MATEMÁTICA

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<p>Barbara Pinto de Souza - barbarapintodesouza@gmail.com - CPF: 031.236.285-40</p><p>2</p><p>CONJUNTOS</p><p>Pertinência é a característica associada a um elemento ao qual faz</p><p>parte de um conjunto.</p><p>Quando queremos indicar que um elemento pertence a um</p><p>conjunto, usamos o símbolo: ∈ (pertence).</p><p>Quando queremos indicar que um elemento não pertence a um</p><p>determinado conjunto, usamos o símbolo: ∉ (não pertence).</p><p>1</p><p>RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA</p><p>Quando falamos que o conjunto A está contido no conjunto B, então</p><p>todo elemento de A pertence a B e usamos o símbolo: A ⊂ B;</p><p>A relação de inclusão pode ser bastante confundida se o aluno não</p><p>entender a simbologia:</p><p>RELAÇÃO DE INCLUSÃO</p><p>Barbara Pinto de Souza - barbarapintodesouza@gmail.com - CPF: 031.236.285-40</p><p>2</p><p>2</p><p>Representação gráfica pelo Diagrama de Venn:</p><p>SUBCONJUNTOS</p><p>Dado um conjunto A, dizemos que B é um subconjunto de A, se B</p><p>estiver contido em A, denotado por: B ⊂ A (B está contido em A). É o</p><p>mesmo que dizer que B está dentro de A, ou seja, se todos os elementos</p><p>de B estão dentro de A.</p><p>Barbara Pinto de Souza - barbarapintodesouza@gmail.com - CPF: 031.236.285-40</p><p>3</p><p>A = {a}</p><p>B = {10}</p><p>Dizemos que um conjunto é unitário quando tem somente um</p><p>elemento.</p><p>Exemplos:</p><p>Chamamos de conjunto universo um conjunto que contém todos</p><p>os elementos dos conjuntos que estamos representando. Esse conjunto</p><p>é simbolizado pela letra maiúscula U.</p><p>Exemplo:</p><p>CONJUNTO UNITÁRIO</p><p>CONJUNTO UNIVERSO</p><p>Barbara Pinto de Souza - barbarapintodesouza@gmail.com - CPF: 031.236.285-40</p><p>4</p><p>Conjunto complementar é aquele que contém todos os elementos</p><p>do conjunto universo que não estão no outro conjunto.</p><p>Definição do conjunto complementar</p><p>Seja A um conjunto, temos que o conjunto complementar AC é definido</p><p>por:</p><p>AC = U – A = {x | x ∈ U e X ∉ A}</p><p>COMPLEMENTAR</p><p>Seja A um conjunto qualquer, chamamos de conjunto das partes</p><p>de A todos os subconjuntos possíveis de conjunto A. É representado por</p><p>P(A).</p><p>A = {1, 2, 3}</p><p>CONJUNTOS DAS PARTES</p><p>Barbara Pinto de Souza - barbarapintodesouza@gmail.com - CPF: 031.236.285-40</p><p>5</p><p>A interseção de dois conjuntos no conjunto universo U é formada</p><p>pelos elementos que pertencem a A e B.</p><p>A ∩ B (Leia-se: A interseção B)</p><p>INTERSEÇÃO</p><p>A diferença de dois conjuntos no conjunto universo U é formada</p><p>pelos elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B.</p><p>A – B (Leia-se: a diferença entre A e B)</p><p>DIFERENÇA</p><p>Barbara Pinto de Souza - barbarapintodesouza@gmail.com - CPF: 031.236.285-40</p><p>6</p><p>É uma divisão, ou seja, é a divisão do número A por um B.</p><p>RAZÃO</p><p>É a igualdade entre duas razões, ou seja, as razões têm o mesmo</p><p>resultado (equivalência). Na proporção os elementos são chamados de</p><p>termos. Primeira fração (primeiros termos) segunda fração (segundos</p><p>termos)</p><p>PROPORÇÃO</p><p>A propriedade fundamental das proporções é esta: o produto dos</p><p>meios é igual ao produto dos extremos, ao multiplicar cruzado, sempre</p><p>encontraremos o mesmo valor.</p><p>Barbara Pinto de Souza - barbarapintodesouza@gmail.com - CPF: 031.236.285-40</p><p>Se duas razões são proporcionais, então a diferença dos</p><p>numeradores e dos denominadores também será proporcional às duas</p><p>razões.