Equações e Funções Matemáticas

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<p>Matemática Lista 2</p><p>SUMÁRIO</p><p>2 Bernoulli Sistema de Ensino</p><p>Equação, Fatoração e Produto Notável</p><p>Função: Introdução</p><p>Semelhança de Triângulo e Quadriláteros</p><p>Polígonos e Circunferência</p><p>Trigonometria no Triângulo Retângulo</p><p>Ciclo Trigonométrico e Funções Seno e Cosseno</p><p>Gabarito</p><p>3</p><p>4</p><p>6</p><p>8</p><p>10</p><p>12</p><p>14</p><p>EQUAÇÃO, FATORAÇÃO E</p><p>PRODUTO NOTÁVEL</p><p>01. (UERJ–2020) Os números inteiros x e y satisfazem às</p><p>seguintes equações:</p><p>2</p><p>5</p><p>3</p><p>5</p><p>37</p><p>30</p><p>x y</p><p>x y</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>Logo, x + y é igual a:</p><p>A) 80</p><p>B) 85</p><p>C) 90</p><p>D) 95</p><p>02. (Unicamp-SP–2020) Em uma família, cada filha tem o</p><p>mesmo número de irmãs e irmãos, e cada filho tem um</p><p>número de irmãs igual ao dobro do número de irmãos.</p><p>O número de filhos dessa família é igual a</p><p>A) 11.</p><p>B) 9.</p><p>C) 7.</p><p>D) 5.</p><p>03. (FGV-RJ–2017) Na resolução de um problema que recaía</p><p>em uma equação do 2º grau, um aluno errou apenas</p><p>o termo independente da equação e encontrou como</p><p>raízes os números 2 e –14. Outro aluno, na resolução do</p><p>mesmo problema, errou apenas o coeficiente do termo</p><p>de primeiro grau e encontrou como raízes os números 2</p><p>e 16.</p><p>As raízes da equação correta eram:</p><p>A) –2 e –14</p><p>B) –4 e –8</p><p>C) –2 e 16</p><p>D) –2 e –16</p><p>E) 4 e 14</p><p>04. (UECE–2016) Se x é um número real tal que x</p><p>x</p><p>� �</p><p>1 3,</p><p>então o valor de x</p><p>x</p><p>3</p><p>3</p><p>1</p><p>+ é</p><p>Sugestão: Você pode usar o desenvolvimento do cubo</p><p>de uma soma de dois números reais.</p><p>A) 9.</p><p>B) 18.</p><p>C) 27.</p><p>D) 36.</p><p>05. (Insper-SP) Considere dois números positivos x e y,</p><p>com x > y, tais que</p><p>x y x y</p><p>x y</p><p>� � � �</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>8</p><p>152 2</p><p>Nessas condições, 2x é igual a</p><p>A) 31.</p><p>B) 32.</p><p>C) 33.</p><p>D) 34.</p><p>E) 35.</p><p>06. (UFRGS-RS–2020) O valor de</p><p>1 1</p><p>2</p><p>1 1</p><p>3</p><p>1 1</p><p>4</p><p>1 1</p><p>100</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�. . . ... . é:</p><p>A) 1</p><p>10</p><p>B) 1</p><p>100</p><p>C) 1</p><p>D) 2</p><p>E) 3</p><p>07. (UPE–2016) Se um ano-luz corresponde à distância</p><p>percorrida pela luz em um ano, qual é a ordem de</p><p>grandeza, em metros, da distância percorrida pela luz</p><p>em 2 anos, levando-se em consideração um ano tendo</p><p>365 dias e a velocidade da luz igual a 300 000 km/s?</p><p>A) 108</p><p>B) 1010</p><p>C) 1013</p><p>D) 1015</p><p>E) 1016</p><p>Revisão Lista 2</p><p>3Bernoulli Sistema de Ensino</p><p>MATEMÁTICA</p><p>08. (UEPB) Um grão de feijão pesa 2,5 . 10–2 g. Se um saco</p><p>contém 5 . 102 g de grãos de feijão, 920 sacos contêm:</p><p>A) 1,84 . 107 grãos de feijão</p><p>B) 1,84 . 106 grãos de feijão</p><p>C) 1,84 . 108 grãos de feijão</p><p>D) 1,84 . 105 grãos de feijão</p><p>E) 1,84 . 104 grãos de feijão</p><p>FUNÇÃO: INTRODUÇÃO</p><p>01. (UEPA) Uma operadora de telefonia móvel oferece</p><p>diferentes planos de ligações conforme a tabela a seguir:</p><p>Plano A B C D</p><p>Minutos da franquia 50 100 200 400</p><p>Valor do plano (R$) 39 55 99 155</p><p>Sabendo-se que essa operadora cobra R$ 0,19 por minuto</p><p>excedente da franquia, independentemente do plano</p><p>escolhido, o gráfico que melhor representa o valor a ser</p><p>pago pelos clientes que optarem pelo plano A, em função</p><p>dos minutos utilizados, é:</p><p>A) R$</p><p>0 t (min)</p><p>B) R$</p><p>0 t (min)</p><p>C) R$</p><p>0 t (min)</p><p>D) R$</p><p>0 t (min)</p><p>E) R$</p><p>0 t (min)</p><p>02. (UFJF-MG–2019) No plano cartesiano a seguir, está</p><p>representado o gráfico da função f: [–3, 8] → [–2, 7],</p><p>no qual os pontos pretos destacados são os pontos em</p><p>que o gráfico passa sobre os cruzamentos da malha.</p><p>7</p><p>y</p><p>6</p><p>5</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>0</p><p>–1</p><p>–1 1 2 3 4 5 6 7 8</p><p>x</p><p>–2–3</p><p>–2</p><p>Seja k = f(–3) + f(–1) + f(3) – f(4) + f(5).