USF_EAD_Pesquisa_e_modelagem_operacional_completo

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<p>WASHINGTON DE MACEDO LEMOS</p><p>PESQUISA e</p><p>modelagem OPERACIONAL</p><p>2024</p><p>PESQUISA E MODELAGEM OPERACIONAL</p><p>Washington de Macedo Lemos</p><p>PRESIDENTE</p><p>Frei Thiago Alexandre Hayakawa, OFM</p><p>DIRETOR GERAL</p><p>Jorge Apóstolos Siarcos</p><p>REITOR</p><p>Frei Gilberto Gonçalves Garcia, OFM</p><p>VICE-REITOR</p><p>Frei Thiago Alexandre Hayakawa, OFM</p><p>PRÓ-REITOR DE ADMINISTRAÇÃO E PLANEJAMENTO</p><p>Adriel de Moura Cabral</p><p>PRÓ-REITOR DE ENSINO, PESQUISA E EXTENSÃO</p><p>Dilnei Giseli Lorenzi</p><p>COORDENADOR DO NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA - NEAD</p><p>Franklin Portela Correia</p><p>CENTRO DE INOVAÇÃO E SOLUÇÕES EDUCACIONAIS - CISE</p><p>Franklin Portela Correia</p><p>CURADORIA TÉCNICA</p><p>Henrique Martins Rocha</p><p>DESIGNER INSTRUCIONAL</p><p>Luiza Cunha Canto Correia de Morais</p><p>REVISÃO ORTOGRÁFICA</p><p>Beatriz Juliana Francisco Acencio</p><p>PROJETO GRÁFICO</p><p>Impulsa Comunicação</p><p>PROJETO GRÁFICO</p><p>Centro de Inovação e Soluções Educacionais - CISE</p><p>CAPA</p><p>Centro de Inovação e Soluções Educacionais - CISE</p><p>DIAGRAMADORES</p><p>Andréa Ercília Calegari</p><p>Lucas Ichimaru Testa</p><p>© 2024 Universidade São Francisco</p><p>Avenida São Francisco de Assis, 218</p><p>CEP 12916-900 – Bragança Paulista/SP</p><p>CASA NOSSA SENHORA DA PAZ – AÇÃO SOCIAL FRANCISCANA, PROVÍNCIA</p><p>FRANCISCANA DA IMACULADA CONCEIÇÃO DO BRASIL –</p><p>ORDEM DOS FRADES MENORES</p><p>O AUTOR</p><p>WASHINGTON DE MACEDO LEMOS</p><p>Mestre em Engenharia de Produção pela COPPE/UFRJ em Avaliação de Projetos In-</p><p>dustriais, graduado em Engenharia de Produção pela Universidade do Estado do Rio de</p><p>Janeiro. Atuou 10 anos em multinacionais do setor automobilístico e siderúrgico na área</p><p>de Supply Chain. Professor Universitário atuando nos cursos de Engenharia e Adminis-</p><p>tração e coordenador de grupos de inovação em educação. Fundador da EduCanvas</p><p>consultoria em Inovação em Educação. Coordenador do primeiro curso na modalidade</p><p>Dual Study do Brasil, feito em parceria com a AHK Brasil e DHLA nas Faculdades Dom</p><p>Bosco (Resende/RJ). Especialização na Finlândia no programa do 21st Century Educa-</p><p>tors from Finland, Active Learning Methods in Theory and in Practice.</p><p>SUMÁRIO</p><p>UNIDADE 01: TOMADA DE DECISÃO EM NEGÓCIOS .......................................6</p><p>1. Processos para a tomada de decisão .................................................................8</p><p>2. Resolução usando planilha eletrônica (atingir meta) ..........................................12</p><p>3. Modelagem em Programação Linear ..................................................................15</p><p>4. Otimização: a busca por uma solução ótima (MS Solver) ..................................26</p><p>UNIDADE 02: ANÁLISE DOS RESULTADOS ........................................................40</p><p>1. Analisando cenários e os limites do modelo .......................................................40</p><p>2. Conceitos de Sensibilidade e Preço Sombra ......................................................47</p><p>3. Análise de Sensibilidade e Preço Sombra (abrir os relatórios) ...........................56</p><p>UNIDADE 03: MÉTODO SIMPLEX .........................................................................70</p><p>1. Método Simplex ...................................................................................................71</p><p>2. Análise de Sensibilidade e Preço Sombra no Simplex ........................................85</p><p>3. Dualidade ............................................................................................................87</p><p>UNIDADE 04: MODELOS DE TRANSPORTE E TEORIA DAS FILAS ................104</p><p>1. Redes e Modelo de Transportes .........................................................................104</p><p>2. Introdução a processos estocásticos e risco e incerteza ....................................132</p><p>3. Cadeias de Markov (Matriz de transição, Classificação, Distribuições-limite) ....132</p><p>4. Introdução à teoria das filas ................................................................................133</p><p>6</p><p>1</p><p>Tomada de decisão em negócios UNIDADE 1</p><p>TOMADA DE DECISÃO EM</p><p>NEGÓCIOS</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Toda empresa necessita otimizar seus processos, mas o que exatamente isso quer</p><p>dizer? Considere uma empresa de biscoitos, ou de cookies, como também são cha-</p><p>mados. Para fazer seus mais diversos tipos de produto, essa empresa necessita de</p><p>recursos. Entenda recursos como qualquer insumo necessário ao processo produtivo:</p><p>matéria-prima (como trigo, açúcar, chocolate), mão de obra (cozinheiros, compradores,</p><p>seguranças), energia elétrica para as máquinas, água para uso produtivo (industrial) e</p><p>pessoal, tempo (preparar os cookies consome tempo, obviamente). Esses são apenas</p><p>alguns recursos da empresa. Como tudo isso é usado para produzir os cookies, quando</p><p>a empresa reduz o consumo desses recursos e/ou aumenta a produção, ela se torna</p><p>mais eficiente, o que ocorre por meio da otimização de seus processos. Otimizar signi-</p><p>fica consumir menos recursos e/ou conseguir melhores resultados.</p><p>Em Pesquisa Operacional (P.O.), nosso objetivo é fazer o melhor uso possível dos re-</p><p>cursos para alcançar os resultados esperados. É por isso que dizemos que Pesquisa</p><p>Operacional é o processo de auxílio nas tomadas de decisão. A P.O. tem origem na</p><p>necessidade de resolver e controlar problemas complexos de produção de bem e ser-</p><p>viço, logística, controle de recursos e projetos. Ela é intrinsecamente multidisciplinar,</p><p>reunindo conceitos de estatística, psicologia e economia, matematicamente orientada</p><p>para que seja capaz de resolver os problemas de maneira quantitativa.</p><p>A Pesquisa Operacional é uma das maiores conquistas científicas do século XX. Tradicio-</p><p>nalmente atribui-se seu surgimento como fruto dos desafios bélicos da Segunda Grande</p><p>Guerra (1939-1945). Nesse período, George Dantzing desenvolveu o método Simplex, que</p><p>reduziu drasticamente o tempo de resolução de problemas que envolvem programação</p><p>linear (LACHTERMACHER, 2007, p. 10), e é nessa mesma época que surgem os primeiros</p><p>computadores eletrônicos, fundamentais na pesquisa operacional. Nos tempos posteriores</p><p>ao conflito, grupos de estudiosos e empresários que buscavam métodos mais eficientes</p><p>e eficazes de organizar as atividades produtivas e reconstruir a Europa e o Japão viram</p><p>nessas ferramentas um instrumento poderoso para ganho de produtividade. Na atualidade,</p><p>a busca por processo otimizados tornou-se também uma necessidade social, em busca de</p><p>reduzir os impactos ambientais (consumir menos recursos naturais) e os preços dos produ-</p><p>tos essenciais, dando a uma parcela maior da população acesso a esses produtos.</p><p>A distribuição de recursos escassos geralmente é o cerne de um processo que envolva</p><p>Tomada de Decisão em Pesquisa Operacional. De uma maneira geral, há o desejo de</p><p>7</p><p>1</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>planejar uma atividade ou um conjunto de atividades de modo que o resultado seja ótimo</p><p>(o melhor resultado possível de ser alcançado, considerando as variáveis envolvidas)</p><p>Dessa maneira, pode-se perceber que aquilo que constituiu a maior qualidade da Pes-</p><p>quisa Operacional também determina seus limites. Ao buscar o “método científico”, a</p><p>Pesquisa Operacional começa com a investigação do problema, a observação dos fa-</p><p>tos, a formulação da problemática definindo as variáveis de decisão e as circunstâncias</p><p>relevantes (LAWRENCE; PASTERNACK, 2002, p. 26). Após isso, será definido um mo-</p><p>delo matemático que represente o problema real no que ele tem de essencial, ficando</p><p>implícita a premissa de que existe a expectativa de que a solução do modelo matemá-</p><p>tico seja generalizável e válida para o problema real. E, por essa razão, é fundamental</p><p>validar a solução proposta pelo modelo.</p><p>Fica claro, então, que a Pesquisa Operacional tem o compromisso de ser uma ferra-</p><p>menta de gestão, fornecendo soluções práticas a problemas reais e auxiliando na toma-</p><p>da de decisão. Vejamos um exemplo:</p><p>O que é preciso saber em um aeroporto?</p><p>O Aeroporto Internacional de São Paulo – Guarulhos (GRU), em um ano típico, recebe mais</p><p>de 290 mil pousos e decolagens, movimentando mais de 43 milhões de embarques e desem-</p><p>barques. São 51 destinos</p><p>fabricar o produto A são necessárias 9 unidades</p><p>do recurso I, 10 unidades do recurso II e 8 unidades do recurso III. Já o produto B exige, para ser</p><p>fabricado, 4 unidades do recurso I, 5 unidades do recurso II e 9 unidades do recurso III.</p><p>Porém, existe uma incerteza a respeito dos valores dos coeficientes tecnológicos, ou seja,</p><p>quanto de recurso cada produto consome para ser produzido, devido a eventuais variações</p><p>no processo produtivo. Segundo o histórico disponível na empresa, os recursos consumidos</p><p>para fazer o produto B podem oscilar em 10%. Dessa forma, como você poderia auxiliar o</p><p>processo de tomada de decisão para essa empresa?</p><p>O primeiro passo a ser dado será proceder como fizemos na unidade anterior e apre-</p><p>sentar a modelagem matemática para esse problema. A definição das variáveis de de-</p><p>cisão é a primeira necessidade. Para esse problema podemos definir as variáveis de</p><p>decisão como a quantidade a ser produzida de cada produto. Logo:</p><p>1 x quantidadea ser produzida do produto A=</p><p>2 x quantidadea ser produzida do produto B=</p><p>42</p><p>Análise dos resultados</p><p>2</p><p>Com essas varáveis definidas, podemos escrever a função objetivo, que represen-</p><p>ta o objetivo final do problema. Nesse caso, trata-se de maximizar o faturamento</p><p>total da empresa:</p><p>1 257 34= + →máx Z x x</p><p>Essa expressão representa o faturamento total da empresa. O</p><p>termo 157x significa o faturamento advindo da venda do produto A e 2 34x o faturamento</p><p>advindo da venda do produto B.Uma vez definida a função objetivo, o próximo passo é</p><p>elaborar a formulação matemática para cada restrição produtiva. Vemos uma por uma:</p><p>Recurso I:</p><p>Recurso II:</p><p>Para esse recurso sabemos que o valor máximo diário que pode ser consumido é</p><p>de 250 unidades. Vamos definir a expressão que representa o consumo diário des-</p><p>se recurso: se o consumo unitário desse recurso pelo produto A é de 9 unidades,</p><p>podemos deduzir que, em um caso hipotético no qual produzíssemos 2 unidades</p><p>do produto A, haveria a necessidade de 9 x 2 = 18 unidades. Assim, a produção de</p><p>1x unidades necessitará de 19x unidades do recurso I. O mesmo raciocínio pode</p><p>ser aplicado para o produto B que necessita de 4 unidades desse recurso, isto é, a</p><p>produção de 2x unidades necessitará de 24x unidades do recurso I. Assim, pode-</p><p>mos dizer que o valor total consumido do Recurso I para produção dos Produtos</p><p>A e B simultaneamente é dado por: 1 2 9 4+ x x . Como o valor total consumido do Re-</p><p>curso I necessita estar dentro da disponibilidade total diária, que é de 250 unidades,</p><p>podemos escrever matematicamente que esse valor precisa ser menor ou igual a</p><p>250, isto é:</p><p>1 29 4 250+ ≤ x x equação 1</p><p>Para esse recurso sabemos que o valor máximo diário que pode ser consumido é</p><p>de 300 unidades. Vamos definir a expressão que representa o consumo diário des-</p><p>se recurso. Se o consumo unitário desse recurso pelo produto A é de 10 unidades,</p><p>podemos deduzir que, em um caso hipotético no qual produzíssemos 2 unidades</p><p>do produto A, haveria a necessidade de 10 x 2 = 20 unidades e, assim, a produção</p><p>de 1x unidades necessitará de 110x unidades do Recurso II. O mesmo raciocínio</p><p>pode ser aplicado para o produto B que necessita de 5 unidades desse recurso: a</p><p>produção de 2x unidades necessitará de 25x unidades do Recurso II. Podemos,</p><p>então, dizer que o valor total consumido do Recurso II para produção dos Produtos</p><p>A e B simultaneamente é dado por: 1 21 0 5+ x x . Como o valor total consumido do</p><p>Recurso II necessita estar dentro da disponibilidade total diária, que é de 300 uni-</p><p>dades, podemos escrever matematicamente que esse valor precisa ser menor ou</p><p>igual a 300, ou seja:</p><p>1 210 5 300+ ≤ x x equação 2</p><p>43</p><p>2</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Recurso III:</p><p>Considerando que seja impossível a produção de valores negativos dos produ-</p><p>tos A e B, podemos transcrever o modelo matemático final já com a restrições</p><p>de não negatividade:</p><p>1 257 34= +máx Z x x</p><p>Sujeito a:</p><p>1 29 4 250+ ≤ x x</p><p>1 210 5 300+ ≤ x x</p><p>1 28 9 450+ ≤ x x</p><p>1 20 0≥ ≥x x</p><p>Para esse recurso sabemos que o valor máximo diário que pode ser consumido é</p><p>de 450 unidades. Vamos definir a expressão que representa o consumo diário des-</p><p>se recurso. Se o consumo unitário desse recurso pelo produto A é de 8 unidades,</p><p>podemos deduzir que, em um caso hipotético no qual produzíssemos 2 unidades</p><p>do produto A, haveria a necessidade de 8 x 2 = 16 unidades e, assim, a produção</p><p>de 1x unidades necessitará de 18x unidades do Recurso III. O mesmo raciocínio</p><p>pode ser aplicado para o produto B que necessita de 9 unidades desse recurso: a</p><p>produção de 2x unidades necessitará de 29x unidades do Recurso III. Dessa forma</p><p>podemos dizer que o valor total consumido do Recurso III para produção dos Pro-</p><p>dutos A e B simultaneamente é dado por: 1 2 8 9+ x x . Como o valor total consumido</p><p>do Recurso III necessita estar dentro da disponibilidade total diária, que é de 450</p><p>unidades, podemos escrever matematicamente que esse valor precisa ser menor</p><p>ou igual a 450, isto é:</p><p>1 28 9 450+ ≤ x x equação 3</p><p>Figura 01. Modelagem do Exemplo 1</p><p>Fonte: captura de tela do software Solver elaborada pelo autor.</p><p>Utilizando uma planilha eletrônica e o MS Solver, podemos solucionar o problema. Na</p><p>Figura 01 estão as fórmulas a serem colocadas e os respectivos valores.</p><p>44</p><p>Análise dos resultados</p><p>2</p><p>Uma vez colocada na planilha, vamos usar o Solver. Nesse momento, como a todas as</p><p>restrições são do mesmo sinal (≤) podemos, ao adicionar as restrições, fazer em “lote”,</p><p>ou seja, selecionar todos os valores na coluna D e dizer que eles precisam ser menores</p><p>ou iguais aos valores da coluna F – é um recurso que agiliza o “input” de dados no Sol-</p><p>ver. A Figura 02 indica como ficará o Solver antes de gerar a solução ótima.</p><p>Uma vez gerada a solução, disponível na Figura 03, podemos identificar a solução pro-</p><p>posta. A solução ótima indicada é produzir 9 unidades do produto A e 42 unidades do</p><p>produto B (lembre-se: solução ótima é o conjunto de valores das variáveis de decisão,</p><p>1x</p><p>e 2x</p><p>nesse problema, que otimizam o modelo: não é o valor da função objetivo,</p><p>Figura 02. Solver para resolução do Exemplo 1</p><p>45</p><p>2</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Figura 03. Solução do Exemplo 1</p><p>Fonte: captura de tela do software Solver elaborada pelo autor.</p><p>Variação para cima (cenário a)</p><p>Com a variação desse percentual para cima, serão necessários 10% adicionais dos recursos</p><p>para fazer o produto B, isto é: para o Recurso I teremos a necessidade de 4 unidades + 10%</p><p>de 4 unidades, isso resultará em 1,1 x 4 = 4,4 unidades. Para o Recurso II teremos a neces-</p><p>sidade de 5 unidades + 10% de 5 unidades, isso resultará em 1,1 x 5 = 5,5 unidades. Por fim,</p><p>para o Recurso III teremos a necessidade de 9 unidades + 10% de 9 unidades, isso resultará</p><p>em 1,1 x 9 = 9,9 unidades. O resultado é um novo modelo matemático:</p><p>1 2 57 34máxZ x x= +</p><p>Sujeito a:</p><p>1 29 4,4 250x + ≤ x</p><p>1 210 5,5 300x + ≤ x</p><p>1 28 9,9 450x + ≤ x</p><p>1 20 0x x≥ ≥</p><p>isto é, o valor de máxZ ). O valor ótimo da função objetivo vai representar o faturamento</p><p>máximo diário da empresa com a venda desses produtos, o que será R$ 1.941.</p><p>Fonte: captura de tela do software Solver elaborada pelo autor.</p><p>Ainda podemos descobrir pela solução do Solver qual é a situação dos recursos. Obser-</p><p>vando a coluna D, identifica-se que os Recursos II e III estão restringindo a produção,</p><p>pois eles acabaram (o valor da coluna D é igual ao da coluna F), mas fica claro que,</p><p>em termos práticos, o Recurso I também está restringindo, pois sobrou apenas uma</p><p>unidade e seu uso é de 9 para o produto A e 4 para o produto B. Ou seja, para expandir</p><p>a produção diária, a disponibilidade desse recurso também necessitará ser aumentada.</p><p>Agora podemos iniciar uma análise de pós-otimalidade e verificar alguns cenários al-</p><p>ternativos para o problema. Temos a informação de que os recursos consumidos para</p><p>fazer o produto B podem</p><p>oscilar em 10%. O problema indicou que produto B exige, para</p><p>ser fabricado, 4 unidades do recurso I, 5 unidades do recurso II e 9 unidades do recurso</p><p>III, porém, com uma variação de 10%, podemos descrever dois cenários.</p><p>46</p><p>Análise dos resultados</p><p>2</p><p>Variação para baixo (cenário b)</p><p>Com a variação desse percentual para baixo, é preciso reduzir em 10% os recursos usados</p><p>fazer o produto B, ou seja: para o Recurso I teremos a necessidade de 4 unidades - 10% de 4</p><p>unidades, isso resultará em 0,9 x 4 = 3,6 unidades. Para o Recurso II teremos a necessidade</p><p>de 5 unidades - 10% de 5 unidades, isso resultará em 0,9 x 5 = 4,5 unidades. Por fim, para o</p><p>Recurso III teremos a necessidade de 9 unidades - 10% de 9 unidades, isso resultará em 0,9</p><p>x 9 = 8,1 unidades. O resultado é um novo modelo matemático:</p><p>1 2 57 34máxZ x x= +</p><p>Sujeito a:</p><p>1 29 3,6 250x + ≤ x</p><p>1 210 4,5 300x + ≤ x</p><p>1 28 8,1 450x + ≤ x</p><p>1 20 0x x≥ ≥</p><p>Esse novo modelo pode ser resolvido e será encontrada uma nova solução utilizando o MS</p><p>Solver, que pode ser vista na Figura 5. Aqui vale, por redundância de zelo, a mesma observa-</p><p>ção: quando fizer uma alteração no modelo matemático, rode novamente o MS Solver;</p><p>não considere os números que vão aparecer na planilha antes de rodar o Solver.</p><p>Percebe-se que a alteração na solução foi coerente com a primeira resposta: como agora</p><p>para produzir o produto B consome-se menos recursos, houve um aumento na produção</p><p>desse item e no valor da função objetivo.</p><p>Esse novo modelo pode ser resolvido e será encontrada uma nova solução utilizando o MS</p><p>Solver, que pode ser vista na Figura 04. Aqui uma observação muito importante: quando</p><p>fizer uma alteração no modelo matemático, rode novamente o MS Solver; não considere os</p><p>números que vão aparecer na planilha antes de rodar o Solver.</p><p>Percebe-se que a alteração na solução foi coerente com a primeira resposta: como agora</p><p>para produzir o produto B consome-se mais recursos, houve uma queda na produção desse</p><p>item e uma redução no valor da função objetivo.</p><p>Figura 04. Solução do Exemplo 1 considerando o cenário “a”</p><p>Fonte: captura de tela do software Solver elaborada pelo autor.</p><p>47</p><p>2</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Figura 05. Solução do Exemplo 1 considerando o cenário “b”</p><p>Fonte: captura de tela do software Solver elaborada pelo autor.</p><p>Com a análise desses três cenários, poderíamos indicar para a empresa que os modelos</p><p>estão coerentes entre si e que há uma escassez dos três recursos em qualquer um dos</p><p>cenários. Além disso, o produto B tende a permanecer o que mais deve ser produzido.</p><p>Porém, e se outras alterações forem propostas, como a disponibilidade dos recursos ou a</p><p>valor de venda de um produto? Essas alterações são capazes de produzir insights especiais</p><p>e por isso serão abordados em separado no item a seguir.</p><p>2. CONCEITOS DE SENSIBILIDADE E PREÇO SOMBRA</p><p>Os modelos de pesquisa operacional, especialmente os de programação linear, podem</p><p>ser interpretados como alocação de recursos (PASSOS, 2008, p. 14; TAHA, 2008, p.</p><p>36). Dessa forma, os valores que estão do lado direito das restrições (depois dos si-</p><p>nais ≤ ou ≥ ) representam quase sempre a disponibilidade de um determinado recurso.</p><p>Essa disponibilidade, no mundo real, tem uma certa flexibilidade e ela é de fundamental</p><p>importância para os tomadores de decisão e para as empresas. Por exemplo, essa</p><p>flexibilidade pode ser advinda da capacidade produtiva de um determinado fornecedor</p><p>que tem um limite para atender às demandas de seus clientes, restringindo, consequen-</p><p>temente, a produção desses clientes. Nesse caso, vale questionar as opções de ter</p><p>outro fornecedor para atender à demanda excedente, auxiliar o fornecedor a expandir</p><p>sua capacidade produtiva ou, ainda, trocar de fornecedor. Essa alteração no lado direito</p><p>das restrições nos permite introduzir o conceito de preço sombra (chamado também de</p><p>Preço Dual, Shadow Price ou Dual Price).</p><p>O preço sombra é a taxa de variação da função objetivo quando uma restrição sofre</p><p>uma variação marginal, isto é, trata-se de quanto a função objetivo vai alterar para cada</p><p>unidade adicional ou reduzida de um determinado recurso. “O preço-sombra para o re-</p><p>curso i (representado por yi) mede o valor marginal deste recurso, isto é, a taxa na qual</p><p>Z poderia ser aumentado, elevando-se ligeiramente a quantidade do recurso (bi) que</p><p>está sendo disponibilizado” (HILLIER; LIEBERMAN, 2010, p. 140).</p><p>Pode-se dizer que, no caso de não haver qualquer outra alteração no modelo, o preço</p><p>sombra de uma determinada restrição é a mudança que a função objetivo deve sofrer</p><p>quando houver uma alteração unitária do lado direito dessa restrição.</p><p>48</p><p>Análise dos resultados</p><p>2</p><p>Fonte: captura de tela do software Solver elaborada pelo autor.</p><p>Uma modificação alternativa poderia ser proposta, considerando que agora a dispo-</p><p>nibilidade do Recurso II sofra uma redução, ou seja, em vez de 300 unidades diárias,</p><p>tenhamos disponíveis apenas 298, isto é, uma redução de 2 unidades.</p><p>Vamos retornar ao Exemplo 1 (incerteza sobre o consumo de recursos). Vimos que a</p><p>disponibilidade para o Recurso II é de 300 unidades por dia. Vamos supor que a empre-</p><p>sa tenha implementado melhorias em seu sistema de suprimentos e agora a disponibi-</p><p>lidade desse Recurso II passa a ser de 301 unidades, ou seja, 1 unidade a mais. Qual</p><p>seria o impacto da alteração no faturamento diário da empresa? Vamos usar apenas</p><p>o conceito de preço sombra para responder à questão. Sabemos que o valor atual do</p><p>faturamento da empresa (antes da alteração, visto na Figura 03) é de R$ 1.941 por dia.</p><p>Considere a informação de que o preço sombra dessa restrição é 4,82 (explicaremos ao</p><p>longo deste capítulo onde você pode encontrar esse número, mas neste momento con-</p><p>sidere apenas a informação dada). Se sabemos o valor do preço sombra podemos cal-</p><p>cular o valor final da função objetivo quando a disponibilidade do recurso II for alterada.</p><p>A variação da função objetiva ( ) será dada pela multiplicação da quantidade</p><p>adicional do Recurso II (uma unidade) vezes o valor do preço sombra (4,82), isto é:</p><p>.</p><p>Dessa forma, o valor final da função objetivo será R$ 1.941 + 4,82 = 1.945,82. Pode-</p><p>mos confirmar o valor rodando o Solver com o modelo alterado:</p><p>1 2 57 34máxZ x x= +</p><p>Sujeito a:</p><p>1 2 9 4 250x x+ ≤</p><p>1 2 10 5 301x x+ ≤</p><p>1 2 8 9 450x x+ ≤</p><p>1 20 0x x≥ ≥</p><p>Figura 06. Solução do Exemplo 1 considerando adição no Recurso II</p><p>Na Figura 06 confirma-se que o valor encontrado pelo Solver foi exatamente o calcu-</p><p>lado aqui.</p><p>49</p><p>2</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Figura 07. Solução do Exemplo 1 considerando redução no Recurso II</p><p>A variação da função objetiva ( ) será dada pela multiplicação da quantidade</p><p>reduzida do Recurso II (2 unidades) vezes o valor do preço sombra (4,82), ou seja:</p><p>.</p><p>Agora, entretanto, propomos uma redução de recursos, o que levará a uma redução da</p><p>produção e, consequentemente, a uma redução do faturamento da empresa. Assim, o</p><p>valor final da função objetivo será R$ 1.941 - 9,64 = R$ 1.931,36. Mais uma vez pode-</p><p>mos confirmar o valor rodando o Solver com o modelo alterado:</p><p>1 2 57 34máxZ x x= +</p><p>Sujeito a:</p><p>1 2 9 4 250x x+ ≤</p><p>1 2 10 5 298x x+ ≤</p><p>1 2 8 9 450x x+ ≤</p><p>1 20 0x x≥ ≥</p><p>Fonte: captura de tela do software Solver elaborada pelo autor.</p><p>Na Figura 07, pode-se identificar que o valor encontrado pelo Solver converge para</p><p>o valor calculado usando o conceito de preço sombra. Uma informação relevante é a</p><p>de que existe um limite para aplicação do preço sombra, isto é, existe uma faixa de</p><p>variação do coeficiente do lado direito, dentro da qual o conceito do preço sombra é</p><p>válido. Fora dessa faixa, não há alternativa que não seja resolver novamente o modelo</p><p>matemático, seja no MS Solver ou outro mecanismo. Uma maneira de identificar essa</p><p>faixa de validade do preço sombra é consultando os relatórios disponíveis no MS Sol-</p><p>ver, porém isso será tema do próximo tópico. Antes de irmos para ele,</p><p>é necessário</p><p>vermos outros tipos de alterações possíveis.</p><p>Outro tipo de alteração muito comum e de grande valor para o processo decisório é o</p><p>que envolve os coeficientes da função objetivo: a análise desses coeficientes é denomi-</p><p>nada análise da sensibilidade.</p><p>Os valores usados para os parâmetros dos modelos geralmente são apenas estimativas</p><p>das quantidades cujos valores reais não serão conhecidos até que o estudo de</p><p>50</p><p>Análise dos resultados</p><p>2</p><p>programação linear seja implementado em algum momento do futuro. Um dos objetivos</p><p>principais da análise da sensibilidade é o de identificar os parâmetros sensíveis,</p><p>aqueles que não podem ser alterados sem que a solução ótima também seja alterada.</p><p>Esses parâmetros precisam ser estimados com especial cuidado, de modo que</p><p>minimizem o risco de obter uma solução ótima errônea. Eles precisam ser monitorados</p><p>de perto durante a implementação da solução, de modo que, caso descoberto que o</p><p>valor real de um deles seja diferente daquele usado no modelo, é preciso repensar</p><p>o modelo. A análise de sensibilidade do coeficiente da função objetivo nos indicará</p><p>o intervalo dentro do qual, mesmo que haja uma modificação nesses coeficientes, a</p><p>solução ótima não será alterada. Vamos retomar nosso Exemplo 1. Nesse exemplo</p><p>a função objetivo é: 1 2 57 34máxZ x x= + . Podemos identificar os coeficientes da função</p><p>objetivo como 57 (chamamos c1) e 34 (chamamos c2). Então, pelo conceito de análise</p><p>de sensibilidade, cada um desses coeficientes possuem um intervalo dentro do qual a</p><p>alteração vai alterar o valor de Z (função objetivo) mas não o valor da solução ótima</p><p>(valor de 1x e 2x ). Vamos ao nosso exemplo.</p><p>Considere mais uma vez que tenhamos a informação de que o intervalo de sensibilidade</p><p>para c1 (valor do coeficiente da função objetivo que aparece ao lado de 1x ) seja dado por:</p><p>30,22 ≤ c1 ≤ 68. Isso significa que o valor de c1 (que no modelo original é 57) pode assumir</p><p>qualquer valor entre 30,22 e 68 sem que isso altere a solução ótima. Vamos verificar se isso</p><p>é verdade. Considere que a empresa conseguiu novos clientes com maior poder de com-</p><p>pra, de modo que agora o lucro unitário do produto A seja 60. O novo modelo ficaria assim:</p><p>1 2 60 34máxZ x x= +</p><p>Sujeito a:</p><p>1 2 9 4 250x x+ ≤</p><p>1 2 10 5 300x x+ ≤</p><p>1 2 8 9 450x x+ ≤</p><p>1 20 0x x≥ ≥</p><p>Se usarmos o conceito de análise de sensibilidade, a primeira coisa a ser vista é se o novo</p><p>valor está dentro do intervalo da sensibilidade. Nesse caso, a resposta é que sim, está,</p><p>pois 60 está entre 30,22 e 68. Então, pelo conceito de análise de sensibilidade, deduzi-</p><p>mos que essa alteração não poderá mudar a solução ótima, de modo que os valores de</p><p>1x e 2x permanecerão os mesmos. Os valores de 1x e 2x devem permanecer os mes-</p><p>mos da Figura 3: a quantidade produzida do produto A ( 1x ) é 9 e a quantidade a ser pro-</p><p>duzida do produto B ( 2x ) é 42. Entretanto, é fácil deduzir que o valor da função objetivo</p><p>será alterado, pois agora os coeficientes mudaram. Então, podemos calcular esse novo</p><p>valor simplesmente substituindo os dados: ( ) ( )1 2 60 34 60 9 34 42 1 .968máxZ x x= + = × + × = .</p><p>Podemos confirmar se o valor está correto rodando o MS Solver para o modelo altera-</p><p>do. Fazendo isso teremos a planilha da Figura 08, na qual o valor da função objetivo in-</p><p>51</p><p>2</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>dica o mesmo valor aqui calculado: R$ 1.968. É pertinente relembrar que para confirmar</p><p>a validade é imprescindível alterar os valores na planilha e rodar novamente o Solver.</p><p>Apenas alterar o valor do coeficiente na planilha não confirma a validade.</p><p>Figura 08. Solução do Exemplo 1 considerando novo c1</p><p>Fonte: captura de tela do software Solver elaborada pelo autor.</p><p>Quando uma variável de decisão assume na solução ótima o valor zero (neste caso de-</p><p>nominamos essa variável como não básica), pode ser interessante no mundo real deter-</p><p>minar as condições necessárias para as quais essa variável assuma um valor diferente</p><p>de zero, contudo, sem alterar o valor ótimo da função objetivo encontrada. Falamos da</p><p>necessidade de se produzir um determinado produto, apesar da solução ótima do mo-</p><p>delo indicar que não seja produzido. Para que isso seja feito sem prejuízo econômico</p><p>para empresa, os coeficientes da função objetivo referentes a essa variável deverão</p><p>ser alterados. O valor dessa alteração necessária para que ela proporcione a alteração</p><p>da solução ótima sem, contudo, alterar o valor da função objetivo, é denominado custo</p><p>reduzido (LAWRENCE; PASTERNACK, 2002, p. 6). Ou seja, o custo reduzido pode ser</p><p>entendido de duas formas:</p><p>Ex. 2 – Um desafio para marketing</p><p>A sorveteria Paraíso do Sorvete deseja definir o mix de produção de seus três produtos:</p><p>Picolé Cremoso, Sorvete no Pote e Milkshake do Paraíso. Os preços unitários de venda</p><p>desses produtos são, respectivamente, R$ 15, R$ 25 e R$ 32. Para produzir 1 kg de cada um</p><p>desses produtos, três insumos críticos são necessários: emulsificante, creme de leite e leite</p><p>condensado, com disponibilidades diárias de 13 kg, 8 kg e 9 kg, respectivamente. O Picolé</p><p>Cremoso necessita de 0,02 kg de emulsificante, 0,25 kg de creme de leite e 0,3 kg de leite</p><p>condensado. O Sorvete no Pote necessita de 0,03 kg de emulsificante, 0,4 kg de creme de</p><p>a. O quanto é necessário aumentar o lucro unitário referente a um produto (coeficiente da</p><p>função objetivo) para que a solução ótima indicada apresente um valor diferente de zero</p><p>para a variável ao qual se refere.</p><p>b. A taxa de redução da função objetivo caso seja produzido um produto que, segundo a</p><p>solução ótima, não deve ser produzido.</p><p>Só existe sentido em usar o conceito de custo reduzido quando uma das variáveis de</p><p>decisão assume o valor zero na solução ótima e, dessa forma, precisamos de um exem-</p><p>plo diferente do Exemplo 1, pois nele ambas as variáveis de decisão possuem valores</p><p>diferentes de zero. Vamos a um novo exemplo.</p><p>52</p><p>Análise dos resultados</p><p>2</p><p>O modelo completo, considerando já as restrições de não negatividades, é dado por:</p><p>1 2 315 25 32máxZ x x x= + +</p><p>Sujeito a:</p><p>1 2 30,02 0,03 0,05 13x x x+ + ≤</p><p>1 2 30, 25 0,4 0,3 8x x x+ + ≤</p><p>1 2 30,3 0,4 0,5 9x x x+ + ≤</p><p>1 2 30 0 0x x x≥ ≥ ≥</p><p>Ao passar o modelo para a planilha eletrônica, a configuração ficará conforme a Figura 09.</p><p>Para esse problema, as variáveis de decisão podem ser definidas como:</p><p>Figura 09. Modelo do Exemplo 2 no Excel</p><p>leite e 0,4 kg de leite condensado. O Milkshake necessita de 0,05 kg de emulsificante, 0,3 kg</p><p>de creme de leite e 0,5 kg de leite condensado.</p><p>O gestor da sorveteria deseja saber se os valores de cada um dos produtos são viáveis para</p><p>que sejam produzidos sem afetar negativamente o lucro da empresa.