</p><p>7</p><p>SOMA</p><p>Se duas razões são proporcionais, então a soma dos numeradores</p><p>e dos denominadores também será proporcional às duas razões.</p><p>SUBTRAÇÃO</p><p>Barbara Pinto de Souza - barbarapintodesouza@gmail.com - CPF: 031.236.285-40</p><p>8</p><p>Dividida pelo numerador da primeira razão é igual à soma entre o</p><p>numerador com o denominador dividido pelo numerador da segunda.</p><p>Considerando as razões:</p><p>A SOMA ENTRE O NUMERADOR E O</p><p>DENOMINADOR</p><p>GRANDEZAS DIRETAMENTE</p><p>PROPORCIONAIS</p><p>Barbara Pinto de Souza - barbarapintodesouza@gmail.com - CPF: 031.236.285-40</p><p>9</p><p>DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE</p><p>PROPORCIONAIS</p><p>Barbara Pinto de Souza - barbarapintodesouza@gmail.com - CPF: 031.236.285-40</p><p>10</p><p>GRANDEZAS INVERSAMENTE</p><p>PROPORCIONAIS</p><p>Barbara Pinto de Souza - barbarapintodesouza@gmail.com - CPF: 031.236.285-40</p><p>11</p><p>SEQUÊNCIA INVERSAMENTE</p><p>PROPORCIONAIS</p><p>GRANDEZAS DIRETA E INVERSAMENTE</p><p>PROPORCIONAIS</p><p>Barbara Pinto de Souza - barbarapintodesouza@gmail.com - CPF: 031.236.285-40</p><p>12</p><p>Para representar os números fracionários foi criado um símbolo,</p><p>que é a fração. Sendo a e b números racionais e b ≠ 0, indicamos a</p><p>divisão de a por b com o símbolo a : b ou, ainda a/b</p><p>Chamamos o símbolo a/b de fração.</p><p>Assim, a fração 10/2 é igual a 10 : 2</p><p>Na fração a/b, a é o numerador e b é o denominador</p><p>Efetuando, por exemplo, a divisão de 10 por 2, obtemos o quociente 5.</p><p>Assim, 10/2 é um número natural, pois 10 é múltiplo de 2.</p><p>FRAÇÕES</p><p>TIPOS DE FRAÇÕES</p><p>a) Fração própria : é aquela cujo o numerador é menor que o</p><p>denominador. Exemplos : 2/3, 4/7, 1/8</p><p>b) Fração imprópria: é a fração cujo numerador é maior ou igual ao</p><p>denominador. Exemplo: 3/2, 5/5</p><p>c) Fração aparente: é a fração imprópria cujo o numerador é múltiplo do</p><p>denominador. Exemplo: 6/2, 19/19, 24/12, 7/7</p><p>Barbara Pinto de Souza - barbarapintodesouza@gmail.com - CPF: 031.236.285-40</p><p>13</p><p>Para encontrar frações equivalentes, multiplicamos o numerador e</p><p>o denominador da fração ½ por um mesmo número natural diferente de</p><p>zero.</p><p>Assim: ½, 2/4, 4/8, 3/6, 5/10 são algumas frações equivalentes a ½</p><p>Cláudio dividiu a pizza em 8 partes iguais e comeu 4 partes. Que</p><p>fração da pizza ele comeu?</p><p>Cláudio comeu 4/8 da pizza. Mas 4/8 é equivalente a 2/4. Assim</p><p>podemos dizer que Cláudio comeu 2/4 da pizza.</p><p>A fração 2/4 foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração 4/8</p><p>por 2 veja:</p><p>4/8 : 2/2 = 2/4</p><p>Dizemos que a fração 2/4 é uma fração simplificada de 4/8.</p><p>A fração 2/4 ainda pode ser simplificada, ou seja, podemos obter</p><p>uma fração equivalente dividindo os dois termos da fração por 2 e</p><p>vamos obter ½</p><p>FRAÇÕES EQUIVALENTES</p><p>SIMPLIFICANDO FRAÇÕES</p><p>Barbara Pinto de Souza - barbarapintodesouza@gmail.com - CPF: 031.236.285-40</p><p>14</p><p>OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS</p><p>ABSOLUTOS (FRAÇÕES)</p><p>Como adicionarmos ou subtrairmos números fracionários escritos</p><p>sob a forma de fração de denominadores iguais:</p><p>ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO</p><p>DICA IMPORTANTE</p><p>1 - Somamos os numeradores e conservamos o denominador comum.</p><p>2 - Quando os denominadores são diferentes fazemos o m.m.c. dos</p><p>denominadores</p><p>MULTIPLICAÇÃO</p><p>Vamos Calcular : 2/3 x 4/5 = 8/15</p><p>Conclusão: multiplicamos os numeradores entre si e os</p><p>denominadores entre si.