Principais tipos de sinais e propriedades dos sistemas invariantes no tempo

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<p>SISTEMAS</p><p>LINEARES</p><p>Dárcio Silvestre Sabbadin</p><p>Principais tipos de sinais e</p><p>propriedades dos sistemas</p><p>invariantes no tempo</p><p>Objetivos de aprendizagem</p><p>Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:</p><p> Interpretar os principais tipos de sinais dos sistemas invariantes no</p><p>tempo.</p><p> Reconhecer as propriedades dos sistemas invariantes no tempo.</p><p> Aplicar as equações dos sistemas invariantes no tempo.</p><p>Introdução</p><p>Segundo Nalon (2014), um sistema é invariante no tempo se, ao se efetuar</p><p>um deslocamento na sequência de entrada desse sistema, o único efeito</p><p>causado na saída for um deslocamento de mesma magnitude. Os sinais</p><p>podem ser analógicos ou discretos, e a sua interpretação depende das</p><p>características de periodicidade, energia e potência. Além disso, é preciso</p><p>considerar se os sistemas em que os sinais são aplicados estão vazios ou</p><p>com carga.</p><p>Assim, o estudo da interpretação de tais sinais e sistemas, juntamente</p><p>com as suas propriedades, auxiliará na aplicação das equações de trans-</p><p>ferências, facilitando o seu entendimento.</p><p>Neste capítulo, você vai estudar os sinais e sistemas invariantes no</p><p>tempo. Inicialmente, vai aprender a interpretar os seus principais tipos.</p><p>Em seguida, vai reconhecer as suas propriedades e aplicar equações a</p><p>esses sistemas.</p><p>Principais tipos de sinais</p><p>dos sistemas invariantes no tempo</p><p>Um sinal é dito periódico se, após um intervalo inteiro ou real, constante,</p><p>denominado de período, a função que o representa repetir as mesmas amostras</p><p>na mesma sequência. Veja a seguir o modelo matemático de um sinal periódico:</p><p>Tal sequência periódica apresentará ainda uma frequência fundamental</p><p>denotada por ω0, que valerá:</p><p>Onde N será o período da função ou sinal.</p><p>Energia</p><p>Energia (Esc) de um sinal contínuo (xsc):</p><p>Energia (Esd) de um sinal discreto x[n]:</p><p>Potência média (Pmsc) de um sinal contínuo:</p><p>Principais tipos de sinais e propriedades dos sistemas invariantes no tempo2</p><p>Potência média (Pmsd) de um sinal discreto x[n]:</p><p>Das relações acima, é imediata a analogia com a lei de Ohm para circuitos</p><p>elétricos, em que a potência dissipada por uma carga é diretamente proporcional</p><p>ao quadrado da tensão elétrica aplicada a ela. Para sinais contínuos, a integração</p><p>está intimamente ligada à área sob determinado período de tempo; e para um</p><p>sinal discreto, a integral é substituída pela serialização das amostras do sinal.</p><p>Assim, retirando a carga, pode-se dizer que se um sinal tem energia não</p><p>nula, a sua potência média será nula (sinal de energia). Por outro lado, se a</p><p>potência do sinal é não nula e finita, então a energia do sinal será conside-</p><p>rada infinita (sinal de potência). Agora pode-se redefinir o conceito de sinal</p><p>periódico, segundo Nalon (2014), um sinal periódico é um sinal de potência</p><p>com energia infinita e potência média não nula.</p><p>Algumas sequências ou funções básicas são úteis ao estudo do processa-</p><p>mento de sinais e auxiliam no entendimento de sistemas invariantes no tempo,</p><p>como impulso unitário, função degrau, exponenciais e senoidais.</p><p>Impulso unitário</p><p>A defi nição de impulso unitário é a seguinte:</p><p>Graficamente, ele é representado como na Figura 1.</p><p>3Principais tipos de sinais e propriedades dos sistemas invariantes no tempo</p><p>Figura 1. Impulso unitário.</p><p>Degrau unitário</p><p>O degrau unitário é defi nido a seguir:</p><p>Graficamente, ele é representado como na Figura 2.</p><p>Figura 2. Degrau unitário.</p><p>Principais tipos de sinais e propriedades dos sistemas invariantes no tempo4</p><p>Exponencial</p><p>Veja a seguir a defi nição de exponencial:</p><p>Se α e A forem números complexos do tipo α = r.e jω, pode-se reescrever</p><p>x(n) da seguinte maneira:</p><p>Assim, aplicando a relação de Euler, temos:</p><p>Onde ω representará a frequência de oscilação do sinal exponencial.