Primeira_Lista_Analise_Sinais_Sistemas_2012_2

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UFCG – Universidade Federal de Campina Grande
CEEI – Centro de Engenharia Ele´trica e Informa´tica
DEE – Departamento de Engenharia Ele´trica
Disciplina: Ana´lise de Sinais e Sistemas
Professor: Wamberto Jose´ Lira de Queiroz
Primeira Lista de Exerc´ıcios: Semestre 2012.2
1. Esboce a forma de onda dos seguintes sinais
(a) x(t) = u(t)− u(t− 2)
(b) x(t) = u(t+ 1)− 2u(t) + u(t− 1)
(c) x(t) = r(t+ 1)− r(t) + r(t− 2)
(d) x(t) = −u(t+ 3) + 2u(t+ 1)− 2u(t− 1) + u(t− 3)
(e) x(t) = r(t+ 2)− r(t+ 1)− r(t− 1) + r(t− 2)
em que r(t) e´ o sinal rampa,
r(t) =
{
t, t ≥ 0
0, caso contra´rio
2. Para um sinal pulso triangular x(t) esboce os sinais
(a) x(3t)
(b) x(3t+ 2)
(c) x(3t) + x(3t+ 2)
1
0 1−1 t 
x(t) 
3. Calcule a poteˆncia me´dia dos sinais
x(t) = A cos(ωt+ φ) e x(t) = A cos(Ωn+ φ),
em que ω e Ω satisfazem as condic¸o˜es para que x(t) e x[n] sejam perio´dicos.
4. Determine se os sinais x(t) sa˜o perio´dicos e encontre o per´ıodo
(a) x(t) = 3 cos(4t+ pi/3)
(b) x(t) =
∑∞
n=−∞ e
2t−n
(c) x(t) = ej(pit−1)
(d) x(t) = sen
(
6pi
7 n+ 1
)
(e) x(t) = cos
(
pi
8n
2
)
(f) x(t) = ej
2pi
3
n + ej
3pi
4
n
(g) x(t) = 2 cos(10t+ 1)− sen(4t− 1)
1
(h) x(t) = 10 cos
(
120t+ pi5
)
+ 16sen
(
150t + pi3
)
(i) x[n] = cos
(
8
15pin
)
+ cos
(
7
15pin
)
5. Dado o sinal de tempo cont´ınuo
x(t) = δ(t+ 2)− δ(t− 2),
calcule a energia do sinal
y(t) =
∫ t
−∞
x(τ)dτ.
6. O sinal senoidal
x(t) = 3 cos
(
200t +
pi
6
)
e´ passado atrave´s de um dispositivo de lei quadra´tica definida pela relac¸a˜o de entrada-sa´ıda,
y(t) = x2(t).
(a) Especifique o componente dc do sinal de sa´ıda
(b) Especifique a amplitude e a frequeˆncia do componente senoidal de sa´ıda
7. Mostre que um dispositivo de elevac¸a˜o a` poteˆncia N , definido pela relac¸a˜o entrada-sa´ıda
y(t) = xN (t), N inteiro e diferente de 0 e 1,
e´ na˜o-linear.
8. Esboce detalhadamente as partes par e ı´mpar dos sinais a seguir
t 0
1−1−2
1
1 2
1
x(t)
x(t) 
a)
b)
t
9. Propriedades de sinais pares e ı´mpares
(a) Mostre que se x[n] e´ um sinal ı´mpar, enta˜o
∞∑
n=−∞
x[n] = 0.
(b) Mostre que se x1[n] e´ um sinal ı´mpar e x2[n] e´ um sinal par enta˜o x1[n]x2[n] e´ um sinal
ı´mpar.
(c) Seja x[n] um sinal arbitra´rio com partes par e ı´mpar denotadas por xe[n] e xo[n]. Mostre
que
∞∑
n=−∞
x2[n] =
∞∑
n=−∞
x2e[n] +
∞∑
n=−∞
x2o[n].
2
1
−1
0 0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
s(t)
t
Figura 1: Figura da questa˜o 10
(d) Para um sinal x(t) de tempo cont´ınuo, mostre que
∫ ∞
−∞
x2(t)dt =
∫ ∞
−∞
x2e(t)dt +
∫ ∞
−∞
x2o(t)dt.