</p><p>1 x quantidadea ser produzida de Picolé Cremoso=</p><p>2 x quantidadea ser produzida de Sorveteno Pote=</p><p>3 x quantidadea ser produzida de Milkshake=</p><p>De tal forma que a função objetiva, que representará o faturamento diário da empresa,</p><p>será dada por: 1 2 315 25 32= + +máxZ x x x . As restrições podem ser escritas como:</p><p>` Emulsificante: 1 2 30,02 0,03 0,05 13+ + ≤x x x (equação 03)</p><p>` Creme de Leite: 1 2 30, 25 0,4 0,3 8+ + ≤x x x (equação 04)</p><p>` Leite Condensado: 1 2 30,3 0,4 0,5 9+ + ≤x x x (equação 05)</p><p>Fonte: captura de tela do software Solver elaborada pelo autor.</p><p>53</p><p>2</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Fonte: captura de tela do software Solver elaborada pelo autor.</p><p>O nosso interesse neste momento é analisar como podemos auxiliar a sorveteria Paraíso</p><p>do Sorvete a definir seus preços de modo que os produtos Picolé Cremoso ( 1x ) e Sorvete</p><p>em Pote ( 2x ) possam ser produzidos, sem que isso afete o faturamento da empresa, isto</p><p>é, sem alterar o valor da Função Objetivo, que é de R$ 576/dia. Para isso podemos usar</p><p>o conceito de custo reduzido: qual é a variação do preço a ser implementada em cada</p><p>um desses produtos para que sua produção se torne economicamente viável? Vamos,</p><p>mais uma vez, considerar como conhecidos os valores do custo reduzido de cada um dos</p><p>produtos (no próximo tópico veremos como encontrar esses valores usando o Solver).</p><p>Consideraremos o valor do custo reduzido do Picolé Cremoso ( 1x ) como 4,2 e o valor</p><p>do custo reduzido do Sorvete em Pote ( 2x ) como 0,6. Vamos analisar primeiro o Picolé</p><p>Cremoso ( 1x ). Considerando o conceito de custo reduzido, podemos definir que, para</p><p>que esse produto seja produzido sem que a função objetivo seja alterada, seu novo preço</p><p>unitário deverá ser acrescido de 4,2:</p><p>Novocoeficiente valor original docoeficiente custo reduzido= +</p><p>15 4,2 19,2Novocoeficiente = + =</p><p>Vamos reforçar o significado desse resultado. Caso o Picolé Cremoso seja vendido a</p><p>um valor de R$ 19,20, isso significa que não haverá prejuízo econômico para empresa,</p><p>isto é, o valor da função objetivo permanecerá inalterado. Vamos confirmar isso usando</p><p>o Solver – e é preciso muita atenção neste momento, pois vai acontecer um detalhe</p><p>fundamental para análise. Vamos colocar no Solver o novo modelo no qual o valor do</p><p>Picolé Cremoso foi alterado para 19,2, de modo que tenhamos:</p><p>1 2 319,2 25 32máxZ x x x= + +</p><p>Sujeito a:</p><p>1 2 30,02 0,03 0,05 13x x x+ + ≤</p><p>1 2 30, 25 0,4 0,3 8x x x+ + ≤</p><p>Figura 10. Solução do Exemplo 2 no Excel</p><p>Ao resolver usando o Solver, o modelo apresentará a solução ótima na qual a quantidade</p><p>a ser produzida de Picolé Cremoso ( ) e Sorvete em Pote ( ) será zero, devendo haver</p><p>produção apenas do Milkshake ( ) na quantidade de 18 kg por dia. Podemos identificar</p><p>ainda que o insumo que está restringindo a produção é o leite condensado, que acabou o</p><p>estoque (ver na linha 7, a coluna E é igual a coluna G), havendo abundância de emulsifican-</p><p>te e creme de leite (Figura 10).</p><p>54</p><p>Análise dos resultados</p><p>2</p><p>1 2 30,3 0,4 0,5 9x x x+ + ≤</p><p>1 2 30 0 0x x x≥ ≥ ≥</p><p>Resolvendo com o uso a planilha eletrônica e depois de já rodarmos o Solver, encon-</p><p>tramos o resultado da Figura 11. Perceba atentamente que algo parece errado, pois</p><p>mesmo alterando o valor de venda do Picolé Cremoso para R$ 19,2 o Solver indica que</p><p>a solução ótima é não produzir picolé ( 1x zero= ).</p><p>Figura 11. Solução do Exemplo 2 no Excel após alterar o C1</p><p>Figura 12. Solução do Exemplo 2 no Excel após forçar a mudança da solução</p><p>Fonte: captura de tela do software Solver elaborada pelo autor.</p><p>Entretanto, se pensarmos um pouco veremos que faz sentido, pois o conceito de custo</p><p>reduzido indica que a variável a respeito da qual estamos falando passará, a ser viável</p><p>e não que a variável que originalmente era viável deixará de sê-lo. Em outras palavras,</p><p>existe mais de uma solução ótima. É importante você lembrar que solução ótima é o</p><p>conjunto das variáveis de decisão e não o valor da função objetivo: neste momento essa</p><p>distinção é primordial. Como existe mais de um conjunto de valores de que</p><p>resultam no mesmo valor da função objetivo (R$ 576), o Solver manteve a solução que já</p><p>havia encontrado. Para nos certificar de que o caso é exatamente este e que não erramos</p><p>em algo ao aplicarmos o conceito de custo reduzido, usaremos um artifício aritmético. Se</p><p>o valor de 19,2 gera o mesmo resultado em Z, então podemos “enganar” o Solver, dar</p><p>uma “empurradinha” nele. Para fazer isso, em vez de colocarmos o coeficiente da função</p><p>objetivo como 19,2 podemos colocar um número ligeiramente maior, apenas para verifi-</p><p>car se a solução ótima vai alterar. Esse número pode ser extremamente próximo a 19,2.</p><p>Colocaremos 19,201, um número praticamente igual ao original, diferenciando apenas na</p><p>terceira casa decimal (lembre-se de que 19,2 é o mesmo que 19,200). Veja na Figura 12</p><p>o resultado encontrado, depois de alterado o valor e rodado o Solver.</p><p>Fonte: captura de tela do software Solver elaborada pelo autor.</p><p>Observe que o valor encontrado na função objetivo é igual ao original adicionado de 3</p><p>centavos, que é justamente o resultado do produto do valor da variável de decisão (30)</p><p>55</p><p>2</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>vezes o valor adicionado (0,001), que resulta em 3 centavos. Dessa forma podemos</p><p>definir que sim, o conceito de custo reduzido foi válido e agora sabemos que, caso o</p><p>Picolé Cremoso seja vendido por R$ 19,2, a empresa não perderá dinheiro.</p><p>Vamos fazer a mesma análise com o Sorvete em Pote, cujo custo reduzido é 0,6 (lem-</p><p>bre-se de que esse valor está sendo simplesmente fornecido e que, no próximo tópico,</p><p>veremos como obtê-lo no Solver).</p><p>Novocoeficiente valor original docoeficiente custo reduzido= +</p><p>25 0,6 25,6Novocoeficiente = + =</p><p>Isso significa que se o Sorvete em Pote for vendido a R$ 25,60, a empresa não perderá</p><p>dinheiro e a solução na qual o Sorvete em Pote é vendido passa a ser ótima. Vamos</p><p>colocar no Solver o novo modelo no qual o valor do Sorvete de Pote foi alterado para</p><p>25,6, para verificar a solução. O novo modelo matemático é:</p><p>1 2 315 25,6 32máxZ x x x= + +</p><p>Sujeito a:</p><p>1 2 30,02 0,03 0,05 13x x x+ + ≤</p><p>1 2 30, 25 0,4 0,3 8x x x+ + ≤</p><p>1 2 30,3 0,4 0,5 9x x x+ + ≤</p><p>1 2 30 0 0x x x≥ ≥ ≥</p><p>Após colocar na planilha e rodar o Solver, mais uma vez temos a mesma solução ótima</p><p>do problema original (Figura 13), apesar de o valor de venda do Sorvete de Pote ter</p><p>sido alterado. Mais uma vez vamos fazer um teste, para verificar se trata da existência</p><p>de múltiplas soluções ótimas.</p><p>Figura 13. Solução do Exemplo 2 no Excel alterando preço de C2</p><p>Fonte: captura de tela do software Solver elaborada pelo autor.</p><p>Vamos estabelecer para o Sorvete de Pote um valor de venda ligeiramente maior, de</p><p>R$ 25,601. Identificamos, na Figura 14, que realmente o conceito de custo reduzido nos</p><p>levou a uma resposta correta e que a solução na qual o Sorvete em Pote é vendido a</p><p>R$ 25,60 proporciona o valor ótimo de Z.</p><p>56</p><p>Análise dos resultados</p><p>2</p><p>Ex. 3 – Uma análise aprofundada</p><p>Uma empresa de tintas está analisando seu portfólio de produtos para determinar seu plane-</p><p>jamento de produção. As tintas produzidas são: tinta Premium, vendida a R$ 9 mil reais cada</p><p>galão de dez litros; tinta Expert, vendida a R$ 6 mil reais cada galão de dez litros e, por fim,</p><p>a tinta Economic, vendida a R$ 3 mil reais cada galão de dez litros.</p><p>Na produção dessas três tintas são utilizados três recursos críticos. Para fabricar dez litros da tinta</p><p>Premium são necessários 3 litros de fixante, 4 litros de solvente e 9 de pigmentos. Para fabricar</p><p>dez litros da tinta Expert são necessários 1 litro de fixante, 4 litros de solvente e 7 de pigmentos.</p><p>Já para a tinta Economic não se utiliza fixante, mas 6 litros de solvente e 2 de pigmentos.</p><p>A disponibilidade semanal de cada um desses recursos é dada por 20 litros de fixante, 40</p><p>litros de solvente e 35 de pigmentos. A empresa está elaborando um relatório no qual devem</p><p>constar algumas informações, como:</p><p>a. Qual é a solução ótima do problema?</p><p>b. Qual é o faturamento semanal esperado?</p><p>c. Quais recursos estão restringindo a produção e quais são abundantes?</p><p>d. O que precisa ser feito para que todas as tintas sejam economicamente viáveis?</p><p>e. Quais os valores em que um aumento ou redução de preço não altera o mix de</p><p>produção ótimo?</p><p>Fonte: captura de tela do software Solver elaborada pelo autor.</p><p>Uma vez que tenhamos visto os conceitos de custo reduzido, análise de sensibilidade e</p><p>preço sombra, agora vamos identificar como analisar esses dados usando os relatórios</p><p>do MS Solver.</p><p>3. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE E PREÇO SOMBRA (ABRIR OS</p><p>RELATÓRIOS)</p><p>O MS Solver é uma ferramenta poderosa que faz mais do que nos fornecer a solução</p><p>ótima de um determinado modelo matemático. O Solver também nos indica uma série</p><p>de relatórios que auxiliam no processo de análise dos resultados e no processo de to-</p><p>mada decisão. São esses relatórios que fazem do Solver uma ferramenta tão versátil.</p><p>Até este momento, ao resolver os modelos usando o Solver, pulávamos a etapa na qual</p><p>os relatórios poderiam ser gerados, mas agora vamos mergulhar neles.</p><p>Figura 14. Solução do Exemplo 2 no Excel alterando</p><p>preço de C2 ligeiramente para cima</p><p>57</p><p>2</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Para auxiliar a empresa na elaboração de seu relatório, o primeiro passo é apresentar a</p><p>modelagem matemática. Iniciemos por definir as variáveis de decisão.</p><p>Uma vez definidas essas variáveis, podemos iniciar a modelagem, partindo da premissa</p><p>de que a função objetivo e as restrições serão descritas em função das variáveis de deci-</p><p>são. É presumível pelas informações do problema que o parâmetro de otimização seja o</p><p>faturamento semanal da empresa. Por isso, usaremos essa informação para determinar</p><p>a função objetivo em função da produção de galões de dez litros e por milhares de reais.</p><p>1 2 39 6 3máxZ x x x= + + equação 6</p><p>As restrições do problema consistem nas disponibilidades dos recursos críticos. Assim,</p><p>para cada recurso deverá ser feita uma restrição. O fixante tem uma disponibilidade se-</p><p>manal de 20 litros e é utilizado na quantidade de 3 litros para a produção da tinta Pre-</p><p>mium, 1 litro para a tinta Expert e não é usado na tinta Economic. Podemos escrever que:</p><p>1 2 3 20Fixante x x→ + ≤ equação 7</p><p>O solvente tem uma disponibilidade semanal de 40 litros e é utilizado na quantidade de</p><p>4 litros para a produção da tinta Premium, 4 litros para a tinta Expert e 6 litros para a</p><p>tinta Economic. Podemos escrever que:</p><p>1 2 2 4 4 6 40Solvente x x x→ + + ≤ equação 8</p><p>Já os pigmentos apresentam uma disponibilidade semanal de 35 litros e são utilizados</p><p>na quantidade de 9 litros para a produção da tinta Premium, 7 litros para produção da</p><p>tinta Expert e 2 litros para a tinta Economic, de modo que tenhamos a seguinte restrição:</p><p>1 2 3 9 7 2 35Pigmentos x x x→ + + ≤ equação 9</p><p>Então podemos escrever o modelo completo desse problema como:</p><p>1 2 39 6 3máxZ x x x= + +</p><p>Sujeito a:</p><p>1 23 20x x+ ≤</p><p>1 2 24 4 6 40x x x+ + ≤</p><p>1 2 39 7 2 35x x x+ + ≤</p><p>f. A gerência da empresa tem a possibilidade de expandir um dos estoques de modo que</p><p>pode aumentar em 10% a disponibilidade de um dos recursos críticos. Qual deles é o</p><p>mais indicado para expandir?</p><p>58</p><p>Análise dos resultados</p><p>2</p><p>1 2 30 0 0 x x x≥ ≥ ≥</p><p>Esse modelo será resolvido utilizando a planilha eletrônica e o MS Solver. A Figura 15</p><p>representa a configuração do modelo quando colocado na planilha. Observe que quando</p><p>uma restrição não menciona uma determinada variável, pode-se apenas deixar o espaço</p><p>destinado a ela em branco, como é o caso da primeira restrição (fixante) em relação à</p><p>variável 3x . Observe, ainda, nessa restrição que quando a variável aparece “sozinha”,</p><p>como é o caso de 2x na primeira restrição, o coeficiente a ser considerado é 1.</p><p>Figura 15. Exemplo 3 no Excel</p><p>Figura 16. Exemplo 3 no Excel – Preenchimento do Solver</p><p>Fonte: captura de tela do software Solver elaborada pelo autor.</p><p>O procedimento para rodar o Solver será o mesmo: como descrito na Figura 16, no</p><p>campo Definir Objetivo deve ser colocada a célula na qual existe a fórmula referente à</p><p>função objetivo. O problema é de maximizar e o “Alterando Células Variáveis” deve ser</p><p>preenchido com as três células destacadas abaixo das variáveis de decisão. Depois,</p><p>em “Sujeito às restrições” pode ser adicionada restrição a restrição individualmente ou</p><p>selecionar todas as células que contêm fórmulas das restrições (coluna E) e dizer que</p><p>elas são menores ou iguais às células do lado direito das restrições (coluna G).</p><p>59</p><p>2</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Figura 17. Exemplo 3 no Excel – Escolha do relatório no Solver</p><p>Fonte: captura de tela do software Solver elaborada pelo autor.</p><p>Fonte: captura de tela do software Solver elaborada pelo autor.</p><p>Uma vez que o Solver esteja preenchido, é preciso apertar “Resolver” e agora, como</p><p>mostrado na Figura 17, seleciona-se no canto direito superior o relatório de sensibilida-</p><p>de, para só depois apertar “ok”. Imediatamente será criada uma planilha, à esquerda da</p><p>original, denominada “Relatório de Sensibilidade”.</p><p>Agora temos, além da solução disponível na Figura 18, também o relatório de sensibili-</p><p>dade. Na solução descobrimos que o valor ótimo da função objetivo é dado por um fatu-</p><p>ramento semanal de R$ 39,78 mil. A solução ótima que gera esse faturamento é produzir</p><p>60</p><p>Análise dos resultados</p><p>2</p><p>2,82 galões da tinta Premium, nenhum galão da tinta Expert e 4,78 galões da tinta Econo-</p><p>mic. Podemos ainda identificar que a quantidade de fixante disponível (20 litros semanais)</p><p>é mais do que suficiente, pois usamos apenas 8,48 litros. De outra forma, o solvente e</p><p>os pigmentos estão limitando a produção, pois os valores da coluna E estão iguais aos</p><p>da coluna G. Com isso, respondemos os itens a), b) e c) solicitados no Exemplo 3. Agora</p><p>temos os relatórios do Solver e vamos ver as informações que podemos obter lá.</p><p>Figura 18. Exemplo 3 no Excel – Solução do Solver</p><p>Fonte: captura de tela do software Solver elaborada pelo autor.</p><p>Ao abrir o relatório estarão disponíveis inúmeras informações, então vamos passar</p><p>cada parte do relatório disponível da Figura 19. O relatório está dividido em duas gran-</p><p>des tabelas: a) a parte superior chamada “Células Variáveis” refere-se às variáveis de</p><p>decisão e seu comportamento na função objetivo; b) a parte inferior chamada “Restri-</p><p>ções” se referem ao comportamento das restrições do problema. Esses nomes podem</p><p>ter ligeiras diferenças de acordo com a versão do Excel utilizado.</p><p>Inicialmente vamos verificar a tabela “Células Variáveis”. Aqui, cada linha refere-se a</p><p>uma das variáveis de decisão: a linha 9 refere-se à quantidade a ser produzida de</p><p>galões da tinta Premium ( 1x ), a linha 10, à tinta Expert ( 2x ) e a linha 11, à Economic (</p><p>3x ). Na coluna D temos os valores finais das variáveis ao final do Solver: é a mesma</p><p>resposta que apareceu na planilha (Figura 18). Na coluna seguinte (coluna E) podemos</p><p>identificar o custo reduzido. É dessa coluna de onde saíram os valores que no item an-</p><p>terior (2. Conceitos de sensibilidade e preço sombra) foram apenas informados. O custo</p><p>reduzido das variáveis 1x e 3x é zero, e isso faz sentido, pois esses dois produtos pos-</p><p>suem valores de produção diferente de zero na solução ótima. Entretanto, observe que</p><p>para a variável 2x existe um custo reduzido de -1,17. O sinal negativo indica que o valor</p><p>do coeficiente da função objetivo está abaixo do valor necessário para que esse pro-</p><p>duto seja economicamente viável. Assim, podemos deduzir que, para que a produção</p><p>de tinta do tipo Economic seja economicamente viável, o valor de venda desse produto</p><p>deve ser aumentado na mesma grandeza do custo reduzido. Como o preço de venda</p><p>é 6, para que a empresa não perca faturamento ao produzir esse produto, seu valor de</p><p>venda deverá ser 6 (preço de venda) + 1,17 (custo reduzido) = 7,17. Com isso podemos</p><p>responder o item e) do Exemplo 3: para que a produção de todas as tintas seja econo-</p><p>micamente viável, é necessário aumentar o preço de venda da tinta Economic, pois as</p><p>outras duas já são viáveis.</p><p>61</p><p>2</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Seguindo na análise da tabela, vemos que na próxima coluna (F) existe o campo “Obje-</p><p>tivo Coeficiente”, que apresenta os mesmos dados existentes na planilha a respeito dos</p><p>coeficientes da função objetivo e que pode ser útil para identificar a qual variável cada</p><p>linha se refere. Em seguida, nas colunas G e H, aparecem os intervalos das possíveis</p><p>análises de sensibilidade. Vamos nos deter nessas informações.</p><p>Vamos analisar as informações relativas à tinta Premium (linha 9). A coluna G, onde</p><p>consta “Permitir Aumentar”, e a coluna H, onde se lê “Permitido Reduzir”, referem-se</p><p>à sensibilidade do coeficiente da função objetiva referente à variável 1x . O significado</p><p>dessa informação é de que o coeficiente 9 (c1) pode ser aumentado em até 4,5 (pode</p><p>ter 4,5 somado ao seu valor original) e que esse mesmo coeficiente 9 pode ter seu valor</p><p>reduzido</p><p>em até 1,58 (pode ter 1,58 subtraído ao seu valor original). Assim podemos</p><p>construir o intervalo de validade da análise de sensibilidade como:</p><p>19 –1 ,58 9 4,5 c≤ ≤ +</p><p>17, 42 13,5≤ ≤ c equação 10</p><p>Isso significa que, caso o coeficiente da função objetivo referente a 1x (que original-</p><p>mente possui valor 9) seja alterado dentro desse intervalo, a solução ótima não será</p><p>alterada, apenas o valor final da função objetivo. Essa informação é a necessária para</p><p>responder o item e) do Exemplo 3. O preço da tinta Premium pode oscilar entre os valo-</p><p>res 17, 42 13,5≤ ≤ c , sem que isso afete a solução ótima. Para os outros produtos faremos</p><p>a mesma análise.</p><p>No relatório vemos que o intervalo do preço da tinta Expert (c2) é “Permitido Aumentar”</p><p>1,17 e “Permitido Reduzir” 1E+30. Esse “1E+30” significa para o Excel um número mui-</p><p>to grande; é a forma do Excel informar que não há limites para esse número, ele pode</p><p>crescer indefinidamente até o infinito (∞ ). Podemos reescrever assim:</p><p>26 6 1,17c−∞ ≤ ≤ +</p><p>Figura 19. Exemplo 3 no Excel – Relatório de Sensibilidade</p><p>Fonte: captura de tela do software Solver elaborada pelo autor.</p><p>62</p><p>Análise dos resultados</p><p>2</p><p>2 7,17∞− ≤ ≤c equação 11</p><p>Essa simbologia pode parecer confusa, mas seu significado é de fácil compreensão.</p><p>Como o valor de venda da tinta Expert é originalmente baixa demais para tornar a pro-</p><p>dução desse item economicamente viável, faz sentido que qualquer redução em seu</p><p>preço não altere a situação, por isso não há limites para a redução de c2. Por outro lado,</p><p>o valor encontrado de 7,17 é um velho conhecido (é o mesmo do custo reduzido), pois</p><p>ao atingirmos esse valor de venda, o produto começa a ser viável economicamente.</p><p>Lembre-se de que quando vir “1E+30” ou ∞ entenda: não há limites.</p><p>Resta analisar o intervalo de sensibilidade do preço da tinta Economic, cujo coeficiente</p><p>c3 é originalmente 3. A linha 11 indica que o valor “Permitido Aumentar” é de 10,5 e o</p><p>valor de “Permitido Reduzir” é 1. Dessa forma, o intervalo da análise de sensibilidade é:</p><p>33 1 3 10,5c− ≤ ≤ +</p><p>32 13,5≤ ≤c equação 12</p><p>Isso significa que o valor do preço da tinta Economic pode variar entre 2 e 13,5 e isso</p><p>não irá alterar a solução ótima do problema. É importante lembrar que o valor de Z da</p><p>função objetivo será alterado: o que não muda é a solução ótima, os valores das variá-</p><p>veis de decisão. Assim, conhecemos toda a tabela “Células Variáveis” e podemos res-</p><p>ponder completamente o item e) do Exemplo 3: Quais os valores em que um aumento</p><p>ou redução de preço não altera o mix de produção ótimo? A resposta são os três inter-</p><p>valos das análises de sensibilidade: 1 27, 42 13,5; 7,17∞≤ ≤ − ≤ ≤ c c ; 32 13,5≤ ≤c .</p><p>Vamos conhecer agora a tabela “Restrições”. Na coluna D vemos o item “Valor Final”,</p><p>que é o mesmo que aparece na planilha (Figura 18), ou seja, o valor total de recursos</p><p>consumidos para cada restrição. Em seguida vem o item “Sombra Preço” (coluna E), que</p><p>é o preço sombra de cada restrição. Analisando a primeira restrição (linha 16), vemos</p><p>que o preço sombra do fixante é zero. O que faz sentido, se lembrarmos do conceito de</p><p>preço sombra como a taxa de variação da função objetivo quando uma restrição sofre</p><p>uma variação marginal; trata-se de quanto a função objetivo vai alterar para cada unidade</p><p>adicional ou reduzida de um determinado recurso. Se a disponibilidade do fixante é de 20</p><p>litros por semana e o consumo é de 8,47 litros por semana, uma variação na disponibi-</p><p>lidade desse recuso não afeta a função objetivo. Essa afirmação é verdadeira dentro do</p><p>intervalo de validade do preço sombra, que aparece nas colunas G e H. É uma informa-</p><p>ção nova, muito importante e com a qual devemos nos atentar, pois seu funcionamento</p><p>para o preço sombra é diferente da análise de sensibilidade. O conceito de preço sombra</p><p>é válido quando a constante do lado direito (a quantidade disponível dos recursos, no</p><p>exemplo) sofre uma variação dentro de um intervalo e, nesse caso, a taxa de variação da</p><p>função objetivo é igual ao preço sombra. Fora desse intervalo, não podemos fazer essa</p><p>observação e, consequentemente, seria necessário resolver novamente o problema. Ob-</p><p>serve que para a primeira restrição existe um “Permitido Aumentar” de 1E+30 ou ∞ e</p><p>um “Permitido Reduzir” de 11,52. Isso significa, caso a disponibilidade do fixante (insu-</p><p>mo referente à primeira restrição), que chamamos de b1, originalmente de valor 20 litros</p><p>semanais, sofra uma alteração pela qual seja aumentado indefinidamente (lembrando</p><p>63</p><p>2</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>que “aumentar indefinidamente” significa “1E+30” ou ∞ ) ou reduzido em 11,52, o preço</p><p>sombra continua válido.</p><p>120 11,52 20b− ≤ ≤ +∞</p><p>18, 48 b≤ ≤ ∞ equação 13</p><p>Assim, se o valor de disponibilidade do recurso fixante oscilar entre 8,48 e infinito, po-</p><p>demos considerar que para cada unidade adicional, o valor da função objetivo (Z) so-</p><p>frerá uma variação igual ao preço sombra (o que neste caso é zero), ou seja, a função</p><p>objetivo não sofrerá alteração. Esse “infinito” pode parecer estranho, mas faz sentido</p><p>no mundo real, uma vez que o insumo está “sobrando”: tem uma quantidade disponível</p><p>maior que a necessidade do consumo e, assim, ter mais fixante não influenciará a solu-</p><p>ção, apenas sobrará mais ao final do processo.</p><p>Vamos ver as outras restrições. Para a segunda restrição, referente ao insumo solvente</p><p>(linha 17 no relatório), vemos que o preço sombra é 0,19, que o “Permitido Aumentar”</p><p>é 65 e o “Permitido Reduzir” é 24,44. Assim, caso a disponibilidade do recurso solvente</p><p>(que chamamos de b2 e que possui valor original de 40 litros) oscile entre (40 - 24,44 =</p><p>16,56) e (40 + 65 = 105), o preço sombra será válido e, por isso, cada unidade adicional</p><p>vai causar um aumento na função objetivo e aumentará o valor do preço sombra, que é</p><p>0,19. O intervalo de validade do preço sombra, para uma variação em b2 será:</p><p>216,56 105b≤ ≤ equação 14</p><p>Para a restrição referente ao insumo pigmentos (linha 18 do relatório da Figura 19),</p><p>temos o preço sombra indicado de 0,91 (coluna E) e uma disponibilidade de recursos</p><p>de 35 (coluna F). A validade do preço sombra acontecerá caso a variação da disponi-</p><p>bilidade de recursos oscile entre os limites indicados que são: “Permitido Aumentar” de</p><p>29,44 e “Permitido Reduzir” de 21,66. Dessa maneira, o intervalo de validade do preço</p><p>sombra para uma alteração em b3 (disponibilidade de pigmentos) será:</p><p>335 21,66 35 29,44b− ≤ ≤ +</p><p>313,34 64,44b≤ ≤ equação 15</p><p>Podemos, então, responder o item f) pedido no Exemplo 3, que diz: A gerência da em-</p><p>presa tem a possibilidade de expandir um dos estoques de modo que pode aumentar</p><p>em 10% a disponibilidade de um dos recursos críticos. Qual deles é o mais indicado</p><p>para expandir?</p><p>Para responder vamos organizar as informações referentes ao impacto da alteração da</p><p>disponibilidade em cada uma das restrições.</p><p>Alteração na disponibilidade do fixante</p><p>` Disponibilidade original: 20 litros semanais.</p><p>` Disponibilidade adicional de 10%: 0,1 * 20 = 2 litros semanais.</p><p>64</p><p>Análise dos resultados</p><p>2</p><p>Alteração na disponibilidade de pigmentos</p><p>Disponibilidade original: 35 litros semanais.</p><p>Disponibilidade adicional de 10%: 0,1 * 35 = 3,5 litros semanais.</p><p>Validade do conceito de preço sombra: 13,34 ≤ b3 ≤ 64,44.</p><p>Valor do preço sombra: 0,91</p><p>Alteração proposta está dentro da validade (38,5 litros), logo a variação da função objetivo,</p><p>isto é, o faturamento adicional da empresa, será 3,5 x 0,91 = 3,18. Há um ganho de R$ 3,18</p><p>caso a disponibilidade do recurso pigmentos seja aumentada em 10%.</p><p>Ex. 4 – Uma análise aprofundada</p><p>A despeito dos computadores e processadores de texto, recentemente a arte de escrever à</p><p>mão entrou em uma era de grande expansão. As pessoas estão comprando canetas-tinteiro</p><p>novamente e lapiseiras</p><p>estão se tornando cada vez mais populares. João Alfredo, o presidente</p><p>e principal executivo da Escrita Fácil, um pequeno, mas bem-sucedido, fabricante de canetas</p><p>e lapiseiras, quer firmar-se no mercado. O mercado de material de escrita está dividido em</p><p>dois setores principais. Um é dominado pela Montblanc e algumas outras empresas que for-</p><p>necem instrumentos de escrita. As linhas de produto dessas empresas consistem em canetas</p><p>e lapiseiras de design elaborado, garantia vitalícias e altos preços. Na outra ponta do mercado</p><p>estão fabricantes como a BIC e muitas empresas do Extremo Oriente que oferecem itens de</p><p>` Validade do conceito de preço sombra: 18, 48 ∞≤ ≤ b .</p><p>` Valor do preço sombra: zero.</p><p>` Alteração proposta está dentro da validade (22 litros), logo a variação da função objetivo,</p><p>isto é, o faturamento adicional da empresa, será 2 x zero = zero. Não há ganho algum em</p><p>se aumentar a disponibilidade do recurso fixante.</p><p>Alteração na disponibilidade do solvente</p><p>` Disponibilidade original: 40 litros semanais.</p><p>` Disponibilidade adicional de 10%: 0,1 * 40 = 4 litros semanais.</p><p>` Validade do conceito de preço sombra: 216,56 105b≤ ≤ .</p><p>` Valor do preço sombra: 0,19</p><p>` Alteração proposta está dentro da validade (44 litros), logo a variação da função objetivo,</p><p>isto é, o faturamento adicional da empresa, será 4 x 0,19 = 0,76. Há um ganho de R$0,19</p><p>caso a disponibilidade do recurso solvente seja aumentada em 10%.</p><p>Ao analisar esses três cenários, fica claro que a melhor opção para a gerência é esco-</p><p>lher a disponibilidade de pigmentos para sofrer um aumento de 10%.</p><p>Vamos revisar os conceitos em mais um exemplo.</p><p>65</p><p>2</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>boa qualidade, preço baixo, poucos enfeites e diversidade limitada. Essas canetas e lapiseiras</p><p>destinam-se a ser usadas por um certo tempo e descartadas quando acaba a tinta da caneta</p><p>esferográfica ou quando a lapiseira deixa de funcionar. Resumindo, são itens não reparáveis.</p><p>João crê que deve haver um meio-termo e é nesse espaço que ele deseja posicionar sua</p><p>empresa. A Escrita Fácil fabrica itens de alta qualidade, com poucos enfeites e pouca diver-</p><p>sidade, mas também oferece garantia vitalícia. Além disso, suas canetas e lapiseiras são</p><p>ergonômicas. João sabe que algumas pessoas desejam o status da caneta Montblanc Meis-</p><p>terstück, por exemplo, mas ele nunca ouviu uma pessoa dizer que essa caneta é agradável</p><p>de se escrever. A pena da caneta é muito grande e desajeitada para uma escrita suave.</p><p>Por outro lado, os produtos da Escrita Fácil têm reputação de funcionar bem, são fáceis de</p><p>manusear e causam pouca “fadiga de escrita”.</p><p>A Escrita Fácil fabrica apenas três itens – uma caneta esferográfica, uma lapiseira e uma</p><p>caneta-tinteiro. Todas estão disponíveis apenas na cor preta e são vendidas principalmente</p><p>em lojas especializadas e por empresas de venda por catálogo. O lucro unitário dos itens é de</p><p>R$ 3 para a caneta esferográfica, R$ 2 para a lapiseira e R$ 5 para a caneta-tinteiro. Esses</p><p>valores levam em consideração a mão de obra, os custos materiais, embalagem, controle de</p><p>qualidade e assim por diante.</p><p>A empresa está tentando planejar o mix de produção para cada semana. João acredita que</p><p>a empresa possa vender todas as canetas e lapiseiras que fabricar, mas atualmente a produ-</p><p>ção está limitada pelos recursos disponíveis. Devido a uma greve recente e certos problemas</p><p>de fluxo de caixa, os fornecedores desses recursos estão vendendo quantidades limitadas</p><p>para a Escrita Fácil. João pode contar, no máximo, com 1000 g de plástico, 1300 g de cromo</p><p>e 2000 g de aço inoxidável por semana desses fornecedores, e é provável que essas quan-</p><p>tidades não mudem em breve. Em função da excelente reputação de João, os fornecedo-</p><p>res venderão a ele qualquer quantidade (dentro de seus limites) dos recursos que precisar,</p><p>quando os solicitar, isto é, os fornecedores não exigirão que João compre quantidades fixas</p><p>de recursos antes da produção de canetas e lapiseiras; assim esses recursos podem ser</p><p>considerados variáveis e não custo fixo para a produção de canetas e lapiseiras.</p><p>Cada caneta esferográfica exige 3 g de plástico, 1 g de cromo e 2 g de aço inoxidável. Cada</p><p>lapiseira exige 2 g de plástico, nenhum cromo e 3 g de aço inoxidável. Cada caneta-tinteiro</p><p>exige 1 g de plástico, 2 g de cromo e 4 g de aço inoxidável. João crê que a programação</p><p>linear pode ajudá-lo a definir o mix de produção semanal.</p><p>Pegando suas anotações, João relembra seus estudos de Pesquisa Operacional. Sabe que</p><p>além das restrições dos recursos disponíveis, o modelo provavelmente terá inúmeras outras</p><p>restrições (como disponibilidade de mão de obra, matérias para embalagem etc.). Entretanto,</p><p>ele deseja que o modelo seja o mais simples possível e que se limitar apenas às restrições</p><p>dos três recursos: plástico, cromo e aço inoxidável. Ele modelou e resolveu a questão usando</p><p>o Solver do Excel e está com dificuldade em analisar o relatório a seguir.</p><p>66</p><p>Análise dos resultados</p><p>2</p><p>Considerando as variáveis de decisão como a quantidade a ser produzida de cada um</p><p>dos tipos de produtos:</p><p>1 x quantidadedeesferográficas produzidas=</p><p>2 x quantidadedecanetas tinteiros produzidas= −</p><p>3 x quantidadedelapiseiras produzidas=</p><p>O modelo de matemático para esse problema será dado por:</p><p>1 2 33 2 5máxZ x x x= + +</p><p>Sujeito a:</p><p>1 2 33 2 1000x x x+ + ≤</p><p>1 32 1300x x+ ≤</p><p>1 2 32 3 4 2000x x x+ + ≤</p><p>1 2 30 0 0x x x≥ ≥ ≥</p><p>Analisando o modelo e o relatório oferecidos por João, podemos fornecer algumas infor-</p><p>mações para ajudá-lo. Sabemos de primeira análise, observando a coluna D nas linhas</p><p>9, 10 e 11, que o valor ótimo das variáveis de decisão são: 1 2 3 200 0 400x x x= = = . De</p><p>posse desses valores, podemos calcular o valor ótimo da função objetivo, informando o</p><p>lucro máximo da empresa:</p><p>Figura 20. Relatório de Sensibilidade – Solver</p><p>Fonte: captura de tela do software Solver elaborada pelo autor.</p><p>Vamos ajudar a elaborar um estudo para ajudar João (e, quem sabe, ganhar um</p><p>aumento ou promoção)?