</p><p>O valor de x para o qual f(x) = k é</p><p>A) 7.</p><p>B) 6.</p><p>C) 3.</p><p>D) 2.</p><p>E) 1.</p><p>03. (FUVEST-SP–2019) Um dono de restaurante assim</p><p>descreveu a evolução do faturamento quinzenal de</p><p>seu negócio, ao longo dos dez primeiros meses após</p><p>a inauguração: “Até o final dos três primeiros meses,</p><p>tivemos uma velocidade de crescimento mais ou menos</p><p>constante, quando então sofremos uma queda abrupta,</p><p>com o faturamento caindo à metade do que tinha sido</p><p>atingido. Em seguida, voltamos a crescer, igualando, um</p><p>mês e meio depois dessa queda, o faturamento obtido</p><p>ao final do terceiro mês. Agora, ao final do décimo mês,</p><p>estamos estabilizando o faturamento em um patamar</p><p>50% acima do faturamento obtido ao final do terceiro</p><p>mês”. Considerando que, na ordenada, o faturamento</p><p>quinzenal está representado em unidades desconhecidas,</p><p>porém uniformemente espaçadas, qual dos gráficos é</p><p>compatível com a descrição do comerciante?</p><p>A)</p><p>Fa</p><p>tu</p><p>ra</p><p>m</p><p>en</p><p>to</p><p>q</p><p>ui</p><p>nz</p><p>en</p><p>al</p><p>0</p><p>0 2 4</p><p>Tempo (meses)</p><p>6 8 10</p><p>B)</p><p>Fa</p><p>tu</p><p>ra</p><p>m</p><p>en</p><p>to</p><p>q</p><p>ui</p><p>nz</p><p>en</p><p>al</p><p>0</p><p>0 2 4</p><p>Tempo (meses)</p><p>6 8 10</p><p>Revisão Lista 2</p><p>4 Bernoulli Sistema de Ensino</p><p>C)</p><p>Fa</p><p>tu</p><p>ra</p><p>m</p><p>en</p><p>to</p><p>q</p><p>ui</p><p>nz</p><p>en</p><p>al</p><p>0</p><p>0 2 4</p><p>Tempo (meses)</p><p>6 8 10</p><p>D)</p><p>Fa</p><p>tu</p><p>ra</p><p>m</p><p>en</p><p>to</p><p>q</p><p>ui</p><p>nz</p><p>en</p><p>al</p><p>0</p><p>0 2 4</p><p>Tempo (meses)</p><p>6 8 10</p><p>E)</p><p>Fa</p><p>tu</p><p>ra</p><p>m</p><p>en</p><p>to</p><p>q</p><p>ui</p><p>nz</p><p>en</p><p>al</p><p>0</p><p>0 2 4</p><p>Tempo (meses)</p><p>6 8 10</p><p>04. (UPE–2018) Considere a função real g definida a seguir:</p><p>g x</p><p>x se x</p><p>se x</p><p>x se x</p><p>( )</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>�</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>2 1</p><p>1 1 1</p><p>2 3 1</p><p>Em relação a essa função, é correto afirmar que</p><p>A) é decrescente para x < 1.</p><p>B) é crescente para x > 1.</p><p>C) é uma função constante se –1 < x < 0.</p><p>D) é crescente para x > –1.</p><p>E)	 é	decrescente	para	x	≥	0.</p><p>05. (UFRGS-RS–2018) Dadas as funções reais de variável real</p><p>f e g, definidas por f(x) = x3 e g(x) = x3 , o intervalo,</p><p>tal que f(x) > g(x), é</p><p>A) (0; + ∞).</p><p>B) (– ∞; –1) ∪ (0; 1).</p><p>C) (–1; 1).</p><p>D) (– ∞; –1) ∪ (1; + ∞).</p><p>E) (–1; 0) ∪ (1; + ∞).</p><p>06. Sabendo-se que o gráfico da função y = f(x) é</p><p>y</p><p>x</p><p>5</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>–2–1,5 –0,5 0,5 1,5 21–1</p><p>O gráfico que melhor representa a função y = 3 . f(x – 3) é:</p><p>A)</p><p>–5–4–3–2–1 1</p><p>2</p><p>4</p><p>6</p><p>8</p><p>2 3 4 5</p><p>x</p><p>y</p><p>B)</p><p>–4 –3 –2 –1</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>7</p><p>y</p><p>x</p><p>C)</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>4</p><p>4</p><p>5</p><p>5</p><p>6</p><p>y</p><p>x</p><p>D)</p><p>2</p><p>–6–5–4–3–2–1 1 2 3 4 5 6</p><p>x</p><p>y</p><p>4</p><p>6</p><p>8</p><p>E)</p><p>1 2</p><p>2</p><p>4</p><p>6</p><p>y</p><p>x</p><p>3 4 5</p><p>07. (UPF-RS–2017) Observe a figura:</p><p>7</p><p>y</p><p>x7 8</p><p>6</p><p>6</p><p>5</p><p>5</p><p>4</p><p>4</p><p>3</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>10</p><p>–1</p><p>–1</p><p>–2</p><p>–2</p><p>–3</p><p>–3</p><p>–4</p><p>–4</p><p>Ela representa o gráfico da função y = f(x), que está</p><p>definida no intervalo [–4, 8]. A respeito dessa função, é</p><p>correto afirmar que:</p><p>A) f(3) > f(1)</p><p>B) f(f(2)) > 2</p><p>C) Im(f) = [–2, 6]</p><p>D) f(x) = 0, para x = 8</p><p>E) O conjunto {–4 ≤ x ≤ 8| f(x) = –1,2} tem exatamente</p><p>2 elementos</p><p>Questões Selecionadas</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>5Bernoulli Sistema de Ensino</p><p>08. (FGV-SP) O gráfico representa a função f.