><p>Assim veremos o ajustamento de um quadrilátero completo.</p><p>1.1 Triângulo Geodésico</p><p>Os lados de um triângulo geodésico são de dimensões tais que fogem do alcance da</p><p>topografia, e deve-se considerar a esfericidade da Terra. A soma dos ângulos internos sempre</p><p>excede 180o, surgindo o denominado excesso esférico aqui simbolizado pela letra </p><p>A+B+C=180º A+B+C=180º + </p><p>Para calcular o excesso esférico, utiliza-se do fato de que ele é proporcional a área do triângulo</p><p>esférico, ou seja:</p><p>rd = S/R2</p><p>onde S = área do triângulo esférico; R = raio da esfera local.</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 80</p><p>Considerando o triângulo esférico como se fosse plano (figura abaixo), pode-se calcular a</p><p>sua área por : S = ½.b.h,</p><p>mas h=a.senC, logo S=½. a.b.senC</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>h</p><p>O raio da esfera local e o médio é calculado por R=(MN)1/2, logo a fórmula que permite</p><p>calcular o excesso esférico fica:</p><p>"1NsenM</p><p>senC.ba</p><p>2</p><p>1</p><p>"ou</p><p>NM</p><p>senC.ba</p><p>2</p><p>1</p><p>rd </p><p>2 - O AJUSTAMENTO NA TRIAGULAÇÃO GEODÉSICA</p><p>2-1 INTRODUÇÃO</p><p>Para realizar o ajustamento de redes de triangulação geodésicas,pode-se aplicar o método</p><p>dos correlatos. Na formulações das equações é interessante saber o número de equaçõese tipo de</p><p>equações, o que será apresentado asseguir.</p><p>A figura mais usada na triangulação brasileira é constituída de quadriláteros completos,</p><p>como na figura a seguir:</p><p>A</p><p>D</p><p>C</p><p>B</p><p>Fig. 2 – Quadrilátero Completo</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>81</p><p>2-2 EQUAÇÕES DE CONDIÇÕES</p><p>Número de equações de condição:</p><p>Dois tipos de equações ocorrem no caso das triangulações, as equações de ângulos e as</p><p>equações de lados, sendo o número total fornecido pela seguinte fórmula:c=n-2v+4 onde v é o</p><p>número de vértices, n é o número de ângulos independentes e c o número de equações.</p><p>No caso do quadrilátero completo tem-se 4 vértices (v = 4) e oito ângulos medidos</p><p>independentemente (n = 8).Então:c=8-2*4+4 = 4, logo tem-se 4 equações de condições.</p><p>Número de equações de ângulos:</p><p>Ca= I2+v2+1 , onde I2 é o número de linhas visadas em ambas as direções, v2 é o número</p><p>de vértices ocupados e Ca o número de equações de ângulos.</p><p>No quadrilátero I2 = 6 e v2 = 4 , então Ca = 6 – 4 + 1 = 3, logo consegue-se formular 3 equações</p><p>de ângulos, independentes entre si.</p><p>EXEMPLO NUMÉRICO</p><p>Seja o ajustamento dos ângulos de um quadrilátero com os dados a seguir:</p><p>Ângulos Observados</p><p>1 = 28O 32’13,06” 3 = 52O 07’06,20” 5 = 41O 43’02,70” 7 = 47O 44’15,82”</p><p>2 = 63O 38’46,70” 4 = 22O 31’04,10” 6 = 68O 01’35,37” 8 = 35O 41’51,54”</p><p>A</p><p>7</p><p>D</p><p>8</p><p>6</p><p>C</p><p>5</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>4</p><p>B</p><p>a - Formção das equações:</p><p>a1 - Equações de ângulos:</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 82</p><p>Do quadrilátero pode-se tirar um triâgulo,o que a primeira vistaaté pareceque se pode</p><p>formular quatro equações de ângulos.Porém,apenas três destes triângulos são independentes e</p><p>que devem ser tomados na formulações das equações.</p><p>Na escolha dos triângulos, fixa-se um dos vértices como sendo o polo,e toma-se os três</p><p>triângulos que possui este em comum,excluindo o quarto triângulo.Para escolher o polo usa-se o</p><p>critério de que este deve ser o vértice que possua a maior soma de ângulo, o que no exemplo</p><p>corresponde ao C.</p><p>Neste caso os triângulos escolhidos são;ABC, ADC e CBD, cujos excessos esféricos sào .</p><p>1 = 1,491 2 = 1,075 3 = 1,014 respectivamente.</p><p>A equação do triângulo ABC poderá ser formulada como a seguir:</p><p>2a+(3+4)a + 5 =180o + </p><p>sendo  = excesso esférico,que no caso deste triângulo é igual a 1,491”,</p><p>mas (2)a =(2) + v2</p><p>(3+4)a = (3) + v3 + (4) + v4</p><p>(5a)=( 5) + (v5),então:</p><p>(2) + v2 + (3) + v3+ (4) + v4 + (5) + v5=180o+</p><p>mas:(2)+(3)+(4)+(5)=179o59’59,7” logo</p><p>179o59’59,7”-180o-1,491”+ v2 + v3 + v4 + v5 = 0</p><p>-1,791” + v2 + v3 + v4 + v5 = 0 ou v2 + v3 + v4 + v5 –1,791”= 0 e w1= -1,791”.</p><p>No triângulo CDB o excesso esférico é  = 1,014” e também por desenvolvimento</p><p>análogo, chega-se em v4 + v5 + v6 + v7 –3,024” = 0 e w2=-3,024”.</p><p>a2 – Equação de lado:</p><p>Para a formação desta equação , usa - se o polo, escolhido conforme critério descrito</p><p>anteriormente e faz-se o seguinte artifício:</p><p>)(1 </p><p>CB</p><p>CD</p><p>CD</p><p>CA</p><p>CA</p><p>CB</p><p>Aplicando-se a lei dos senos nos triângulos, faz-se:</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>83</p><p>)7sen(</p><p>)4sen(</p><p>)1sen(</p><p>)78sen(</p><p>)2sen(</p><p>)43sen(</p><p>)7sen()4sen()1sen()78sen()43sen()2sen(</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>CB</p><p>CD</p><p>CD</p><p>CA</p><p>CA</p><p>CB</p><p>CBCDCDCACACB</p><p>CBDTriânguloADCTriânguloABCTriângulo</p><p>que sendo substituído na equação (*), fornece:</p><p>1</p><p>)7sen(</p><p>)4sen(</p><p>)1sen(</p><p>)87sen(</p><p>)43sen(</p><p>)2sen(</p><p></p><p></p><p></p><p>a</p><p>aa</p><p>aa</p><p>a</p><p>, considerando os resíduos vi:</p><p>que é a equação de lado, que como se vê, não é linear, devendo, por tanto, ser linearizada. Na</p><p>literatura clássica, o método de linearização apresentado é o da logaritmação. Modernamente o</p><p>mais utilizado é a linearização através do desenvolvimento de Taylor, onde se faz interações,</p><p>necessitando para facilidade de cálculos, utilizar recursos computacionais. Será apresentado a</p><p>seguir o desenvolvimento pelo método da logaritmação, devido ser bastante freqüente o seu uso</p><p>nas literaturas clássicas de geodésia e ajustamento.</p><p>Aplicando o logarítimo nos dois lados da igualdade da equação(**),a igualdade se</p><p>mantém, ou;</p><p>Mas os resíduos de vi são pequenos, então se pode fazer :</p><p>logSen(i+vi) = logSen(i)+vii, ondei representa a variação de 1”no arco, ou seja, a diferença</p><p>tabular para 1” em unidade da Sexta casa decimal. Para uma melhor compreensão, suponha o</p><p>exemplo de um ângulo i = 22o 31’ 04,10” .Neste caso tem-se:</p><p>(**)1</p><p>)</p><p>7</p><p>7sen(</p><p>)</p><p>1</p><p>4sen(</p><p>)</p><p>1</p><p>1sen(</p><p>)</p><p>87</p><p>87sen(</p><p>)</p><p>43</p><p>43sen(</p><p>)</p><p>2</p><p>2sen(</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>v</p><p>v</p><p>v</p><p>vv</p><p>vv</p><p>v</p><p>0)</p><p>7</p><p>7sen(log)</p><p>1</p><p>1sen(log</p><p>)</p><p>43</p><p>43sen(log)</p><p>1</p><p>4sen(log)</p><p>87</p><p>87sen(log)</p><p>2</p><p>2sen(log</p><p>)1log(</p><p>)</p><p>7</p><p>7sen(</p><p>)</p><p>1</p><p>4sen(</p><p>)</p><p>1</p><p>1sen(</p><p>)</p><p>87</p><p>87sen(</p><p>)</p><p>43</p><p>43sen(</p><p>)</p><p>2</p><p>2sen(</p><p>log</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>vv</p><p>vvvvvv</p><p>v</p><p>v</p><p>x</p><p>v</p><p>vv</p><p>x</p><p>vv</p><p>v</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 84</p><p>i = logSen(i+1”) – logSen(i)</p><p>i = logSen(22o 31’ 05,10”) – logSen(22o 31’ 04,10”)</p><p>i = -0,4168295 – (-0,46168343)</p><p>i = 0,000005078 logo i = +5,078.</p><p>Assim, retornando ao exemplo anterior:</p><p>LogSen(2) + v22 + logSen(7+8) + (v7+v8) 7+8 +</p><p>logSen(4) + v44 – logSen(3+4)-(v3+v4) 3+4 -</p><p>logSen(1) - v11 - logSen(7) -v77 = 0</p><p>e aí se pode encontrar:</p><p>em unidades da Sexta decimal. Efetuando-se os cálculos, chega-se em</p><p>w4=1,686.</p><p>Valores do i</p><p>ÂNGULOS i</p><p>(4) 22O 31’04,10” 5,08</p><p>(2) 63O 38’46,70” 1,04</p><p>(7+8) 83O 26’07,36” 0,24</p><p>(7) 47O 44’15,82” 1,91</p><p>(3+4) 74O 38’10,30” 0,58</p><p>(1) 28O 32’13,06” 3,87</p><p>Assim:</p><p>1,043 v2+0,242(v7+v8)+5,078 v4 – 0,579(v3+v4) – 3,837 v1 – 1,013 v7 +1,686 = 0</p><p>-3,873v1 +1,043v2 - 0,579v3 + 4,499v4 - 1,913v7 + 0,242v8 + 1,686 = 0</p><p>que é a equação de condição de lado linearizada.</p><p>Têm-se então as quatro equações de condição completas:</p><p>0v1 + 1v2 + 1v3 + 1v4 + 0v5 + 0v6 + 0v7 + 0v8 - 1,791 = 0</p><p>1v1 + 0v2 + 0v3 + 0v4 + 0v5 + 1v6 + 1v7 + 1v8 - 5,285 = 0</p><p>0v1 + 0v2 + 0v3 + 1v4 + 1v5 + 1v6 + 1v7 + 0v8 - 3,024 = 0</p><p>-3,873v1 + 1,043v2 + 4,499v4 + 0v5 + 0v6 + -1,671v7 + 0,242v8 + 1,686 = 0</p><p>que pode ser colocada na forma matricial</p><p>)7sen(log)1sen(log)43sen(log)4sen(log)87sen(log)2sen(log</p><p>4</p><p>w</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>85</p><p>BV+W=0</p><p>ou</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>686,1</p><p>024,3</p><p>285,5</p><p>791,1</p><p>8</p><p>7</p><p>6</p><p>5</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>242,0671,100499,4579,0043,1873,3</p><p>01111000</p><p>11100001</p><p>00011110</p><p>v</p><p>v</p><p>v</p><p>v</p><p>v</p><p>v</p><p>v</p><p>v</p><p>B * V + W = 0</p><p>Aplicando o raciocínio comum do método dos mínimos quadrados, virá:</p><p>4M4 . 4K1 + 4W1 = 0 4M4 = 4B8 . 8BT</p><p>4 8V1= 8BT</p><p>4 . 4K1</p><p>Fazendo as devidas multiplicações, chega-se em:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>515,39828,2302,5963,4</p><p>828,2422</p><p>302,5240</p><p>963,4204</p><p>. tBBM</p><p>e então as equações normais serão:</p><p>4K1 + 0K2 + 2K3 + 4,963K4 - 1,791 = 0</p><p>0K1 + 4K2 + 2K3 + 5,302K4 - 5,285 = 0</p><p>2K1 + 2K2 + 4K3 + 2,828K4 - 3,024 = 0</p><p>4,963K1 - 5,302K2 + 2,828K3 + 39,515K4 + 1,686 = 0</p><p>Resolvendo o sistema de equações normais, chega-se nos seguintes valores para os</p><p>correlativos:K1=0,489, K2 =1,871, K3=-0,522, K4=0,177.</p><p>Introduzindo os correlativos em V = BT</p><p>. K, obtém-se os resíduos, e:v1=1,131,</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 86</p><p>v2=0,674, v3=0,387, v4=0,763 v5=-0,033 v6=1,295 v7=0,999,v8=1,859.</p><p>As observações ajustadas vêm de: La = Lb +V</p><p>(1)a= 28o 32’14,191</p><p>(2)a= 63o 38’47,374”</p><p>(3)a= 52o 07’06,587”</p><p>(4)a= 22o 31’04,863”</p><p>(5)a= 41o 43’02,667”</p><p>(6)a= 68o 01’36,665”</p><p>(7)a= 47o 44’16,819”</p><p>(8)a= 35o 41’53,399”</p><p>Uma outra forma de abordar o problema é imaginar 4 triângulos com um vértice O comum</p><p>no centro do quadrilátero. Com isto as equações de condições de ângulos seriam:</p><p>l1 + l2+ l3 +l4 + l5 + l6 + l7 + l8 – 360 = 0</p><p>l2+ l3 - l6 - l7 =0</p><p>l1 + l8 - l4 - l5 =0</p><p>As observações são agrupadas no vetor LB.</p><p>A</p><p>7</p><p>D</p><p>8</p><p>6</p><p>C</p><p>5</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>4</p><p>B</p><p>0</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>87</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>54,514135</p><p>82,154447</p><p>37,350168</p><p>70,024341</p><p>10,043122</p><p>20,060752</p><p>70,463863</p><p>06,133228</p><p>L B</p><p>1 - Formação das equações de condição segundo o modelo F(La) = 0</p><p>Tres equações de ângulos como mostrado acima;</p><p>Uma equação de lado.</p><p>1 = 1,491”</p><p>2 = 1,075”</p><p>3 = 1,014”</p><p>1.1 Equação de lado</p><p>F4:</p><p>       </p><p>       </p><p>01</p><p>lsenlsenlsenlsen</p><p>lsenlsenlsenlsen</p><p>7531</p><p>8642  [4]</p><p>A quarta equação de condição foi obtida aplicando a Lei dos Senos aos quatro triângulos</p><p>tendo como vértices o centro do quadrilátero. Chamando o vértice central de O, temos os</p><p>triângulos OAB, OBC, OCD, E ODA, a partir daí temos</p><p>8sen</p><p>1sen</p><p>;</p><p>6sen</p><p>7sen</p><p>;</p><p>4sen</p><p>5sen</p><p>;</p><p>2sen</p><p>3sen</p><p></p><p>AO</p><p>DO</p><p>DO</p><p>CO</p><p>CO</p><p>BO</p><p>BO</p><p>AO</p><p>Através de substituição chegamos a equação 4.</p><p>2 Vetor erro de fechamento W = F(LB)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>021,2</p><p>024,3</p><p>285,5</p><p>791,1</p><p>W</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 88</p><p>O w4 foi obtido substituindo-se os valores observados na F4. O resultado é: -0.0000098 que</p><p>multiplicado por 206264,81 nos fornece –2,021 segundos de arco. Assim todos o elementos de</p><p>W estão em segundos.</p><p>1 Formação da matriz</p><p>La</p><p>F</p><p>B</p><p></p><p></p><p> usando-se para La os valores de Lb</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>00000000</p><p>01111000</p><p>11100001</p><p>00011110</p><p>B</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>89</p><p>ELIPSE DE ERROS</p><p>1. Introdução</p><p>Já vimos como a precisão de dos resultados pode ser representada numericamente através</p><p>do seu desvio padrão. Vamos agora discutir como essas precisões podem ser representadas</p><p>graficamente.</p><p>Sejam por exemplo, dois alinhamentos MP e NP conforme esquema abaixo:</p><p>M N</p><p>P</p><p>Se o ponto P foi observado com uma precisão angular de "1 (=1”) a partir de M e N,</p><p>esta precisão ou incerteza pode ser representada pelas linhas tracejadas. As interseções das linhas</p><p>tracejadas formam uma área de incerteza aqui representada pela região hachurada.</p><p>Imagine uma outra situação em que uma distância e um azimute são observados com alguma</p><p>variância. O ponto resultante dessa observação terá uma área de incerteza que pode ser</p><p>representada como um retângulo.</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 90</p><p>Esta é uma forma intuitiva de se mostrar que a região de incerteza na posição de um ponto</p><p>gerada a partir das incertezas das observações, forma uma área na qual está contido um ponto.</p><p>2 ELIPSE DE ERROS ABSOLUTA</p><p>N</p><p>E</p><p>n</p><p>e</p><p></p><p>Imagine um sistema de eixos ortogonais E e N no qual foi aplicado uma rotação de um</p><p>ângulo  Esta rotação pode ser expressa pela equação matricial:</p><p>Um ponto P tem no sistema de coordenadas original (E, N) as coordenadas Ep e Np.</p><p>Após a rotação  que gera um novo sistema (e, n) este mesmo ponto P terá coordenadas ep e np,</p><p>devido a rotação as coordenadas de P no novo sistema será</p><p>ep = Ep cos  – Np sen       </p><p>np= Ep sen Np cos         </p><p>Deixamos para o leitor verificar essas igualdades.</p><p>O sistema de equações 10.1 pode ser expresso matricialmente como</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>p</p><p>P</p><p>p</p><p>p</p><p>N</p><p>E</p><p>sen</p><p>sen</p><p>n</p><p>e</p><p></p><p></p><p>cos</p><p>cos</p><p>[10.2]</p><p>Imagine que as variâncias e covariâncias do ponto P são ENNE  ,, 22 que numa matriz ficam</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>91</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>2</p><p>NEN</p><p>ENE</p><p></p><p></p><p>[10.3]</p><p>Como estas variâncias se propagam do sistema original para o novo sistema? Isto é feito</p><p>aplicando a lei de propagação de variância à equação. 10.2. Lembrando que a lei de propagação</p><p>de variâncias usa a equação 4.13 e que a equação 10.3 aqui funciona como a matriz Cx daquela</p><p>equação. Tente descobrir porque o primeiro termo da parte direita da equação 10.2 é a matriz</p><p>jacobiana J. A partir daí temos</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>cossen</p><p>sencos</p><p>cossen</p><p>sencos</p><p>2</p><p>NEN</p><p>EN</p><p>2</p><p>E</p><p>2</p><p>nen</p><p>en</p><p>2</p><p>e</p><p>[10.4]</p><p>da qual podemos calcular as variâncias</p><p>ENNe sencos2sencos 222</p><p>E</p><p>22    [10.5]</p><p>EN</p><p>2</p><p>N</p><p>2222 sencos2cossen En    [10.6]</p><p>Chegamos assim, às equações 10.5 e 10.6 que nos permite calcular os novos valores das</p><p>variâncias para várias posições do sistema de coordenadas. Para isto, basta variarmos o valor de</p><p>, que é calculado através do desvio padrão e da covariância de cada estação, obtidos no</p><p>ajustamento de observações.</p><p>Precisamos agora, calcular o valor de  para o qual o desvio padrão é máximo (ou</p><p>mínimo). Devemos para isso, derivar a equação 10.5 em relação a  e igualá-la a zero.</p><p>0sen2cos2cossen2sencos2 2</p><p>EN</p><p>2</p><p>ENN</p><p>n 22</p><p>E</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>    0sencos2cossen2 22</p><p>EN</p><p>2</p><p>N</p><p>2</p><p>E  </p><p>  02cos22sen22   ENNE</p><p>Assim temos que    2cos22sen EN</p><p>2</p><p>N</p><p>2</p><p>E</p><p> 2</p><p>N</p><p>2</p><p>E</p><p>EN2</p><p>2cos</p><p>2sen</p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 92</p><p>2</p><p>E</p><p>2</p><p>N</p><p>EN2</p><p>2tg</p><p></p><p></p><p> [10.7]</p><p>e o valor de  será</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>E</p><p>2</p><p>N</p><p>EN2</p><p>arctan</p><p>2</p><p>1</p><p>[10.8]</p><p>Note que há duas soluções possíveis para a equação 10.8, as quais podemos chamar de</p><p>max e min, e que são diferentes entre si de 90 graus. Esses valores dos ângulos máximo e</p><p>mínimo, quando substituídos na equação 10.5 ou 10.6 nos darão um 2</p><p>max e um 2</p><p>min</p><p> Os</p><p>valores dos ângulos máximo e mínimo não necessariamente conduzem às variâncias máximas e</p><p>mínimas nesta ordem, assim somente com a substituição destes na equação 10.5 ou 10.6 é que</p><p>temos um valor máximo e mínimo das variâncias.</p><p>Os valores das variâncias obtidos desta forma não nos fornecem de fato o desenho de</p><p>uma elipse e sim uma curva que é conhecida com curva podária, ou curva pedal. Para fins</p><p>práticos é usada a elipse no lugar da curva podária.</p><p>N</p><p>E</p><p></p><p>max.</p><p>min.</p><p>Existem outras maneiras de se chegar à equação da elipse de erros, usando auto valores</p><p>das matrizes variâncias-covariâncias. No entanto, verifica-se que embora o uso dos autovalores</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>93</p><p>tenha, sem dúvida, mais elegância matemática, chega-se ao mesmo resultado das equações 10.5 e</p><p>10.6, sendo que estas têm menos digressões matemáticas que aquelas.</p><p>As elipses de erros têm um papel importante na análise de uma rede de levantamentos. Numa</p><p>rede de de levantamentos em que as elipses têm o seu semi-eixo menor apontando para o ponto</p><p>fixo (ou ponto datum) sugere um problema na orientação da rede. Nesse caso talvez seja</p><p>necessário reforçar a orientação. Quando por outro lado é o semi-eixo maior que aponta para o</p><p>ponto fixo indica que falta maior controle de escala. Em outras palavras é necessário adicionar</p><p>mais distâncias a rede.</p><p>3 EXERCÍCIOS</p><p>Ex 1 - Numa poligonal, após o ajustamento, obteve-se para um dos vértices a seguinte matriz</p><p>variância-covariância, pede-se calcular a elipse de erros absoluta para este vértice.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>010683,0002403,0</p><p>002403,0005963,0</p><p>Cx</p><p>Para se obter o ângulo  utiliza-se a equação 10.8:</p><p>0182203,1</p><p>)005963,0010683,0(</p><p>002403,0*2</p><p>arctan</p><p>2</p><p>1</p><p>)</p><p>EN</p><p>(</p><p>2</p><p>arctan</p><p>2</p><p>1</p><p>22</p><p>EN </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>temos os ângulos 22,758623o e 112,758623o</p><p>Introduzindo os valores de  na equação 10.5, temos para  = 22,758623o</p><p>EN</p><p>2</p><p>N</p><p>2222 sencos2cossen En   </p><p>2</p><p>n = sen2 22,758623o * 0,005963 + cos2 22,758623o * 0,010683 + 2 * cos22,758623o *</p><p>sen 22,758623o* 0,002403</p><p>2</p><p>n = 0,0008923 + 0,0090842 + 0,0017144</p><p>2</p><p>n = 0,0117206</p><p>n = 0,108m</p><p>E para  = 112,758623o na mesma equação 10.8, temos:</p><p>EN</p><p>2</p><p>N</p><p>2222 sencos2cossen En   </p><p>2</p><p>n’ = sen2 112,758623o * 0,005963 + cos2 112,758623o * 0,010683 + 2 * cos112,758623o * sen</p><p>112,758623o* 0,002403</p><p>2</p><p>n = 0,0050706 + 0,0015987 + (-0,0017144)</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 94</p><p>2</p><p>n = 0,0049548</p><p>n = 0,070m</p><p>Os desvios padrões máximos e mínimos são max = 0,108m e min = 0,070 m. e a orientação para</p><p>o desvio padrão máximo (ou semi-eixo maior da elipse) será o ângulo 22,758623o</p><p>4. ELIPSE DE ERROS RELATIVA</p><p>A elipse de erros absoluta depende da posição do datum, quanto mais distante estiver do ponto</p><p>fixo maior será a elipse de erros absoluta. Daí dizer-se que ela é dependente do datum. Numa</p><p>rede de levantamento grande será mais interessante analisar a elipse de erros relativa, pois esta</p><p>independe do datum. A elipse de erros relativa nos dá informação dum ponto em relação a outro.