</p><p>67</p><p>2</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>1 2 33 2 5máxZ x x x= + +</p><p>( ) ( ) ( )3 200 2 0 5 400 $ 2.600máxZ R= + + =</p><p>Então sabemos que podemos ganhar R$ 2.600 por semana se a produção semanal for</p><p>de 200 canetas esferográficas, nenhuma caneta-tinteiro e 400 lapiseiras. Percebemos</p><p>que a solução ótima envolve não produzir canetas-tinteiro. Porém, caso isso seja ne-</p><p>cessário, podemos observar o custo reduzido desse item (Coluna E, linha 10 da figura</p><p>no exemplo). O custo reduzido é de -2, o que indica que o valor está abaixo do neces-</p><p>sário em duas unidades. Sendo assim, caso haja necessidade de produzir canetas-tin-</p><p>teiro, elas devem ser vendidas com um lucro de R$ 2 (valor original) + R$ 2 (valor do</p><p>custo reduzido) = R$ 4. Ou seja, caso as canetas-tinteiro gerem lucro de R$ 4, elas se</p><p>tornam economicamente viáveis.</p><p>Observando a tabela das restrições, pode-se deduzir que os recursos que estão limitando</p><p>a produção são o plástico (primeira restrição) e o aço inoxidável (última restrição). Para</p><p>concluir isso, basta comparar os valores presentes na coluna D (linhas 16, 17 e 18), que</p><p>representam o quanto foi utilizado de cada recurso, com os da coluna F (linhas 16, 17 e</p><p>18), que indicam a disponibilidade total dos recursos. Quando esses valores são iguais,</p><p>houve o consumo de toda a disponibilidade e esse insumo está limitando a produção.</p><p>Caso seja possível adquirir mais recursos, podemos priorizar os recursos mais críticos</p><p>utilizando o preço sombra. Quanto maior o preço sombra, maior será seu impacto na</p><p>função objetivo, pois lembramos que o preço sombra é o quanto a empresa ganha a</p><p>mais para cada unidade de recurso adicional que é disponibilizada na restrição. Dessa</p><p>forma, observando a coluna E (linhas 16, 17 e 18) vemos que o maior preço sombra é</p><p>1,2 que é a da terceira restrição referente ao aço inoxidável. Seguida por 0,2 da primeira</p><p>restrição (plástico).</p><p>Assim, a prioridade de compra de mais insumos deve ser, na ordem,</p><p>aço inoxidável e plástico. Para o cromo, não é necessário adquirir mais, pois seu preço</p><p>sombra é zero, o que já era sabido pela análise de consumo de recursos.</p><p>É importante ficar claro que existe um limite para essa priorização dos recursos: olhan-</p><p>do a coluna H (linhas 16, 17 e 18), vemos o quanto é possível aumentar cada dispo-</p><p>nibilidade de recurso de modo que o preço sombra ainda seja válido, assim, podemos</p><p>adquirir até 600 g de aço inoxidável e no máximo 2000 g de plástico.</p><p>Com essas importantes informações, de fácil acesso no relatório de sensibilidade do</p><p>Solver, nosso amigo João Alfredo poderá fazer um bom relatório, descrevendo cenários</p><p>e possibilidades.</p><p>É importante que os relatórios sejam analisados com cuidado, obedecendo à premissa</p><p>de que o processo de decisão deve ser auxiliado pela Pesquisa Operacional, mas não</p><p>tomado pelo modelo matemático (LATCHTERMACHER, 2007, p. 24). É imprescindível</p><p>a experiência e a vivência dos gestores.</p><p>68</p><p>Análise dos resultados</p><p>2</p><p>CONCLUSÃO</p><p>Esta unidade aborda um dos mais importantes tópicos do nosso estudo: aqui estão os</p><p>conceitos fundamentais para a análise e compreensão de como a Pesquisa Operacio-</p><p>nal pode auxiliar nos processos produtivos e de gestão. Mais do que envolver como mo-</p><p>delar e resolver modelos matemáticos, a Pesquisa Operacional debruça-se na neces-</p><p>sidade de interpretá-los e, com base nas análises feitas, apresentar possíveis ações.</p><p>É fundamental sair da unidade compreendendo os conceitos de preço sombra, custo</p><p>reduzido e análise de sensibilidade. No exemplo aqui apresentado, o preço sombra</p><p>tinha o significado de quanto a empresa vai ganhar ou perder do lucro quando um</p><p>determinado recurso tem sua disponibilidade alterada dentro de um certo intervalo de</p><p>validade. É um termômetro para definir um departamento, setor ou unidade que são</p><p>mais importantes para alcançar os objetivos da empresa.</p><p>Já o custo reduzido vai permitir que uma empresa tenha flexibilidade em seu mix</p><p>produtivo, contornando soluções que determinem a não produção de um determinado</p><p>produto. Isso é importante, pois se, do ponto de vista de otimização produtiva, um pro-</p><p>duto não é atraente, pode ser diferente do ponto de vista de estratégia de marketing,</p><p>pela qual não atender a um determinado mercado pode significar dar espaço para o</p><p>surgimento de futuros concorrentes. Por isso, saber o que precisa ser feito para que</p><p>a produção de um determinado produto seja economicamente viável é de importância</p><p>estratégica imprescindível para qualquer organização.</p><p>A necessidade de se alterar preços dos produtos é frequente, seja por uma demanda dos</p><p>fornecedores, seja por uma estratégia comercial. Se para cada alteração de preços a em-</p><p>presa se vir forçada a repensar seu planejamento produtivo, isso vai demandar muita ener-</p><p>gia da empresa: por isso a análise de sensibilidade é uma ferramenta tão importante.</p><p>69</p><p>2</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS</p><p>HILLIER, Frederick S.; LIEBERMAN, Gerald J. Introdução à Pesquisa Operacional. 8. ed. New York: Mc-</p><p>GrawHill, 2010.</p><p>LACHTERMACHER, Gerson. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões. 3. ed. Amsterdã: Elsevier, 2007.</p><p>LAWRENCE, John A.; PASTERNACK, Barry A. Applied Management Science: Modeling, Spreadsheet Analy-</p><p>sis, and Communication for Decision Making. 2. ed. Hoboken: Wiley, 2002.</p><p>MICROSOFT. Microsoft Excel. Versão 6.0: [S. l.]. Microsoft Corporation, 2016.</p><p>PASSOS, Eduardo José Pedreira Franco. Programação Linear como instrumento de Pesquisa Operacional.</p><p>São Paulo: Atlas, 2008.</p><p>TAHA, Hamdy A. Pesquisa Operacional. 8. ed. Londres: Pearson, 2008.</p><p>70</p><p>Método Simplex</p><p>3</p><p>UNIDADE 3</p><p>MÉTODO SIMPLEX</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Em uma manhã de 1939, um jovem estudante de 25 anos chega atrasado à aula e</p><p>observa na lousa algumas anotações e dois problemas de estatística. Ele presume ser</p><p>um dever de casa e os copia em seu caderno. Nos dias seguintes, ao sentar-se para</p><p>resolver o “dever de casa”, ele percebe uma dificuldade acima do normal e demora</p><p>mais do que o costume, mas finalmente encontra as soluções. Supondo estar atrasado</p><p>para entregar o dever de casa, ele não espera a próxima aula e deixa as resoluções</p><p>na sala do professor. Aqueles papéis continham a solução de dois famosos problemas</p><p>até então não resolvidos na estatística. O jovem só soube disso quando recebeu a</p><p>visita do seu professor algumas semanas depois, que desejava conhecer quem tinha</p><p>solucionado o problema. Anos depois, quando o jovem estudante estava começando a</p><p>escrever sua tese de doutorado, o professor disse a ele: “Grampeie a solução daqueles</p><p>dois problemas que você resolveu em um volume único e me entregue, isso será sua</p><p>tese”. O jovem em questão era George Dantzig, o criador do método Simplex (Albers;</p><p>ALEXANDERSON; REID, 1990, p. 62).</p><p>Segundo o próprio Dantzig, o método Simplex é capaz de fornecer uma solução ótima</p><p>para uma grande variedade de problemas complexos. Concebido em 1947 para solucio-</p><p>nar problemas militares, esse método acumulou desde então uma série de publicações</p><p>e artigos relatando sua aplicação nas mais diferentes áreas (DANTZIG, 1982, p. 43).</p><p>Atualmente o método Simplex é amplamente implementado em sistemas de compu-</p><p>tadores (como o Microsoft Solver), usado para resolver problemas de programação</p><p>linear consideravelmente grandes, chegando a ter centenas de milhares de restrições</p><p>e milhões de variáveis de decisão. Vários fatores influenciam a quantidade de tempo</p><p>necessária para se resolver um problema usando o método Simplex, e o mais importan-</p><p>te é o número de restrições. De modo empírico, diz-se que o tempo de processamento</p><p>tende a ser proporcional ao cubo do número de restrições, e isso nos leva à assustado-</p><p>ra constatação de que caso o número de restrições seja dobrado, o tempo de proces-</p><p>samento será multiplicado por oito. Já o número de variáveis costuma não afetar tanto</p><p>o processamento, de tal forma que dobrar as variáveis de decisão provavelmente não</p><p>dobrará o tempo de resolução.</p><p>É importante lembrar que quando o problema a ser analisado for muito grande, será</p><p>inevitável tomar decisões errôneas na formulação dos modelos. Não é exceção quando</p><p>71</p><p>3</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>a equipe envolvida na sua resolução considera uma longa série de variações no modelo</p><p>inicial e na criação de cenários alternativos, podendo chegar a milhares de variações. A</p><p>escolha dessas variações passa por compreender como as soluções são encontradas.</p><p>Por tudo isso, é fundamental conhecer como o método Simplex funciona e quais as</p><p>suas etapas. Apenas conhecendo bem a sua base procedimental é que a pessoa res-</p><p>ponsável pelo processo de resolução computacional poderá intuir os melhores cenários.</p><p>1. MÉTODO SIMPLEX</p><p>Exceto por problemas muito simples ou com fins pedagógicos, o método Simplex é executa-</p><p>do com uso de computadores e pacotes de softwares sofisticados facilmente encontrados.</p><p>A resolução manual tem o fim de levar o estudante ou gestor a compreender a dinâmica</p><p>do processo de busca de soluções viáveis e consequentemente permitir insights na</p><p>interpretação de soluções propostas por softwares.</p><p>O Simplex é um algoritmo, um conceito importante a ser discutido. Um algoritmo é uma</p><p>sucessão de procedimentos lógicos em uma sequência finita de regras, raciocínios ou</p><p>operações que, aplicada a um número finito de dados, permite solucionar classes seme-</p><p>lhantes de problemas. É um processo no qual um procedimento sistemático é repetido</p><p>(iterado) seguidamente, até que o resultado desejado seja obtido. Cada percurso do pro-</p><p>cedimento sistemático é chamado de iteração. Além das iterações, os algoritmos também</p><p>incluem um procedimento de dar início e um critério para determinar quando parar.</p><p>Pode parecer difícil, mas é exatamente o oposto: um algoritmo substitui um problema</p><p>difícil por uma série de outros fáceis. Quando temos um algoritmo,</p><p>significa que sabe-</p><p>mos exatamente o que fazer, basta seguir o procedimento com atenção e cuidados para</p><p>então chegar aos resultados, como mostra o esquema da Figura 01.</p><p>Figura 01. Estrutura dos algoritmos</p><p>Passo de inicialização</p><p>(Preparar para iniciar iterações)</p><p>Passo iterativo</p><p>(Repetir quantas vezes necessário)</p><p>Regra de parada</p><p>(Foi obtido o resultado desejado?)</p><p>Pare</p><p>SE SIM</p><p>Repetir passo 2</p><p>SE NÃO</p><p>1.</p><p>2.</p><p>3.</p><p>Fonte: adaptada de Hillier e Lieberman (2010, p. 105).</p><p>72</p><p>Método Simplex</p><p>3</p><p>No caso do método Simplex, o algoritmo consiste em uma sequência de operações fun-</p><p>damentais em matemática, como somar e multiplicar, que podem ser feitas com o uso de</p><p>uma calculadora simples. Aí está a genialidade de Dantzig, o criador do método Simplex:</p><p>ele foi capaz de transformar um problema algébrico extremamente complexo e de difícil</p><p>resolução em uma sequência de contas elementares que podem ser feitas por qualquer</p><p>pessoa sem conhecimentos matemáticos profundos. Desse modo, ele deu aos gestores</p><p>uma ferramenta para otimizar seus processos produtivos e consumo de recursos.</p><p>Vamos definir alguns conceitos-chave do método Simplex, conforme Hillier e Lieberman</p><p>(2010, p. 104).</p><p>` O método Simplex consiste em testar soluções viáveis na função objetivo. Aqui vale definir</p><p>que soluções viáveis são as que atendem todas as restrições do modelo matemático</p><p>proposto. Como a solução ótima (conjunto de valores das variáveis de decisão que pro-</p><p>porciona o melhor valor da função objetivo, ou seja, os valores de que fazem com que o</p><p>valor de Z seja o máximo ou mínimo, de acordo com o problema) é uma das quais uma</p><p>ou mais restrições limitam o problema, o Simplex testa exclusivamente essas soluções</p><p>limítrofes, sabendo que uma delas é a solução ótima.</p><p>` O método Simplex é um algoritmo interativo, em que, a cada interação, é observada se a</p><p>regra de início e a regra de parada foram atendidas.</p><p>` Uma solução básica é aquela que configura os valores das variáveis de decisão em um dado</p><p>momento. Uma solução básica inicial é a usada para começar o algoritmo Simplex, quando</p><p>inicialmente testamos aquela na qual todas as variáveis de decisão assumem o valor zero.</p><p>` Quando o Simplex testa novas opções para a solução ótima, ele faz isso usando soluções</p><p>viáveis “vizinhas”, ou seja, próximas (subsequentes) da Solução Básica atual.</p><p>` A decisão de qual nova solução será escolhida para o próximo passo, isto é, em que di-</p><p>reção devemos avançar, é definida pela taxa de crescimento da função objetivo dentre as</p><p>alternativas existentes. Quanto mais Z cresce, melhor é a solução para o Simplex.</p><p>` Em seguida, o Simplex testa se há algum “vizinho” que proporciona um Z (função objetivo)</p><p>melhor. Se não houver, significa que a solução encontrada foi ótima.</p><p>Vamos compreender o método Simplex e seu funcionamento por meio de um exemplo</p><p>no próximo tópico.</p><p>1.1. APLICANDO O SIMPLEX</p><p>Para demostrarmos a solução de um problema usando o método Simplex veja o exem-</p><p>plo a seguir.</p><p>EXEMPLO 1 – UMA EMPRESA CLÁSSICA</p><p>Um artesão confecciona cadeiras e bancos de madeira para decoração em casas rústicas. Na produção</p><p>de cadeiras e bancos do tipo comercializado pelo artesão é necessário o uso de dois tipos de insumos</p><p>principais: lâminas de compensado e folhas de madeira maciça. Para a fabricação de cadeiras são neces-</p><p>sárias 2 lâminas de compensado e 8 folhas de madeira maciça. Para a fabricação de bancos, por sua vez,</p><p>utilizam-se 2 lâminas de compensado e 2 folhas de madeira maciça.</p><p>73</p><p>3</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Vamos, antes de qualquer coisa, modelar esse problema tal como fizemos nas unida-</p><p>des anteriores. Começaremos definindo as variáveis de decisão:</p><p>1 x Quantidadea ser produzida deCadeiras=</p><p>2 x Quantidadea ser produzida de Bancos=</p><p>Uma vez definidas as variáveis de decisão, vamos escrever a função objetivo, que nesse</p><p>caso refere-se ao valor total que o artesão ganhará quando vender todos seus produtos:</p><p>1 2300 500máxZ x x= + (Equação 1)</p><p>Da mesma forma, precisamos escrever as restrições para cada um dos recursos principais.</p><p>1 22 2 400x x+ ≤ (referente às lâminas de compensado) (Equação 2)</p><p>1 28 2 500x x+ ≤ (referente às folhas de madeira maciça) (Equação 3)</p><p>Além dessas restrições, temos as restrições de não negatividade 1 20 0x e x≥ ≥ . O</p><p>modelo todo é:</p><p>1 2300 500máxZ x x= +</p><p>Sujeito a:</p><p>1 22 2 400x x+ ≤</p><p>1 28 2 500x x+ ≤</p><p>1 20 0x e x≥ ≥ .</p><p>Esse é o que o modelo na forma como vimos nas unidades anteriores. A partir de agora, o</p><p>denominaremos modelo de programação linear na forma-padrão. Para fazer jus a esse</p><p>nome, ele precisa ser um problema de maximizar e que tenha todas a suas restrições</p><p>como do tipo ≤ e com todas as variáveis de decisão obedecendo à não negatividade. Se</p><p>EXEMPLO 1 – UMA EMPRESA CLÁSSICA</p><p>A disponibilidade mensal desses dois insumos é de 400 lâminas de compensado e 500 folhas de madeira maciça.</p><p>O artesão vende esses produtos para uma revendedora que o monetiza nos valores de R$ 300 para cada</p><p>cadeira e R$ 500 para cada banco. A revendedora tem o acordo de comprar toda a produção do artesão,</p><p>independentemente de qual seja ela.</p><p>Nesse caso, qual o mix produtivo (quantidade a ser produzida de cadeiras e bancos) que o sábio artesão</p><p>deve estipular de modo que seu faturamento seja o melhor possível?</p><p>74</p><p>Método Simplex</p><p>3</p><p>o problema não for desse tipo, apresentaremos futuramente mecanismos matemáticos</p><p>para transformá-lo em um problema na forma-padrão.</p><p>Agora iniciaremos a resolução do problema usando o método Simplex, passo a passo.</p><p>O procedimento algébrico do método Simplex consiste em sistemas de equações, de tal</p><p>forma que a o 1º passo para iniciarmos a resolução de um modelo matemático de pro-</p><p>gramação linear usando o Simplex será transformar as restrições funcionais de desigual-</p><p>dades (as inequações) em restrições de igualdade equivalentes (equações). Para fazer</p><p>isso, precisamos criar um conjunto de novas variáveis, chamadas de variáveis de folga.</p><p>Vamos elaborar uma série de raciocínios e, se você se perder, não tem problema: volte</p><p>e reflita um pouco. Considere a primeira restrição: 1 2 2 2 400x x+ ≤ . Precisamos trans-</p><p>formar essa desigualdade (inequação) em uma igualdade. Claro que temos que fazer</p><p>isso sem incorrer em nenhuma inverdade matemática. A inequação diz que o termo</p><p>1 22 2x x+ é um número menor ou igual a 400. Então, temos certeza de que 1 22 2x x+</p><p>é um número no máximo igual a 400. Podemos dizer que 1 22 2x x+ é um número tal</p><p>que se for somado com outro número (chamaremos de variável de folga esse outro nú-</p><p>mero) será igual a 400. Ou seja, 1 22 2x x+ + (uma variável de folga) = 400. Podemos</p><p>reescrever, atribuindo um símbolo para a variável de folga: vamos chamá-la de 3x .</p><p>Assim dizemos que:</p><p>1 2 32 2 400x x x+ + = (Equação 4)</p><p>Perceba que a variável de folga ( 3x ) é um número necessário para preencher o espaço</p><p>que fica quando tiramos a desigualdade. Por isso seu nome é variável de folga. Como</p><p>1 22 2 400x x+ ≤ , a simples substituição do sinal ≤ por = seria uma inverdade, pois</p><p>não podemos garantir que 1 2 2 2x x+ seja 400; o que garantimos é que 1 22 2x x+</p><p>pode ser 400 ou qualquer outro número menor que 400. Por esse motivo a adição da</p><p>variável de folga resolve, pois caso 1 22 2x x+ seja igual a 400, então a variável de</p><p>folga ( 3x ) será zero, porém se 1 22 2x x+ for menor que 400, então a variável de folga</p><p>( 3x ) assumirá algum número entre zero e 400.</p><p>Vamos proceder da mesma forma com a segunda restrição, a que se refere às folhas</p><p>de madeira maciça. Para tirarmos a desigualdade, precisaremos adicionar uma variável</p><p>de folga, mas não podemos supor que a variável de folga neste momento seja a mesma</p><p>da restrição anterior, pois são restrições diferentes e nada sabemos delas ainda. O que</p><p>podemos dizer, sem incorrer em uma inverdade, é que 1 28 2x x+ mais um número será</p><p>igual a 500. Esse número será outra variável de folga, que</p><p>chamaremos de 4x .</p><p>75</p><p>3</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>1 2 48 2 500x x x+ + = (Equação 5)</p><p>Assim, esse é o 1º passo para começar a resolver um problema no modelo Simplex:</p><p>transformar o modelo-padrão adicionando as variáveis de folga. Para o Exemplo</p><p>1 teremos:</p><p>1 2300 500máxZ x x= +</p><p>Sujeito a:</p><p>1 2 32 2 400x x x+ + =</p><p>1 2 48 2 500x x x+ + =</p><p>1 20 0x x≥ ≥ 3 40 0x x≥ ≥</p><p>Perceba que adicionamos as variáveis de folga ( 3 4 x e x ) nas restrições de não negati-</p><p>vidade, pois se elas assumissem números negativos, não poderíamos mais garantir as</p><p>igualdades. Como regra geral desse 1º passo, podemos dizer: substitui-se ≤ por = e</p><p>soma-se uma variável de folga diferente para cada restrição do problema.</p><p>Agora podemos seguir para o 2º passo, que será organizar a função objetivo para que</p><p>não haja variável de decisão do lado direito da igualdade. A função objetivo do Exemplo</p><p>1 é dada por 1 2300 500máxZ x x= + . Atente que o termo 1 2300 500x x+ está do lado</p><p>direito da igualdade, e é isso que precisamos eliminar. Basta jogar os números que</p><p>estão do lado direito da igualdade para o lado esquerdo, trocando seus sinais, de tal</p><p>forma que tenhamos:</p><p>1 2300 500 0máxZ x x− − = (Equação 6)</p><p>Esse procedimento sempre será dessa maneira; basta trocar os sinais dos termos</p><p>que estão multiplicando as variáveis de decisão ( 1 2 x e x ). Agora temos o modelo no</p><p>seguinte formato:</p><p>1 2300 500 0máxZ x x− − =</p><p>1 2 32 2 400x x x+ + =</p><p>1 2 48 2 500x x x+ + =</p><p>1 20 0x x≥ ≥ 3 40 0x x≥ ≥</p><p>76</p><p>Método Simplex</p><p>3</p><p>Esse é o modelo na forma adequada ao Simplex. Vamos organizar apenas para fins</p><p>didáticos colocando todos os termos iguais um embaixo do outro e identificando um</p><p>nome para cada linha.</p><p>Linha 0 1 2300 500 0máxZ x x− − =</p><p>Linha I 1 2 3 2 2 400x x x+ + =</p><p>Linha II 1 2 4 8 2 500x x x+ + =</p><p>1 20 0x x≥ ≥ 3 40 0x x≥ ≥</p><p>Uma vez que tenhamos o problema nessa forma (somente com igualdades, maximi-</p><p>zação da função objetivo e com restrições de não negatividade) podemos colocar no</p><p>quadro Simplex. Esse será o 3º passo. Para isso, cada linha será uma das equações,</p><p>e nas colunas teremos todas as variáveis, tanto as variáveis de decisão ( 1 2 x e x ) como</p><p>as variáveis de folga ( 3 4 x e x ), além da constante (número que está do lado direito da</p><p>igualdade de todas as equações), como indicado na Tabela 01.</p><p>Tabela 01. Tabela inicial do Simplex – Exemplo 1</p><p>VARIÁVEL</p><p>BÁSICA X1 X2 X3 X4 CONSTANTE</p><p>Linha 0 Z -300 -500 0 0 0</p><p>Linha I X3 2 2 1 0 400</p><p>Linha II X4 8 2 0 1 500</p><p>VARIÁVEL</p><p>BÁSICA X1 X2 X3 X4 CONSTANTE</p><p>Linha 0 Z -300 -500 0 0 0</p><p>Linha I X3 2 2 1 0 400</p><p>Linha II X4 8 2 0 1 500</p><p>Observe que na Figura 2 existe uma coluna chamada Variável Básica. Essa coluna</p><p>possui inicialmente as variáveis de folga referentes a cada restrição: veja que na linha I</p><p>existe 3 x e na linha II, a variável 4x , que são justamente as variáveis de folga criadas</p><p>para tais restrições (veja as Equações 4 e 5). Matematicamente existe uma definição</p><p>mais técnica para a variável básica: ela é aquela variável em cuja coluna há apenas ze-</p><p>ros e 1, e que o 1 está na interseção entre a linha e a coluna 3x . Ou seja, dizemos que</p><p>as variáveis básicas estão na matriz identidade. Observe a Tabela 02.</p><p>Tabela 02. Matriz identidade do quadro inicial do Simplex – Exemplo 1</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>77</p><p>3</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>Essa informação de que as variáveis básicas estão na matriz identidade vai nos servir</p><p>apenas para que possamos identificar facilmente as variáveis básicas, caso tenhamos</p><p>um quadro Simplex sem as informações de que linha se refere a quais restrições e/ou</p><p>sem indicar quais são as variáveis básicas.</p><p>Algo importante a se lembrar, pois é aí que está a genialidade do Simplex: todo quadro</p><p>Simplex indica uma solução viável, ou seja, aquela solução que atende a todas as res-</p><p>trições. Na Figura 4 podemos identificar a solução inicial a que chamaremos de solução</p><p>básica, pois é dada pelas variáveis que estão na “base” (linhas do quadro Simplex) e é</p><p>a primeira solução (inicial). Observe como interpretamos esse quadro:</p><p>` As linhas indicam o valor de cada variável</p><p>3 400x =</p><p>4 500x =</p><p>Z zero=</p><p>` Os valores das variáveis de decisão podem ser deduzidos:</p><p>Sendo a Equação 4: 1 2 3 2 2 400x x x+ + =</p><p>Se 3 400x =</p><p>Então:</p><p>1 22 2 400 400x x+ + =</p><p>1 22 2 400 400x x+ = −</p><p>1 22 2 0x x+ = (Equação 7)</p><p>Fazendo o mesmo com a Equação 5.</p><p>Sendo Equação 5: 1 2 4 8 2 500x x x+ + =</p><p>Se 4 500x =</p><p>Então:</p><p>1</p><p>0</p><p>0</p><p>1</p><p>78</p><p>Método Simplex</p><p>3</p><p>1 28 2 500 500x x+ + =</p><p>1 28 2 500 500x x+ = −</p><p>1 28 2 0x x+ = (Equação 8)</p><p>Resolvendo o sistema linear entre Equação 7 e 8:</p><p>1 22 2 0x x+ =</p><p>1 28 2 0x x+ =</p><p>A solução desse sistema será 1 0x = e 2 0x = .</p><p>Logo, se utilizarmos esses valores na função objetiva (Equação 6), teremos:</p><p>1 2300 500 0máxZ x x− − =</p><p>( ) ( )300 0 500 0 0máxZ − − =</p><p>0máxZ =</p><p>Esse valor de Z confirma o quadro Simplex de tal forma que podemos definir uma regra</p><p>geral para lê-lo: todas as variáveis que estão na base (dando nome às linhas) podem</p><p>ter seus valores retirados da coluna “constante” (última coluna do quadro) e todas as</p><p>variáveis que não estão na base (variáveis não básicas) assume o valor zero.</p><p>No quadro indicado na Tabela 03 podemos ver que as variáveis básicas no quadro ini-</p><p>cial são 3 400x = e 4 500x = . As variáveis não básicas são 1x zero= e 2 x zero= .</p><p>Tabela 03. Solução básica inicial no quadro inicial do Simplex – Exemplo 1</p><p>VARIÁVEL</p><p>BÁSICA X1 X2 X3 X4 CONSTANTE</p><p>Linha 0 Z -300 -500 0 0 0</p><p>Linha I X3 2 2 1 0 400</p><p>Linha II X4 8 2 0 1 500</p><p>Agora que entendemos o quadro Simplex inicial, podemos começar as interações no</p><p>algoritmo. Na Tabela 03, indicamos que todo algoritmo tem uma regra de inicialização.</p><p>Pois bem, a regra de inicialização do Simplex é que, sempre que existir na linha de Z</p><p>(linha zero) um número negativo, significa que a solução apresentada na tabela não é</p><p>ótima e que uma interação deve ser feita.</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>79</p><p>3</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Então vamos para o 4º passo: definição da coluna pivô. A coluna pivô indicará a vari-</p><p>ável que “entrará na base”. A escolha precisa ser feita da seguinte forma: observe na</p><p>linha Z qual é o número negativo de maior módulo (qual é o número “mais negativo”). No</p><p>nosso Exemplo 1, trata-se do “ 500− ”, o que indica que a variável que entrará na base</p><p>será o 2x , pois é a variável que está no topo dessa coluna. Tradicionalmente, indicamos</p><p>essa coluna fazendo algum tipo de destaque, como na Tabela 04.</p><p>Tabela 04. Coluna pivô do quadro inicial do Simplex – Exemplo 1</p><p>VARIÁVEL</p><p>BÁSICA X1 X2 X3 X4 CONSTANTE</p><p>Linha 0 Z -300 -500 0 0 0</p><p>Linha I X3 2 2 1 0 400</p><p>Linha II X4 8 2 0 1 500</p><p>VARIÁVEL</p><p>BÁSICA X1 X2 X3 X4 CONSTANTE</p><p>Linha 0 Z -300 -500 0 0 0</p><p>Linha I X3 2 2 1 0 400 400/2 = 200</p><p>Linha II X4 8 2 0 1 500 500/2 = 250</p><p>Uma vez que tenhamos definida a coluna pivô, devemos dar o 5º passo: definir a linha</p><p>pivô. A linha pivô indicará a variável que sairá da base. Para definir qual será a linha</p><p>pivô, divide-se os valores indicados na coluna “constante” (a última coluna do quadro</p><p>Simplex) pelo valor da coluna pivô correspondente à mesma linha. Veja na Tabela 05</p><p>como é feita essa conta para o Exemplo 1.</p><p>Tabela 05. Escolha da linha pivô do quadro inicial do Simplex – Exemplo 1</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>Na linha I (em que temos o 3x ) temos 400 na coluna “constante” e temos “2” na coluna</p><p>pivô, de modo que (</p><p>400)</p><p>2</p><p>será igual a 200. Já na linha II (em que temos o 4x ), 500</p><p>está na coluna “constante” e novamente 2 (ser novamente o mesmo valor é apenas</p><p>coincidência) está na coluna pivô referente a essa linha, sendo que (</p><p>500)</p><p>2</p><p>será igual</p><p>a 250. Agora que temos todos os</p><p>em 31 países com conexão direta.</p><p>Pense em quantas decisões precisam ser tomadas: qual a melhor rota para levar um pas-</p><p>sageiro de um lugar até seu destino? Por quantas conexões vai precisar passar? Qual aero-</p><p>nave deve ir para qual portão de embarque e desembarque? Quais bagagens vão para qual</p><p>esteira? Onde e quando abastecer as aeronaves? Qual o tempo mínimo que uma aeronave</p><p>precisa ficar em solo?</p><p>Todas essas decisões precisam ser tomadas tendo em mente objetivos diversos, como</p><p>reduzir custo e tempo de operação ou aumentar a segurança para os passageiros e</p><p>para as empresas aéreas. São centenas de variáveis a serem consideradas e outras</p><p>centenas de restrições técnicas, comerciais ou legais para serem atendidas. Para que</p><p>essas questões sejam respondidas, é necessário articular alguns campos do conhe-</p><p>cimento, como Economia, Sociologia e, especialmente, Matemática e Computação. É</p><p>justamente esse o escopo da Pesquisa Operacional, uma disciplina que envolve adap-</p><p>tar a abordagem científica para auxiliar no processo de tomada de decisão, com o ob-</p><p>jetivo de atingir um ou mais determinados objetivos da melhor forma possível, com os</p><p>recursos disponíveis. Isso envolverá:</p><p>` Construir e analisar modelos matemáticos para situações complexas do mundo real;</p><p>` Resolver esses problemas usando métodos matemáticos e computacionais (como plani-</p><p>lhas eletrônicas) e criticar os resultados partindo da situação real;</p><p>` Comunicar e implementar na situação real as soluções advindas dos resultados encontra-</p><p>dos matematicamente e/ou computacionalmente.</p><p>8</p><p>1</p><p>Tomada de decisão em negócios</p><p>1. PROCESSOS PARA A TOMADA DE DECISÃO</p><p>Todas as organizações necessitam tomar decisões. Seja uma empresa privada, que</p><p>necessita aumentar sua produtividade, de modo que sua margem de lucro seja pre-</p><p>servada ou aumentada, ou uma organização sem fins lucrativos, que necessita reduzir</p><p>os custos de operação para prestar um serviço cada vez melhor e com mais impacto</p><p>favorável na sociedade.</p><p>Independentemente do tipo de organização, haverá restrições para alcançar seus ob-</p><p>jetivos. Por exemplo, uma montadora de automóvel precisa produzir dentro da capaci-</p><p>dade produtiva de suas instalações, além disso é afetada pela capacidade produtiva</p><p>de seus fornecedores, pela sua capacidade de investimento e pela necessidade de</p><p>atender legislações de diferentes níveis (federal, estadual ou municipal, ou mesmo de</p><p>outros países). Já uma entidade como um hospital público precisa justificar os valores</p><p>de impostos e doações que recebe, por meio de uma prestação de serviço de qualidade</p><p>e que atenda aos objetivos propostos.</p><p>Em qualquer caso, o processo de tomada de decisão dentro do contexto de Pesquisa</p><p>Operacional seguirá quatro etapas:</p><p>` Definição do problema.</p><p>` Modelagem matemática.</p><p>` Solução do modelo.</p><p>` Comunicação e implementação das soluções.</p><p>1.1. DEFINIÇÃO DO PROBLEMA</p><p>Uma das partes críticas para o sucesso de um processo de tomada de decisão é jus-</p><p>tamente a definição do problema. No mundo real, os problemas são complexos, com</p><p>incontáveis fatores que os influenciam e possibilidades de inter-relações. Por isso, é</p><p>imprescindível que a pessoa encarregada de definir o problema em um processo de</p><p>tomada de decisão faça isso com grande atenção e de forma estruturada. Deixamos, a</p><p>seguir, alguns passos a serem seguidos:</p><p>Observe atentamente o processo:</p><p>Conhecer como as coisas funcionam e como exatamente o processo é organizado é fun-</p><p>damental para uma boa definição do problema. Apenas quem entende do processo poderá</p><p>propor melhorias. Para isso, é necessário compreender de diferentes pontos de vista o pro-</p><p>blema, quais são todos os envolvidos e seus interesses, necessidades e objetivos.</p><p>Comece simples e vá depois para o complexo:</p><p>No início da abordagem, perguntas simples devem ser feitas a todos os envolvidos, para se</p><p>entender como cada um vê o problema. É importante que essa ação seja de modo propo</p><p>9</p><p>1</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>sitivo, sem apresentar soluções logo no início. Neste momento, o objetivo é entender como o</p><p>problema se torna complexo.</p><p>Reconheça os aspectos políticos:</p><p>Ao fazer perguntas, diferentes grupos da organização podem dar diferentes respostas. Isso</p><p>pode acontecer devido a conflitos entre operadores e gerência ou entre visões diferentes</p><p>entre as gerências.</p><p>Decida qual é exatamente o objetivo:</p><p>É comum termos situações nas quais a gerência não tem claro qual é o objetivo a ser alcan-</p><p>çado. Saber o que exatamente se deseja é um dos desafios da definição do problema. Qual é</p><p>exatamente o problema? O que se deseja obter no final do processo? É tarefa de quem atua</p><p>na definição do problema definir o que a organização espera como resultado antes de iniciar</p><p>a modelagem e a resolução do modelo.</p><p>Identifique as restrições:</p><p>Toda operação atua com restrições. Identifique aquelas restrições que podem afetar a ope-</p><p>ração de modo significativo. Essas restrições serão analisadas para estabelecer se devem</p><p>constar no modelo matemático.</p><p>Mantenha um feedback continuado:</p><p>Os problemas são dinâmicos e sua compreensão pode mudar com o tempo. Os responsáveis</p><p>pela definição do problema devem manter durante todo o tempo uma comunicação precisa e</p><p>objetiva com os gestores envolvidos, de modo que qualquer nova informação seja analisada</p><p>para saber se deve ou não ser incluída no modelo matemático.</p><p>É útil reforçar a necessidade de se ter a definição de problema bem estabelecida para</p><p>só então iniciar a modelagem matemática.