</p><p>4</p><p>f(x)</p><p>4 5 6 7</p><p>x</p><p>3</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>0</p><p>0</p><p>–1</p><p>–1</p><p>–2</p><p>–2</p><p>–3</p><p>Considerando –2 ≤ x ≤ 3, o conjunto solução da equação</p><p>f(x + 3) = f(x) + 1 possui</p><p>A) um único elemento.</p><p>B) apenas dois elementos.</p><p>C) apenas três elementos.</p><p>D) apenas quatro elementos.</p><p>E) infinitos elementos.</p><p>09. (UERN) O gráfico apresenta o lucro de uma empresa no</p><p>decorrer do primeiro semestre de determinado ano:</p><p>250</p><p>Lucro (em milhares de reais)</p><p>200</p><p>150</p><p>100</p><p>50</p><p>0</p><p>174</p><p>Jan. Fev. Mar. Abr. Mai. Jun.</p><p>183</p><p>Os economistas dessa empresa dividiram esse período</p><p>em dois: primeiro período, de janeiro a abril, em que há</p><p>um crescimento linear nos lucros; e segundo período, de</p><p>abril a junho, em que há queda nos lucros de R$ 15 mil</p><p>ao mês. A partir dessas informações, é correto afirmar</p><p>que o lucro obtido no mês de janeiro foi:</p><p>A) R$ 158 000,00</p><p>B) R$ 162 000,00</p><p>C) R$ 164 000,00</p><p>D) R$ 168 000,00</p><p>10. (Mackenzie-SP–2019) O domínio da função real definida</p><p>por f(x) = 1</p><p>4</p><p>�</p><p>�</p><p>x</p><p>x</p><p>é:</p><p>A) ]–1; 4[</p><p>B) ] – ∞; –1[ ∪ [4; + ∞[</p><p>C) [–1; 4]</p><p>D) ] – ∞; –1] ∪ ]4; + ∞[</p><p>E) [–1; 4[</p><p>SEMELHANÇA DE TRIÂNGULO E</p><p>QUADRILÁTEROS</p><p>01. (Unesp) Considere 3 retas coplanares paralelas, r, s e t,</p><p>cortadas por 2 outras retas, conforme a figura.</p><p>4 3</p><p>5</p><p>10</p><p>x</p><p>r</p><p>s</p><p>t</p><p>y</p><p>Os valores dos segmentos identificados por x e y são,</p><p>respectivamente,</p><p>A) 3</p><p>20</p><p>3</p><p>40</p><p>e .</p><p>B) 6 e 11.</p><p>C) 9 e 13.</p><p>D) 11 e 6.</p><p>E) 20</p><p>3</p><p>40</p><p>3</p><p>e .</p><p>02. (UFU-MG–2018) Uma área delimitada pelas ruas 1 e 2 e</p><p>pelas avenidas A e B tem a forma de um trapézio ADD'A',</p><p>com AD = 90 m e A D' ' = 135 m, como mostra o esquema</p><p>a seguir:</p><p>Avenida A</p><p>Rua 2</p><p>Rua 1</p><p>A'</p><p>B'</p><p>C'</p><p>D'</p><p>DCBA</p><p>Avenida B</p><p>Tal área foi dividida em terrenos ABB'A', BCC'B' e CDD'C',</p><p>todos na forma trapezoidal, com bases paralelas às</p><p>avenidas tais que AB = 40 m, BC = 30 m e CD = 20 m.</p><p>De acordo com essas informações, a diferença, em</p><p>metros, A B C D' ' ' '− é igual</p><p>a</p><p>A) 20.</p><p>B) 30.</p><p>C) 15.</p><p>D) 45.</p><p>Revisão Lista 2</p><p>6 Bernoulli Sistema de Ensino</p><p>03. (UEFS-BA–2018) Os pontos D, E e F pertencem aos lados</p><p>de um triângulo retângulo ABC, determinando o retângulo</p><p>BFDE, com BF = 6 cm, conforme mostra a figura.</p><p>A</p><p>D</p><p>CFB</p><p>E</p><p>6 cm</p><p>Dadas as medidas AB = 8 cm e BC = 10 cm, o</p><p>comprimento do segmento BE é</p><p>A) 2,4 cm.</p><p>B) 2,7 cm.</p><p>C) 3 cm.</p><p>D) 3,2 cm.</p><p>E) 3,5 cm.</p><p>04. (UPE–2018) Os lados de um triângulo medem,</p><p>respectivamente, 5 cm, 7 cm e 8 cm. Quais são</p><p>as respectivas medidas dos lados de um triângulo</p><p>semelhante a este cujo perímetro mede 0,6 m?</p><p>A) 15 cm, 21 cm e 24 cm</p><p>B) 12 cm, 22 cm e 26 cm</p><p>C) 18 cm, 20 cm e 22 cm</p><p>D) 11 cm, 23 cm e 26 cm</p><p>E) 16 cm, 18 cm e 26 cm</p><p>05. (Insper-SP–2018) Na figura, BAC e DEC são triângulos</p><p>retângulos em  e Ê, com AB = 15 cm, ED = 10 cm e</p><p>AE = 30 cm. O ponto C pertence a AE e o ponto F pertence</p><p>a r, que é a reta suporte de DE.</p><p>O ponto C pode mover-se ao longo de AE e o ponto F pode</p><p>mover-se ao longo de r, como mostra a figura.</p><p>B</p><p>CA E</p><p>F</p><p>r</p><p>D</p><p>A partir dessas condições, demonstra-se facilmente que</p><p>BC + CD será mínimo na circunstância em que o triângulo</p><p>DCF é isósceles de base DF.</p><p>O menor valor possível de BC + CD, em centímetros, é</p><p>igual a</p><p>A) 6 42 .</p><p>B) 5 61 .</p><p>C) 7 31 .</p><p>D) 12 11 .</p><p>E) 7 29 .</p><p>06. (UDESC) No paralelogramo ABCD, conforme mostra a</p><p>figura, o segmento CE é a bissetriz do ângulo DCB .