</p><p>Para o desenho da elipse de erro relativa considerem-se as diferenças de coordenadas E e N.</p><p>E = E2 –E1 e N = N2 – N1 que representados de forma matricial nos dá:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>1010</p><p>0101</p><p>N</p><p>E</p><p>N</p><p>E</p><p>E</p><p>[10.7]</p><p>Aplicando a lei de propagação de variância a equação 10.7 temos</p><p>T</p><p>x JCJC </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>10</p><p>01</p><p>10</p><p>01</p><p>1010</p><p>0101</p><p>2</p><p>2222121</p><p>22</p><p>2</p><p>21221</p><p>2112</p><p>2</p><p>111</p><p>212111</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>NNENNNE</p><p>NEENEEE</p><p>NNNENNE</p><p>NEEENEE</p><p>NNE</p><p>NEE</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>21</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>122122111</p><p>2212211121</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>NNNNNENENENE</p><p>NENENENEEEEE</p><p>NNE</p><p>NEE</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>O que resulta em:</p><p>21</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2 2 EEEEE  </p><p>21</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2 2 NNNNN  </p><p>22122111 NENENENENE  </p><p>Antonio Simões 2011</p><p>95</p><p>Exemplo 2. Numa poligonal de 5 vértices, após o ajustamento das observações, obteve-se a</p><p>matriz variância-covariância a seguir. A partir desta matriz, calcular a elipse absoluta de erros do</p><p>vértice 3 e as elipses relativas entre os vértices 3 - 4 e 4 - 5.</p><p>MATRIZ VAR COV DOS PARAMETROS AJUSTADOS</p><p>0.25000E-10 0.11707E-17 0.27480E-10 -0.44805E-11 0.32408E-10 -0.15329E-10 0.17770E-10 -0.74345E-11 0.76366E-18 -0.11707E-17</p><p>0.11707E-17 0.25000E-10 -0.65291E-11 0.26486E-10 -0.21575E-10 0.35516E-10 -0.14212E-10 0.17556E-10 -0.11707E-17 0.14838E-16</p><p>0.27480E-10 -0.65291E-11 0.60967E-04 -0.80604E-07 0.13262E-03 -0.12508E-03 0.85014E-04 -0.40040E-04 -0.24803E-11 0.65291E-11</p><p>-0.44805E-11 0.26486E-10 -0.80604E-07 0.40404E-03 -0.23884E-03 0.53513E-03 -0.17246E-03 0.25915E-03 0.44805E-11 -0.14859E-11</p><p>0.32408E-10 -0.21575E-10 0.13262E-03 -0.23884E-03 0.52084E-03 -0.50034E-03 0.33068E-03 -0.17535E-03 -0.74082E-11 0.21575E-10</p><p>-0.15329E-10 0.35516E-10 -0.12508E-03 0.53513E-03 -0.50034E-03 0.11869E-02 -0.37502E-03 0.55057E-03 0.15329E-10 -0.10516E-10</p><p>0.17770E-10 -0.14212E-10 0.85014E-04 -0.17246E-03 0.33068E-03 -0.37502E-03 0.36683E-03 -0.63650E-04 0.72303E-11 0.14212E-10</p><p>-0.74345E-11 0.17556E-10 -0.40040E-04 0.25915E-03 -0.17535E-03 0.55057E-03 -0.63650E-04 0.33070E-03 0.74345E-11 0.74436E-11</p><p>0.76366E-18 -0.11707E-17 -0.24803E-11 0.44805E-11 -0.74082E-11 0.15329E-10 0.72303E-11 0.74345E-11 0.25000E-10 0.11707E-17</p><p>-0.11707E-17 0.14838E-16 0.65291E-11 -0.14859E-11 0.21575E-10 -0.10516E-10 0.14212E-10 0.74436E-11 0.11707E-17 0.25000E-10</p><p>ELIPSE DE ERROS ABSOLUTA</p><p>SEMI EIXO (mm) AZIMUTE DO</p><p>maior menor EIXO MAIOR (graus)</p><p>vértice 3 38.1 15.9 118</p><p>ELIPSE DE ERRO RELATIVA</p><p>SEMI-EIXO(mm) AZIMUTE DO EIXO MAIOR</p><p>maior menor grau</p><p>3 => 4 20.4 15.0 94</p><p>4 => 5 20.4 16.8 143</p><p>Ex 3 - Numa poligonal, após o ajustamento, obtiveram-se para os vértices, as seguintes</p><p>coordenadas e as variâncias e covariâncias. Pede-se calcular a elipse de erros absoluta para cada</p><p>vértice.</p><p>Dados: 'LOTEAMENTO CARDOSOS'</p><p>Vértice E (m) N (m)</p><p>1 1000.0000 1000.0000</p><p>2 1107.5102 1090.2118</p><p>3 1152.2840 1027.1634</p><p>4 1100.5307 958.5174</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 96</p><p>Vértice</p><p>2</p><p>E</p><p>2</p><p>N EN</p><p>1 0.58352432E-10 0.58352432E-10 -0.14440705 E-23</p><p>2 0.85123159E-05 0.12089980E-04 0.10144581 E-04</p><p>3 0.50131238E-04 0.70975259E-04 0.29126841 E-05</p><p>4 0.55177080E-04 0.93905090E-05 0.22762542 E-04</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>97</p><p>Conceitos básicos sobre Ajustamento Livre</p><p>11.1 Introdução</p><p>A solução para a estimativa através do método dos mínimos quadrados é dada pelo conjunto de</p><p>equações normais:</p><p>A</p><p>T</p><p>P A X = A</p><p>T</p><p>P L [11.1]</p><p>A determinação dos parâmetros pelo método dos mínimos quadrados não pode ser estimada</p><p>diretamente pelo conjunto de equações acima uma vez que a equação normal dos coeficientes ATP A é</p><p>singular. Portanto é necessário remover</p><p>a singularidade da equação normal. A matriz é singular quando</p><p>tem deficiência de rank. Isto ocorre quando o datum não é completamente definido pelas observações.</p><p>O numero de elementos para definir o datum depende da dimensão da rede de levantamentos.</p><p>Para uma rede de duas dimensões este numero é quatro (duas posições, uma orientação e uma escala).</p><p>Para uma rede de três dimensões o numero de elementos que definem o datum é sete (três posições, três</p><p>orientações e uma escala).</p><p>Para remover a deficiência de rank é necessário adicionar ao conjunto de equações de</p><p>observações um outro conjunto de equações que será chamado de equações de injunções. Se estas</p><p>equações são somente necessárias e suficientes para remover a singularidade a solução é dita de injunção</p><p>mínima. Se o numero de equações adicionado é mais que o necessário e suficiente então a solução é</p><p>chamada de solução super injuncionada.</p><p>11.2 Ajustamento Livre</p><p>No ajustamento de observações espera-se que um datum para cada tipo de levantamento esteja disponível.</p><p>Quando isto não acontece a matriz dos coeficientes das incógnitas, matriz A, terá uma linha ou uma</p><p>coluna linearmente dependente o que torna a matriz normal, ATP A singular e portanto não admitindo</p><p>inversa regular. Note que o datum é definido através de injunções. Estas injunções são condições iniciais</p><p>para que um levantamento seja calculado e tenha solução única. Geralmente as injunções são as</p><p>coordenadas fixas de um ponto para evitar a translação do levantamento, um azimute de uma direção para</p><p>evitar a rotação do levantamento e uma distância para dar escala ao levantamento. Estas injunções</p><p>“amarram”, georreferenciam o levantamento. Quando se trata de nivelamento a injunção é uma altitude</p><p>conhecida que irá servir de referência (datum). Num levantamento em que essas injunções não são</p><p>informadas, está livre no espaço e para resolvê-lo ou o georreferenciamos, usando injunções ou laçamos</p><p>mão do ajustamento livre.</p><p>Quando isto acontece temos duas formas de resolver o problema.</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 98</p><p>a) Invertendo a matriz normal através de inversas generalizadas (em geodesia usa-se</p><p>especificamente a pseudo-inversa)</p><p>b) Usando o método de Helmert para levantar a singularidade da matriz normal</p><p>11.3 A Inversa de Moore-Penrose</p><p>Vejam-se as expressões de A e Ag onde Ag é a inversa generalizada de A:</p><p>A Ag A =A</p><p>Ag A Ag = Ag</p><p>(A Ag)T = A Ag</p><p>(Ag A)T = Ag A</p><p>Se uma matriz inversa generalizada satisfizer as quatro propriedades acima ela é chamada de</p><p>pseudoinversa ou inversa de Moore-Penrose</p><p>Dentre as inversas generalizadas as do tipo pseudoinversa são as usadas em ciências geodésicas.</p><p>Estas são conhecidas como inversa de Moore-Penrose. Em Moura (1980) temos uma aplicação dessa</p><p>inversa para ajustar uma triangulação fotogramétrica e os resultados foram estatisticamente iguais aqueles</p><p>usados com a inversa regular.</p><p>Para aplicar a inversa de Moore-Penrose numa rede de levantamentos livre duas abordagens</p><p>podem ser usadas, o método de Greville e o método de Graybill. Neste texto somente o método de</p><p>Greville será abordado.</p><p>Sabe-se que a implementação das pseudoinversas podem trazer problemas de ordem</p><p>computacional quando as observações são de diferentes espécies ou heterogêneas.</p><p>Uma matriz pseudoinversa de A têm como símbolo A+ em vez do usual A-1 das inversas</p><p>regulares.</p><p>11.4 Método de Greville</p><p>Este é um método iterativo para calcular a inversa de Moore-Penrose da matriz A, A+ de m linhas</p><p>e n colunas. A inversão através das pseudoinversas pode abordar matrizes não quadradas, embora aqui só</p><p>trataremos das matrizes quadradas, por razões óbvias. Como descrito a seguir o método usa n iterações</p><p>(Ben-Israel, 1974). Na k-ésima iteração (k = 1, 2, 3 ...n) é calculada a matriz A</p><p>+</p><p>k</p><p>onde A</p><p>k</p><p>é a submatriz</p><p>de A consitindo de suas primeiras k colunas.</p><p>Quando k é igual a 1, inicio da inversão, faz-se</p><p>0A1 </p><p>se a1</p><p>= 0</p><p>  T</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>T</p><p>11 aaaA</p><p>  se a1 não for igual a zero.</p><p>Note que Ak (com A maiúsculo) é a submatriz com k colunas e ak (com a minúsculo) é a k-ésima</p><p>coluna de A.</p><p>Para continuar a inversão fazemos k = 2, 3, até n.</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>99</p><p>A matriz Ak</p><p>é particionada como:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p>k</p><p>kkk</p><p>k</p><p>b</p><p>bdA</p><p>A 1</p><p>[11.1]</p><p>Em que,</p><p>k1kk aAd </p><p> [11.2]</p><p>c</p><p>k</p><p>= a</p><p>k</p><p>- A</p><p>k -1</p><p>d</p><p>k</p><p>[11.3]</p><p>Se c</p><p>k</p><p>for diferente de zero, então:   T</p><p>kk</p><p>T</p><p>kkk ccccb</p><p>1  [11.4]</p><p>e se c</p><p>k</p><p>for igual a zero,   </p><p></p><p></p><p> 1</p><p>1</p><p>1 k</p><p>T</p><p>kk</p><p>T</p><p>kk Adddb [11.5]</p><p>Continua-se aplicando as equações 11.1 a 11.5 até chegar ao final da inversão, que será quando k</p><p>atingir n. Se k for igual a 2 a equação 11.1 será 2x2, se k for igual a 3 a equação 11.1 será 3x3 e assim por</p><p>diante.</p><p>Para entender melhor o processo vamos fazer a inversão da matriz a seguir usando o método de</p><p>Greville.</p><p>Exemplo 1. Calcular a pseudoinversa para a matriz singular A</p><p>A=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>514</p><p>143</p><p>437</p><p>A primeira coluna de A, que chamamos de a1, é composta de 7, -3, e 4 e por ser diferente de</p><p>zero aplicamos   T</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>T</p><p>11 aaaA</p><p>  , assim temos:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>4</p><p>3</p><p>7</p><p>a1 e   T</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>T</p><p>11 aaaA</p><p> </p><p>Então</p><p>   </p><p>1</p><p>1</p><p>7</p><p>A 7 3 4 3 7 3 4</p><p>4</p><p></p><p></p><p>  </p><p>  </p><p>     </p><p>    </p><p> 0,054054050,04054054-0,09459459</p><p>74</p><p>4</p><p>74</p><p>3</p><p>74</p><p>7</p><p>1 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p>A</p><p>Para k=2</p><p>Aplicamos a equação 11.2 e 212 aAd  em que</p><p></p><p>1A é a inversão feita para o k=1 e a2 é a</p><p>segunda coluna de A</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 100</p><p>39189189,0</p><p>1</p><p>4</p><p>3</p><p>74</p><p>4</p><p>74</p><p>3</p><p>74</p><p>7</p><p>2 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p>d</p><p>39189189,0</p><p>74</p><p>29</p><p>2 d</p><p>Aplicando a equação 11.3 temos</p><p>2122 dAac </p><p>em que A1 é a submatriz de A composta de sua primeira coluna e a2 é a segunda coluna de A.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>56756757,2</p><p>82432432,2</p><p>25675677,0</p><p>74</p><p>190</p><p>74</p><p>209</p><p>74</p><p>19</p><p>74</p><p>29</p><p>4</p><p>3</p><p>7</p><p>1</p><p>4</p><p>3</p><p>2c</p><p>c2 é diferente de zero e aplica-se a equação 11.4</p><p>   17543860,019298246,001754386,0</p><p>57</p><p>10</p><p>57</p><p>11</p><p>57</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2222 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> tt ccccb</p><p>E aplicando a equação 11.1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p>17543860,019298246,001754386,0</p><p>12280702,003508772,008771930,0</p><p>57</p><p>10</p><p>57</p><p>11</p><p>57</p><p>1</p><p>57</p><p>7</p><p>57</p><p>2</p><p>57</p><p>5</p><p>2</p><p>221</p><p>2</p><p>b</p><p>bdA</p><p>A</p><p>Para k=3</p><p>323 aAd  em que</p><p></p><p>2A é inversão feita para o k=2 e a3 é a terceira coluna de A</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>1</p><p>5</p><p>1</p><p>4</p><p>57</p><p>10</p><p>57</p><p>11</p><p>57</p><p>1</p><p>57</p><p>7</p><p>57</p><p>2</p><p>57</p><p>5</p><p>d3</p><p>c3 = a3 - A2d3</p><p>observe que A2 é a submatriz de A composta das duas primeiras colunas e a3 é terceira coluna de</p><p>A.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>1</p><p>14</p><p>43</p><p>37</p><p>5</p><p>1</p><p>4</p><p>c3 =</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>5</p><p>1</p><p>4</p><p>5</p><p>1</p><p>4</p><p>c3 resultou igual a zero e portanto aplica-se a equação 11.5</p><p>  </p><p></p><p></p><p> 1k</p><p>T</p><p>k</p><p>1</p><p>k</p><p>T</p><p>kk Addd1b</p><p> </p><p>1</p><p>T T</p><p>3 3 3 3 2b 1 d d d A</p><p></p><p> </p><p>Antonio Simões 2011</p><p>101</p><p>   </p><p>1</p><p>3</p><p>5 2 7</p><p>1 57 57 57</p><p>b 1 1 1 1 1</p><p>1 1 11 10</p><p>57 57 57</p><p></p><p> </p><p>   </p><p>     </p><p>     </p><p>  </p><p> 3</p><p>4 13 17</p><p>b 0,02339181    0,07602339 0,09941520</p><p>171 171 171</p><p> </p><p>  </p><p> </p><p>Aplicando a equação 11.1 temos para as duas primeiras linhas</p><p>2 3 3</p><p>5 2 7 11 7 4</p><p>1 4 13 1757 57 57 171 171 171</p><p>A d b</p><p>1 11 10 1 7 20 13171 171 171</p><p>57 57 57 171 171 171</p><p></p><p>   </p><p>       </p><p>          </p><p>       </p><p>      </p><p>E adicionando-se a terceira linha temos:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p>09941520,007602339,002339181,0</p><p>07602339,011695906,004093567,0</p><p>02339181,004093567,006432749,0</p><p>171</p><p>17</p><p>171</p><p>13</p><p>171</p><p>4</p><p>171</p><p>13</p><p>171</p><p>20</p><p>171</p><p>7</p><p>171</p><p>4</p><p>171</p><p>7</p><p>171</p><p>11</p><p>3</p><p>332</p><p>3</p><p>b</p><p>bdA</p><p>A</p><p>Método de Helmert</p><p>Há uma outra abordagem para remover a deficiência de rank. É o ajustamento com injunções</p><p>internas ou “ajustamento livre”. É baseado num conjunto de injunções mínimas que descreve uma</p><p>relação funcional entre as correções dos valores aproximados dos parâmetros.</p><p>Vamos considerar uma rede plana onde somente os ângulos foram observados. Nesta rede as</p><p>injunções de posição, orientação e escala não estão definidas pelas observações e portanto a deficiência</p><p>de rank é quatro. Vamos assumir para um ponto P de uma rede as coordenadas Xi, Yi como valores</p><p>iniciais. Lembrando que as observações são lineares e que as translações, rotações e escala aplicadas são</p><p>de primeira ordem. Se houver duas translações dXo, dYo, uma rotação d e uma mudança de escala (1+</p><p>ds) na rede, então as novas coordenadas do ponto P serão:</p><p>  </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>i</p><p>i</p><p>ii</p><p>ii</p><p>Y</p><p>X</p><p>1d</p><p>d1</p><p>ds1</p><p>dYo</p><p>dXo</p><p>dYY</p><p>dXX</p><p>[11.6]</p><p>O que dará para dXi e dYi, usando somente os termos lineares:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>ds</p><p>d</p><p>dYo</p><p>dXo</p><p>YX</p><p>XY</p><p>dYi</p><p>dXi</p><p>ii</p><p>ii</p><p>10</p><p>01</p><p>[11.7]</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 102</p><p>As injunções internas de posição, orientação e escala são aplicadas em relação ao centróide da</p><p>figura. E para definição desse centróide é necessário que os valores aproximados das coordenadas sejam</p><p>conhecidos. Assim se Xg e Yg são as coordenadas do centróide, elas são calculadas por:</p><p>n</p><p>X</p><p>=X i</p><p>g</p><p></p><p>[11.8a]</p><p>n</p><p>Y</p><p>=Y i</p><p>g</p><p></p><p>[11.8b]</p><p>A injunção para translação é que a posição do centroide permaneça constante. Para isso as</p><p>derivadas de Xg e de Yg são nulas, ou:</p><p>dX</p><p>g</p><p>= 0 [11.9a]</p><p>dY</p><p>g</p><p>= 0 [11.9b]</p><p>e para que isso aconteça as derivadas dos numeradores das equações 11.8 serão iguais a zero.</p><p>0dX i  [11.10a]</p><p>0dYi  [11.10b]</p><p>Estas equações são as injunções de posição que formarão as duas primeiras linhas das equações</p><p>de injunções.</p><p>A terceira linha é formada com a injunção de rotação (ou orientação) que estabelece que a media</p><p>dos azimutes de cada ponto do levantamento para o centróide permaneça constante. Se o azimute a partir</p><p>do centróide para um ponto for A</p><p>gi</p><p>então temos:</p><p>Y-Yi</p><p>X-Xi</p><p>tanA</p><p>g</p><p>g</p><p>gi  e</p><p>Y-Yi</p><p>X-Xi</p><p>arctanA</p><p>g</p><p>g</p><p>gi  [11.11]</p><p>E derivando a 11.11 temos</p><p>2</p><p>gi</p><p>gigigigi</p><p>gi</p><p>r</p><p>)]dY- )(dYX - (X-)dX- )(dXY - [(Y</p><p>dA  [11.12]</p><p>Em que rgi é a distância do centroide para um ponto</p><p>Para atender a condição(permanecer constante), a derivada da média dos azimutes do centróide</p><p>para os demais pontos deve ser nula, assim dAgi deve ser nula, ou:</p><p>dAgi = 0</p><p>      0      </p><p> </p><p>n</p><p>i g i g i g i g</p><p>i</p><p>Y Y dX dX X X dY dY [11.13]</p><p>onde n é o numero de pontos levantados e g é o centróide.</p><p>desenvolvendo esta equação temos:</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>103</p><p>0</p><p>n</p><p>i i i g g i g g i i i g g i g g</p><p>i</p><p>Y dX Y dX Y dX Y dX X dY X dY X dY X dY          [11.14]</p><p>Das equações 11.8 temos que1:</p><p>i</p><p>g</p><p>X</p><p>X</p><p>n</p><p></p><p></p><p>[11.8a]</p><p>i</p><p>g</p><p>Y</p><p>Y</p><p>n</p><p></p><p></p><p>[11.8b]</p><p>e das equações 11.9 temos que:</p><p>dXg=0 [11.9a]</p><p>dYg=0 [11.9b]</p><p>então obtemos:</p><p>0</p><p>n</p><p>i i</p><p>i i i i i i</p><p>i</p><p>XY</p><p>Y dX X dY dX dY</p><p>n n</p><p> </p><p>    </p><p>  </p><p></p><p> 11.15</p><p>que expandindo o somatório encontramos:</p><p>...</p><p>Y Y YX X Xi i ii i i</p><p>Y dX X dY dX dY Y dX X dY dX dY Y dX X dY dX dYi i i i i i i i i i i i i i i i i i</p><p>n n n n n n</p><p>    </p><p>           </p><p>     </p><p>     </p><p>     </p><p>que resulta em</p><p>Y X ii</p><p>Y dX X dY dX dYi i i i i i</p><p>n n</p><p> </p><p>     </p><p>podemos colocar em evidência os termos:</p><p>iY</p><p>n</p><p></p><p>e</p><p>iX</p><p>n</p><p></p><p>temos:</p><p>Y X ii</p><p>Y dX X dY dX dYi i i i i i</p><p>n n</p><p> </p><p>     </p><p>das equações11.10 temos que:</p><p>0idX  [11.10a]</p><p>0idY  [11.10b]</p><p>temos portanto a equação 11.16:</p><p>  0i i i iY dX X dY  [11.16]</p><p>Que é a terceira equação de injunção, ou injunção de orientação.</p><p>A quarta linha da matriz de injunções será para injunção de escala e é formada a partir da</p><p>condição que a distância média do centróide para cada ponto do levantamento permaneça constante.</p><p>r2</p><p>gi</p><p>= (X</p><p>i</p><p>-X</p><p>g</p><p>)2+ (Y</p><p>i</p><p>-Y</p><p>g</p><p>)2 [11.17]</p><p>A equação 11.17 representa a distância do centróide g para um ponto i do levantamento. Derivada</p><p>essa equação fica:</p><p>gi</p><p>gi</p><p>r</p><p>dYg)]-Yg)(dYi-(Yi+dXg)-Xg)(dXi-[(Xi</p><p>=dr [11.18]</p><p>Para a distância média permanecer constante temos dr</p><p>gi</p><p>= 0 e da equação 11.18 temos</p><p>1 Destas equações 11.15 a 11.16, o detalhamento deve-se a contribuição da Eng. Alice Ettiene.</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 104</p><p>  0 )]dY-)(dYY-(Y)dX-)(dXX-[(X gigigigi</p><p>[11.19]</p><p>Que simplificando usando o mesmo procedimento que se chegou a equação 11.16 temos</p><p>  0]dYYdX[X iiii [11.20]</p><p>Esta é a quarta equação de injunção ou injunção de escala.</p><p>Para montar a matriz R das injunções derivam-se as equações 11.10a, 11.10b, 11.16 e 11.20 em</p><p>relação ao parâmetros. Como elas são lineares as derivadas são os próprios coeficientes das incógnitas.</p><p>E aquelas equações expandidas ficam:</p><p>dX1 + dX2 + dX3 + dX5 +.... dXn [11.21]</p><p>dY1 + dY2 + dY3 + dY5 +.... dYn [11.22]</p><p>(Y1 dX1 - X1 dY1) + (Y2 dX2 - X2 dY2) + (Y3 dX3 - X3 dY3) +... ...+ (Yn dXn - Xn dYn) [11.23]</p><p>(X1 dX1 - Y1 dY1) + (X2 dX2 - Y2 dY2) + (X3 dX3 - Y3 dY3) + ... ...