1 Probabilidade

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<p>1. Teoria da probabilidade</p><p>A Teoria da Probabilidade é um campo da matemática que lida com a análise e quantificação da incerteza. Ela fornece uma estrutura para entender como eventos aleatórios se comportam e como podemos atribuir valores numéricos às chances de ocorrência desses eventos. A teoria tem aplicações em diversas áreas, desde estatística e ciência da computação até finanças, ciências naturais e sociais.</p><p>Conceitos Fundamentais:</p><p>Experimento Aleatório: O primeiro conceito na teoria da probabilidade é o Experimento Aleatório que é um processo que leva a resultados não previsíveis com certeza. Exemplos incluem lançar um dado, jogar uma moeda ou medir a altura das pessoas em uma multidão.</p><p>Espaço Amostral (Ω): O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Por exemplo, em um lançamento de moeda, os resultados possíveis são "cara" e "coroa". O espaço amostral, nesse caso, seria {cara, coroa}.</p><p>Um espaço amostral pode ser:</p><p>· Finito: exemplo: face obtida em um lançamento de um dado. Neste caso Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ou,</p><p>· Infinito: exemplo: observar o tempo de vida de um equipamento eletrônico. Neste caso Ω =R+.</p><p>Se o espaço amostral é infinito, este ainda pode ser:</p><p>· Enumerável (contável): exemplo: número de veículos que passam por um coletor de tráfego por dia, num período de tempo indeterminado. O espaço amostral pode ser definido como Ω = N, ou,</p><p>· não enumerável (um intervalo): exemplo: verificar a altura do nível da água em um açude.</p><p>Deste modo, pode-se classificar um espaço amostral da seguinte maneira.</p><p>· Caso o espaço amostral seja finito ou infinito contável, este é dito ser um espaço amostral discreto. Exemplo: Seja o experimento: “contar o número de peças com defeito num lote”: neste caso o espaço amostral é discreto (enumerável), Ω =N;</p><p>· Caso seja não enumerável (um intervalo da reta), tem-se um espaço amostral contínuo. Seja o experimento: “medir o tempo de execução de um algoritmo”: neste caso o espaço amostral é contínuo (não enumerável, um intervalo da reta), Ω = R∗+.</p><p>Evento: Um evento é um subconjunto do espaço amostral, ou seja, é um conjunto de resultados possíveis. Pode ser um evento simples (um único resultado) ou um evento composto (mais de um resultado). Usando o exemplo da moeda, o evento "cara" é um evento simples, enquanto "cara ou coroa" é um evento composto.</p><p>Evento Independente: Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência (ou não ocorrência) de um não afetar a probabilidade do outro ocorrer. Matematicamente, P(A | B) = P(A) e P(B | A) = P(B).</p><p>Eventos mutuamente exclusivos são aqueles cuja ocorrência de um elimina a possibilidade de ocorrência do outro. Neste caso a probabilidade de ocorrência de um ou outro evento é expressa por:</p><p>Probabilidade: A probabilidade é uma medida numérica que expressa a chance de um evento ocorrer. Ela varia entre 0 (evento impossível) e 1 (evento certo). A probabilidade de um evento A é denotada por P(A).</p><p>Abordagens da Teoria da Probabilidade:</p><p>Existem três abordagens principais para definir a probabilidade:</p><p>Probabilidade Clássica: Usada quando todos os resultados são igualmente prováveis. A probabilidade de um evento é o número de resultados favoráveis dividido pelo número total de resultados possíveis.</p><p>Para expressar a probabilidade na forma de porcentagem, basta multiplicar o resultado por 100.</p><p>Exemplo: Se lançarmos um dado perfeito, qual a probabilidade de sair um número menor que 3?</p><p>Resolução: Sendo o dado perfeito, todas as 6 faces têm a mesma chance de caírem voltadas para cima. Vamos então, aplicar a fórmula da probabilidade. Para isso, devemos considerar que temos 6 casos possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6) e que o evento "sair um número menor que 3" tem 2 possibilidades, ou seja, sair o número 1 ou 2. Assim, temos:</p><p>Para responder na forma de uma porcentagem, basta multiplicar por 100.</p><p>Portanto, a probabilidade de sair um número menor que 3 é de 33%.</p><p>Probabilidade Empírica: Baseada em observações e experimentos. A probabilidade de um evento é estimada pelo número de vezes que o evento ocorre dividido pelo número total de experimentos.</p><p>Exemplo: Uma escola particular pretende oferecer um treinamento esportista aos seus alunos. Dos 300 alunos entrevistados, 142 optaram pelo voleibol, 125 indicaram o basquete e 33 indicaram o futebol. Selecionado aleatoriamente um desses alunos, qual a probabilidade de obter alguém que prefere o voleibol?</p><p>À medida que o número de observações aumenta, as aproximações tendem a ficar cada vez mais próximas da probabilidade efetiva.</p><p>Probabilidade Subjetiva: Esta abordagem envolve atribuir probabilidades com base no conhecimento prévio, crenças e experiência pessoal. Ela é frequentemente usada em situações onde a probabilidade não pode ser quantificada objetivamente.</p><p>Exemplo: O dia amanheceu nublado, então saio de guarda-chuva pois tem grande probabilidade de chover.</p><p>Propriedades Fundamentais:</p><p>A Teoria da Probabilidade é fundamentada em algumas propriedades essenciais:</p><p>Propriedade do Complemento: Para qualquer evento A, a probabilidade de A ocorrer mais a probabilidade de A não ocorrer é igual a 1: P(A) + P(não A) = 1.</p><p>Propriedade do Produto: Para eventos independentes A e B, a probabilidade de ambos ocorrerem é o produto de suas probabilidades individuais: P(A e B) = P(A) * P(B).</p><p>Probabilidade da Soma: Dado dois eventos A e B, a probabilidade de pelo menos um deles ocorrer é igual à soma das probabilidades de cada um menos a probabilidade de ambos ocorrerem simultaneamente, ou seja:</p><p>Se A e B forem mutuamente exclusivos, teremos P(A∩B) = 0. Assim:</p><p>Probabilidade Condicional: A probabilidade condicional considera que, ocorrido um evento, este influencia a ocorrência do outro, ou seja, são eventos dependentes. A probabilidade condicional do evento A ocorrer, tendo ocorrido B é:</p><p>Onde: é a probabilidade da interseção entre A e B; é a probabilidade do evento B.</p><p>Analogamente, a probabilidade de ocorrer B, tendo ocorrido A é:</p><p>Caso seja necessário calcular a probabilidade da intersecção entre dois eventos, pode-se utilizar a seguinte expressão:</p><p>Conclusão:</p><p>A Teoria da Probabilidade é uma ferramenta poderosa para lidar com a incerteza e o acaso em diversas disciplinas. Ela permite que os pesquisadores modelem eventos aleatórios, prevejam resultados, tomem decisões informadas com base em dados e compreendam melhor o mundo ao nosso redor. Portanto, é uma área essencial do conhecimento matemático que desempenha um papel fundamental em várias áreas do saber.</p><p>image6.png</p><p>image7.png</p><p>image8.png</p><p>image9.png</p><p>image10.png</p><p>image11.png</p><p>image12.png</p><p>image13.png</p><p>image1.png</p><p>image2.png</p><p>image3.png</p><p>image4.png</p><p>image5.png</p>