Terceira Lista de Exercícios

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<p>Disciplina: Introdução a Álgebra Linear e Vetorial</p><p>Terceira Lista de Exercícios</p><p>Questão 1. Dentre as transformações abaixo, verifique quais são lineares:</p><p>(a) T : R2 −→ R3, T (x, y) = (x− y, 3x,−2y)</p><p>(b) T : R3 −→ R3, T (x, y, z) = (x+ y, x− y, 0)</p><p>(c) T : R2 −→ R2, T (x, y) = (x2 + y2, x)</p><p>(d) T : R −→ R2, T (x) = (x, 2)</p><p>(e) T : R3 −→ R, T (x, y, z) = −3x+ 2y − z</p><p>(f) T : R2 −→ M(2, 2), T (x, y) =</p><p> 2y 3x</p><p>−y x+ 2y</p><p></p><p>Questão 2. Determine a transformação linear T : R2 −→ R3 tal que T (−1, 1) = (3, 2, 1) e</p><p>T (0, 1) = (1, 1, 0). Posteriormente, encontre v ∈ R2 tal que T (v) = (−2, 1,−3).</p><p>Questão 3. Determine a transformação linear T : R3 −→ R2 tal que T (1,−1, 0) = (1, 1),</p><p>T (0, 1, 1) = (2, 2) e T (0, 0, 1) = (3, 3). Posteriormente, encontre T (1, 0, 0) e T (0, 1, 0).</p><p>Questão 4. Sejam α = {(1,−1), (0, 2)} e β = {(1, 0,−1), (0, 1, 2), (1, 2, 0)} bases de R2 e R3</p><p>respectivamente e</p><p>[T ]αβ =</p><p></p><p>1 0</p><p>1 1</p><p>0 −1</p><p> .</p><p>1</p><p>a) Determine T .</p><p>b) Se S(x, y) = (2y, x− y, x), determine [S]αβ</p><p>c) Determine uma base γ de R3 tal que [T ]αγ =</p><p></p><p>1 0</p><p>0 0</p><p>0 1</p><p> .</p><p>Questão 5. No exercício 8 determine ker(T ), Im(T ), Im(S), ker(S) e comprove a validade</p><p>dos teoremas visto em aula.</p><p>Questão 6. Seja V o espaço vetorial de matrizes 2× 2 com base</p><p>β =</p><p></p><p> 1 0</p><p>0 0</p><p> ,</p><p> 0 1</p><p>0 0</p><p> ,</p><p> 0 0</p><p>1 0</p><p> ,</p><p> 0 0</p><p>0 1</p><p></p><p>Se T : V → R2 é dada por T</p><p> a b</p><p>c d</p><p> = (a+ d, b+ c).</p><p>a) Determine [T ]βα onde α é a base canônica de R2.</p><p>Se S : R2 → V e [S]βα =</p><p></p><p>2 1</p><p>1 −1</p><p>−1 0</p><p>0 1</p><p></p><p>b) Determine S e, se for possível, (a, b) tal que S(a, b) =</p><p> 1 0</p><p>0 1</p><p> .</p><p>Questão 7. Considere a transformação linear T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (z, x− y,−z).</p><p>a) Determine uma base do núcleo de T .</p><p>b) Dê a dimensão da imagem de T .</p><p>c) T é sobrejetora? Justifique!</p><p>d) Faça um esboço de ker(T ) e Im(T ).</p><p>2</p><p>Questão 8. Determine os autovalores e os autovetores das seguintes transformações lineares:</p><p>(a) T : R2 −→ R2, T (x, y) = (x+ 2y,−x+ 4y)</p><p>(b) T : R2 −→ R2, T (x, y) = (2x+ 2y, x+ 3y)</p><p>(c) T : R2 −→ R2, T (x, y) = (5x− y, x+ 3y)</p><p>(d) T : R3 −→ R3, T (x, y, z) = (x+ y + z, 2y + z, 2y + 3z)</p><p>Questão 9. Os vetores v1 = (1, 1) e v2 = (2,−1) são autovetores de um operador linear T :</p><p>R2 −→ R2, associados a λ1 = 5 e λ2 = −1, respectivamente. Determine a imagem do vetor</p><p>v = (4, 1) por esse operador.</p><p>3</p>