</p><p>1.2. MODELAGEM MATEMÁTICA</p><p>Quando se depara com um problema, é frequente que esse processo de estudo e análi-</p><p>se resulte em uma grande quantidade de informações, qualitativas e quantitativas. Para</p><p>se buscar a solução, exige-se que esses dados sejam organizados de modo mais lógico</p><p>e que proporcione uma melhor abordagem para tomada de decisão. É neste momento</p><p>que se faz necessária a modelagem matemática.</p><p>A modelagem matemática é o processo de reconhecer as variáveis do problema e tor-</p><p>ná-las legíveis em expressões matemáticas. Por isso, encare as expressões matemáti-</p><p>cas como representações do mundo real, do problema real; em nenhum momento pode</p><p>haver uma expressão que não seja “explicável” no mundo real.</p><p>10</p><p>1</p><p>Tomada de decisão em negócios</p><p>Apesar de exigir algum conhecimento básico da linguagem matemática, a capacidade</p><p>de modelagem é desenvolvida com a experiência e com o acúmulo de repertório. Quan-</p><p>do iniciar uma modelagem, siga estes passos:</p><p>Identificar as variáveis de decisão:</p><p>De todas as variáveis envolvidas no processo, quais são aquelas a respeito das quais o</p><p>tomador de decisão tem controle? A essas variáveis chamamos de “variáveis de decisão”. É</p><p>comum que essas variáveis influenciem significativamente o resultado e sejam “temporais”,</p><p>ou seja, alguma grandeza em relação ao tempo (por exemplo: produção por dia ou embar-</p><p>ques por hora).</p><p>Quantificar a função objetivo e as restrições:</p><p>Todo problema terá um objetivo claro, que se resume a maximizar, minimizar ou atingir um</p><p>valor. Essa função que descreve o objetivo final denomina-se “função objetivo” e deve ser</p><p>escrita em função das variáveis de decisão. Da mesma forma, as restrições precisam ser</p><p>escritas de modo que representem todas as condições relevantes do problema, em função</p><p>das variáveis de decisão.</p><p>Identificação do tipo de problema:</p><p>Existem vários problemas clássicos de Pesquisa Operacional que têm sua modelagem já</p><p>feita. É importante buscar identificar se o problema que estamos lidando é de alguma forma</p><p>parecido com um problema clássico.</p><p>Coleta de dados (custo/benefício):</p><p>A modelagem exige coleta de dados, e para isso haverá um custo. No mundo real é preciso</p><p>ponderar o nível de sofisticação e precisão do modelo, com os custos envolvidos para coleta</p><p>de dados. Muitas vezes ter um modelo mais preciso consumirá mais tempo e dinheiro e isso</p><p>não se converterá em benefícios significativos para a organização.</p><p>Escolha da técnica de solução:</p><p>Existem diferentes</p><p>valores de todas as linhas (não faça essa conta com</p><p>a linha Z, ela não pode ser escolhida como linha pivô), escolhemos o menor valor de</p><p>sinal positivo, ou seja, números negativos não podem indicar linha pivô e devem ser</p><p>ignorados. Dessa forma, para o Exemplo 1 temos que o menor número positivo é “200”,</p><p>o que significa que a linha pivô será a linha I e que 3x será a variável a sair da base,</p><p>como indica a Tabela 06.</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>80</p><p>Método Simplex</p><p>3</p><p>Tabela 06. Indicada a linha pivô do quadro inicial do Simplex – Exemplo 1</p><p>VARIÁVEL</p><p>BÁSICA X1 X2 X3 X4 CONSTANTE</p><p>Linha 0 Z -300 -500 0 0 0</p><p>Linha I X3 2 2 1 0 400</p><p>Linha II X4 8 2 0 1 500</p><p>Neste momento sabemos que na interação que acontecerá, 2x vai entrar na base.</p><p>Lembre-se de que entrar na base significa que haverá um valor atribuído para essa va-</p><p>riável. Sabemos também que 3x vai sair da base, o que significa que seu valor passará</p><p>a ser zero. E como é essa interação? Veremos em breve, mas antes precisamos do 6º</p><p>passo: a definição do número pivô. Esse passo é simples. Veja que a linha pivô e a</p><p>coluna pivô vão se cruzar em algum lugar. Nesse lugar estará aquele que chamaremos</p><p>de número pivô. Na Tabela 07 temos indicado que o número pivô é 2.</p><p>Tabela 07. Indicado o número pivô do quadro inicial do Simplex – Exemplo 1</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>VARIÁVEL</p><p>BÁSICA X1 X2 X3 X4 CONSTANTE</p><p>Linha 0 Z -300 -500 0 0 0</p><p>Linha I X3 2 2 1 0 400</p><p>Linha II X4 8 2 0 1 500</p><p>Número pivô</p><p>Agora que temos coluna pivô, linha pivô e número pivô definidos, podemos começar a</p><p>iteração, que consiste em refazer o quadro, em uma solução melhor que a anterior. Para</p><p>isso é preciso então iniciar o 7º passo: desenhar o novo quadro Simplex, com as novas</p><p>variáveis na base. Na Tabela 08 é apresentado o novo quadro, no qual 3x não está na</p><p>base, mas sim 2x .</p><p>Tabela 08. Indicada o novo quadro Simplex – Exemplo 1</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>VARIÁVEL BÁSICA X1 X2 X3 X4 CONSTANTE</p><p>Linha 0 Z</p><p>Linha I X2</p><p>Linha II X4</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>Agora vamos começar a preencher o novo quadro, completando aquela que era a linha</p><p>pivô no quadro anterior. Por isso, vamos chamá-la de “nova linha pivô”. O 8º passo</p><p>será calcular a nova linha pivô. O cálculo a ser feito é simples, consistindo em dividir</p><p>81</p><p>3</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>os valores da linha pivô do quadro anterior (linha pivô antiga) pelo número pivô. Veja a</p><p>seguir a conta executada.</p><p>Linha pivô antiga: 2 2 1 0 400</p><p>Número pivô: 2 2 2 2 2</p><p>Nova linha pivô: 1 1 0,5 0 200</p><p>Essa nova linha pivô é adicionada no lugar em que estava a antiga linha pivô na tabela,</p><p>ou seja, no lugar em que na nova tabela agora está 2 :x</p><p>Tabela 09. Novo quadro Simplex com nova linha pivô – Exemplo 1</p><p>VARIÁVEL BÁSICA X1 X2 X3 X4 CONSTANTE</p><p>Linha 0 Z</p><p>Linha I X2 1 1 0,5 0 200</p><p>Linha II X4</p><p>Uma vez definida a nova linha pivô fique atento, porque vamos usar essa linha para</p><p>calcular todas as outras linhas do quadro Simplex. Este é o 9º passo: calcular todas as</p><p>outras linhas do quadro.</p><p>Para calcular as outras linhas, precisaremos de mais operações, todas simples. Vamos</p><p>começar por calcular a nova linha Z. Em um lugar reservado repita a linha Z antiga e,</p><p>abaixo dela, coloque a nova linha pivô. Em seguida identifique no quadro Simplex inicial</p><p>o número que está na coluna pivô da linha que está sendo calculada (nesse caso, o nú-</p><p>mero que está na coluna pivô da linha Z é 500− ). Agora esse número ( 500− ) tem seu</p><p>sinal trocado e todos os números da linha pivô serão multiplicados por ele e somados</p><p>aos valores da linha Z antiga. Ou seja, para calcularmos a linha Z, temos que fazer as</p><p>seguintes contas indicadas na figura 02:</p><p>Figura 02. Procedimento para calcular novas linhas do Simplex</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>- (número pivô)</p><p>x +</p><p>(linha antiga)</p><p>(nova linha pivô)</p><p>Nova linha</p><p>Essa parte pode parecer um pouco confusa, mas vamos colocar de forma esquemática,</p><p>para que você possa acompanhar: observe a seguir que colocamos a linha Z original</p><p>e, abaixo dela, a linha pivô. Em seguida, invertemos o sinal de (-500), multiplicamos tal</p><p>valor (500) por todos os números da linha pivô e, em seguida, somamos esses números</p><p>aos da linha Z antiga.</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>82</p><p>Método Simplex</p><p>3</p><p>-300 -500 0 0 0</p><p>-(-500) x (1 1 0,5 0 200)</p><p>200 0 250 0 100000</p><p>Para ajudar na compreensão, vamos repetir os cálculos em cada uma das colunas.</p><p>Apresentando os detalhes de cada conta feita, para que você possa identificar, temos:</p><p>( ) ( )500 1 300 200− − × + − =</p><p>( ) ( )500 1 500 0− − × + − =</p><p>( ) ( )500 0,5 0 250− − × + =</p><p>( ) ( )500 0 0 0− − × + =</p><p>( ) ( )500 200 0 100.000− − × + =</p><p>Os dados obtidos devem ser colocados no novo quadro Simplex, como indica a Tabela 10.</p><p>Tabela 10. Novo quadro com os valores calculados da linha Z – Exemplo 1</p><p>Nova linha X4</p><p>Nova linha pivô</p><p>Linha Z antiga</p><p>+</p><p>VARIÁVEL BÁSICA X1 X2 X3 X4 CONSTANTE</p><p>Linha 0 Z 200 0 250 0 100000</p><p>Linha I X2 1 1 0,5 0 200</p><p>Linha II X4</p><p>As contas serão as mesmas. Pode parecer complexo à primeira vista, mas é uma ques-</p><p>tão de você identificar de onde sai cada número e efetuar as contas (com auxílio de uma</p><p>calculadora, se preferir). Dessa forma, o cálculo para as linhas seguintes permanece o</p><p>mesmo, como mostrado na Figura 03.</p><p>Figura 03. Procedimento para calcular novas linhas do Simplex</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>- (número pivô)</p><p>x +</p><p>(linha antiga)</p><p>(nova linha pivô)</p><p>Nova linha</p><p>Vamos, então, calcular a linha 4x . Observando a Figura abaixo podemos ver que o</p><p>número que está na coluna pivô da linha 4x é 2. A nova linha pivô é a mesma vista na</p><p>Tabela 09. Então podemos organizar:</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>8 2 0 1 500</p><p>-(2) x (1 1 0,5 0 200)</p><p>6 0 -1 1 100 Nova linha X4</p><p>Nova linha pivô</p><p>Linha X4 antiga</p><p>+</p><p>83</p><p>3</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Vamos transcrever cada uma das contas feitas para você acompanhar:</p><p>( ) ( )2 1 8 6− × + =</p><p>( ) ( )2 1 2 0− × + =</p><p>( ) ( )2 0,5 0 1− × + = −</p><p>( ) ( )2 0 1 1− × + =</p><p>( ) ( )2 200 500 100− × + =</p><p>Com esses dados podemos completar o quadro Simplex.</p><p>Tabela 11. Tabela final Simplex – Exemplo 1</p><p>VARIÁVEL BÁSICA X1 X2 X3 X4 CONSTANTE</p><p>Linha 0 Z 200 0 250 0 100000</p><p>Linha I X2 1 1 0,5 0 200</p><p>Linha II X4 6 0 -1 1 100</p><p>Isso que acabamos de fazer foi uma iteração; agora vamos analisar o quadro final.</p><p>Estando o quadro completo, devemos proceder o último e 10º passo: analisar a neces-</p><p>sidade de novas iterações. Essa análise consiste em verificar se existe na linha Z algum</p><p>número negativo. A ausência de número negativo indica que a solução encontrada é óti-</p><p>ma e que não é necessário fazer novas iteração, porém, caso haja números negativos,</p><p>uma nova interação é necessária, e devemos voltar ao 4º passo: definir coluna pivô e</p><p>reiniciar todos os procedimentos.</p><p>Observe que na linha Z temos, na coluna “constante”, o número 100.000, o que repre-</p><p>senta que o lucro máximo na empresa será de R$ 100.000 por mês. Além disso, vê-se</p><p>que 2x tem na coluna “constante” o valor de 200, o que significa que o valor de 2x na</p><p>solução ótima é de 200 (lembre-se de que 2x é a quantidade de bancos a ser produzi-</p><p>da). Notamos que 1x não está listada na base (nas linhas), o que significa que o valor</p><p>de 1x é zero. Procedendo o mesmo raciocínio vemos que 4x é 100 e 3x é zero (pois</p><p>também não está na base). Essas variáveis de folga representam o quanto está sobran-</p><p>do de cada um dos recursos.</p><p>Vamos interpretar: para o problema, isso significa que:</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>84</p><p>Método Simplex</p><p>3</p><p>` A solução ótima para empresa é produzir 200 bancos e nenhuma cadeira.</p><p>( 1 2 200x zeroe x= = )</p><p>` O lucro máximo mensal será de R$ 100.000 ( 100.000máxZ = )</p><p>` Não existe quantidade sobrando de lâminas de compensado ( 3x ), mas existem</p><p>100 folhas de madeira maciça sobrando ( 4x ). ( 3 4 100x zeroe x= = )</p><p>1.2. PASSO A PASSO DO SIMPLEX</p><p>Para resolvermos o Exemplo 1 precisamos aplicar o algoritmo Simplex,</p><p>um conjunto de</p><p>procedimentos para que a solução ótima seja obtida. E aqui apresentamos os dez passos</p><p>utilizados para aplicar o Simplex, os mesmos que vimos anteriormente. Siga esses passos.</p><p>Passo 1:</p><p>Verificar se o problema está no modelo-padrão (somente com restrições do tipo ≤ , maximi-</p><p>zação da função objetivo e com restrições de não negatividade) e, estando, criar um conjunto</p><p>de novas variáveis chamadas de variáveis de folga, eliminando as inequações e transfor-</p><p>mando-as em equações.</p><p>Passo 2:</p><p>Organizar a função objetivo para que não haja variável de decisão do lado direito da igualdade.</p><p>Passo 3:</p><p>Colocar o modelo no formato de quadro Simplex.</p><p>Passo 4:</p><p>Definição da coluna pivô. A coluna pivô indicará a variável que entrará na base.</p><p>Passo 5:</p><p>Definir a linha pivô. A linha pivô indicará a variável que sairá da base.</p><p>Passo 6:</p><p>Definição do número pivô.</p><p>Passo 7:</p><p>Desenhar o novo quadro Simplex, com as novas variáveis na base.</p><p>85</p><p>3</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Algumas dúvidas que podem surgir, quando se aplica o Simplex, além de casos espe-</p><p>ciais, são as seguintes:</p><p>Passo 8:</p><p>Calcular a nova linha pivô.</p><p>Passo 9:</p><p>Calcular todas as outras linhas do quadro.</p><p>Passo 10:</p><p>Analisar se na linha Z ainda existem números negativos e, caso isso aconteça, haverá a</p><p>necessidade de novas interações e retorna-se ao 4º passo.</p><p>Empate na escolha da coluna pivô – pode acontecer de duas colunas terem o mesmo valor</p><p>no 4º passo. Se isso acontecer, escolha qualquer uma delas de modo arbitrário para ser a</p><p>coluna pivô. A solução final nos dois casos será a mesma, o que pode ocorrer é um caminho</p><p>exigir mais interações do que outro. Não existe método algébrico para determinar qual é o</p><p>melhor caminho.</p><p>Empate na escolha da linha pivô – no 5º passo, se houver empate em qual deve ser a</p><p>variável a sair da base, então essa escolha também é feita no dia a dia de modo arbitrário.</p><p>Existem métodos para identificar qual seria a melhor opção, mas, por sua complexidade,</p><p>acabam sendo ignorados (Hillier; Lieberman, 2010, p. 118).</p><p>Nenhuma linha pivô pode ser escolhida – no 5º passo pode acontecer de nenhuma linha</p><p>ser escolhida como linha pivô. Isso ocorre quando todos os números da coluna pivô são</p><p>zero ou negativos. Nesse caso, ao fazer a divisão da coluna “constante” pela coluna pivô,</p><p>o resultado seriam números negativos ou indeterminação (dividir por zero é um número in-</p><p>determinado, que não existe). Esse evento tem um significado prático: representa que não</p><p>há limites para crescimento de Z. Ou seja, as restrições não impedem o crescimento de Z.</p><p>Apesar de matematicamente isso ser possível, para quem está resolvendo um problema real</p><p>isso possivelmente significa que algum erro foi cometido na modelagem, pois não faz sentido</p><p>real haver um crescimento infinito de lucro, por exemplo (Hillier; Lieberman, 2010, p. 120).</p><p>Solução múltiplas – quando no quadro final ótimo do Simplex houver, na linha Z, uma vari-</p><p>ável não básica (não está na base do Simplex, não está dando nome às colunas), com valor</p><p>zero, isso representa que existem outras soluções ótimas. Outras soluções ótimas significam</p><p>outro conjunto para as variáveis de decisão que vão resultar no mesmo valor ótimo da função</p><p>objetivo. Caso se deseje descobrir essas outras soluções, basta fazer nova interação, esco-</p><p>lhendo como coluna pivô essa variável que possui valor zero na linha Z. Caso, ao fazer isso,</p><p>não haja uma linha pivô disponível, significa que a solução é ilimitada (Hillier; Lieberman,</p><p>2010, p. 121).</p><p>2. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE E PREÇO SOMBRA NO SIMPLEX</p><p>O algoritmo Simplex é uma ferramenta versátil. Além de fornecer as informações im-</p><p>prescindíveis a respeito da solução ótima e o valor máximo da função objetivo, ele</p><p>86</p><p>Método Simplex</p><p>3</p><p>indica o preço sombra e o custo reduzido. Na Tabela 12 pode-se identificar onde essas</p><p>informações são encontradas para o caso do Exemplo 1.</p><p>Tabela 12. Preço sombra e custo reduzido – Exemplo 1</p><p>Convém relembrar o conceito de custo reduzido, que pode ser entendido de duas for-</p><p>mas (LAWRENCE; PASTERNACK, 2002, p. 6):</p><p>a. O quanto é necessário aumentar o lucro unitário referente a um produto (coeficiente da</p><p>função objetivo) para que a solução ótima indicada apresente um valor diferente de zero</p><p>para a variável ao qual se refere.</p><p>b. A taxa de redução da função objetivo caso seja produzido um produto que, segundo a</p><p>solução ótima, não deve ser produzido.</p><p>O custo reduzido de cada variável de decisão estará na linha Z na coluna corres-</p><p>pondente à variável de decisão a qual se refere, assim, o custo reduzido da variá-</p><p>vel de decisão 1x é 200 e o custo reduzido da variável de decisão 2x é zero. Pode-</p><p>mos então interpretar que no Exemplo 1, para que a empresa possa vender cadeiras</p><p>( 1 x é a quantidadedecadeiras a ser produzida ), o valor será R$ 200 acima do que</p><p>é atualmente. Como o valor comercializado da cadeira é de R$ 300, isso significa que</p><p>para a empresa não ter perda ao produzir cadeira, ela deve ser comercializada por</p><p>200 + 300 = R$ 500. Já para o produto 2x (bancos), o custo reduzido é zero, o que faz</p><p>sentido, pois a solução ótima já contempla a produção de bancos ( 1 200x = ), portanto,</p><p>a empresa não precisa alterar seu valor de venda do banco para que ele seja economi-</p><p>camente viável, pois já o é.</p><p>Sabemos que o preço sombra é a taxa de variação da função objetivo quando uma</p><p>restrição sofre uma variação marginal, isto é, trata-se de quanto a função objetivo vai</p><p>alterar para cada unidade adicional ou reduzida de um determinado recurso.</p><p>O preço-sombra para o recurso mede o valor marginal deste recurso, isto é, a</p><p>taxa na qual Z poderia ser aumentado, elevando-se ligeiramente a quantidade</p><p>do recurso que está sendo disponibilizado. (Hillier; Lieberman, 2010, p. 140)</p><p>Analisando as informações referentes aos insumos, percebemos que não existe quanti-</p><p>dade sobrando de lâminas de compensado, pois 3x zero= , mas existem 100 folhas de</p><p>madeira maciça sobrando, pois 4 100x = , o que impacta o preço sombra. Observe na</p><p>linha Z, coluna X3, que o preço sombra de lâminas de compensado é 250. Isso significa</p><p>Custo Reduzido Preço Sombra</p><p>VARIÁVEL BÁSICA X1 X2 X3 X4 CONSTANTE</p><p>Linha 0 Z 200 0 250 0 100000</p><p>Linha I X2 1 1 0,5 0 200</p><p>Linha II X4 6 0 -1 1 100</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>87</p><p>3</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>que, caso a empresa obtenha uma unidade adicional de disponibilidade desse recurso</p><p>(lâminas de compensado), o lucro adicional será de R$ 250. De modo análogo identifi-</p><p>ca-se que o preço sombra referente a folhas de madeira maciça é zero (linha Z, coluna</p><p>X4), o que significa que a existência de quantidade adicional desse insumo não influen-</p><p>ciará a função objetivo, o que é bem coerente, pois existem 100 unidades disponíveis e</p><p>não utilizadas ( 4 100x = ) desse recurso.</p><p>3. DUALIDADE</p><p>O conceito de dualidade é uma ferramenta fundamental para tratamentos de dados</p><p>em programação linear. De modo prático, uma de suas aplicações imediatas é resol-</p><p>ver problemas que envolvam minimizações. Relembre o 1º passo do Simplex e vai</p><p>identificar que esse algoritmo só pode ser aplicado em casos de problemas de maxi-</p><p>mização. Você pode ter se perguntado: o que faremos quando no mundo real houver</p><p>um problema de minimização?</p><p>Uma das possibilidades será usar a teoria da dualidade. Ela revela que todo problema</p><p>de programação linear tem uma associação com outro problema denominado dual, que</p><p>mostra sua solução. Tradicionalmente chamamos de primal o problema original a ser</p><p>resolvido, e de dual o problema criado pelo analista. O valor da função objetivo do dual</p><p>e do primal será exatamente o mesmo. Já o preço sombra encontrado no dual será igual</p><p>ao valor das variáveis de decisão do primal e vice-versa.</p><p>A Figura 04 apresenta esquematicamente um exemplo de dois problemas. É importante</p><p>ficar claro que a escolha de qual chamar de dual e qual chamar de primal é absoluta-</p><p>mente</p><p>indiferente.</p><p>Figura 04. Dual e primal</p><p>Problema dual</p><p>1</p><p>m</p><p>mín i i</p><p>i</p><p>W b y</p><p>=</p><p>=∑</p><p>Sujeito a:</p><p>1</p><p>m</p><p>ij i j</p><p>i</p><p>a y c</p><p>=</p><p>≥∑</p><p>0iy ≥</p><p>1, 2, ,i m= …</p><p>1, 2, ,j n= …</p><p>Problema primal</p><p>1</p><p>n</p><p>máx j j</p><p>j</p><p>Z c x</p><p>=</p><p>=∑</p><p>Sujeito a:</p><p>1</p><p>n</p><p>ij j i</p><p>j</p><p>a x b</p><p>=</p><p>≤∑</p><p>0jx ≥</p><p>1, 2, ,i m= …</p><p>1, 2, ,j n= …</p><p>Fonte: adaptada de Hillier; Lieberman (2010, p. 204).</p><p>88</p><p>Método Simplex</p><p>3</p><p>Apesar de aparentemente ser complicado, devido às notações matemáticas usadas,</p><p>pode-se dizer, de forma coloquial, que o dual é o “contrário” do primal. Ou seja, caso o</p><p>primal seja um problema de maximizar e tenha todas as restrições do tipo ≤ , então seu</p><p>dual será um problema de minimizar com todas as restrições do tipo ≥ . Vamos reapre-</p><p>sentar na Figura 05 a relação entre dual e primal com outra notação, para um modelo</p><p>primal de duas variáveis de decisão e duas restrições.</p><p>Figura 05. Dual e primal (notação algébrica)</p><p>Figura 06. Dual e primal (notação matricial)</p><p>Problema primal (forma algébrica)</p><p>1 1 2 2máxZ c x c x= +</p><p>Sujeito a:</p><p>11 1 12 2 1a x a x b+ ≤</p><p>21 1 22 2 2a x a x b+ ≤</p><p>1 20 0x e x≥ ≥ .</p><p>Problema dual (forma algébrica)</p><p>1 1 2 2mínW b y b y= +</p><p>Sujeito a:</p><p>11 1 21 2 1a y a y c+ ≥</p><p>12 1 22 2 2a y a y c+ ≥</p><p>1 20 0y e y≥ ≥ .</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>Observe atenciosamente para identificar alguns detalhes. Repare que a primeira coi-</p><p>sa para criar o problema dual é transformar o Zmáx e um Wmín ou um Zmín em um Wmáx.</p><p>A escolha de W no lugar de Z é arbitrária e tem objetivo só de identificar quem era o</p><p>primal e quem será o dual. Veja que as variáveis de decisão também mudam: no dual</p><p>você precisa criar um número de variáveis de decisão igual ao número de restrições. Os</p><p>coeficientes da função objetivo do primal se tornam constantes das restrições do dual,</p><p>e as constantes do primal assumem papel de coeficientes da função objetivo do dual.</p><p>Para visualizar como transformar um problema primal em um problema dual, pode ser mais</p><p>conveniente apresentar os modelos matemáticos na forma matricial. Faremos isso exclusi-</p><p>vamente para visualizar de forma didática a transformação, portanto, não se assuste com o</p><p>termo matricial. Na Figura 06 apresentamos a relação entre dual e primal na forma matricial.</p><p>Problema primal (forma matricial)</p><p>[ ] 1</p><p>1 2</p><p>2</p><p>máx</p><p>x</p><p>Z c c</p><p>x</p><p> </p><p>=  </p><p> </p><p>Sujeito a:</p><p>11 12 1 1</p><p>21 22 2 2</p><p>a a x b</p><p>a a x b</p><p>     </p><p>≤     </p><p>     </p><p>Problema dual (forma matricial)</p><p>[ ] 1</p><p>1 2</p><p>2</p><p>mín</p><p>b</p><p>Z y y</p><p>b</p><p> </p><p>=  </p><p> </p><p>Sujeito a:</p><p>[ ] 11 12 1</p><p>1 2</p><p>21 22 2</p><p>a a b</p><p>y y</p><p>a a b</p><p>   </p><p>≥   </p><p>   </p><p>89</p><p>3</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Para compreender de forma numérica, vamos ver como ficaria o Exemplo 1 caso desejás-</p><p>semos saber qual é o seu modelo dual. Partimos do modelo primal, ou seja, o modelo origi-</p><p>nal proposto pelo problema, e construir o dual. Na Figura 07 podemos ver os dois modelos.</p><p>Figura 07. Dual e primal (notação algébrica) – Exemplo 1</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>Problema Primal (forma algébrica)</p><p>1 2300 500máxZ x x= +</p><p>Sujeito a:</p><p>1 22 2 400x x+ ≤</p><p>1 28 2 500x x+ ≤</p><p>1 20 0x e x≥ ≥ .</p><p>Problema Dual (forma algébrica)</p><p>1 2400 500mínW y y= +</p><p>Sujeito a:</p><p>1 22 8 300y y+ ≥</p><p>1 22 2 500y y+ ≥</p><p>1 20 0y e y≥ ≥</p><p>.</p><p>1</p><p>2</p><p>0</p><p>0</p><p>x</p><p>x</p><p>   </p><p>≥   </p><p>  </p><p>1</p><p>2</p><p>0</p><p>0</p><p>y</p><p>y</p><p>   </p><p>≥   </p><p>  </p><p>Vamos apresentar um exemplo no qual possamos aplicar os conceitos do dual e do</p><p>Simplex simultaneamente para resolver uma questão de otimização.</p><p>EXEMPLO 2 – APLICANDO DUAL E SIMPLEX</p><p>O cenário de recessão econômica muitas vezes exige das empresas decisões difíceis. Considere uma</p><p>empresa que precise minimizar seus custos produtivos. Ela possui três máquinas e cada uma dessas</p><p>máquinas tem um custo de operação por hora: Máquina A, R$ 50/hora, Máquina B, R$ 60/hora e Máquina</p><p>C, R$ 70/hora.</p><p>Essa empresa tem compromissos já assumidos para abastecer alguns clientes com dois produtos, Alfa e</p><p>Beta, por isso precisa disponibilizar semanalmente no mínimo 10 produtos Alfa e 15 produtos Beta.</p><p>Esses dois produtos podem ser fabricados usando qualquer uma das máquinas, mas as máquinas operam</p><p>de maneiras diferentes, de modo que cada unidade do produto Alfa, quando produzido na máquina A, leva</p><p>1 hora. Quando fabricado na máquina B, precisa de 3 horas. Já quando é usada a máquina C são neces-</p><p>sárias 5 horas para sua produção. O produto Beta, quando produzido na máquina A, toma 2 horas. Quando</p><p>fabricado na máquina B precisa de 4 horas de produção. Já quando é usada a máquina C, são necessárias</p><p>6 horas. Determine qual é a solução ótima dessa empresa.</p><p>Começaremos definindo as variáveis de decisão:</p><p>1 x Quantidadeemhoras a ser utilizada na máquina A=</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>90</p><p>Método Simplex</p><p>3</p><p>2 x Quantidadeemhoras a ser utilizada na máquina B=</p><p>3 x Quantidadeemhoras a ser utilizada na máquinaC=</p><p>Uma vez definidas as variáveis de decisão, vamos escrever a modelagem completa</p><p>desse problema. Trata-se de um problema cuja otimização é reduzir custos, logo será</p><p>um problema de minimização, e as restrições exigem uma produção mínima (pode ser</p><p>maior, mas não pode ser menor), logo, são do tipo .≥</p><p>1 2 350 60 70mínZ x x x= + +</p><p>Sujeito a:</p><p>1 2 33 5 10x x x+ + ≥</p><p>1 2 32 4 6 15x x x+ + ≥</p><p>1 2 30 0 0x x x≥ ≥ ≥</p><p>Caso desejemos solucionar esse problema usando o Simplex, o 1º passo exige verificar</p><p>se o problema está no modelo-padrão (somente com restrições do tipo ≤ , maximização</p><p>da função objetivo e com restrições de não negatividade). Ao fazermos isso identifica-</p><p>mos que não podemos seguir, pois o problema é de minimizar e as restrições são do</p><p>tipo .≥ Como proceder? Fazendo o dual. Na Figura 08 indicamos qual é o problema</p><p>dual associado ao problema primal.</p><p>Figura 08. Dual e primal (notação algébrica) – Exemplo 2</p><p>Problema dual (forma algébrica)</p><p>1 210 15máxW y y= +</p><p>Sujeito a:</p><p>1 22 50y y+ ≤</p><p>1 23 4 60y y+ ≤</p><p>1 25 6 70y y+ ≤</p><p>1 20 0y e y≥ ≥ .</p><p>Problema primal (forma algébrica)</p><p>1 2 350 60 70mínZ x x x= + +</p><p>Sujeito a:</p><p>1 2 33 5 10x x x+ + ≥</p><p>1 2 32 4 6 15x x x+ + ≥</p><p>1 2 30 0 0x x x≥ ≥ ≥</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>91</p><p>3</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Queremos as respostas para o problema primal, o que de fato representa a empresa. Mas</p><p>como estamos impossibilitados de aplicar o Simplex, então vamos aplicar o Simplex no</p><p>problema dual e dali extrair as respostas para o primal. Sigamos os passos do Simplex.</p><p>Passo 1:</p><p>Passo 2:</p><p>Verificamos que o problema dual está no modelo-padrão (somente com restrições do tipo ≤ ,</p><p>maximização da função objetivo e com restrições de não negatividade), então vamos criar as</p><p>variáveis de folga eliminando as inequações e transformando-as em equações.</p><p>1 210 15máxW y y= +</p><p>Sujeito a:</p><p>1 2 32 50y y y+ + =</p><p>1 2 43 4 60y y y+ + =</p><p>1 2 55 6 70y y y+ + =</p><p>1 20 0y e y≥ ≥</p><p>3 4 50 0 0y y y≥ ≥ ≥</p><p>Organizar a função objetivo para que não haja variável de decisão do lado direito da igualdade.</p><p>1 210 15 0máxW y y− − =</p><p>Sujeito a:</p><p>1 2 32 50y y y+ + =</p><p>1 2 43 4 60y y y+ + =</p><p>1 2 55 6 70y y y+ + =</p><p>1 20 0y e y≥ ≥</p><p>3 4 50 0 0y y y≥ ≥ ≥</p><p>92</p><p>Método Simplex</p><p>3</p><p>Passo 3:</p><p>Passo 4:</p><p>Passo 5:</p><p>Passo 6:</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>Figura 09. Colocar o modelo no formato de quadro Simplex</p><p>VARIÁVEL BÁSICA Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 CONSTANTE</p><p>Linha 0 W -10 -15 0 0 0 0</p><p>Linha I Y3 1 2 1 0 0 50</p><p>Linha II Y4 3 4 0 1 0 60</p><p>Linha III Y5 5 6 0 0 1 70</p><p>VARIÁVEL BÁSICA Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 CONSTANTE</p><p>Linha 0 W -10 -15 0 0 0 0</p><p>Linha I Y3 1 2 1 0 0 50</p><p>Linha II Y4 3 4 0 1 0 60</p><p>Linha III Y5 5 6 0 0 1 70</p><p>VARIÁVEL BÁSICA Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 CONSTANTE</p><p>Linha 0 W -10 -15 0 0 0 0</p><p>Linha I Y3 1 2 1 0 0 50</p><p>Linha II Y4 3 4 0 1 0 60</p><p>Linha III Y5 5 6 0 0 1 70</p><p>VARIÁVEL BÁSICA Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 CONSTANTE</p><p>Linha 0 W -10 -15 0 0 0 0</p><p>Linha I Y3 1 2 1 0 0 50</p><p>Linha II Y4 3 4 0 1 0 60</p><p>Linha III Y5 5 6 0 0 1 70</p><p>Figura 10. Definição da coluna pivô, que indicará a variável que entrará na base</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>Figura 11. Definir a linha pivô, que indicará a variável</p><p>que sairá da base</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>Coluna pivô: o número mais negativo</p><p>Linha pivô: o número menor</p><p>Número pivô: está na linha e na coluna pivô</p><p>Figura 12. Definição do número pivô</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>50</p><p>2 = 25</p><p>60</p><p>4</p><p>= 15</p><p>70</p><p>6</p><p>= 11,66</p><p>93</p><p>3</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Passo 7:</p><p>Figura 13. Desenhar o novo quadro Simplex, com as novas variáveis na base. No nosso</p><p>caso, 2y entra na base e 5y sai da base</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>VARIÁVEL BÁSICA Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 CONSTANTE</p><p>Linha 0 W</p><p>Linha I Y3</p><p>Linha II Y4</p><p>Linha III Y2</p><p>VARIÁVEL</p><p>BÁSICA Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 CONSTANTE</p><p>Linha 0 W</p><p>Linha I Y3</p><p>Linha II Y4</p><p>Linha III Y2 0,8333333 1 0 0 0,1666667 11,666667</p><p>Passo 8:</p><p>Passo 9:</p><p>Figura 14. Calcular a nova linha pivô. Basta dividir a linha pivô antiga pelo número pivô, ou seja, a</p><p>linha III por 6</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>Figura 15. Calcular todas as outras linhas do quadro. Seguiremos o esquema apre-</p><p>sentado na Figura 13, para cada uma das linhas</p><p>-10 -15 0 0 0 0</p><p>-(-15) x ( 0,833 1 0 0 1,167 11,667)</p><p>2,5 0 0 0 2,5</p><p>1 2 1 0 0 50</p><p>-(2) x ( 0,833 1 0 0 1,167 11,667)</p><p>-0,667 0 1 0 0,333 26,667</p><p>3 4 0 1 0 60</p><p>-(4) x ( 0,833 1 0 0 1,167 11,667)</p><p>-0,333 0 0 1 -0,167 13,333</p><p>Nova linha W</p><p>Nova linha pivô</p><p>Linha W antiga</p><p>Nova linha Y3</p><p>Nova linha pivô</p><p>Linha Y3 antiga</p><p>Nova linha Y4</p><p>Nova linha pivô</p><p>Linha Y4 antiga</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>Linha 0:</p><p>Linha I:</p><p>Linha III:</p><p>94</p><p>Método Simplex</p><p>3</p><p>Dessa forma, o novo quadro Simplex com todas as linhas preenchidas fica assim:</p><p>Tabela 13. Quadro Simplex final</p><p>VARIÁVEL</p><p>BÁSICA Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 CONSTANTE</p><p>Linha 0 W 2,5 0 0 0 2,5 175</p><p>Linha I Y3 -0,6666667 0 1 0 -0,3333333 26,666667</p><p>Linha II Y4 -0,3333333 0 0 1 -0,6666667 13,333333</p><p>Linha III Y2 0,8333333 1 0 0 0,1666667 11,666667</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>Passo 10:</p><p>Devemos analisar se na linha W ainda existem números negativos. Nesse caso não há, o que</p><p>significa que temos já a solução ótima, não sendo necessário fazer outra interação.</p><p>Uma vez que tenhamos efetuado o Simplex, podemos tirar do quadro as soluções. O quadro</p><p>Simplex nos indica:</p><p>` Solução que otimiza a função objetivo, que são os valores que se encontram</p><p>na coluna “constante”, na linha das variáveis de decisão. Quando a variável não</p><p>está nas linhas (não está na base), o valor que essa variável assume é zero.</p><p>1y zero=</p><p>2 11,67y =</p><p>3 26,67y =</p><p>4 13,33y =</p><p>5y zero=</p><p>` Valor da função objetivo é obtido na linha W, na coluna “constante”.</p><p>175máxW =</p><p>` Preço sombra é encontrado na linha W, embaixo das variáveis de folga.</p><p>3 Referentea y zero=</p><p>4 Referentea y zero=</p><p>95</p><p>3</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>5 2,5 Referentea y =</p><p>` Custo reduzido é encontrado na linha W, embaixo das variáveis de decisão.</p><p>1 2,5 Referentea y =</p><p>2 Referentea y zero=</p><p>Essas são as informações do problema dual, mas o que nos interessa são as respostas do</p><p>primal, que é o problema real apresentado pela empresa. Vamos responder utilizando as</p><p>informações do dual.