+ (Xn dXn - Yn dYn) [11.24]</p><p>A matriz das equações de injunções fica::</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>nn2211</p><p>nn2211</p><p>YX...YXYX</p><p>XY...XYXY</p><p>10...1010</p><p>01...0101</p><p>R [11.25]</p><p>O sistema com as injunções internas fica:</p><p>T T TA PA R X A PL</p><p>K 0R 0</p><p>    </p><p>    </p><p>     </p><p>[11.26]</p><p>A solução é obtida por</p><p>-1</p><p>T T TX A PA R A PL</p><p>=</p><p>K R 0 0</p><p>    </p><p>    </p><p>        </p><p>. [11.27]</p><p>Ou por</p><p>X = (A</p><p>T</p><p>PA)+ ATPL [11.28]</p><p>A ultima equação usa a inversa de Moore-Penrose para a inversão da equação normal.essa</p><p>inversa é conhecida como pseudo-inversa.</p><p>REFERÊNCIAS E BIBLIOGRAFIA</p><p>BEN-ISRAEL,A. and GREVILLE,T.N.E.(1974) Generalized inverse: theory and applications. Wiley and</p><p>Sons,N. York</p><p>COOPER,M.A.R. and CROSS,P.A., (1988) Statistical Concepts and their application in Photogrammetry</p><p>and Surveying. Photogrammetric Record 12(71):637-663.</p><p>CROSS, P.A.,(1983). Advanced least squares applied to position-fixing. Working paper no. 6,North East</p><p>Polytechnic, London.</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>105</p><p>DODSON A.H.,(1977) The measurement of spatial displacements by geodetic methods. PhD</p><p>Thesis,University of Nottingham</p><p>DODSON, A., 1984., Pre-analysis and design of a measurement scheme, Land and Mineral Surveying</p><p>(Jan. 1984) p 3-19</p><p>GRAYBILL,F.A., MEYER,C.D. and PAINTER, R.J.(1966) Note on the computation of the generalized</p><p>inverse of a matrix. SIAM Review 8(4) October.</p><p>GREVILLE,T.N.E.,(1966) Note on generalized inverse of matrix product SIAM Review 8(4) October</p><p>MIKHAIL,E.M. and GRACIE,G., (1981) Analysis and adjustment of survey measurements. Van</p><p>Nostrand Reinhold, New York.</p><p>MITTERMMAYER,E. (1976) A Generalization of the Least Squares Method for the Adjustment of Free</p><p>Networks. Bulletin Géodesique (104):139-151</p><p>MODRO, N. (1981) Método para Inversâo de Matrizes: Aplicaçôes às Ciências Geodésicas Msc</p><p>dissertation Universidade Federal do Paraná, Curitiba, PR. Brazil</p><p>MOURA, J. O.,(1980) Pseudo-inversa aplicada a fotogrametria. MSc. dissertation. Universidade Federal</p><p>do Parana, Curitiba,PR, Brazil.</p><p>SILVA, A. S.,(1983), Controle de estruturas de engenharia pelo metodo fotogrametrico. MSc. Thesis.</p><p>Universidade Federal do Parana,Curitiba,PR, Brazil.</p><p>SILVA, A.S.,(1989),</p><p>Detection of Outliers in Two-Dimensional Network, First Semester Report, Internal</p><p>Report IESSG, University of Nottingham</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 106</p><p>CONFIABILIDADE</p><p>Confiabilidade de uma rede é a habilidade para detectar erros grosseiros nas observações e estimar os</p><p>efeitos dos erros grosseiros não detectados nos parâmetros estimados a partir das observações.</p><p>A qualidade da rede é de fundamental importância no monitoramento de deformação.</p><p>Tradicionalmente, a qualidade de uma rede foi sempre descrita pela medida de sua precisão cujo</p><p>componente principal é a matriz variância-covariância de coordenadas calculadas. Esta matriz é</p><p>dependente do datum e negligencia o aspecto da confiabilidade. As observações e funções derivadas</p><p>desta, como as coordenadas, podem ser julgadas através da precisão e confiabilidade usando abordagem</p><p>estatística. O conceito de confiabilidade possibilita uma boa avaliação de possíveis erros grosseiros e</p><p>sistemáticos.</p><p>Um conjunto de observações que tenha alguma tendência que não tenha sido bem analisada pode</p><p>levar a conclusões erradas. Em tais observações, sem nem um outro erro, medidas de precisão vão indicar</p><p>um bom resultado mesmo que este resultado esteja tendencioso e portanto não confiável.</p><p>A confiabilidade de uma rede depende de sua configuração e dos pesos mais que das observações em</p><p>si mesmas. Uma rede confiável deverá ter a capacidade de detectar erros grosseiros tão pequenos quanto</p><p>possível e também os efeitos dos erros grosseiros não detectados. Os principais critérios de confiabilidade</p><p>de redes são: confiabilidade interna e confiabilidade externa.</p><p>A confiabilidade interna de uma rede de monitoramento é habilidade de detecção de erros grosseiros</p><p>através de testes de hipóteses feitos com níveis de confiança específicos.</p><p>A confiabilidade externa de uma rede de monitoramento é a capacidade que esta tem de controlar os</p><p>efeitos nas coordenadas dos erros grosseiros não detectados.</p><p>12.1 NÚMERO DE REDUNDÂNCIA</p><p>O número de redundância ri é a contribuição da iésima observação à redundância total r de um</p><p>conjunto de observações. Em outras palavras, é a contribuição duma observação ao grau de liberdade do</p><p>conjunto. Representa um papel importante em confiabilidade de uma rede geodésica.</p><p>Os resíduos calculados através do método dos mínimos quadrados são computados por:</p><p>  LIPAPAAAV T1T</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p>[1]</p><p>onde V e L são vetores dos resíduos e observações respectivamente e A e P são matrizes dos</p><p>coeficientes e dos pesos</p><p>Se uma observação contém um erro gros i o vetor de observação se torna</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>n</p><p>i</p><p>l</p><p>l</p><p>l</p><p>L</p><p>.</p><p>.</p><p>2</p><p>1</p><p></p><p> [2]</p><p>i da observação, nos resíduos é</p><p>    LV IPAPAAA T1T </p><p></p><p>[3]</p><p>Fazendo a igualdade</p><p>  </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>PAPAAAIR T1T , [4]</p><p>a equação 3 torna-se</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>107</p><p> L R - =V [5</p><p>onde R é a matriz cujos elementos da diagonal são os números de redundância.</p><p>assim a equação 5 de fato é</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>m</p><p>i</p><p>m</p><p>i</p><p>m</p><p>i</p><p>l</p><p>l</p><p>l</p><p>r</p><p>r</p><p>r</p><p>r</p><p>v</p><p>ev</p><p>v</p><p>v</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>Os números de redundância são representados pelos elementos diagonais de matriz R e normalmente</p><p>chamados ri. Eles podem ser vistos como a contribuição das observações à redundância total do sistema.</p><p>Os números de redundância contêm informação sobre a geometria da rede considerando a influência de</p><p>erros das observações nos resíduos.</p><p>Note que a matriz covariância dos resíduos é calculada por</p><p>  T1T1</p><p>v APAAAPC</p><p>  , [6]</p><p>Que multiplicada pela matriz peso P fica:</p><p>  PAPAAAPPPC T1T1</p><p>v</p><p>  [7]</p><p>  PAPAAAIPC T1T</p><p>v</p><p></p><p> [8]</p><p>Se a matriz de peso P for diagonal, o número de redundância é computado por,</p><p>iii p q r  [9]</p><p>onde,</p><p>qi é o elemento diagonal da matriz variância-covariância dos resíduos Cv</p><p>pi é o peso da iésima observação.</p><p>O valor para ri varia entre 0 e 1, 0  ri 1.</p><p>Da equação 5 pode-se estimar o tamanho do erro de uma de observação li</p><p>i</p><p>i</p><p>i</p><p>r</p><p>ev</p><p> [10]</p><p>Baarda (1968) afirma que a melhor estatística para descoberta de erros grosseiros de observações não</p><p>correlacionadas é</p><p>ili</p><p>i</p><p>i</p><p>r</p><p>ev</p><p></p><p></p><p></p><p> [11]</p><p>i afeta a estatística i por</p><p>ili</p><p>i</p><p>r</p><p>ev</p><p></p><p>  [12]</p><p>A equação 10 na equação 11 nos fornece:</p><p>li</p><p>ii</p><p>i</p><p>r</p><p></p><p></p><p>  [13]</p><p>A equação 13 substituiu a função de probabilidade de</p><p>i i que é chamado de parâmetro de não-</p><p>centralidade. A função probabilidade de i sobre as hipóteses nula e alternativa são respectivamente</p><p>distribuição normal central e não-central</p><p>Ho: n(0 ,1)</p><p>i ,1)</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 108</p><p>Este teste pode conduzir a uma decisão errada de erro tipo I ou tipo II que são associados às</p><p>do</p><p>-</p><p>arda (1968), a relação entre o poder</p><p>-</p><p>  ,f [14]</p><p>o</p><p>o em função do nível de significância</p><p>o e de (1- o)</p><p>o</p><p>1- o</p><p>0.10% 1% 5%</p><p>50% 3.29 2.58 1.96</p><p>70% 3.82 3.10 2.48</p><p>80% 4.13 3.42 2.80</p><p>90% 4.57 3.86 3.24</p><p>95% 4.94 4.22 3.61</p><p>99% 5.62 4.90 4.29</p><p>Fonte: Silva (1997))</p><p>Da equação 13 a relação entre o número de redundância e o menor err</p><p>determinada pela fórmula,</p><p>i</p><p>i</p><p>o</p><p>l</p><p>r</p><p>i</p><p></p><p></p><p>  [15]</p><p>Esta equação nos permite calcular o menor erro grosseiro detectável MED. Quanto maior for o</p><p>número de redundância da observação menor será o menor erro grosseiro detectável.</p><p>Das equações15 e 18 pode ser visto que</p><p>vi</p><p>i</p><p>o</p><p>i</p><p>oi</p><p>r </p><p></p><p></p><p> 2</p><p> [16]</p><p>e,</p><p>2</p><p>i</p><p>i</p><p>2</p><p>v</p><p>ir</p><p></p><p></p><p></p><p>[17]</p><p>onde,</p><p>i</p><p>2</p><p>v = variância estimada do resíduo</p><p>2</p><p>i = variância da observação.</p><p>Esta equação 16 é a equação base para uso em testes de confiabilidade no ajustamento de observações</p><p>pelo método de mínimos quadrados, devido a sua fácil aplicação. Assim conhecidos as matrizes</p><p>variância–covariância dos resíduos (equação 6) e a matriz variância–covariância das observações ( P-1)</p><p>chega-se facilmente ao cálculo do numero de redundância para determinada observação. E com base</p><p>nesse numero pode-se ter uma boa indicação para avaliação da presença ou não de erros grosseiros nas</p><p>observações (Silva, 1997)</p><p>É esperado que a variância dos resíduos e a variância das observações sejam próximas. Neste caso o</p><p>ruído dos resíduos é igual ao ruído das observações, e as observações ajustadas são determinadas com</p><p>precisão alta. Então, o valor de ri perto de 1 é preferido e indica que o ganho do ajustamento é alto. Se ri</p><p>está perto de zero, isto pode estar sendo causado por um pequeno valor da variância do resíduo. Se a</p><p>variância estimada da observação for grande, nesse mesmo caso, o numero de redundância tenderá ser</p><p>ainda menor. O que significa que resíduos com pequenas variâncias ou pequenos ruídos nem sempre</p><p>significa um bom ajustamento.</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>109</p><p>12.2 CONFIABILIDADE INTERNA</p><p>Confiabilidade interna é uma medida de avaliação das observações. É associada com a capacidade de</p><p>dum levantamento detectar erros grosseiros com uma determinada probabilidade. Esta capacidade pode</p><p>ser avaliada usando a equação 15, aqui repetida:</p><p>i</p><p>i</p><p>o</p><p>l</p><p>r</p><p>i</p><p></p><p></p><p>  [18]</p><p>onde,</p><p>é o menor erro grosseiro que pode ser detectado na observação l</p><p>i</p><p>, também conhecido</p><p>com MED;</p><p>i</p><p>é o desvio padrão da iésima observação;</p><p>o</p><p>é o limite inferior do parâmetro de não centralidade;</p><p>r</p><p>i</p><p>é o numero de redundância da iésima observação;</p><p>i</p><p>; do nível</p><p>o e do fator (1-</p><p>o</p><p>; depende</p><p>também da quantidade de observações redundantes aqui explicitada através do numero de redundância.</p><p>Como foi dito antes, a variação para ri é de 0 a 1. Quanto menor o número de redundância da observação,</p><p>maior deverá ser um erro grosseiro para que este seja detectável.</p><p>de uma mesma grandeza, o erro relativo é</p><p>muitas vezes utilizado em ajustamento de observações, como sendo a relação entre o desvio</p><p>padrão do conjunto de observações da grandeza e o valor mais provável dessa grandeza.</p><p>Geralmente, se expressa o erro relativo em termos de fração, colocando a unidade no numerador.</p><p>Exemplo:</p><p>Se x = 229,314 m</p><p>e n = 0,012 m</p><p>então,</p><p>r</p><p>0,012 1 1</p><p>e</p><p>229,314 19109 19000</p><p>  </p><p>2.2.6. Erro Tolerável (Tolerância)</p><p>Considera-se normalmente como sendo o triplo do desvio padrão da média.</p><p>3.tol n (2.4)</p><p>Associado ao erro tolerável, está a idéia de critério de rejeição. O critério de rejeição é um limite</p><p>de erro acima do qual a observação é rejeitada.</p><p>2.3. TIPOS DE ERROS EM FUNÇÃO DE SUA ORIGEM E</p><p>CARACTERÍSTICAS</p><p>2.3.1. Erros Grosseiros</p><p>Erros grosseiros são resultantes de alguma falha do operador ou do instrumento no</p><p>decorrer das observações. Estes erros devem ser evitados através de cuidadosas observações,</p><p>porém, não pode ter garantias de que um conjunto de observações está isento de erros grosseiros.</p><p>Com o advento de instrumentos eletrônicos e o avanço tecnológico destes, o estudo dos erros</p><p>grosseiros ganhou importância. Essas observações (medições) geralmente podem ser capturadas</p><p>automaticamente do instrumento e processadas no computador sem a apreciação do observador.</p><p>Essa nova maneira de obtenção de dados faz com que erros grosseiros passem despercebidos</p><p>pelo operador. Dessa forma é conveniente que se introduza no processamento das observações,</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>9</p><p>testes que detectem os erros grosseiros. A tópico do ajustamento de observações onde se estuda</p><p>esse assunto é denominada “detecção de outliers”.</p><p>2.3.2. Erros Sistemáticos</p><p>Podem ser expressos por uma função matemática. Se as causas dos erros são conhecidas,</p><p>pode-se calcular o erro e eliminá-lo. São erros cumulativos.</p><p>Caracterizam-se por ocorrer sempre em um mesmo sentido e conservarem em medições</p><p>sucessivas, o mesmo valor. Decorrem das deficiências do observador, do instrumento e do</p><p>método usado. Daí dizer-se que os erros sistemáticos podem se originar das fontes que se</p><p>seguem:</p><p>a) Erros sistemáticos introduzidos pelo observador. Quando por algum problema de</p><p>visão (ou outro fator desconhecido) do observador, as medidas têm discrepância sistemática em</p><p>relação ao valor mais provável.</p><p>b) Erros sistemáticos introduzidos pelo instrumento. Uso de instrumentos em</p><p>condições diferentes daquelas para as quais foram calibradas. Instrumento descalibrado:</p><p>suponha uma distância obtida a partir de oito “trenadas”, supondo que cada “trenada” equivale a</p><p>10 metros, a distância total seria de 80 metros. Detectando posteriormente que a trena tem na</p><p>realidade 10,10 metros, conclui-se que a distância tem um erro sistemático de 80 cm.</p><p>Outros exemplos são: erro de índice num ângulo vertical; número gerador errado, etc.</p><p>Os erros instrumentais são reduzidos por meio de uma aferição ou calibração do</p><p>aparelho, por comparação com um padrão de confiança.</p><p>Às vezes pode-se corrigir o instrumento fazendo o mesmo fornecer resultados sem erros</p><p>sistemáticos, ou então calcular o erro e corrigir os resultados das medições.</p><p>c) Erros sistemáticos introduzidos pelo modelo matemático. Utilização de um modelo</p><p>baseado em equação matemática não representativa do fenômeno.</p><p>2.3.3. Erros Aleatórios</p><p>Ocorrem de causas desconhecidas e incontroláveis.</p><p>Caracterizam-se por ocorrerem ao acaso quaisquer que sejam os observadores, os</p><p>instrumentos e os métodos. Em geral são erros pequenos, porém inevitáveis e encontrados em</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 10</p><p>todas as observações causando discrepâncias que a princípio se apresentam sem qualquer</p><p>conformidade matemática. A sua influência sobre as observações é aleatória, não permitindo</p><p>outro tratamento se não baseado na teoria da probabilidade.</p><p>Pode-se dizer que os erros acidentais são os que ainda restam na determinação de uma</p><p>grandeza, em que foram tomados todos os cuidados para eliminar as observações com erros</p><p>grosseiros, bem como os sistemáticos foram pesquisados, calculados e eliminados.</p><p>Quando se realiza um número grande de observações, a experiência tem demonstrado que</p><p>estes erros revelam alguma regularidade, ou seja, seguem uma distribuição de freqüência que</p><p>muito se aproxima da distribuição normal.</p><p>2.4. Classificação das Observações</p><p>2.4.1 Diretas</p><p>As medições são efetuadas diretamente, em relação à grandeza procurada, sem que</p><p>existam meios para verificação do erro, uma vez que não se conhecem os seus valores reais ou</p><p>teóricos. Exemplo: uma distância ou ângulo isolado.</p><p>2.4.2 Indiretas</p><p>As observações não são feitas diretamente sobre as grandezas procuradas, mas por outras</p><p>a elas ligadas através de relações conhecidas. Exemplo: coordenadas ou áreas.</p><p>2.4.3 Diretas Condicionadas</p><p>As observações são feitas diretamente, e são independentes entre si, porém se prendem a</p><p>alguma equação de condição conhecida. Exemplo: Na medida de três ângulos (a, b, c) de um</p><p>triângulo plano, tem-se que a + b + c = 180º.</p><p>2.5. VALOR MAIS PROVÁVEL DE UMA GRANDEZA</p><p>O valor mais provável de uma grandeza, medida diversas vezes pelo mesmo operador,</p><p>utilizando o mesmo equipamento e o mesmo método, ou seja, medidas com um grau idêntico de</p><p>precisão, é a média aritmética dos valores encontrados.</p><p>No caso de observações obtidas com diferentes graus de precisão, o valor mais provável</p><p>deverá ser obtido considerando-se a variância de cada observação que gera um fator de</p><p>proporcionalidade ao qual denominamos peso.</p><p>Suponha x o valor adotado como estimativa de uma grandeza sobre a qual foram</p><p>efetuadas n observações repetidas em condições supostamente similares, então os</p><p>correspondentes resíduos serão:</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>11</p><p>x - l1 = v1,</p><p>x - l2 = v2,</p><p>. . . (2.5)</p><p>x - ln = vn</p><p>O princípio do método dos mínimos quadrados (MMQ) diz:</p><p>2</p><p>1</p><p>( ) min</p><p>n</p><p>T</p><p>i</p><p>i</p><p>x V V x l</p><p></p><p>    (2.6)</p><p>A primeira derivada da função  igualada a zero e resolvida, produzirá solução mínima.</p><p>1</p><p>2. ( ) 0</p><p>n</p><p>i</p><p>i</p><p>x l</p><p>x</p><p></p><p></p><p></p><p>  </p><p></p><p> (2.7)</p><p>( x - l1)+( x - l2) . . . + ( x - ln ) = 0 (2.8)</p><p>n. x = l1+l2 + . . . + ln (2.9)</p><p>1</p><p>n</p><p>i</p><p>i</p><p>l</p><p>x</p><p>n</p><p></p><p></p><p>(2.10)</p><p>o que prova que quando se adota a média aritmética como estimativa, se aplica o método dos mínimos</p><p>quadrados.</p><p>2.6. MEDIDAS DE PRECISÃO</p><p>Precisão é a consistência da medida ou o grau de refinamento de um grupo de medidas.</p><p>Nas medições, os termos mais usados para expressar a precisão são a variância e o desvio padrão</p><p>ou erro médio quadrático, também conhecido por RMS devido a sua abreviatura em inglês (Root</p><p>Mean Square).</p><p>2.6.1. Variância</p><p>É uma medida de dispersão das observações de uma amostra ou população em torno de</p><p>um valor mais provável dessa amostra ou população. É definida como a média do quadrado dos</p><p>erros aparentes. É comum para o cálculo da variância, adotar o seguinte critério:</p><p>- se o número de observações n for menor que 30, a variância é obtida por:</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 12</p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>n</p><p>1i</p><p>2</p><p>i</p><p>2 xx</p><p>1n</p><p>1</p><p>(2.11)</p><p>- Se o número de observações n for maior do que 30:</p><p> </p><p>22</p><p>1</p><p>1 n</p><p>i</p><p>i</p><p>x x</p><p>n</p><p></p><p></p><p>  (2.12)</p><p>2.6.2. Desvio Padrão</p><p>É a raiz quadrada da variância.</p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>n</p><p>1i</p><p>2</p><p>i xx</p><p>1n</p><p>1</p><p>(2.13)</p><p>ou</p><p> </p><p></p><p></p><p>n</p><p>1i</p><p>2</p><p>i xx</p><p>n</p><p>1</p><p>(2.14)</p><p>A cada observação está associada uma precisão (desvio padrão ou variância), assim é</p><p>tecnicamente aconselhável que ao informar o valor da observação, deve-se informar também a</p><p>sua precisão. Sem esta informação é vaga a qualidade da observação.</p><p>Dependendo da grandeza, ao invés de se ter o desvio padrão como precisão, é comum</p><p>apresentar o erro relativo no lugar deste, como no caso de</p><p>O número de redundância só é igual a um quando o verdadeiro valor de observação é conhecido.