</p><p>A</p><p>D C</p><p>E B</p><p>Sabendo que AE = 2 e AD = 5, então o valor do perímetro</p><p>do paralelogramo ABCD é:</p><p>A) 26</p><p>B) 16</p><p>C) 20</p><p>D) 22</p><p>E) 24</p><p>07. (UECE–2016) No retângulo PQRS, as medidas dos lados</p><p>PQ e QR são respectivamente 3 m e 2 m. Se V é um ponto</p><p>do lado PQ tal que a medida do segmento VQ é igual a</p><p>1 m e U é o ponto médio do lado OS, então a medida,</p><p>em graus, do ângulo VUR é</p><p>A) 40.</p><p>B) 35.</p><p>C) 50.</p><p>D) 45.</p><p>08. (UEA-AM) Potencialmente, os portos da Região Norte</p><p>podem ser os canais de escoamento para toda a produção</p><p>de grãos que ocorre acima do paralelo 16 Sul, onde estão</p><p>situados gigantes do agronegócio. Investimentos em</p><p>logística e a construção de novos terminais portuários</p><p>privados irão aumentar consideravelmente o número de</p><p>toneladas de grãos embarcados anualmente.</p><p>Suponha que dois navios tenham partido ao mesmo tempo</p><p>de um mesmo porto A, em direções perpendiculares e</p><p>a velocidades constantes. Sabe-se que a velocidade do</p><p>navio B é de 18 km/h e que, com 30 minutos de viagem,</p><p>a distância que o separa do navio C é de 15 km, conforme</p><p>mostra a figura:</p><p>Navio B</p><p>Navio C</p><p>B</p><p>y</p><p>x</p><p>15</p><p>A C</p><p>Desse modo, pode-se afirmar que, com uma hora de</p><p>viagem, a distância, em km, entre os dois navios e a</p><p>velocidade desenvolvida pelo navio C, em km/h, serão,</p><p>respectivamente,</p><p>A) 30 e 25.</p><p>B) 25 e 22.</p><p>C) 30 e 24.</p><p>D) 25 e 20.</p><p>E) 25 e 24.</p><p>Questões Selecionadas</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>7Bernoulli Sistema de Ensino</p><p>09. (EEAR–2017) Seja um triângulo ABC, conforme a figura.</p><p>Se D e E são pontos, respectivamente, de AB e AC, de</p><p>forma que AD = 4, DB = 8, DE x= e BC y= , se DE || BC,</p><p>então</p><p>A</p><p>D</p><p>B Cy</p><p>x E</p><p>A) y = x + 8.</p><p>B) y = x + 4.</p><p>C) y = 3x.</p><p>D) y = 2x.</p><p>10. (UERJ–2018) Admitindo um retângulo cujos lados</p><p>medem a e b, sendo a < b, é possível formar uma</p><p>sequência ilimitada de retângulos da seguinte forma:</p><p>a partir do primeiro, cada novo retângulo é construído</p><p>acrescentando-se um quadrado cujo lado é igual ao maior</p><p>lado do retângulo anterior, conforme ilustrado a seguir.</p><p>P3 P3 P4</p><p>P2 P1 P2 P1</p><p>P3 P3P4 P4</p><p>P5 P6 P5</p><p>P2</p><p>P2P1 P1</p><p>b</p><p>b b</p><p>b b</p><p>a + b</p><p>b b</p><p>a a a</p><p>I II III IV</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>A figura IV destaca a linha poligonal P1P2P3P4P5P6, formada</p><p>pelos lados dos retângulos, que são elementos da</p><p>sequência (a, b, a + b, a + 2b, 2a + 3b).</p><p>Mantendo o mesmo padrão de construção, o comprimento</p><p>da linha poligonal P1P2P3P4P5P6P7, de P1 até o vértice P7,</p><p>é igual a:</p><p>A) 5a + 7b</p><p>B) 8a + 12b</p><p>C) 13a + 20b</p><p>D) 21a + 33b</p><p>POLÍGONOS E CIRCUNFERÊNCIA</p><p>01. (UFPB) Um ciclista, para vencer uma competição,</p><p>percorreu 1 885 m em uma bicicleta com rodas de raio</p><p>30 cm (incluindo o pneu). O número de voltas completas</p><p>que cada roda da bicicleta deu, para percorrer essa</p><p>distância, foi:</p><p>Use: π = 3,14</p><p>A) 900</p><p>B) 1 000</p><p>C) 1 040</p><p>D) 1 250</p><p>E) 1 500</p><p>02. (UECE–2019) Se a distância entre os centros de</p><p>duas circunferências cujas medidas dos raios são</p><p>respectivamente 6 m e 8 m é igual a 10 m, então a</p><p>medida, em metros, do comprimento da corda comum</p><p>às duas circunferências é</p><p>A) 9,4.</p><p>B) 9,8.</p><p>C) 9,2.</p><p>D) 9,6.</p><p>03. (FUVEST-SP–2018) Prolongando-se os lados de um</p><p>octógono convexo ABCDEFGH, obtém-se um polígono</p><p>estrelado, conforme a figura.</p><p>α1</p><p>α2</p><p>α3</p><p>α4</p><p>α5</p><p>α6</p><p>α7</p><p>α8</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>DE</p><p>F</p><p>G</p><p>H</p><p>A soma α1 + ... + α8 vale</p><p>A) 180°.</p><p>B) 360°.</p><p>C) 540°.</p><p>D) 720°.</p><p>E) 900°.</p><p>04. (UEG-GO–2018) A melhor maneira de alocarmos pontos</p><p>igualmente espaçados em um círculo é escrevê-los nos</p><p>vértices de polígonos regulares, conforme a figura a seguir</p><p>exemplifica com 6 pontos.