Lista Derivadas

Prévia do material em texto

<p>Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral 1</p><p>Professores: Edinéia Zarpelon, Gilson Tumelero, Marieli Tumelero,</p><p>Mateus Salomão, Luan Carlos Della Pasqua e Vanderlei Martins</p><p>Monitores: Matheus Cavalcante Silva e Davi Cantu Messias</p><p>LISTA DE EXERCÍCIOS 02 - DERIVADAS</p><p>DIFERENCIAL</p><p>1. Encontrar ∆y − dy das funções dadas:</p><p>(a) y = 3x2 − x+ 1</p><p>(b) y = 2</p><p>√</p><p>x</p><p>(c) y =</p><p>x+ 1</p><p>2x− 1</p><p>2. Encontrar ∆y e dy para os valores dados:</p><p>(a) y =</p><p>1</p><p>2x2</p><p>, dx = 0, 001 e x = 1.</p><p>(b) y = 5x2 − 6x, dx = 0, 02 e x = 0.</p><p>(c) y =</p><p>2x+ 1</p><p>x− 1</p><p>, dx = 0, 1 e x = −1.</p><p>3. Calcular um valor aproximado para as seguintes ráızes, usando diferencial.</p><p>(a)</p><p>√</p><p>50</p><p>(b) 3</p><p>√</p><p>63, 5</p><p>(c) 4</p><p>√</p><p>13</p><p>4. Calcule a diferencial dy das seguintes funções:</p><p>(a) y = ln(3x2 − 4x)</p><p>(b) y =</p><p>x+ 1</p><p>ex</p><p>(c) y = sen(5x2 + 6)</p><p>5. A área de um quadrado de lado x é dada por A = x2. Achar ∆A e dA e determinar o valor</p><p>geométrico desta última.</p><p>6. Uma caixa em forma de cubo deve ter um revestimento externo com espessura de 1</p><p>4</p><p>cm. Se o</p><p>lado da caixa é de 2m, usando diferencial, encontrar a quantidade de revestimento necessária.</p><p>7. Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica cuja altura é</p><p>sempre igual ao raio da base. Se em dado instante o raio de 12 cm, use diferenciais para obter</p><p>a variação do raio que origina um aumento de 2 cm3 no volume da pilha.</p><p>8. Use diferenciais para obter o aumento aproximado do volume da esfera quando o raio varia de</p><p>3cm para 3,1cm.</p><p>9. Um terreno tem a forma de um quadrado. Estima-se que cada um de seus lados mede 1.200</p><p>m, com um erro máximo de 10 m. Usando diferencial, determinar o posśıvel erro no cálculo da</p><p>área do terreno.</p><p>1</p><p>REGRAS DE L’HOSPITAL</p><p>10. Calcule</p><p>(a) lim</p><p>x→+∞</p><p>e3x</p><p>x2</p><p>(b) lim</p><p>x→+∞</p><p>ln(x)</p><p>e3x</p><p>(c) lim</p><p>x→0+</p><p>sen(x) ln(x)</p><p>(d) lim</p><p>x→2</p><p>x2 − 4x+ 4</p><p>x2 − x− 2</p><p>(e) lim</p><p>x→−1</p><p>x2 − 1</p><p>x2 + 4x+ 3</p><p>(f) lim</p><p>x→0</p><p>x2 + 6x</p><p>x3 + 7x2 + 5x</p><p>(g) lim</p><p>x→+∞</p><p>ex</p><p>x2</p><p>(h) lim</p><p>x→+∞</p><p>x99</p><p>ex</p><p>(i) lim</p><p>x→0</p><p>x</p><p>ex − cos(x)</p><p>(j) lim</p><p>x→+∞</p><p>x2(e</p><p>1</p><p>x − 1)</p><p>(k) lim</p><p>x→+∞</p><p>2x</p><p>2x − 1</p><p>(l) lim</p><p>x→+∞</p><p>ln(x)</p><p>3</p><p>√</p><p>x</p><p>(m) lim</p><p>x→0+</p><p>xsen(x)</p><p>ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES</p><p>11. Determinar os máximos e mı́nimos das seguintes funções, nos intevalos indicados.</p><p>(a) f(x) = 1− 3x, [−2, 2]</p><p>(b) f(x) = 4− 3x+ 3x2, [0, 3]</p><p>(c) f(x) = x3 − x2, [0, 5]</p><p>(d) f(x) =</p><p>x</p><p>1 + x2</p><p>, [−2, 2]</p><p>12. Esboce o gráfico das seguintes funções, indicando os valores de máximos e mı́nimos, intervalos de</p><p>crescimento e decrescimento, pontos de inflexão e os intervalos onde as funções tem concavidade</p><p>voltada para cima ou para baixo (caso possa ser posśıvel analisar estes itens).</p><p>(a) f(x) = x3 − 3x2 + 3x</p><p>(b) f(x) =</p><p>x</p><p>x+ 1</p><p>(c) f(x) = e−x2</p><p>(d) f(x) = sen(x)</p><p>(e) f(x) = x4 − 2x2</p><p>(f) f(x) =</p><p>x2</p><p>x2 − x− 2</p><p>(g) f(x) = 3</p><p>√</p><p>x2 − 1</p><p>(h) f(x) = x− ln(x)</p><p>TAXA DE VARIAÇÃO, VELOCIDADE E ACELERAÇÃO</p><p>13. Uma piscina está sendo drenada para limpeza. Se o seu volume de água inicial era de 90 000</p><p>litros e depois de um tempo de t horas este volume diminuiu 2500 t2 litros, determinar:</p><p>(a) tempo necessário para o esvaziamento da piscina.