</p><p>Exemplo:</p><p>a) 4/7 x 3/5 = 12/35</p><p>b) 5/6 x 3/7 = 15//42 = 5/14 simplificando</p><p>Barbara Pinto de Souza - barbarapintodesouza@gmail.com - CPF: 031.236.285-40</p><p>15</p><p>DIVISÃO</p><p>Vamos calcular ½ : 1/6</p><p>Para dividir uma fração por outra, basta multiplicar a primeira</p><p>fração pela inversa da segunda.</p><p>Assim: ½ : 1/6 = ½ x 6/1 = 6/2 = 3</p><p>Equação é uma sentença matemática que possui incógnitas e uma</p><p>igualdade. Uma equação pode ser classificada quanto ao seu grau e</p><p>número de incógnitas.</p><p>EQUAÇÕES</p><p>CONCEITOS BÁSICOS PARA O ESTUDO DE EQUAÇÃO</p><p>Uma equação é uma sentença matemática que possui uma</p><p>incógnita, pelo menos, e uma igualdade, e podemos classificá-la quanto</p><p>a seu número de incógnitas. Veja alguns exemplos:</p><p>a) 5t – 9 = 16</p><p>A equação possui uma incógnita, representada pela letra t.</p><p>b) 5x + 6y = 1</p><p>A equação possui duas incógnitas, representadas pelas letras x e y.</p><p>c) t4 – 8z = x"</p><p>Barbara Pinto de Souza - barbarapintodesouza@gmail.com - CPF: 031.236.285-40</p><p>16</p><p>São caracterizadas por terem um polinômio igual a zero. Veja</p><p>alguns exemplos:</p><p>a) 6t3 + 5t2 –5t = 0</p><p>Os números 6, 5 e –5 são os coeficientes da equação.</p><p>b) 9x – 9 = 0</p><p>Os números 9 e – 9 são os coeficientes da equação.</p><p>c) y2 – y – 1 = 0</p><p>Os números 1, – 1 e – 1 são os coeficientes da equação.</p><p>EQUAÇÕES POLINOMIAIS</p><p>As equações polinomiais podem ser classificadas quanto ao seu</p><p>grau. Assim como os polinômios,</p><p>o grau de uma equação polinomial é</p><p>dado pela maior potência que possui coeficiente diferente de zero.</p><p>Dos exemplos anteriores a, b e c, temos que os graus das equações</p><p>são:</p><p>a) 6t3 + 5t2 –5t = 0 → Equação polinomial do terceiro grau</p><p>b) 9x – 9 = 0 → Equação polinomial do primeiro grau</p><p>c) y2 – y – 1 = 0 → Equação polinomial do segundo grau</p><p>GRAUS DA EQUAÇÃO</p><p>Barbara Pinto de Souza - barbarapintodesouza@gmail.com - CPF: 031.236.285-40</p><p>17</p><p>As equações racionais são caracterizadas por ter suas incógnitas</p><p>no denominador de uma fração. Veja alguns exemplos:</p><p>EQUAÇÕES RACIONAIS</p><p>As equações irracionais são caracterizadas por terem suas</p><p>incógnitas no interior de uma raiz enésima, ou seja, no interior de um</p><p>radical que possui índice n. Veja alguns exemplos:</p><p>EQUAÇÕES IRRACIONAIS</p><p>Barbara Pinto de Souza - barbarapintodesouza@gmail.com - CPF: 031.236.285-40</p><p>18</p><p>EQUAÇÕES EXPONENCIAIS</p><p>As equações exponenciais possuem as incógnitas localizadas no</p><p>expoente de uma potência. Veja alguns exemplos:</p><p>EQUAÇÃO LOGARÍTMICA</p><p>As equações logarítmicas são caracterizadas por ter uma ou mais</p><p>incógnitas em alguma parte do logaritmo. Veremos que, ao aplicar-se a</p><p>definição do logaritmo, a equação cai em alguns dos casos anteriores.</p><p>Veja alguns exemplos:</p><p>Barbara Pinto de Souza - barbarapintodesouza@gmail.com - CPF: 031.236.285-40</p><p>19</p><p>A fim de verificar o princípio da equivalência, considere a seguinte</p><p>igualdade:</p><p>5 = 5</p><p>Agora, vamos adicionar em ambos os lados o número 7, e observe que a</p><p>igualdade ainda será verdadeira:</p><p>5 =5</p><p>5 + 7 = 5 + 7</p><p>12 = 12</p><p>Segundo princípio da equivalência, podemos operar livremente em</p><p>um dos lados de uma igualdade desde que façamos o mesmo do outro</p><p>lado da igualdade. Para melhorar o entendimento, nomearemos esses</p><p>lados.