</p><p>Para alocarmos 36 pontos igualmente espaçados em um</p><p>círculo de raio 1, a distância mínima entre eles deve ser</p><p>aproximadamente</p><p>Use: sen (5°) = 0,08</p><p>A) 0,12.</p><p>B) 0,11.</p><p>C) 0,16.</p><p>D) 0,14.</p><p>E) 0,19.</p><p>Revisão Lista 2</p><p>8 Bernoulli Sistema de Ensino</p><p>05. (FGV-SP–2017) Suponha que fosse possível dar uma</p><p>volta completa em torno da linha do Equador caminhando</p><p>e que essa linha fosse uma circunferência perfeita na</p><p>esfera terrestre. Nesse caso, se uma pessoa de 2 m de</p><p>altura desse uma volta completa na Terra pela linha do</p><p>Equador, o topo de sua cabeça, ao completar a viagem,</p><p>teria percorrido uma distância maior que a sola dos seus</p><p>pés em, aproximadamente,</p><p>A) 63 cm.</p><p>B) 12,6 m.</p><p>C) 6,3 km.</p><p>D) 12,6 km.</p><p>E) 63 km.</p><p>06. (UERJ–2020) Três pentágonos regulares congruentes e</p><p>quatro quadrados são unidos pelos lados conforme ilustra</p><p>a figura a seguir.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E F G H</p><p>s</p><p>r</p><p>Acrescentam-se outros pentágonos e quadrados,</p><p>alternadamente adjacentes, até se completar o polígono</p><p>regular ABCDEFGH…A, que possui dois eixos de simetria</p><p>indicados pelas retas r e s. Se as retas perpendiculares</p><p>r e s são mediatrizes dos lados AB e FG, o número de</p><p>lados do polígono ABCDEFGH…A é igual a:</p><p>A) 18</p><p>B) 20</p><p>C) 24</p><p>D) 30</p><p>07. (UFRGS-RS–2016) Um desenhista foi interrompido</p><p>durante a realização de um trabalho, e seu desenho ficou</p><p>como na figura a seguir:</p><p>40°</p><p>40°</p><p>40°</p><p>Se o desenho estivesse completo, ele seria um polígono</p><p>regular composto por triângulos equiláteros não</p><p>sobrepostos, com dois de seus vértices sobre um círculo,</p><p>e formando um ângulo de 40°, como indicado na figura.</p><p>Quando a figura estiver completa, o número de triângulos</p><p>equiláteros com dois de seus vértices sobre o círculo será</p><p>A) 10.</p><p>B) 12.</p><p>C) 14.</p><p>D) 15.</p><p>E) 18.</p><p>08. (Insper-SP) Um polígono regular possui n lados, sendo</p><p>n um número par maior ou igual a 4. Uma pessoa uniu</p><p>dois vértices desse polígono por meio de um segmento</p><p>de reta, dividindo-o em dois polígonos convexos P1 e P2,</p><p>congruentes entre si. O número de lados do polígono P1</p><p>é igual a</p><p>A) n</p><p>2</p><p>2+ .</p><p>B) n</p><p>2</p><p>1+ .</p><p>C) n</p><p>2</p><p>.</p><p>D) n</p><p>2</p><p>1− .</p><p>E) n</p><p>2</p><p>2− .</p><p>09. (Unesp) O papelão utilizado na fabricação de caixas</p><p>reforçadas é composto de três folhas de papel, coladas</p><p>umas nas outras, sendo que as duas folhas das faces são</p><p>“lisas” e a folha que se intercala entre elas é “sanfonada”,</p><p>conforme mostrado na figura.</p><p>RExt</p><p>O fabricante desse papelão compra o papel em bobinas, de</p><p>comprimento variável. Supondo que a folha “sanfonada”</p><p>descreva uma curva composta por uma sequência de</p><p>semicircunferências, com concavidades alternadas e</p><p>de raio externo (RExt) de 1,5 mm, determine qual deve</p><p>ser a quantidade de papel da bobina que gerará a folha</p><p>“sanfonada”, com precisão de centímetros, para que, no</p><p>processo de fabricação do papelão, esta se esgote no</p><p>mesmo instante das outras duas bobinas de 102 m de</p><p>comprimento de papel, que produzirão as faces “lisas”.</p><p>Dado: π = 3,14</p><p>A) 160 m e 07 cm.</p><p>B) 160 m e 14 cm.</p><p>C) 160 m e 21 cm.</p><p>D) 160 m e 28 cm.</p><p>E) 160 m e 35 cm.</p><p>10. (UPE–2017) Num sistema de engrenagens, cada uma tem</p><p>seu raio, de forma que a engrenagem A tem raio com</p><p>medida R; a B tem raio com medida igual à metade do</p><p>raio da engrenagem A, e a C tem raio com medida igual</p><p>a um quarto do raio da engrenagem A. Sendo a medida</p><p>do raio de A igual a 4 cm, quantas voltas A dará quando</p><p>C percorrer o equivalente a 3 600 cm?