mov_bidimensional

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<p>Movimento em duas</p><p>dimensões</p><p>Profa. Paula</p><p>agosto de 2011</p><p>1</p><p>Nossa experiência cotidiana está repleta</p><p>de exemplos de movimentos bi e</p><p>tridimensionais:</p><p>Movimento em duas dimensões</p><p>Estudaremos os movimentos bidimensionais.</p><p>A generalização para movimentos</p><p>tridimensionais é relativamente direta e pode-</p><p>se fazê-la se compreendermos bem os aspectos</p><p>bidimensionais do movimento.</p><p>Os conceitos de vetores e trigonometria serão</p><p>muito importantes e largamente empregados</p><p>no estudo de movimentos em 2D.</p><p>Vamos rediscutir algumas definições em</p><p>cinemática do ponto de vista vetorial...</p><p>∆!r = !rf − !ri = (xf − xi)̂i + (yf − yi)ĵ</p><p>Considerando um sistema de coordenadas x-y para analisar o</p><p>movimento de uma partícula no ponto inicial P no instante ti</p><p>até o ponto final Q ocupado no instante tf</p><p>O ponto inicial P é localizado pelo</p><p>vetor posição:</p><p>O ponto final Q é localizado pelo</p><p>vetor posição:</p><p>O vetor deslocamento da partícula</p><p>indo do ponto P ao ponto Q está dado</p><p>por:</p><p>Vetores posição e deslocamento</p><p>!rf = xf î + yf ĵ</p><p>!ri = xiî + yiĵ</p><p>!vm =</p><p>∆!r</p><p>∆t</p><p>!vm = vxî + vy ĵ =</p><p>∆x</p><p>∆t</p><p>î +</p><p>∆y</p><p>∆t</p><p>ĵ</p><p>!v =</p><p>d!r</p><p>dt</p><p>=</p><p>dx</p><p>dt</p><p>î +</p><p>dy</p><p>dt</p><p>ĵ</p><p>Analogamente, o vetor velocidade média é:</p><p>E o vetor velocidade instantânea:</p><p>Ou seja:</p><p>Vetores velocidade</p><p>!r = !r0 + !vt +</p><p>!a</p><p>2</p><p>t2</p><p>Equação de movimento</p><p>Posição Velocidade</p><p>para simplificar o desenho, !r0 = 0</p><p>O movimento de projéteis sob ação da gravidade é um</p><p>excelente exemplo de movimento bidimensional. Tal</p><p>movimento é conhecido como lançamento oblíquo;</p><p>Partícula se move</p><p>num plano, com</p><p>movimento</p><p>uniformemente</p><p>acelerado em uma</p><p>das direções e com</p><p>velocidade</p><p>constante em outra</p><p>direção.</p><p>Lançamento oblíquo</p><p>Na direção x, o movimento é retilíneo uniforme</p><p>Lançamento oblíquo</p><p>N</p><p>a</p><p>d</p><p>ir</p><p>eç</p><p>ão</p><p>y</p><p>o</p><p>m</p><p>o</p><p>v</p><p>im</p><p>en</p><p>to</p><p>é</p><p>u</p><p>n</p><p>if</p><p>o</p><p>rm</p><p>em</p><p>en</p><p>te</p><p>v</p><p>ar</p><p>ia</p><p>d</p><p>o</p><p>rx = r0,x + vxt</p><p>v y</p><p>=</p><p>v 0</p><p>,y</p><p>+</p><p>gt</p><p>r y</p><p>=</p><p>r 0</p><p>,y</p><p>+</p><p>v 0</p><p>,y</p><p>t</p><p>+</p><p>g 2t2</p><p>Um arqueiro dispara seu arco horizontalmente de</p><p>cima de um morro de 12,0 m de altura. Sabendo que</p><p>a velocidade inicial da flecha é 10,0 m/s, calcule o</p><p>tempo que a flecha leva para chegar ao chão, a</p><p>distância da base do morro que a flecha toca o chão e</p><p>a velocidade escalar da flecha no instante que ela</p><p>toca o chão.</p><p>Exercício</p><p>Lançamento oblíquo</p><p>Se y0 = 0, o alcance do projétil, ou seja, seu</p><p>deslocamento na direção x, pode ser calculado</p><p>por:</p><p>Alcance</p><p>máximo</p><p>ocorre para</p><p>!=45o</p><p>v(t2) =</p><p>√</p><p>v0</p><p>2 + 2y0g</p><p>y1 = y0 +</p><p>v0</p><p>2 sin2 θ</p><p>2g</p><p>∆t = t2 − t0 =</p><p>2v0 sin θ</p><p>g</p><p>A altura máxima y1 corresponde ao ponto da trajetória do projétil</p><p>onde este possui apenas velocidade na direção x (vy = 0), sendo</p><p>dada por:</p><p>Se y0 = 0, o intervalo de tempo "t transcorrido desde o</p><p>lançamento do projétil até seu impacto com o solo (y2 = 0), pode</p><p>ser calculado a partir da equação:</p><p>O módulo da velocidade com que o projétil chega ao solo é dado por:</p><p>Lançamento oblíquo</p><p>Uma pedra é lançada horizontalmente do topo de uma torre de 24</p><p>m de altura e atinge o solo a uma distância de 18 m da base da</p><p>torre.</p><p>a) Determinar a velocidade escalar com que a bola foi lançada;</p><p>b) Determinar a velocidade escalar da pedra no instante em que</p><p>atinge o solo.</p><p>v</p><p>0</p><p>=?</p><p>24 m</p><p>18 m</p><p>y</p><p>x</p><p>Exercício</p><p>Um bombeiro a uma distância d de um prédio em chamas direciona</p><p>o jato d’água num ângulo !i com a horizontal visando apagar as</p><p>chamas. A que altura h do solo o jato d’água atingirá o prédio se sua</p><p>velocidade inicial for vi?</p><p>Halliday & Resnick</p><p>x</p><p>y</p><p>Exercício</p>