Exercicio 4-1

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A
B
C
D
E
1 Marcar para revisão
As integrais são poderosas ferramentas da matemática, e são usadas em uma variedade de campos,
desde a física e a engenharia até a economia e a biologia. Determine a massa do sólido contido no
primeiro octante limitada pelos planos coordenados e pelo plano , sabendo que a
densidade do sólido é  .
x + y + z = 2
ρ(x,  y, z) = 2x
1.


.1
3


.
5
3


.2
3


.4
3
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Desenhando os limites de integração:
Ques
Cor
Inco
Em 
1
6
Lista de exercícios Integrais Triplas Sair
A
B
C
D
E
Onde
Ao fixar , temos que  vai variar:
Para entender isso, vamos olhar o plano , que é limitado pelos eixos coordenados e pela
reta   .Para um ponto  determinado, a variável , varia:
A massa é dada por:
Logo,
0 ≤ x ≤ 2
x y
0 ≤ y ≤ 2 − x
xy
y = 2 − x (x, y) z
0 ≤ z ≤ 2 − x − y
m = 4
3
2 Marcar para revisão
Determine o valor da integral onde é o sólido que ocupa a região formada por um
plano de equações e os planos coordenados.
∫ ∫
V
∫  y dxdydz V
x + y + z = 4
4
8
16
32
64
A
B
C
D
E
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
O volume do sólido é dado por .
Portanto, a resposta correta é 32.
V = ∫ ∫
V
∫  1 dxdydz = ∫ 2
0
∫ 2−x
0
∫ 4−x−y
0
1 dydzdx = 8
3 Marcar para revisão
A integração tripla é uma das ferramentas fundamentais para o cálculo de volumes. Determine o
volume de , sabendo que  compreende a região contida dentro do cilindro 
, acima do plano  e abaixo do cone .  
∭  
E
x2dV E x2 + y2 = 1
z = 0 z2 = 4x2 + 4y2


.2π
5


.2
5


.π
5


.5π
2
π.
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Transformando em coordenadas cilíndricas:
Definindo os limites de integração:
Sabemos que  e que , e que a região está dentro do cilindro
 , logo:
(x, y, z) → (r, θ, z)
⎧⎪
⎨
⎪⎩
x = r cos θ
y = r sen θ
z = z
x = r cos θ y = r sen  θ 
x2 + y2 = 1
A
B
C
D
E
Como a região está entre o plano  e abaixo do cone , temos:
Como não temos restrição para o ângulo :
Montando a integral,
Calculando a integral, temos:
Logo,
x2 + y2 ≤ 1
(r cos θ)2 + (r sen θ)2 ≤ 1
r2(cos2 θ + sen2 θ)

1
≤ 1
0 ≤ r ≤ 1
z = 0 z2 = 4x2 + 4y2
0 ≤ z2 ≤ 4x2 + 4y2
0 ≤ z2 ≤ 4(r cos θ)2 + 4(r sen θ)2
0 ≤ z2 ≤ 4r2(cos2 θ + sen2 θ)

1
0 ≤ z ≤ 2r
θ
0 ≤ θ ≤ 2π
4 Marcar para revisão


Determine o valor da integral , onde V está contido na região definida por 
.  
∭
V
 64z dxdydz
{(r,φ, θ) ∈ R3/ 1 ≤ r ≤ 2,  0 ≤ θ ≤  e 0 ≤ φ ≤ }π
4
π
4
10π
15π
20π
25π
30π
A
B
C
D
E
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
O valor da integral tríplice, dada a região definida, é calculado utilizando as coordenadas
esféricas. Ao realizar a integral, considerando os limites de integração dados, chegamos ao valor
de , que corresponde à alternativa B.15π
5 Marcar para revisão


Uma integral tripla é uma extensão de uma integral dupla, que é usada para calcular a área de
superfícies bidimensionais. Dessa forma, calcule a integral .∫ π
0
∫ π
0
∫ π
0
cos (u + v + w) dudvdw


.π
2
π.
2π.