</p><p>A</p><p>C</p><p>B</p><p>A) 2 400</p><p>B) 1 200</p><p>C) 600</p><p>D) 300</p><p>E) 150</p><p>Questões Selecionadas</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>9Bernoulli Sistema de Ensino</p><p>TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO</p><p>RETÂNGULO</p><p>01. (UNEB-BA) A tirolesa é uma técnica utilizada para o</p><p>transporte de carga de um ponto a outro. Nessa técnica,</p><p>a carga é presa a uma roldana que desliza por um</p><p>cabo, cujas extremidades geralmente estão em alturas</p><p>diferentes. A tirolesa também é utilizada como prática</p><p>esportiva, sendo considerada um esporte radical.</p><p>Em certo ecoparque, aproveitando a geografia do local,</p><p>a estrutura para a prática da tirolesa foi montada de</p><p>maneira que as alturas das extremidades do cabo pelo</p><p>qual os participantes deslizam estão a cerca de 52 m e</p><p>8 m, cada uma, em relação ao nível do solo, e o ângulo</p><p>de descida formado com a vertical é de 80°.</p><p>Nessas condições, considerando-se o cabo esticado e</p><p>que tg (10°) = 0,176, pode-se afirmar que a distância</p><p>horizontal percorrida, em metros, ao final do percurso,</p><p>é aproximadamente igual a</p><p>A) 250.</p><p>B) 252.</p><p>C) 254.</p><p>D) 256.</p><p>E) 258.</p><p>02. (Unicamp-SP) Ao decolar, um avião deixa o solo com</p><p>um ângulo constante de 15°. A 3,8 km da cabeceira da</p><p>pista, existe um morro íngreme. A figura a seguir ilustra</p><p>a decolagem, fora de escala.</p><p>15°</p><p>3,8 km</p><p>Aeroporto</p><p>Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma</p><p>altura, a partir da sua base, de</p><p>A) 3,8 tan (15°) km.</p><p>B) 3,8 sen (15°) km.</p><p>C) 3,8 cos (15°) km.</p><p>D) 3,8 sec (15°) km.</p><p>03. (UFRN) A escada a seguir tem oito batentes no primeiro</p><p>lance e seis no segundo lance de escada.</p><p>A</p><p>B</p><p>E</p><p>D</p><p>C</p><p>Sabendo que cada batente tem 20 cm de altura e 30 cm</p><p>de comprimento (profundidade), a tangente do ângulo</p><p>CAD mede:</p><p>A) 9</p><p>10</p><p>B) 14</p><p>15</p><p>C) 29</p><p>30</p><p>D) 1</p><p>04. (UECE–2016) As diagonais de um retângulo dividem</p><p>cada um de seus ângulos internos em dois ângulos cujas</p><p>medidas são respectivamente 30° e 60°. Se x é a medida</p><p>do maior lado e y é a medida do menor lado do retângulo,</p><p>então a relação entre x e y é:</p><p>A) x2 – 4y2 = 0</p><p>B) x2 – 2y2 = 0</p><p>C) x2 – 6y2 = 0</p><p>D) x2 – 3y2 = 0</p><p>05. (Unesp) A caçamba de um caminhão basculante tem</p><p>3 m de comprimento das direções de seu ponto mais</p><p>frontal P até a de seu eixo de rotação e 1 m de altura</p><p>entre os pontos P e Q. Quando na posição horizontal, isto</p><p>é, quando os segmentos de retas r e s se coincidirem,</p><p>a base do fundo da caçamba distará 1,2 m do solo. Ela</p><p>pode girar, no máximo, α graus em torno de seu eixo</p><p>de rotação, localizado em sua parte traseira inferior,</p><p>conforme indicado na figura.</p><p>Disponível em: <www.autobrutus.com> (Adaptação).</p><p>Dado cos (α) = 0,8, a altura, em metros, atingida pelo</p><p>ponto P, em relação ao solo, quando o ângulo de giro α</p><p>for máximo, é</p><p>A) 4,8.</p><p>B) 5,0.</p><p>C) 3,8.</p><p>D) 4,4.</p><p>E) 4,0.</p><p>Revisão Lista 2</p><p>10 Bernoulli Sistema de Ensino</p><p>06. (UEMG–2016) Observe a figura.</p><p>Tendo como vista lateral da escada, com 6 degraus, um</p><p>triângulo retângulo isósceles de hipotenusa 10 metros,</p><p>Magali observa que todos os degraus da escada têm a</p><p>mesma altura.</p><p>A medida, em cm, de cada degrau corresponde</p><p>aproximadamente a:</p><p>A) 37</p><p>B) 60</p><p>C) 70</p><p>D) 83</p><p>07. (Mackenzie-SP)</p><p>60°</p><p>A</p><p>C D E F</p><p>B</p><p>60°</p><p>Se, na figura, AD = 3 2 e CF = 14 6, então a medida</p><p>de AB é</p><p>A) 8 6 .</p><p>B) 10 6 .</p><p>C) 12 6 .</p><p>D) 28.</p><p>E) 14 5.</p><p>08. (UFRGS-RS–2017) Considere dois círculos concêntricos</p><p>em um ponto O e de raios distintos; dois segmentos de</p><p>reta AB e CD perpendiculares em O, como na figura a</p><p>seguir.</p><p>A</p><p>B</p><p>D</p><p>C</p><p>O</p><p>Sabendo que o ângulo ADB mede 30° e que o segmento</p><p>AD mede 12, pode-se afirmar que os diâmetros dos</p><p>círculos medem</p><p>A) 12 sen (15°) e 12 cos (15°)</p><p>B) 12 sen (75°) e 24 cos (75°)</p><p>C) 12 sen (75°) e 24 cos (75°)</p><p>D) 24 sen (15°) e 24 cos (15°)</p><p>E) 24 sen (75°) e 12 cos (75°)</p><p>09. (UEPA) Num dos trabalhos escritos no começo do século</p><p>V d.C. na Índia, encontramos uma tabela “meias-cordas”,</p><p>representada na figura a seguir. Essas “meias-cordas”</p><p>representam os nossos atuais senos. Os indianos</p><p>pensavam na meia-corda como o real segmento em um</p><p>círculo com raio particular, como, por exemplo, ocorre</p><p>no livro Almagest, de Claudius Ptolomeu (85-165), que</p><p>utilizou um círculo de raio 60.