APOSTILA-COMPLETA-Análise-Combinatória

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<p>0</p><p>CENTRO UNIVERSITÁRIO FAVENI</p><p>ANÁLISE COMBINATÓRIA</p><p>GUARULHOS – SP</p><p>1</p><p>SUMÁRIO</p><p>1 INTRODUÇÃO .................................................................................................. 3</p><p>2 ORIGENS DA LINGUAGEM NUMÉRICA E DA CONTAGEM .......................... 4</p><p>3 CONTAGEM ..................................................................................................... 9</p><p>3.1 Princípios básicos de contagem ................................................................. 11</p><p>3.2 Fatorial ........................................................................................................ 13</p><p>4 AGRUPAMENTOS ......................................................................................... 15</p><p>4.1 Arranjo ........................................................................................................ 15</p><p>4.2 Permutação ................................................................................................ 16</p><p>4.3 Permutações com repetições ..................................................................... 19</p><p>4.3.1 Amostras ordenadas ................................................................................... 21</p><p>4.3.2 Diferenças entre arranjo e permutação....................................................... 22</p><p>4.4 Combinação ................................................................................................ 25</p><p>5 BINÔMIO DE NEWTON .................................................................................. 27</p><p>6 TRIÂNGULO DE PASCAL .............................................................................. 30</p><p>7 APLICAÇÃO DA ANÁLISE COMBINATÓRIA ................................................. 33</p><p>7.1 Geometria plana ......................................................................................... 33</p><p>7.2 Computação ............................................................................................... 34</p><p>8 PROBABILIDADE ........................................................................................... 35</p><p>8.1 Espaço amostral ......................................................................................... 36</p><p>8.2 Evento ......................................................................................................... 37</p><p>9 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES E EVENTOS COMPLEMENTARES</p><p>.........................................................................................................................37</p><p>2</p><p>9.1 Eventos independentes e eventos dependentes ........................................ 38</p><p>10 CÁLCULO DE PROBABILIDADE ................................................................... 39</p><p>10.1 Resultados da probabilidade ...................................................................... 41</p><p>11 PROBABILIDADE DE UM EVENTO EM UM ESPAÇO AMOSTRAL FINITO . 41</p><p>12 PROBABILIDADE CONDICIONAL ................................................................. 46</p><p>12.1 Probabilidade de eventos independentes ................................................... 50</p><p>13 TEOREMA DE BAYES ................................................................................... 52</p><p>14 APLICAÇÃO DA PROBABILIDADE NA INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL ............ 53</p><p>15 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................ 56</p><p>15.1 Bibliografia Básica ...................................................................................... 56</p><p>15.2 Bibliografia Complementar .......................................................................... 56</p><p>3</p><p>1 INTRODUÇÃO</p><p>Prezado aluno!</p><p>O Grupo Educacional FAVENI, esclarece que o material virtual é semelhante ao</p><p>da sala de aula presencial. Em uma sala de aula, é raro – quase improvável - um aluno</p><p>se levantar, interromper a exposição, dirigir-se ao professor e fazer uma pergunta, para</p><p>que seja esclarecida uma dúvida sobre o tema tratado. O comum é que esse aluno faça</p><p>a pergunta em voz alta para todos ouvirem e todos ouvirão a resposta. No espaço virtual,</p><p>é a mesma coisa. Não hesite em perguntar, as perguntas poderão ser direcionadas ao</p><p>protocolo de atendimento que serão respondidas em tempo hábil. Os cursos à distância</p><p>exigem do aluno tempo e organização. No caso da nossa disciplina é preciso ter um</p><p>horário destinado à leitura do texto base e à execução das avaliações propostas. A</p><p>vantagem é que poderá reservar o dia da semana e a hora que lhe convier para isso. A</p><p>organização é o quesito indispensável, porque há uma sequência a ser seguida e prazos</p><p>definidos para as atividades.</p><p>Bons estudos!</p><p>4</p><p>2 ORIGENS DA LINGUAGEM NUMÉRICA E DA CONTAGEM</p><p>A matemática foi considerada por muitos séculos a ciência dos números, da</p><p>grandeza e da forma. Por isso quando se busca pelos primeiros vestígios de atividade</p><p>matemática, encontram-se resquícios arqueológicos que refletem a consciência humana</p><p>de operações numéricas, contagem ou padrões e formas geométricos. De modo geral,</p><p>os vestígios matemáticos são encontrados no domínio das culturas primitivas. Regras de</p><p>operação podem existir como parte de uma tradição oral, às vezes na forma de música</p><p>ou de versos, ou ainda podem ser percebidos na linguagem da mágica e dos rituais</p><p>(BOYER; MERZBACH, 2012). Algumas vezes, os vestígios matemáticos são</p><p>encontrados em observações do comportamento animal, o que os distancia ainda mais</p><p>do domínio do historiador (BOYER; MERZBACH, 2012).</p><p>Neste contexto, Aragão (2009) menciona que a matemática, antes de ser uma</p><p>ciência, foi um conjunto de métodos empíricos, aplicados pelos nossos antepassados à</p><p>vida prática do quotidiano e, por isso, pode-se dizer que tem raízes biológicas. As noções</p><p>de número, grandeza e forma podiam estar relacionadas com contrastes mais do que</p><p>com semelhanças, por exemplo, a diferença entre um lobo e muitos, a desigualdade de</p><p>tamanho entre uma sardinha e uma baleia, a dessemelhança entre a forma redonda da</p><p>lua e a retilínea de um pinheiro, entre outras (BOYER; MERZBACH, 2012).</p><p>Boyer e Merzbach (2012) explicam que das experiências caóticas deve ter</p><p>surgido a percepção de que existem analogias; e desta percepção de semelhanças em</p><p>números e formas, nascem a ciência e a matemática. As próprias diferenças parecem</p><p>indicar semelhanças ao contrastar um lobo e muitos, um carneiro e um rebanho, uma</p><p>árvore e uma floresta... tudo sugere que um lobo, um carneiro e uma árvore têm algo em</p><p>comum: a unicidade. Outra observação se daria em grupos, como os pares, que podem</p><p>ser postos em correspondência biunívoca, as mãos podem ser emparelhadas com os</p><p>pés, os olhos e as orelhas ou as narinas. Este foi um grande passo no caminho até a</p><p>matemática moderna. Essas descobertas podem ter se dado por um indivíduo ou uma</p><p>determinada tribo. Acredita-se que a percepção tenha sido gradual, e desenvolvida tão</p><p>cedo pelo homem quanto o uso do fogo, talvez há 300.000 anos.</p><p>5</p><p>Para Aragão (2009), a primeira correspondência biunívoca foi sem dúvida aquela</p><p>que se via entre os objetos e os dedos das mãos e dos pés. A operação de contar, de</p><p>descobrir o número de elementos de um conjunto depende do ato de comparar. O</p><p>indivíduo primitivo conseguia saber, por exemplo, se tinha mais filhos do que lanças.</p><p>Nossos antepassados mais antigos inicialmente contavam somente até dois;</p><p>qualquer conjunto além desse nível era designado por “muitos”. A ideia de número tornou-</p><p>se mais ampla e vívida somente na linguagem de sinais, em que os dedos de uma mão</p><p>podem ser usados para indicar um conjunto de dois, três, quatro ou cinco objetos. O</p><p>número 1 inicialmente não era reconhecido como um verdadeiro número. E quando os</p><p>dedos humanos, dos pés e das mãos, eram inadequados, usavam-se montes de pedras</p><p>para representar uma correspondência com elementos de outro conjunto.</p><p>O homem</p><p>primitivo, quando usava esse método de representação, costumava amontoar as pedras</p><p>em grupos de cinco, pois os quíntuplos lhe eram familiares por observação da mão e do</p><p>pé. Para conservar as informações, o homem pré-histórico fazia o registro de um número</p><p>por meio de entalhes em um bastão ou pedaço de osso (BOYER; MERZBACH, 2012).</p><p>Conforme Boyer e Merzbach (2012), a ação de contar com os dedos, ou por meio</p><p>de grupos de cinco e dez, parece ter surgido mais tarde do que a contagem por grupos</p><p>de dois e três. No entanto, os sistemas quinário e decimal substituíram o binário e o</p><p>ternário. Vejamos, na Figura 1, um exemplo de sistema vigesimal usado pelos Maias de</p><p>Yucatan e da América Central.