</p><p>Quando o número de redundância é igual a zero o valor do menor erro grosseiro detectável tende a</p><p>infinito e o teste da observação não é possível.</p><p>O MED, menor erro detectável em cada observação pode ser também estimado pela fórmula</p><p>(Dodson,1990)</p><p>iioMED  [19]</p><p>onde</p><p>vi</p><p>i</p><p>i</p><p></p><p></p><p></p><p>o aqui também é adimensional e é calculado a partir da densidade de</p><p>-</p><p>i que por si só já é uma medida i tem valores entre um e</p><p>i menor será a confiabilidade da observação.</p><p>Uma quantidade alternativa e prática usada como uma medida de confiabilidade interna é proposta</p><p>por Ashkenazi(1981), que é:</p><p>i</p><p>i</p><p>i</p><p>ˆ</p><p></p><p></p><p> [20]</p><p>Quer dizer, a razão entre o desvio padrão a posteriori da iésima observação e o desvio padrão a priori</p><p>da mesma observação. Quanto maior o número de observações que indiretamente afetam um determinado</p><p>parâmetro ou quantidade derivada deste em um levantamento, menor será o fator</p><p>grau de confiabilidade. Por outro lado, uma razão igual a unidade corresponderia a uma falta completa de</p><p>confiabilidade, quer dizer, a medida envolvida poderia conter um erro grosseiro sem modo de ser</p><p>uma observação que tenha completa confiabilidade interna, e igual a um</p><p>para uma medida completamente não confiável.</p><p>Das equações 6 e 8 podemos fazer</p><p> </p><p>2</p><p>i</p><p>2</p><p>i</p><p>2</p><p>ii</p><p>1</p><p>ˆr</p><p></p><p></p><p>2</p><p>i</p><p>2</p><p>i</p><p>2</p><p>i</p><p>2</p><p>i</p><p>2</p><p>i</p><p>i</p><p>ˆ</p><p>1</p><p>ˆ</p><p>r</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> [21]</p><p>Então 2</p><p>i 1r  [22]</p><p>Assim pode ser dito que para uma medida completamente confiável i é igual a um.</p><p>i é igual a zero.</p><p>12.3 CONFIABILIDADE EXTERNA</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 110</p><p>A confiabilidade externa de uma rede de monitoramento é a capacidade que esta tem de controlar os</p><p>efeitos nas coordenadas, dos erros grosseiros não detectados. Ela é medida da influência de cada dos erros</p><p>grosseiros que permanecem no sistema, nos parâmetros do ajustamento ou nas funções destes</p><p>parâmetros.</p><p>Para levantamentos de controle de obras de engenharia, os efeitos de erros grosseiros nos parâmetros</p><p>e quantidades derivadas destes são de valor mais prático que a confiabilidade interna, uma vez que os</p><p>erros grosseiros não detectados não têm nenhuma conseqüência se eles não afetarem os parâmetros ou</p><p>coordenadas (Cross,1983). Na análise de deformação, onde a variação das coordenadas entre</p><p>ajustamentos de épocas diferentes indica deformações existentes, é particularmente importante que o</p><p>impacto de erros grosseiros nos parâmetros seja mínimo.</p><p>O ajustamento de observações pelo método paramétrico nos mostra que pela equação abaixo são</p><p>computados as estimativas dos parâmetros</p><p>  PLAPAAX T1T </p><p> [23]</p><p>onde L representa o vetor das observações e os demais símbolos são como nas equações anteriores</p><p>Se</p><p> 00......000 i</p><p>TL   [24]</p><p>i e, por conseguinte, o vetor dos</p><p>parâmetros calculados X é afetado por ix , que é o efeito de um erro de observação no parâmetro</p><p>calculado. Da equação 23, ix é calculado como</p><p>  LPAPAAX TT</p><p>i</p><p>1</p><p> [25]</p><p>onde iX é um vetor de coluna nulo com exceção de um elemento de unidade na linha i.</p><p>Como ix é um fator dependente do datum, Baarda (1976) sugere para computar a influência de i</p><p>nas coordenadas o seguinte modelo:</p><p>  i</p><p>o</p><p>xT</p><p>ii X</p><p>C</p><p>X </p><p></p><p>2</p><p>1</p><p></p><p> [26]</p><p>onde</p><p>Cx é a matriz variância–covariância dos parâmetros ajustados</p><p>Em redes para monitoramento de deformações, é importante que nenhum erro grosseiro que possa</p><p>não ter sido detectado tenha influência nas coordenadas dos pontos de rede. Por conseguinte, uma</p><p>i tão pequeno quanto possível. Isto é expresso pela relação</p><p>minmax io </p><p>A influência de um erro grosseiro não detectado nas coordenadas pode ser também computada em</p><p>termos do número de redundância, ri.</p><p>Da equação 18 pode-se chegar a</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>o</p><p>i</p><p>i</p><p></p><p></p><p> </p><p>e da equação 25 a equação 26 torna-se</p><p>.       </p><p></p><p></p><p> PLAPAAPAAPLAPAA</p><p>r</p><p>TTT</p><p>T</p><p>TT</p><p>ii</p><p>o</p><p>i</p><p>11</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p> [27]</p><p>Que resulta em</p><p>2</p><p>0</p><p>i</p><p>i</p><p>i</p><p>r</p><p>r1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p> [28]</p><p>Esta equação mostra que uma rede com uma confiabilidade interna boa, isto é ri perto de um, faz com</p><p>que os erros grosseiros não detectados tenham uma influência pequena nos parâmetros estimados.</p><p>O requisito de confiabilidade em uma rede de monitoramento deformação responde a pergunta: quão</p><p>grande deveria ser um erro grosseiro para ser detectado pelo sistema?</p><p>A precisão previamente discutida pode ser considerada como a qualidade do planejamento ou</p><p>otimização de uma rede de monitoramento. Mas de importância principal no monitoramento de</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>111</p><p>deformação é a confiabilidade da rede que é a confiabilidade com que com que as reais observações</p><p>conformam com o planejamento.</p><p>Para alcançar uma confiabilidade alta, as redes têm que ser auto-verificáveis por meio de observações</p><p>redundantes independentes. Para estabelecer um critério de confiabilidade para rede de monitoramento de</p><p>deformação, é interessante investigar quão bem as observações individuais são checadas pelas outras.</p><p>Além disso, investigar o efeito dos erros grosseiros não detectados nas coordenadas da rede de</p><p>monitoramento de deformação. A primeira investigação resulta na confiabilidade interna e a segunda, na</p><p>confiabilidade externa. Valores de confiabilidade interna podem ser interpretados como as pequenas</p><p>discrepâncias em observações isoladas. Elas devem acontecer de tal um modo que a discrepância possa</p><p>ser detectada, e a observação rejeitada.</p><p>Para uma rede, os valores dos erros detectáveis podem variar de observação a observação e portanto</p><p>dá margem a diferentes erros grosseiros.</p><p>O critério de confiabilidade interna pode ser avaliado pelo o número de redundância, r. Para uma</p><p>ótima rede de monitoramento de deformação, o número de redundância deveria ser máximo. Um número</p><p>de redundância grande significa que os erros grosseiros não detectáveis são pequenos.</p><p>O erro grosseiro de uma observação afeta os parâmetros e este efeito é medido pela confiabilidade</p><p>externa. Como mostrado pelar equação 28, um máximo r (número de redundância) conduz a um</p><p>mínimo (efeito do erro grosseiro nas coordenadas). Assim um critério geral, relativo à confiabilidade,</p><p>para uma ótima rede de monitoramento de deformação ou mesmo uma rede geodésica genérica, é</p><p>imomaxri </p><p>imomini </p><p>Exercício 1. O levantamento tem 11 vértices, 27 ângulos, 24 distâncias. O vértice 11 tem coordenadas</p><p>conhecidas N= 176596,175 E = 500645,235 fixas. O azimute de 11 para 4 é 54º 13’ 30.90” fixo</p><p>também.</p><p>a) estimar as coordenadas dos vértices 1 a 11;</p><p>b) fazer uma tabela com as observações angulares e de distâncias mostrando para cada tipo de</p><p>observação uma coluna com o menor erro detectável (MED). Uma coluna com o numero de</p><p>redundância ri e uma coluna com fator de influencia do MED nas coordenadas.</p><p>Valores aproximados das coordenadas dos vértices.</p><p>1 177576.186 501444.068 ' A'</p><p>2 177212.940 501702.013 ' B'</p><p>3 176713.420 501305.916 ' C'</p><p>4 177358.887 501703.744 ' D'</p><p>5 176162.854 501088.102 ' E'</p><p>6 176036.017 500813.889 ' F'</p><p>7 176203.653 500249.250 ' G'</p><p>8 176618.997 499947.553 ' H'</p><p>9 177178.793 499970.286 ' J'</p><p>10 177586.032 500691.977 ' K'</p><p>11 176596.175 500645.235 ' T' coordenadas fixas</p><p>Ângulos: todos tem desvio padrão igual a 0,8”</p><p>Em de para ang. horário</p><p>7 6 11 298 42 57.92</p><p>7 11 8 278 45 15.01</p><p>8 7 11 307 52 4.86</p><p>8 11 9 270 27 5.93</p><p>9 8 11 308 28 32.37</p><p>9 11 10 289 45 49.32</p><p>10 9 11 302 8 19.04</p><p>10 11 1 268 2 46.42</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 112</p><p>1 10 11 308 26 4.26</p><p>1 11</p><p>4 270 44 18.89</p><p>4 1 2 230 45 22.14</p><p>2 4 11 239 3 9.69</p><p>2 11 3 338 40 53.25</p><p>3 2 11 221 31 28.79</p><p>3 11 5 301 38 49.42</p><p>5 3 11 292 47 29.15</p><p>5 11 6 290 48 4.47</p><p>6 5 11 278 4 0.61</p><p>6 11 7 303 17 30.17</p><p>11 2 3 20 12 20.85</p><p>11 3 5 54 26 21.16</p><p>11 5 6 28 52 4.04</p><p>11 6 7 62 0 28.06</p><p>11 7 8 46 37 18.92</p><p>11 8 9 38 55 38.46</p><p>11 9 10 51 54 9.07</p><p>11 10 1 36 28 51.24</p><p>Distâncias: todas têm desvio padrão de 2,0 mm e 2 ppm</p><p>De para distancia dp ppm</p><p>7 6 589.0016 2.00 2.00</p><p>7 1 1819.7372 2.00 2.00</p><p>7 8 513.3562 2.00 2.00</p><p>8 3 1361.6443 2.00 2.00</p><p>8 9 560.2601 2.00 2.00</p><p>9 5 1510.5174 2.00 2.00</p><p>9 10 828.6604 2.00 2.00</p><p>10 1 752.1532 2.00 2.00</p><p>10 2 1076.7387 2.00 2.00</p><p>1 4 338.6017 2.00 2.00</p><p>1 6 1664.1121 2.00 2.00</p><p>4 2 145.9583 2.00 2.00</p><p>2 3 637.5076 2.00 2.00</p><p>3 5 592.0880 2.00 2.00</p><p>5 6 302.1288 2.00 2.00</p><p>11 8 698.0597 2.00 2.00</p><p>11 9 891.6309 2.00 2.00</p><p>11 10 990.9583 2.00 2.00</p><p>11 1 1264.3447 2.00 2.00</p><p>11 3 671.0064 2.00 2.00</p><p>11 5 619.6013 2.00 2.00</p><p>11 6 585.0017 2.00 2.00</p><p>11 7 557.5675 2.00 2.00</p><p>11 2 1223.5969 2.00 2.00</p><p>Rotina para aplicação do método paramétrico:</p><p>a) Estudar o problema e formular as equações matemáticas para cada uma das observações,</p><p>evidentemente na forma La = F (Xa).</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>113</p><p>O modelo matemático contém 54 observações (27 ângulos, 24 distâncias, 1 azimute e 2</p><p>coordenadas - (N,E)) e 22 parâmetros (11 estações).</p><p>b) Obtenção do vetor dos valores aproximados para os parâmetros (X0).</p><p>X0 = [ N1 E1 N2 E2 N3 E3 N4 E4 N5 E5 N6 E6 N7 E7 N8 E8 N9 E9 N10 E10 N11</p><p>E11 ]T</p><p>COORDENADAS APROXIMADAS</p><p>Vértices Norte (m) Este (m)</p><p>1 177576,186 501444,068</p><p>2 177212,940 501702,013</p><p>3 176713,420 501305,916</p><p>4 177358,887 501703,744</p><p>5 176162,854 501088,102</p><p>6 176036,017 500813,889</p><p>7 176203,653 500249,250</p><p>8 176618,997 499947,553</p><p>9 177178,793 499970,286</p><p>10 177586,032 500691,977</p><p>11 176596,175 500645,235</p><p>c) Definição da matriz dos pesos: P = CLb</p><p>-1.</p><p>O peso de uma observação é a confiança relativa de um valor observado comparado com algum</p><p>outro valor. Uma grande precisão é indicada por um pequeno desvio, implicando uma boa observação e</p><p>um peso grande. O peso de uma observação é, portanto, inversamente proporcional ao quadrado do</p><p>desvio padrão correspondente. Na matriz peso a diagonal principal toma o inverso da variância de cada</p><p>observação, a matriz diagonal (aij = 0, aii = 1/</p><p>2</p><p>i ).</p><p>P = diagonal [ 1/</p><p>2</p><p>1 1/</p><p>2</p><p>2 1/</p><p>2</p><p>3 1/</p><p>2</p><p>4 1/</p><p>2</p><p>5 1/</p><p>2</p><p>6 1/</p><p>2</p><p>7 1/</p><p>2</p><p>8 1/</p><p>2</p><p>9 1/</p><p>2</p><p>10 1/</p><p>2</p><p>11</p><p>1/</p><p>2</p><p>12 1/</p><p>2</p><p>13 1/</p><p>2</p><p>14 1/</p><p>2</p><p>15 1/</p><p>2</p><p>16 1/</p><p>2</p><p>17 1/</p><p>2</p><p>18 1/</p><p>2</p><p>19 1/</p><p>2</p><p>20 1/</p><p>2</p><p>21 1/</p><p>2</p><p>22 1/</p><p>2</p><p>23 ...</p><p>1/</p><p>2</p><p>54 ]</p><p>Obs.”: Todas as 27 observações referentes aos ângulos têm desvio padrão igual a 0,8” e as 24 observações</p><p>referentes às distâncias tem desvio padrão de 2,0 mm e 2 ppm. Já o azimute e o vértice 11 de coordenada</p><p>(N,E) são fixos, com desvio padrão respectivamente, 0,0”, 0,0 mm e 0,0 mm.</p><p>d) Obtenção do vetor das observações calculadas, em função dos parâmetros aproximados L0 = (X0).</p><p>e) Vetor das observações brutas (Lb): valores observados.</p><p>f) Obtenção do vetor L = Lb - L0.</p><p>g) Obtenção da matriz A: (matriz das derivadas parciais).</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 114</p><p>h) Obtenção do vetor das correções: X = (ATPA)-1ATPL.</p><p>i) Obtenção do vetor dos parâmetros ajustados: Xa = X0 + X.</p><p>j) Obtenção do vetor dos resíduos: V = AX - L.</p><p>l) Obtenção das observações ajustadas: La = Lb + V.</p><p>m) Obtenção da matriz variância-covariância dos parâmetros ajustados CXa.</p><p>CXa = N-1 = (ATPA)-1 .</p><p>n) Obtenção do</p><p>2</p><p>0̂</p><p>g.l. (grau de liberdade) = nº de observações – nº de parâmetros;</p><p>g.l. = 54 – 22 = 32.</p><p>2</p><p>0̂ =(VTPV)/ g.l. = 1,01452.</p><p>o) Análise do teste Qui-quadrado:</p><p>Valores tabelados com 5% de significância (32 graus de liberdade):</p><p>;572,0; 025,0</p><p>2</p><p>32 </p><p>;546,1; 975,0</p><p>2</p><p>32 </p><p>.</p><p>32</p><p>;</p><p>ˆ</p><p>32</p><p>; 975,0</p><p>2</p><p>322</p><p>0</p><p>025,0</p><p>2</p><p>32 </p><p></p><p></p><p></p><p>Como o</p><p>2</p><p>0̂ está neste intervalo, concluímos que passou pelo teste global.</p><p>Como o vetor X não satisfez o limite de tolerância pré-estabelecido (1 mm) , fez-se uma iteração.</p><p>Fez-se então os mesmos cálculos do ajustamento, visto anteriormente.</p><p>O sigma zero a posteriori continuou o mesmo, após a iteração e passou novamente no teste qui-</p><p>quadrado com 5% de significância.</p><p>2</p><p>0̂ =(VTPV)/ g.l. = 1,01452.</p><p>Coordenadas ajustadas e sua precisão dos 11 vértices:</p><p>COORDENADAS AJUSTADAS E SUA PRECISÃO</p><p>Vértices Norte (m) Este (m) σN (mm) σE (mm)</p><p>1 177576,187 501444,068 1,70 2,40</p><p>2 177212,938 501702,016 2,10 1,50</p><p>3 176713,416 501305,918 1,50 1,50</p><p>4 177358,888 501703,745 1,10 1,50</p><p>5 176162,847 501088,101 1,50 1,80</p><p>6 176036,012 500813,886 1,20 2,10</p><p>7 176203,656 500249,246 1,70 1,80</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>115</p><p>8 176619,003 499947,549 2,50 1,40</p><p>9 177178,801 499970,286 2,60 2,10</p><p>10 177586,032 500691,979 1,80 2,50</p><p>11 176596,175 500645,235 0,00 0,00</p><p>Número de redundância e fator de influência do MED referente aos ângulos:</p><p>Observações</p><p>Angulares</p><p>Em de para</p><p>2</p><p>vi</p><p>2</p><p>i ir</p><p>i i</p><p>7 6 11 0.37 0.64 0.578 3.798 9.510</p><p>7 11 8 0.30 0.64 0.469 4.218 14.770</p><p>8 7 11 0.37 0.64 0.578 3.798 9.510</p><p>8 11 9 0.30 0.64 0.469 4.218 14.770</p><p>9 8 11 0.39 0.64 0.609 3.700 8.354</p><p>9 11 10 0.37 0.64 0.578 3.798 9.510</p><p>10 9 11 0.37 0.64 0.578 3.798 9.510</p><p>10 11 1 0.33 0.64 0.516 4.022 12.242</p><p>1 10 11 0.42 0.64 0.656 3.565 6.826</p><p>1 11 4 0.23 0.64 0.359 4.818 23.231</p><p>4 1 2 0.20 0.64 0.313 5.166 28.671</p><p>2 4 11 0.20 0.64 0.313 5.166 28.671</p><p>2 11 3 0.51 0.64 0.797 3.235 3.322</p><p>3 2 11 0.24 0.64 0.375 4.716 21.720</p><p>3 11 5 0.37 0.64 0.578 3.798 9.510</p><p>5 3 11 0.34 0.64 0.531 3.962 11.499</p><p>5 11 6 0.30 0.64 0.469 4.218 14.770</p><p>6 5 11 0.28 0.64 0.438 4.366 16.756</p><p>6 11 7 0.38 0.64 0.594 3.748 8.917</p><p>11 2 3 0.50 0.64 0.781 3.267 3.649</p><p>11 3 5 0.37 0.64 0.578 3.798 9.510</p><p>11 5 6 0.39 0.64 0.609 3.700 8.354</p><p>11 6 7 0.35 0.64 0.547 3.905 10.798</p><p>11 7 8 0.38 0.64 0.594 3.748 8.917</p><p>11 8 9 0.41 0.64 0.641 3.608 7.311</p><p>11 9 10 0.39 0.64 0.609 3.700 8.354</p><p>11 10 1 0.46 0.64 0.719 3.406 5.100</p><p>Equações:</p><p>2</p><p>0</p><p>1</p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p>ri</p><p>ri</p><p>i ,</p><p>2</p><p>2</p><p>i</p><p>viri</p><p></p><p></p><p> ,</p><p>ri</p><p>i</p><p>i</p><p>0</p><p> </p><p>Onde:</p><p>i é o maior erro grosseiro que permanecera não detectado na observação li;</p><p>i é o fator de influência do MED;</p><p>0 é o limite inferior do parâmetro de não centralidade;</p><p>2</p><p>vi é a variância do resíduo;</p><p>2</p><p>i é a variância das observações;</p><p>ir é o número de redundância da iésima observação.</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 116</p><p>De acordo com Baarda (1968), obtemos 0 = 3,61 com um nível de significância (α) de 5% e (1-</p><p>β) de 95%.</p><p>Número de redundância e fator de influência do MED referente às distâncias:</p><p>Distâncias</p><p>De para</p><p>2</p><p>vi</p><p>2</p><p>i ir</p><p>i i</p><p>7 6 7.55 10.11 0.747</p><p>13.283 4.419</p><p>7 1 26.97 31.81 0.848 22.112 2.339</p><p>7 8 6.29 9.18 0.685 13.214 5.988</p><p>8 3 18.28 22.28 0.820 18.812 2.852</p><p>8 9 6.12 9.73 0.629 14.199 7.687</p><p>9 5 21.20 25.20 0.841 19.758 2.459</p><p>9 10 8.03 13.32 0.603 16.969 8.585</p><p>10 1 7.41 12.25 0.605 16.246 8.512</p><p>10 2 11.46 17.22 0.666 18.363 6.550</p><p>1 4 1.89 7.18 0.263 18.854 36.476</p><p>1 6 23.57 28.41 0.830 21.125 2.676</p><p>4 2 1.24 5.24 0.237 16.987 42.039</p><p>2 3 5.92 10.76 0.550 15.965 10.655</p><p>3 5 6.87 10.11 0.680 13.925 6.146</p><p>5 6 4.51 6.76 0.667 11.491 6.502</p><p>11 8 9.60 11.56 0.830 13.469 2.661</p><p>11 9 11.73 14.29 0.821 15.062 2.844</p><p>11 10 12.60 15.84 0.795 16.109 3.351</p><p>11 1 17.28 20.52 0.842 17.820 2.444</p><p>11 3 8.91 11.16 0.798 13.497 3.291</p><p>11 5 8.81 10.50 0.839 12.771 2.500</p><p>11 6 8.61 10.05 0.857 12.364 2.180</p><p>11 7 7.98 9.67 0.825 12.358 2.760</p><p>11 2 15.71 19.71 0.797 17.952 3.318</p><p>REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA</p><p>ASHKENAZI, V. Least squares adjustment: signal or just noise? Chartered Land and Minerals Surveyor 3(1),</p><p>42-49., 1981</p><p>BAARDA, W. “A testing procedure for use in geodetic networks.” Netherlands Geodesy Com. New Series 2,</p><p>No.5. Delft. Netherlands. 1968</p><p>BAARDA, W. “Reliability and precision of networks.” Darmstadt. VII International Course for Engineering</p><p>Surveys of High Precision, pp 17-27.,1976</p><p>CROSS, P.A. Advanced Least Squares Applied To Position-Fixing. London. North East Polytechnic. Working</p><p>paper No.6..,1983</p><p>DELIKARAOGLOU,D & LAHAHYE,F. “Optimisation of GPS theory, techniques and operational systems:</p><p>progress & prospects.” Edinburgh. Symposium 102 of the International Association of Geodesy., 1989</p><p>DODSON, A. “Analysis and application of control networks” in KENNIE, T. J. M. & PETRIE, G (eds.)</p><p>Engineering Surveying Technology. London. Blackie and Son Ltd..,1980</p><p>GRAFAREND, E.W. “Optimisation of geodetic networks.” The Canadian Surveyor, vol. 28, No.5., 1974</p><p>GRAFAREND, E.W. “Optimization of geodetic networks.” Munchen. DGK, B, 258/III - 69-81.,1982</p><p>KOCH, K.R. “Optimization of the configuration of the geodetic networks.” Munchen DGK, B, 258/III 82-</p><p>89.,1982</p><p>SILVA, A. S. Optimization of surveying monitoring networks. PhD Thesis, Institute of Engineering Surveying and</p><p>Space Geodesy. University of Nottingham,168pp, 1997</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>117</p><p>13. DECTECÇÃO de OUTLIER</p><p>A coleta, o registro e o cálculo de observações podem ser afetados por vários erros que são</p><p>classificados como erros sistemáticos, aleatórios e grosseiros.</p><p>Erros sistemáticos são aqueles que variam sistematicamente em sinal e magnitude. Eles estão</p><p>definidos como a diferença entre o modelo funcional e a realidade; e são freqüentemente chamados de bias</p><p>(tendência). É possível eliminar erros sistemáticos refinando o modelo matemático.</p><p>Erros aleatórios, randômicos ou acidentais são inevitáveis e são esses que permanecem após os</p><p>erros sistemáticos e grosseiros (outliers) serem eliminados. Eles são inerentes à natureza de medidas.</p><p>Normalmente eles representam diferenças pequenas entre as observações e as suas expectativas. Erros</p><p>aleatórios são imprevisíveis e seguem regras estatísticas.