.3π
2
0.
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Integrando de dentro para fora.
Primeiro, integrando em relação ao :
Como a derivada de   pela regra da cadeia é:
Voltado a integral:
Segundo, integrando em relação ao :
u
sen  (u + v + w)
(sen  (u + v + w))
′
= cos  (u + v + w) ∙ (u + v + w) ′ = cos  (u + v + w) ∙ (1 + 0 + 0) =
= cos  (u + v + w)
v
A
B
C
D
E
Terceiro, integrando em relação ao :
Sabendo que  para qualquer 
Logo:
Portanto,
Logo,
sen (kπ) = 0 k ∈ Z
sen (3π) = sen (2π) = sen (π) = sen (0) = 0
= [−sen (3π) + 2sen (2π) − sen (π) − (−sen (2π) + 2sen (π) − sen (0))] = 0
6 Marcar para revisão
A integração é usada em problemas de otimização, como o cálculo de centros de massa e momentos
de inércia. Determine o centro de massa do cubo , cuja
densidade no ponto  é .
0 ≤ x ≤ 1,   0 ≤ y ≤ 1,   0 ≤ z ≤ 1
(x,  y,  z) ρ (x,  y,  z) = x


( , , ) .1
2
1
2
1
2


( , , ) .2
3
2
3
1
2


( , , ) .2
3
1
2
1
2


( , , ) .2
3
2
3
2
3


( , , ) .1
2
2
3
1
2
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
As coordenadas do centro de massa de um sólido são dadas por:
A
B
C
Onde  são os momentos e  é a massa total do sólido.
Calculando a massa m, para um cubo :
Calculando os momentos:
Voltando para o cálculo do centro de massa:
Logo,
x̄ = ; ȳ = ;  z̄ =  
Myz
m
Mxz
m
Mxy
m
M
0 ≤ x ≤ 1,   0 ≤ y ≤ 1,   0 ≤ z ≤ 1
x̄ = = =
Myz
m
1/3
1/2
2
3
ȳ = = =  Mxz
m
1/4
1/2
1
2
z̄ = = =
Mxy
m
1/4
1/2
1
2
(x̄,  ȳ,  z̄) = ( , , )2
3
1
2
1
2
7 Marcar para revisão


Uma integral tripla é uma extensão de uma integral dupla, que é usada para calcular a área de
superfícies bidimensionais. Dessa forma o valor da integral  é  ∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0
x2 + y2 + z2 dzdydx :
1/2.
1.
3/2.
D
E
A
B
C
5/2.
0.
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Primeiro integrando em relação ao z:
Segundo, integrando em relação y:
Terceiro, integrando em relação x:
Logo,
8 Marcar para revisão
A utilização de coordenadas cilíndricas muitas vezes facilita na resolução de integrais. Dessa forma,
calcule o volume , sabendo que  compreende a região contida dentro do
cilindro  e entre os planos  e .  
∭  
E
√x2 + y2dV E
x2 + y2 = 16 z = −5 z = 4
84π.
184π.
284π
D
E
384π.
484π.
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Transformando em coordenadas cilíndricas:
Definindo os limites de integração:
Sabemos que  e que , e que a região está dentro do cilindro
 , logo:
Como não temos restrição para o ângulo :
Montando a integral, multiplicando pelo jacobiano que é :
Calculando a integral, temos:
Logo,
(x, y, z) → (r, θ, z)
⎧⎪
⎨
⎪⎩
x = r cos θ
y = r sen θ
z = z
x = r cos θ y = rsenθ
x2 + y2 = 16
x2 + y2 ≤ 16
(r cos θ)2 + (r sen θ)2 ≤ 16
r2(cos2 θ + sen2 θ)

0≤r≤4
≤ 42
θ
0 ≤ θ ≤ 2π
(r)
9 Marcar para revisão


A integral tripla é denotada como , onde  é a função a ser integrada e  é um
elemento infinitesimal de volume. Dessa forma o valor do volume dado pela integral
  é:
∭ f(x, y, z) dV
∫ 2
1
∫ 1
−1
∫ 2
0
x + y + z dxdydz
A
B
C
D
E
15.
5/2.
26.
10.
1/4.
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Primeiro, integrando em relação ao x:
Segundo, integrando em relação y:
Terceiro, integrando em relação z:
Logo,
10 Marcar para revisão


Uma integral tripla é uma extensão de uma integral dupla, que é usada para calcular a área de
superfícies bidimensionais. Dessa forma o valor da integral  é  ∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0
x2 + y2 + z2 dzdydx :
A
B
C
D
E
1/2.
1.
3/2.
5/2.
0.
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Primeiro integrando em relação ao z:
Segundo, integrando em relação y:
Terceiro, integrando em relação x:
Logo,