</p><p>6</p><p>Na representação de intervalos de tempo entre datas em seu calendário, os</p><p>maias usavam uma numeração com valor na posição, geralmente com 20 como base</p><p>primária e 5 como auxiliar, como vemos na Figura 1. As unidades eram representadas</p><p>por pontos, e cinco, por barras horizontais (BOYER; MERZBACH, 2012).</p><p>As talhas numéricas (tally sticks, bastões numéricos entalhados) eram utilizadas</p><p>entre povos primitivos com inúmeras finalidades: registro de transações ou obrigações,</p><p>cômputo de dias de viagem, registro de períodos de tempo, calendários, repartição de</p><p>bens, etc. Vejamos alguns exemplos de talhas numéricas do Paleolítico Superior Europeu</p><p>até o mais recente, encontrado em 1937, com idade de aproximadamente 30 mil anos</p><p>(ALMEIDA, 2001).</p><p>Exemplo:</p><p>Na Figura 2a, vemos o mais antigo exemplo de talha registrado nos textos de</p><p>História da Matemática, um rádio de lobo inscrito com 55 incisões, com idade aproximada</p><p>de 30 mil anos.</p><p>7</p><p>Em 1927, foram escavados no Abri Cellier ossos com entalhes com uma idade</p><p>estimada em 24 mil anos. À direita da Figura 2b tem-se um osso de ave, gravado com</p><p>duas séries de incisões; outro osso, à esquerda, apresenta uma série de incisões.</p><p>(BOYER; MERZBACH, 2012).</p><p>O “adorador” é uma figura em marfim de mamute, com 30 mm comprimento, 14</p><p>mm de altura e 4,5 mm de espessura, como se vê na Figura 2c. Pode representar uma</p><p>criatura híbrida em atitude de adoração. As filas de pontos no verso podem representar</p><p>observações astronômicas ou calendáricas. Os cerca de 49 pontos no verso estão</p><p>arranjados em quatro filas de 13, 10, 12 e 13 pontos; nos lados há um total de</p><p>aproximadamente 30 incisões em grupos de 6, 13, 7 e 13. Foi escavado em 1979 e é</p><p>datado de, aproximadamente 35 a 32 mil anos.</p><p>Algumas interpretações de talhas como calendários lunares podem ser</p><p>observadas:</p><p> Na Figura 2d, consta uma placa óssea de Abri Lartet (Dordonha),</p><p>contendo na face 118 marcas e no verso 90, correspondendo a um registro</p><p>de onze meses;</p><p> Na Figura 2f, um bastão de Isturitz, registrando provavelmente em uma</p><p>das faces 4 e nos outros 5 meses lunares;</p><p> Na Figura 2e, o osso de águia de Le Placard (Dordonha), contendo cada</p><p>lado aparentemente seis meses lunares, totalizando um ano lunar.</p><p>No sítio de Mezin (Ucrânia), foram encontrados, em 1908, ossos de mamute com</p><p>incisões, como mostra a Figura 2g, datando de 29 a 15,1 mil anos atrás.</p><p>É importante mencionar que a técnica de entalhes não se limitou ao continente</p><p>europeu. Na Austrália, encontramos objetos de pedra denominados cylcon, como pode</p><p>ser visto na Figura 2h, contendo entalhes paralelos, provavelmente empregados para</p><p>contar emus, guerreiros mortos, etc. A mais antiga pedra cylcon encontrada em um</p><p>contexto arqueológico datável tem uma idade aproximada de 20 mil anos.</p><p>8</p><p>De acordo com Boyer e Merzbach (2012), acredita-se que o desenvolvimento da</p><p>linguagem tenha sido essencial para o surgimento do pensamento matemático abstrato</p><p>e que as palavras que exprimem ideias numéricas apareceram lentamente. É provável</p><p>que os sinais para números tenham surgido antes das palavras para eles, pois é mais</p><p>fácil fazer incisões em um bastão do que estabelecer uma frase bem formulada para</p><p>identificar um número.</p><p>É possível perceber a demora no desenvolvimento da linguagem para exprimir</p><p>abstrações como o número no fato de que as expressões verbais numéricas primitivas</p><p>invariavelmente se referem a coleções concretas específicas, como “dois peixes” ou “dois</p><p>bastões”, e, mais tarde, uma dessas frases seria adotada para indicar todos os conjuntos</p><p>de dois objetos. Essa tendência do desenvolvimento da linguagem do concreto para o</p><p>abstrato ainda pode ser percebida em muitas medidas de comprimento usadas</p><p>atualmente; por exemplo, a altura de um cavalo é medida em “palmos”, e as palavras</p><p>“pé” e “ell” (ou elbow, cotovelo) também derivam de partes do corpo (BOYER;</p><p>MERZBACH, 2012).</p><p>A distinção entre conceitos abstratos e repetidas situações concretas levou</p><p>milhares de anos para ser descoberta pelo homem, o que demonstra a complexidade</p><p>para o estabelecimento de fundamento para a matemática. Muitas perguntas relativas à</p><p>origem da matemática ainda não foram respondidas; enquanto há argumentos de que ela</p><p>9</p><p>tenha surgido em resposta a necessidades práticas, há outros afirmando que ela surgiu</p><p>da conexão com rituais religiosos primitivos (BOYER; MERZBACH, 2012).</p><p>O número inteiro é o mais antigo da matemática. A noção de fração, por outro</p><p>lado, surgiu tarde e não estava relacionada com os sistemas para os inteiros.</p><p>Aparentemente, para as tribos primitivas, as frações não eram necessárias e, para</p><p>questões quantitativas, o homem prático pode escolher unidades suficientemente</p><p>pequenas, podendo dispensar as frações (BOYER; MERZBACH, 2012). Pode-se afirmar</p><p>que o desenvolvimento das frações não foi um produto da Idade da Pedra, mas com as</p><p>culturas mais avançadas desenvolvidas, durante a Idade do Bronze, pode ter surgido a</p><p>necessidade de utilizá-las (BOYER, 1996).</p><p>Aragão (2009) destaca que, embora o conceito de número seja recente, há</p><p>muitos milênios os seres humanos os utilizavam, representavam e combinavam, por meio</p><p>de operações. Os números eram utilizados não apenas para contar, mas para medir</p><p>grandezas, indicar direções e posições no espaço, etc.</p><p>3 CONTAGEM</p><p>Em matemática, a definição de contagem é o ato de determinar um número de</p><p>elementos de um conjunto (finito), e existem evidências arqueológicas que possibilitam</p><p>concluir que o processo de contar tenha sido utilizado há mais de 50 mil anos por culturas</p><p>primitivas para acompanhar os dados econômicos e sociais, como:</p><p> Quantidade de membros do grupo, das presas, etc.;</p><p> Propriedades e dívidas.</p><p>O princípio de contagem levou ao desenvolvimento da notação matemática, dos</p><p>sistemas numéricos e da escrita atual. Ela ainda pode ocorrer de várias formas, por</p><p>exemplo, verbalmente, falando cada número em voz alta (ou mentalmente) para</p><p>acompanhar o progresso, utilizado com frequência para contar objetos presentes em vez</p><p>de uma variedade de coisas no decorrer do tempo (horas, dias, semanas, etc.). Também</p><p>pode ser por meio de marcações, com base de contagem unitária, registrando uma marca</p><p>para cada objeto e contando seu total, o que é útil quando se deseja contar objetos ao</p><p>10</p><p>longo de períodos, como o número de ocorrências de algo durante um dia. A contagem</p><p>usual é realizada em base decimal, já os computadores usam base binária (zeros e uns).</p><p>A realização da contagem permite determinar a quantidade de elementos de</p><p>determinado conjunto, por exemplo, o censo demográfico, que, por meio dela, sabe o</p><p>número de elementos dos seguintes conjuntos:</p><p> Quantidade de pessoas que vivem em determinado estado ou cidade;</p><p> Quantidade de pessoas do sexo masculino e do feminino que vivem em</p><p>determinado lugar.</p><p>Estar diante desse princípio é como encarar uma situação na qual avaliar as</p><p>possibilidades de uma escolha e suas possíveis consequências torna-se necessário.</p><p>Por exemplo, considere que você deseja comprar um carro e que há 4 cores</p><p>disponíveis: preto, prata, vermelho e branco; também existem</p><p>3 potências para o seu</p><p>motor: 1.0, 1.5 e 2.0; além disso, há a possibilidade de ele ser com 2 ou 4 portas. Logo,</p><p>quais são as possibilidades de montagem para esse carro? Conforme Santos, Mello e</p><p>Murari (2008, p. 39), frente a uma típica situação que utiliza o princípio fundamental da</p><p>contagem,</p><p>[…] quando um evento é composto por m maneiras diferentes, e se para cada</p><p>uma dessas m maneiras possíveis de ocorrência desse evento houver outro que</p><p>pode ser realizado de n maneiras distintas, então, o número de maneiras</p><p>possíveis de ocorrerem ambos os eventos é o resultado do produto entre m e n.</p><p>Retornando para a situação inicial da montagem do carro, as possibilidades</p><p>referentes à composição desse automóvel são dadas pela multiplicação entre as</p><p>maneiras de se escolher cada um dos eventos, ou seja: opções de cores × opções de</p><p>potência de motor × opções de quantidade de portas, logo o cálculo será dado por:</p><p>4 × 3 × 2 = 24</p><p>Assim, há 24 possibilidades de composições para esse carro perante as</p><p>condições estabelecidas, de modo geral, problemas dessa natureza são resolvidos pelo</p><p>11</p><p>princípio fundamental da contagem, que é aplicado multiplicando o número de opções</p><p>entre as escolhas disponíveis.</p><p>3.1 Princípios Básicos de Contagem</p><p>Há dois princípios básicos de contagem, o primeiro envolve adição e, o segundo,</p><p>multiplicação.</p><p>Princípio da Regra da Soma: Suponha que algum evento E possa ocorrer de m</p><p>maneiras e um segundo evento F possa ocorrer de n maneiras. Suponha também que</p><p>ambos os eventos não podem acontecer simultaneamente. Então E ou F podem ocorrer</p><p>de m + n maneiras</p><p>Princípio da Regra do Produto: Suponha que existe um evento E que possa</p><p>ocorrer de m maneiras e, independentemente deste, há um segundo evento F que pode</p><p>ocorrer de n maneiras. Então, combinações de E e F podem ocorrer de mn maneiras.