</p><p>Função objetivo: o valor ótimo da função objetivo do problema primal e dual serão idênti-</p><p>cos. Assim, o valor ótimo de Zmín = Wmáx = 175. Ou seja, a empresa terá um custo mínimo</p><p>semanal de R$ 175.</p><p>Solução ótima (valor das variáveis de decisão): o valor do preço sombra de cada uma das</p><p>restrições do problema dual é o valor assumido pelas variáveis de decisão do problema</p><p>primal. Dessa forma:</p><p>1 3 Quantidadeemhoras a ser utilizada na máquina A x preço sombra referentea y zero= = =</p><p>2 4 Quantidadeemhoras a ser utilizada na máquina B x preço sombra referentea y zero= = =</p><p>3 5 2,5 Quantidadeemhoras a ser utilizada na máquinaC x preço sombra referentea y= = =</p><p>Isso significa que a empresa precisa utilizar 2,5 horas da máquina C para ter o menor custo</p><p>possível sem deixar de atender os compromissos já assumidos com os clientes. Se substituir-</p><p>mos os valores nas variáveis de decisão nas restrições do modelo, poderemos saber quantos</p><p>produtos foram feitos.</p><p>Modelo do problema:</p><p>1 2 350 60 70mínZ x x x= + +</p><p>Sujeito a:</p><p>1 2 33 5 10x x x+ + ≥</p><p>1 2 32 4 6 15x x x+ + ≥</p><p>1 2 30 0 0x x x≥ ≥ ≥</p><p>Se</p><p>1 x Quantidadeemhoras a ser utilizada na máquina A zero= =</p><p>96</p><p>Método Simplex</p><p>3</p><p>2 x Quantidadeemhoras a ser utilizada na máquina B zero= =</p><p>3 2,5 x Quantidadeemhoras a ser utilizada na máquinaC= =</p><p>Então, para a restrição referente ao produto Alfa:</p><p>1 2 33 5 10x x x+ + ≥</p><p>( ) ( )0 3 0 5 2,5 10+ + ≥</p><p>12,5 10≥</p><p>Isso significa que serão produzidos 12,5 produtos Alfa. Lembre-se de que o problema exigia</p><p>que fossem produzidos no mínimo 10, logo a quantidade a ser produzida atende à exigência</p><p>do problema.</p><p>Fazendo o mesmo para a restrição referente ao produto Beta, temos:</p><p>1 2 32 4 6 15x x x+ + ≥</p><p>( ) ( ) ( )2 0 4 0 6 2,5 15+ + ≥</p><p>15 15≥</p><p>De modo análogo, esse resultado demonstra que serão produzidos 15 produtos Beta. O pro-</p><p>blema exigia que fossem produzidos no mínimo 15, logo a quantidade a ser produzida atende</p><p>à exigência do problema.</p><p>– Preço sombra: o valor do preço sombra de cada uma das restrições do problema primal é</p><p>o valor assumido pelas variáveis de decisão do problema dual. Dessa forma:</p><p>1 y zero Preço sombraemrelaçãoà restriçãodo produto Alfa zero= = =</p><p>2 11,667 11,667 y Preço sombraemrelaçãoà restriçãodo produto Beta= = =</p><p>Logo, podemos interpretar que, caso a exigência de se produzir no mínimo 10 unidades do</p><p>produto Alfa seja alterada em uma unidade, isso não vai afetar o valor ótimo da função obje-</p><p>tivo, ou seja, os custos da empresa, pois seu preço sombra é zero. Isso faz sentido, pois na</p><p>solução ótima já se produz mais produtos Alfa do que o problema necessita (produz 12,5).</p><p>Já para o produto Beta, se houver uma necessidade de se produzir uma unidade a mais, a</p><p>solução ótima será piorada (terá maior custo) em uma taxa de R$ 11,667 para cada unidade</p><p>adicional. Da mesma forma, se o problema flexibilizar e permitir que sejam produzidas menos</p><p>97</p><p>3</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>unidades desse produto, a empresa consegue reduzir seus custos a uma taxa de R$ 11,667</p><p>para cada unidade reduzida.</p><p>Perceba a importância dessa análise no mundo real. Se o gestor da empresa está empenha-</p><p>do em reduzir seus custos de modo emergencial, uma possibilidade seria conversar com os</p><p>clientes que desejam o produto Beta, pois cada unidade a menos produzida de Beta reduzirá</p><p>o custo operacional da empresa. O mesmo não acontece com o produto Alfa. Claro que no</p><p>mundo real, com essas informações, o gestor faria outras perguntas, como “qual é o valor</p><p>de venda de cada unidade vendida?”, e possivelmente ele modelaria outro problema para</p><p>maximizar a receita e tentaria atender aos dois modelos: um de maximizar receita e um de</p><p>minimizar custos. Esse é o poder da programação linear.</p><p>Exemplo 3 – Uma segunda aplicação do dual</p><p>Considere o modelo indicado a seguir. Determine a solução ótima e o valor ótimo da função objetivo, utili-</p><p>zando o método Simplex.</p><p>1 2360 250mínZ x x= +</p><p>Sujeito a:</p><p>1 26 16 10x x+ ≥</p><p>1 29 20 25x x+ ≥</p><p>1 0x ≥ 2 0x ≥</p><p>Nesse exemplo, já temos um modelo matemático definido e o objetivo é responder</p><p>quais variáveis otimizam o modelo. Para fazer isso usando o Simplex, podemos seguir</p><p>os passos definidos anteriormente.</p><p>Passo 1:</p><p>Verificamos que o problema não está no modelo-padrão. Então precisamos que haja somente</p><p>restrições do tipo ≤ , maximização da função objetivo e restrições de não negatividade. Como</p><p>não podemos usar o Simplex com esse modelo apresentado, vamos tentar fazer isso usando</p><p>o conceito de dualidade. O modelo dual para o problema ficará como indicado na Figura 16.</p><p>98</p><p>Método Simplex</p><p>3 Problema primal (forma algébrica)</p><p>1 2360 250mínZ x x= +</p><p>Sujeito a:</p><p>1 26 16 10x x+ ≥</p><p>1 29 20 25x x+ ≥</p><p>1 0x ≥ 2 0x ≥</p><p>Problema dual (forma algébrica)</p><p>1 210 25máxW y y= +</p><p>Sujeito a:</p><p>1 26 9 360y y+ ≤</p><p>1 216 20 250y y+ ≤</p><p>1 0y</p><p>≥ 2 0y ≥</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>Figura 16. Dual e primal (notação algébrica) – Exemplo 3</p><p>Agora que temos um problema com restrições do tipo ≤ , maximização da função objetivo</p><p>e com restrições de não negatividade, podemos resolver. Sabendo que todas as respostas</p><p>para o problema primal poderão ser obtidas do dual, vamos criar as variáveis de folga, eli-</p><p>minando as inequações e transformando-as em equações.</p><p>1 210 25mínW y y= + Sujeito a:</p><p>1 2 36 9 360y y y+ + =</p><p>1 2 416 20 250y y y+ + =</p><p>1 0y ≥ 2 0y ≥</p><p>3 0y ≥ 4 0y ≥</p><p>Passo 2:</p><p>Organizar a função objetivo para que não haja variável de decisão do lado direito da igualdade.</p><p>1 210 25 02mínW y y− − =</p><p>Sujeito a:</p><p>1 2 36 9 360y y y+ + =</p><p>1 2 416 20 250y y y+ + =</p><p>99</p><p>3</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Coluna pivô: o número mais negativo</p><p>Passo 3:</p><p>Passo 4:</p><p>Passo 5:</p><p>Passo 6:</p><p>1 0y ≥ 2 0y ≥</p><p>3 0y ≥ 4 0y ≥</p><p>Tabela 14. Colocar o modelo no formato de quadro Simplex</p><p>VARIÁVEL BÁSICA Y1 Y2 Y3 Y4 CONSTANTE</p><p>Linha 0 W -10 -25 0 0 0</p><p>Linha I Y3 6 9 1 0 360</p><p>Linha II Y4 16 20 0 1 250</p><p>VARIÁVEL BÁSICA Y1 Y2 Y3 Y4 CONSTANTE</p><p>Linha 0 W -10 -25 0 0 0</p><p>Linha I Y3 6 9 1 0 360</p><p>Linha II Y4 16 20 0 1 250</p><p>VARIÁVEL BÁSICA Y1 Y2 Y3 Y4 CONSTANTE</p><p>Linha 0 W -10 -25 0 0 0</p><p>Linha I Y3 6 9 1 0 360</p><p>Linha II Y4 16 20 0 1 250</p><p>VARIÁVEL BÁSICA Y1 Y2 Y3 Y4 CONSTANTE</p><p>Linha 0 W -10 -25 0 0 0</p><p>Linha I Y3 6 9 1 0 360</p><p>Linha II Y4 16 20 0 1 250</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>Tabela 15. Definição da coluna pivô, que indicará a variável que entrará na base</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>Tabela 16. Definir a linha pivô, que indicará a variável que sairá da base</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>Linha pivô: o número menor</p><p>Número pivô: está na linha e na coluna pivô</p><p>360</p><p>9</p><p>= 40</p><p>250</p><p>20</p><p>= 12,5</p><p>Tabela 17. Definição do número pivô</p><p>100</p><p>Método Simplex</p><p>3</p><p>Passo 7:</p><p>Passo 8:</p><p>Passo 9:</p><p>Tabela 18. Desenhar o novo quadro Simplex, com as novas variáveis na base. No</p><p>nosso caso, 2y entra na base e 4y sai da base</p><p>VARIÁVEL BÁSICA Y1 Y2 Y3 Y4 CONSTANTE</p><p>Linha 0 W</p><p>Linha I Y3</p><p>Linha II Y4</p><p>VARIÁVEL BÁSICA Y1 Y2 Y3 Y4 CONSTANTE</p><p>Linha 0 W</p><p>Linha I Y3</p><p>Linha II Y4 0,8 1 0 0,05 12,5</p><p>VARIÁVEL BÁSICA Y1 Y2 Y3 Y4 CONSTANTE</p><p>Linha 0 W 10 0 0 1,25 312,5</p><p>Linha I Y3 1,2 0 1 0,45 247,5</p><p>Linha II Y2 0,8 1 0 0,05 12,5</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>Tabela 19. Calcular a nova linha pivô. Basta dividir a linha pivô antiga pelo número</p><p>pivô, ou seja, a linha II por 20 (conforme 6º passo)</p><p>Tabela 20. Calcular todas as outras linhas do quadro. Seguiremos o esquema</p><p>apresentado na Figura 13, para cada uma das linhas</p><p>-10 -25 0 0 0</p><p>-(-25) x ( 0,80 1 0 0,05 12,5)</p><p>10 0 0 1,25 312,5 Nova linha W</p><p>Nova linha pivô</p><p>Linha W antiga+</p><p>6 9 1 0 360</p><p>-(9) x ( 0,80 1 0 0,05 12,5)</p><p>1,2 0 1 0,45 247,5 Nova linha Y3</p><p>Nova linha pivô</p><p>Linha Y3 antiga</p><p>+</p><p>Linha 0:</p><p>Linha I:</p><p>Dessa forma, o novo quadro Simplex com todas as linhas preenchidas fica assim:</p><p>Tabela 21. Quadro Simplex final</p><p>101</p><p>3</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Passo 10:</p><p>Devemos analisar se na linha W ainda existem números negativos. Nesse caso não há, o que</p><p>significa que temos já a solução ótima, não sendo necessário fazer outra interação.</p><p>Podemos agora retirar do quadro Simplex final as respostas para o problema dual.</p><p>Variáveis de decisão, aquelas que estão no modelo matemático antes de iniciar o Simplex:</p><p>( )1 , y zero atentequeavariável nãoestá nabase logovale zero=</p><p>2 12,5y =</p><p>Variáveis de folga, criadas para fazer o Simplex:</p><p>3 247,5y =</p><p>( )4 , y zero atentequetambémnãoestá nabase logovale zero=</p><p>Função objetivo: 312,5.máxW =</p><p>Preço sombra: na linha W podemos encontrar os preços sombra referentes a cada uma das</p><p>restrições. Basta ver os valores que se encontram logo abaixo da variável de folga criada</p><p>para a restrição.</p><p>Primeira restrição – 3 referentea y zero=</p><p>Segunda restrição – 4 1, 25referentea y =</p><p>Vamos nos lembrar de que fizemos o Simplex com o modelo do dual, agora nos interessa</p><p>definir as respostas para o problema original que chamamos de primal. Vamos então obter</p><p>esses valores do dual.</p><p>Variáveis de decisão do primal é igual ao preço sombra do dual.</p><p>1 x zero=</p><p>2 1, 25x =</p><p>Função objetivo do primal é igual à do dual: 312,5.mín máxZ W= =</p><p>Preço sombra do primal é igual às variáveis de decisão do dual:</p><p>Primeira restrição – 1 y zero=</p><p>Segunda restrição – 2 12,5y =</p><p>102</p><p>Método Simplex</p><p>3</p><p>Assim podemos obter todas as informações relevantes do problema original proposto no</p><p>Exemplo 3, mesmo sendo um problema de minimizar, que não pode ser resolvido diretamen-</p><p>te pelo Simplex, sendo necessário usar os conceitos de dualidade.</p><p>CONCLUSÃO</p><p>O método Simplex é a ferramenta de otimização que inaugura a programação linear</p><p>como conhecemos. Com esse algoritmo, passou a ser possível proceder complexas</p><p>tomadas de decisão de modo rápido e simples. Os mecanismos de tomada de decisão,</p><p>antes baseados em processos algébricos longos ou em intuição, puderam receber o</p><p>apoio de mecanismos possíveis de serem aplicados no cotidiano das empresas e fun-</p><p>damentados em dados.</p><p>O Simplex está na base da maior parte dos programas de otimização linear existentes e</p><p>fornece ao gestor uma quantidade grande de informações a serem usadas nas empresas.</p><p>103</p><p>3</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS</p><p>Albers, D. J.; Alexanderson, G. L.; Reid, C. More Mathematical People. San Diego: Harcourt Brace Jova-</p><p>novich, 1990.</p><p>DANTZIG, G. B. Reminiscences about the origins of linear programming. Operations Research Letters,</p><p>[S. l.], v. 1, n. 2, p. 43-48, abr. 1982. Disponível em: https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/</p><p>pii/0167637782900438. Acesso em: 17 maio 2021.</p><p>HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à Pesquisa Operacional. 8. ed. New York: McGrawHill, 2010.</p><p>LACHTERMACHER, G. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões. 3. ed. Amsterdã: Elsevier, 2007.</p><p>LAWRENCE, J. A.; PASTERNACK, B. A. Applied Management Science: Modeling, Spreadsheet Analysis,</p><p>and Communication for Decision Making. 2. ed. Hoboken: Wiley, 2002.</p><p>PASSOS, E. J. P. F. Programação Linear como instrumento de Pesquisa Operacional. São Paulo: Atlas,</p><p>2008.</p><p>TAHA, H. A. Pesquisa Operacional. 8. ed. Londres: Pearson, 2008.</p><p>104</p><p>Modelos de Transporte e Teoria das Filas</p><p>4</p><p>UNIDADE 4</p><p>MODELOS DE TRANSPORTE E</p><p>TEORIA DAS FILAS</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Empresas precisam abastecer e serem abastecidas por fornecedores e, para isso, pre-</p><p>cisam escolher a melhor rota, definir quantos caminhões utilizar e verificar sua capaci-</p><p>dade produtiva, entre outros aspectos. Os softwares estabelecem como fazer a infor-</p><p>mação ser acessada mais rapidamente. Redes de transporte público precisam definir a</p><p>melhor configuração da malha rodoviária ou ferroviária para integrar bairros e cidades</p><p>da forma mais econômica para sua construção e manutenção. Processos de atendi-</p><p>mento necessitam identificar se é economicamente viável ter mais atendentes ou se a</p><p>fila existente é inevitável. Todas essas decisões envolvem processos que serão vistos</p><p>nesta unidade. Muitos desses problemas podem ser modelados graficamente como</p><p>problemas de rede, dentre eles, os problemas de transporte.</p><p>As formas de resolução, nesse caso, começam envolvendo Programação Linear e</p><p>vão além, envolvendo Teoria das Filas e Processos Estocásticos, além de Cadeias de</p><p>Markov. Todos esses modelos e ferramentas integram o que chamamos de Pesquisa</p><p>Operacional e Processos de Tomada de decisão.</p><p>1. REDES E MODELO DE TRANSPORTES</p><p>As aplicações da modelagem em rede são variadas e têm grande poder para resolução</p><p>de uma série de problemas, com aplicações desde a logística até a computação. Esses</p><p>problemas surgem em diferentes áreas do conhecimento e a representação em rede</p><p>fornece uma ferramenta conceitual e visual adequada para descrever como estruturas se</p><p>relacionam,</p><p>sendo usadas em praticamente todos os ramos do conhecimento humano</p><p>(HILLIER; LIEBERMAN, 2010, p. 360). O processo de otimização de redes consiste em</p><p>um dos mais importantes avanços da Pesquisa Operacional no final do século XX e início</p><p>do XXI. Muitos dos problemas de rede são casos especiais de problemas de Programa-</p><p>ção Linear, como o de transporte, que veremos com mais detalhes à frente nesta unidade.</p><p>Há uma extensa aplicação e, consequentemente, inúmeras possibilidades de modela-</p><p>gem e resolução de problemas de rede. Estudaremos, neste momento, três modelos de</p><p>problemas de rede – caminho mínimo, fluxo máximo e problema da árvore de expansão</p><p>mínima –, além do problema de transporte.</p><p>É conveniente discutir o que se entende por rede. Rede nada mais é do que um conjunto de</p><p>nós (ou vértices) interligados por conectores denominados arcos (são as arestas ou ligações).</p><p>105</p><p>4</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Esses arcos podem ser direcionados (quando o fluxo é permitido em apenas uma direção e é</p><p>representado por uma seta) ou não direcionados (o fluxo é permitido em ambas as direções).</p><p>A Figura 1 apresenta um exemplo dessa estrutura de rede. Tradicionalmente, os números</p><p>indicados nos arcos (setas) são os recursos consumidos (tempo, distância, dinheiro etc.).</p><p>Além disso, o nó 1 seria chamado de origem (pois não apresenta arco algum entrando nele) e</p><p>o nó 4 seria chamado de destino (pois não apresenta arco algum saindo dele).</p><p>Figura 01. Exemplo de uma rede</p><p>1.1. O PROBLEMA DO CAMINHO MAIS CURTO (CAMINHO MÍNIMO)</p><p>Apesar de chamarmos o problema de Caminho Mínimo, é importante deixar claro que,</p><p>de acordo com as necessidades da situação real, pode ser conveniente encontrar o</p><p>caminho máximo e não mínimo e, para isso, é possível fazer simples ajustes. Então, ao</p><p>longo deste tópico, quando for dito “minimizar”, considere que pode ser maximizar se</p><p>assim o tomador de decisão julgar mais conveniente.</p><p>Esse problema consiste em uma rede conectada e dois nós especiais denominados ori-</p><p>gem e destino (pontos de “chegada” e/ou “saída”). Vamos verificar um exemplo e, com</p><p>base nele, resolver um problema de caminho mínimo.</p><p>Exemplo 1 – A pizza precisa chegar quente</p><p>Uma pizzaria oferece entrega em domicílio e se orgulha de ter o processo de entrega mais rápido da cida-</p><p>de, garantindo aos clientes que, caso a pizza não chegue quente, não precisam pagar. A cidade é dividida</p><p>em várias redes de atendimento, de acordo com as distâncias da pizzaria. Assim, os entregadores podem</p><p>chegar ao destino com a pizza quente se escolherem o caminho correto. Um dos entregadores atende os</p><p>bairros indicados na rede a seguir e precisa entregar uma pizza no destino indicado do cliente. Para fazer</p><p>isso de modo seguro e sem correr, qual caminho ele deve escolher, considerando que, na Figura 2, cada</p><p>número nos arcos indica o tempo em minutos de deslocamento entre os bairros?</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>Figura 02. Distância entre os bairros</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>6 5</p><p>7 4</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>6 10</p><p>5</p><p>5</p><p>5</p><p>2</p><p>8</p><p>3</p><p>9</p><p>pizzaria cliente</p><p>106</p><p>Modelos de Transporte e Teoria das Filas</p><p>4</p><p>Há diferentes formas de se resolver esse problema e vamos apresentar duas delas.</p><p>Uma será exclusivamente gráfica e outra, por meio de modelagem em programação</p><p>linear, como feito nas unidades anteriores. Vamos começar pelo método gráfico.</p><p>` Algoritmo do Caminho Mínimo (etiquetagem)</p><p>Quando a rede não apresenta grande complexidade com um número muito grande</p><p>de conexões, como é o caso do Exemplo 1, podemos resolver o problema “na mão”,</p><p>usando apenas a rede existente e uma forma de notação bem simples que chamaremos</p><p>de “etiquetagem”. O nome se refere a uma “etiqueta” que seria colocada em cada nó,</p><p>caso ele estivesse em um quadro ou a pessoa que o resolve estivesse com uma série</p><p>de etiquetas com as informações de qual é o nó antecedente, “de onde veio”, e qual é</p><p>a distância acumulada até a origem.</p><p>Um passo a passo dessa forma de resolução seria:</p><p>Marcar o nó referente à origem como</p><p>antecessor de si próprio, indicando "0" em sua</p><p>etiqueta e distância total acumulada "0".1.</p><p>Nas etiquetas deve haver dois campos: um</p><p>indicando o nó imediatamente antecessor pelo</p><p>qual o caminho é mais curto até a origem (nó “de</p><p>onde vem”) e outro campo indicando a distância</p><p>acumulada até a origem.</p><p>3.</p><p>Quando todos os nós estiverem etiquetados,</p><p>é necessário analisar e definir a etiqueta que</p><p>representa a solução ótima para o problema.</p><p>5.</p><p>Identificar quais são os nós subsequentes,</p><p>colocando uma etiqueta em cada um dos nós a</p><p>partir da origem até o destino. 2.</p><p>Importante: dentre todas as possibilidades para</p><p>definir o nó “de onde vem”, selecionar aquela</p><p>que resulte na menor distância acumulada (se o</p><p>problema for de maximizar, então é necessário</p><p>escolher a maior distância acumulada).</p><p>4.</p><p>107</p><p>4</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Figura 03. Colocando a primeira etiqueta na origem</p><p>Para se saber o caminho ótimo, é preciso</p><p>“retornar” do destino para a origem,</p><p>obedecendo as sinalizações das etiquetas que</p><p>indicam o nó “de onde vem”.</p><p>6.</p><p>Vamos aplicar esse passo a passo no Exemplo 1. Devemos começar indicando a eti-</p><p>queta da origem (1º passo), como na Figura 3. A etiqueta é o que está entre colchetes</p><p>[ _ ; _ ]. Observe que na origem haverá a mesma etiqueta [0;0], que significa que antes</p><p>dela não existe nenhum nó (nó zero) e que a distância acumulada até a origem é zero.</p><p>O 2º passo consiste em identificar os nós subsequentes à origem e ir colocando um a</p><p>um a etiqueta. No exemplo, vemos que os nós subsequentes são os 2, 3 e 4, portanto,</p><p>serão eles a receberem as próximas etiquetas (não importa a ordem). Em seguida, o</p><p>3º passo é colocar nas etiquetas as duas informações: o nó imediatamente antecessor</p><p>pelo qual o caminho é mais curto até a origem (nó “de onde vem”) e qual é a distância</p><p>acumulada até a origem. Isso resultará na configuração indicada na Figura 04.</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>Figura 04. Etiquetando os nós subsequentes à origem</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>6 10</p><p>5</p><p>5</p><p>5</p><p>2</p><p>8</p><p>3</p><p>9</p><p>pizzaria cliente</p><p>[0;0]</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>6 10</p><p>5</p><p>5</p><p>5</p><p>2</p><p>8</p><p>3</p><p>9</p><p>pizzaria cliente</p><p>[0;0]</p><p>[1;6]</p><p>[1;3]</p><p>[2;8]</p><p>108</p><p>Modelos de Transporte e Teoria das Filas</p><p>4</p><p>Observe que os nós 2, 3 e 4 agora têm, cada um, uma etiqueta que indica a distância</p><p>acumulada até a origem (segundo número na etiqueta) e qual é o nó pelo qual você</p><p>deve passar para ter essa distância. Verifique no nó 4 que o 4º passo foi dado, pois</p><p>para este nó temos três possiblidades: vir pelo nó 1, 2 ou 3. Se vier pelo nó 1, o entre-</p><p>gador percorrerá 9 minutos. Se vier pelo nó 3, o entregador percorrerá 11 minutos (6</p><p>minutos do nó 1 ao nó 3 e depois 4 minutos do nó 3 para o nó 4). Caso o entregador</p><p>venha pelo nó 2, ele percorrerá 8 minutos, e como este é o menor caminho, será ele o</p><p>escolhido. Dessa forma, para o nó 4 existe a etiqueta [2;8]; isso significa que o nó 3 está</p><p>a 8 minutos da origem e que esse caminho até a origem passa pelo nó 2. Já para o nó</p><p>3, a etiqueta é [1;6], o que significa que esse nó está a 6 minutos da origem e que esse</p><p>caminho passa pelo nó 1.</p><p>É necessário continuar etiquetando os nós que sobram, o que resultará na Figura 5.</p><p>Para o nó 5 há dois caminhos possíveis: um caminho vindo pelo nó 2, que resultará em</p><p>uma distância acumulada de 11 minutos até a origem (basta somar 8 da aresta entre</p><p>2 e 5 com o segundo valor da etiqueta existente no nó 2, que é 3), e outro caminho</p><p>passando pelo nó 4, o que resultará em uma distância acumulada até a origem de 10</p><p>minutos. Assim, a escolha para o problema será passar pelo nó 4, e por isso a etiqueta</p><p>do nó 5 fica [4;10].</p><p>Figura 05. Todos os nós etiquetados</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>Podemos, então, dar o 5º passo e etiquetar o nó 6. O procedimento é o mesmo, de</p><p>modo que é melhor chegar em 6 passando pelo nó 5 e não pelo nó 3. Agora o 6º pas-</p><p>so é “retornar”</p><p>a partir do nó 6 (destino) para a origem, obedecendo as sinalizações</p><p>das etiquetas que indicam o nó “de onde vem”. Veja que, olhando o nó 6, a etiqueta</p><p>indica que se deve passar pelo nó 5 (primeiro valor na etiqueta); chegando ao nó 5,</p><p>observa-se na etiqueta dele que o melhor caminho passa pelo nó 4. O nó 4 indica que</p><p>se deve passar pelo nó 2 e este, por fim, indica que se deve ir para o nó 1. Logo, o ca-</p><p>minho ótimo é: 1 2 4 5 6→ → → → . Além disso, sabemos que o tempo mínimo que</p><p>o entregador gastará para ir da origem até o destino será a soma de todos os valores</p><p>pelos quais passou: 3 5 2 5 15 minutos+ + + = . Observe que esse número pode ser</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>6 10</p><p>5</p><p>5</p><p>5</p><p>2</p><p>8</p><p>3</p><p>9</p><p>pizzaria cliente</p><p>[0;0]</p><p>[1;6]</p><p>[1;3]</p><p>[2;8]</p><p>[4;10]</p><p>[5;15]</p><p>109</p><p>4</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>encontrado sem necessidade de fazer a soma indicada, visto que tal informação já</p><p>está disponível na etiqueta do nó de destino (nó 6), que indica o tempo acumulado da</p><p>origem até o destino (15).</p><p>Dessa maneira resolvemos o problema e já temos o caminho ótimo a ser percorrido,</p><p>além do tempo mínimo de deslocamento. Por ser tratar de um problema relativamente</p><p>simples, com poucas ramificações na rede, não apresentou dificuldades para ser eti-</p><p>quetado. Porém, muitas vezes isso não acontece e, por isso, vamos apresentar uma</p><p>segunda ferramenta para resolução do problema.</p><p>` Modelando como Programação Linear problemas do tipo Caminho Mínimo</p><p>Os problemas de caminho mínimo também podem ser modelados exatamente como</p><p>fizemos nas unidades anteriores, usando Programação Linear, portanto, podemos usar</p><p>tanto o MS Solver como o Simplex para resolvê-los. Aqui vamos mostrar como é sua</p><p>modelagem e resolver um exemplo usando o MS Solver. Para tornar a explicação mais</p><p>didática, vamos partir de um exemplo.</p><p>Exemplo 2 – Reduzindo custo de uma transportadora</p><p>Uma empresa de transportes precisa oferecer uma cotação para um serviço de transporte que tem um</p><p>porto determinado como origem e segue até o depósito de um cliente. Como nunca fez esse trajeto, a trans-</p><p>portadora necessita analisar sua melhor opção, de modo que consiga atender o cliente pelo menor preço</p><p>possível, pois é estrategicamente importante prestar esse serviço, a fim de conquistar a confiança da em-</p><p>presa contratante e ter a oportunidade de poder oferecer serviços adicionais a ela. A Figura 6 indica todas</p><p>as opções de trajeto para se levar a carga do porto para o cliente. Nesta rede, os nós indicam as cidades</p><p>por onde se pode passar, e os números nos arcos indicam o custo de transporte entre as cidades. Determi-</p><p>ne qual é o melhor trajeto para que a transportadora minimize o custo total de transporte para essa entrega.</p><p>A resolução de problemas como o do Exemplo 2 pelo método da etiquetagem exigi-</p><p>ria muito mais cuidado e atenção por parte do analista. No mundo real, os problemas</p><p>costumam ser ainda mais complexos, por isso é imprescindível que o estudante tenha</p><p>acesso a outras ferramentas de resolução. E é o que mostramos neste tópico: uma</p><p>forma de se resolver problemas complexos de caminho mínimo, usando a modelagem</p><p>de programação linear.</p><p>Vamos, então, modelar esse problema: começaremos definindo as variáveis de deci-</p><p>são, este é o momento mais crítico dessa modelagem. Atente que, no caso do caminho</p><p>Figura 06. Distância entre os bairros</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>8</p><p>10</p><p>119</p><p>7</p><p>6</p><p>5</p><p>Porto</p><p>60</p><p>75</p><p>107</p><p>82</p><p>79</p><p>39</p><p>25</p><p>71</p><p>48</p><p>35</p><p>95</p><p>50</p><p>123</p><p>37</p><p>98</p><p>45</p><p>Cliente</p><p>110</p><p>Modelos de Transporte e Teoria das Filas</p><p>4</p><p>mínimo, trata-se de escolher qual é o caminho a ser percorrido, uma vez escolhido um</p><p>arco, ele é percorrido integralmente. Considere, por exemplo, o arco entre o nó 1 e 2,</p><p>uma vez escolhido este nó, obrigatoriamente a transportadora gastará R$ 60: não existe</p><p>a possibilidade de se passar pelo arco entre 1 e 2 sem gastar esse valor integralmente.</p><p>A palavra integralmente aqui é importante. Perceba que as variáveis de decisão pre-</p><p>cisam indicar se cada um dos arcos foi ou não escolhido, apenas isso. A variável de</p><p>decisão não indica o quanto se gastou, pois isso será definido em função da escolha</p><p>dos caminhos: a variável de decisão apenas diz se um arco foi usado ou não. Assim,</p><p>haverá uma variável de decisão para cada um dos arcos existentes na rede. Vamos</p><p>nomeá-los, colocando nos índices de cada uma das variáveis de decisão o nó de onde</p><p>sai e o nó para onde vai.</p><p>12 1 2 x decisão seocaminhoentreos nós e foi escolhido=</p><p>13 1 3 x decisão seocaminhoentreos nós e foi escolhido=</p><p>14 1 4 x decisão seocaminhoentreos nós e foi escolhido=</p><p>15 1 5 x decisão seocaminhoentreos nós e foi escolhido=</p><p>26 2 6 x decisão seocaminhoentreos nós e foi escolhido=</p><p>37 3 7 x decisão seocaminhoentreos nós e foi escolhido=</p><p>48 4 8 x decisão seocaminhoentreos nós e foi escolhido=</p><p>49 4 9 x decisão seocaminhoentreos nós e foi escolhido=</p><p>410 4 1 0 x decisão seocaminhoentreos nós e foi escolhido=</p><p>58 5 8 x decisão seocaminhoentreos nós e foi escolhido=</p><p>67 6 7 x decisão seocaminhoentreos nós e foi escolhido=</p><p>79 7 9 x decisão seocaminhoentreos nós e foi escolhido=</p><p>810 8 1 0 x decisão seocaminhoentreos nós e foi escolhido=</p><p>910 9 1 0 x decisão seocaminhoentreos nós e foi escolhido=</p><p>111</p><p>4</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>.</p><p>410 58 67 79 810 910 911 101171 39 95 50 48 37 123 98x x x x x x x x+ + + + + + +</p><p>Como na rede existem 16 arcos, então precisa haver 16 variáveis de decisão. Como em</p><p>muitos casos reais o número de variáveis é ainda maior, podendo chegar a dezenas ou</p><p>centenas, então muitas vezes optamos por escrever as variáveis de decisão desta forma.</p><p>ijx decisão seocaminhoentreos nós i e j foi escolhido=</p><p>Além disso, outra informação é importante: a variável de decisão apenas deve dizer se</p><p>um arco foi ou não escolhido e não deve modificar o valor gasto naquele deslocamento.</p><p>A variável de decisão diz sim ou não, apenas isso. Em matemática, uma forma de dizer</p><p>sim ou não é usar os números 1 e zero. Ou seja, as variáveis de decisão devem obri-</p><p>gatoriamente assumir os valores 1 ou zero, nenhum outro. Por isso dizemos que são</p><p>binárias. Vamos colocar isso no modelo adiante.</p><p>Uma vez definidas as variáveis de decisão, vamos escrever a função objetivo, que</p><p>neste caso refere-se ao valor total que a transportadora gastará para fazer o transporte.</p><p>Para isso, imagine que a transportadora escolheu passar pelos nós 1 e 2; isso significa</p><p>que ela vai gastar R$ 60 nesse deslocamento. Se depois disso a transportadora for de 2</p><p>para 6 (única possibilidade, uma vez que 2 tinha sido escolhido), então a transportadora</p><p>vai gastar mais R$ 95, o que significa que para ir de 1 até 6 ela gastou 60 + 95 reais.</p><p>Perceba que somamos todos os caminhos pelos quais a empresa passa, então vamos</p><p>fazer isso para todos os arcos existentes e deixar que o Solver identifique a melhor so-</p><p>lução. Assim, a função objetivo seria:</p><p>911 9 1 1 x decisão seocaminhoentreos nós e foi escolhido=</p><p>1011 1 0 1 1 x decisão seocaminhoentreos nós e foi escolhido=</p><p>(Equação 1)</p><p>Não se assuste com o tamanho da função objetivo: você vai se acostumar com o ta-</p><p>manho dos modelos de rede, que são grandes, mas iguais. Então, mesmo que você</p><p>tenha alguma dúvida agora, esse modelo será feito sempre da mesma forma. Ou seja,</p><p>para problemas de caminho mínimo, a função objetivo será todos os arcos somados</p><p>multiplicados pela respectiva variável de decisão. Lembre-se de que a variável de deci-</p><p>são pode apenas assumir valores “zero” ou 1, e isso fará algo extraordinário: à medida</p><p>que as variáveis de decisão forem assumindo valores, saberemos se um determinado</p><p>caminho foi ou não usado. Se ele foi usado a variável de decisão será 1 e, consequen-</p><p>temente, o valor será somado em Z. Porém, se o arco não foi escolhido, a</p><p>variável de</p><p>decisão assumirá o valor zero e, ao multiplicarmos pela constante, tudo vai desaparecer</p><p>(todo número multiplicado por zero é zero). Essa é a genialidade por trás desse modelo.</p><p>Vamos ver como ficam as restrições. Para problemas de caminho mínimo haverá uma</p><p>restrição para cada um dos nós.</p><p>12 13 14 15 26 37 48 4960 1 07 82 79 75 45 25 35mínZ x x x x x x x x= + + + + + + + +</p><p>112</p><p>Modelos de Transporte e Teoria das Filas</p><p>4</p><p>Para o nó 1, a origem, é importante termos a ideia de que a transportadora só pode</p><p>escolher um único caminho para percorrer. Essa observação é óbvia, mas muito impor-</p><p>tante. Podem existir vários caminhos ótimos, porém todos eles partem da premissa de</p><p>que o caminhão só pode escolher um por vez. Isso significa que, para sair da origem (nó</p><p>1) o caminhão vai passar ou pelo arco 1-2, ou pelo arco 1-3, ou pelo arco 1-4 ou pelo</p><p>1-5. Não existe a possibilidade de o caminhão passar simultaneamente (observe a pa-</p><p>lavra simultaneamente) por dois desses arcos. É necessário escolher um dos caminhos</p><p>para sair da origem. Então podemos escrever:</p><p>12 13 14 15 1x x x x+ + + = (Equação 2)</p><p>Essa restrição obriga o modelo a escolher apenas uma das variáveis, pois as variáveis</p><p>de decisão só podem assumir valores zero ou 1 nesse modelo. Se o caminho passar</p><p>por 12x isso significa que 12 1x = e, consequentemente, todas as outras variáveis preci-</p><p>sam ser iguais a zero, pois o somatório delas é igual a 1. Quando estiver modelando um</p><p>problema de caminho mínimo, isso será feito na origem. Você vai identificar a origem,</p><p>somar todas as variáveis de decisão referentes à origem e igualar a 1.</p><p>Vamos, agora, fazer as restrições dos nós intermediários (sem ser origem nem destino).