</p><p>PRINCÍPIO DA EQUIVALÊNCIA</p><p>SOMA DA EQUIVALÊNCIA</p><p>Barbara Pinto de Souza - barbarapintodesouza@gmail.com - CPF: 031.236.285-40</p><p>20</p><p>SUBTRAÇÃO DA EQUIVALÊNCIA</p><p>Subtrair 10 em ambos os lados da igualdade, observe novamente</p><p>que a igualdade ainda será verdadeira:</p><p>12 = 12</p><p>12 – 10 = 12 – 10</p><p>2 = 2</p><p>Utilizando o princípio da equivalência, determine o conjunto solução</p><p>da equação 2x – 4 = 8 sabendo que o conjunto universo é dado por: U = ℝ.</p><p>2x – 4 = 8</p><p>Para resolvermos uma equação polinomial do primeiro grau,</p><p>devemos deixar a incógnita no primeiro membro isolada. Para isso,</p><p>tiramos o número –4 do primeiro membro, somando 4 a ambos os lados,</p><p>uma vez que – 4 + 4 = 0.</p><p>2x – 4 = 8</p><p>2x – 4 + 4 = 8 + 4</p><p>2x = 12</p><p>Veja que realizar esse processo é equivalente a simplesmente</p><p>passar o número 4 com sinal oposto. Assim, para isolarmos a incógnita x,</p><p>vamos passar o número 2 para o segundo membro, uma vez que ele</p><p>está multiplicando o x. (Lembre-se: a operação inversa da multiplicação</p><p>é a divisão). Seria o mesmo que dividir ambos os lados por 2.</p><p>Barbara Pinto de Souza - barbarapintodesouza@gmail.com - CPF: 031.236.285-40</p><p>21</p><p>Portanto, o conjunto solução é dado por:</p><p>S = {6}</p><p>Resolva a equação 2x+5 = 128 sabendo que o conjunto universo é</p><p>dado por U = ℝ.</p><p>Para resolver a equação exponencial, vamos, primeiro, utilizar a</p><p>seguinte propriedade da potenciação:</p><p>am + n = am · an</p><p>Usaremos também o fato de que 22 = 4 e 25 = 32.</p><p>2x+5 = 128</p><p>2x · 25 = 128</p><p>2x · 32 = 128</p><p>Observe que é possível dividir ambos os lados por 32, ou seja, passar</p><p>o número 32 para o segundo membro dividindo.</p><p>Assim temos que:</p><p>2x = 4</p><p>2x = 22</p><p>O único valor de x que satisfaz a igualdade é o número 2, portanto,</p><p>x = 2 e o conjunto solução é dado por:</p><p>S = {2}</p><p>Barbara Pinto de Souza - barbarapintodesouza@gmail.com - CPF: 031.236.285-40</p><p>22</p><p>A equação do segundo grau recebe esse nome porque é uma</p><p>equação polinomial cujo termo de maior grau está elevado ao</p><p>quadrado. Também chamada de equação quadrática, é representada</p><p>por:</p><p>As equações do 2º grau completas são aquelas que apresentam</p><p>todos os coeficientes, ou seja a, b e c são diferentes de zero (a, b, c ≠ 0).</p><p>Por exemplo, a equação 5x2 + 2x + 2 = 0 é completa, pois todos os</p><p>coeficientes são diferentes de zero</p><p>(a = 5, b = 2 e c = 2).</p><p>EQUAÇÃO DO 2º GRAU</p><p>EQUAÇÕES DO 2º GRAU COMPLETAS</p><p>EQUAÇÕES DO 2º GRAU INCOMPLETAS</p><p>Uma equação do segundo grau é incompleta quando:</p><p>b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0.</p><p>Barbara Pinto de Souza - barbarapintodesouza@gmail.com - CPF: 031.236.285-40</p><p>23</p><p>Quando uma equação do segundo grau é completa, usamos a</p><p>Fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação.</p><p>A fórmula é apresentada abaixo:</p><p>FÓRMULA DE BHASKARA</p><p>Na fórmula de Bhaskara, aparece a letra grega Δ (delta), chamada</p><p>discriminante da equação, pois conforme o seu valor é possível saber</p><p>qual o número de raízes (soluções) que a equação terá.</p><p>Para determinar o delta usamos a seguinte fórmula:</p><p>FÓRMULA DO DELTA</p><p>Barbara Pinto de Souza - barbarapintodesouza@gmail.com - CPF: 031.236.285-40</p><p>24</p><p>Quando queremos encontrar valores de duas incógnitas diferentes</p><p>que satisfaçam simultaneamente duas equações, temos um sistema de</p><p>equações.</p><p>As equações que formam o sistema podem ser do 1º grau e do 2º</p><p>grau. Para resolver esse tipo de sistema podemos usar o método da</p><p>substituição e o método da adição.