</p><p>(BOYER; MERZBACH, 2012).</p><p>Os princípios acima podem ser estendidos para três ou mais eventos. Ou seja,</p><p>suponha que um evento E1 possa ocorrer de n1 maneiras, um segundo evento E2 possa</p><p>ocorrer de n2 maneiras e, seguindo E2, um terceiro evento E3 possa ocorrer de n3</p><p>maneiras e assim por diante. Então:</p><p>Regra da Soma: Se nenhum par de eventos pode ocorrer ao mesmo tempo, logo</p><p>um dos eventos pode ocorrer de:</p><p>n1 + n2 + n3 + · · · maneiras.</p><p>Regra do Produto: Se os eventos ocorrem um após o outro, então todos os</p><p>eventos podem ocorrer na ordem indicada de:</p><p>n1 · n2 · n3 · . . . maneiras.</p><p>Suponha que uma faculdade tenha três disciplinas diferentes de história, quatro</p><p>disciplinas diferentes de literatura e duas disciplinas diferentes de sociologia.</p><p>12</p><p>(a) O número m de maneiras que um estudante pode escolher uma de cada tipo</p><p>de disciplina é:</p><p>m = 3(4)(2) = 24</p><p>(b) O número n de maneiras que um estudante pode escolher apenas uma</p><p>disciplina é:</p><p>n = 3 + 4 + 2 = 9</p><p>Há uma interpretação conjuntista dos dois princípios recém-vistos.</p><p>Especificamente, suponha que n(A) denota o número de elementos em um conjunto A.</p><p>Então:</p><p>(1) Princípio da Regra da Soma: Suponha que A e B são conjuntos disjuntos.</p><p>Logo:</p><p>n(A ∪ B) = n(A) + n(B)</p><p>(2) Princípio da Regra do Produto: Seja A × B o produto cartesiano dos</p><p>conjuntos A e B. Logo:</p><p>n(A × B) = n(A) · n(B)</p><p>Exemplos:</p><p>1) No restaurante de uma empresa, há 3 opções de carnes, 5 de guarnições, 4</p><p>de saladas e 2 de sobremesas no cardápio de hoje. Quantas são as possibilidades de</p><p>composição de pratos a serem consumidos? Observe que temos 4 eventos referentes às</p><p>opções do cardápio, e que cada um deles apresenta outras possibilidades de escolha;</p><p>logo, o total de maneiras de montagem será de:</p><p>13</p><p>3 × 5 × 4 × 2 = 120</p><p>Logo, existem 120 maneiras de compor essa refeição.</p><p>2) Para compor um look completo para trabalhar, Camila necessita combinar uma</p><p>blusa, uma calça e um calçado. Sabendo que existem 12 blusas, 7 calças e 10 calçados</p><p>em seu guarda-roupa, quantas são as composições possíveis de serem montadas?</p><p>Como existem 12 blusas, 7 calças e 10 calçados, é necessário escolher cada um</p><p>desses itens; logo, o total de possibilidades é dado por:</p><p>12 × 7 × 10 = 840</p><p>Assim, existem 840 maneiras de montar a composição de roupas.</p><p>3.2 Fatorial</p><p>O conceito de fatorial é muito utilizado em problemas de combinatória. É</p><p>caracterizado como um número natural não negativo descrito pelo produto entre ele e</p><p>todos os seus antecessores. Para referenciar o fatorial de um número, utiliza-se o símbolo</p><p>! (exclamação); além disso, é definido que 0! = 1, ou seja, 0 fatorial equivale a 1. A seguir,</p><p>observe alguns números fatoriais, sua decomposição e seu respectivo resultado:</p><p>2! = 2 × 1 = 2</p><p>4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24</p><p>5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120</p><p>7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040</p><p>10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3.628.800</p><p>Observe que o valor obtido pelo cálculo do fatorial cresce muito rápido, conforme</p><p>cresce o número; por isso, é usual simplificar operações envolvendo fatorais. (BOYER;</p><p>MERZBACH, 2012). Esse processo ocorre de modo que seja obtido um mesmo número</p><p>14</p><p>fatorial no denominador e numerador, assim, eles são eliminados. Observe essa</p><p>aplicação no exemplo a seguir.</p><p>Simplifique os fatoriais:</p><p>O produto dos inteiros positivos de 1 a n, inclusive, é denotado por n! e se lê “n</p><p>fatorial” ou “fatorial de n”. Logo,</p><p>n! = 1 · 2 · 3 · . . . · (n−2)(n−1)n = n(n−1)(n−2) · . . . · 3 · 2 · 1</p><p>Consequentemente, 1! = 1 e n! = n(n − l)!. É também conveniente definir 0! = 1.</p><p>Exemplo:</p><p>(c) Para valores grandes de n, usa-se a aproximação de Stirling (onde e =</p><p>2,7128…):</p><p>15</p><p>4 AGRUPAMENTOS</p><p>Até aqui, estudamos como calcular as possibilidades de um evento, no entanto,</p><p>para esses grupos, não existiam distinções ou ordenamentos para os seus elementos.</p><p>Na análise combinatória, existem subtópicos que abordam e diferenciam a maneira como</p><p>os elementos de um grupo podem ser organizados e/ou constituídos mediante alguma</p><p>especificação. (BOYER; MERZBACH, 2012).</p><p>4.1 Arranjo</p><p>Os arranjos simples de n elementos, tomados p a p, onde n ≥ 1, e p é um número</p><p>natural tal que p ≤ n, são todos os agrupamentos de p elementos distintos, que são</p><p>diferentes entre si pela ordem e pela natureza dos p elementos que compõem cada grupo</p><p>(SANTOS; MELLO; MURARI, 2008).</p><p>Simbolicamente, a indicação de um arranjo é dada por:</p><p>Onde:</p><p>n = total de elementos do grupo;</p><p>p = total de elementos por arranjo.</p><p>É importante enfatizar que, no arranjo, os agrupamentos dos elementos</p><p>dependem da sua ordem e natureza, assim, pela existência do fator ordem, a posição do</p><p>elemento no grupo faz toda a diferença na composição do conjunto a ser formado.</p><p>Exemplos:</p><p>1) Para a composição de uma comissão de formatura, será necessário escolher</p><p>um presidente, um vice-presidente, um tesoureiro e um secretário. Sabe-se que um total</p><p>16</p><p>de 23 alunos manifestou interesse; logo, de quantas maneiras essa comissão pode ser</p><p>formada?</p><p>Observe que, nessa comissão, a posição tem funcionalidades diferentes; logo, a</p><p>ordem é um fator inerente a essa situação, assim, estamos diante de um arranjo que</p><p>pode ser calculado por:</p><p>Logo, podem ser formadas 212.520 comissões diferentes.</p><p>2) Em uma reunião setorial, encontram-se presentes 12 pessoas para 4 cadeiras</p><p>disponíveis. Nesse contexto, quantas são as maneiras de organizar os funcionários nos</p><p>assentos disponíveis?</p><p>Observe que a cadeira na qual cada funcionário sentar faz diferença; logo, a</p><p>aplicação de um arranjo se faz necessária e pode ser calculada por:</p><p>Assim, é possível concluir que existem 11.880 maneiras diferentes de organizar</p><p>as pessoas nas cadeiras disponíveis.</p><p>4.2 Permutação</p><p>É considerado um caso especial do arranjo um tipo de grupo ordenado em que</p><p>participam todos os elementos do conjunto. Conforme Santos, Mello e Murari (2008), uma</p><p>permutação</p><p>de n objetos distintos é qualquer grupo ordenado desses objetos.</p><p>Simbolizado por Pn, o total obtido pela permutação simples de n objetos é calculado por:</p><p>17</p><p>Por definição:</p><p>Qualquer disposição de um conjunto de n objetos em uma dada ordem é</p><p>chamada de permutação dos objetos (tomados todos de uma vez). Uma disposição de</p><p>quaisquer r ≤ n desses objetos em uma dada ordem é chamada de “r-permutação” ou</p><p>“permutação de n objetos tomados r por vez”. Considere, por exemplo, o conjunto de</p><p>letras A, B, C, D. Então (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008):</p><p>(i) BDCA, DCBA e ACDB são permutações das quatro letras (tomadas todas</p><p>de uma vez).</p><p>(ii) (ii) BAD, ACB e DBC são permutações das quatro letras tomadas três por</p><p>vez.</p><p>(iii) (iii) AD, BC e CA são permutações das quatro letras tomadas duas por</p><p>vez.</p><p>Geralmente, estamos interessados na quantia de tais permutações sem listá-las.</p><p>O número de permutações de n objetos tomados r por vez é denotado por:</p><p>O teorema a seguir se aplica:</p><p>Teorema:</p><p>Enfatizamos que existem r fatores em n(n − 1)(n − 2) · · · (n − r + 1).</p><p>18</p><p>Encontre o número m de permutações de seis objetos, digamos, A, B, C, D, E, F,</p><p>tomados três por vez. Em outras palavras, determine a quantia de “palavras de três letras”</p><p>usando apenas as seis letras dadas sem repetição. (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008)</p><p>Representemos a palavra genérica de três letras pelas três posições seguintes:</p><p>——, ——, ——</p><p>A primeira letra pode ser escolhida de 6 maneiras; seguindo esta, a segunda letra</p><p>pode ser escolhida de 5 maneiras; e, finalmente, a terceira letra pode escolhida de 4</p><p>maneiras. Escrevemos cada número em sua posição apropriada como se segue:</p><p>Pela Regra do Produto, há m = 6 · 5 · 4 = 120 possíveis palavras de três letras</p><p>sem repetição, a partir das seis letras. Logo, existem 120 permutações de 6 objetos</p><p>tomados 3 por vez. Isso está de acordo com a fórmula do Teorema 5.4:</p><p>P(6, 3) = 6 · 5 · 4 = 120</p><p>De fato, o Teorema 5.4 é demonstrado da mesma maneira como fizemos neste</p><p>caso em particular.</p><p>Considere agora o caso especial de P(n, r), quando r = n. Obtemos o seguinte</p><p>resultado.</p><p>Existem n! Permutações de n objetos (tomados todos de uma vez). (SANTOS;</p><p>MELLO; MURARI, 2008)</p><p>Por exemplo, há 3! = 6 permutações das três letras A, B, C. Elas são:</p><p>ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.