</p><p>Para esses nós é preciso observar que todo caminhão que chega obrigatoriamente precisa</p><p>sair. Assim, não existe a possibilidade de o caminhão passar pelo arco 1-2 e não passar</p><p>pelo arco 2-6. Se ele chegou no nó 2, ele precisa sair do nó 2. Por isso podemos escrever:</p><p>12 26x x= (Equação 3)</p><p>Atente que para o nó 2, se o caminho 1-2 foi escolhido isso significa que 12x é igual a</p><p>1, logo, o caminhão chegou em 2 e precisa sair de 2. Como a única forma de sair de 2</p><p>é pelo 2-6, significa que 26x também será igual a 1. De outra forma, se o caminhão não</p><p>passou por 1-2, então 12x zero= e, consequentemente, 26x é zero. Mas é conveniente</p><p>que não haja variáveis de decisão do lado direito da restrição, por isso vamos rearranjar</p><p>26x passando para o lado esquerdo e alterando o sinal:</p><p>12 26 0x x− = (Equação 4)</p><p>Desse exemplo podemos definir uma regra geral para todas as restrições referentes</p><p>aos nós intermediários. A regra é: some os nós que entram nos nós e subtraia os nós</p><p>que saem. Vamos aplicar esse conceito para o nó 3. Quem entra é 13x e quem sai é o</p><p>37x . Dessa forma teremos:</p><p>13 37 0x x− = (Equação 5)</p><p>Para o nó 4 temos entrando o 14x e saindo 48x , 49x e 410x . O que resulta em:</p><p>14 48 49 410 0x x x x− − − = (Equação 6)</p><p>Para o nó 5 temos entrando 15x e saindo 58.x</p><p>113</p><p>4</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>15 58 0x x− = (Equação 7)</p><p>Para o nó 6 é 26x que entra e é 67x que sai.</p><p>26 67 0x x− = (Equação 8)</p><p>No nó 7 temos 37x e 67x entrando, enquanto o 79x está saindo.</p><p>37 67 79 0x x x+ − = (Equação 9)</p><p>No nó 8 48x e 58x estão entrando e 810x está saindo. Então:</p><p>48 58 810 0x x x+ − = (Equação 10)</p><p>Em 9 temos 49x e 79x entrando e 910x e 911x saindo.</p><p>49 79 910 911 0x x x x+ − − = (Equação 11)</p><p>Por fim, para o nó 10 teremos 410x , 810x e 910x entrando e 1011x saindo:</p><p>410 810 910 1011 0x x x x+ + − = (Equação 12)</p><p>Até este momento temos a restrição da origem e todas as restrições dos nós interme-</p><p>diários. Resta definir a restrição do destino (nó 11). Para esse nó vale exatamente o</p><p>mesmo raciocínio feito para a origem. Obrigatoriamente o caminhão deve passar por</p><p>um dos nós que chega em 11 (9-11 ou 10-11), porém só pode chegar por um desses</p><p>caminhos. Então podemos escrever:</p><p>910 1011 1x x+ = (Equação 13)</p><p>Em alguns livros você poderá encontrar essa restrição em outro formato, multiplicando tudo</p><p>por -1, ou seja, ( 910 1011 1x x− − = − ). É uma forma válida e isso não altera a modelagem.</p><p>Assim, podemos escrever o modelo completo para esse problema de caminho mínimo,</p><p>que é:</p><p>12 13 14 15 26 37 48 49 410 58 67 79 810 910 911 101160 1 07 82 79 75 45 25 35 71 39 95 50 48 37 123 98mínZ x x x x x x x x x x x x x x x x= + + + + + + + + + + + + + + +</p><p>12 13 14 15 26 37 48 49 410 58 67 79 810 910 911 101160 1 07 82 79 75 45 25 35 71 39 95 50 48 37 123 98mínZ x x x x x x x x x x x x x x x x= + + + + + + + + + + + + + + +</p><p>Sujeito a:</p><p>12 13 14 15 1x x x x+ + + =</p><p>12 26 0x x− =</p><p>114</p><p>Modelos de Transporte e Teoria das Filas</p><p>4</p><p>13 37 0x x− =</p><p>14 48 49 410 0x x x x− − − =</p><p>15 58 0x x− =</p><p>26 67 0x x− =</p><p>37 67 79 0x x x+ − =</p><p>48 58 810 0x x x+ − =</p><p>49 79 910 911 0x x x x+ − − =</p><p>410 810 910 1011 0x x x x+ + − =</p><p>910 1011 1x x+ =</p><p>( ) 1 ijx binário zeroou=</p><p>01. Terá na função objetivo o produto entre cada valor dos arcos e a variável de decisão.</p><p>02. Terá na origem e destino a soma de todas as variáveis de decisão que passam pela ori-</p><p>gem e destino, e igualando a zero.</p><p>03. Para os nós intermediários, deve fazer a soma dos nós que entram, subtraídos os nós</p><p>que entram iguala a zero.</p><p>04. A variável de decisão será binária (zero ou 1).</p><p>Uma vez que a modelagem esteja definida, para a resolução desse modelo, podemos</p><p>usar o MS Solver. Na Figura 7 apresentamos como o modelo foi transportado para o</p><p>Excel, de modo que cada variável de decisão tenha uma coluna própria e cada linha da</p><p>modelagem represente a função objetivo ou uma das restrições.</p><p>Resumindo como você deve modelar problemas de caminho mínimo:</p><p>115</p><p>4</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Figura 07. Modelagem do Exemplo 2 no Excel</p><p>Fonte: captura de tela do Excel elaborada pelo autor.</p><p>Ao colocar no Excel, é preciso ter atenção para não trocar os sinais, pois isso pode afetar</p><p>toda a solução. Uma vez que esteja no Excel, pode-se usar o MS Solver disponível no Excel.</p><p>Figura 08. Aplicação do MS Solver no Exemplo 2 no Excel</p><p>O preenchimento do Solver é similar ao que já foi feito anteriormente. Na Figura 08</p><p>indicamos alguns aspectos a serem considerados.</p><p>01. No primeiro campo preenchido deve constar a célula em que se encontra a fórmula</p><p>referente ao cálculo da função objetivo, ali deve existir uma fórmula, e não o número zero di-</p><p>gitado. O número zero que pode aparecer inicialmente se explica em decorrência da fórmula</p><p>(verifique as fórmulas usadas nas unidades anteriores).</p><p>02. Não esqueça de que, tratando-se de caminho mínimo, neste problema escolhe-se minimi-</p><p>zar. Caso contrário, devemos selecionar maximizar, quando assim o problema afirmar.</p><p>Fonte: captura de tela do Excel e do MS Solver elaborada pelo autor.</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>116</p><p>Modelos de Transporte e Teoria das Filas</p><p>4</p><p>03. As variáveis de decisão devem ser selecionadas na única linha destacada da planilha em Excel.</p><p>04. Não deixe de colocar, entre as restrições, a restrição de variável binária. Para tanto,</p><p>você selecionará o campo no qual aparece o valor das variáveis de decisão e defini-las como</p><p>binária (veja Figura 9)</p><p>05. Não esqueça de escolher Simplex como algoritmo de otimização.</p><p>Figura 09. Definindo as variáveis como Binárias no MS Solver no Exemplo 2</p><p>Fonte: captura de tela do MS Solver elaborada pelo autor.</p><p>Uma vez que todas as informações tenham sido colocadas no MS Solver e ele seja</p><p>executado, o resultado ótimo será encontrado. A Figura 10 apresenta esta solução.</p><p>Figura 10. Solução do MS Solver para o Exemplo 2</p><p>Fonte: captura de tela do Excel elaborada pelo autor.</p><p>Na linha em que constam os valores das variáveis de decisão (linha 4 do Excel) pode-se</p><p>verificar uma sucessão de números zeros e 1. Onde há número zero significa que a solu-</p><p>ção ótima não contempla aquele arco (ele não será usado no trajeto),</p><p>e onde há o número</p><p>1 representa que aquele arco é utilizado na solução ótima. Dessa forma, como encontra-</p><p>mos o valor “1” em X14, X410 e X1011, a solução ótima é aquela que passa pelos arcos:</p><p>1-4, 4-10 e 10-11. Ou seja, o caminho ótimo (mínimo) é 1 4 10 11→ → → . Então esse é</p><p>o caminho que deve ser escolhido pela transportadora. É prudente analisar se o caminho</p><p>realmente leva da origem até o destino (saindo do nó 1 e chegando ao nó 11). Se isso não</p><p>acontecer é porque algum erro foi cometido na modelagem: nesse caso, é preciso revisar</p><p>o modelo e, em seguida, a planilha do Excel.</p><p>117</p><p>4</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Além disso, olhando ainda a Figura 10, percebemos que o total a ser gasto pela transpor-</p><p>tadora será R$ 251 (valor que está na célula R5 da planilha), na linha da função objetivo.</p><p>1.2. O PROBLEMA DO FLUXO MÁXIMO</p><p>Muitas vezes, nas empresas, a principal preocupação é obter uma forma de fazer com</p><p>que o máximo de quantidade de um item saia de uma origem e chegue a um destino.</p><p>Perceba que isso é diferente da busca de um caminho mínimo (ou máximo), pois o</p><p>desejo é que o máximo saia de uma origem e, para isso, é permitido que se utilizem</p><p>vários caminhos simultaneamente. É como se fosse uma torneira ligada a uma rede de</p><p>mangueiras, de modo que a água passe por todas as mangueiras para abastecer um</p><p>determinado reservatório. Vamos ver um exemplo desse tipo de problema.</p><p>Exemplo 3 – Reduzindo custo de uma transportadora</p><p>Uma refinaria de petróleo é abastecida por um sistema de oleoduto que transporta petróleo desde o reser-</p><p>vatório. Esse sistema é composto por tubulações que têm limites de capacidade de transporte de óleo bruto</p><p>por hora. A rede desenhada a seguir representa toda a tubulação, bem como as capacidades de cada uma</p><p>das tubulações (em milhares de litros por hora). Determine qual é o máximo de óleo bruto que chega na</p><p>refinaria por hora e quais as tubulações utilizadas.</p><p>Para resolvermos esse problema, podemos usar também a modelagem em programação</p><p>linear. A modelagem ficará parecida com a feita para o caminho mínimo e muitos dos</p><p>conceitos usados serão úteis. Entretanto, há diferenças importantes, e a primeira delas</p><p>é sobre o significado das variáveis de decisão. Todo problema de Fluxo Máximo busca</p><p>definir o quanto será usado de capacidade de cada um dos arcos, ou seja, para o nosso</p><p>exemplo, se a tubulação 1-2 é utilizada, não necessariamente significa que toda a sua</p><p>capacidade foi usada; pode ser que por ali passe não 3 mil litros por hora, mas 2 ou 2,5</p><p>mil litros por hora. Dessa forma, as variáveis de decisão podem ser definidas como:</p><p>Figura 11. Rede de distribuição de óleo bruto</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>12 1 2x capacidadeutilizada doarcoentreos nós e=</p><p>Reservatório Refinária1</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>9</p><p>9</p><p>9</p><p>8</p><p>8</p><p>6</p><p>6</p><p>2</p><p>20</p><p>13</p><p>6</p><p>4</p><p>5</p><p>7</p><p>8</p><p>118</p><p>Modelos de Transporte e Teoria das Filas</p><p>4</p><p>13 1 3x capacidadeutilizada doarcoentreos nós e=</p><p>14 1 4x capacidadeutilizada doarcoentreos nós e=</p><p>15 1 5x capacidadeutilizada doarcoentreos nós e=</p><p>26 2 6x capacidadeutilizada doarcoentreos nós e=</p><p>36 3 6x capacidadeutilizada doarcoentreos nós e=</p><p>46 4 6x capacidadeutilizada doarcoentreos nós e=</p><p>47 4 7x capacidadeutilizada doarcoentreos nós e=</p><p>57 5 7x capacidadeutilizada doarcoentreos nós e=</p><p>68 6 8x capacidadeutilizada doarcoentreos nós e=</p><p>78 7 8x capacidadeutilizada doarcoentreos nós e=</p><p>Uma vez que tenhamos as variáveis de decisão, devemos modelar a função objetivo.</p><p>O problema deseja maximizar o fluxo, ou seja, o objetivo é que chegue no destino o</p><p>máximo de óleo bruto. Então, basta que o fluxo nos arcos que chegam ao destino seja</p><p>maximizado para que toda a rede seja maximizada.</p><p>68 78máxZ x x= +</p><p>Para problemas de fluxo máximo, é preciso maximizar a soma de todos os arcos que</p><p>chegam no destino. Outra opção seria fazer o mesmo com os arcos que saem da ori-</p><p>gem, ou seja, maximizar a soma de todos os arcos que saem da origem. Dessa forma,</p><p>uma função objetivo alternativa seria:</p><p>12 13 14 15máxZ x x x x= + + +</p><p>Ambas estão corretas e levarão ao mesmo resultado. Pode-se escolher qual delas usar.</p><p>Aqui usaremos a maximização do destino.</p><p>Para problemas de Fluxo Máximo, não há nenhuma restrição para os nós de origem ou</p><p>destino. E, para os nós intermediários, o procedimento de modelagem é exatamente o</p><p>mesmo do caminho mínimo, pois é necessário garantir que absolutamente todo o fluxo</p><p>que chegue ao nó também saia dele.</p><p>119</p><p>4</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Podemos considerar que quem entra em um nó é positivo, quem sai é negativo e</p><p>que o fluxo deve ser zero. Para o nó 2, temos entrando 12x e quem sai é 26x . Logo:</p><p>12 26 0x x− =</p><p>Para os outros nós temos:</p><p>` No nó 3 entra 13x e sai 36x : 13 36 0x x− =</p><p>` No nó 4 entra 14x e saem 46x e 47x : 14 46 47 0x x x− − =</p><p>` No nó 5 temos 15x entrando e 57x saindo: 15 57 0x x− =</p><p>` No nó 6 temos entrando 26x , 36x e 46x e saindo 68x : 26 36 46 68 0x x x x+ + − =</p><p>` No nó 7 entra 47x e 57x , e sai 78x : 47 57 78 0x x x+ − =</p><p>Assim, todas as restrições de fluxo foram feitas e garantimos que todo o fluxo que</p><p>chega em um nó saia deste mesmo nó. Entretanto, falta garantir que os limites de cada</p><p>arco sejam respeitados. Então, para cada arco devemos estabelecer uma restrição. Por</p><p>exemplo: a quantidade de fluxo no arco 1-2 deve ser de no máximo 3 mil litros por hora,</p><p>ou seja: 12 3x ≤ . Listando a restrição de todos os arcos, temos:</p><p>12 3x ≤</p><p>13 9x ≤</p><p>14 6x ≤</p><p>15 6x ≤</p><p>26 9x ≤</p><p>36 9x ≤</p><p>46 8x ≤</p><p>47 8x ≤</p><p>57 2x ≤</p><p>68 13x ≤</p><p>78 20x ≤</p><p>120</p><p>Modelos de Transporte e Teoria das Filas</p><p>4</p><p>Com isso, temos o modelo completo do problema de fluxo máximo para o Exemplo 3:</p><p>68 78máxZ x x= +</p><p>Sujeito a:</p><p>12 26 0x x− =</p><p>13 36 0x x− =</p><p>14 46 47 0x x x− − =</p><p>15 57 0x x− =</p><p>26 36 46 68 0x x x x+ + − =</p><p>47 57 78 0x x x+ − =</p><p>12 3x ≤</p><p>13 9x ≤</p><p>14 6x ≤</p><p>15 6x ≤</p><p>26 9x ≤</p><p>36 9x ≤</p><p>46 8x ≤</p><p>47 8x ≤</p><p>57 2x ≤</p><p>68 13x ≤</p><p>78 20x ≤</p><p>0ijx ≥</p><p>A resolução desse modelo pode ser feita usando o MS Solver e, para isso, a primeira</p><p>coisa a ser feita é transferir o modelo para o Excel, como mostrado na Figura 12.</p><p>121</p><p>4</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Para cada coluna foi colocada uma variável de decisão e cada restrição tem uma linha,</p><p>incluindo as restrições que limitam o fluxo de cada arco.</p><p>Figura 12. Modelagem do Fluxo Máximo no Excel</p><p>Fonte: captura de tela do Excel elaborada pelo autor.</p><p>Figura 13. Preenchendo o Solver para o Fluxo Máximo</p><p>Fonte: captura de tela do Excel e do MS Solver elaborada pelo autor.</p><p>122</p><p>Modelos de Transporte e Teoria das Filas</p><p>4</p><p>Em seguida, é preciso colocar as informações no Solver, de modo que, como visto na</p><p>Figura 14, no campo 1 esteja a célula na qual está a fórmula referente à função objetivo</p><p>(Célula M5). Em 2, deve haver todas as células abaixo das variáveis de decisão. Em 3</p><p>devem constar as restrições, que podem ser colocadas uma a uma ou em dois blocos:</p><p>um bloco com todas as restrições que possuem o sinal = e outro bloco com todas as</p><p>restrições de sinal ≤ . Atente que no caso do fluxo máximo, não há restrições sobre</p><p>variáveis binárias, pois elas podem assumir qualquer valor desde que atendidas as res-</p><p>trições, não devendo, portanto, ser binárias. No campo 4 é preciso escolher o método</p><p>de resolução LP Simplex.</p><p>O resultado ótimo para o Exemplo 3 pode ser visto na solução proposta pelo Solver na</p><p>Figura 15.</p><p>Fonte: captura de tela do Excel e do MS Solver elaborada pelo autor.</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>Figura 14. Aplicação do MS Solver no Exemplo 3 no Excel</p><p>123</p><p>4</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Na linha 4 estão as capacidades utilizadas para cada um dos arcos. Por exemplo, para</p><p>o arco 1-3, a capacidade máxima era 3 e, de fato, foi utilizada toda a capacidade dispo-</p><p>nível. Porém, para o arco 1-5, a capacidade</p><p>máxima é de 6 mil litros por segundo e na</p><p>solução ótima serão utilizados apenas 2 mil litros por hora. Dessa forma, o analista pode</p><p>verificar onde há capacidade ociosa e onde está no limite. Além disso, a célula M5 está</p><p>indicado que o fluxo máximo a chegar até a refinaria é de 20 mil litros por hora. Assim,</p><p>todas as perguntas do problema do Exemplo 3 foram respondidas.</p><p>1.3. O PROBLEMA DA ÁRVORE DE EXPANSÃO MÍNIMA</p><p>Um tipo de problema frequente nas empresas e nos processos de decisão é quando</p><p>há a necessidade de se construir uma rede de distribuição ou transporte. A construção</p><p>de um metrô, a definição das linhas de ônibus urbano ou a estrutura de uma rede de</p><p>ar-condicionado; todos esses desafios podem ser transformados em um problema de-</p><p>nominado Árvore de Expansão Mínima.</p><p>Convém diferenciar este caso do Problema do Caminho Mínimo. No Problema do Ca-</p><p>minho Mínimo, o objetivo é encontrar um caminho entre a origem e o destino, que não</p><p>necessariamente precisa passar por todos os nós. No caso da Árvore de Expansão Mí-</p><p>nima, o objetivo é criar uma rede de modo que todos os nós estejam integrados à rede.</p><p>Neste tipo de problema são fornecidos os nós, mas não as ligações. Em vez disso, são</p><p>fornecidas as ligações em potencial e a quantidade de recursos que aquele arco</p><p>consumirá caso seja construído. O objetivo é que, ao escolher os arcos que serão de</p><p>fato utilizados ou construídos, uma rede seja formada, possibilitando integrar todos os nós</p><p>com o mínimo possível de recursos. Vamos mostrar como resolver, utilizando um exemplo.</p><p>Figura 15. Solução ótima para o Exemplo 3</p><p>Fonte: captura de tela do Excel elaborada pelo autor.</p><p>124</p><p>Modelos de Transporte e Teoria das Filas</p><p>4</p><p>Exemplo 4 – Reduzindo custo de uma transportadora</p><p>A prefeitura de uma cidade deseja melhorar a interligação entre sete bairros de um determinado distrito,</p><p>porém os recursos são escassos. Para contornar o limite de recursos financeiros, os gestores municipais</p><p>decidiram que vão asfaltar e melhorar as estradas sem que nenhum dos bairros seja especialmente bene-</p><p>ficiado e, por isso, desejam uma decisão técnica. As estradas a serem construídas devem interligar todos</p><p>os bairros a uma rede. Quais devem ser as estradas a serem construídas e qual o mínimo de quilômetros</p><p>de estradas a serem construídas, sabendo-se que a Figura 15 indica os quilômetros entre os bairros con-</p><p>siderando todas as potencialidades de estradas?</p><p>O algoritmo de resolução do problema da Árvore de Expansão Mínima é simples e pode</p><p>ser feito manualmente. Vamos fazer o nosso tradicional passo a passo.</p><p>1º Passo: listar todos os arcos em ordem crescente de consumo de recursos. A escolha</p><p>de como representar o arco (se A D− ou D A− por exemplo) é arbitrária. Caso haja</p><p>empate, o desempate é arbitrário e isso não afetará o valor ótimo alcançado, mas ape-</p><p>nas a solução ótima. Para o exemplo que estamos vendo, os arcos ficam ordenados da</p><p>seguinte maneira:</p><p>3A D− =</p><p>4B F− =</p><p>5D F− =</p><p>5E G− =</p><p>6C G− =</p><p>7A B− =</p><p>7C E− =</p><p>7D E− =</p><p>Figura 16. Mapa de integração dos bairros</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>D</p><p>7</p><p>4</p><p>9</p><p>5</p><p>11</p><p>7</p><p>7</p><p>5</p><p>6</p><p>8</p><p>3 E</p><p>GC</p><p>B F</p><p>A</p><p>125</p><p>4</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Figura 17. Primeiro arco preenchido do Exemplo 4</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>Figura 18. Outros arcos preenchidos do Exemplo 4</p><p>8A C− =</p><p>9E F− =</p><p>11B D− =</p><p>2º Passo: fazer as ligações dos arcos na sequência apresentada, porém sem fechar um</p><p>polígono, ou seja, não pode haver um circuito fechado, nem existir a possibilidade de</p><p>sair de um determinado nó e retornar a este nó por outro caminho. Por exemplo, na Fi-</p><p>gura 16 apagamos todos os arcos e vamos reescrevendo-os na ordem de sua constru-</p><p>ção listada no passo anterior. Nesta figura já se encontra desenhado o arco 3A D− = .</p><p>D E</p><p>GC</p><p>B F</p><p>A 3</p><p>D E</p><p>GC</p><p>B F</p><p>A 3</p><p>6</p><p>5</p><p>5</p><p>4</p><p>É necessário fazer o preenchimento seguindo o 2º passo, na ordem definida no 1º passo. As-</p><p>sim, na Figura 17, vemos 3A D− = ; 4B F− = ; 5D F− = ; 5E G− = e 6C G− = .</p><p>126</p><p>Modelos de Transporte e Teoria das Filas</p><p>4</p><p>Observe que, caso seja desenhado o próximo arco da sequência definida no 1º passo (</p><p>7A B− = ), haverá um polígono fechado, como mostrado na Figura 18. Este arco não</p><p>deve ser construído.</p><p>Figura 19. Polígono fechado sendo construído</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>D E</p><p>GC</p><p>B F</p><p>A 3</p><p>6</p><p>5</p><p>5</p><p>7</p><p>4</p><p>Dessa forma, o arco deve ser pulado e ir para o seguinte, que no caso seria 7C E− = ,</p><p>o qual também formará um polígono – logo, este arco também é descartado. Em seguida</p><p>vem o arco 7D E− = que é o último que pode ser construído sem que haja um polígono.</p><p>Na Figura 19 existe a solução final.</p><p>Figura 20. Solução final da Árvore de Expansão Mínima</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>D E</p><p>GC</p><p>B F</p><p>A 3 7</p><p>6</p><p>5</p><p>5</p><p>4</p><p>127</p><p>4</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Observe que qualquer arco adicional obrigatoriamente formaria um polígono e conse-</p><p>quentemente seria um desperdício de recursos, pois o objetivo já foi alcançado: todos</p><p>os bairros (nós) estão integrados por meio da rede, e sabemos exatamente quais estra-</p><p>das devem ser construídas. Para saber a distância total de estradas a serem construí-</p><p>das, basta somar todos os arcos escolhidos, ou seja: 3+5+4+7+5+6= 30 km.</p><p>A resposta a ser dada para os gestores municipais seria: construam as estradas A D− ,</p><p>, B F D F− − , E G− , C G− e D E− e o total de quilômetros construídos será de 30 km.</p><p>1.4. MODELO DE TRANSPORTE</p><p>O modelo de transporte é uma forma singular dos problemas clássicos de programa-</p><p>ção linear vistos anteriormente. Apesar disso, sua aplicação é vasta e, curiosamente,</p><p>extrapola o contexto de transporte. É muito importante entender que é a estrutura</p><p>matemática e da modelagem que configura um problema como “um problema de</p><p>transporte”, e não o seu contexto (HILLIER; LIEBERMAN, 2010, p. 311).</p><p>O problema de transporte genérico se refere a qualquer necessidade de transportar</p><p>qualquer grandeza de uma ou mais origens para um grupo de destinos, buscando mi-</p><p>nimizar o consumo de recursos. É importante ficar claro que cada origem tem uma</p><p>capacidade fixa, da mesma forma que também são fixas as demandas dos destinos.</p><p>Os problemas de transporte denominam-se equilibrados quando a oferta e a demanda</p><p>são iguais – isso significa que toda a carga disponível nas origens será transportada</p><p>para os destinos. Há, porém a possibilidade, no mundo real, de oferta e demanda não</p><p>se igualarem. Caso a oferta seja maior que a demanda, o modelo a ser desenvolvido</p><p>deve prever a sobra de entidades na origem. Caso a demanda seja maior que a oferta, o</p><p>modelo deve permitir que alguma demanda não seja atendida. Esses pontos, apesar de</p><p>óbvios, são muito importantes para evitar que, ao se buscar uma solução, o mecanismo</p><p>escolhido para resolução (o MS Solver, por exemplo) indique que não existe solução.</p><p>Quando isso acontecer, antes de qualquer coisa, revise seu modelo para verificar se</p><p>alguma dessas considerações foi ignorada de modo não intencional.</p><p>Exemplo 5 – Abastecendo as lojas</p><p>Considere uma rede varejista com três lojas (A, B e C) que têm demandas fixas semanais de caixas de</p><p>roupas. Essas lojas podem ser abastecidas por dois Centros de Distribuição (CD) que apresentam capa-</p><p>cidades semanais limitadas. Os custos de transporte por unidade de caixas de roupas estão indicados na</p><p>tabela a seguir, bem como as capacidades e demanda de cada loja e centro de distribuição.</p><p>Tabela 01. Mapa de abastecimento</p><p>Loja A Loja B Loja C Capacidade</p><p>CD1 R$ 15 R$ 19 R$ 16 30</p><p>CD2 R$ 24 R$ 31 R$ 21 60</p><p>Demanda 20 30 50</p><p>Fonte: elaborada pelo autor</p><p>Determine qual é a solução ótima que minimize os custos de transporte dessa rede varejista.</p><p>128</p><p>Modelos de Transporte e Teoria das Filas</p><p>4</p><p>Vamos resolver, utilizando a modelagem de programação linear e, depois, o MS Solver.</p><p>O primeiro passo para a modelagem é definir a variável de decisão. Para este proble-</p><p>ma, a variável de decisão é quanto</p><p>formas de resolução de modelos matemáticos, alguns extremamente</p><p>complexos e precisos e outros mais simples, porém menos precisos. A escolha do medo</p><p>Uma vez que o modelo matemático esteja elaborado, é necessário buscar um método</p><p>de resolução adequado para o contexto real.</p><p>1.3. SOLUÇÃO DO MODELO</p><p>Quando se depara com um problema, é frequente que esse processo de estudo e aná-</p><p>lise exija a resolução utilizando métodos algébricos ou computacionais. É a solução</p><p>do modelo matemático que auxiliará no processo de tomada de decisão. Mais do que</p><p>apenas encontrar números, a solução é um processo que envolve muitas etapas. Reco-</p><p>menda-se que o estudante que entra agora nesse universo de tomada de decisão siga</p><p>de modo consciente os seguintes passos.</p><p>11</p><p>1</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>1.4. COMUNICAÇÃO E IMPLEMENTAÇÃO DAS SOLUÇÕES</p><p>A comunicação dos resultados encontrados deve ir muito além de símbolos matemáti-</p><p>cos e números. Lembre-se de que o objetivo é auxiliar o processo de decisão; logo, é</p><p>preciso ter uma linguagem propositiva e explicar o contexto da solução, seus limites de</p><p>validade e possibilidades de cenários. Algumas dicas são:</p><p>adequado passa por definir quais as necessidades da organização e características do pro-</p><p>blema. Essas técnicas de solução geralmente se resumem a um algoritmo que consiste em</p><p>uma sucessão de procedimentos matemáticos simples e repetitivos.</p><p>Gerar uma solução:</p><p>Uma vez definida a técnica mais adequada, é o momento de encontrar uma solução que gere</p><p>insights para o processo de decisão. Essa solução, no mundo real, invariavelmente envolverá</p><p>o uso de algum recurso computacional, devido ao grande volume de dados que um problema</p><p>real apresenta.</p><p>Testar e validar os resultados:</p><p>Nenhuma solução deve sair do modelo e ser implementada diretamente. Lembre-se de que</p><p>o modelo é sempre uma simplificação do problema na realidade e, por isso, ele necessita ser</p><p>testado e validado, criticado pelos especialistas e debatido com a gerência da organização.</p><p>Retorno para modelagem:</p><p>Pode ser que na etapa anterior o resultado encontrado não seja adequado para organização</p><p>ou apresente inconsistências com o mundo real. Nesses casos, volte para modelagem e</p><p>verifique como ela pode ser aperfeiçoada.</p><p>Criação de cenários:</p><p>Uma vez de posse de uma solução adequada e validada, é momento de criar cenários para</p><p>outras possibilidades e variações do problema. Todo gestor vai fazer provocações do tipo “E</p><p>se aumentarmos a capacidade produtiva?” ou ainda “E se contratássemos um fornecedor</p><p>que nos atendesse mais rápido?”. Todas essas questões podem ser consideradas em cená-</p><p>rios alternativos.</p><p>Seja conciso:</p><p>Deixe-se guiar pelo objetivo do problema, o que o gestor desse processo necessita saber e</p><p>como ele vai usar.</p><p>Simples:</p><p>Seja simples na linguagem e ao apresentar a solução. Não tente transparecer uma sofistica-</p><p>ção matemática desnecessária ao entendimento do problema.</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>12</p><p>1</p><p>Tomada de decisão em negócios</p><p>Mas, uma vez modelado o problema, o que fazemos? Como, de fato, podemos identificar</p><p>uma solução ótima? Ou ao menos uma boa solução, alcançando determinado resultado?</p><p>2. RESOLUÇÃO USANDO PLANILHA ELETRÔNICA (ATINGIR</p><p>META)</p><p>No mundo real, a resolução de problemas de Pesquisa Operacional passa por algum</p><p>tipo de auxílio computacional. De todos esses, o mais corriqueiro é o uso de planilhas</p><p>eletrônicas, dentre as quais o Excel da Microsoft é a mais popular e de uso difundido.</p><p>Muitos problemas simples podem ser resolvidos diretamente no Excel, sem a necessi-</p><p>dade de uma elaboração formal de um modelo matemáticos. Esses problemas, apesar</p><p>de não serem classificados como um problema de Pesquisa Operacional, são frequen-</p><p>tes no cotidiano das empresas, e por isso trataremos deles.</p><p>Neste momento você pode estar preocupado com o nível de conhecimento de Excel</p><p>usado. Bem, fique tranquilo: o que for necessário será apresentado aqui.</p><p>Para começar, vale apresentar as operações fundamentais feitas no Excel. Se você</p><p>deseja fazer operações entre duas células, considerando A1 e B1, proceda assim:</p><p>Visual:</p><p>Use, quando possível, gráficos e tabelas para explicar os conceitos.</p><p>` Fazer a adição de A1 e B1 = A1 + B1</p><p>` Fazer a subtração de A1 e B1 = A1 - B1</p><p>` Fazer a multiplicação de A1 e B1 = A1 * B1</p><p>` Fazer a divisão de A1 e B1 = A1 / B1</p><p>` Fazer A1 elevado ao valor de B1 = A1 ^ B1</p><p>Exemplo 1 – A conta um dia chega</p><p>Ana Luiza é analista de compras da empresa Cookies Crocantes Company (CCC).</p><p>Ela recebeu uma determinação de negociar com um fornecedor para entrega de</p><p>uma remessa extra de matéria-prima, de modo que gaste no máximo R$ 80.000</p><p>para embarque rápido. Ela sabe que o fornecedor tem um sistema logístico comple-</p><p>xo, de modo que o custo para antecipar envios (C$) é escrito em função dos dias</p><p>adiantados(n), da seguinte forma: C$ = 5n + 7n. Nesse cenário, qual é a máximo de</p><p>dias que a Ana Luiza pode pedir para o fornecedor adiantar?</p><p>13</p><p>1</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>A questão apresentada nesse exemplo é conceitualmente simples: Ana Luiza precisa</p><p>apenas definir quantos dias pode adiantar, considerando uma determinada sentença</p><p>matemática e um limite (igualdade). A modelagem, conceitualmente, também é simples.</p><p>Sabendo-se que C$ é 80.000, então trata-se de uma equação: 5n + 7n= 80.000. Mas</p><p>a resolução dessa equação no dia a dia de uma empresa é extremamente desconfor-</p><p>tável, o que consumiria algum tempo de Ana Luiza. Entretanto, ela pode resolver isso</p><p>facilmente utilizando uma planilha eletrônica.</p><p>O primeiro passo ao abrir a planilha eletrônica é escolher uma célula qualquer para ser</p><p>a variável de decisão; nesse caso, o número de dias a serem adiantados (n). Na Figura</p><p>1 identifica-se que a célula usada para conter o valor de “n” foi a B4. Observe que essa</p><p>célula fica vazia, só destacada para saber que ela foi escolhida.</p><p>Em seguida, escolhe-se uma célula para constar a expressão matemática em questão</p><p>(5n + 7n). No caso do nosso exemplo, na Figura 01, a célula na qual consta a expressão</p><p>é a D4. Como indicado anteriormente, a multiplicação no Excel é feita com o asterisco</p><p>(ou seja, 5n é escrito 5*n) e a potenciação é feita utilizando o circunflexo (isto é, 7n é</p><p>escrito 7^n). Quando escrever uma fórmula no Excel, você deve começar com o sinal</p><p>de igual (=), pois assim o Excel entenderá que se trata de uma expressão matemática.</p><p>Figura 01. Iniciando o uso no Excel</p><p>Fonte: captura de tela elaborada no software Excel pelo autor.</p><p>Uma vez que todas as informações foram colocadas na planilha, agora abra a função</p><p>“Atingir Meta”. Ela fica no menu de ferramentas: Dados > Teste de Hipóteses > Atingir</p><p>Meta, como apresentado na Figura 02.</p><p>B4</p><p>D4</p><p>14</p><p>1</p><p>Tomada de decisão em negócios</p><p>Fonte: captura de tela elaborada no software Excel pelo autor.</p><p>Assim que abrir a caixa de diálogo, ela deve ser preenchida como indicado na Figura</p><p>03. No espaço destinado a “Definir Célula” deve ser colocada a célula na qual se en-</p><p>contra a expressão matemática (no nosso exemplo, F4). No espaço destinado a “Para</p><p>Valor” deve ser inserido o valor disponível, no nosso exemplo Ana Luiza pode usar ape-</p><p>nas R$ 80.000. Já no campo indicando “Alterando Célula” deve ser colocada a célula</p><p>na qual colocamos a variável de decisão (D4, no nosso exemplo).</p><p>Figura 02. Localizando Atingir Meta</p><p>Figura 03. Preenchendo Atingir Meta</p><p>Fonte: captura de tela elaborada no software Excel pelo autor.</p><p>15</p><p>1</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Com tudo preenchido pode-se clicar “ok” e a planilha fornecerá uma resposta, como</p><p>indicado na Figura 04.</p><p>Figura 04. Resposta do Atingir Meta</p><p>O resultado indica que, quando o valor de n é de 5,8016 dias, o valor gasto é de R$</p><p>79.999,99. Esse resultado é correto matematicamente, porém não faz sentido no mun-</p><p>do real, visto que Ana Luiza não pode pedir para o fornecedor adiantar</p><p>será transportado de cada origem para cada destino,</p><p>ou seja, quantas caixas vão sair do CD 1 e chegar até a loja A, por exemplo.</p><p>1 1 Ax quantidadetransportada doCD para aloja A=</p><p>1 1 Bx quantidadetransportada doCD para aloja B=</p><p>1 1 cx quantidadetransportada doCD para alojaC=</p><p>2 2 Ax quantidadetransportada doCD para aloja A=</p><p>2 2 Bx quantidadetransportada doCD para aloja B=</p><p>2 2 Cx quantidadetransportada doCD para alojaC=</p><p>Uma vez que as variáveis de decisão estejam definidas, podemos modelar a função obje-</p><p>tivo. A função objetivo deve traduzir o custo total de transporte, e o desejo é minimizá-la.