</p><p>Erros grosseiros ou outliers são, entre outras causas, resultantes do mau funcionamento do</p><p>instrumento ou da inabilidade do operador do instrumento. Podem ser evitadas por observações</p><p>cuidadosas. Porém não há nenhuma certeza de que todos os erros grosseiros foram eliminados de um</p><p>levantamento.</p><p>Outlier é um termo usado em estatística associado a erros grosseiros. O interesse por outliers é</p><p>muito antigo. Bernoulli, em 1777, costumava descartar observações que poderiam ser chamadas outliers.</p><p>Mas foi ao redor de 1850 que métodos estatísticos para estudar outliers começaram a ser usados. O</p><p>interesse pelo estudo dos outliers tem crescido ultimamente. Hoje em dia alem de designar erros</p><p>grosseiros, o termo outlier tem sido usado para indicar qualquer observação que, por alguma razão, esteja</p><p>com valor muito fora das demais medidas.</p><p>Definições para outlier não são comumente encontradas.. Hawkins, citado em Cross (1983), define</p><p>um outlier como “uma observação que diverge tanto de outras observações que desperta suspeitas de ter</p><p>sido gerada por um mecanismo diferente”. Beckman (1983) sugere outros termos para este tipo de erro:</p><p>a) observação discordante: qualquer observação que parece ser surpreendente ou discrepante</p><p>para o observador;</p><p>b) observação contaminante: qualquer observação que não é da população observada.</p><p>Há algumas estratégias para detecção de outliers através de análise estatística das observações</p><p>após o ajustamento, ou seja, das observações ajustadas. Estas estratégias são discutidas nas seções</p><p>seguintes.</p><p>13.1 Testes de hipóteses</p><p>Para tomar decisão relativa à população, é conveniente fazer algumas suposições. Estas</p><p>suposições, verdadeiras ou não, são chamadas de hipóteses estatísticas. O processo de decisão para aceitar</p><p>ou rejeitar hipóteses estatísticas é chamado de teste de hipótese ou teste de significância.</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 118</p><p>Em um conjunto de medidas chamado amostra, com média m, será testado se a média da amostra</p><p>é significativamente diferente da média verdadeira . A primeira hipótese é que a média m é igual a .</p><p>Esta suposição inicial é chamada hipótese nula, e é representada por Ho. Contra esta hipótese nula é testada</p><p>uma hipótese alternativa, representada por Ha. Neste caso as hipóteses seriam:</p><p>H</p><p>o</p><p>: m = </p><p>H</p><p>a</p><p>: m  </p><p>Ao aceitar ou rejeitar estas hipóteses, podem ocorrer dois tipos de erros:</p><p>No primeiro, é rejeitada a hipótese nula quando m é estatisticamente igual a , isto é, a hipótese</p><p>nula pode ter sido rejeitada quando deveria ter sido aceita. Este primeiro erro é chamado erro tipo I. A</p><p>probabilidade de acontecer este erro é chamada de nível de significação do teste, e é representada por .</p><p>Por outro lado, a hipótese nula pode ter sido aceita quando m não é estatisticamente igual a µ,</p><p>isto é, a hipótese nula pode ter sido aceita quando deveria ter sido rejeitada. Em outras palavras: ocorreu</p><p>um erro grosseiro e não foi detectado. Este segundo erro é chamado erro tipo de II. A probabilidade de</p><p>ocorrência do erro tipo II é denotado por . Em qualquer caso, erro tipo I ou II, acontece uma decisão</p><p>errada.</p><p>Qualquer teste de hipóteses deve ser planejado para se ter um mínimo de erro tipo I e tipo II para</p><p>uma determinada amostra, o que não é fácil, porque a tentativa de diminuir um tipo de erro geralmente</p><p>resulta no aumento de outro tipo. Um recurso prático é limitar um tipo de erro. O erro tipo I está limitado</p><p>por . Para evitar completamente o erro tipo II, seria necessário nunca aceitar a hipótese nula. Em muitos</p><p>casos, entretanto, isto não é possível.</p><p>13.2 Teste de Outliers</p><p>Outliers podem ser detectados por técnicas que são conhecidas como data snooping. Estas</p><p>técnicas podem identificar outliers, embora sejam incapazes de definir as suas causas. Estas buscas por</p><p>outliers são alcançadas por meio de: a) observações repetidas da mesma espécie; b) resultados de um</p><p>ajustamento por mínimos quadrados.</p><p>a) observações repetidas da mesma espécie.</p><p>Assumindo que é esperado que os erros de observações sejam normalmente distribuídos, pode-se</p><p>usar o seguinte teste estatístico:</p><p>Ho: xi é de uma distribuição normal com média µ e desvio padrão ;</p><p>Ha: xi é de uma distribuição normal com média µ ± outlier e desvio padrão </p><p>A estatística é computada por</p><p>t</p><p>x x</p><p>s</p><p>i</p><p>i</p><p></p><p>[1]</p><p>onde,</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>119</p><p>xi são as medidas repetidas da mesma quantidade x1,, x2, x3,...... xn;</p><p>x é a estimativa de µ (média);</p><p>s é a estimativa</p><p>de  (desvio padrão).</p><p>Em uma tabela de distribuição normal com um nível escolhido de significância α, um</p><p>percentil é obtido. Sendo este um teste que explora os dois lados da curva normal usamos /2 para cada</p><p>lado da curva. Se escolhermos o nível de significância 0,05, o que quer dizer que estamos aptos a</p><p>identificar uma medida como outlier em 5 casos em cem, e procurarmos o percentil numa tabela iremos</p><p>ver que o percentil será 1,96. O percentil 1,96 foi obtido dividindo-se 0,05 por 2, obtendo-se 0,025, que</p><p>subtraidio de 1 nos dará 0,975, que quando procurado na tabela de distribuição normal nos mostra 1,96.</p><p>Quando ti for maior que o percentil estipulado 1,96 em módulo, identifica-se um outlier. Este</p><p>procedimento é aplicável para amostras grandes, quando maior que 30, por exemplo.</p><p>Este é um método que não pressupõe um ajustamento de observações. Como este trabalho está</p><p>visando abordagens associadas com o método dos mínimos quadrados não será dada ênfase a este tipo de</p><p>detecção de erros grosseiros. O leitor pode consultar Cross (1983) para métodos alternativos como o</p><p>critério do Chauvenet.</p><p>b) De resultados do ajustamento pelo método dos mínimos quadrados</p><p>Estes métodos usam resíduos estimados para identificar outliers. O estudo deles começou</p><p>depois da introdução por Baarda do conceito de confiabilidade para redes geodésicas. Os métodos mais</p><p>usados para pesquisar outliers são o Método de Baarda e o Método Tau, de Pope.</p><p>13.3 - Método de Baarda</p><p>Suponha um conjunto de n observações num ajustamento pelo método dos mínimos quadrados no</p><p>qual li seria a iésima observação; todas estas observações só poderiam conter erros normalmente</p><p>distribuídos ei. Se há suspeita de que uma observação li contém um outlier </p><p>i</p><p>, a hipótese seguinte pode ser</p><p>formulada:</p><p>Ho: li = li + ei</p><p>[2]</p><p>Ha: li = li + ei + </p><p>i</p><p>.</p><p>[3]</p><p>Se a matriz peso é diagonal, como acontece na maioria das vezes, o teste estatístico Ti é</p><p>determinado por</p><p>iv</p><p>i</p><p>i</p><p>v</p><p>T</p><p></p><p> [4]</p><p>Se Ti for maior que um determinado critério ou nível de rejeição a observação é tida como</p><p>contendo um erro grosseiro. Estes critérios são estabelecidos a partir de tabelas elaboradas por Baarda que</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 120</p><p>levam em conta o nível de significância  e o poder do teste . Abaixo a tabela com os valores de  e </p><p>mais usados.</p><p>Tabela 1 o em função do nível de significância o e de (1-o)</p><p>o</p><p>1- o</p><p>0 .10% 1% 5%</p><p>50% 3.29 2.58 1.96</p><p>70% 3.82 3.10 2.48</p><p>80% 4.13 3.42 2.80</p><p>90% 4.57 3.86 3.24</p><p>95% 4.94 4.22 3.61</p><p>99% 5.62 4.90 4.29</p><p>Fonte: Silva (1997))</p><p>Assim se quisermos testar se num conjunto de observações há um erro grosseiro e esse teste for</p><p>com uma probabilidade de 5% de se cometer um erro tipo I o critério, segundo a tabela para detecção será</p><p>2,8. Dessa forma se Ti for maior que 2,8 a observação em questão será rejeitada. E estaremos com</p><p>probabilidade de 5% de cometermos um erro tipo 1, ou seja, de estarmos rejeitando a observação quando</p><p>de fato não há um erro grosseiro. O teste de Baarda tem a desvantagem de não levar em conta a quantidade</p><p>de observações.</p><p>Note que se a hipótese nula (Ho) é aceita, isto é, se todos os erros forem erros aleatórios, Ti será</p><p>distribuído normalmente com média zero e variância igual à unidade. Então, um teste estatístico deve ser</p><p>executado para cada observação; o que só é concluído quando um completo ajustamento pelos mínimos</p><p>quadrados for feito para cada teste estatístico.</p><p>Os passos para aplicação desse método são:</p><p>a) calcular o Ti para todas as observações;</p><p>b) remover a observação que tenha o maior Ti se este for maior que o critério de rejeição adotado;</p><p>c) reajustar as observações restantes;</p><p>d) repetir os itens a) a c) ate que todos os possíveis erros grosseiros tenham sido removidos.</p><p>13.4 O Método de POPE</p><p>O método de Pope aplica a distribuição tau para verificar se uma observação é um outlier. Baseia-</p><p>se na suposição de que só uma observação é afetada por um erro grosseiro. O Ti estatístico para este teste é</p><p>computado da mesma maneira como no teste de Baarda; e é freqüentemente usado como um recurso</p><p>pragmático que consiste em descartar o maior Ti, se mais de uma observação for detectada como um</p><p>outlier. Depois de descartado o maior Ti, o ajustamento é repetido com as restantes n-1 observações.</p><p>Então um novo teste é aplicado. Este processo deverá ser repetido até que todos o outliers sejam</p><p>detectados.</p><p>A primeira suposição para o teste de tau é que todas as observações são normalmente distribuídas</p><p>com expectância de A x, i. e.,</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>121</p><p>E (l) = Ax</p><p>[5]</p><p>Inferindo-se que os resíduos da estimação dos mínimos quadrados tem a expectância de zero, i. e.,</p><p>E(v) = 0</p><p>[6]</p><p>as hipóteses são,</p><p>H</p><p>o</p><p>: E (vi) = 0</p><p>H</p><p>a</p><p>: um resíduo é um outlier.</p><p>Usualmente se admite a probabilidade de 5% de ocorrência de um erro do tipo I. De fato em vez</p><p>de um teste nós temos n testes individuais. Conseqüentemente é computado um nível de significação de n</p><p>testes unidimensionais; ignorando-se a dependência entre resíduos, como</p><p></p><p>o</p><p>= 1 - ( 1 -  )</p><p>1/n</p><p>[7]</p><p>onde,</p><p>n = número de observações;</p><p>α= determinado nível de significância;</p><p></p><p>o</p><p>= nível de significância computada.</p><p>O teste de tau é computado para cada medida através da fórmula:</p><p>iv</p><p>T</p><p>i</p><p>T</p><p>i</p><p>i</p><p>e P C P e</p><p>PV e</p><p>=T</p><p>[8]</p><p>onde,</p><p>ei = [0 0 0 0 0 1... ...0 0], isto é , um vetor nulo a menos da unidade na iésima posição;</p><p>P = matriz de peso;</p><p>V = vetor de resíduos;</p><p>Cv = matriz de variância-covariancia dos resíduos.</p><p>Para medidas não correlacionadas, a matriz peso é diagonal e Ti, pode ser computado como</p><p>mostrado na Equação 4,</p><p>T =</p><p>v</p><p>diag{C }</p><p>i</p><p>i</p><p>v</p><p>[9]</p><p>onde,</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 122</p><p>diag{Cv} é o iésimo elemento diagonal de Cv, a variância de resíduo da iésima observação.</p><p>É testado o valor de Ti para cada resíduo contra um valor crítico computado pela distribuição de</p><p>tau.</p><p>O procedimento para o teste de Tau é o seguinte:</p><p>a) Ti é computado para todas as observações</p><p>b) t(f-1) é computado como uma função de (f-1) e o</p><p>onde,</p><p>t = t- student</p><p>f = grau de liberdade</p><p>c) a partir de t(f-1)) Tau é computado usando a equação</p><p>=</p><p>f t</p><p>(f -1) + t</p><p>(f -1)</p><p>(f -1)</p><p> [10]</p><p>d)  e Ti são comparados. Se qualquer valor de Ti excede  então a observação pertinente</p><p>pode ser considerada como um outlier.</p><p>Este método que é usado para a detecção de outliers no software MMQUFV (software</p><p>desenvolvido pelo autor e disponível no endereço www.ufv.br/dec/eam), é provavelmente o mais</p><p>apropriado para uso em detecção de outliers na área de ciências geodésicas.</p><p>Os métodos para detectar outliers podem automaticamente retirar todas as observações que</p><p>contenham outliers, quando implementados num programa de ajustamento de observações. Porém,</p><p>Caspary (1987) enfatiza que eles devem ser usados de forma interativa: o computador sinalizando as</p><p>observações suspeitas, e o engenheiro decidindo o que fazer com estas observações e as providências a</p><p>serem tomadas.</p><p>Este autor implementou uma sub-rotina de dados para computar o valor crítico de tau que também</p><p>se encontra no endereço www.ufv.br/dec/eam.</p><p>Para determinar Tau, primeiro computa-se o t-Student porque tau baseia-se em t.</p><p>Pope mostra que:</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>.</p><p>f</p><p>f</p><p>f</p><p>f t</p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>1f -1+t2</p><p>[13.54]</p><p>onde,</p><p>f = grau de liberdade;</p><p>t = o t-Student.</p><p>A distribuição de t-Student é representada por:</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>123</p><p>f t( ) </p><p></p><p></p><p>( ) [ ]</p><p>n +1</p><p>2</p><p>1 +</p><p>n</p><p>-</p><p>n ( )</p><p>t</p><p>n</p><p>(n+1)</p><p>2</p><p>n</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p>[13.55]</p><p>Para programas de computação, há fórmulas mais apropriadas (Abramowitz,1970). Estas fórmulas</p><p>são séries matemáticas baseadas em</p><p>t  </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>( ) </p><p>[13.56]</p><p>Para o grau de liberdade, simultaneamente impar e maior que um, a área debaixo da curva da</p><p>função é</p><p>A sin f f      2 2</p><p>3</p><p>2 4 32 2</p><p></p><p>    { [cos cos ...... . ( )cos ]}( )</p><p>[13.57]</p><p>A curva desta função é a probabilidade A.</p><p>Para o grau de liberdade igual a 1, A é</p><p>A</p><p>2</p><p></p><p> . [13.58]</p><p>Para um grau pleno de liberdade, A é</p><p>A</p><p>2</p><p></p><p> . [13.59]</p><p>onde,</p><p>  arctan</p><p>t</p><p>f</p><p>A sin</p><p>f</p><p>f</p><p>f</p><p>   </p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p> </p><p>{ cos</p><p>. . cos</p><p>.</p><p>... ...</p><p>. . .( )cos</p><p>. . ...( )</p><p>( )</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>1 3</p><p>2 4</p><p>1 3 5 3</p><p>2 4 6 2</p><p>2</p><p>4 2</p><p>f = grau de liberdade</p><p>t = o T-Student</p><p>Uma seqüência de dados foi escrita para computar o teste estatístico t-Student usando estas</p><p>fórmulas para um determinado número de observações,. A partir do uso desta seqüência de dados, foi</p><p>computado o valor crítico para tau.</p><p>O procedimento para o teste de tau é o seguinte:</p><p>a) Ti é computado para todas as observações</p><p>b) t(f-1) é computado como uma função de (f-1) e o</p><p>onde,</p><p>t = t- student</p><p>f = grau de liberdade</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 124</p><p>c) a partir de t(f-1) tau é computado usando a equação</p><p>=</p><p>f t</p><p>(f -1) + t</p><p>(f -1)</p><p>(f -1)</p><p> [13.60]</p><p>d)  e Ti são comparados. Se qualquer valor de Ti excede  pertinente</p><p>pode ser considerada como um outlier.</p><p>Este método que é usado para a descoberta de outliers no software MMQUFV, é provavelmente o</p><p>mais amplamente usado em levantamentos geodésicos.</p><p>Os métodos para detectar outliers podem automaticamente limpar os dados observacionais,</p><p>quando implementados num programa de ajustamento. Porém, Caspary (1987) enfatizou que eles devem</p><p>ser usados de forma interativa:: o computador sinalizando as observações suspeitas, e o agrimensor</p><p>decidindo o que fazer com estas observações e as providências a serem tomadas.</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>125</p><p>REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS</p><p>BECKMAN, R.J. and COOK,R.D. (1983) “Outliers.” Washington. Techonometrics. Vol 25, No.2. May</p><p>1983.</p><p>CASPARY, W.F.(1987) Concepts of Network and Deformation Analysis. Kensington, Australia.</p><p>School of Surveying. The University of New South Wales. Monograph 11,</p><p>COOPER, M. A R., (1987) Control surveys in civil engineering, London:Collins,380p</p><p>CROSS, P.A., (1983) Advanced least squares applied to position-fixing. – Working paper</p><p>series. Ed. A S. Walker, Department of Land Surveying, North East London Polytechnic.</p><p>204p</p><p>GEMAEL, C. (1994) Introdução ao ajustamento de observações- aplicações geodésicas –</p><p>Editora UFPR, 319p</p><p>HIRVONEN,R. H. (1971) Adjustment by least squares in Geodesy and Photogrammetry. New</p><p>York: F Ungar Publishing Co.,261p</p><p>MIKHAIL, E. M. and ACKERMANN, F. (1976) Observations and least squares. New York:</p><p>IEP – A Dun-Donnelley Publisher, 497p</p><p>MIKHAIL, E. M. and GRACIE G. (1981) Analysis and adjustment of survey measurements.,</p><p>New York: Van Nostrand Reinhold Co. 340p</p><p>SITA, A. P. C. (1994) Representação gráfica da precisão de uma rede de levantamento através da</p><p>elipse de erros. .Monografia de conclusão de curso (Graduação), Engenharia de Agrimensura, UFV</p><p>- Universidade Federal de Viçosa.</p><p>SILVA, A Simões. (1996) Optimisation of surveying monitoring networks. PhD Thesis. Institute of</p><p>Engineering Surveying and Space Geodesy, University of Nottingham, United Kingdom., 168 pp.</p><p>distâncias.</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>13</p><p>DISTRIBUIÇÃO NORMAL</p><p>3.1 INTRODUÇÃO</p><p>Os erros acidentais ocorrem de forma aleatória e tendem a obedecer à distribuição normal</p><p>ou Lei de Gauss .</p><p>Considerando uma operação qualquer de medição efetuada um grande número de vezes,</p><p>nas mesmas condições (mesmo operador, instrumento, método, etc.) a teoria das probabilidades</p><p>mostra e a experiência permite verificar que os erros acidentais produzidos gozam das seguintes</p><p>propriedades.</p><p>1a - A um erro positivo corresponde um erro negativo de mesmo valor absoluto (os erros</p><p>positivos e negativos de mesmo valor absoluto têm igual probabilidade).</p><p>2a - Os erros pequenos são os mais numerosos (o erro nulo é o mais provável.).</p><p>A curva que representa a Lei de Gauss tem a forma de um sino (ver figura 3.1)e goza das</p><p>seguintes propriedades:</p><p>Fig. 3.1</p><p>a) É simétrica em relação ao eixo do Y, isto é, os erros positivos e negativos do mesmo</p><p>valor absoluto têm igual probabilidade;</p><p>b) As ordenadas correspondentes aos erros pequenos são as maiores, isto é, os erros</p><p>pequenos têm maior probabilidade do que os grandes;</p><p></p><p>x</p><p>y</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 14</p><p>c) A curva tem por assíntota o eixo dos x, isto é, o erro infinito tem uma probabilidade</p><p>nula;</p><p>d) A curva apresenta dois pontos de inflexão correspondentes a mais ou menos  (desvio</p><p>padrão);</p><p> dEEFP </p><p>e) A probabilidade de se cometer um erro, em valor absoluto, menor que  (erro</p><p>compreendido entre + e - ) é igual a área assinalada na figura 3.2.</p><p>Fig. 3.2</p><p>f) A área total limitada pela curva, isto é, a probabilidade de se cometer simultaneamente</p><p>todos os erros é, portanto, igual à unidade (100%).</p><p>A curva da lei de Gauss pode ser representada analiticamente pela equação:</p><p>  2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p></p><p></p><p>E</p><p>eEF</p><p></p><p></p><p>(3.1)</p><p>Onde:</p><p>= desvio padrão</p><p>E = erro considerado, ou se temos uma medida x e uma média x , E x x  .</p><p></p><p>x</p><p>y</p><p></p><p>Antonio Simões 2011</p><p>15</p><p>Se for considerado na equação da Lei de Gauss desvios padrões  = 1,  = 2 e  = 3, as</p><p>curvas correspondentes seriam representadas como na figura 3.3:</p><p>Fig. 3.3</p><p>Ou seja, quanto maior for o desvio padrão (menor precisão), mais achatada será a curva. É</p><p>comum encontrar tabelas que fornecem os valores resultantes das integrais (que representam</p><p>probabilidades):</p><p>dEeP e</p><p>E</p><p>xE</p><p>E</p><p>221</p><p>1</p><p>2</p><p>1 </p><p></p><p></p><p></p><p>  (3.2)</p><p>ou</p><p>P = probabilidade = área sob a curva</p><p>Como aplicação simples, pode-se fazer:</p><p>1) Encontrar a probabilidade dos erros menores, em valor absoluto, do que um desvio</p><p>padrão (1) (ou encontrar a área sob a curva e limitada pelas abcissas - e +).