</p><p>Exemplo:</p><p>19</p><p>1) Anagramas são modificações nas letras de uma palavra. Desse modo,</p><p>quantos são os anagramas da palavra CADERNO?</p><p>a) CADERNO, desde que a primeira letra seja A;</p><p>b) CADERNO, desde que as últimas letras sejam DE, nessa ordem.</p><p>Note que calcular os anagramas consiste em determinar as permutações de um</p><p>grupo, assim, as respostas são as seguintes:</p><p>c) Como a palavra é formada por sete letras, logo, o total de anagramas é de:</p><p>d) A partir da determinação que a primeira letra é A, ela se torna fixa, possibilitando</p><p>a permutação apenas das restantes:</p><p>e) Agora, tornam-se fixas as duas últimas letras, permitindo a permutação das cinco</p><p>letras restantes:</p><p>4.3 Permutações com repetições</p><p>Frequentemente, queremos saber o número de permutações de um</p><p>multiconjunto, ou seja, um conjunto de objetos tais que alguns são repetidos. (SANTOS;</p><p>MELLO; MURARI, 2008). Denotamos por:</p><p>P(n; n1, n2, . . . , nr)</p><p>20</p><p>O número de permutações de n objetos, dos quais n1 são repetidos, n2 são</p><p>repetidos, . . ., nr são repetidos . A fórmula geral é a seguinte:</p><p>Indicamos a demonstração do teorema acima com um exemplo específico.</p><p>Suponha que queremos formar todas as possíveis “palavras” com cinco letras, usando</p><p>os caracteres da palavra “BABBY”. Existem 5! = 120 permutações dos objetos B1, A, B2,</p><p>B3, Y, onde os três Bs são distinguidos. Observe que as seis permutações a seguir:</p><p>Produzem a mesma palavra quando os subscritos são removidos. O 6 vem do</p><p>fato de que há 3! = 3·2·1 = 6 maneiras distintas para colocar os três B’s nas três primeiras</p><p>posições da permutação. Isso é verdade para cada conjunto de três posições nas quais</p><p>os B’s podem aparecer. Consequentemente, o número de palavras diferentes de cinco</p><p>letras que podem ser formadas, usando as letras da palavra “BABBY” é:</p><p>Exemplo:</p><p>Encontre o número m de palavras de sete letras que podem ser formadas,</p><p>usando as letras da palavra “BENZENE” (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008).</p><p>Buscamos o número de permutações de 7 objetos, dos quais 3 são indistinguíveis</p><p>(os três E’s), e 2 são indistinguíveis (os dois N’s). Pelo Teorema 5.6,</p><p>21</p><p>4.3.1 Amostras ordenadas</p><p>Muitos problemas se referem à escolha de um elemento a partir de um conjunto</p><p>S, digamos, com n elementos. Quando escolhemos um elemento após o outro, digamos,</p><p>r vezes, chamamos a escolha de amostra ordenada de tamanho r. (SANTOS; MELLO;</p><p>MURARI, 2008). Consideramos dois casos.</p><p>Amostragem com reposição: Aqui o elemento é devolvido ao conjunto S antes</p><p>que o próximo objeto seja escolhido. Assim, em cada vez existem n maneiras para</p><p>escolher um elemento (repetições são permitidas). A Regra do Produto nos diz que o</p><p>número de tais amostras é:</p><p>Amostragem sem reposição: Aqui o elemento não é devolvido ao conjunto S</p><p>antes que o próximo seja escolhido. Logo, não há repetição na amostra ordenada. Tal</p><p>amostra é simplesmente uma r-permutação. Assim, o número de tais amostras é:</p><p>Exemplo:</p><p>1) Três cartas são escolhidas uma após a outra em um baralho de 52 cartas.</p><p>Encontre o número m de maneiras que isso pode ser feito: (a) com reposição; (b) sem</p><p>reposição.</p><p>(a) Cada carta pode ser escolhida de 52 maneiras. Logo, m = 52(52)(52) = 140</p><p>608.</p><p>(b) Aqui não há devolução. Portanto, a primeira carta pode ser escolhida de 52</p><p>maneiras, a segunda de 51, e a terceira de 50 maneiras. Logo,</p><p>22</p><p>4.3.2 Diferenças entre arranjo e permutação</p><p>Segundo SANTOS (2008), tanto no arranjo quanto na permutação, a ordem dos</p><p>elementos organizados faz diferença e é importante. Na ordem de uma fila de crianças,</p><p>por exemplo, a organização Cláudia, Mara e Fernanda é diferente de Fernanda, Mara e</p><p>Cláudia, que, por sua vez, é diferente de Mara, Cláudia e Fernanda, e assim por diante.</p><p>Então, como saber quando a situação-problema é de arranjo ou permutação? É</p><p>bem simples!</p><p>Sempre que o número de objetos a serem organizados for maior que os</p><p>agrupamentos que você precisa fazer, isso será arranjo. Por outro lado, quando o</p><p>agrupamento tiver o mesmo número que a quantidade de objetos que você possui, então,</p><p>será permutação (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008).</p><p>Suponha que você tenha em mãos um baralho, contendo 52 cartas. De quantas</p><p>maneiras diferentes estas cartas podem ser apresentadas, de acordo com a sua ordem?</p><p>Essa resolução será realizada com a permutação, pois você possui 52 cartas a serem</p><p>combinadas em 52 posições distintas. Assim:</p><p>Caso a intenção fosse organizar as cartas desse mesmo baralho, agrupadas de</p><p>duas a duas, quantas seriam as diferentes possibilidades?</p><p>23</p><p>Problemas utilizando arranjo e permutação:</p><p>1) Em um pacote de 6 balas, foram colocados 6 sabores diferentes. De quantas</p><p>maneiras distintas as balas, por ordem de sabores, podem ser retiradas do pacote?</p><p>Como as balas poderão ser escolhidas aleatoriamente, não há uma ordem de</p><p>sabores definida. Você sabe que são 6 balas e 6 sabores distintos a serem retirados em</p><p>ordens também distintas. Assim, trata-se de um problema a ser resolvido com</p><p>permutação (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008):</p><p>Logo, seria possível obter 720 combinações diferentes na ordem dos sabores.</p><p>2) Uma operadora de telefones pretende iniciar suas atividades. Atualmente, os</p><p>números de telefones têm 8 dígitos. Para seu funcionamento, foram liberadas quaisquer</p><p>24</p><p>sequências numéricas, desde que o primeiro dígito fosse 5. Quantos números diferentes</p><p>essa operadora poderá disponibilizar para seus clientes?</p><p>Como o primeiro número da</p><p>sequência, obrigatoriamente, precisa ser 5, resta a organização dos números de 0 a 9,</p><p>em 7 posições diferentes. Resolveremos esse problema com um arranjo de 10</p><p>algarismos, organizados de 7 em 7.</p><p>Logo, estariam disponíveis 604.800 combinações numéricas diferentes, com o</p><p>número inicial sendo igual a 5.</p><p>3) Uma empresa necessita organizar trios de trabalho para operar três</p><p>equipamentos diferentes, ininterruptamente, durante 30 dias. Considerando que essa</p><p>empresa possua um total de 273 funcionários, de quantas formas diferentes eles podem</p><p>ser organizados, pensando inclusive nas diferentes possibilidades de operação de cada</p><p>um dos equipamentos (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008)?</p><p>Novamente, você precisa organizar um número de funcionários de maneiras</p><p>diferentes, em grupos menores que o total de pessoas que trabalham na empresa.</p><p>Seriam possíveis 20.123.376 trios diferentes, considerando a operação de</p><p>equipamentos distintos.</p><p>25</p><p>4) Em uma confecção de panos de prato, os lotes produzidos deverão conter uma</p><p>sequência de 3 letras. Quantos lotes poderão ser produzidos até que uma nova forma de</p><p>controlar os lotes seja necessária? Nosso alfabeto possui 26 letras que deverão ser</p><p>distribuídas em 3 posições:</p><p>A confecção poderá produzir 15.600 lotes até que uma nova maneira de controlar</p><p>os lotes seja necessária.</p><p>4.4 Combinação</p><p>Combinações são subconjuntos do grupo em que a ordem dos elementos não é</p><p>um fator a ser considerado. (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). Para calcular uma</p><p>combinação simples de n elementos tomados p a p, onde n ≥ 1 e p é um número natural</p><p>tal que p ≤ n são as escolhas não ordenadas de p desses n elementos, utiliza-se a</p><p>seguinte relação:</p><p>26</p><p>Onde:</p><p>n = total de elementos do grupo;</p><p>p = total de elementos por combinação.</p><p>Diferentemente do arranjo, na combinação, não se faz presente a ordem entre</p><p>os elementos, não sendo atribuída posição/qualificação/diferença conforme a disposição</p><p>dos elementos do grupo em questão. Assim, estamos diante de uma combinação</p><p>quando, ao obtermos os agrupamentos possíveis, eles permanecem iguais ao se inverter</p><p>a posição dos elementos.</p><p>Exemplos:</p><p>1) Cinco alunos compõem um grupo de pesquisa que foi selecionado para se</p><p>apresentar em uma feira internacional. No entanto, apenas dois deverão representar essa</p><p>pesquisa. Assim, quantos grupos podem ser formados?</p><p>Note que, para o grupo a ser formado, não existe uma especificação para a</p><p>escolha, assim, estamos diante de um caso de combinação que será resolvido por:</p><p>Logo, podem ser formados 10 grupos diferentes.</p><p>2) Um professor resolveu elaborar 18 questões para compor a sua prova, porém,</p><p>constatou que haveria pouco tempo para a sua resolução e propôs aos seus alunos que</p><p>escolhessem 15 das 18 questões disponíveis. De quantas maneiras cada aluno poderá</p><p>realizar essas escolhas?