</p><p>1 1 1 2 2 215 19 16 24 31 21mín A B C A B CZ x x x x x x= + + + + +</p><p>Esse problema representa bem um caso de transporte e poderia ser desenhado tam-</p><p>bém como uma rede, como indicado na Figura 20.</p><p>Figura 21. Rede de distribuição</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>20</p><p>30</p><p>30</p><p>R$ 15</p><p>R$ 24</p><p>R$ 31</p><p>R$ 21</p><p>R$ 19</p><p>R$ 16</p><p>60</p><p>50</p><p>1</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>2</p><p>129</p><p>4</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Em seguida, é o momento de se analisar se o problema está ou não equilibrado. So-</p><p>mando-se todas as demandas, há a necessidade de 100 caixas semanais (20 + 30</p><p>+ 50). Já do lado da oferta, existem 90 caixas disponíveis (30 + 60). Assim, podemos</p><p>definir que não se trata de um problema equilibrado. E mais: a modelagem deve prever</p><p>que a demanda não será plenamente atendida. Podemos, então, escrever as restrições</p><p>de demanda, dizendo que tudo o que chega em cada uma das lojas deve ser menor ou</p><p>igual à demanda daquela loja (atente que só fazemos isso por sabermos, analisando a</p><p>oferta e a demanda, que não há oferta suficiente para atender toda a demanda, então</p><p>estamos prevendo demanda não atendida).</p><p>1 2 20A Ax x+ ≤</p><p>1 2 30B Bx x+ ≤</p><p>1 2 50C Cx x+ ≤</p><p>Essas foram as restrições de demanda. Agora é preciso fazer as restrições de oferta,</p><p>que podem ser desenhadas com o sinal contrário ao sinal usado nas restrições de de-</p><p>manda (se o problema estiver equilibrado, permite-se também que todas as restrições</p><p>tenham o mesmo sinal de igual). Dessa forma, como sabemos que todas as ofertas</p><p>serão consumidas, as restrições podem ser modeladas com sinal de igualdade (= ) ou</p><p>de maior ou igual (≥ ). Só não podem ter o sinal de menor ou igual (≤ ).</p><p>1 1 1 30A B Cx x x+ + ≥</p><p>2 2 2 60A B Cx x x+ + ≥</p><p>Assim, fechamos o modelo, indicando que todas as variáveis de decisão devem ser não</p><p>negativas. Ou seja:</p><p>1 1 1 2 2 215 19 16 24 31 21mín A B C A B CZ x x x x x x= + + + + +</p><p>Sujeito a:</p><p>1 2 20A Ax x+ ≤</p><p>1 2 30B Bx x+ ≤</p><p>1 2 50C Cx x+ ≤</p><p>1 1 1 30A B Cx x x+ + ≥</p><p>2 2 2 60A B Cx x x+ + ≥</p><p>0ijx ≥</p><p>130</p><p>Modelos de Transporte e Teoria das Filas</p><p>4</p><p>Agora podemos passar esse modelo para o Excel como indicado na Figura 22, exata-</p><p>mente como feito em outros problemas já resolvidos.</p><p>Figura 22. Problema de Transporte – Modelagem Solver</p><p>Fonte: captura de tela do Excel e do MS Solver elaborada pelo autor.</p><p>Figura 23. Problema de Transporte – Transposição para Excel</p><p>Fonte: captura de tela do Excel elaborada pelo autor.</p><p>Na Figura 23 a seguir observa-se o preenchimento do MS Solver: em 1, deve haver a</p><p>célula correspondente à função objetivo (H3, no exemplo). Atenção para marcar a op-</p><p>ção de minimizar. Em seguida, marque no campo “Alternando células variáveis” (2), as</p><p>células referentes aos valores das variáveis de decisão. Em 3, coloque os dois blocos</p><p>de restrição e não deixe de marcar LP Simplex em 4.</p><p>131</p><p>4</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Figura 24. Aplicação do MS Solver no Exemplo 4 no Excel</p><p>Figura 25. Problema de Transporte – Solução Ótima</p><p>Fonte: captura de tela do Excel elaborada pelo autor.</p><p>Fonte: captura de tela do Excel e do MS Solver elaborada pelo autor.</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>Isso resultará na solução ótima proposta pelo MS Solver. Ao observar o campo H3 na</p><p>Figura 25, identifica-se que o valor mínimo de transporte será de R$ 1.820 por semana</p><p>e que a distribuição de transporte será dada por: 10 caixas, sendo enviadas do CD 1</p><p>para a loja A; 20 caixas sendo enviadas do CD 1 para a loja B; nenhuma caixa sendo</p><p>enviada do CD 1 para a loja C; 10 caixas sendo enviadas do CD 2 para a loja A; nenhu-</p><p>ma caixa sendo enviada do CD 2 para a loja B; e, por fim, 50 caixas sendo enviadas do</p><p>CD 2 para a loja C.</p><p>132</p><p>Modelos de Transporte e Teoria das Filas</p><p>4</p><p>2. INTRODUÇÃO A PROCESSOS ESTOCÁSTICOS E RISCO E</p><p>INCERTEZA</p><p>As situações empresariais estão submetidas a um conjunto grande de variáveis que</p><p>mudam de acordo com o tempo. Quando uma variável assume valores aleatórios ao</p><p>longo do tempo, dizemos que ela está em um processo estocástico. Pode-se definir</p><p>um processo estocástico como um conjunto de variáveis aleatórias indexadas a uma</p><p>variável qualquer, geralmente tempo. É conveniente lembrar que qualquer sistema real</p><p>opera em ambientes nos quais há algum grau de incerteza, principalmente quando</p><p>o sistema envolve ações humanas. Recorremos a processos estocásticos como uma</p><p>forma de tratar quantitativamente esses fenômenos, aproveitando certas características</p><p>de regularidade que eles apresentam para serem descritos por modelos probabilísticos.</p><p>Os fenômenos estocásticos são de interesse por descreverem o comportamento de um</p><p>sistema operando ao longo de algum período, oferecendo uma representação matemá-</p><p>tica de como o sistema evolui ao longo do tempo (HILLIER; LIEBERMAN, 2010, p. 713)</p><p>3. CADEIAS DE MARKOV (MATRIZ DE TRANSIÇÃO,</p><p>CLASSIFICAÇÃO, DISTRIBUIÇÕES-LIMITE)</p><p>Quando um determinado evento futuro depende apenas do estado atual de um sistema</p><p>e não dos eventos passados, dizemos que estamos diante de uma cadeia de Markov,</p><p>que é uma forma de processo estocástico. Existe uma forma de fazer as notações das</p><p>cadeias de Markov.</p><p>Exemplo 6 – Prevendo o tempo</p><p>Considere que o tempo na cidade de São Paulo possa mudar de modo brusco de um dia para outro. As</p><p>chances de amanhã o tempo estar seco (sem chuvas) é de 0,8, caso hoje esteja também seco. Entretanto,</p><p>caso hoje esteja chovendo, a probabilidade de amanhã estar seco é de 0,6. Como seria a formulação da</p><p>cadeia de Markov?</p><p>A notação usada pode parecer complicada, mas vamos traduzir. Este é um evento es-</p><p>tocástico no qual a variável clima ( ) X varia em função do tempo (t).</p><p>0</p><p>1 t</p><p>seodia t estiver seco</p><p>x</p><p>seodia t estiver chuvoso</p><p>→</p><p>=  →</p><p>Quando o clima estiver seco, chamaremos de estado zero. Quando o clima estiver chu-</p><p>voso, o estado será chamado de 1. Então, se 1 1x = significa que no dia 1 o dia estava</p><p>chovendo, se 1 0x = significa que no dia 1 está seco.</p><p>Veja só:</p><p>Se { }2 10| 0 0,8P x x= = = significa que a probabilidade de que o dia 2 esteja seco é</p><p>de 0,8, caso o dia anterior (dia 1) esteja também seco.</p><p>133</p><p>4</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Se { }2 10| 1 0,6P x x= = = significa que a probabilidade de que o dia 2 esteja seco é</p><p>de 0,6, caso o dia anterior (dia 1) esteja chuvoso.</p><p>Podemos reescrever essas duas expressões de modo genérico, substituindo um dia</p><p>específico por um dia genérico t:</p><p>{ }1 0| 0 0,8t tP x x+ = = =</p><p>{ }1 0| 1 0,6t tP x x+ = = =</p><p>Uma notação comumente usada é aquela na qual os estados presentes e futuros apa-</p><p>recem na probabilidade, nesta ordem:</p><p>{ }00 1 0| 0 0,8t tP P x x+= = = = →</p><p>Qual é a probabilidade, visto que o clima está seco</p><p>hoje, de estar seco amanhã?</p><p>{ }10 1 0| 1 0,6t tP P x x+= = = = →</p><p>Qual é a probabilidade, visto que o clima está chuvo-</p><p>so hoje, de estar seco amanhã?</p><p>Como consideramos que só existem dois estados, ou está seco ou está chuvoso, então</p><p>as probabilidades devem ser iguais a 1 quando somadas. Ou seja, se hoje está seco</p><p>e a probabilidade de amanhã estar seco é 0,8, então a probabilidade de que amanhã</p><p>esteja chuvoso visto que hoje está seco é de 0,2 ( 01P ). Da mesma forma, se hoje está</p><p>chuvoso e a probabilidade de que amanhã esteja seco é de 0,6, logo a probabilidade</p><p>de que amanhã esteja chuvoso é de 0,4 ( 11P ). Com essas</p><p>informações podemos criar o</p><p>que chamamos de matriz de transição:</p><p>00 01</p><p>10 11</p><p>0,8 0,2</p><p>0,6 0,4</p><p>P P</p><p>P</p><p>P P</p><p>   </p><p>= =   </p><p>  </p><p>Essa notação deve ser lida como uma transição da linha para a coluna, ou seja, a pro-</p><p>babilidade de sair do estado 0 para o estado 0 é de 0,8, isto é, se hoje está seco então</p><p>há 80% de chance de amanhã também estar seco. Se hoje está chuvoso, a chance de</p><p>amanhã estar seco é de 0,6.</p><p>4. INTRODUÇÃO À TEORIA DAS FILAS</p><p>Todos os processos gerenciais enfrentam um dilema, o mesmo dilema que consta na</p><p>primeira unidade deste livro: a escassez de recursos. A necessidade de se otimizar os</p><p>recursos surge justamente do fato de eles serem escassos e ser impossível disponibili-</p><p>zá-los indefinidamente. É nesse momento que surgem as filas. Filas nada mais são do</p><p>134</p><p>Modelos de Transporte e Teoria das Filas</p><p>4</p><p>que entidades à espera de recursos para serem processadas. Embora nem sempre se</p><p>perceba, em toda fila existe embutido um problema econômico que surge, porque em</p><p>qualquer fila existem dois custos envolvidos: o custo da fila e o custo do serviço.</p><p>O custo de fila é muitas vezes difícil de ser calculado ou mensurado, porém ele existirá.</p><p>Quantos clientes você perderá se a fila de atendimento do estabelecimento crescer</p><p>muito? Qual o valor monetário da quantidade de peças esperando para serem proces-</p><p>sadas? Qual o custo de se manter os produtos acabados em estoque, aguardando a</p><p>transportadora? O custo da fila é o quanto de recurso financeiro é consumido devido à</p><p>existência da fila.</p><p>Já o custo do serviço é o valor monetário gasto para atender às entidades que chegam</p><p>para a fila. Quanto mais recursos existir, menor será a fila e consequentemente menor</p><p>será o custo da fila, entretanto o custo do serviço será maior. Existe um momento no</p><p>qual não é vantajoso reduzir a fila, pois o custo será proibitivo.</p><p>O estudo da Teoria das Filas é abrangente, mas neste livro consideraremos um tipo</p><p>especial de fila:</p><p>Tamanho da população: infinito</p><p>A taxa de chegada de entidades na fila não afeta as taxas futuras, pois a população de enti-</p><p>dades que entram na fila não afeta as chegadas futuras.</p><p>Tamanho permitido para a fila: infinito</p><p>Consideraremos que as filas podem crescer indefinidamente e que não existe um limite má-</p><p>ximo para que alguma entidade entre na fila.</p><p>Fila: única</p><p>Há um único atendente ou recurso para atender às entidades.</p><p>Seleção para atendimento: FIFO</p><p>Quando houver uma fila, a entidade que chega primeiro é atendida antes das outras que</p><p>chegam depois.</p><p>Denominaremos esse modelo M/M/1. Esse é o modelo mais simples de fila com ta-</p><p>manho de população infinito, tamanho infinito, chegadas seguindo uma distribuição de</p><p>Poisson, duração do serviço seguindo a distribuição Exponencial, fila única no regime</p><p>FIFO e 1 estação de serviço. (SANTOS, 2003, p. 83)</p><p>Para o desenvolvimento das formulações, vamos considerar:</p><p>λ ⇒ taxa de chegada</p><p>μ ⇒ taxa de serviço</p><p>135</p><p>4</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>` Probabilidade de zero unidades no sistema, ou seja, a probabilidade de o sistema</p><p>estar vazio:</p><p>0 1P λ</p><p>µ</p><p>= − (Equação 14)</p><p>` Probabilidade de existirem n unidades no sistema:</p><p>0</p><p>n</p><p>nP P λ</p><p>µ</p><p> </p><p>=  </p><p> </p><p>(Equação 15)</p><p>` Probabilidade de existirem mais de k unidades no sistema:</p><p>( )</p><p>1</p><p>0</p><p>k</p><p>P n k P λ</p><p>µ</p><p>+</p><p> </p><p>> =  </p><p> </p><p>(Equação 16)</p><p>` Número médio (esperado) de unidades no sistema:</p><p>L λ</p><p>µ λ</p><p>=</p><p>−</p><p>(Equação 17)</p><p>` Número médio (esperado) de unidades na fila:</p><p>( )</p><p>2</p><p>qL λ</p><p>µ µ λ</p><p>=</p><p>−</p><p>(Equação 18)</p><p>` Tempo médio (esperado) que cada unidade permanece no sistema:</p><p>1W</p><p>µ λ</p><p>=</p><p>−</p><p>(Equação 19)</p><p>Tempo médio (esperado) que cada unidade permanece na fila:</p><p>( )qW λ</p><p>µ µ λ</p><p>=</p><p>−</p><p>(Equação 20)</p><p>Fator de utilização da estação de serviço:</p><p>∆t ⇒ unidade de tempo muito pequena</p><p>n = número de unidades no sistema (inclui as da fila e a</p><p>que está sendo servida).</p><p>136</p><p>Modelos de Transporte e Teoria das Filas</p><p>4</p><p>λρ</p><p>µ</p><p>= (Equação 21)</p><p>Exemplo 7 – Atendentes em uma loja</p><p>As pessoas chegam com um intervalo médio entre chegadas de 20 minutos, a uma loja que dispõe de um</p><p>único atendente. O atendente gasta em média 15 minutos com cada cliente.</p><p>01. Qual a probabilidade de um cliente não ter que esperar para ser atendido?</p><p>02. Qual é o número médio de clientes esperando na fila da loja?</p><p>03. Quanto tempo, em média, um cliente permanece na loja?</p><p>04. Quanto tempo, em média, um cliente espera na fila?</p><p>A solução desse exemplo é feita exclusivamente utilizando as formulações indicadas. O</p><p>primeiro passo é identificar a taxa de chegada e a taxa de serviço.</p><p>λ ⇒ taxa de chegada: se em cada 20 minutos chega 1 cliente,</p><p>então em 60 minutos (1 hora) chegam 3 clientes, assim: 3λ = .</p><p>µ ⇒ taxa de serviço: em 15 minutos um cliente é atendido, logo são atendidos 4</p><p>clientes por hora. 4µ = .</p><p>a. Com essas informações podemos definir que a probabilidade de um cliente não ter que es-</p><p>perar para ser atendido é a mesma de o cliente chegar e não ter ninguém na loja, ou seja: P0</p><p>0</p><p>31 1 0,25 25%</p><p>4</p><p>P λ</p><p>µ</p><p>= − = − = =</p><p>b. O número de clientes esperado na fila da loja é número médio de unidades na fila:</p><p>( ) ( )</p><p>2 23 2,25</p><p>4 4 3qL clientesλ</p><p>µ µ λ</p><p>= = =</p><p>− −</p><p>c. O tempo, em média, que um cliente permanece na loja é o tempo médio (esperado) que</p><p>cada unidade permanece no sistema:</p><p>1 1 1</p><p>4 3</p><p>W hora</p><p>µ λ</p><p>= = =</p><p>− −</p><p>d. O tempo, em média, que um cliente espera na fila é dado por:</p><p>( ) ( )</p><p>3 0,15 .</p><p>4 4 3qW horasλ</p><p>µ µ λ</p><p>= = =</p><p>− −</p><p>137</p><p>4</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>CONCLUSÃO</p><p>Nesta unidade foram abordados conceitos de grande valor prático: todas as ferramentas</p><p>são usadas frequentemente nos processos de decisão de empresas e organizações. É</p><p>conveniente indicar que todas as ferramentas vistas devem ser utilizadas pelos estu-</p><p>dantes quando estiverem em vivências práticas, buscando levar para as organizações</p><p>o estado da arte dos processos decisórios.</p><p>Os problemas de rede e transporte configuram uma ferramenta para solucionar situ-</p><p>ações que vão além das aplicações em transporte: observe que o que caracteriza o</p><p>problema é a modelagem e não seu contexto prático.</p><p>138</p><p>Modelos de Transporte e Teoria das Filas</p><p>4</p><p>REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS</p><p>HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à Pesquisa Operacional. 8. ed. New York: McGrawHill, 2010.</p><p>SANTOS, M. P. Pesquisa Operacional. Rio de Janeiro: UERJ, 2003.</p><p>139</p><p>4</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Tomada de decisão em negócios</p><p>1. Processos para a tomada de decisão</p><p>2. Resolução usando planilha eletrônica (atingir meta)</p><p>3. Modelagem em Programação Linear</p><p>4. Otimização: a busca por uma solução ótima (MS Solver)</p><p>Análise dos resultados</p><p>1. Analisando cenários e os limites do modelo</p><p>2. Conceitos de Sensibilidade e Preço Sombra</p><p>3. Análise de Sensibilidade e Preço Sombra (abrir os relatórios)</p><p>Método Simplex</p><p>1. Método Simplex</p><p>2. Análise de Sensibilidade e Preço Sombra no Simplex</p><p>3. Dualidade</p><p>Modelos de Transporte e Teoria das Filas</p><p>1. Redes e Modelo de Transportes</p><p>2. Introdução a processos estocásticos e risco e incerteza</p><p>3. Cadeias de Markov (Matriz de transição, Classificação, Distribuições-limite)</p><p>4. Introdução à teoria das filas</p><p>a entrega em 5,8</p><p>dias. Por isso é importante interpretar e avaliar o resultado com os olhos do problema</p><p>real. Nesse caso, Ana Luiza pode ter duas opções: a) dizer para o seu gestor de que o</p><p>melhor que consegue fazer é adiantar em 5 dias e com isso gastará R$ 16.832 (para</p><p>achar esse valor, substitua o valor de “n” por 5 na planilha) ou b) buscar negociar com</p><p>o fornecedor para que adiante em 6 dias e aceite receber R$ 80.000. Observe que a</p><p>diferença de valor é muito alta entre um adiantamento de 5 dias para um de 6, e que,</p><p>no mundo real, possivelmente a melhor solução seja adiantar em 5 dias apenas (opção</p><p>a) e economizar R$ 63.168.</p><p>Esse exemplo mostra como uma situação cotidiana pode ser resolvida facilmente com</p><p>o auxílio de uma modelagem matemática e uma planilha eletrônica. Fica evidente tam-</p><p>bém o papel do “tomador de decisão”, que analisa os dados e só assim toma a decisão.</p><p>O modelo matemático não substitui a necessidade de análise humana.</p><p>3. MODELAGEM EM PROGRAMAÇÃO LINEAR</p><p>A modelagem de um problema é parte essencial para sua resolução. Esse é o momento</p><p>no qual a experiência prática se une ao conhecimento teórico. A modelagem não con-</p><p>segue levar em consideração todas as variáveis e situações presentes no mundo real:</p><p>é preciso simplificar e delimitar o problema, para assim encontrar a solução. Depois, de</p><p>posse da solução, o analista deve retornar ao problema real e verificar a pertinência da</p><p>solução encontrada.</p><p>Fonte: captura de tela elaborada no software Excel pelo autor.</p><p>16</p><p>1</p><p>Tomada de decisão em negócios</p><p>Um modelo é a representação de um sistema real. As diferenças entre a solução real</p><p>e a solução proposta pelo modelo dependem da precisão do modelo em descrever o</p><p>comportamento original do sistema (HILLIER; LIEBERMAN, 2010, p. 35).</p><p>Em Pesquisa Operacional utilizamos modelos matemáticos nos quais as grandezas são</p><p>representadas por variáveis e as relações entre elas, por sistemas de equações ou inequa-</p><p>ções. Por essa razão precisamos de informações quantificáveis ao modelar um problema</p><p>de Pesquisa Operacional. Os modelos matemáticos apresentam três elementos principais:</p><p>Em linguagem matemática podemos descrever um exemplo de modelo matemático da</p><p>seguinte forma:</p><p>a) Variáveis de decisão e parâmetros:</p><p>As variáveis de decisão são as incógnitas a serem determinadas na solução do modelo e</p><p>aquelas a respeito das quais o tomador de decisão tem autonomia, ele pode escolher. Os</p><p>parâmetros são constantes presentes nas restrições e na função objetivo.</p><p>b) Restrições:</p><p>Expressões que representam os limites físicos do problema, definindo o universo de solu-</p><p>ções viáveis (possíveis). As restrições representam matematicamente as circunstâncias do</p><p>problema real, por exemplo, limite de disponibilidade de um certo recuso ou obrigatoriedade</p><p>de atingir um determinado valor.</p><p>c) Função objetivo::</p><p>É a representação do indicador principal do problema, indicando o desempenho apropriado</p><p>do problema. É expressa em função das variáveis de decisão.</p><p>Em que:</p><p>( )f x → Função Objetivo que mede o desempenho da solução</p><p>( )g x → Representam as restrições do problema</p><p>x → Representam as variáveis de decisão do modelo</p><p>equação 1</p><p>17</p><p>1</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>a) Proporcionalidade:</p><p>A contribuição de cada atividade ao valor da função objetivo Z é proporcional ao nível da</p><p>atividade representado pela variável de decisão. Isso equivale a dizer que, se uma unidade</p><p>de um produto custa R$ 3,00, então duas unidades custarão 2 x R$ 3,00 = R$ 6,00. Essa</p><p>afirmação, no mundo real, tem um limite de validade, por isso se faz necessária a análise</p><p>após a resolução.</p><p>b) Aditividade:</p><p>A contribuição total de todas as atividades da função objetivo e das restrições é a soma direta</p><p>das contribuições individuais.</p><p>c) Divisibilidade:</p><p>As variáveis de decisão podem assumir qualquer valor não inteiro, isto é, há uma continui-</p><p>dade nos valores. Essa afirmação será útil para a resolução de problemas, porém deve ser</p><p>revisitada ao se encontrar uma solução, pois, no mundo real, nem todas as variáveis de</p><p>decisão farão sentido se considerarmos valores fracionários.</p><p>d) Certeza:</p><p>Os coeficientes da função objetivo e das restrições devem ser bem conhecidos. Como no</p><p>mundo real isso nem sempre é viável, é preciso garantir que tenham ao menos um baixo</p><p>desvio padrão, pois, caso contrário, o modelo é pouco representativo.</p><p>b → Quantidade disponível de um dado recurso</p><p>n → Número de variáveis de decisão</p><p>m → Número de restrições do modelo</p><p>Se a função objetivo junto com todas as restrições forem representadas por funções</p><p>lineares (ou seja, se não houver expoente algum nem multiplicação entre as variáveis),</p><p>então dizemos que o modelo se enquadra em um modelo de programação linear. Caso</p><p>ao menos uma das restrições ou a função objetivo sejam equações/inequações não</p><p>lineares, dizemos que o modelo é de programação não linear.</p><p>Neste curso vamos dar ênfase especial à programação linear, visto sua aplicabilidade</p><p>aos problemas reais e seus métodos mais simples de resolução. Quando um problema</p><p>for considerado de programação linear, é importante ficar claro que automaticamente se</p><p>está considerando algumas premissas, tais como:</p><p>Não há forma padronizada de se elaborar um modelo. Veremos, então, alguns exem-</p><p>plos de como transformar um problema real em um modelo matemático.</p><p>É preciso, antes de tudo, conhecer (ou buscar conhecer) o assunto e ter alguma</p><p>experiência. Entretanto, alguns pontos podem ser destacados:</p><p>18</p><p>1</p><p>Tomada de decisão em negócios</p><p>a. Escolha as variáveis de decisão e mantê-las até o final da modelagem, tomando cuidado</p><p>para não trocar as variáveis no meio da modelagem.</p><p>b. Monte a função objetivo de modo que represente o que o problema deseja alcançar e</p><p>entende como ótimo: trata-se de maximizar ou de minimizar a função objetivo?</p><p>c. Verifique todas as grandezas que possam limitar o problema, classificando-as por padrões</p><p>(por exemplo: mão de obra, horas disponíveis, matéria-prima, espaço etc.).</p><p>Exemplo 2 – Otimizando um setor da Cookies Crocantes Company</p><p>Um determinado setor da Cookies Crocantes Company (CCC) produz cookies de chocolate</p><p>e doce de leite. Os biscoitos de chocolates são vendidos no atacado por R$ 22,00/kg e os de</p><p>doce de leite são vendidos por R$ 48,00/kg. Para a fabricação de um quilo de cookies de cho-</p><p>colate gastam-se 0,30 m2 de papel alumínio na embalagem e utilizam-se três horas na con-</p><p>feitaria e uma pessoa para o acabamento, detalhes finais e embalagem. Na confecção de um</p><p>quilo de biscoitos de doce de leite gasta-se 0,50 m2 de papel alumínio usado na embalagem,</p><p>quatro horas na confeitaria e duas pessoas no acabamento, detalhes finais e embalagem. A</p><p>empresa conta, diariamente, com 15 m2 de papel alumínio, 120 horas de trabalho e 15 pes-</p><p>soas atuando na produção. Determine o modelo de programação linear (PL) que maximiza a</p><p>receita diária desse setor da Cookies Crocantes Company.</p><p>Pois bem, para buscar uma solução para esse problema precisamos identificar as</p><p>variáveis de decisão, isto é: de todas as variáveis envolvidas no processo, quais são</p><p>aquelas a respeito das quais o tomador de decisão tem controle, que pode decidir?</p><p>Nesse nosso exemplo, é necessário definir a quantidade a ser produzida de cada um</p><p>dos tipos de cookies, para que a receita diária seja a maior possível. Assim, nossas va-</p><p>riáveis de decisão serão as quantidades vendidas de cookies de chocolate e de cookies</p><p>de doce de leite.</p><p>x1 = quantidade diária a ser produzida de cookies de chocolate</p><p>x2 = quantidade diária a ser produzida de cookies de doce de leite</p><p>Agora que temos as variáveis de decisão definidas, podemos quantificar a função</p><p>objetivo e as restrições. Todo problema terá um objetivo claro, que se resume a maxi-</p><p>mizar, minimizar ou atingir um valor de uma determinada grandeza (TAHA, 2008, p. 15).</p><p>Para esse exemplo, precisamos de uma função que descreva o objetivo a ser alcança-</p><p>do de aumentar ao máximo possível a receita diária.</p><p>Como a receita é o resultado da</p><p>multiplicação do preço de venda dos cookies pela sua quantidade vendida, podemos</p><p>entender que a receita total da empresa estudada será dada por:</p><p>1 222 48x x+ equação 2</p><p>Nessa expressão, 22 é o valor pelos quais os biscoitos de chocolates são vendidos no</p><p>atacado e x1 é a quantidade vendida dos mesmos biscoitos. De modo análogo, 48 é o valor</p><p>referente à venda de cookies de doce de leite e x2 é a quantidade vendida desses cookies.</p><p>19</p><p>1</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>É o resultado dessa expressão que desejamos otimizar (nesse exercício representado</p><p>pelo valor máximo, ou seja, maximizado). Logo, a função objetivo (representada por Z)</p><p>pode ser escrita como:</p><p>1 222 48máxZ x x= + equação 3</p><p>Observe que se coloca o máx, indicando a maximização de Z (receita total). Uma vez</p><p>que já identificamos as variáveis de decisão e elaboramos uma função objetivo que</p><p>sintetize a problemática, precisamos saber quais são as condições que devem ser obe-</p><p>decidas para alcançar nosso objetivo, isto é, necessitamos definir as restrições.</p><p>Não temos recursos infinitos, não dispomos de papel alumínio, mão de obra ou horas</p><p>ilimitadas para alcançar nosso objetivo (se assim fosse, teríamos uma receita infinita,</p><p>certo?). Então vamos ver nossos limites e identificar o tipo de problema.</p><p>Esse é um problema clássico de “mix de produção”, no qual existem inúmeros recursos e</p><p>para cada um deles há um limite de demanda. Para o papel alumínio temos um limite diário</p><p>de 15 m2. Como, para produzir cookies de chocolate gastam-se 0,30 m2 e na confecção</p><p>de biscoitos de doce de leite gasta-se 0,50 m2, concluímos que a quantidade total de</p><p>papel alumínio consumido diariamente será 1 20,30 0,50x x+ e esse valor não pode,</p><p>em hipótese alguma, ser superior a 15 m2 (limite diário): ele pode ser menor, isto é, eu</p><p>posso não consumir todo o recurso disponível, mas nunca consumir mais do que existe.</p><p>Matematicamente podemos escrever essa restrição na forma da seguinte inequação:</p><p>1 20,30 0,50 15x x+ ≤ equação 4</p><p>Outro ponto que deve ser obedecido é o limite de horas de trabalho disponíveis (120h).</p><p>Analogamente ao que fizemos para o papel alumínio, a quantidade total de horas</p><p>consumidas na produção será dada por 1 23 4x x+ (cookies de chocolate necessitam</p><p>de 3 horas na confeitaria e os de doce de leite precisam de 4 horas na confeitaria).</p><p>Como temos um limite de 120 horas para serem distribuídas, então a restrição pode ser</p><p>expressa por:</p><p>1 23 4 120x x+ ≤ equação 5</p><p>O problema ainda limita a quantidade de pessoas envolvidas na produção em 15. Como</p><p>precisamos de 1 pessoa na produção de cookies de chocolate e 2 na produção de</p><p>cookies de doce de leite, podemos escrever que:</p><p>1 22 15 x x+ ≤ equação 6</p><p>Se não há mais restrições, podemos seguir. Aqui cabe uma dica: muitas vezes, fazer</p><p>uma tabela com todas as informações do problema ajuda a compreendê-lo e a não</p><p>esquecer dado algum.</p><p>Bem, descrevemos então todas as restrições relativas ao consumo de recursos. Contudo,</p><p>uma outra restrição (implícita no problema) ainda não foi descrita e é fundamental do pon-</p><p>to de vista matemático. Pense nos valores que as variáveis de decisão podem assumir.</p><p>20</p><p>1</p><p>Tomada de decisão em negócios</p><p>Podemos produzir qualquer quantidade de cookies de chocolate e doce de leite, podemos</p><p>até mesmo produzir nada, mas não podemos, de qualquer ponto de vista, produzir uma</p><p>quantidade negativa de cookies. As variáveis de decisão não podem assumir valores ne-</p><p>gativos. E isso precisa ser capturado em nosso modelo, sob o risco de obtermos solução</p><p>inapropriadas. Matematicamente, dizemos que: 1 20 0x x≥ ≥ .</p><p>Feito isso, esgotamos as possíveis restrições e podemos apresentar o modelo completo:</p><p>Tabela 01. Exemplo de Modelagem completa</p><p>1 222 48 máxZ x x= +</p><p>Sujeito a:</p><p>1 20,30 0,50 1 5x x+ ≤</p><p>1 2 3 4 1 20x x+ ≤</p><p>1 2 2 1 5 x x+ ≤</p><p>1 2 0 0 x x≥ ≥</p><p>São denominados “Coeficientes da função objetivo"</p><p>São denominados “Coeficientes tecnológicos (ou da restrição)”</p><p>São denominadas “constantes do lado direito”</p><p>Fonte: elaborado pelo autor.</p><p>Vamos agora acompanhar outro exemplo.</p><p>Exemplo 3 – Otimizando a produção cookies de chocolates</p><p>A Cookies Crocantes Company (CCC) tem a necessidade de fazer manutenção em suas</p><p>máquinas e, para não impactar a produção, foi definido que esse departamento atue 24 horas</p><p>por dia. A escala de trabalho exige que os funcionários trabalhem em dois turnos consecuti-</p><p>vos de 4 horas. Gabriela Avelar é a gerente de manutenção e tem o histórico de ocorrências,</p><p>o que resultou na tabela a seguir de necessidade de funcionários de acordo com o turno.</p><p>Turno Horário Nº Mínimo de funcionários</p><p>A 0-4 5</p><p>B 4-8 8</p><p>C 8-12 6</p><p>D 12-16 9</p><p>E 16-20 15</p><p>F 20-24 7</p><p>21</p><p>1</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Dessa forma, qual o modelo matemático que Gabriela Avelar desenvolveria para saber o</p><p>número de empregados que devem começar cada turno, de modo que a equipe total do setor</p><p>seja a menor possível?</p><p>Esse é um problema diferente do anterior. Vamos modelá-lo agora, dividindo em passos:</p><p>2º passo: Definir a função objetivo</p><p>1º passo: Definir as variáveis de decisão</p><p>Uma vez que se depare com um problema de pesquisa operacional, procure entender o que</p><p>exatamente ele deseja. Nesse caso, o objetivo é reduzir o número total de funcionários atu-</p><p>ando na manutenção. Para atingir esse objetivo, precisamos identificar a variável a respeito</p><p>da qual temos autonomia, ou seja, sobre o que vamos decidir. Um primeiro pensamento, bem</p><p>lógico e comum, seria intuir as variáveis de decisão como a quantidade de funcionários que</p><p>trabalham em cada turno. Faz muito sentido e é um bom começo. Mas, se nos aprofundar-</p><p>mos, vamos identificar um problema nessa escolha, pois se somarmos todas as variáveis</p><p>de decisão para saber o total de funcionários, vamos achar um número maior, pois, nesse</p><p>caso, teríamos somado duas vezes cada funcionário. Lembre-se de que cada funcionário</p><p>trabalha dois turnos, de modo que em um turno há dois grupos diferentes de funcionários</p><p>trabalhando: o grupo que iniciou o trabalho naquele turno e o grupo que começou o trabalho</p><p>no turno anterior. Veja, por exemplo, o turno B. Quem está trabalhando lá é quem começou</p><p>seu turno naquela hora (4h), mas também há quem começou a trabalhar no turno A e que</p><p>agora está fazendo seu segundo (e último) turno, percebe? Assim, somos levados a recon-</p><p>siderar a variável de decisão. O que podemos escolher é definir a variável de decisão como</p><p>quantos funcionários iniciam seu dia de trabalho em cada turno. Com isso, as variáveis</p><p>de decisão seriam:</p><p>1 x Quantidadede funcionários queiniciaram seu dia detrabalhonoturno A=</p><p>2 x Quantidadede funcionários queiniciaram seu dia detrabalhonoturno B=</p><p>3 x Quantidadede funcionários queiniciaram seu dia detrabalhonoturnoC=</p><p>4 x Quantidadede funcionários queiniciaram seu dia detrabalhonoturno D=</p><p>5 x Quantidadede funcionários queiniciaram seu dia detrabalhonoturno E=</p><p>6 x Quantidadede funcionários queiniciaram seu dia detrabalhonoturno F=</p><p>Dessa maneira, se somarmos todas as variáveis de decisão, encontraremos o total de funcio-</p><p>nários que atuam na manutenção. E, assim, vamos para o 2º passo.</p><p>Nesse caso iniciamos este passo sabendo o que fazer. Desejamos minimizar a quantidade total</p><p>de funcionários na equipe de manutenção. E para saber a quantidade total, basta somar todos</p><p>os funcionários que iniciam seu turno, pois cada funcionário inicia o turno uma única vez no dia.</p><p>Assim, temos:</p><p>1 2 3 4 5 6mínZ x x x x x x= + + + + + equação 7</p><p>22</p><p>1</p><p>Tomada de decisão em negócios</p><p>Essa forma de escrever é muito clara e de fácil entendimento, porém, a depender do tamanho</p><p>do problema, ela pode se tornar inviável (imagine se tivéssemos 200 variáveis de decisão).