Revisao_2012_2_analise

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE - UFCG
CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
PROF. WAMBERTO JL QUEIROZ
LISTA DE EXERCÍCIOS DE REVISÃO 2012.2
1. Divisão de polinômios: Aplicação em processos de decomposição em frações parciais.
Dados o numerador N(x) e o denominador D(x), realize a divisão polinomial e forneça o
quociente e o resto da divisão.
a. N(x) = 10x2 − 43x + 40 D(x) = 2x− 5
b. N(x) = 6x4 − 10x3 + 9x2 + 9x− 5 D(x) = 2x2 − 4x + 5
c. N(x) = 12x3 − 19x2 + 15x− 3 D(x) = 3x2 − x + 2
d. N(x) = 12x3 − 4x + 9 D(x) = 2x2 + x + 3
e. N(x) = x4 + 4x3 + 4x2 + 9 D(x) = x2 + x− 1
2. Decomposição em frações parciais: Aplicação no cálculo das transformadas inversas de Fou-
rier, Laplace e Z.
Forneça a decomposição em frações parciais das seguintes funções algébricas:
(a) F (x) = 3x2+x+4
x3+x
(b) F (x) = 2
x3+5x2+6x
(c) F (x) = 2x2−x+3
(x−1)(x−2)(x−3)
(d) F (x) = 1
x3(x+1)
(e) F (x) = x2
(x−1)3
(f) F (x) = x2+2x+3
(x2+2x+2)(x2+2x+5)
(g) F (x) = 1
(x2+1)(x2+x+ 5
2
(h) F (x) = 3
x3+2x2+5x
(i) F (x) = x+1
x(x2+2x+3)2
(j) F (x) = −2x+4
(x2+1)(x−1)2
(k) F (x) = x2+5
(x2+x+7)2(x2+4x+3)
3. Relações trigonométricas: Aplicações na análise de ortogonalidade e análise de Fourier.
A partir das relações trigonométricas:
cos(a + b) = cos(a) cos(b)− sen(a)sen(b)
cos(a− b) = cos(a) cos(b) + sen(a)sen(b)
sen(a + b) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a)
sen(a− b) = sen(a) cos(b)− sen(b) cos(a)
obtenha as seguintes relações trigonométricas:
(a) cos(mθ) cos(nθ)
(b) cos(mθ)sen(nθ)
(c) sen(mθ)sen(nθ)
(d) sen(mθ)sen(nθ)
(e) cos2(θ)
(f) sen2(θ)
4. Relações de Euler: Aplicações na análise de Fourier.
Use a série de Maclaurin da exponencial, ex = 1 + x + x2
2!
+ x
3
3!
+ · · · + xn
n!
+ · · · e obtenha
as séries de Maclaurin das exponenciais complexas ejθ e e−jθ, em que j = (0, 1). A partir das
séries obtidas, obtenha as expressões para
ejθ + e−jθ
2
e
ejθ − e−jθ
2j
.
Compare os resultados obtidos com as séries de Maclaurin de sen(θ) e cos(θ) e estabeleça as
relações de Euler.
5. Use as relações de Euler estabelecidas na questão anterior em forneça calcule
∫ pi
0
(
sen
(√
2
3
θ
))10
dθ.
6. Séries geométricas infinitas: Aplicações na análise de Fourier e na análise de sinais de tempo
discreto.
Calcule o valor das seguintes somas infinitas
(a) ∑∞n=1 9−n+24n+1 (b) ∑∞n=0 (−4)3n5n−1 (c) ∑∞n=2√e2−n
Use as relações de Euler para verificar a igualdade
∞∑
k=0
sen(kx)
rk
=
rsen(x)
1 + r2 − 2r cos(x)
7. Integrais impróprias: Aplicações na análise de Fourier e Laplace.
Calcule as seguintes intergrais impróprias
(a) ∫∞
1
dx
x
√
2x2−1
(b) ∫∞
1
tdt
(1+t2)2
(c) ∫∞
0
1
x2+9
dx
(d) ∫ 0−∞(ex−e2x)dx
(e) ∫∞
0
√
xe−
√
xdx
(f) ∫ 0−∞ ex+2xex+x2dx
(g) ∫∞
2
xdx
(x2−1)3/2dx
(h) ∫∞
1
e2/t
2
t3
dt
8. Integrais trigonométricas: Aplicação na análise de Fourier. Verifique as seguintes relações de
ortogonalidade e calcule as integrais indefinidas
(a) ∫ pi−pi cos(mx)sen(nx)dx = 0
(b) ∫ 1
0
sen(2pix) cos(3pix)dx
(c) ∫ sen(7x)sen(3x)dx
(d) ∫ sen2pit cos2 pitdt
(e) ∫ pi−pi cos(mx) cos(nx)dx =
{
0 se m 6= n
pi se m = n
(f) ∫ pi−pi sen(mx)sen(nx)dx =
{
0 se m 6= n
pi se m = n
9. Operações básicas com números complexo: Encontre o valor absoluto e o argumento dos
seguintes números complexos
(a) (−1 + i)(1−√3i)
(b) 1+i
2+
√
3i
(c) (3+3i)(−2i)
2−
√
3i
(d) (4−3i)( 12+i)4
(1− 3
4
i)2(−3+4i)
(e) (1+i
1−i
)8
(f) (3 + 4i)3(−1− i)6
10. Calcule o módulo e a fase das seguintes funções complexas
(a) H(ω) = e−j2ω+2e−jω+5
e−j2ω+3e−jω−4 (b) H(ω) = e
−jω−1
P
∞
k=0
e−jkω
2k
Campina Grande, 27/11/2012