</p><p>27</p><p>Existem 18 questões disponíveis dentre as quais 15 devem ser escolhidas, como</p><p>a ordem de escolha não foi imposta, o resultado é obtido por:</p><p>Logo, cada aluno tem 816 maneiras diferentes de escolher as questões da prova.</p><p>5 BINÔMIO DE NEWTON</p><p>Descoberto por Isaac Newton, o binômio de Newton é útil para o cálculo de</p><p>potência de um binômio do tipo , ou seja, a soma de duas variáveis distintas</p><p>elevada a determinado valor, facilitando a determinação dessa expressão algébrica que,</p><p>quando n for um número pequeno, é de fácil determinação, caso contrário, é um processo</p><p>muito trabalhoso. A seguir, observe o desenvolvimento de alguns binômios:</p><p>Assim, Newton observou que os termos obtidos pelo desenvolvimento de</p><p>obedecem sempre ao mesmo formato, representado pelo somatório (SANTOS;</p><p>MELLO; MURARI, 2008):</p><p>Onde o número binomial é representado por:</p><p>28</p><p>Nessa temática, alguns termos recebem uma nomeação especial devido às suas</p><p>características, que podem ser observadas a seguir (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008):</p><p> Termo médio ou central: indica o termo que se localiza ao centro perante</p><p>os demais e, se o desenvolvimento ocorrer com um número par, sua</p><p>posição é calculada por</p><p> Termo independente: é a variável cujo expoente é igual a 0.</p><p>Os números binomiais possuem algumas propriedades, ou seja, características</p><p>próprias de sua constituição.</p><p>Se os coeficientes binomiais possuem mesmo numerador e a soma dos</p><p>denominadores é igual ao numerador, ou seja, n, p e k ∈ ℕ e p + k = n, logo:</p><p>Estes são chamados de complementares.</p><p>Exemplo:</p><p>A relação de Stifel afirma que, se n, p e k ∈ ℕ e p ≥ p – 1 ≥ 0, então, é valido que:</p><p>Exemplo:</p><p>29</p><p>O símbolo que se lê “nCr” ou “combinação de n por r”, onde r e n são</p><p>inteiros positivos com r ≤ n, é definido como se segue (SANTOS; MELLO;</p><p>MURARI, 2008):</p><p>Observe que n − (n − r) = r. Isso nos leva à importante relação a seguir:</p><p>Motivados por esse fato, definimos 0! = 1. Afinal:</p><p>Exemplos:</p><p>1) Calcule o sexto termo obtido pela expansão de</p><p>Observe que as informações são: a = a; b = –5b e n = 9, i + 1 = 6, logo, i =5.</p><p>Assim:</p><p>2) Desenvolva a potência descrita por</p><p>Para desenvolver essa potência, é necessário encontrar os termos que a</p><p>compõem. Logo:</p><p>30</p><p>6 TRIÂNGULO DE PASCAL</p><p>O triângulo de Pascal corresponde a uma organização de todos os coeficientes</p><p>binomiais em um formato específico. É um triângulo aritmético dividido entre linhas e</p><p>colunas que se inicia pelo número 0, assim, os números binomiais estudados e</p><p>calculados anteriormente são os componentes constituintes e principais desse polígono,</p><p>como apresentado na Figura 1 (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008).</p><p>Um número binomial pode ser calculado por uma combinação, ou seja,</p><p>encontramos o seu resultado pela relação:</p><p>31</p><p>Desse modo, o triângulo de Pascal pode ser representado também pelos</p><p>resultados numéricos obtidos pelo desenvolvimento desse cálculo, como pode ser</p><p>verificado na Figura 2 (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008).</p><p>Esse intrigante dispositivo matemático sempre foi estudado por inúmeros</p><p>cientistas e, por meio dessas análises, chegou-se à conclusão de algumas propriedades.</p><p> O primeiro e o último elemento de cada linha são sempre equivalentes a</p><p>1.</p><p> Ao longo das linhas do triângulo de Pascal, os elementos distantes uma</p><p>posição dos extremos corresponde aos números naturais, uma vez que:</p><p> Em toda linha, dois números binomiais equidistantes dos extremos são</p><p>iguais, por isso recebem o nome de números binomiais complementares,</p><p>ou seja:</p><p>32</p><p> A soma dos termos de cada linha do triângulo de Pascal é uma potência</p><p>de 2, cujo expoente é o próprio número da linha. Essa relação é descrita</p><p>por:</p><p> A soma dos elementos de qualquer coluna, partindo do elemento até outro</p><p>qualquer, equivale ao elemento localizado na coluna à direita da</p><p>considerada e na linha imediatamente abaixo.</p><p> A soma dos elementos dispostos na mesma diagonal a partir do primeiro</p><p>elemento da primeira coluna até o de qualquer outra é igual ao elemento</p><p>imediatamente abaixo deste (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008).</p><p> Resultados obtidos por potências de onze são encontrados a partir dos</p><p>elementos das linhas do triângulo de Pascal; assim, na primeira linha, há</p><p>o resultado 1 equivalente a 11º já na leitura da segunda linha, é encontrado</p><p>o número 11 frutos de 11¹ na terceira linha, a leitura feita é do número 121</p><p>resultados de 11² e assim sucessivamente.</p><p> Com base na relação de Stifel, todo número que compõe esse triângulo é</p><p>fruto do resultado entre a soma dos dois números localizados acima dele.</p><p>33</p><p>7 APLICAÇÃO DA ANÁLISE COMBINATÓRIA</p><p>Conforme Safier (2011), a análise combinatória consiste na arte de identificar</p><p>uma sequência de possibilidades e contabilizá-la. Logo, perante essa amplitude de</p><p>oportunidades, relacionar esses fundamentos torna-se uma tarefa fácil, uma</p><p>vez que</p><p>vários ramos da ciência podem estar inseridos nessa dinâmica, conforme demonstram</p><p>os exemplos a seguir.</p><p>7.1 Geometria plana</p><p>Geometria plana é um ramo da matemática que se dedica ao estudo das figuras</p><p>planas e de suas respectivas concepções. Assim, relacionar esses fundamentos aos de</p><p>combinatória possibilita a contagem de quantidade de circunferências possíveis de serem</p><p>construídas, ou ainda, a contabilização de triângulos dada uma quantidade de pontos.</p><p>Observe atentamente as resoluções a seguir e acompanhe essa associação de</p><p>conteúdos da matemática.</p><p>Exemplos:</p><p>1) Quantos triângulos distintos podem ser formados utilizando os 14 pontos</p><p>dispostos em um plano? Admita que não existem 3 pontos alinhados.</p><p>Atente-se ao fato de que, para construir um triângulo, são necessários 3 pontos</p><p>quaisquer desde que não se encontrem alinhados. Como a informação é de que esse</p><p>fato não ocorre entre os pontos disponíveis, o total de triângulos pode ser calculado pela</p><p>combinação desses pontos tomados 3 a 3, ou seja:</p><p>Assim, é possível concluir que 364 triângulos distintos podem ser formados.</p><p>2) Sob uma circunferência, são marcados 10 pontos distintos. Quantos</p><p>quadrados distintos podem ser traçados com os vértices nesses pontos?</p><p>34</p><p>Note que, para traçar um quadrado, são necessários quatro pontos distintos,</p><p>logo, ao calcular a combinação desses pontos, é possível determinar o resultado</p><p>almejado.</p><p>Assim, 210 quadrados diferentes podem ser construídos a partir dos pontos da</p><p>circunferência.</p><p>7.2 Computação</p><p>Na computação, em geral, várias situações englobando problemas de contagem</p><p>ocorrem. As concepções dessa temática possibilitam o desenvolvimento de linguagens</p><p>de programação, criptografia e software. A seguir, são apresentados alguns exemplos</p><p>relacionados a computação que necessitam das relações estudadas pela análise</p><p>combinatória (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008).</p><p>Exemplos:</p><p>1) Em um sistema computacional que possui cinco unidades de entrada/saída A,</p><p>B, C, D e E e quatro processadores X, Y, Z e W, sabe-se que qualquer unidade de</p><p>entrada/saída pode ser conectada a um processador. Quantas maneiras distintas</p><p>possibilitam a conexão entre uma unidade de entrada/saída a um processador? Note que</p><p>esse problema representa uma situação típica do princípio fundamental da contagem, em</p><p>que a solução é encontrada pela multiplicação entre as possibilidades de cada evento,</p><p>logo:</p><p>5 × 4 = 20</p><p>Assim, existem 20 possibilidades diferentes de se estabelecer essa conexão</p><p>entre o computador e a unidade de entrada/saída.</p><p>35</p><p>2) Uma sequência de caracteres utilizada para indicar palavras, frases ou textos</p><p>na programação de computadores recebe o nome de string, assim, quantos strings de 8</p><p>bits possuem exatamente quatro bits 1’? Para descobrir o resultado, basta calcular a</p><p>combinação desses elementos, ou seja:</p><p>Logo, existem 70 possibilidades distintas de constituir strings mediante as</p><p>condições apresentadas.</p><p>8 PROBABILIDADE</p><p>A teoria das probabilidades é um ramo da matemática que cria, elabora e</p><p>pesquisa modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios.</p><p>Há certos fenômenos (ou experimentos) que, embora sejam repetidos muitas</p><p>vezes e sob condições idênticas, não apresentam os mesmos resultados. Por exemplo,</p><p>no lançamento de uma moeda perfeita, o resultado é imprevisível, não se pode</p><p>determiná-lo antes de ser realizado e não podemos prever, mas podemos saber quais</p><p>são os possíveis resultados. Aos fenômenos (ou experimentos) desse tipo damos o nome</p><p>de fenômenos aleatórios (ou casuais).</p><p>Pelo fato de não sabermos o resultado exato de um fenômeno aleatório é que</p><p>buscamos os resultados prováveis, as chances e as probabilidades de um determinado</p><p>resultado ocorrer.