</p><p>(b) taxa de escoamento depois de 2 horas do ińıcio do processo.</p><p>14. Um apartamento está alugado por R$450,00. Este aluguel sofrerá um reajuste anual de</p><p>R$150,00.</p><p>(a) Expresse a função com a qual podemos calcular a taxa de variação do aluguel, em t anos.</p><p>2</p><p>(b) Calcule a taxa de variação do aluguel após 4 anos.</p><p>15. Numa pequena comunidade obteve-se uma estimativa que daqui a t anos a população será de</p><p>p(t) = 20− 5</p><p>t+ 1</p><p>milhares.</p><p>(a) Daqui a 18 meses, qual será a taxa de variação da população desta comunidade?</p><p>(b) Qual será a variação real sofrida durante o 18º mês?</p><p>16. Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de 5 m de raio de base e 10 m de altura.</p><p>No tempo t = 0, a água começa a fluir no tanque à razão de 25m3/h. Com que velocidade o</p><p>ńıvel de água sobe? Quanto tempo levará para o tanque ficar cheio?</p><p>17. Enche-se um reservatório, cuja forma é a de um cone circular reto, de água a uma taxa de</p><p>0, 1 m3/s. O vértice está a 15 m do topo e o raio do topo é de 10 m. Com que velocidade o</p><p>ńıvel h de água está subindo no instante em que h = 5m.</p><p>18. A população de aguapés num lago represado cobre uma região circular. Sabe-se que a taxa</p><p>instantânea de crescimento, em relação ao tempo, do raio da região é constante e igual a 800</p><p>metros por ano. Sendo assim, a taxa instantânea de crescimento, em relação ao tempo, da</p><p>superf́ıcie coberta por aguapés, quando o raio for igual a 4000 m, é</p><p>(a) 64π km2</p><p>(b) 640π km2</p><p>(c) 6, 4π km2</p><p>(d) 0, 64π km2</p><p>19. Uma part́ıcula desloca-se sobre o eixo x com função de posição x = 3 + 2t− t2, t ≥ 0.</p><p>(a) Qual a velocidade no instante t?</p><p>(b) Qual a aceleração no instante t?</p><p>(c) Estude a variação do sinal de v(t).</p><p>PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO</p><p>20. Uma cerca de 1m de altura está situada a uma distância de 1m da parede lateral de um galpão.</p><p>Qual o comprimento da menor escada cujas extreminidades se apóiam na parede e no chão do</p><p>lado de fora da cerca? (Dica: use semelhança de triângulos).</p><p>21. Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares , de dimensões a e b, com uma lado comum</p><p>a. Se cada pasto deve medir 400 m2 de área, determinar as dimensões a e b, de forma que o</p><p>comprimento da cerca seja mı́nimo.</p><p>22. Achar dois números positivos cuja soma seja 70 e cujo produto seja o maior posśıvel.</p><p>23. Um fabricante ao comprar caixas de embalagens retangulares exige que o comprimento de cada</p><p>caixa seja 2 m e o volume 3m3. Para gastar a menor quantidade de material posśıvel na</p><p>fabricação de caixas, quais devem ser suas dimensões.</p><p>24. Um retângulo é inscrito num triângulo retângulo de catetos que mede 9 cm e 12 cm. Encontrar</p><p>as dimensões do retângulo com maior área, supondo que sua posição é dada na figura a seguir:</p><p>3</p><p>Referências</p><p>[1] GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo, vol.1. Rio de Janeiro: LTC, 2008.</p><p>[2] FLEMMING, D. M e GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação, inte-</p><p>gração. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.</p><p>[3] STEWART, J. Cálculo, vol.1. São Paulo: Cengage Learning, 2010.</p><p>4</p>