</p><p>Por isso, não é raro encontrar notações mais</p><p>sofisticadas; por exemplo, essa função objetivo</p><p>poderia ser reescrita assim:</p><p>6</p><p>1</p><p>mín i</p><p>i</p><p>Z x</p><p>=</p><p>=∑ equação 8</p><p>Não se assuste com essa notação, mas é importante que o estudante se familiarize, pois nas</p><p>atividades profissionais ou nas publicações acadêmicas é frequente esse tipo de forma de</p><p>escrever expressões muito grandes.</p><p>Uma vez definidas a função objetivo, resta-nos definir as restrições, ou seja, sigamos</p><p>para o 3º passo.</p><p>3º passo: Definir as restrições do problema</p><p>A informação que o problema nos passa é que existe uma necessidade, uma exigência, uma</p><p>restrição quanto à quantidade mínima de funcionários que são necessários em cada turno.</p><p>Vamos pensar um pouco: quem está trabalhando no turno A? Se cada um dos funcionários</p><p>inicia seu dia de trabalho em um turno e permanece assim por dois turnos consecutivos, en-</p><p>tão quem está trabalhando entre zero e 4h da manhã (turno A), é quem iniciou no turno A (x1)</p><p>e quem começou a trabalhar entre 20h e 24h (turno F) do turno anterior (x6). Em linguagem</p><p>matemática poderíamos dizer que:</p><p>1 6 5x x+ ≥ equação 9</p><p>Isso significa que a quantidade de funcionários trabalhando no turno A precisa ser maior ou</p><p>igual a 5. Você pode estar se perguntando por que não é igual ou menor, uma vez que o</p><p>objetivo é reduzir a quantidade de funcionários. A explicação é que a função da restrição é</p><p>justamente esta: colocar as condições dentro das quais a função objetivo pode ser atendida. O</p><p>objetivo de minimizar já está definido quando na função objetivo (PASSOS, 2008, p. 35). Agora</p><p>o foco são as restrições, e para as restrições, ter mais gente não é problema (seriam “sobras”):</p><p>o que não pode é ter menos. A partir daí a matemática fará o resto, considerando as restrições</p><p>na busca da solução ótima para a função objetivo.</p><p>Vamos seguir com as próximas restrições. Para o turno B, quem estará trabalhando é quem</p><p>iniciou o trabalho no turno B e no turno anterior (A), então será: 1 2 8 x x+ ≥ .</p><p>Para o turno C, trabalha quem iniciou em B e em C, e assim subsequentemente. Resta ape-</p><p>nas ponderarmos sobre a necessidade ou não de uma restrição de não negatividade para as</p><p>variáveis de decisão. Nesse caso, continua válido que não tem sentido um número negativo</p><p>para quantos funcionários iniciam seu dia de trabalho em cada turno. Ou seja, precisa-</p><p>mos escrever que 1 2 60 0 0 x x x≥ ≥ … ≥ , ou podemos simplesmente escrever:</p><p>{ }0 1, 2, 3, 4, 5, 6 ix i≥ =</p><p>Então o modelo completo ficará assim:</p><p>1 2 3 4 5 6mínZ x x x x x x= + + + + +</p><p>23</p><p>1</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Sujeito a:</p><p>1 6 5 x x+ ≥</p><p>1 2 8x x+ ≥</p><p>2 3 6x x+ ≥</p><p>3 4 9x x+ ≥</p><p>4 5 15x x+ ≥</p><p>5 6 7x x+ ≥</p><p>{ }0 1, 2, 3, 4, 5, 6 ix i≥ =</p><p>Esse é o modelo matemático, ou modelo de programação linear que Gabriela Avelar, gerente</p><p>de manutenção da Cookies Crocantes Company, deve elaborar para otimizar a quantidade</p><p>de funcionários da manutenção. Não seria estranho se esse modelo fosse apresentado or-</p><p>ganizando as variáveis de decisão na mesma coluna (na verdade, isso é muito conveniente,</p><p>como você verá mais adiante na nossa disciplina). Assim:</p><p>1 2 3 4 5 6mínZ x x x x x x= + + + + +</p><p>Sujeito a:</p><p>1 6 5 x x+ ≥</p><p>1 2 8x x+ ≥</p><p>2 3 6x x+ ≥</p><p>3 4 9x x+ ≥</p><p>4 5 15x x+ ≥</p><p>5 6 7x x+ ≥</p><p>{ }0 1, 2, 3, 4, 5, 6 ix i≥ =</p><p>Esse tipo de organização será útil quando forem usados modelos e softwares para resolução,</p><p>com o MS Solver, que será visto no próximo tópico.</p><p>Mas antes de vermos como resolver usando o MS Solver, vamos analisar um último exemplo, de</p><p>uma empresa de vidro. Este é um problema clássico de mistura e é baseado em um caso real.</p><p>24</p><p>1</p><p>Tomada de decisão em negócios</p><p>Esse problema envolve um processo de tomada de decisão que consiste em definir</p><p>quanto de cada matéria-prima será utilizada, visando, com isso, reduzir custos e ainda</p><p>assim manter o produto dentro da especificação. A primeira coisa que recomendamos</p><p>aqui é: mantenha a calma e fique atento para não se perder com os números da tabela.</p><p>Tudo funciona exatamente como já fizemos, certo? A definição da variável de decisão é</p><p>o primeiro passo para começarmos a modelagem.</p><p>1 x = quantidade em kg da matéria-prima 1 a ser utilizada</p><p>2x = quantidade em kg da matéria-prima 2 a ser utilizada</p><p>3x = quantidade em kg da matéria-prima 3 a ser utilizada</p><p>4 x = quantidade em kg da matéria-prima 4 a ser utilizada</p><p>5x = quantidade em kg da matéria-prima 5 a ser utilizada</p><p>6x = quantidade em kg da matéria-prima 6 a ser utilizada</p><p>Ex. 4 – Otimizando consumo de matérias-primas em uma empresa de vidros planos</p><p>Uma empresa de vidros planos deseja reduzir o consumo de suas matérias-primas. O pro-</p><p>cesso produtivo utiliza seis tipos de matéria-prima que são misturadas para dar origem ao</p><p>vidro plano. Cada uma dessas matérias-primas tem em sua composição alguns compostos</p><p>químicos cuja concentração é item fundamental para a qualidade do produto, de modo que a</p><p>concentração desses compostos é rigorosamente controlada. Na Figura 05 a seguir indica-se</p><p>o percentual desses compostos críticos para cada matéria-prima.</p><p>Figura 05. Percentual de compostos químicos para matéria-prima</p><p>Fonte: captura de tela elaborada no software Excel pelo autor.</p><p>Figura 06. Valores das matérias-primas</p><p>MPl MP2 MP3 MP4 MPS MP6 Mín Mb</p><p>Dióxido de silício (Si0 2) 99,71% 0,12% 1,46% 2,70% 70% 72,50%</p><p>Óxido de alumínio (A1203) 0,03% 0,02% 0,19% 0,75% 1,50%</p><p>Óxido de ferro (Fe203) 0,04% 0,02% 0,04% 0,14% 0,01% 96,55% 0,30%</p><p>Óxido de cálcio (CaO) 56,20% 34,95% 8% 10%</p><p>Óxido de magnésio (MgO) 0, 39% 19,11% 4% 5%</p><p>Óxido de sódio (Na20) 58,41% 0,19% 43,55% 13% 14%</p><p>Óxido de potássio (K20 ) 0,03% 0,16% 1%</p><p>Óxido sulfúrico (S03) 56,19% 0,25%</p><p>O processo produtivo consiste em misturar as matérias-primas de modo que ao final tenhamos</p><p>um produto dentro das especificações, que atendam às concentrações de mínimo e máximo</p><p>indicadas na figura. Assim, busca-se qual seria a solução ótima que reduziria o valor total gasto</p><p>pela empresa, sabendo que as matérias-primas apresentam os seguintes valores por kg:</p><p>Fonte: captura de tela elaborada no software Excel pelo autor.</p><p>MPL MP2 MP3 MP4 MPS MP6</p><p>R$100 R$ 500 R$ 50 R$ 200 R$ 400 R$ 600</p><p>25</p><p>1</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Uma vez definidas as variáveis de decisão, modele o objetivo do problema, isto é, a fun-</p><p>ção objetivo. Deseja-se minimizar o valor total gasto no consumo de matérias-primas:</p><p>1 2 3 4 5 6100 500 50 200 400 600mínZ x x x x x x= + + + + +</p><p>Quanto às restrições, cada um dos compostos químicos críticos presentes na figura do</p><p>enunciado (são oito compostos) tem um nível indicado de concentração exigido. Atente</p><p>para o fato de que alguns compostos apresentam limite mínimo e máximo e, outros,</p><p>apenas limite máximo. Dessa forma, alguns compostos necessitam de duas restrições.</p><p>Vamos, então, ver como fica cada uma das restrições para cada composto.</p><p>Para o dióxido de silício existem duas restrições:</p><p>SiO2 (máx) - 1 3 4 699,71 0,12 1,46 2,7 72,5x x x x+ + + ≤ equação 11</p><p>SiO2 (mín) - 1 3 4 699,71 0,12 1,46 2,7 70x x x x+ + + ≥ equação 12</p><p>Para o óxido de ferro há apenas uma restrição:</p><p>Al2O3 (máx) - 1 3 4 60,03 0,02 0,19 0,75 1,5x x x x+ + + ≤ equação 13</p><p>Para o óxido de cálcio existem duas restrições:</p><p>CaO (máx) - 1 2 3 4 5 60,04 0,02 0,04 0,14 0,01 96,55 0,30x x x x x x+ + + + + ≤ equação 14</p><p>56,22 X3 + 34,95 x4 > 8 equação 15</p><p>Para o óxido de magnésio existem duas restrições:</p><p>MgO (máx)</p><p>- 3 40,39 19,11 5x x+ ≤ equação 16</p><p>MgO (mín) - 3 40,39 19,11 4x x+ ≥ equação 17</p><p>Para o óxido de sódio existem duas restrições:</p><p>Na2O (máx) - 2 4 558,41 0,19 43,55 14x x x+ + ≤ equação 18</p><p>Na2O (mín) - 2 4 558,41 0,19 43,55 13x x x+ + ≥ equação 19</p><p>Para o óxido de potássio há apenas uma restrição:</p><p>K2O (máx) - 3 40,03 0,16 1x x+ ≤ equação 20</p><p>26</p><p>1</p><p>Tomada de decisão em negócios</p><p>Assim, o modelo de programação linear que minimiza o custo total da empresa ficará</p><p>da seguinte forma:</p><p>1 2 3 4 5 6100 500 50 200 400 600mínZ x x x x x x= + + + + +</p><p>Sujeito a:</p><p>1 3 4 699,71 0,12 1,46 2,7 72,5x x x x+ + + ≤</p><p>1 3 4 699,71 0,12 1,46 2,7 70x x x x+ + + ≥</p><p>1 3 4 60,03 0,02 0,19 0,75 1,5x x x x+ + + ≤</p><p>1 2 3 4 5 60,04 0,02 0,04 0,14 0,01 96,55 0,30x x x x x x+ + + + + ≤</p><p>3 40,39 19,11 5x x+ ≤</p><p>3 40,39 19,11 4x x+ ≥</p><p>2 4 558,41 0,19 43,55 14x x x+ + ≤</p><p>2 4 558,41 0,19 43,55 13x x x+ + ≥</p><p>3 40,03 0,16 1x x+ ≤</p><p>556,19 0,25x ≤</p><p>1 2 3 4 5 60 0 0 0 0 0x x x x x x≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥</p><p>4. OTIMIZAÇÃO: A BUSCA POR UMA SOLUÇÃO ÓTIMA (MS</p><p>SOLVER)</p><p>Uma das ferramentas mais versáteis para solução de problemas que envolvam processos</p><p>de tomada de decisão, mais especificamente de programação linear, é o Microsoft Solver,</p><p>um suplemento que vem disponível no Excel. Com esse suplemento, podemos resolver</p><p>problemas que consumiriam horas preciosas para serem resolvidos manualmente. Além</p><p>disso, o Solver é mais simples do que outros softwares especializados e mais facilmente</p><p>disponível que eles (afinal está em praticamente todos os computadores).</p><p>Vamos apresentar aqui a forma de solução utilizando o Solver e, nas unidades seguin-</p><p>tes, serão apresentadas as formas de análise e outros mecanismos de resolução.</p><p>Para o óxido de sulfúrico há apenas uma restrição:</p><p>SO3 (Máx) - 556,19 0,25x ≤ equação 21</p><p>27</p><p>1</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Depois que o problema estiver com sua modelagem matemática completa, podemos</p><p>usar o Solver para encontrar a solução ótima (a solução que resulta no valor ótimo da</p><p>função objetivo), ou seja, o valor das variáveis de decisão que levam ao melhor valor</p><p>possível de função objetivo.</p><p>Para apresentar o Solver, vamos resolver o exemplo 2, cujo modelo matemático já te-</p><p>mos e é descrito por:</p><p>1 222 48máxZ x x= +</p><p>Sujeito a:</p><p>1 20,30 0,50 15x x+ ≤</p><p>1 23 4 120x x+ ≤</p><p>1 22 15 x x+ ≤</p><p>1 20 0 x x≥ ≥</p><p>Tabela 02. Coeficientes do modelo matemático do Ex. 2</p><p>COEFICIENTES DE X1 COEFICIENTES DE X2 VALOR TOTAL SINAL LIMITE DA</p><p>RESTRIÇÃO</p><p>22 48 =22x1+ 48x2 Máx</p><p>0,30 0,50 =0,30x1+ 0,50x2</p><p>≤ 15</p><p>3 4 =3x1+ 4x2</p><p>≤ 120</p><p>1 2 = x1+ 2x2</p><p>≤ 15</p><p>Fonte: elaborada pelo autor.</p><p>Observe que na coluna “Valor Total” existe uma fórmula que indica o valor da expres-</p><p>são como um todo. Por exemplo, na segunda linha existe 0,30x1+ 0,50x2 que pode ser</p><p>interpretado como “o valor total de papel alumínio consumido na produção de biscoitos</p><p>de chocolate e doce de leite” e esse valor não pode ser maior do que 15 metros qua-</p><p>drados. Na terceira linha, a expressão 3x1+ 4x2 pode ser lida como “a quantidade total</p><p>de horas na confeitaria utilizadas consumido na produção de biscoitos de chocolate e</p><p>doce de leite”, e esse valor não pode ser maior do que 120 horas. Essa compreensão</p><p>será fundamental no momento de colocar os dados no Excel, pois o primeiro passo ao</p><p>se colocar os dados no Excel será estabelecer essas fórmulas, como indicado na Figura</p><p>07. Repare que na figura, especificamente na coluna F, na qual constam as fórmulas, no</p><p>Excel ficará aparecendo apenas o número zero depois que as fórmulas estiverem colo-</p><p>cadas. Esses campos só assumirão outros valores depois que o MS Solver for rodado.</p><p>Para se colocar o modelo matemático no Excel, é preciso compreendê-lo como uma ma-</p><p>triz, de modo que o coeficiente de cada variável (no caso x1 e x2) fique na mesma coluna.</p><p>28</p><p>1</p><p>Tomada de decisão em negócios</p><p>Fonte: captura de tela elaborada no software Excel pelo autor.</p><p>Observe na Figura 07 que a linha 2 apresenta duas células destacadas (B2 e C2): elas</p><p>são os valores de nossas variáveis de decisão. Essas células vão abrigar os valores</p><p>de x1 e x2 respectivamente quando o Solver encontrar a solução. Usualmente deixamos</p><p>essas células vazias, para serem preenchidas apenas pelo solver.</p><p>Em seguida foi inserida a fórmula SOMARPRODUTO(B2:C2;B3:C3), que nada mais é</p><p>do que a multiplicação da linha 3 (22 e 48) pelos valores que vão aparecer na linha 2</p><p>(valores futuros de x1 e x2). Em seguida, a mesma fórmula é repetida para cada uma</p><p>das restrições. No entanto, nesse caso, na coluna F estão os limites de cada uma das</p><p>restrições, estabelecendo os limites e as condições para atender à função objetivo.</p><p>Uma vez colocado esses valores no Excel, é hora de abrir o Solver. O Solver é um su-</p><p>plemento que, quando instalado, fica disponível na barra de ferramentas, na aba Dados,</p><p>como mostra na Figura 08.</p><p>Figura 07. Passo 1 da modelagem no Excel</p><p>Figura 08. Verificando se o Solver está instalado</p><p>Fonte: captura de tela elaborada no software Excel pelo autor.</p><p>Caso o Solver não esteja instalado, entre em Arquivo > Opções > Suplementos, e en-</p><p>contrará uma imagem como a da Figura 09.</p><p>29</p><p>1</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Fonte: captura de tela elaborada no software Excel pelo autor.</p><p>Selecione “Solver” e aperte o botão “Ir”. Aparecerá uma caixa de diálogo. Nela, selecio-</p><p>ne “Solver” e dê “ok”, como indicado na Figura 10.</p><p>Figura 09. Localizando o Suplemento do Solver</p><p>Figura 10. Instalando o suplemento do Solver</p><p>Fonte: captura de tela elaborada no software Excel pelo autor.</p><p>30</p><p>1</p><p>Tomada de decisão em negócios</p><p>A partir desse momento, o Solver está instalado e disponível na aba Dados. Assim, para usá-</p><p>-lo basta ir em Dados e selecionar Solver, como indicado na Figura 10. O Solver vai abrir em</p><p>uma caixa de diálogo como indicado na Figura 11. Inicie o preenchimento do Solver selecio-</p><p>nando a célula na qual consta o valor total da função objetivo (Figura 11, item 1); no caso do</p><p>exemplo, essa célula é a F3. Em seguida, selecione qual é o tipo de problema que está sendo</p><p>tratado, e você poderá escolher minimizar, maximizar ou atingir um valor específico.</p><p>Figura 11. Preenchendo o Solver</p><p>Fonte: captura de tela elaborada no software Excel pelo autor.</p><p>O próximo item a ser preenchido refere-se às variáveis de decisões, que o Solver chama</p><p>de Células Variáveis. São as células escolhidas para guardar os valores das variáveis</p><p>de decisão: no exemplo são as células D2 e E2, que devem ser selecionadas simultane-</p><p>amente, mantendo o botão esquerdo do mouse ativado enquanto seleciona as células</p><p>(Figura 11, item 2). Analise para saber se deve ou não selecionar o item que indica que as</p><p>variáveis de decisão são não negativas (Figura 11, item 3) e, toda vez, selecione o método</p><p>de solução como o LP SIMPLEX (Figura 11, item 4). Uma vez feito isso, basta colocar as</p><p>restrições. Esse é um momento de muita atenção. Aperte “Adicionar”, como mostrado na</p><p>Figura 12, e uma caixa de diálogo denominada “Adicionar restrição” será aberta.</p><p>Figura 12. Adicionando as restrições no Solver</p><p>1</p><p>2</p><p>3 4</p><p>Fonte: captura de tela elaborada no software Excel pelo autor.</p><p>31</p><p>1</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Dessa forma, como indicado na Figura 12, coloque cada uma das restrições do pro-</p><p>blema. É necessário ter atenção para não clicar no lugar errado. Para cada restrição</p><p>selecione o local onde está a formula do valor total da restrição, selecione o sinal correto</p><p>( ≤; ≥ ou =) e, em seguida, indique a célula referente à coluna “Limite da Restrição”,</p><p>como indicado na Figura 12.</p><p>Uma vez que tudo isso esteja pronto, o preenchimento do Solver está completo e basta</p><p>acionar</p><p>“Resolver”. O Solver vai rodar e indicar se encontrou ou não uma solução viá-</p><p>vel. Atente que, caso nenhuma solução tenha sido encontrada, algumas possibilidades</p><p>devem ser consideradas.</p><p>a. Houve algum erro no preenchimento do Solver: revise-o para verificar se há algum erro.</p><p>b. Pode ter havido um erro no preenchimento da planilha, com dados ou fórmulas erradas.</p><p>c. A modelagem pode estar errada; revise-a.</p><p>d. O problema realmente não tem solução.</p><p>Todas essas possibilidades devem ser consideradas e analisadas. Por isso se diz que</p><p>o processo de resolução deve ter feedback continuado.</p><p>Para o exemplo que está sendo estudado, o Solver encontrou uma solução. Para verificar</p><p>essa solução, escolha “Manter Solução do Solver” e dê “ok”, como visto na Figura 13.</p><p>Figura 13. Aviso de solução encontrada pelo Solver</p><p>Fonte: captura de tela elaborada no software Excel pelo autor.</p><p>Observando a planilha preenchida pelo Solver, na Figura 14, pode-se identificar que a</p><p>solução encontrada para esse problema é X1 = zero e X2 = 7,5. Lembrando que:</p><p>32</p><p>1</p><p>Tomada de decisão em negócios</p><p>x1 = quantidade diária a ser produzida de cookies de chocolates</p><p>x2 = quantidade diária a ser produzida de cookies de doce de leite</p><p>A solução, traduzida para o contexto do problema real, significa dizer que não se deve</p><p>produzir nada de cookies de chocolate e produzir apenas 7,5 kg de cookies de doce de</p><p>leite diariamente.</p><p>Figura 14. Solução encontrada pelo Solver</p><p>Fonte: captura de tela elaborada no software Excel pelo autor.</p><p>Este é momento de fazer uma análise da empresa real. Será que faz sentido não pro-</p><p>duzir biscoitos de chocolates? A empresa estaria disposta a sair desse mercado? Será</p><p>que a melhor solução para a empresa seria não maximizar seu faturamento, mas sim</p><p>manter alguma produção de cookies de chocolates apenas para não perder esse mer-</p><p>cado? Todas essas perguntas não podem ser respondidas apenas com o enunciado</p><p>disponível: é preciso mais informações. Por isso é tão importante a análise crítica da</p><p>resposta encontrada, seja pelo Solver ou qualquer outro método de solução.</p><p>A interpretação da resposta oferecida pelo Solver ainda pode ser aprofundada. Observe</p><p>na coluna D (Valor Total) que existe um dos recursos definindo a produção global, ou</p><p>seja, servindo de gargalo produtivo. Basta comparar a coluna D com a coluna F (Limite</p><p>da Restrição). Na linha referente ao Papel Alumínio, indica-se que 3,75 m2 foram con-</p><p>sumidos de um total disponível de 15 m2. Isto é, existe abundância de papel alumínio</p><p>no processo produtivo. O mesmo acontece com a confeitaria, que consumiu apenas 30</p><p>horas das 120 horas disponíveis. Entretanto, no que se refere à quantidade de pessoas,</p><p>todas as 15 pessoas disponíveis foram utilizadas. Ou seja, caso a empresa decida au-</p><p>mentar a capacidade produtiva global, a primeira ação deve ser contratar mais pessoas.</p><p>Qualquer outra ação que não essa resultaria em mais recursos (mais gastos), porém</p><p>sem qualquer benefício.</p><p>Este tipo de análise é fundamental: quando encontrar uma solução, identifique os recursos</p><p>que estão abundantes e aqueles que estão limitando a performance da função objetivo.</p><p>Agora que já aprendemos como fazer, podemos prosseguir com mais um exemplo. Va-</p><p>mos retornar à Cookies Crocantes Company (CCC), que tem a necessidade de fazer ma-</p><p>nutenção em suas máquinas. A gerente Gabriela Avelar elaborou um modelo de Progra-</p><p>mação Linear (Exemplo 3 – Otimizando a produção biscoitos de chocolates) que segue:</p><p>33</p><p>1</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>1 2 3 4 5 6mínZ x x x x x x= + + + + +</p><p>Sujeito a:</p><p>1 6 5 x x+ ≥</p><p>1 2 8x x+ ≥</p><p>2 3 6x x+ ≥</p><p>3 4 9x x+ ≥</p><p>4 5 15x x+ ≥</p><p>5 6 7x x+ ≥</p><p>{ }0 1, 2, 3, 4, 5, 6 ix i≥ =</p><p>Na Figura 15 identificamos como esse modelo fica no Excel. Observa-se que o coefi-</p><p>ciente que multiplica cada variável é 1, pois 1 2 3 4 5 6x x x x x x+ + + + + é o mesmo que</p><p>1 2 3 4 5 61 1 1 1 1 1x x x x x x+ + + + + .</p><p>Figura 15. Modelo do Exemplo 3 no Excel</p><p>Fonte: captura de tela elaborada no software Excel pelo autor.</p><p>Uma vez que todo o modelo esteja organizado na planilha, abra o MS Solver para colocar</p><p>nele os dados da planilha, como indicado na Figura 16. No campo “Definir Objetivos” sele-</p><p>cione a célula na qual consta a fórmula referente à função objetivo. Selecione “minimizar”,</p><p>uma vez que o problema consiste em encontrar o menor número possível de funcionários.</p><p>No campo “Alterando Células Variáveis” selecione as células referentes às variáveis de</p><p>decisão (que estão vazias). Depois, aperte o botão “Adicionar” para adicionar as restri-</p><p>ções. Em seguida, selecione o método de solução LP Simplex e acione “Resolver”.</p><p>34</p><p>1</p><p>Tomada de decisão em negócios</p><p>Ao rodar o MS Solver, uma solução é encontrada, indicada na Figura 17.</p><p>Figura 16. Solver do Exemplo 3</p><p>Fonte: captura de tela elaborada no software Excel pelo autor.</p><p>Figura 17. Solução do Exemplo 3</p><p>Nessa solução, podemos ver os valores de cada variável de decisão: x1 = 5, x2 = 3, x3</p><p>= 3, x4 = 6, x5 = 9 e x6 = zero. Relembrando o que cada uma dessas variáveis significa:</p><p>1 x Quantidadede funcionários queiniciaram seu dia detrabalhonoturno A=</p><p>2 x Quantidadede funcionários queiniciaram seu dia detrabalhonoturno B=</p><p>3 x Quantidadede funcionários queiniciaram seu dia detrabalhonoturnoC=</p><p>4 x Quantidadede funcionários queiniciaram seu dia detrabalhonoturno D=</p><p>5 x Quantidadede funcionários queiniciaram seu dia detrabalhonoturno E=</p><p>6 x Quantidadede funcionários queiniciaram seu dia detrabalhonoturno F=</p><p>Fonte: captura de tela elaborada no software Excel pelo autor.</p><p>35</p><p>1</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Além dessas informações, sabemos, pela solução do Solver (coluna valor total), que</p><p>teremos 26 funcionários no total, sendo que, no turno A, teremos 5 funcionários traba-</p><p>lhando, no turno B, 8 funcionários, no turno C, 6 funcionários, no turno D, 9 funcionários,</p><p>no turno E, 15 funcionários e no turno F teremos 9 funcionários trabalhando. Atente que</p><p>o valor da variável de decisão refere-se ao número de funcionários que iniciam as ati-</p><p>vidades em cada turno, e analisando a coluna “Valor Total” o que se pode observar é a</p><p>quantidade de funcionários que trabalha em cada turno, lembrando que quem trabalha</p><p>em um turno não é apenas quem começa a trabalhar naquele turno, mas também quem</p><p>começou a trabalhar no turno anterior.</p><p>Podemos fazer o mesmo procedimento para o problema descrito no exemplo 4 – Oti-</p><p>mizando consumo de matérias-primas em uma empresa de vidros planos. O modelo</p><p>desse problema é descrito a seguir:</p><p>1 2 3 4 5 6100 500 50 200 400 600mínZ x x x x x x= + + + + +</p><p>Sujeito a:</p><p>1 3 4 699,71 0,12 1,46 2,7 72,5x x x x+ + + ≤</p><p>1 3 4 699,71 0,12 1,46 2,7 70x x x x+ + + ≥</p><p>1 3 4 60,03 0,02 0,19 0,75 1,5x x x x+ + + ≤</p><p>1 2 3 4 5 60,04 0,02 0,04 0,14 0,01 96,55 0,30x x x x x x+ + + + + ≤</p><p>3 40,39 19,11 5x x+ ≤</p><p>3 40,39 19,11 4x x+ ≥</p><p>2 4 558,41 0,19 43,55 14x x x+ + ≤</p><p>2 4 558,41 0,19 43,55 13x x x+ + ≥</p><p>3 40,03 0,16 1x x+ ≤</p><p>556,19 0,25x ≤</p><p>1 2 3 4 5 60 0 0 0 0 0x x x x x x≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥</p><p>Ao colocar esses dados no MS Solver, proceda como feito nos problemas anteriores.</p><p>Com isso, produzirá uma solução, que pode ser vista na Figura 18.</p><p>36</p><p>1</p><p>Tomada de decisão em negócios</p><p>Fonte: captura de tela elaborada no software Excel pelo autor.</p><p>Dessa forma, podemos observar que todas restrições foram atendidas e que as maté-</p><p>rias-primas 5 e 6 não precisam ser utilizadas, o que resulta não só em economia, mas</p><p>também em uma melhor gestão de estoque e menor inventário, pois são dois itens a</p><p>menos para serem</p><p>controlados.</p><p>CONCLUSÃO</p><p>O uso de mecanismos que auxiliem no processo de tomada de decisão e o de ferramen-</p><p>tas que busquem a otimização dos resultados das empresas é imprescindível para a</p><p>construção de diferenciais competitivos das organizações. Essas organizações, sejam</p><p>empresas privadas ou organizações sem fins lucrativos, cada vez mais vivem em um</p><p>ambiente no qual a escassez de recursos exige mais alta eficiência e a busca incessan-</p><p>te pela melhoria contínua. Assim, as ferramentas de Pesquisa Operacional são valiosos</p><p>instrumentos para todas as organizações.</p><p>É útil lembrar que o uso de ferramentas matemáticas e computacionais não substitui a</p><p>importância da experiência e do talento humano nas atividades de gestão. O processo</p><p>de tomada de decisão beneficia-se dessas ferramentas, mas não é feito por elas. É na-</p><p>tural a tentação inicial de se encarar o resultado gerado por tais ferramentas de Pesqui-</p><p>sa Operacional como a resposta certa, inquestionável. Porém, um modelo matemático</p><p>nunca vai contemplar todas as singularidades do problema real, e somente a experi-</p><p>ência de quem trabalha cotidianamente nas atividades poderá indicar se a solução é</p><p>válida ou não para o mundo real.</p><p>É imprescindível ter como guia os passos indicados de “Definição do problema” com</p><p>a maior análise possível e economicamente viável para a empresa, observando os</p><p>problemas de diferentes perspectivas e deixando claros os objetivos esperados pela</p><p>organização. Em seguida, fazer a “Modelagem Matemática” buscando contemplar os</p><p>aspectos fundamentais do problema, sem, contudo, torná-lo excessivamente complexo</p><p>ou mesmo sem solução, devido ao grande número de restrições e variáveis. Todo mo-</p><p>delo matemático deve ser bom o suficiente para os objetivos da organização e para a</p><p>natureza do processo de tomada de decisão. Nesse aspecto, a experiência de quem faz</p><p>a modelagem e de quem atua no problema são bem valorizadas. A escolha da melhor</p><p>técnica de solução do modelo vai influenciar as análises possíveis de serem feitas e a</p><p>Figura 18. Solução do Exemplo 4</p><p>37</p><p>1</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>aplicabilidade das soluções. A escolha da técnica deve levar em consideração o proble-</p><p>ma real, a natureza do modelo e a fluência dos analistas nessas técnicas.</p><p>Faz parte da solução do problema a sua crítica. Nenhum resultado pode ser validado</p><p>sem passar pela devida crítica, análise e confronto com a realidade. Por fim, a comuni-</p><p>cação dos resultados deve ser feita de modo claro, utilizando a linguagem do problema</p><p>e os aspectos cotidianos das empresas. Por isso, não se diz que “o valor de x1” é tanto,</p><p>mas sim que a quantidade a ser produzida de cookies de chocolate (no caso do nosso</p><p>exemplo) é um determinado valor. Afinal, se é para auxiliar o processo de decisão, não</p><p>faz sentido constar nas comunicações finais informações ou termos que apenas quem</p><p>domina Pesquisa Operacional poderá compreender.</p><p>38</p><p>1</p><p>Tomada de decisão em negócios</p><p>REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS</p><p>AEROPORTO INTERNACIONAL DE SÃO PAULO/GUARULHOS (GRUAIRPORT). Resumo de movimenta-</p><p>ção aeroportuária – RMA. São Paulo, [s. d.]. Disponível em: https://www.gru.com.br/pt/institucional/informa-</p><p>coes-operacionais. Acesso em: 6 abr. 2021.</p><p>HILLIER, Frederick S.; LIEBERMAN, Gerald J. Introdução à Pesquisa Operacional. 8. ed. New York: Mc-</p><p>GrawHill, 2010.</p><p>LACHTERMACHER, Gerson. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões. 3. ed. Amsterdã: Elsevier,</p><p>2007.</p><p>LAWRENCE, John A.; PASTERNACK, Barry A. Applied Management Science: Modeling, Spreadsheet Anal-</p><p>ysis, and Communication for Decision Making. 2. ed. Hoboken: Wiley, 2002.</p><p>MICROSOFT. Microsoft Excel. Versão 6.0: [S. l.]. Microsoft Corporation, 2016.</p><p>PASSOS, Eduardo José Pedreira Franco. Programação Linear como instrumento de Pesquisa Operacio-</p><p>nal. São Paulo: Atlas, 2008.</p><p>TAHA, Hamdy A. Pesquisa Operacional. 8. ed. Londres: Pearson, 2008.</p><p>39</p><p>1</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>40</p><p>Análise dos resultados</p><p>2</p><p>UNIDADE 2</p><p>ANÁLISE DOS RESULTADOS</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>No contexto de um curso de qualquer área de gestão e negócios, a Pesquisa Opera-</p><p>cional oferece um conjunto de instrumentos para auxiliar os tomadores de decisão, no</p><p>nível tático ou estratégico. Os modelos matemáticos e suas resoluções estudados em</p><p>Pesquisa Operacional devem ser entendidos como ferramentas para auxílio no proces-</p><p>so de decisão. São as pessoas que ocupam os cargos de gestão que percebem o valor</p><p>da Pesquisa Operacional, reduzindo tempo de análise de problemas, aumentando a</p><p>produtividade, elevando os índices de assertividade das soluções, melhorando a efici-</p><p>ência produtiva e sua eficácia.</p><p>Para poder usar todo o potencial das soluções advindas da pesquisa operacional, é</p><p>absolutamente imprescindível, no mundo real, fazer uma série de análises e constru-</p><p>ção de cenários após obter os resultados do modelo matemático dos problemas das</p><p>empresas. É pertinente lembrar que os modelos matemáticos são simplificações do</p><p>problema real e, portanto, as respostas advindas dos modelos devem ser analisadas e</p><p>não seguidas de modo acrítico.</p><p>O que é pode alterar em um aeroporto?</p><p>Vamos voltar ao caso do Aeroporto Internacional de São Paulo – Guarulhos (GRU). Vi-</p><p>mos na unidade anterior quantas variáveis estão envolvidas nos processos de decisão</p><p>cotidianos desse tipo de atividade. É presumível que exista um certo grau de incerteza</p><p>em cada uma dessas variáveis. Por exemplo, quanto embarques e desembarques vão</p><p>acontecer não é um número preciso, mas sim uma estimativa que pode sofrer variações.</p><p>Além de incertezas, é frequente que novos fatos (como uma pandemia ou um incidente me-</p><p>teorológico) alterem significativamente as variáveis e, nesse caso, o que faríamos? Teríamos</p><p>que refazer toda a modelagem e a solução? A resposta é não necessariamente. E vamos ver</p><p>isso neste capítulo.</p><p>1. ANALISANDO CENÁRIOS E OS LIMITES DO MODELO</p><p>Denominaremos análise de pós-otimalidade a análise feita após uma solução ótima</p><p>ter sido determinada para a primeira versão do modelo matemático. A análise de pós-</p><p>otimalidade é uma parte extremamente importante nos problemas de Pesquisa Opera-</p><p>cional. Hillier e Lieberman (2010, p. 139) resumem os aspectos típicos da pós-otima-</p><p>lidade em estudos de programação linear, no qual poderão ser definidos os limites do</p><p>modelo, que são:</p><p>41</p><p>2</p><p>U</p><p>ni</p><p>ve</p><p>rs</p><p>id</p><p>ad</p><p>e</p><p>S</p><p>ão</p><p>F</p><p>ra</p><p>nc</p><p>is</p><p>co</p><p>Pesquisa e modelagem operacional</p><p>Nos problemas reais empresariais, os modelos que são elaborados apresentam cente-</p><p>nas – e, às vezes, milhares – de restrições funcionais e variáveis de decisão. Por isso, a</p><p>construção de cenários nos quais possíveis alterações sejam estudadas é muito valioso</p><p>para os processos de tomada de decisão. Após encontrar uma solução ótima para um</p><p>modelo matemático, normalmente recalcula-se em busca de uma solução ligeiramente</p><p>diferente. Vamos ver um exemplo:</p><p>Tarefa:</p><p>A tarefa da análise de pós-otimalidade é promover a depuração do modelo matemático, fa-</p><p>zendo com que ele se torne cada vez mais representativo do problema no mundo real. Isso</p><p>será feito avaliando as estimativas dos parâmetros usados no modelo e o equilíbrio entre</p><p>esses parâmetros, definindo as decisões que podem ser tomadas.</p><p>Propósito:</p><p>Encontrar erros e pontos frágeis no modelo, demonstrando sua validade e determinando as</p><p>variáveis cujas estimativas de valores são cruciais para o problema, indicando a necessidade</p><p>de estudos adicionais.</p><p>Técnicas:</p><p>As técnicas usadas serão a análise de sensibilidade, dos relatórios computacionais e</p><p>definição de cenários a serem explorados.</p><p>Ex. 1 – Incerteza sobre o consumo de recursos</p><p>Uma determinada empresa produz dois tipos de produtos: produto A e produto B, que são vendi-</p><p>dos pelos valores unitários de R$ 57e R$ 34, respectivamente. Na fabricação desses produtos a</p><p>empresa utiliza três recursos críticos: I, II e III, para os quais existe uma disponibilidade diária de</p><p>250, 300 e 450 unidades respectivamente. Para</p>