</p><p>36</p><p>8.1 Espaço amostral</p><p>O espaço amostral, também chamado de universo, é um conjunto que possui</p><p>todos os pontos amostrais de um evento aleatório, por exemplo, quando se referir ao</p><p>experimento lançar uma moeda, ele será formado por cara e coroa. Além disso, como se</p><p>trata de um conjunto, qualquer notação deste pode representá-lo (SANTOS; MELLO;</p><p>MURARI, 2008).</p><p>Assim, o espaço amostral, seus subconjuntos e as operações que o envolvem</p><p>herdam as propriedades e operações dos conjuntos numéricos, por isso, pode-se dizer</p><p>que os possíveis resultados do lançamento de duas moedas são:</p><p>Nesse caso, S representa o conjunto de pares ordenados, formados pelos</p><p>resultados dos dois dados. Já o número de elementos de um espaço amostral é</p><p>representado da seguinte maneira: dado o espaço amostral Ω, o número de elementos</p><p>de Ω é n(Ω).</p><p>Em um experimento (ou fenômeno) aleatório, o conjunto formado por todos os</p><p>resultados possíveis é chamado espaço amostral, que vamos indicar por U ou Ω.</p><p>Veja os seguintes exemplos.</p><p> Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima: U = {cara, coroa}.</p><p> Lançar um dado e observar a face voltada para cima: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.</p><p>37</p><p>8.2 Evento</p><p>Chama-se evento todo subconjunto de um espaço amostral, ou seja, os</p><p>resultados que poderão ocorrer em um determinado fenômeno. Resultados esses que</p><p>queremos que aconteçam ou não.</p><p>No lançamento de um dado, por exemplo, em relação à face voltada para cima,</p><p>podemos ter os seguintes eventos (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008).</p><p> O número é par: {2, 4, 6}.</p><p> O número é menor que 5: U = {1, 2, 3, 4}.</p><p> O número é 8: {}.</p><p>9 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES E EVENTOS COMPLEMENTARES</p><p>Eventos que não podem ocorrer conjuntamente são conhecidos com eventos</p><p>mutuamente excludentes (também chamados de eventos mutuamente exclusivos). Caso</p><p>dois ou mais eventos sejam mutuamente excludentes, no máximo um deles irá ocorrer a</p><p>cada vez que repetirmos o experimento. Por conseguinte, a ocorrência de um evento</p><p>exclui a ocorrência do outro, ou de outros eventos.</p><p>38</p><p>Considerando, por exemplo, dois lançamentos de uma moeda, esse experimento</p><p>tem quatro resultados possíveis: cara/cara, cara/coroa, coroa/cara, coroa/coroa. Esses</p><p>resultados são mutuamente excludentes, uma vez que um, e somente um, deles irá</p><p>ocorrer ao lançarmos a moeda duas vezes.</p><p>Chama-se evento complementar de um evento A e é representado por Ā o</p><p>conjunto formado por todos os elementos do espaço amostral U que não pertencem ao</p><p>evento A (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008).</p><p>No lançamento de um dado, temos o seu espaço amostral: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.</p><p>Considere os eventos a seguir.</p><p> O evento A: o número obtido é menor que 3.</p><p> O evento Ā: o número obtido é maior ou igual a 3.</p><p>Observe que os eventos A = {1, 2} e Ā = {3, 4, 5, 6}. Estes são complementares,</p><p>pois, A ∩ Ā = { } e A Ā = U, a interseção (o que há de comum entre os conjuntos) entre</p><p>os dois conjuntos resulta em um resultado vazio, visto que os dois conjuntos não</p><p>possuem resultados em comum, e a união (unir todos os elementos dos conjuntos</p><p>envolvidos) entre os dois conjuntos resulta no conjunto espaço amostral U.</p><p>9.1 Eventos independentes e eventos dependentes</p><p>Dois eventos são independentes quando a ocorrência ou a não ocorrência de um</p><p>evento não tem efeito algum na probabilidade de ocorrência do outro evento. Dois</p><p>eventos são dependentes quando a ocorrência ou a não ocorrência de um evento afeta</p><p>a probabilidade de ocorrência do outro evento.</p><p>Os eventos independentes e dependentes são chamados de com e sem</p><p>reposição, respectivamente.</p><p>Com reposição significa o retorno do evento sorteado ao seu conjunto de origem.</p><p>É isso que mantém a probabilidade de sorteio constante, portanto, não se altera a</p><p>probabilidade de sorteio do evento seguinte.</p><p>39</p><p>Sem reposição significa o não retorno do evento sorteado ou do seu conjunto de</p><p>origem, alterando a probabilidade de sorteio do evento seguinte.</p><p>Exemplo de evento independente:</p><p>Dois lançamentos sucessivos de uma moeda não viciada são considerados como</p><p>eventos</p><p>independentes, uma vez que o resultado do primeiro lançamento não tem efeito</p><p>algum nas probabilidades de ocorrer uma cara ou uma coroa no segundo lançamento</p><p>(SANTOS; MELLO; MURARI, 2008).</p><p>Exemplo de evento dependente:</p><p>A retirada de duas bolas, sem reposição, de uma urna contendo 20 bolas</p><p>numeradas de 1 a 20 são dependentes, pois as probabilidades do resultado da retirada</p><p>da segunda bola estão diretamente ligadas a retirada da primeira bola. Especificamente,</p><p>se na primeira bola retirada saiu a de número 10, e se não houver reposição, com certeza</p><p>não existirá a probabilidade de que, na segunda retirada, a bola 10 apareça, pois esta</p><p>não se encontra mais na urna, ou seja, a primeira retirada afetou completamente as</p><p>probabilidades de retirada da segunda bola.</p><p>10 CÁLCULO DE PROBABILIDADE</p><p>Como se calcular questões e/ou experimentos de probabilidade? Considere uma</p><p>área muito visitada no Museu de Animais. Em um recipiente, existem 12 aranhas, das</p><p>40</p><p>quais 8 são fêmeas. A probabilidade de se retirar uma aranha macho para um</p><p>experimento é de?</p><p>No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair um número</p><p>maior do que 4?</p><p>Em uma urna existem 20 bolas numeradas de 1 a 20. Sorteando-se uma bola,</p><p>ao acaso, qual é a probabilidade, em porcentagem, de que o número da bola sorteada</p><p>seja divisível por 3?</p><p>Considere o lançamento de três dados comuns. Qual é a probabilidade de que</p><p>a soma dos valores sorteados seja igual a 5? Maria ganhou de João nove pulseiras,</p><p>quatro delas de prata e cinco de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas</p><p>de prata e três de ouro. Ela guarda todas essas pulseiras e apenas essas em sua</p><p>pequena caixa de joias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema</p><p>com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de joias. Ela vê,</p><p>então, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a</p><p>probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que</p><p>ganhou de João é igual a?</p><p>Uma urna contém 8 bolas, das quais três são vermelhas e as restantes são</p><p>brancas. Qual a probabilidade de, ao retirar duas bolas sucessivamente, sem reposição,</p><p>obtermos a 1ª vermelha e a 2ª branca?</p><p>Para se calcular as probabilidades de ocorrer determinado evento, como os</p><p>casos apresentados acima, além dos conceitos de espaço amostral, eventos e tipos de</p><p>eventos, apresentados neste capítulo anteriormente, foi preciso saber diferenciar os tipos</p><p>de probabilidade, que veremos adiante: probabilidade de um evento em um espaço</p><p>amostral finito; probabilidade condicional; e probabilidades de eventos independentes.</p><p>Além de sabermos apresentar os cálculos de probabilidade nas 3 maneiras diferentes de</p><p>apresentação: valor fracionário, valor numérico e valor percentual (SANTOS; MELLO;</p><p>MURARI, 2008).</p><p>41</p><p>10.1 Resultados da probabilidade</p><p>Como citado anteriormente, podemos apresentar os resultados obtidos nos</p><p>cálculos de probabilidade de três maneiras diferentes:</p><p>Valor fracionário: quando se faz um cálculo de probabilidade, como veremos</p><p>adiante, o primeiro resultado obtido é o fracionário, em que temos um número que fica</p><p>na parte superior da fração, chamado de numerador, e outro valor, na parte inferior da</p><p>mesma fração, chamado de denominador (a/b).</p><p>Exemplo:</p><p>Valor numérico: quando acharmos o valor fracionário e realizarmos a divisão</p><p>proposta, ou seja, o numerador (em cima) dividido pelo denominador (embaixo) obterá</p><p>um resultado, que chamaremos de valor numérico. É o resultado da divisão do valor</p><p>fracionário.</p><p>Exemplo:</p><p>Valor percentual: ao chegarmos ao valor numérico, podemos transformar</p><p>qualquer um deles em valor percentual, apenas multiplicando o valor por 100 (cem) e</p><p>após colocar o símbolo de porcentagem (%).</p><p>Exemplo: 0,40 × 100 = 40% (quarenta por cento).</p><p>Os resultados podem ser apresentados em qualquer uma das três maneiras, isso</p><p>vai depender do que for pedido no enunciado de algum problema/questão/ experimento.</p><p>11 PROBABILIDADE DE UM EVENTO EM UM ESPAÇO AMOSTRAL FINITO</p><p>A probabilidade de um evento em um espaço amostral finito também é conhecida</p><p>como probabilidade clássica. A regra da probabilidade clássica é aplicada para se</p><p>calcularem as probabilidades de eventos a um experimento para o qual os resultados</p><p>sejam igualmente possíveis (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008).