</p><p>A MATEMÁTICA através dos tempos. Editora Edgard Blücher,</p><p>2008 (Adaptação).</p><p>θ</p><p>θ</p><p>Meia-corda</p><p>Metade da corda do</p><p>dobro do ângulo</p><p>Utilizando o mesmo raio considerado por Ptolomeu, o</p><p>valor da meia-corda indicado na figura para um ângulo</p><p>de θ = 45° é:</p><p>A) 30 2</p><p>B) 15 2</p><p>C) 15 2</p><p>2</p><p>D) 2</p><p>2</p><p>E)</p><p>2</p><p>4</p><p>10. (Insper-SP–2016) O quadrilátero ABCD indicado na figura</p><p>possui ângulo reto em A, um ângulo externo de 60° em B</p><p>e três lados de medidas conhecidas, que são AB = 7 cm,</p><p>BC = 6 cm e CD = 12 cm.</p><p>A B7 cm</p><p>12 cm</p><p>6 cm</p><p>60°</p><p>D</p><p>C</p><p>Nesse quadrilátero, a medida de AD, em centímetros,</p><p>é igual a:</p><p>A) 3 2 3. ( )+</p><p>B) 2 11 3 3+</p><p>C) 2 11 3. ( )+</p><p>D) 9 3</p><p>E) 12 3</p><p>Questões Selecionadas</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>11Bernoulli Sistema de Ensino</p><p>CICLO TRIGONOMÉTRICO E</p><p>FUNÇÕES SENO E COSSENO</p><p>01. (UFMS–2020) Às 12 horas, os ponteiros dos minutos e</p><p>das horas se superpõem, e às 13 horas eles fazem um</p><p>ângulo de 30°. Seguindo esse raciocínio, o valor da soma</p><p>dos ângulos formados às 15h30min e às 18h40min é:</p><p>A) 150°</p><p>B) 115°</p><p>C) 75°</p><p>D) 40°</p><p>E) 35°</p><p>02. (UEPA) A ornamentação de carrocerias de veículos é uma</p><p>tradição antiga que se inicia com o uso de transportes</p><p>de carga motorizados no Brasil. A tradição de decorar</p><p>carrocerias particulariza e traz personalidade a cada</p><p>veículo por meio de cores, grafismos e elementos visuais</p><p>pertinentes a cada cultura em que estão inseridos. Um</p><p>dos moldes utilizados para pintar, fabricado em chapa</p><p>metálica galvanizada e desenho cortado a laser, está</p><p>representado na figura 1 a seguir. Inserindo um sistema</p><p>cartesiano ortogonal na figura 1, obtém-se a figura 2,</p><p>na qual estão representadas as funções trigonométricas</p><p>f1, f2, f3 e f4. Nessas condições e considerando que a lei</p><p>de formação de cada uma das funções representadas na</p><p>figura 2 são do tipo y = f(x) = a + b . sen (cx + d), com</p><p>a, b, c e d números reais, é correto afirmar que:</p><p>y2 = f2(x) y1 = f1(x)</p><p>y3 = f3(x)</p><p>Figura 1: Moldes Figura 2: Moldes no sistema cartesiano</p><p>–2 – 2π 2 + 2π</p><p>x</p><p>y</p><p>–2 – π 2 + π–2</p><p>–4</p><p>–3</p><p>–2</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>2</p><p>y4 = f4(x)</p><p>A) y = f1(x) = 3 + sen (x + 2)</p><p>B) y = f2(x) = 3 + sen (x – 2)</p><p>C) y = f3(x) = –3 + sen (x – 2)</p><p>D) y = f4(x) = –3 – sen (x – 2)</p><p>E) y = f1(x) = 3 – sen (x – 2)</p><p>03. (UECE–2018) O valor da soma sen (x) + sen (x + π) +</p><p>sen (x + 2π) + sen (x + 3π) + ... + sen (x + nπ), em que</p><p>n é um número natural par e menor do que 100 é</p><p>A) sen (x).</p><p>B) cos (x).</p><p>C) 0.</p><p>D) 1.</p><p>04. (UFRGS-RS–2020) O valor máximo da função</p><p>trigonométrica f(x) = 2sen (x) + 2cos (x) é:</p><p>A) 2</p><p>B) 2</p><p>C) 3</p><p>D) 5</p><p>E) π</p><p>05. (UPE–2018) A função y = a + b . cos (x), com a e b reais,</p><p>representada graficamente a seguir, intersecta o eixo y</p><p>no ponto de coordenadas (0, –1) e tem valor máximo</p><p>y = 5. Qual é o valor da soma 5a + 2b?</p><p>–2</p><p>0</p><p>0</p><p>2</p><p>2 4 6 8 10 12 14 16 18</p><p>4</p><p>6</p><p>8</p><p>10</p><p>y = a + b cos (x)</p><p>y</p><p>x</p><p>–2</p><p>A) 4</p><p>B) –1</p><p>C) 3</p><p>D) –2</p><p>E) 6</p><p>06. (UEG-GO–2016) Na competição de skate, a rampa em</p><p>forma de U tem o nome de vert, onde os atletas fazem</p><p>diversas manobras radicais. Cada uma dessas manobras</p><p>recebe um nome distinto de acordo com o total de giros</p><p>realizados pelo skatista e pelo skate. Uma delas é a “180</p><p>allie frontside”, que consiste num giro de meia-volta.