</p><p>Pela tabela das probabilidades, obtém-se (ver figura 3.4):</p><p>x</p><p>y</p><p></p><p></p><p></p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 16</p><p>p1</p><p></p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>p2y</p><p></p><p>A diferença entre p2e p1fornece P = 68,26%</p><p>Fig. 3.4</p><p>A diferença entre p2 e p1 fornece P = 68,26%.</p><p>2) Para o mesmo raciocínio anterior, considerando-se 2, obtém-se (ver figura 3.5):</p><p>Fig. 3.5</p><p>P</p><p>- +</p><p></p><p>P</p><p></p><p></p><p></p><p>P</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>17</p><p>3) idem, considerando 3 (ver figura 3.6):</p><p>Fig. 3.6</p><p>Na prática, se o número de observações for grande, pode-se verificar uma concordância</p><p>quase perfeita com a curva de Gauss, se for marcado em abscissas as grandezas dos erros (erros</p><p>aparentes), e em ordenadas o número de ocorrências correspondentes (ver figura 3.7).</p><p>Fig. 3.7</p><p>P</p><p></p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 18</p><p>PROPAGAÇÃO DE VARIÂNCIAS</p><p>Nos levantamentos topográficos, geodésicos, fotogramétricos, etc., as medidas podem ser</p><p>consideradas como variáveis aleatórias e, portanto sujeitas às leis estatísticas.</p><p>Um levantamento é composto de um conjunto de elementos, que são ângulos e distâncias, os</p><p>quais são medidos (observados). Os valores numéricos obtidos a partir de medidas daqueles elementos</p><p>constituem a amostra da variável aleatória correspondente ao elemento. Essa amostra é usada para</p><p>estimar a esperança matemática  e a variância 2 , da variável aleatória. Os estimadores não</p><p>tendenciosos de  e 2 são as médias aritméticas e o quadrado do desvio padrão da amostra</p><p>respectivamente.</p><p>Para uma amostra da variável aleatória x consistindo de n medidas xi a média x da amostra é:</p><p>i</p><p>n</p><p>i</p><p>x</p><p>n</p><p>x </p><p></p><p></p><p>1</p><p>1</p><p>(4.1)</p><p>e o desvio padrão xS da amostra é:</p><p>2</p><p>1</p><p>( )</p><p>1</p><p>n</p><p>i</p><p>x</p><p>i</p><p>x x</p><p>S</p><p>n</p><p></p><p></p><p></p><p> (4.2)</p><p>as estimativas x e xS são não tendenciosas.</p><p>Assim;</p><p>   2 2 e x xE x E S   (4.3)</p><p>Para um par de variáveis aleatórias a covariância é estimada por:</p><p>1</p><p>1</p><p>( ) ( ) e ( )</p><p>1</p><p>n</p><p>x y i i x y x y</p><p>i</p><p>S x x y y E S</p><p>n</p><p></p><p></p><p>   </p><p></p><p> (4.4)</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>19</p><p>O coeficiente de correlação é</p><p>x y</p><p>x y</p><p>x y</p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p>A variação do coeficiente de correlação é de menos um a mais um:</p><p>1 1  </p><p>O desvio padrão é também conhecido como erro médio quadrático (Root Mean Square Error, o</p><p>tão conhecido RMSE), embora a palavra erro não tenha aqui significado estatístico.</p><p>Se a amostra consiste de uma só medida não é possível estabelecer-se o desvio padrão. Neste</p><p>caso, para desvio padrão usa-se aquele estabelecido pelo fabricante do instrumento com sua precisão.</p><p>Quando não se conhece este desvio padrão pode-se estabelecer um, a partir de uma série de medidas. A</p><p>partir daí, se estabelece que sob aquelas mesmas circunstâncias aquele desvio padrão obtido será o</p><p>adotado.</p><p>É uma prática bastante comum considerar as observações geodésicas como independentes, assim</p><p>as covariâncias dos pares de medidas são todas iguais a zero e, por conseguinte as medidas são não</p><p>correlacionadas. Não somente essa prática é conveniente, como também é justificada pela experiência. De</p><p>qualquer maneira, seria muito difícil determinar a covariância entre medidas advindas de um</p><p>levantamento. Assim salvo raras exceções as covariâncias das medidas são nulas.</p><p>As variáveis e médias das variáveis aleatórias são usadas como base dos testes de hipóteses. A</p><p>estimativa dessas grandezas tem grande importância no planejamento e análise dos levantamentos.</p><p>As quantidades derivadas das medidas têm na maioria das vezes mais importância que as</p><p>medidas. E essas quantidades derivadas são também variáveis aleatórias com médias e variâncias.</p><p>O exemplo mais comum de quantidades derivadas são as coordenadas das estações de um</p><p>levantamento. Essas coordenadas são funções dos elementos (distâncias e ângulos) dos levantamentos</p><p>que foram medidos e, portanto têm suas médias e variâncias estimadas.</p><p>A relação funcional que existe, ou é assumida existir entre os elementos (distância e ângulos) e as</p><p>coordenadas, constitui o modelo funcional do levantamento e este modelo é usado para derivar ou</p><p>estimar as médias e variâncias das coordenadas a partir das médias e variâncias das medidas dos</p><p>elementos (distâncias e ângulos).</p><p>A fórmula que expressa a relação entre as variâncias e covariâncias das observações e as</p><p>variâncias covariâncias das quantidades derivadas dessas observações é conhecida como lei de</p><p>propagação de variância.</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 20</p><p>Se 1y é uma função explícita dos elementos</p><p>1x e</p><p>2x tal que ),( 2111 xxfy  , então a variância</p><p>de 1y ,</p><p>1</p><p>2</p><p>y</p><p> , é dada por:</p><p>2 2</p><p>1 1 1 1</p><p>1 2 1 21 1 2 1 2</p><p>2 2 2 2</p><p>y x x x x</p><p>y y y y</p><p>x x x x</p><p>             </p><p>         </p><p>          </p><p>(4.7)</p><p>se</p><p>2y é também função de x1 e x2 tal que; ),( 2122 xxfy  Então:</p><p>2 2</p><p>2 2 2 2</p><p>1 2 1 22 1 2 1 2</p><p>2 2 2 2</p><p>y x x x x</p><p>y y y y</p><p>x x x x</p><p>             </p><p>         </p><p>          </p><p>(4.8)</p><p>a covariância</p><p>entre</p><p>1y e</p><p>2y é expressa por:</p><p>1 2</p><p>1 2 1 2 1 2 1 2</p><p>1 1 2 2 1 2 2 11 2 1 2</p><p>2 2                        </p><p>                   </p><p>                        </p><p>y y x x x x</p><p>y y y y y y y y</p><p>x x x x x x x x</p><p>   (4.9)</p><p>se as medidas</p><p>1x e</p><p>2x são independentes, como na maioria das vezes são assim consideradas,</p><p>1 2x x é</p><p>igual a zero.</p><p>As expressões (4.7), (4.8) e (4.9) se tornarão maiores se o número de observações aumentarem,</p><p>dificultando assim o seu manuseio. Para minimizar esse problema usa-se a notação matricial.</p><p>Se x representa um vetor de n variáveis aleatórias e y representa um vetor de m variáveis</p><p>aleatórias tal que:</p><p> nxxxxfy ,......,,, 32111 </p><p> nxxxxfy ,......,,, 32122 </p><p> (4.10)</p><p></p><p> nmm xxxxfy ,......,,, 321</p><p>a matriz jacobiana (J) para essas m equações é definida como:</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>21</p><p>11 1 1</p><p>31 2 n</p><p>22 2 2</p><p>31 2 nyx</p><p>m m mm</p><p>1 2 n3</p><p>yy y y</p><p>xx x x</p><p>yy y y</p><p>xx x xJ</p><p>y y yy</p><p>x x xx</p><p>   </p><p>   </p><p> </p><p>   </p><p> </p><p>    </p><p> </p><p> </p><p>   </p><p>    </p><p>(4.11)</p><p>se a matriz variância-covariância (MVC) das observações x é a matriz simétrica;</p><p>1 3 11 21</p><p>2 2 3 22 1</p><p>2 31</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>n</p><p>n</p><p>n n nn</p><p>x x x xx xx</p><p>x x x x xx x</p><p>x</p><p>x x x x xx x</p><p>C</p><p> </p><p>  </p><p>  </p><p> </p><p> </p><p> </p><p>  </p><p> </p><p> </p><p> </p><p>(4.12)</p><p>então a MVC de y é:</p><p>T</p><p>yxxyxy JCJC  (4.13)</p><p>em que;</p><p>1 3 11 21</p><p>2 2 3 22 1</p><p>2 31</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>m</p><p>m</p><p>m m mm</p><p>y y y yy yy</p><p>y y y y yy y</p><p>y</p><p>y y y y yy y</p><p>C</p><p> </p><p>  </p><p>  </p><p> </p><p> </p><p> </p><p>  </p><p> </p><p> </p><p> </p><p>(4.14)</p><p>Detalhes sobre as fórmulas 4.7 a 4.14 em (Mikhail, 1976).</p><p>Quando a função if é linear temos:</p><p>AXy  (4.15)</p><p>e a matriz jacobiana é igual a A . Daí,</p><p>T</p><p>xy ACAC  (4.16)</p><p>Exemplo1:</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 22</p><p>Um exemplo de aplicação da equação 4.16 é o cálculo da variância da média de uma amostra</p><p>composta de n medidas de uma mesma quantidade x que têm variância</p><p>2</p><p>x .</p><p>O valor da média x é dado por:</p><p>n</p><p>xxx</p><p>x n</p><p> 21</p><p>nx</p><p>n</p><p>x</p><p>n</p><p>x</p><p>n</p><p>x</p><p>111</p><p>21 </p><p>A matriz covariância das observações é:</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>n</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>C</p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p> </p><p> </p><p>  </p><p> </p><p> </p><p>  </p><p>A matriz jacobiana da função x é formada pelas derivadas da função em relação às observações xi.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>nnn</p><p>J</p><p>111</p><p></p><p>Aplicando a 4.13 temos</p><p>nn</p><p>nJCJC x</p><p>x</p><p>T</p><p>xy</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1 </p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>n</p><p>x</p><p>x</p><p>2</p><p>2 </p><p> </p><p>e o desvio padrão da média da amostra será</p><p>n</p><p>x</p><p>x</p><p></p><p> </p><p>Exemplo 2:</p><p>Estabelecer a matriz variância-covariância para os ângulos obtidos a partir de 3 direções independentes.</p><p>Suponha que as direções 1, 2 e 3 foram obtidas com os desvios-padrões 2”, 3” e 5” respectivamente.</p><p>Figura 4.1</p><p>d 1</p><p>d 2</p><p>d 3</p><p> 1</p><p> 2</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>23</p><p>O modelo funcional para obtenção dos ângulos é:</p><p>1 = d2 - d1</p><p>2 = d3 - d2</p><p>ou</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>d</p><p>d</p><p>d</p><p>1</p><p>0</p><p>1</p><p>1</p><p>0</p><p>1</p><p>a matriz variância-covariância das observações é:</p><p>2</p><p>4 0 0</p><p>0 9 0 (")</p><p>0 0 25</p><p>dC</p><p> </p><p> </p><p></p><p> </p><p>  </p><p>onde a unidade é segundos ao quadrado.</p><p>Observe que o fato das direções não terem correlação, as covariâncias são nulas.</p><p>A MVC dos ângulos será dada por:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>1</p><p>0</p><p>0</p><p>1</p><p>1</p><p>2500</p><p>090</p><p>004</p><p>1</p><p>0</p><p>1</p><p>1</p><p>0</p><p>1</p><p>C</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p>34</p><p>9</p><p>9</p><p>13</p><p>C</p><p>Note que o fato de termos elementos não nulos fora da diagonal de C , nos leva a dizer que os ângulos</p><p>parecem ser correlacionados com o seguinte coeficiente de correlação.</p><p>4281,0</p><p>3413</p><p>9</p><p></p><p></p><p></p><p>Esta correlação obtida a partir da propagação de variâncias é chamada de correlação algébrica. Isto para</p><p>distinguir da correlação física.</p><p>A correlação física é usada para a correlação que deve existir entre medidas por causa de fenômenos</p><p>físicos durante o processo de medição. Esses fenômenos físicos são, a refração atmosférica, problemas</p><p>instrumentais e até mesmo do operador do instrumento.</p><p>Exemplo 3. Com um teodolito em B foi medido o ângulo  de 120º 00’ 00” com desvio padrão de 10</p><p>segundos. Sabe-se que as coordenadas da estação B são E= 1000,00 e N= 200,00. A distância BC de</p><p>500,00 metros foi medida com incerteza de 0,02 metros. Sabendo-se que o azimute do lado BA é 270º,</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 24</p><p>calcular com que precisão as coordenadas de C serão obtidas. As coordenadas de B assim como o</p><p>azimute BA são fixos, ou seja, não têm variâncias ou têm variância nula.</p><p></p><p>N</p><p>B</p><p>C</p><p>A</p><p>E</p><p>Az BC</p><p>Figura 4.2</p><p>Solução.</p><p>O modelo funcional para o cálculo das coordenadas de C é o que se segue:</p><p>bcbc</p><p>bcbc</p><p>AzBCNN</p><p>AzsenBCEE</p><p>cos</p><p></p><p>Verifica-se que nesse modelo a variável que aparece explicitamente é a distância. No entanto o azimute</p><p>do lado BC também é uma variável, uma vez que ele é obtido a partir do azimute de BA e do ângulo</p><p>medido . Assim antes de prosseguirmos vamos calcular o azimute BC e sua variância.. E o modelo</p><p>funcional para isso é</p><p>o</p><p>BABC AZAz 30360390120270  </p><p>Para calcular a variância do azimute BC usamos a equação 4.7 ou 4.13. Nesse caso, por se tratar de uma</p><p>função com uma única variável, é mais conveniente usar a equação 4.7. A única variável da função acima</p><p>é , uma vez que o azimute de BA é fixo. Desta forma a derivada da função é em relação a .</p><p>     2222</p><p>2</p><p>2 "10"10.1 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p> BC</p><p>AzBC</p><p>Az</p><p>Como era de se esperar se o azimute de origem é fixo e a única variância é a do ângulo observado, a</p><p>variância do azimute calculado é a mesma do ângulo observado.</p><p>A precisão das coordenadas será em metros, portanto é conveniente uniformizar as unidades. Desta forma</p><p>transformam-se segundos em radianos, e os 10 segundos passam a ser 0,000048 radianos, pois 1 segundo</p><p>é igual a 0,0000048 radianos.</p><p> </p><p> </p><p>2</p><p>"2 2</p><p>AZ</p><p>obs 2 22</p><p>bc</p><p>10 00 0,000048 0</p><p>C</p><p>0 0 0,020 0,02m</p><p>           </p><p>      </p><p>= </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>0004,00</p><p>05040000000023,0</p><p>Para montar a matriz jacobiana, temos duas funções Ec e Nc com duas variáveis que são BC e</p><p>bcAz .</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>25</p><p>  </p><p>  </p><p> </p><p>  </p><p> </p><p>  </p><p>c c</p><p>z</p><p>yx</p><p>c c</p><p>z</p><p>E E</p><p>A BC</p><p>J</p><p>N N</p><p>A BC</p><p>cos</p><p>cos</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>c</p><p>z</p><p>z</p><p>c</p><p>z</p><p>c</p><p>c</p><p>z</p><p>z</p><p>c</p><p>z</p><p>c</p><p>E</p><p>BC A</p><p>A</p><p>E</p><p>sen A</p><p>B</p><p>N</p><p>BC sen A</p><p>A</p><p>N</p><p>A</p><p>B</p><p>z z</p><p>z z</p><p>BC cos A sen A</p><p>J</p><p>BC sen A cos A</p><p> </p><p>  </p><p> </p><p>433,013 0,5</p><p>J</p><p>250 0,866025</p><p> </p><p>  </p><p> </p><p>T</p><p>y obs</p><p>433,0130 0,5 0,000000002304 0 433,0130 250</p><p>C J C J</p><p>250 0,866025 0 0,0004 0,5 0,866025</p><p>     </p><p>       </p><p>     </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>000444,00000762,0</p><p>0000762,0000532,0</p><p>10x44,40000762,0</p><p>0000762,010x32,5</p><p>4</p><p>4</p><p>E</p><p>N</p><p>0,000532 0,023m 23mm</p><p>0,000444 0,021m 21mm</p><p>   </p><p>    </p><p>Exemplo 4:</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 26</p><p>.</p><p>1</p><p>2</p><p>3Az0</p><p>N</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>Figura 4.3</p><p>o  2,  foram</p><p>medidos com precis i = ±2" qual seria a precisão dos azimutes Az1, Az2 e Az3 ?</p><p>O primeiro passo seria estabelecer as equações ou modelos funcionais.</p><p>Como fórmula geral para o cálculo de azimutes tem-se:</p><p>  o180</p><p>n</p><p>1i</p><p>1i</p><p>io</p><p>AzAzj </p><p></p><p></p><p>então:</p><p>o</p><p>321o3</p><p>o</p><p>21o2</p><p>1o1</p><p>360AzAz</p><p>180AzAz</p><p>AzAz</p><p></p><p></p><p></p><p>A matriz J dos coeficientes será:</p><p>1 1 1</p><p>1 2 3</p><p>2 2 2</p><p>1 2 3</p><p>3 3 3</p><p>1 2 3</p><p>Az Az Az</p><p>1 0 0</p><p>Az Az Az</p><p>J 1 1 0</p><p>1 1 1</p><p>Az Az Az</p><p>   </p><p> </p><p>     </p><p>     </p><p>             </p><p> </p><p>    </p><p>A M.V.C. dos ângulos é da seguinte forma:  2</p><p>''</p><p>400</p><p>040</p><p>004</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>C</p><p>A matriz variância-covariância dos azimutes será:</p><p>T</p><p>az J.C.JC </p><p>Antonio Simões 2011</p><p>27</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>100</p><p>110</p><p>111</p><p>400</p><p>040</p><p>004</p><p>111</p><p>011</p><p>001</p><p>Caz</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1284</p><p>884</p><p>444</p><p>100</p><p>110</p><p>111</p><p>444</p><p>044</p><p>004</p><p>Caz</p><p>2</p><p>Az1 Az14 2,0"     </p><p>2</p><p>Az2 Az28 2,8''     </p><p>2</p><p>Az3 Az312 3,5''     </p><p>Exemplo 5 Foram medidas as direções conforme a caderneta a seguir. Pedem-se os valores dos</p><p>ângulos e seus respectivos desvios-padrões</p><p>MET</p><p>BAN</p><p>ETA</p><p>ARQ</p><p>Antena</p><p>Figura 4.4</p><p>direção Desvio padrão</p><p>MET</p><p>ETA 00 00 00 0,0”</p><p>ARQ 32º 32’ 20,2” 3,01”</p><p>ANT 85º 28’ 53,3” 0,8”</p><p>BAN 89º 06’ 17,5” 1,3”</p><p>O modelo funcional para calcular os ângulos é:</p><p>1 = direção ARQ – direção ETA = 32º 32’ 20,2” - 00 00 00 = 32º 32’ 20,2”</p><p>2 = direção ANT – direção ARQ= 85º 28’ 53,3” - 32º 32’ 20,2” = 52º 56’ 33,10”</p><p>3 = direção BAN – direção ANT= 89º 06’ 17,5” - 85º 28’ 53,3” = 03º 37’ 24,20”</p><p>1 Matriz variância-covariancia das direções observadas</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 28</p><p>d</p><p>0 0 0 0</p><p>0 9,06 0 0</p><p>C</p><p>0 0 0,64 0</p><p>0 0 0 1,69</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p>2 Matriz jacobiana</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1100</p><p>0110</p><p>0011</p><p>J</p><p>3 Matriz variância-covariância dos ângulos T</p><p>dJJCC </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>33,264,00</p><p>64,07,906,9</p><p>006,906,9</p><p>C</p><p>4 Ângulos e desvios padrões dos ângulos</p><p>0</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>3</p><p>32 32` 20,2`` 3,01</p><p>52 56` 33,10`` 3,1</p><p>03 37` 24,20`` 1,5</p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p> </p><p> </p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>1 - Uma distância de aproximadamente 490 m deve ser medida com uma trena de 50 m de</p><p>comprimento. Sendo o desvio padrão de cada "trenada" conhecido e considerado igual a = 5</p><p>mm, qual será o desvio padrão da distância total D ? Resp.: d 15,8mm</p><p>2 - Qual área e o desvio padrão da área de um lote retangular que tem os seguintes lados:</p><p>L1= 30 m. 50 mm ,</p><p>L2= 10 m.  30 mm ,</p><p>Resp.; 300m2 ±1,03m</p><p>3 - Suponha um ângulo vertical  medido do ponto A para o ponto B, e sendo =30o 00', com</p><p>= 1', e a distância inclinada AB igual a 330m e AB= 0,5 m. Para estas condições, calcular a</p><p>distância AC e seu desvio padrão. Resp 285,79 ±0,43m</p><p>4 - O ângulo  e a distância BC foram medidos para se calcularem as coordenadas do ponto C.</p><p>As coordenadas de A e B são conhecidas e são consideradas livres de erros.</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>29</p><p>Considerando que os desvios padrões de BC e  são D = 4cm e  = 20" respectivamente,</p><p>calcule</p><p>a) desvio padrão de XC</p><p>b) desvio padrão de YC</p><p>Dados:</p><p>XB = 1000,00m</p><p>YB = 200,00m</p><p>BC = 500,00m,</p><p>= 1200 00' 00",</p><p>O azimute de AB = 900 00' 00" com Az = 30”.</p><p>Resp.: XC = ±0,076m YC = ±0,180m</p><p>5 - Dê a expressão do erro da distância, para a medição com mira horizontal. Considere</p><p>inicialmente que o fabricante forneceu o comprimento da mira como sendo 2m±1x10-5m. O que</p><p>influencia mais no erro da medição da distância horizontal, o comprimento da mira ou o ângulo</p><p>medido? Faça uma tabela e um gráfico para o erro da distância medida considerando distâncias</p><p>entre 20 e 200m de 20 em 20m. Considere  = 1”.</p><p> </p><p> </p><p>tg</p><p>b</p><p>D</p><p>D</p><p>b</p><p>tg</p><p>D</p><p>b</p><p>g</p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>cot</p><p>6 - Mediu-se uma base dividida em duas partes. Uma das partes foi medida com uma régua que</p><p>possibilita obter um erro médio quadrático de 1= 0,00004m e a outra 2= 0,00002m para cada</p><p>medida. Foi necessário utilizar cada uma das réguas 250 vezes. Qual o erro médio quadrático da</p><p>base? Resp. base = 0,707m</p><p></p><p>Y</p><p>B</p><p>C</p><p>A</p><p>X</p><p>Figura 4.5</p><p></p><p>D</p><p>b</p><p>Figura 4.6</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 30</p><p>7 - Para a obtenção da altitude de B foi realizado um nivelamento trigonométrico a partir do</p><p>ponto A, cuja altitude é</p><p>HA= 148,32m com A = 0,15m.