</p><p>42</p><p>Dado um experimento aleatório, sendo U o seu espaço amostral, vamos admitir</p><p>que todos os elementos de U tenham a mesma chance de acontecer</p><p>Chamamos de probabilidade de um evento A o número real P(A), tal que:</p><p>Todas as possíveis respostas favoráveis (eventos) são divididas por todas de</p><p>respostas possíveis (espaço amostral) (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008).</p><p>43</p><p>No início do texto referente ao título Cálculo de probabilidade, apresentamos</p><p>várias questões sobre probabilidade. Vamos aproveitar agora que aprendemos a calcular</p><p>a probabilidade de um evento em um espaço amostral finito (probabilidade clássica) e</p><p>resolvermos estas (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008):</p><p>1) Considere uma área muito visitada do Museu de Animais. Em um recipiente</p><p>existem 12 aranhas, das quais 8 são fêmeas. A probabilidade de se retirar uma aranha</p><p>macho para um experimento é de quanto?</p><p>Solução:</p><p>No total, existem 12 aranhas no recipiente e todas elas possuem a mesma</p><p>possibilidade de serem sorteadas (espaço amostral) e queremos sortear aranhas- -</p><p>macho. Se o problema apresenta que 8 das aranhas são fêmeas, então 4 são machos</p><p>(evento).</p><p>Colocando os valores na fórmula:</p><p>44</p><p>2) No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair um número</p><p>maior do que 4 (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008)?</p><p>Solução:</p><p>Um dado possui 6 faces numeradas, ou seja, os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6</p><p>possuem as mesmas possibilidades, ao jogarmos o dado, da face desse número cair</p><p>voltada para cima (espaço amostral). O problema pede a probabilidade de sair a face</p><p>para cima de um número maior do que 4. Temos como possíveis respostas os números</p><p>5 e 6 (evento).</p><p>Colocando na fórmula:</p><p>3) Em uma urna existem 20 bolas numeradas de 1 a 20. Sorteando uma bola, ao</p><p>acaso, qual é a probabilidade, em porcentagem, de que o número da bola sorteada seja</p><p>divisível por 3?</p><p>Solução:</p><p>Na urna existem 20 bolas numeradas de 1 a 20, em que todas possuem a mesma</p><p>possibilidade de serem retiradas (espaço amostral). O problema quer calcular a</p><p>probabilidade de se retirar uma bola, cujo número seja divisível por 3. Esses números</p><p>são: 3, 6, 9, 12, 15 e 18, ou seja, temos 6 possíveis números que são favoráveis ao que</p><p>o problema está solicitando (evento).</p><p>Colocando na fórmula:</p><p>45</p><p>4) Considere o lançamento de três dados comuns. Qual é a probabilidade de que</p><p>a soma dos valores sorteados seja igual a 5 (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008)?</p><p>Solução:</p><p>Em primeiro lugar, precisamos calcular o valor do espaço amostral e da</p><p>quantidade de possíveis respostas. Utilizando a operação que foi citada no Fique Atento</p><p>acima, como estamos jogando 3 dados ao mesmo tempo, vamos utilizar a operação:</p><p>O problema está solicitando as respostas em que a soma de todos os dados ao</p><p>mesmo tempo sejam 5. Vamos achar essas possíveis respostas: (1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1,</p><p>1), (1, 2, 2), (2, 1, 2) e (2, 2, 1), totalizando 6 possíveis respostas favoráveis. Colocando</p><p>na fórmula:</p><p>Simplificando, ou seja, dividindo os dois valores por 6, chegamos ao</p><p>valor final</p><p>1</p><p>36</p><p>(valor fracionário). A cada 36 vezes que jogarmos os 3 dados ao mesmo</p><p>tempo, 1 das jogadas dará como soma de todos os números o valor 5.</p><p>46</p><p>12 PROBABILIDADE CONDICIONAL</p><p>A probabilidade condicional refere-se à probabilidade de um evento ocorrer com</p><p>base em um anterior e, evidentemente, ambos precisam ser conjuntos não vazios</p><p>pertencentes a um espaço amostral finito. Por exemplo, se no</p><p>lançamento simultâneo de</p><p>dois dados obtêm-se números em suas faces superiores, qual a probabilidade de que a</p><p>soma desses números seja 8, desde que seus resultados sejam ímpares? Veja que ela</p><p>está condicionada aos resultados ímpares nos dois dados, logo, lançamentos que têm</p><p>um ou dois números pares na face superior podem ser descartados, havendo uma</p><p>redução no espaço amostral (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008).</p><p>O novo espaço amostral é composto dos seguintes pares:</p><p>{1,1}; {1,3}; {1,5}; {3,1}; {3,3}; {3,5}; {5,1}; {5,3} e {5,5}.</p><p>Desses, apenas {3,5} e {5,3} possuem soma 8. Logo, a probabilidade de se obter</p><p>8 no lançamento de dois dados é de 2/9, considerando que os resultados obtidos são</p><p>ambos ímpares. Para entender melhor a probabilidade condicional, considere um espaço</p><p>amostral S finito não vazio e um evento A de S, se quiser outro evento B desse espaço</p><p>S, a nova probabilidade é indicada por P(B|a), denominada como a probabilidade</p><p>condicional de B em relação ao A. Assim, ela formará um novo espaço amostral, pois</p><p>agora este será A e os elementos do evento B pertencerão a B ∩ A, como você pode ver</p><p>na Figura 2.</p><p>47</p><p>Há diversos casos para ilustrar a probabilidade condicional, por exemplo, as</p><p>chances de um bebê nascer menina é um evento A, mas a probabilidade de essa criança</p><p>ter doença celíaca (intolerância ao glúten) se trata de um evento B. Essa situação pode</p><p>ser considerada uma probabilidade condicional, porque a doença celíaca atinge mais</p><p>mulheres do que homens. Se as chances fossem iguais para pessoas dos dois gêneros,</p><p>esses eventos não estariam condicionados e seriam uma probabilidade marginal ou</p><p>incondicional, pois, a possibilidade de que um deles ocorra não influencia na do outro</p><p>(SANTOS; MELLO; MURARI, 2008).</p><p>Assim, se os eventos forem independentes, a probabilidade não será</p><p>condicional, pois você representa a probabilidade condicional com a seguinte expressão:</p><p>P (A|B), que se lê “a probabilidade condicional de A em relação a B”. Já a fórmula para</p><p>calculá-la é:</p><p>P (A|B) = P(A∩B)/P(B)</p><p>Quando dois eventos são independentes, a probabilidade de ocorrerem ao</p><p>mesmo tempo é dada por:</p><p>P(A∩B) = P(A).P(B)</p><p>Já se você colocar isso na fórmula da probabilidade condicional, encontrar:</p><p>48</p><p>P (A|B) = P(A∩B)/P(B)</p><p>P (A|B) = P(A).P(B)/P(B)</p><p>P (A|B) = P(A).P(B)/P(B)</p><p>P(A|B) = P(A)</p><p>Portanto, a probabilidade de A ocorrer não se altera.</p><p>Se a probabilidade de ocorrência de um evento B interfere na probabilidade de</p><p>ocorrência de um evento A, então dizemos que a probabilidade de A está condicionada</p><p>à probabilidade de B e representamos por P(A/B). Lê-se: probabilidade de A dado B</p><p>(SANTOS; MELLO; MURARI, 2008).</p><p>A/B significa a ocorrência do evento A sabendo que o evento B já ocorreu ou</p><p>que a ocorrência de B esteja garantida (os eventos A e B são dependentes).</p><p>49</p><p>Resolvendo o problema citado anteriormente:</p><p>Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco de ouro.</p><p>Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três de ouro. Ela guarda</p><p>todas essas pulseiras, e apenas essas em sua pequena caixa de joias. Uma noite,</p><p>arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma</p><p>pulseira de sua pequena caixa de joias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata.</p><p>Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria</p><p>retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a (SANTOS; MELLO;</p><p>MURARI, 2008)?</p><p>Solução:</p><p>50</p><p>Verificamos que a condição é ser uma pulseira de prata, por isso, precisamos</p><p>saber o total de pulseiras de prata que Maria ganhou: 12.</p><p>Ela quer saber a probabilidade de que essa pulseira que ela está pegando no</p><p>escuro tenha sido dada de presente pelo João. Então, precisamos verificar quantas</p><p>pulseiras de prata João deu de presente: 4.</p><p>Utilizando a fórmula:</p><p>12.1 Probabilidade de eventos independentes</p><p>Dois eventos, A e B, são chamados independentes quando a probabilidade de</p><p>ocorrência de um deles não interfere na probabilidade de ocorrência do outro, ou seja</p><p>(SANTOS; MELLO; MURARI, 2008):</p><p>P(B/A) = P(B) ou P(A/B) = P(A)</p><p>Se A e B são eventos independentes, então a probabilidade de ocorrência de A</p><p>e B será:</p><p>P(A ∩ B) = P(A) × P(B)</p><p>51</p><p>Resolvendo o problema citado anteriormente:</p><p>Uma urna contém 8 bolas, das quais três são vermelhas e as restantes são</p><p>brancas. Qual a probabilidade de serem retiradas duas bolas, sucessivamente, sem</p><p>reposição, sendo a 1ª vermelha e a 2ª branca (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008)?