</p><p>Sabendo-se que 540° e 900° são côngruos a 180°, um</p><p>atleta que fez as manobras 540 Mc Tuist e 900 realizou</p><p>giros completos de</p><p>A) 1,5 e 2,5 voltas respectivamente.</p><p>B) 0,5 e 2,5 voltas respectivamente.</p><p>C) 1,5 e 3,0 voltas respectivamente.</p><p>D) 3,0 e 5,0 voltas respectivamente.</p><p>E) 1,5 e 4,0 voltas respectivamente.</p><p>07. (EBMSP–2018) A forma de onda senoidal</p><p>ocorre,</p><p>naturalmente, na natureza, como se pode observar</p><p>nas ondas do mar, na propagação do som e da luz, no</p><p>movimento de um pêndulo, na variação da pressão</p><p>sanguínea do coração, etc.</p><p>y</p><p>x</p><p>P Q</p><p>π</p><p>12</p><p>Revisão Lista 2</p><p>12 Bernoulli Sistema de Ensino</p><p>Um determinado fenômeno é modelado através da função f x sen x( ) � � ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�1 2 2</p><p>6</p><p>� parcialmente representada no gráfico.</p><p>Sendo P e Q pontos desse gráfico, é correto afirmar que o par ordenado que representa Q é:</p><p>A) 24</p><p>24</p><p>1 2� , ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>B) 13</p><p>12</p><p>1 3� , ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>C) 7</p><p>6</p><p>3 2� , ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>D) 5</p><p>4</p><p>1 3� , ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>E) 17</p><p>12</p><p>1 2� , ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>08. (Unesp–2018) A figura indica os gráficos das funções I, II e III. Os pontos A (72°, 0,309), B (xB, –0,309) e C (xC, 0,309) são</p><p>alguns dos pontos de intersecção dos gráficos.</p><p>y = cos x</p><p>y = 0,309</p><p>y = –0,309</p><p>0° xA = 72°</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>y</p><p>I</p><p>II</p><p>III</p><p>xxB xc</p><p>0</p><p>Nas condições dadas, xB + xC é igual a</p><p>A) 538°.</p><p>B) 488°.</p><p>C) 540°.</p><p>D) 432°.</p><p>E) 460°.</p><p>09. (UERJ–2020) O gráfico a seguir representa a função periódica definida por f(x) = 2 . sen (x), x ∈ . No intervalo � �</p><p>2</p><p>5</p><p>2</p><p>,�</p><p>��</p><p>�</p><p>��</p><p>, A e</p><p>B são pontos do gráfico nos quais f f� �</p><p>2</p><p>5</p><p>2</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� são valores máximos dessa função.</p><p>0</p><p>A</p><p>D C</p><p>B</p><p>y</p><p>x</p><p>2</p><p>π π 2π 5π3</p><p>2</p><p>π 5</p><p>2</p><p>π</p><p>A área do retângulo ABCD é:</p><p>A) 6π</p><p>B) 5π</p><p>C) 4π</p><p>D) 3π</p><p>10. (UFG-GO) As cidades de Goiânia e Curitiba têm, aproximadamente, a mesma longitude. Goiânia fica a uma latitude de 16°40’,</p><p>enquanto a latitude de Curitiba é de 25°25’. Considerando-se que a Terra seja aproximadamente esférica, com a linha do</p><p>Equador medindo, aproximadamente, 40 000 km, a distância entre as duas cidades, em quilômetros, ao longo de um meridiano,</p><p>A) é menor que 700.</p><p>B) fica entre 700 e 800.</p><p>C) fica entre 800 e 900.</p><p>D) fica entre 900 e 1 000.</p><p>E) é maior que 1 000.</p><p>Questões Selecionadas</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>13Bernoulli Sistema de Ensino</p><p>GABARITO</p><p>Equação, Fatoração e Produto</p><p>Notável</p><p>01. A</p><p>02. C</p><p>03. B</p><p>04. B</p><p>05. D</p><p>06. A</p><p>07. E</p><p>08. A</p><p>Função: Introdução</p><p>01. C</p><p>02. E</p><p>03. E</p><p>04. C</p><p>05. E</p><p>06. C</p><p>07. D</p><p>08. B</p><p>09. B</p><p>10. D</p><p>Semelhança de Triângulo e</p><p>Quadriláteros</p><p>01. E</p><p>02. B</p><p>03. D</p><p>04. A</p><p>05. B</p><p>06. E</p><p>07. D</p><p>08. C</p><p>09. C</p><p>10. B</p><p>Polígonos e</p><p>Circunferência</p><p>01. B</p><p>02. D</p><p>03. B</p><p>04. C</p><p>05. B</p><p>06. B</p><p>07. E</p><p>08. B</p><p>09. B</p><p>10. E</p><p>Trigonometria no</p><p>Triângulo Retângulo</p><p>01. A</p><p>02. A</p><p>03. B</p><p>04. D</p><p>05. C</p><p>06. A</p><p>07. C</p><p>08. D</p><p>09. A</p><p>10. B</p><p>Ciclo Trigonométrico e Funções</p><p>Seno e Cosseno</p><p>01. B</p><p>02. D</p><p>03. A</p><p>04. B</p><p>05. A</p><p>06. A</p><p>07. D</p><p>08. C</p><p>09. C</p><p>10. D</p><p>Revisão Lista 2</p><p>14 Bernoulli Sistema de Ensino</p>