</p><p>Em termos discretos, a exponencial pode ser denominada de série geo-</p><p>métrica e é dada por:</p><p>Graficamente, é representada como na Figura 3.</p><p>Figura 3. Exponenciais amortecidas.</p><p>Fonte: Adaptada de Serorion/Shutterstock.com.</p><p>5Principais tipos de sinais e propriedades dos sistemas invariantes no tempo</p><p>Senoides</p><p>Um sinal senoidal é defi nido como:</p><p>Onde ω é a frequência em radianos/segundos e θa fase em radianos.</p><p>Para sinais contínuos, a função senoidal sempre será periódica. Em termos</p><p>discretos, o processo de amostragem pode fazer com que ela seja aperiódica,</p><p>apesar de ser descrita por uma função cosseno.</p><p>Graficamente, veja a Figura 4.</p><p>Figura 4. Função cosseno.</p><p>Na Figura 4, A vale 5, ω vale 10 e a defasagem θ vale π/4 radianos.</p><p>Na Figura 5, estão ilustrados dois possíveis arranjos para sistemas inva-</p><p>riantes no tempo com sinal de entrada x[n] e saída y[n]. O índice n representa</p><p>o tempo, e H é o operador dos sinais ou das funções.</p><p>Principais tipos de sinais e propriedades dos sistemas invariantes no tempo6</p><p>Figura 5. Representação de possíveis sistemas lineares invariantes no tempo.</p><p>Fonte: Adaptada de Nalon (2014).</p><p>Ao termo invariância no tempo é utilizado aqui, mas muitas vezes essa propriedade</p><p>será chamada também de invariância com o deslocamento, porque ainda que</p><p>o índice n indique tempo para sinais elétricos, a propriedade também é definida</p><p>para outras grandezas, por exemplo, o espaço. Assim, seria melhor denotá-la como</p><p>deslocamento, e não como variação no tempo.</p><p>7Principais tipos de sinais e propriedades dos sistemas invariantes no tempo</p><p>Propriedades dos sistemas</p><p>invariantes no tempo</p><p>Memória</p><p>Quando a saída depender da entrada, ou até mesmo da saída, pode-se dizer</p><p>que o sistema apresenta memória. Por exemplo, dado um sistema regido pela</p><p>equação:</p><p>Se k ≠ 0, então o sistema é dito com memória; se k < 0, o sistema é con-</p><p>siderado adiantado.</p><p>Causalidade</p><p>O sistema é dito causal se a saída depender apenas da entrada atual e das</p><p>entradas passadas. Caso ele dependa do sinal no futuro, ele é dito não causal.</p><p>Dado um sistema regido pela equação:</p><p>Ele será causal se k ≥ 0; caso k < 0, o sistema será dito não causal.</p><p>Realimentação</p><p>O sistema é dito realimentado se a saída depender da própria saída. Veja o</p><p>exemplo na Figura 6.</p><p>Figura 6. Sistema realimentado.</p><p>Principais tipos de sinais e propriedades dos sistemas invariantes no tempo8</p><p>Estabilidade</p><p>A instabilidade de um sistema está associada à distorção do sinal de saída,</p><p>tanto analógico quanto discreto. Então, pode se dizer que um sistema é estável</p><p>quando o seu sinal de saída não apresenta distorção. Via de regra, essa resposta</p><p>estável estará dentro de um intervalo de tempo ou amostral fi nito ou limitado.</p><p>Matematicamente, temos:</p><p>Entrada –</p><p>Saída –</p><p>Invertibilidade</p><p>Dada uma saída obtida de certo processamento de sinal, tanto analógico</p><p>quanto digital, se for possível recuperar o sinal da entrada, pode-se dizer que</p><p>o sistema é inversível. Por exemplo:</p><p>Conforme Haykin e Venn (2001), linearidade significa que determinado sistema obedece</p><p>a superposição de sinais e, por conseguinte, a invariância com o tempo significa que</p><p>as características não se modificam com o tempo.</p><p>Note pelas áreas abaixo das curvas que, no sistema linear, a entrada e a saída são</p><p>somas ponderadas de sinais, pois são simétricas. No sistema não linear, a área cai pela</p><p>metade e não tem simetria com o eixo vertical.