</p><p>Foram obtidos os seguintes dados:</p><p>D = 1.000,00m com D= 0,10m</p><p>Z = 870 42'13" com Z= 20"</p><p>it= 1,40m. com it= 0,01m</p><p>ia= 1,80m. com ia= 0,01m</p><p>Qual a altitude de B e seu desvio padrão? Resp. 153,87m ±0,18m</p><p>8 - A fim de determinar a diferença de nível entre dois pontos distantes 2250m. será realizado</p><p>um nivelamento geométrico, tomando-se o cuidado de colocar sempre o nível a iguais distâncias</p><p>da mira. Assumindo que as visadas de vante e ré serão de 25m, pede-se o erro cometido para</p><p>obtenção da diferença de nível desejada. Dê também uma fórmula geral que permita estimar este</p><p>erro. Suponha o erro de cada leitura L=0,1mm.</p><p>9 - Para uma grandeza medida n vezes, pede-se uma fórmula geral que permita obter o desvio</p><p>padrão da média das medidas.</p><p>Como símbolo utilize:</p><p>i= desvio padrão de uma observação isolada,</p><p>m= desvio padrão da média,</p><p>10 - Dada a precisão de uma medida pelo desvio padrão 0, quantas vezes tem-se que repetir a</p><p>mesma medida para dobrar a precisão da medida?</p><p>it</p><p>D</p><p>Z</p><p>ia</p><p>Figura 4.7</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>31</p><p>CAPÍTULO</p><p>MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS</p><p>5.1 MODELO MATEMÁTICO</p><p>Basicamente todo trabalho de cálculo na área de levantamentos visa a obtenção de</p><p>coordenadas, que no caso de ajustamento de observações são os parâmetros. Por certo, alem de</p><p>coordenadas os parâmetros podem ser outras grandezas. De qualquer modo estes parâmetros são</p><p>quase sempre calculados a partir de observações. Portanto são as observações nossos dados</p><p>fundamentais. E nas ciências geodésicas essas observações são de uma forma ou de outra, quase</p><p>sempre, ângulos e distâncias. E para que os parâmetros (coordenadas) estejam ajustados é</p><p>necessário que as observações também estejam.</p><p>Vimos que as observações ajustadas (ou verdadeiras) são o resultado da combinação de</p><p>uma observação bruta e uma correção a esta observação.</p><p>a bL L V  5.1</p><p>Em que Lb é um vetor das observações brutas,</p><p>V é um vetor dos resíduos (correções às observações)</p><p>La é um vetor das observações ajustadas.</p><p>A partir dessas observações é que iremos estimar os parâmetros, que na maioria das vezes</p><p>se constituem de coordenadas podendo ser também grandezas associadas a estas ou às próprias</p><p>observações. Assim é necessário que se tenha um modelo matemático que relacione as</p><p>observações aos parâmetros e esse modelo é representado pelo vetor:</p><p>F(Xa, La) = 0 5.2</p><p>Note que este vetor representa um conjunto de r equações que serão satisfeitas, ou seja,</p><p>serão iguais a zero se as observações e os parâmetros estiverem ajustados também, caso isto não</p><p>ocorra haverá alguma correção a ser feita, ou nos parâmetros, ou nas observações ou ainda no</p><p>próprio modelo.</p><p>Alguns exemplos da função 5.2:</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 32</p><p>(a) um ângulo  observado a partir de uma estação 1 para as direções 2 e 3 usando as</p><p>coordenadas planas UTM</p><p>0</p><p>NN</p><p>EE</p><p>arctan</p><p>NN</p><p>EE</p><p>arctan</p><p>12</p><p>12</p><p>13</p><p>13 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 5.3</p><p>Em que E1, N1, E2, N2, E3 e N3 são parâmetros e  é a observação.</p><p>(b) os ângulos observados de um triângulo plano</p><p>0180o</p><p>321  5.4</p><p>Em que 321  são observações e não há parâmetros.</p><p>(c) a distância dAB e o ângulo vertical  são observados para estimar a coordenada (altitude)</p><p>zC.supondo que a altitude de B é conhecida.</p><p>dAB . tg – hC + hB = 0 5.5</p><p>O exemplo (a) mostra uma observação e uma equação o que permite que se escreva a 5.2 como</p><p>La = F(Xa) 5.6</p><p>Esse caso especial do MMQ é chamado de método das equações de observações ou</p><p>método paramétrico. A cada observação está associada uma equação. Assim o numero de</p><p>equações de observações é igual ao numero de observações e para possibilitar o ajustamento esse</p><p>numero de equações de observações é maior que o numero de parâmetros.</p><p>O exemplo (b) mostra somente observações e nenhum parâmetro e a 5.2 pode ser escrita</p><p>como</p><p>F(La) = 0 5.7</p><p>Este caso mostra uma situação em que não há parâmetros e é chamado de método das</p><p>equações de condição ou método dos correlatos.</p><p>O exemplo</p><p>(c) mostra duas observações e um parâmetro numa equação, o que não nos</p><p>permite escrever a equação 5.5 nem da forma da equação 5.6 nem da forma da equação 5.7,</p><p>permanecendo como</p><p>F(Xa, La) = 0 5.8</p><p>Este caso é chamado de método combinado</p><p>Dos três exemplos acima, dois deles (a) e (c) são não-lineares e o (b) é linear. Para</p><p>solução pelo método dos mínimos quadrados é necessário que os modelos sejam linearizados.</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>33</p><p>Ao linearizar uma função usam-se valores provisórios para estimar os valores das variáveis da</p><p>função. Desta forma, usa-se xo para os parâmetros provisórios ou aproximados e lb para as</p><p>observações provisórias. Veja que essas observações são sempre conhecidas uma vez que são</p><p>aquelas que vieram do levantamento. Os parâmetros aproximados sempre são possíveis de se</p><p>obter via cálculo ou de outra forma. O parâmetro ajustado ficará, portanto:</p><p>xa = xo + x 5.9</p><p>Substituindo a 5.9 e 5.1 na 5.8, temos</p><p>F(Xa, La) = F(Xo + X, Lb + V) = 0 5.10</p><p>que aplicando a serie de Taylor, desprezando os termos acima de primeira ordem temos</p><p>( , ) ( , ) ...</p><p> </p><p>   </p><p> a a</p><p>F F</p><p>F Xa La F Xo Lb X V</p><p>X L</p><p>5.11</p><p>O conjunto de derivadas parciais</p><p>a</p><p>F</p><p>X</p><p></p><p></p><p>representa a matriz A, conhecida como matriz dos</p><p>coeficientes, e é avaliada em Xo uma vez que ainda não conhecemos o Xa. O conjunto de derivadas</p><p>parciais</p><p>a</p><p>F</p><p>L</p><p></p><p></p><p>representa a matriz B que é avaliada em Lb. O vetor ( , ) F Xo Lb representa o vetor W</p><p>(esse vetor é chamado vetor de erro de fechamento, no método das equações de condições). O modelo</p><p>linearizado fica então representado por:</p><p>0AX BV W   5.12</p><p>Desenvolvendo na forma matricial a matriz A fica, para n observações e m parâmetros</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>am</p><p>n</p><p>3a</p><p>n</p><p>2a</p><p>n</p><p>1a</p><p>n</p><p>am</p><p>2</p><p>3a</p><p>2</p><p>2a</p><p>2</p><p>1a</p><p>2</p><p>am</p><p>1</p><p>3a</p><p>1</p><p>2a</p><p>1</p><p>1a</p><p>1</p><p>mn</p><p>x</p><p>f</p><p>.....</p><p>x</p><p>f</p><p>x</p><p>f</p><p>x</p><p>f</p><p>.........................</p><p>x</p><p>f</p><p>.....</p><p>x</p><p>f</p><p>x</p><p>f</p><p>x</p><p>f</p><p>x</p><p>f</p><p>...</p><p>x</p><p>f</p><p>x</p><p>f</p><p>x</p><p>f</p><p>A 5.13</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 34</p><p>A matriz B para r equações e n observações fica:</p><p>1 1 1</p><p>a a a</p><p>1 2 n</p><p>2 2 2</p><p>a a a</p><p>1 2 n</p><p>r n</p><p>r r r</p><p>a a a</p><p>1 2 n</p><p>f f f</p><p>. . .</p><p>l l l</p><p>f f f</p><p>. . .</p><p>l l l</p><p>B .. . . . . .</p><p>. . . . . .</p><p>. . . . . .</p><p>f f f</p><p>. . .</p><p>l l l</p><p>   </p><p>   </p><p> </p><p>   </p><p> </p><p>   </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p>   </p><p>    </p><p>5.15</p><p>E o vetor W:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>)l,x(f</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>)l,x(f</p><p>)l,x(f</p><p>W</p><p>bor</p><p>bo2</p><p>bo1</p><p>1r 5.16</p><p>Para o caso do método paramétrico a função La = F(Xa) é linearizada usando a serie de Taylor:</p><p>a</p><p>F</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>X</p><p>La Lb V F Xa F Xo X F Xo X</p><p></p><p>      </p><p></p><p>5.17</p><p>( )</p><p>a</p><p>F</p><p>Lb V F Xo X</p><p>X</p><p></p><p>  </p><p></p><p>5.18</p><p>fazendo Lo = F(Xo) a 5.18 fica</p><p>5.19</p><p>Lb +V = Lo + AX 5.20</p><p>V = (Lo – Lb) + AX 5.21</p><p>V = AX - (Lb – Lo) 5.22</p><p>fazendo</p><p>L = (Lb - Lo) 5.23</p><p>tem-se</p><p>V = AX - L 5.24</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>35</p><p>que é o modelo linear para o método das equações de observações ou paramétrico.</p><p>O método dos correlatos ou das equações de condições tem tratamento semelhante a menos de</p><p>um ente chamado de multiplicador de Lagrange, que será detalhado mais adiante, o modelo linearizado</p><p>desse método é</p><p>BV+W=0 5.25</p><p>5.1. PRINCIPIO DO MÉTODO DOS MÍNINOS QUADRADOS</p><p>Num levantamento é sempre aconselhável fazer mais observações que o estritamente</p><p>necessário para se obter as coordenadas (parâmetros). Ao se fazer esse numero redundante de</p><p>observações, o que é salutar, surge um problema. Dependendo da observação que se usa para</p><p>calcular o parâmetro teremos um resultado diferente. Isso acontece porque há erros nessas</p><p>observações e esses erros diferem de uma para outra. E assim elas não se adaptam ao nosso</p><p>modelo de cálculo. Diz-se que as observações não levam a uma solução única. Como então fazer</p><p>para que tenhamos uma solução única, ou seja, para dos conjuntos das observações (amostra)</p><p>qualquer um que se use leve a mesma solução? Para isso foi imaginado um método que</p><p>minimizasse o quadrado dos resíduos (erros) das observações. Assim amparado nessa idéia é que</p><p>se usa o método dos mínimos quadrados (MMQ), que tem como principio: “a soma dos</p><p>quadrados dos resíduos deve ser mínima”. Por certo há outros métodos para se tentar chegar a</p><p>uma solução única, no entanto o método dos mínimos quadrados é o aceito como melhor por</p><p>satisfazer diversos requisitos estatísticos.</p><p>Vejamos como tornar essa idéia em modelo matemático.</p><p>Tendo-se n observações, e sendo que cada observação possua um resíduo v, o princípio</p><p>diz:</p><p>2 2 2 2...1 2</p><p>1</p><p>n T</p><p>v v v v V V mínimon i</p><p>i</p><p>       </p><p> 5.26</p><p>sendo V um vetor que contém os resíduos.</p><p>V v v v vn</p><p>T [ , , ,..., ]1 2 3</p><p>Se as n observações forem obtidas com diferentes graus de precisão, torna-se necessário a</p><p>introdução de uma ponderação, ou seja, um peso e nesse caso o M.M.Q. se apresenta como:</p><p>2 2 2 2</p><p>1 1 2 2</p><p>1</p><p>...</p><p>n</p><p>T</p><p>n n i i</p><p>i</p><p>v p v p v p v p V PV mínimo</p><p></p><p>       5.27</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 36</p><p>O modelo matemático A X = L, em que A é uma matriz nxm, sendo n o número de</p><p>observações e m o número de incógnitas, representa um conjunto de equações como segue:</p><p>11 11 12 12 1 1 1</p><p>21 21 22 22 2 2 2</p><p>1 1 2 2</p><p>...</p><p>...</p><p>...</p><p>m m</p><p>m m</p><p>n n n n nm nm n</p><p>a x a x a x l</p><p>a x a x a x l</p><p>a x a x a x l</p><p>   </p><p>   </p><p>   </p><p>5.28</p><p>Se o vetor L contiver elementos oriundos de observações (neste caso normalmente</p><p>utiliza-se o símbolo Lb), o modelo matemático seria inconsistente devido ao fato das</p><p>observações possuírem erros aleatórios que são inevitáveis.</p><p>Para levantar a inconsistência introduz-se um vetor de resíduos V,</p><p>bAX L V  5.29</p><p>lembrando que;</p><p>Lb + V = La 5.30</p><p>Aplicando a condição de mínimos quadrados temos:</p><p>   </p><p>TT</p><p>V V AX L AX L</p><p>b b</p><p>     5.31</p><p>Para se obter um mínimo a primeira derivada de  tem que ser igual a zero.</p><p>   .T T T</p><p>b bX A L AX L    5.32</p><p>T T T T T T T</p><p>b b b bX A AX X A L L AX L L     5.33</p><p>Observe que AXLLAX T</p><p>bb</p><p>TT  então</p><p>LLLAX2AXAX T</p><p>bb</p><p>TTTT  5.34</p><p>b</p><p>TT LA2AXA2</p><p>X</p><p></p><p></p><p></p><p>5.35</p><p>que igualando-se a zero para se ter um mínimo tem-se</p><p>0LA2AXA2 b</p><p>TT  5.36</p><p>e 0LAAXA b</p><p>TT  5.37</p><p>Esta última equação matricial representa um conjunto de equações normais e de incógnitas. A</p><p>solução do sistema é única e satisfaz o princípio dos mínimos quadrados.</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>37</p><p>Geralmente utiliza-se a inversão de matriz para a solução do sistema de equações 5.37,</p><p>assim:</p><p>b</p><p>TT LAAXA </p><p>5.38</p><p>b</p><p>T1TT1T LA)AA(AXA)AA(  </p><p>5.39</p><p>b</p><p>T1T LA)AA(X  5.40</p><p>Se as observações forem feitas com desigual precisão, aplica-se a cada observação uma</p><p>precisão diferente o que chamamos de “dar pesos diferentes às observações”. Surge então a</p><p>matriz dos pesos P. peso (P), ou:</p><p>mínimo)LAX(P)LAX(PVV bb</p><p>T </p><p>5.41</p><p>De forma análoga a anterior, chega-se a:</p><p>0PLAPAXA b</p><p>TT  5.42</p><p>Como vimos, o sistema de equações 5.40 envolve a inversão de uma matriz. Vários são</p><p>os métodos de inversão adotados em matemática. No entanto um método tradicional em ciências</p><p>geodésicas é o método de Choleski, que embora não seja por si só um método de inversão pode</p><p>ser facilmente adaptado para inverter matriz. O leitor é encorajado a consultar, entre outros,</p><p>Gemael (1994, 273) para conhecer os diversos métodos de solução do sistema de equações supra</p><p>citado.</p><p>A fim de visualizar a solução de problemas que envolvem a estimativa de parâmetros</p><p>pelo método dos mínimos quadrados, vejamos os exemplos que se seguem.</p><p>Exemplo 1. O comprimento de um alinhamento</p><p>AC foi medido através de 3 observações: d1, d2</p><p>e d3.</p><p>d1</p><p>A B C</p><p>d2 d3</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 38</p><p>Deseja-se estimar pelo MMQ as distâncias d2 e d3. Os valores observados foram d1 = 3,0 metros,</p><p>d2 = 1,5 metros e d3 = 1,4 metros.</p><p>As 3 observações nos permitem formar 3 equações</p><p>d2 + d3 = 3,0</p><p>d2 = 1,5</p><p>d3 = 1,4</p><p>A primeira equação condiciona que as duas distancias d2 e d3 devam ser igual a primeira d1.</p><p>Note que a estimativa de d2 e d3 pode ser feita a partir de qualquer duas equações, sendo uma</p><p>terceira observação redundante. No entanto dependendo de quais duas equações forem escolhidas para o</p><p>cálculo teremos um conjunto de d2 e d3 diferente. Portanto há inconsistência nas observações e como</p><p>conseqüência resíduos a minimizar. Desta forma teremos</p><p>d2 + d3 = 3 + v1</p><p>d2 = 1,5 + v2</p><p>d3 = 1,4 + v3</p><p>∑vi2 = v1</p><p>2 + v2</p><p>2 + v3</p><p>2 = ( d2 + d3 –3,0)2 + (d2 – 1,5)2 + (d3 –1,4)2</p><p>Esta equação deve ser minimizada, derivando-se em relação as variaveis (observações) e</p><p>igualando-se a zero</p><p>    05,1d20,3dd2</p><p>d</p><p>v</p><p>232</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p>    04,13d20,3dd2</p><p>d</p><p>v</p><p>32</p><p>3</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p>2d2 + d3 = 4,5</p><p>d2 + 2d3 = 4,4</p><p>As duas equações acima são chamadas de equações normais e são apresentadas</p><p>matricialmente da seguinte forma:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>4,4</p><p>5,4</p><p>21</p><p>12</p><p>3</p><p>2</p><p>d</p><p>d</p><p>que resolvida nos dá</p><p>d2 = 1,533</p><p>d3 = 1,433</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>39</p><p>Exemplo 2: Na figura a seguir as distâncias AB, BC, CD, AC e BD foram medidas e os valores</p><p>observados foram 100,000m, 100,000m, 100,080m, 200,040 e 200,000m, respectivamente.</p><p>Todas as medidas são não correlacionadas e têm a mesma precisão. Se as medidas forem</p><p>ajustadas de acordo com o princípio de mínimos quadrados, qual será o resultado da distância</p><p>ajustada AD?</p><p>Fig. 5.1</p><p>Solução:</p><p>Com as distâncias AB, BC e CD que serão simbolizados por x1, x2 e x3 já se teria a</p><p>distância AD desejada, porém foram realizadas cinco medidas de distâncias, logo se têm duas</p><p>observações redundantes. Para cada observação se pode formular uma equação envolvendo as</p><p>medidas supostamente ajustadas x1, x2 e x3.</p><p>000.200</p><p>040.200</p><p>080.100</p><p>000.100</p><p>000.100</p><p>3253253255</p><p>2142142144</p><p>3333333</p><p>2222222</p><p>11111</p><p>1</p><p>11</p><p>11</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>aaaaaa</p><p>aaaaaa</p><p>aaa</p><p>aaa</p><p>aaa</p><p>xxlxxvouxxvl</p><p>xxlxxvouxxvl</p><p>xlxvouxvl</p><p>xlxvouxvl</p><p>xlxvouxvl</p><p>Aplicando o M.M.Q. tem-se que a soma do quadrado dos resíduos deve ser mínima então:</p><p>2 2 2 2 2</p><p>1 2 3 4 5v v v v v mínimo      </p><p>L1 = 100,000m L2 = 100,000m L3 = 100,080m</p><p>L4 = 200,040m</p><p>L5 = 200,000m</p><p>A B C D</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 40</p><p>a 2 a 2</p><p>1 2</p><p>a 2 a a 2 a a 2</p><p>3 1 2 2 3</p><p>(x 100,000) (x 100,000)</p><p>(x 100,080) (x x 200,040) (x x 200,00) mínimo</p><p>     </p><p>       </p><p>Para minimizar , suas derivadas parciais com relação a cada uma das distâncias x1, x2 e</p><p>x3 devem ser iguais a zero:</p><p>   </p><p>     </p><p>    0000,2002080,1002</p><p>0000,200040,20022000,1002</p><p>0040,2002000,1002</p><p>323</p><p>3</p><p>32212</p><p>2</p><p>211</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p>aaa</p><p>a</p><p>aaaaa</p><p>a</p><p>aaa</p><p>a</p><p>xxx</p><p>x</p><p>xxxxx</p><p>x</p><p>xxx</p><p>x</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Desenvolvendo e rearranjando, as três equações se tornam:</p><p> </p><p>080,3002)(</p><p>040,5003)(</p><p>040,3002</p><p>32</p><p>321</p><p>21</p><p></p><p></p><p></p><p>aa</p><p>aaa</p><p>aa</p><p>xxc</p><p>xxxb</p><p>xxa</p><p>As três equações anteriores que possuem três incógnitas, formam um sistema de equações</p><p>normais que uma vez resolvido, fornece resultados consistentes.</p><p>Em se tratando de apenas três equações e do tipo como as anteriores, a resolução pode ser</p><p>feita, devido a facilidade, pelo método das substituições:</p><p>Dividindo (a) por 2 e subtraindo de (b) vem:</p><p>a</p><p>xx</p><p>xx</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>5,2020,350</p><p>020,3505,2</p><p></p><p></p><p>Substituindo na (c) temos:</p><p> </p><p>mx</p><p>x</p><p>xx</p><p>xx</p><p>a</p><p>a</p><p>aa</p><p>aa</p><p>990,99</p><p>4080,300040,700</p><p>080,3005040,700</p><p>080,30025,2020,350</p><p>2</p><p>2</p><p>22</p><p>22</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>E para as demais incógnitas:</p><p>a</p><p>3x 350,020 2,5 99,990 100,045m   </p><p>a 2 a</p><p>1 2 3x 500,040 3x x 500,040 3 99,990 100,025      </p><p>Então, a distância ajustada entre A e D é:</p><p>mxxxAD</p><p>aaa</p><p>060,300321 </p><p>Antonio Simões 2011</p><p>41</p><p>5.2. PESOS NAS OBSERVAÇÕES</p><p>O peso de uma observação é a confiança relativa dessa observação comparada com a</p><p>confiança que se tem das outras observações. Em outras palavras, pesos são estimativas ou</p><p>expressões das precisões relativas das observações. Uma grande precisão é indicada por um</p><p>pequeno desvio padrão, implicando uma boa observação a qual será dada um peso grande. Vê-se</p><p>portanto que a idéia de peso está associada a precisão relativa da observação.</p><p>A expressão geral do peso é dada por:</p><p>2</p><p>i</p><p>2</p><p>o</p><p>ip</p><p></p><p></p><p></p><p>5.43</p><p>Onde</p><p>2</p><p>0 é um valor igual à variância de uma observação cujo peso é considerado igual a</p><p>um e</p><p>2</p><p>i a variância da observação. Note que quando o peso é igual a um temos</p><p>2</p><p>0 =</p><p>2</p><p>i e ou</p><p>2</p><p>0 = 1 sendo por isso o</p><p>2</p><p>0 chamado de variância de uma observação de peso unitário ou variância de</p><p>peso unitário . A variância de peso unitário é também conhecida como fator de variância ou também</p><p>sigma zero a priori . Ao fazer o sigma zero a priori igual a 1, como geralmente é feito vê-se que o peso de</p><p>uma observação é inversamente proporcional a sua variância.</p><p>Assim, tendo-se l1, l2, l3, ..., ln observações, de desvios padrões 1, 2, , n, os pesos</p><p>serão:</p><p>2</p><p>n</p><p>2</p><p>o</p><p>n2</p><p>3</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>0 p3p;2p;1p</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>  5.44]</p><p>Logo:</p><p>2</p><p>o</p><p>2</p><p>nn</p><p>2</p><p>22</p><p>2</p><p>11 p...pp  5.45</p><p>Pode-se, portanto, atribuir a uma observação um peso qualquer e calcular os pesos das</p><p>demais.