LeisdeNewtonExerc22a44

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA - DPF 
FÍSICA I – MECÂNICA 
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22) Um bloco A, de massa igual a 3m, desliza sobre um plano, in-
clinado de um ângulo θ em relação à horizontal, com veloci-
dade constante, enquanto a prancha B, de massa m, ligada 
por um fio ao topo do plano, permanece em repouso sobre A. 
Determine o coeficiente de atrito cinético entre A e B e entre A 
e a superfície do plano inclinado, assumindo que ambos são 
iguais. Faça um diagrama com todas as forças que atuam so-
bre o bloco A e sobre a prancha B, identificando-as. 
SOLUÇÃO: 
Dados: mA = 3m, 
mB = m, 
θ e g 
Diagramas vetoriais das forças que atuam: 
Ilustração: Diagrama do corpo livre: 
Para o bloco A: 
Para a prancha B: 
SIGNIFICADO DOS SÍMBOLOS: 
SN

 ⇒ reação normal do plano sobre o bloco A 
ABN

 ⇒ reação normal do bloco A sobre a prancha B 
BAN

 ⇒ reação normal da prancha B sobre o bloco A 
c(SA)f

 ⇒ força sobre A, devida ao atrito entre A e a superfície S 
c(BA)f

 ⇒ força sobre A, devida ao atrito entre A e B 
c(AB)f

 ⇒ força sobre B, devida ao atrito entre A e B 
gmPP
 33 BA == ⇒ peso de A 
gmP

=B ⇒ peso de B 
T

 ⇒ tração no fio 
Temos ainda que: ABBA NN = e c(BA)c(AB) ff = 
Uma vez que, o bloco A desce o plano inclinado com velocidade 
constante e a prancha B permanece em repouso, a 1a Lei de New-
ton, ∑ = 0F

, se aplica a ambos os corpos (aA = aB = 0). 
PARA O CORPO B: 
Em y: 0BABB =−=∑ yy PNF ∴ θcosBAB mgPN y == 
sendo θmgμNμf coscABcc(AB) == (22.1) 
PARA O CORPO A: 
Em y: 0ABASA =−−=∑ yy PNNF 
θmgNN cos3BAS += (22.2) 
Substituindo (22.1) em (22.2), temos θmgN cos4S = . (22.3) 
De (22.3), temos θmgμNμf cos4 cScc(SA) == . (22.4) 
Em x: 0AAc(SA)c(BA)AA ==−−=∑ amffPF xx 
Substituindo (22.1) e (22.4) na equação acima, temos, 
[ ] 0)41(cossen3 c =+− mgθμθ ∴ θµ tan5
3
c = . (22.5) 
 SUGESTÃO: Prove que o módulo da tensão no fio que liga a 
prancha B ao topo da rampa é dada por xPT B5
8
= . 
 
23) Imagine que você esteja sustentando um livro de 4 N em re-
pouso sobre a palma da sua mão. Complete as seguintes sen-
tenças: 
a) Uma força de cima para baixo de módulo igual a 4 N é exerci-
da sobre o livro pela ________. 
b) Uma força de baixo para cima de módulo ___ é exercida sobre 
________ pela palma da sua mão. 
c) É a força de baixo para cima do item (b) a reação da força de 
cima para baixo do item (a)? _____. 
d) A reação à força do item (a) é a força de módulo ___ exercida 
sobre _________ pelo _______. Seu sentido é __________. 
e) A reação da força do item (b) é a força de módulo ___ exerci-
da sobre ______ pelo _______. 
f) As forças dos itens (a) e (b) são iguais e opostas em virtude 
da __________ Lei de Newton. 
g) As forças dos itens (b) e (e) são iguais e opostas em virtude 
da __________ Lei de Newton. 
Suponha agora que você exerça sobre o livro uma força de baixo 
para cima de módulo igual a 5 N. 
h) O livro permanece em equilíbrio? _____. 
i) É a força exercida pela sua mão igual e oposta à força exerci-
da sobre o livro pela Terra? _____. 
j) É a força exercida sobre o livro pela Terra igual e oposta à for-
ça exercida sobre a Terra pelo livro? _____. 
k) É a força exercida sobre o livro pela sua mão igual e oposta à 
força exercida sobre sua mão pelo livro? _____. 
Finalmente, suponha que você retire subitamente sua mão en-
quanto o livro se move para cima? 
l) Quantas forças atuam agora sobre o livro? _____, _________ 
______________________________. 
m) O livro está em equilíbrio? _____. 
RESPOSTAS: a) Terra; b) 4 N, o livro; c) Não; d) 4 N, a Terra, livro, 
para cima; e) 4 N, a mão, livro; f) Primeira; g) Terceira; h) Não; 
i) Não; j) Sim; k) Sim; l) Uma, a força gravitacional; m) Não 
θ 
A 
B 
A c(SA)f