</p><p>Solução:</p><p>Calculando a probabilidade de ocorrer o primeiro evento, em que dentro da urna</p><p>há 8 bolas (espaço amostral) e queremos sortear uma bola vermelha, tendo, dentro da</p><p>urna, um total de 3 dessa cor (evento):</p><p>52</p><p>Calculando a probabilidade de ocorrer o segundo evento, e sabendo que não</p><p>houve reposição, dentro da urna há 7 bolas (espaço amostral), e queremos sortear, desta</p><p>vez, uma bola branca, sabendo que, dentro dessa urna, há um total de 5 bolas dessa cor</p><p>(evento):</p><p>Calculando a probabilidade de que os eventos ocorram como fora solicitado,</p><p>utilizaremos a fórmula da probabilidade dos eventos independentes:</p><p>13 TEOREMA DE BAYES</p><p>O teorema de Bayes é uma fórmula matemática usada para o cálculo da</p><p>probabilidade de um evento dado que outro já ocorreu, o que se chama probabilidade</p><p>condicional. Para esse teorema, precisa-se ter alguma informação anterior ou saber que</p><p>determinado evento já ocorreu e qual sua probabilidade. Baseada nessa inferência</p><p>bayesiana, surge a expressão grau de crença, ou a confiança em algum evento anterior</p><p>(SANTOS; MELLO; MURARI, 2008).</p><p>53</p><p>Uma das muitas aplicações do teorema de Bayes é a inferência bayesiana, uma</p><p>abordagem particular da inferência estatística. Assim, quando for aplicado, as</p><p>probabilidades envolvidas nele podem ter diferentes interpretações de probabilidade.</p><p>Com a interpretação bayesiana, o teorema expressa como a probabilidade de um</p><p>evento (ou seu grau de crença) deve ser alterada após considerar as evidências sobre</p><p>sua ocorrência. Apesar do pioneirismo, essa abordagem caiu em esquecimento nas</p><p>ciências e foi preterida pela frequentista, que ainda é hegemônica, mas devido ao grande</p><p>aumento na capacidade de processamento dos computadores, a bayesiana renasceu</p><p>com muita força.</p><p>Para calcular pelo teorema de Bayes a probabilidade de um evento A dado que</p><p>um B ocorreu, P(A|B), tem-se a seguinte fórmula:</p><p>Em que,</p><p>P(B|A): probabilidade de B acontecer dado que A ocorreu;</p><p>P(A): probabilidade de A ocorrer;</p><p>P(B): probabilidade de B ocorrer.</p><p>14 APLICAÇÃO DA PROBABILIDADE NA INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL</p><p>A inteligência artificial é um campo amplo há muitas décadas, que vem sendo</p><p>impulsionado rapidamente com a informática e a computação. Sua aplicação nos</p><p>sistemas especialistas procura escrever programas que copiem e reproduzam os modos</p><p>como os seres humanos pensam, falam, compreendem e aprendem, elaborando uma</p><p>réplica da inteligência humana e aplicando-a nas diversas áreas da empresa.</p><p>Esses sistemas especialistas aplicam a inteligência artificial nas empresas e,</p><p>segundo O´Brien (2004), situam-se na área da ciência cognitiva, a qual utiliza disciplinas</p><p>como biologia, neurologia, psicologia e matemática para verificar como os seres humanos</p><p>aprendem, criam e desenvolvem as aplicações baseadas no conhecimento com</p><p>54</p><p>acompanhamento de um especialista. Trata-se de sistemas que agem e comportam-se</p><p>como um ser humano, utilizados para solucionar problemas em áreas específicas da</p><p>empresa.</p><p>Os dois grandes paradigmas para o desenvolvimento de sistemas especialistas</p><p>em inteligência artificial são o simbólico e o subsimbólico (conexionista). No paradigma</p><p>conexionista, utiliza-se técnicas de redes neurais para representar e solucionar</p><p>problemas em um domínio específico, sendo aplicável aos domínios nos quais a forma</p><p>de raciocínio do especialista não pode ser totalmente explicitada. No simbólico, por sua</p><p>vez, o conhecimento é disposto em uma base de conhecimentos, em que as inferências</p><p>são representadas por meio de regras do tipo SE-ENTÃO. Geralmente, o raciocínio do</p><p>sistema se baseia em uma árvore de decisões, mas nesse caso, o conhecimento do</p><p>especialista deve ser adquirido e representado do modo mais aprofundado possível para</p><p>permitir que o sistema emule seu comportamento.</p><p>A rede bayesiana trabalha com relações causais quantificadas por valores de</p><p>probabilidade condicional e, segundo Murteira (1990), “a causalidade é a vantagem de</p><p>nossa existência e a desvantagem de nossa matemática. Acreditamos em causalidade</p><p>em nossas interações com a realidade, mas é difícil capturá-la em nossos modelos”.</p><p>Portanto, considerando que a causa precede o efeito, é fundamental ter um processo</p><p>unidirecional para modelar a causalidade se B causa A, então B ocorre antes de A. Já no</p><p>contexto da lógica clássica, a implicação não capta uma relação causal por problemas</p><p>de falta de direcionalidade, em que (B->A) é equivalente a (]B->]A), assim não permite</p><p>que a causalidade seja modelada.</p><p>As redes bayesianas são compostas de duas partes complementares: uma</p><p>qualitativa e outra quantitativa (GAAG, 1996). A parte qualitativa é um modelo gráfico</p><p>(grafo acíclico direcionado), em que as variáveis incluem os nodos e as regras, relações</p><p>de dependência entre elas, chamadas de arcos direcionados. Assim, um arco ligando as</p><p>variáveis A e B (na forma A->B) indica que a variável B é a consequência e a variável A</p><p>se trata da causa, apresentando uma relação de dependência resumida na regra “se A</p><p>então B”. Porém, se não houver um arco ligando duas variáveis, assume-se que elas são</p><p>independentes.</p><p>55</p><p>Nos sistemas especialistas probabilísticos, os valores de probabilidade refletem</p><p>a crença do especialista sobre o que espera que ocorra em situações similares às que</p><p>têm experiência e aprendeu ao longo de sua vivência. Assim, ele tenta extrapolar com</p><p>base em experiência e aprendizado no domínio de aplicação.</p><p>56</p><p>REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS</p><p>14.1 Bibliografia Básica</p><p>HAZZAN, S. Fundamentos de Matemática Elementar- Volume 5. 7ª.ed. São Paulo:</p><p>Atual, 2004.</p><p>MORGADO, A.C.O.; CARVALHO, J. B.P; CARVALHO, P.C.; FERNANDEZ, P. Análise</p><p>combinatória e Probabilidade. Rio de Janeiro: SBM, 2005.</p><p>SANTOS, J.P.O.; MURARI, I.T.C.; MELLO, M.P. Introdução à análise combinatória. 4ª</p><p>ed. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2007.</p><p>14.2 Bibliografia Complementar</p><p>ALMEIDA, M. C. Origens dos numerais. In: SEMINÁRIO DE HISTÓRIA DA</p><p>MATEMÁTICA, 4., 2001, São Paulo. Anais [...]. São Paulo: SBHMat, 2001. p. 119–130.</p><p>ANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS, T. A. Estatística aplicada à</p><p>administração e economia. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011.</p><p>ARAGÃO, M. J. História da matemática. Rio de Janeiro: Interciência, 2009</p><p>BARBETTA, P. A.; REIS, M. M.; BORNIA, A. C. Estatística: para cursos de engenharia</p><p>e informática. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2010.</p><p>BOYER, C. B. História da matemática. 2. ed. São Paulo: Blucher, 1996.</p><p>BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da matemática. São Paulo: Blucher, 2012</p><p>BRITO, R. Probabilidade condicional: o que é, exemplos e exercícios! Stoodi, 22 jul.</p><p>2018. Disponível em: https://www.stoodi.com.br/blog/2018/07/11/probabilidade- -</p><p>condicional/. Acesso em: 19 abril 2021.</p><p>CAVALCANTI, G. D. C. Coeficientes binomiais e o Triângulo de Pascal. Recife: UFPE,</p><p>2006. Notas de aula da disciplina Matemática Discreta, do Centro de Informática, da</p><p>Universidade Federal de Pernambuco. Disponível em: https://www.cin.ufpe.br/~gdcc/</p><p>matdis/aulas/binomial.pdf. Acesso em: 19 abril 2021.</p><p>DANTAS, C. A. B. Probabilidade: um curso introdutório. 3. ed. São Paulo: EDUSP,</p><p>2008.</p><p>57</p><p>DIAS, V. G. Quadratura: da antiguidade à atualidade. 2014. Dissertação (Mestrado</p><p>Profissional em Matemática) — Programa de Pós-Graduação em Matemática, Centro de</p><p>Ciência e Tecnologia, Universidade Federal de Campina Grande, Campina Grande,</p><p>2014.</p><p>LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Matemática discreta. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2013.</p><p>(Coleção Schaum). (Coleção Schaum).</p><p>MANN, P. S. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2006</p><p>MORETTIN, L. G. Estatística básica: probabilidade e inferência. São Paulo: Pearson</p><p>Prentice Hall, 2010.</p><p>MURTEIRA, B. J. F. Probabilidades e estatística. 2. ed. Lisboa: McGraw-Hill, 1990. 2</p><p>v.</p><p>ROSEN, K. H. Matemática discreta e suas aplicações. 6. ed. Porto Alegre: AMGH,</p><p>2009</p><p>SAFIER, F. Pré-Cálculo. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.</p><p>SAMPAIO, F. A. Matemágica: história, aplicações e jogos matemáticos. São Paulo:</p><p>Papirus, 2018a. v. 1. E-book.</p><p>SAMPAIO, F. A. Matemágica: história, aplicações e jogos matemáticos. São Paulo:</p><p>Papirus, 2018b. v. 2. E-book.</p><p>SANTOS, J. P. O.; MELLO, M. P.; MURARI, I. T. C. Introdução à análise combinatória.</p><p>4. ed. Campinas: Ed. Unicamp, 2008.</p><p>SILVEIRA, J. F. Raciocínio lógico matemático: curso completo preparatório para</p><p>concursos. [2015?]. Disponível em: . Acesso em: 19 abril 2021.</p><p>SPIEGEL, M. R.; SCHILLER, J.; SRINIVASAN, A. Probabilidade e estatística. 3. ed.</p><p>Porto Alegre: Bookman, 2012. (Coleção Schaum).</p><p>SPIEGEL, M. R.; STEPHENS, L. J. Estatística. 4. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009.</p><p>(Coleção Schaum)</p><p>TABORDA, A. Mapa mental: probabilidade. Desconversa, 13 ago. 2015. Disponível em:</p><p>https://descomplica.com.br/blog/matematica/mapa-mental-probabilidade/. Acesso em:</p><p>19 abril 2021.</p>