</p><p>9Principais tipos de sinais e propriedades dos sistemas invariantes no tempo</p><p>Aplicações das equações de sistemas</p><p>invariantes no tempo</p><p>Os sistemas invariantes no tempo podem ser representados por equações dife-</p><p>renciais ordinárias. Tais equações apresentam solução particular e geral. Elas</p><p>podem ser exemplifi cadas por meio de circuitos RLC elétricos ou de qualquer</p><p>outro sistema dinâmico, como sistemas de amortecimento, hidráulicos, etc.</p><p>(LATHI, 2008).</p><p>Por exemplo, um sistema contínuo invariante no tempo pode apresentar a</p><p>seguinte equação diferencial:</p><p>Esta pode ser reescrita da seguinte maneira, ao dividir os dois lados pelo</p><p>coeficiente a:</p><p>Representando-se por blocos básicos, tem-se o diagrama da Figura 7.</p><p>Figura 7. Diagrama de blocos para equação diferencial.</p><p>Em termos discretos, poderia ser denotado da</p><p>seguinte maneira:</p><p>Principais tipos de sinais e propriedades dos sistemas invariantes no tempo10</p><p>Utilizando-se bloco integrador, a equação do sistema invariante no tempo</p><p>fica:</p><p>Onde y(to) é o valor inicial ou a memória do integrador. Essa equação pode</p><p>ser representada pelo diagrama de blocos da Figura 8.</p><p>Figura 8. Diagrama de blocos sistema integrador.</p><p>Outra equação importante aplicada a sistemas invariantes no tempo, sejam</p><p>eles discretos ou contínuos, é a equação da convolução. Para um sistema dis-</p><p>creto, dada uma entrada arbitrária x[n]e uma resposta h[n], a saída convoluída</p><p>será dada pela equação:</p><p>À série acima é dado o nome de soma de convolução ou soma de superposição.</p><p>Para um sistema de tempo contínuo, basicamente a série se transformará</p><p>numa integral:</p><p>Tais equações admitem as propriedades comutativas e distributivas.</p><p>11Principais tipos de sinais e propriedades dos sistemas invariantes no tempo</p><p>Propriedade comutativa:</p><p> Tempo discreto:</p><p> Tempo contínuo:</p><p>Propriedade distributiva:</p><p>A Figura 9 sintetiza de forma gráfica e única os sistemas contínuos in-</p><p>variantes no tempo, exemplificando-os por meio de diagrama de blocos,</p><p>circuitos e equações.</p><p>Figura 9. Sistemas contínuos.</p><p>Fonte: Adaptada de Haykin e Venn (2001).</p><p>x[n]</p><p>x[n]</p><p>x[n]</p><p>Vs Vc</p><p>R</p><p>i C</p><p>v[n]</p><p>y[n]</p><p>y[n]</p><p>Sistema de tempo contínuo</p><p>Sistema de tempo discreto</p><p>Entrada Saída</p><p>Sistema 1 Sistema 2</p><p>ω[n] = x[n]</p><p>Sistema Sistema</p><p>inverso</p><p>Entrada Saída</p><p>Sistema 1</p><p>Sistema 2</p><p>+</p><p>+</p><p>−</p><p>Entrada Saída</p><p>Sistema 1 Sistema 2</p><p>Sistema 4</p><p>Sistema 3</p><p>+</p><p>i[n] = (Vs(n) − Vc(n))</p><p>R</p><p>i(n) = C dvc(n)</p><p>dn</p><p>Principais tipos de sinais e propriedades dos sistemas invariantes no tempo12</p><p>Acesse os links a seguir para entrar em contato com a modernidade do processamento</p><p>digital, que permite flexibilidade e repetibilidade aos sistemas invariantes no tempo</p><p>de forma discreta. Com os vídeos da Unicamp, aprenda um pouco sobre amostragem,</p><p>quantização e “aliasing” dos sinais.</p><p>https://goo.gl/mmBymq</p><p>https://goo.gl/1ybK4a</p><p>https://goo.gl/QUWJLT</p><p>Represente o circuito RC paralelo abaixo pelo seu respectivo diagrama de blocos</p><p>com equações:</p><p>Solução:</p><p>Lembrando que o componente capacitor é um armazenador de cargas, ou seja, um</p><p>integrador da corrente elétrica ou um derivador da tensão, e que ao resistor aplica-se</p><p>a lei de Ohm, tem-se:</p><p>13Principais tipos de sinais e propriedades dos sistemas invariantes no tempo</p><p>https://goo.gl/mmBymq</p><p>https://goo.gl/1ybK4a</p><p>https://goo.gl/QUWJLT</p><p>HAYKIN, S. S.; VENN, B. V. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman, 2001.</p><p>LATHI. B. P. Sinais e sistemas lineares. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2008.</p><p>NALON, J. A. Introdução ao processamento digital de sinais. Rio de Janeiro: LTC, 2014.</p><p>Principais tipos de sinais e propriedades dos sistemas invariantes no tempo14</p><p>Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para</p><p>esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual</p><p>da Instituição, você encontra a obra na íntegra.</p>