 
SN

 
BAN

 c(BA)f

 
AP

 
θ 
A c(SA)f

 
SN

 
BAN

 
c(BA)f

 
AP

 
xPA

 
yPA

 x 
y 
0A =a
 
Sentido do 
movimento 
B 
c(AB)f

 
BP

 
T

 
θ 
yPB

 
xPB

 
x 
y 0B =a
 
ABN

 
Sobre o bloco A 
Sobre a prancha B 
B 
ABN

 
c(AB)f

 B
P

 
T

 
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24) Os blocos A, B e C são dispostos como indicado na figura a-
baixo, ligados por cordas de massas desprezíveis. As massas 
de A e B são iguais a M e o coeficiente de atrito cinético entre 
cada bloco e a superfície é µc. O bloco C desce com velocida-
de constante. Determine a massa do bloco C, em termos de 
µc, θ e M. Despreze as massas das polias, bem como o atri-
to em seus eixos. 
SOLUÇÃO: 
Dados: µc, θ e M (dados explícitos) e g (dado implícito) 
Ilustração: Diagrama do corpo livre para os blocos A, B e C. 
SIGNIFICADO DOS SÍMBOLOS: 
AN

 ⇒ reação normal da superfície sobre o bloco A 
BN

 ⇒ reação normal do plano inclinado sobre o bloco B 
BAT

 ⇒ força que B exerce sobre a corda que o liga ao bloco A 
ABT

 ⇒ força que A exerce sobre a corda que o liga ao bloco B 
CBT

 ⇒ força que C exerce sobre a corda que o liga ao bloco B 
BCT

 ⇒ força que B exerce sobre a corda que o liga ao bloco C 
c(A)f

 ⇒ força sobre A, devida ao atrito entre A e a superfície 
c(B)f

 ⇒ força sobre B, devida ao atrito entre B e o plano inclinado 
gMPP

== BA ⇒ peso de A igual ao peso de B 
gmP CC =

 ⇒ peso do bloco C 
Temos ainda que: ABBA TT = e BCCB TT = 
Como os blocos deslocam-se com velocidade constante, a 1a Lei 
de Newton, ∑ = 0F

, se aplica aos três corpos. 
PARA O CORPO C: 
Em y: gmPTTPTF y CCCBBCCBCC 0 ===⇒=−=∑ (24.1) 
PARA O CORPO A: 
Em y: ∑ ==⇒=−= gMPNPNF y AAAAA 0 (24.2) 
Em x: gMfTfTF x∑ ==⇒=−= cC(A)BAc(A)BAA 0 µ (24.3) 
PARA O CORPO B: 
Em y: θcos0 BBBBB MgPNPNF yyy ==⇒=−=∑ (24.4) 
De (24.3), temos θMgμNf coscBcc(B) == µ (24.5) 
Em x: ∑ =−−−= 0Bc(B)ABCBB xx PfTTF (24.6) 
Substituindo (24.1), (24.3) e (24.5) em (24.6), temos 
0senθθcosccC =−−− MgMgMggm µµ 
∴ ( )[ ]θμθMm cos1sen cC ++= (24.7) 
 
25) Um trenó cheio de estudantes em férias (massa total M) es-
correga para baixo numa encosta de montanha cujo ângulo de 
inclinação é α. Determine, em função dos vetores unitários 
que se fizerem necessários, o vetor aceleração do trenó 
quando a montanha está coberta de (a) gelo (supor µc = 0) e 
(b) neve (µc > 0). Faça uso de ilustrações, eixos cartesianos 
de referência, e represente os dados pertinentes. Faça o dia-
grama do corpo isolado para cada situação. Utilize g para a 
aceleração da gravidade. 
SOLUÇÃO: 
Dados: M, α, µc e g 
Ilustração: Diagrama do corpo livre para o bloco. 
a) a montanhas está coberta de gelo, µc = 0 ⇒ 0cc == Nf µ . 
Na ausência de atrito ao longo do declive, a análise a seguir, da 
resultante das forças ao longo do eixo y, que fornecerá o valor da 
normal (N), torna-se dispensável. 
Em y: 0=−=Σ yy PNF ∴ αcosmgPN y == (25.1) 
Em x: xxx maPF ==Σ ∴ xmamg =αsen 
⇒ αsengax = (25.2) 
e )ˆ(sen iga α= (25.3) 
b) a montanha está coberta de neve, µc > 0. 
A força de atrito cinético é dada por 
αµµ cosccc mgNf == (25.4) 
Em x: xcxx mafPF =−=Σ (25.5) 
Substituindo (25.4) em (25.5), obtém-se 
xmamg =− )cossen( c αµα 
∴ )cossen( c αµα −= gax