10. Dado o sinal perio´dico triangular s(t), calcule sua poteˆncia me´dia
11. Use as propriedades de δ(t) para resolver as seguintes integrais
(a)
∫∞
−∞(t
2 + 4t+ 5)δ(t)dt
(b)
∫ 4
0 e
4tδ(2t − 3)dt
12. Na teoria de processamento de sinais a largura de faixa de um filtro (dada em Hz) pode ser
definida como o intervalo de frequeˆncias na qual um sinal e´ transferido para a sua sa´ıda sem
sofrer atenuac¸o˜es de amplitude. Se, por exemplo, a maior frequeˆncia de um sinal s(t) e´ igual a
ωo e essa frequeˆncia esta´ fora da largura de faixa B do filtro, enta˜o o sinal na sa´ıda do filtro sera´
nulo. Com base nesse conceito, suponha que um sinal
s(t) = 10 cos(2pi1200t) + 12 cos(2pi1800t)
seja aplicado a` entrada de um dispositivo cuja relac¸a˜o entre sinal de entrada x(t) e sinal de sa´ıda
y(t) seja dada por y(t) = x2(t) e em seguida a sa´ıda desse dispositivo seja aplicada a` entrada de
um filtro de largura de faixa que vai de zero a 800 HZ. Fornec¸a enta˜o as seguintes informac¸o˜es
(a) A frequeˆncia e a amplitude do componente do sinal verificadado na sa´ıda do filtro
(b) A frequeˆncia e a aplitude dos componentes do sinal barrados pelo filtro
(c) Quais os componentes que seriam verificados na sa´ıda do filtro se a sua largura de faixa
aumentasse para 3100 HZ?
FILTRO
DISPOSITIVO
QUADRATICO
13. Os sistemas a seguir teˆm entrada x(t) ou x[n] e sa´ıda y(t) ou y[n], respectivamente. Determine
se cada um deles e´ (i) sem ou com memo´ria, (ii) esta´vel, (iii) causal, (iv) linear e (v) invariante
ao deslocamento no tempo
(a) y(t) = cos(x(t))
(b) y[n] = 2x[n]u[n]
(c) y[n] = log10(|x[n]|)
(d) y(t) =
∫ t/2
−∞ x(τ)dτ
(e) y[n] =
∑n
k=−∞ x[k + 2]
(f) y(t) = ddtx(t)
3
(g) y[n] = cos(2pix[n+ 1]) + x[n]
(h) y(t) = ddte
−tx(t)
(i) y(t) = x(2− t)
(j) y[n] = x[n]
∑∞
k=−∞ δ[n − 2k]
14. Use a definic¸a˜o da soma de convoluc¸a˜o para provar as seguintes propriedades
(a) Distributiva: x[n] ∗ (h[n] + g[n]) = x[n] ∗ h[n] + x[n] ∗ g[n]
(b) Associativa: x[n] ∗ (h[n] ∗ g[n]) = (x[n] ∗ h[n]) ∗ g[n]
(c) Comutativa: x[n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x[n]
15. Avalie as seguintes somas de convoluc¸a˜o de tempo discreto
(a) y[n] = u[n] ∗ u[n− 3]
(b) y[n] = 2nu[−n+ 2] ∗ u[n − 3]
(c) y[n] =
(
1
2
)n
u[n − 2] ∗ u[n]
(d) y[n] = cos
(
1
2pin
)
u[n] ∗ u[n− 1]
(e) y[n] = cos
(
1
2pin
)
∗
(
1
2
)n
u[n− 2]
(f) y[n] = βnu[n] ∗ u[n− 3], |β| < 1
(g) y[n] = (u[n+ 10] − 2u[n + 5] + u[n− 6]) ∗ u[n− 2]
(h) y[n] = (u[n+ 10] − 2u[n + 5] + u[n− 6]) ∗ βnu[n], |β| < 1
(i) y[n] = βnu[n] ∗
∑∞
p=0 δ[n − 2p], |β| < 1
16. Avalie a resposta de um sistema h[n] ao sinal de entrada x[n] como ilustrado na figura a seguir
5−1 n
n
x[n]
h[n]1
1
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
17. Calcule a convoluc¸a˜o entre os seguintes pares de sinais definidos em tempo cont´ınuo.
(a) f(t) = 12e
−2tu(t) + 12e
−3tu(t) e g(t) = e−4tu(t)
(b) f(t) = p2T (t) e g(t) = p2T (t)
(c) f(t) = p4T (t) e g(t) = p2T (t)
(d) f(t) = cos(pit)p2T (t) e g(t) = cos(4pit)p2T (t)
(e) f(t) = 12e
−2t e g(t) = p2T (t)
(f) f(t) = e−at cos(ωot) e e
−btsen(ωot)
Nestas questo˜es p2T (t) representa um pulso retangular de amplitude unita´ria e largura de base
2T .
18. Avalie as convoluc¸o˜es entre sinais de tempo cont´ınuo
(a) y(t) = u(t+ 1) ∗ u(t− 2)
(b) y(t) = cos(pit)(u(t+ 1)− u(t− 3)) ∗ u(t)
(c) y(t) = (t+2t2)(u(t+1)−u(t−1))∗2u(t+2)
(d) y(t) = (2δ(t)+δ(t−5))∗
∑∞
p=0
(
1
2
)p
δ(t−p)
(e) y(t) = e−γtu(t) ∗ eβtu(−t), γ > 0, β > 0
4
19. Avalie a resposta ao degrau para os sistemas LIT representados pelas seguintes respostas ao
impulso
(a) h[n] =
(
1
2
)
u[n]
(b) h[n] = δ[n]− δ[n − 1]
(c) h[n] = (−1)n{u[n + 2]− u[n − 2]}
(d) h[n] = u[n]
(e) h(t) = e−|t|
(f) h(t) = u(t+ 1)− u(t− 1)
(g) h(t) = tu(t)
5