</p><p>SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU</p><p>Barbara Pinto de Souza - barbarapintodesouza@gmail.com - CPF: 031.236.285-40</p><p>25</p><p>A Geometria Plana estuda as formas que não possuem volume.</p><p>NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA – FORMA,</p><p>ÁREA, PERÍMETRO E TEOREMA DE</p><p>PITÁGORAS</p><p>Polígonos: São as figuras geométricas figuras planas fechadas.</p><p>3 lados: Triângulo</p><p>4 lados: Quadrilátero</p><p>5 lados: Pentágono</p><p>6 lados: Hexágono</p><p>7 lados: Heptágono</p><p>8 lados: Octágono</p><p>9 lados: Eneágono</p><p>10 lados: Decágono</p><p>11 lados: Undecágono</p><p>12 lados: Dodecágono</p><p>15 lados: Pentadecágono</p><p>20 lados: Icoságono</p><p>FORMAS:</p><p>AS FIGURAS (FORMAS) MAIS COMUNS SÃO:</p><p>Triângulo</p><p>Quadrado</p><p>Retângulo</p><p>Paralelogramo</p><p>Losango</p><p>Trapézio</p><p>Círculo</p><p>Barbara Pinto de Souza - barbarapintodesouza@gmail.com - CPF: 031.236.285-40</p><p>26</p><p>Área é a medida equivalente a medida de uma dimensão</p><p>determinada, ou seja, serve para calcular uma superfície plana.</p><p>Perímetro é a medida do comprimento de um contorno de uma</p><p>figura plana, ou seja, é a soma das medidas de todos lados de uma</p><p>figura ou objeto.</p><p>O cálculo do perímetro de qualquer figura geométrica plana é feito</p><p>pela soma de seus lados</p><p>ÁREA</p><p>PERÍMETRO</p><p>FÓRMULA DE CADA FIGURA PLANA</p><p>Barbara Pinto de Souza - barbarapintodesouza@gmail.com - CPF: 031.236.285-40</p><p>27</p><p>Em um triângulo retângulo, o lado maior, recebe o nome de</p><p>Hipotenusa. Este lado sempre estará oposto ao ângulo reto. Os outros</p><p>dois lados, recebem o nome de Cateto.</p><p>TEOREMA DE PITÁGORAS</p><p>“Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da</p><p>hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos</p><p>catetos”.</p><p>Barbara Pinto de Souza - barbarapintodesouza@gmail.com - CPF: 031.236.285-40</p><p>28</p><p>A porcentagem trata da divisão onde o denominador é o número</p><p>100. Isto é, 6% é o mesmo que 6 dividido por 100, ou seja, 6/100 = 0,06.</p><p>p% = p/100</p><p>O Capital é o primeiro valor investido. Trata do valor inicial da</p><p>negociação, ou seja, ele é o valor de referência para calcularmos os juros</p><p>com o passar do tempo. Também pode ser encontrado com outros</p><p>nomes como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado.</p><p>PORCENTAGEM E JUROS SIMPLES</p><p>CAPITAL</p><p>O “Juro” é então o termo utilizado para designar o “preço do</p><p>dinheiro no tempo”. Em um investimento, trata-se do valor dos</p><p>rendimentos adquiridos, ou seja, é a remuneração pelo empréstimo do</p><p>dinheiro.</p><p>JUROS</p><p>Barbara Pinto de Souza - barbarapintodesouza@gmail.com - CPF: 031.236.285-40</p><p>29</p><p>O Montante é o valor final da transação. O montante é calculado</p><p>somando o capital com os juros.</p><p>M = C + J</p><p>MONTANTE</p><p>No regime</p><p>de juros compostos o cálculo de juros mensal é feito</p><p>sobre o total da dívida no mês anterior, e não somente sobre o valor que</p><p>foi inicialmente emprestado.</p><p>Capitalização é quando os juros são incorporados ao principal.</p><p>Assim, nos juros compostos, a taxa de juros incide sobre o capital</p><p>inicial, acrescido dos juros acumulados até o período anterior.</p><p>Fórmula de Juros Compostos:</p><p>M = C (1 + i)^n</p><p>JUROS COMPOSTOS</p><p>Barbara Pinto de Souza - barbarapintodesouza@gmail.com - CPF: 031.236.285-40</p><p>30</p><p>Barbara Pinto de Souza - barbarapintodesouza@gmail.com - CPF: 031.236.285-40</p>