</p><p>5.2.1. Matriz dos Pesos</p><p>Seja a matriz variância-covariância CL relativa às grandezas dos elementos de L.</p><p>Atribuindo-se a um dos seus componentes o peso unitário e designando por</p><p>2</p><p>o o valor</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 42</p><p>correspondente à variância dessa componente, a matriz dos pesos relativos aos elementos de L,</p><p>que é simétrica, poderá ser obtida por:</p><p>1</p><p>L</p><p>2</p><p>oCP  5.46</p><p>No caso das componentes de L serem independentes entre si, a matriz variância-</p><p>covariância CL será diagonal, e a matriz dos pesos P que também será diagonal, terá como</p><p>elementos da diagonal.:</p><p>2</p><p>i</p><p>2</p><p>oii</p><p>1</p><p>.p</p><p></p><p> 5.47</p><p>5.2.2. Casos Particulares na Atribuição de Pesos</p><p>5.2.2.1. Peso no Nivelamento Geométrico</p><p>No nivelamento geométrico a diferença de nível h tem sua variância associada a</p><p>variância da leitura da mira 2</p><p>LM , a variância do erro de colimação 2</p><p>c , o comprimento da visada</p><p>D e o numero de instalações do instrumento n.</p><p>  2</p><p>c</p><p>2</p><p>LM</p><p>22</p><p>h n2D  [5.48]</p><p>Se considerarmos a distancia entre duas RN igual a L, a quantidade de instalações será</p><p>D2</p><p>L</p><p>n i [5.49]</p><p>Note que Li significa a distancia entre duas RNs e não necessariamente a soma das distancias Ré</p><p>e Vante. Esta soma, distâncias R + V é representada por D. De forma que para se nivelar entre</p><p>dois pontos (RNs) podemos ter varias distancias D, tantas quanto sejam as mudanças de</p><p>instrumento.</p><p>Assim a equação 5.48 ficará</p><p> 2</p><p>c</p><p>2</p><p>LMi</p><p>2</p><p>h DL  [5.50]</p><p>A menos de Li os demais termos podem ser considerados constantes e a equação 5.50 fica</p><p>kLi</p><p>2</p><p>h  [5.51]</p><p>Aplicando o conceito que o peso é o inverso da variância temos:</p><p>2</p><p>hi</p><p>1</p><p>kL</p><p>1</p><p>p</p><p></p><p> [5.52]</p><p>E sendo k constante podemos dizer que o peso no nivelamento geométrico é inversamente</p><p>proporcional a distancia nivelada. Assim, quanto maior for a distância nivelada menor será o peso da</p><p>observação..</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>43</p><p>5.2.2.2. Peso nas Medições Angulares:</p><p>Os pesos nas medidas angulares são inversamente proporcionais as variâncias das</p><p>observações angulares. Quando essas variâncias não são conhecidas usa-se a o quadrado da</p><p>precisão angular do teodolito usado nas medidas. Considera-se</p><p>ainda a quantidade de vezes que</p><p>cada ângulo é medido. Assim em aquele ângulo que foi medido mais vezes terá um peso maior</p><p>que um ângulo que foi medido menos vezes. Isto se todos eles têm a mesma precisão..</p><p>5.2.3. Considerações sobre a Atribuição de Pesos:</p><p>Como se pode ver, a atribuição de pesos, em geral, não deve ser feita simplesmente pelo</p><p>fato do número de repetições serem diferente, mas sim considerando-se outras causas diversas,</p><p>como:</p><p> Que instrumentos foram utilizados? Quais operadores?</p><p> Em que condições ambientais?</p><p>Assim, verifica-se que a atribuição de pesos não é tão simples com pode parecer, é um</p><p>campo ainda cheio de dúvidas e tido como um dos mais complexos no ajustamento de</p><p>observações.</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 44</p><p>MODELO PARAMÉTRICO</p><p>6.1. INTRODUÇÃO</p><p>No ajustamento de observações denominam-se parâmetros (ou observações indiretas) as</p><p>grandezas que em geral não são obtidas diretamente, ou seja, aquelas que são calculadas em</p><p>função de grandezas medidas diretamente. Exemplos típicos de parâmetros são: coordenadas,</p><p>altitudes, áreas, etc.</p><p>Para aplicar o modelo dos mínimos quadrados com finalidade de estimar o valor dos</p><p>parâmetros, utiliza-se o chamado modelo paramétrico ou método das equações de observações.</p><p>Para a aplicação deste modelo é necessária a montagem de equações de observações, que são</p><p>modelos matemáticos relacionando parâmetros e observações.</p><p>Após o processamento do ajustamento são obtidos os valores ajustados dos parâmetros,</p><p>assim como das observações ajustadas.</p><p>O modelo paramétrico tem grande aplicação no tratamento de dados corriqueiros da</p><p>engenharia de posição, como é o caso do nivelamento, poligonação, triangulações, trilaterações</p><p>ou ainda combinando-se mais de um dos métodos de obtenção de coordenadas.</p><p>6.2. formulação do modelo paramétrico</p><p>O modelo matemático básico para o ajustamento pelo modelo paramétrico tem a</p><p>conformação de uma equação de observação, e para cada uma das observações medidas formula-</p><p>se uma equação. Considerando-se que se têm n observações e m parâmetros, formula-se então</p><p>um conjunto de equações com a seguinte representação matricial:</p><p> aa XFL  [6.1]</p><p>onde:</p><p>La - é um vetor (n x 1) de observações ajustadas;</p><p>Xa - é um vetor (m x 1) de parâmetros ajustados, e</p><p>F(Xa) - são equações do modelo matemático calculadas com os parâmetros ajustados.</p><p>Como se vê, os valores observados ajustados são expressos explicitamente como função</p><p>dos parâmetros ajustados.</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>45</p><p>O objetivo primeiro da solução do modelo paramétrico é estimar os parâmetros ou</p><p>correções dos parâmetros que compõem o vetor X. Por esta razão vetor X é o vetor das correções</p><p>aos valores aproximados dos parâmetros e é formado por x1, x2,... xm.. Uma vez estimado os</p><p>valores das correções xi, os parâmetros ajustados são obtidos por:</p><p>XXX oa  [6.2]</p><p>Em que</p><p>Xo é um vetor (m x 1) cujas componentes são valores aproximados para os parâmetros;</p><p>X é um vetor (m x 1) das correções que convertem os parâmetros aproximados (Xo) em</p><p>parâmetros ajustados (Xa).</p><p>Através das operações do ajustamento aplicando o método dos mínimos quadrados, obtêm-se as</p><p>observações ajustadas:</p><p>VLL ba  [6.3]</p><p>onde:</p><p>Lb é um vetor (n x 1) de observações brutas;</p><p>V é um vetor (n x 1) dos resíduos (ou correções) que transformam as observações brutas</p><p>(Lb) em observações ajustadas (La).</p><p>Das equações  L F Xa a</p><p>e L L Va b  pode-se fazer:</p><p> F X L Va b </p><p>[6.4]</p><p>Linearizando F(Xa) pelo desenvolvimento em serie de Taylor, vem:</p><p>      X.</p><p>Xa</p><p>F</p><p>XoFXXoFVLXaF xoxab </p><p></p><p></p><p> [6.5]</p><p>Faz-se F(Xo) = Lo, ou seja, chama-se de Lo o vetor (n x 1) resultante da aplicação nas</p><p>funções F dos valores aproximados dos parâmetros Xo.</p><p>Chama-se de A a matriz (n x m) jacobiana da função F, sendo n o número de observações</p><p>e m o número de parâmetros. A matriz A é calculada aplicando os valores aproximados dos</p><p>parâmetros, xo, nas derivadas parciais, o que indica o sub-índice xá = xo na equação seguinte</p><p>A</p><p>F</p><p>Xa</p><p>xa xo</p><p></p><p></p><p></p><p> [6.6]</p><p>A matriz A é chamada de matriz dos coeficientes das incógnitas ou simplesmente matriz dos</p><p>coeficientes, muito embora o nome em inglês design matrix seja também usado uma vez que a</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 46</p><p>posição dos elementos nessa matriz depende da configuração dos pontos da rede, estando assim</p><p>bastante associada ao planejamento do levantamento. Nota-se que em algumas publicações em</p><p>português o nome “matriz planejamento” é usado para se referir a matriz A.</p><p>Assim, a partir da equação 6.5 pode-se escrever</p><p>L V L AXb o   [6.7]</p><p>V AX L Lo b   . [6.8]</p><p>Fazendo L = Lb - Lo obtém-se o modelo matemático linearizado do método dos</p><p>parâmetros:</p><p>V = AX - L [6.9]</p><p>Esta última equação sintetiza, na realidade, sob a forma matricial, n equações de</p><p>observações, ou:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>nn</p><p>am</p><p>n</p><p>a</p><p>n</p><p>a</p><p>n</p><p>a</p><p>n</p><p>amaaa</p><p>amaaa</p><p>n l</p><p>l</p><p>l</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>f</p><p>x</p><p>f</p><p>x</p><p>f</p><p>x</p><p>f</p><p>x</p><p>f</p><p>x</p><p>f</p><p>x</p><p>f</p><p>x</p><p>f</p><p>x</p><p>f</p><p>x</p><p>f</p><p>x</p><p>f</p><p>x</p><p>f</p><p>v</p><p>v</p><p>v</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.....</p><p>.........................</p><p>.....</p><p>...</p><p>.</p><p>.</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>321</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>[6.10]</p><p>Os elementos da matriz dos coeficientes A, de n linhas e m colunas, são representados</p><p>por :</p><p>a</p><p>fi</p><p>xij</p><p>a</p><p></p><p></p><p> 1 para i = 1, 2, 3, , n e j=1, 2 ,3,..., m</p><p>Algebricamente, a primeira linha do sistema de equações representado matricialmente</p><p>através da eq. 6.9 poderá ser escrito:</p><p>mmnm22n11nn</p><p>2mm22221212</p><p>1mm12121111</p><p>lx.a...xaxav</p><p>lx.a...x.ax.av</p><p>lx.a...x.ax.av</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>[6.11]</p><p>A solução pelo método dos mínimos quadrados é obtida minimizando-se a soma dos</p><p>quadrados dos resíduos, ou seja:</p><p>VTPV=mínimo, [6.12]</p><p>onde P é a matriz dos pesos das observações.</p><p>Então:</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>47</p><p>MÍNIMOLAXPLAXPVV TT  )()(</p><p>MÍNIMOPLLPAXLPLAXPAXAXLAXPLAX TTTTTTTTT  )()(</p><p>MÍNIMOPLLPLAX2PAXAX TTTTT </p><p>Igualando a zero a primeira derivada em relação a X:</p><p>0PLA2PAXA2</p><p>X</p><p>TT </p><p></p><p></p><p>[6.13]</p><p>0 PLAPAXA TT</p><p>[6.14]</p><p>é comum fazer: N=ATPA e U=ATPL e então a eq. 6.14 na sua notação simplificada fica:</p><p>NX - U=0. [6.15]</p><p>Tem-se assim um novo sistema de equações, que é denominado sistemas de equações</p><p>normais e cuja solução atende o princípio do método dos mínimos quadrados.</p><p>A matriz N é quadrada (m x m) e simétrica.</p><p>Para a obtenção do vetor das correções X, pode-se resolver o sistema por método de</p><p>resolução disponível, porém fazendo a resolução utilizando-se a inversão da matriz N, é a</p><p>maneira mais usual. Assim:</p><p>NX-U= O [6.16]</p><p>logo NX = U [6.17]</p><p>e X = N-1 U [6.18]</p><p>ou X = (ATPA)-1 ATPL [6.19]</p><p>e assim com os valores dos elementos do vetor X, pode-se converter os parâmetros aproximados</p><p>em ajustados por Xa=Xo+X.</p><p>De posse dos parâmetros ajustados pode-se também obter as observações ajustadas</p><p>utilizando-se La=F(Xa) ou calculando-se os resíduos V e aplicando em La=Lb+V.</p><p>6.3. FATOR DE VARIÂNCIA</p><p>6.3.1.Variância da unidade de peso</p><p>A partir das variâncias das observações contidas na matriz variância-covariância das</p><p>observações</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>n</p><p>LC</p><p></p><p></p><p></p><p>..</p><p>2</p><p>1</p><p>[6.20]</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 48</p><p>forma-se a matriz dos pesos P,</p><p>12</p><p>0 .  LCP  [6.21]</p><p>O fator 2</p><p>o</p><p> é chamado variância da unidade de peso a priori, ou fator de variância, o qual</p><p>é arbitrado pelo calculista e quase sempre esse valor arbitrado é um. A matriz peso é uma matriz</p><p>quadrada e simétrica e quase sempre</p><p>é uma matriz diagonal. Isto quer dizer que as observações</p><p>são não correlacionadas. Geralmente 2</p><p>o</p><p> é chamado de variância a posteriori ou de sigma zero a</p><p>priori.</p><p>6.3.2 Variância a Posteriori</p><p>Após o ajustamento pode-se estimar o valor de 2</p><p>o̂ em função dos resíduos. A esse 2</p><p>o̂</p><p>denomina-se variância da unidade de peso a posteriori, fator de variância a posteriori ou</p><p>simplesmente variância a posteriori. O seu valor estimado pode ser obtido pela fórmula:</p><p>gl</p><p>PVVT</p><p>2</p><p>0 </p><p></p><p>[6.22]</p><p>em que;</p><p>gl é o número de graus de liberdade obtido pela diferença entre n (número de observações) e m</p><p>(número de parâmetros)</p><p>O valor do fator de variância a posteriori calculado com a fórmula 6.22 deve ser</p><p>estatisticamente igual ao valor do fator de variância a priori.</p><p>O 0</p><p>2 deve ser comparado ao 2</p><p>o̂ através de teste de hipóteses quando se usa a</p><p>distribuição 2 (qui-quadrado) para verificar se os dois fatores são significativamente iguais ou</p><p>diferentes</p><p>No caso de 0</p><p>2 e 2</p><p>o̂ serem significativamente diferentes, deve-se proceder uma análise</p><p>cuidadosa do ajustamento. As prováveis causas podem ser uma ou mais de uma dessas:</p><p>a) erros de cálculo</p><p>b) erros sistemáticos não detectados (modelo matemático inadequado)</p><p>c) erros grosseiros</p><p>d) superestimava ou subestimava dos pesos (neste caso pode-se consertar o erro através</p><p>do uso de uma apropriada variância a priori).</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>49</p><p>6.4 PRECISÃO DAS GRANDEZAS AJUSTADAS</p><p>Após a obtenção dos parâmetros ajustados através da Xa = Xo + X, devemos avaliar a</p><p>qualidade desses parâmetros através de suas precisões. Isso se dá via matriz variância MVC. A</p><p>MVC dos parâmetros ajustados nada mais é que o resultado da propagação das variâncias das</p><p>observações para os parâmetros. Assim é de se esperar que observações com variâncias altas, ou</p><p>seja, observações pouco precisas gerem parâmetros com variâncias também altas ou pouco</p><p>precisas.</p><p>6.4.1 MVC dos parâmetros ajustados</p><p>A MVC dos parâmetros ajustados é obtida a partir de</p><p>  LPAPAAX T1T </p><p> [6.23]</p><p>Aplicando a lei de propagação de variância T</p><p>obsx JCJC .</p><p>Temos    </p><p>T</p><p>TT</p><p>obs</p><p>TT</p><p>x PAPAACPAPAAC </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 11</p><p>[6.24]</p><p>Cx=     1TT1T1T PAAAPPPAPAA</p><p></p><p>[6.25]</p><p>    1TT1T1T PAAAPPPAPAA</p><p></p><p>[6.26]</p><p>  1TPAA</p><p>  PAAT   1TPAA</p><p></p><p>[6.27]</p><p>Cx =   1TPAA</p><p></p><p>[6.28]</p><p>Cx =   11  ACA</p><p>obs</p><p>T</p><p>[6.29]</p><p>Na realidade a formulação acima é feita para a MVC das correções mas a MVC dos</p><p>parâmetros ajustados tem a mesma forma uma vez que na equação Xa=Xo+X o vetor Xo é</p><p>constante, então:   1T</p><p>xXa PAACC</p><p></p><p></p><p>6.4.2 MVC dos resíduos</p><p>Para obter a MVC dos resíduos partimos da equação básica</p><p>V = AX – L [6.30]</p><p>Sabendo-se que   PLAPAAX T1T </p><p> e substituindo o valor de X na eq. 6.30 temos</p><p>  LPLAPAAAV T1T </p><p></p><p>[6.31]</p><p>  LIPAPAAAV T1T </p><p></p><p>[6.32]</p><p>Aplicando a lei de propagação de variância, temos</p><p>   </p><p>T</p><p>TT</p><p>obs</p><p>TT</p><p>v IPAPAAACIPAPAAAC </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 11</p><p>[6.33]</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 50</p><p>    </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>IAPAAAPCPCAPAAA TTT</p><p>obsobs</p><p>TT 11</p><p>     IAPAAAPPPPAPAAA T1TT11T1T </p><p></p><p>     IAPAAAPPAPAAA T1TT1T1T </p><p></p><p>        1T1TT1T1TTT1TTT1T PAPAAAPPAPAAAAPAAAPAPAAA </p><p></p><p>      1T1TT1TT1T PAPAAAAPAAAAPAAA </p><p></p><p>  1T1T PAPAAA </p><p></p><p>  T1T1</p><p>V APAAAPC</p><p>  [6.34]</p><p>Que pode também aparecer de forma mais condensada:</p><p>T</p><p>xobsV AACCC  [6.35]</p><p>A equação 6.35 relaciona três MVC, a dos resíduos, a das observações brutas e a dos parâmetros.</p><p>6.4.3 MVC das observações ajustadas</p><p>As observações ajustadas ou estimadas são aquelas resultantes do ajustamento pelo método dos</p><p>mínimos quadrados e que são obtidas pela soma da observação bruta com o resíduo proveniente do</p><p>método dos mínimos quadrados. Temos:</p><p>La = L +V [6.36]</p><p>Note que L na equação 6.36 representa a observação bruta e não o L = Lb- Lo porque a dedução</p><p>supõe o modelo linear onde não há valor de parâmetros aproximados como na dedução da mvc dos</p><p>parâmetros ajustados. A partir da 6.36 fazemos:</p><p>La = L + AX – L [6.37]</p><p>  LPAPAAAAXL T1T</p><p>a</p><p></p><p> [6.38]</p><p>Propagam-se as variâncias das observações brutas para as observações ajustadas. As variâncias</p><p>das observações brutas são representadas por CL.</p><p>   </p><p>T</p><p>TT</p><p>obs</p><p>TT</p><p>La PAPAAACPAPAAAC </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 11</p><p>[6.39]</p><p>    T1TT1T1T</p><p>La APAAAPPPAPAAAC</p><p></p><p> [6.40]</p><p>     T1TT1T</p><p>La APAAPAAPAAAC</p><p></p><p> [6.41]</p><p>  T</p><p>x</p><p>T1T</p><p>La AACAPAAAC </p><p></p><p>[6.42]</p><p>Note que a partir da 6.35 a 6.42 pode ser escrita;</p><p>CLa = Cobs - Cv [6.43]</p><p>Veja que a chave de todas as matrizes covariâncias é a matriz covariância das observações Cobs.</p><p>Como é formada a Cobs? Ela é formada a partir das variâncias das observações. Cada observação tem o</p><p>seu grau de incerteza representado pelo desvio padrão, que elevado ao quadrado dá a variância. É bom</p><p>Antonio Simões 2011</p><p>51</p><p>frisar que rotineiramente não temos as covariâncias das observações, assim a matriz covariância das</p><p>observações é quase sempre uma matriz diagonal onde os elementos da diagonal são as variâncias das</p><p>observações. As vezes a matriz Cobs é simbolizada como CL</p><p>Exemplo de uma matriz covariância para um levantamento com 5 observações:</p><p>.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>5</p><p>2</p><p>4</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>obsC [6.44]</p><p>6.4.4 - Variância da Observação de Peso Unitário</p><p>Muitas vezes a matriz covariância das observações é multiplicada por um fator chamado de variância da</p><p>unidade peso, variância de referencia ou ainda sigma zero a priori. O que vem a ser esse fator? É um fator</p><p>representado por</p><p>2</p><p>o que serve para dar escala a matriz covariância das observações. Isto não trará</p><p>nenhum problema ao ajustamento das observações porque os pesos das observações são relativos.</p><p>Geralmente dividem-se os elementos da matriz covariância das observações pela variância a priori e a</p><p>matriz fica assim:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>5</p><p>2</p><p>4</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> o</p><p>LC [6.45]</p><p>A matriz peso será o inverso dessa matriz,</p><p>12  Lo CP  e cada elemento de P será:</p><p>2</p><p>i</p><p>2</p><p>o</p><p>ip</p><p></p><p></p><p> [6.46]</p><p>Se a uma observação tem peso igual a 1 então</p><p>2</p><p>i</p><p>2</p><p>o  e podemos fazer</p><p>2</p><p>o =1 sem alterar a equação.</p><p>Daí</p><p>2</p><p>o ser chamado de variância de uma observação da unidade peso, ou variância da unidade peso.</p><p>Este termo, provavelmente fruto de uma tradução inapropriada, já está consagrado. No entanto seria mais</p><p>apropriado dizer variância de peso unitário. Note que se</p><p>2</p><p>o for igual a 1, como quase sempre é, o peso de</p><p>uma observação é 1/</p><p>2</p><p>i . Vemos assim que o peso de uma observação é inversamente proporcional a sua</p><p>variância. Quando as observações não são correlacionadas a matriz peso será de fácil obtenção. Basta</p><p>inverter as variâncias das observações e coloca-las na diagonal da matriz peso. Caso as observações sejam</p><p>correlacionadas a obtenção de matriz peso será mais trabalhosa e poderia haver caso de sua</p><p>impossibilidade isso quando a CL for singular.</p><p>Ajustamento de Observações 2011</p><p>Simões 2011 52</p><p>6.4.4.1 - Escolha de 0</p><p>2 a priori</p><p>Para iniciar o ajustamento necessita-se conhecer a matriz dos pesos das observações:</p><p>1</p><p>obs2</p><p>o</p><p>1</p><p>P C</p><p></p><p>[6.47]</p><p>A variância da observação cujo peso é unitário 0</p><p>2 é dita variância a priori e costuma ser</p><p>arbitrada pelo calculista, esse valor é quase sempre igual a 1. Por essa razão em quase cem por</p><p>cento da bibliografia em ajustamento de observações traz a matriz peso assim:</p><p>1</p><p>obsP C [6.48]</p><p>É esta notação que usaremos ao longo do texto.</p><p>6.4.4.2 Cálculo de 2</p><p>o̂</p><p>Após o ajustamento pode-se estimar um valor para 2</p><p>o̂ em função dos resíduos e dos</p><p>pesos das observações. A esse valor denomina-se</p>