ListaCap9

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<p>UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ</p><p>DEPARTAMENTO DE FÍSICA</p><p>Mecânica Quântica II – Lista Caps. 9 e 10</p><p>Prof.: Andrey Chaves</p><p>01. Considere um sistema com um hamiltoniano H0 de dois níveis de autoenergia Ea e Eb, representados</p><p>pelos autoestados |a ⟩ e |b ⟩ . Um estado qualquer neste sistema é descrito por</p><p>|Ψ ⟩=ca(t)e</p><p>−iEa t /ℏ|a ⟩+cb( t)e</p><p>−iEb t / ℏ|b ⟩ . O Hamiltoniano é perturbado por um potencial dependente do</p><p>tempo H’(t) tal que ⟨a|H '|a ⟩=⟨ b|H '|b ⟩=0 . Encontre as equações diferenciais às quais ca e cb</p><p>devem satisfazer.</p><p>02. No mesmo sistema do problema anterior, considere um elétron completamente no estado |a ⟩ em</p><p>t = 0. (a) Encontre cb(t) para um tempo posterior dentro da correção de primeira ordem em teoria de</p><p>perturbação. (b) Ao ser iluminado por uma luz de frequência w, qual a probabilidade Pb de se observar</p><p>o elétron em |b ⟩ num tempo posterior se as energias dos estados são tais que Ea < Eb? (c) Qual seria</p><p>a resposta se Ea > Eb (lembre-se que w > 0)? Qual a consequência física do caso anterior? (d) Esboçe</p><p>um gráfico da probabilidade Pb como função de w e como função do tempo. (e) Como seria Pb se a luz</p><p>incidente não fosse monocromática? O que isso nos diz sobre a taxa de decaimento/emissão de luz de</p><p>um estado quântico?</p><p>03. Encontre de forma exata a probabilidade de transição Pab no problema de 2 níveis submetidos a um</p><p>potencial do tipo V(t) = Veiwt/2, considerando ca(0) = 0 e cb(0) = 1.</p><p>04. Resolva o problema 9.11</p><p>05. Encontre as regras de seleção para as transições entre estados com diferentes momentos angulares</p><p>em um átomo de hidrogênio mediadas por uma luz. Isso envolve também resolver o problema 9.13.</p><p>06. Mostre que em um sistema em que o Hamiltoniano H (t) varia lentamente com o tempo, uma</p><p>função de onda num dado autoestado |ψn ⟩ permanece exatamente nesse autoestado para qualquer</p><p>instante de tempo posterior, apesar da sua função de onda ganhar dois termos de fase. A que condição a</p><p>derivada temporal de H (t ) deve obedecer para que isso seja verdade? Quais são os termos de fase</p><p>(dinâmica e geométrica) que aparecem à medida que o tempo passa? Reescreva o termo de fase</p><p>geométrica de forma que fique explícita sua independencia no tempo (nesse caso, o termo só vai</p><p>depender de uma integral sobre um dado caminho no espaço dos parâmetros).</p><p>07. Mostre que a equação de Schrodinger para um elétron sob um campo magnético</p><p>[ 12m ( ℏi ∇−q A⃗)+V ]Ψ=i ℏ ∂Ψ</p><p>∂ t</p><p>,onde A⃗ é o potencial vetor, pode ser reescrita como</p><p>[−ℏ2</p><p>2m</p><p>∇ 2+V ]Ψ '=i ℏ ∂Ψ '∂ t</p><p>, contanto que o potencial vetor seja adicionado como uma fase para a</p><p>função de onda Ψ=e</p><p>iq</p><p>ℏ</p><p>∫0</p><p>r</p><p>A⃗ ( r⃗ ' )d r⃗ '</p><p>Ψ ' . Mostre que a fase de Berry (ou fase geométrica) encontrada na</p><p>questão anterior, quando aplicada sobre o problema de um elétron passando ao redor de um solenoide</p><p>infinito com campo magnético B em seu interior na direção vertical z (ao longo do solenóide), possui a</p><p>mesma forma que esta fase.</p><p>08. Mostre um elétron circulando em torno de um solenóide infinito, com campo magnético B na</p><p>direção vertical z (ao longo do solenóide) em seu interior, possui autoestados de energia que oscilam à</p><p>medida que o campo aumenta, com um período de oscilação Φ/Φ0 , onde Φ é o fluxo magnético</p><p>por dentro do círculo descrito pela trajetória do elétron e Φ0=h/q é o quantum de fluxo.</p>