GABARITO AV1 - MATEMÁTICA FINANCEIRA

Prévia do material em texto

GABARITO ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM – AVA 1 
Disciplina: Matemática Financeira 
Tutor: Alessandro Bastos 
Aplicação prática – regimes de capitalização 
 
Caro (a) Estudante, 
A Matemática Financeira tem como principal objetivo analisar o comportamento do 
dinheiro em função do tempo, tendo como importante variável a taxa de juros. E tal 
estudo se dá por meio da aplicação dos regimes de capitalização: simples e composto. 
O regime de juros simples é menos utilizado pelo sistema financeiro atual, mas pode ser 
aplicado à cobrança em financiamentos, compras a prazo, impostos atrasados, aplicações 
bancárias, etc. Nesse regime, a taxa de juros é somada ao capital inicial durante o 
período de aplicação. 
Já a capitalização composta consiste na incorporação dos juros do período anterior ao 
capital, para efeito de cálculo dos juros do período seguinte. Este regime é conhecido 
como “juros sobre juros”. 
Objetivando associar essas questões teóricas à prática, e buscando fortalecer a 
capacidade de solução de problemas e avaliação de resultados, seguem instruções para a 
elaboração do primeiro Trabalho da Disciplina (TD), a partir da realização de algumas 
situações propostas práticas e comparativas envolvendo os Regimes de Capitalização de 
Juros Simples e Composto. 
 
A Empresa ABC Construção Ltda, presente no mercado a 10 anos, trabalha na 
construção de unidades habitacionais de populares. Tem como meta, a geração de 
rentabilidade aos sócios e investidores, agindo com ética e profissionalismo no mercado. 
Busca oferecer produtos de baixo custo e acessível aos consumidores, contribuindo com 
a responsabilidade social e ambiental. 
Buscando aumentar a sua área de atuação e cumprir a sua missão empresarial, a empresa 
deverá realizar operações de financiamento no mercado, fazendo para isso algumas 
simulações comparativas dos regimes de capitalização simples e composto. 
 
Você faz parte do setor financeiro da empresa, e recebeu a missão de realizar algumas 
simulações que facilitará o processo de decisão. Nesse sentido resolver as seguintes 
situações propostas, aplicando os regimes de capitalização, apresentando um breve 
parecer para cada uma destas: 
 
 
 
Situação 1 – A Empresa ABC fará um empréstimo no Banco Alfa Investimentos, no valor 
de R$ 250.000,00. O Banco cobra uma taxa de 2,75% ao mês, e a empresa deverá pagar 
ao final de 4 anos. Nesta situação, quanto a empresa pagará de juros e qual será o 
montante a pagar? Demanda-se simular para os dois regimes e analisar 
comparativamente os resultados. 
Situação 2 – Já o Banco Beta Soluções Financeiras ofereceu uma proposta diferenciada 
à ABC Peças. O empréstimo seria no valor de R$ 250.000,00, com uma taxa mensal de 
3,87% ao mês, a ser paga em 3 anos. Nesta situação, quanto a empresa pagará de juros e 
qual será o montante a pagar? Demanda-se simular para os dois regimes e analisar 
comparativamente os resultados. 
A Empresa ABC deve optar por qual instituição? 
E caso optasse por antecipar o pagamento da dívida em 18 meses, e utilizando as 
mesmas taxas de juros, qual Instituição concederia o melhor desconto? (Utilizar o 
Desconto Bancário Composto) 
Situação 3 – Pensando em reduzir o pagamento de Juros, a ABC Peças questiona os 
bancos da seguinte forma: Se pegasse emprestado R$ 200.000,00, pagasse um montante 
total de R$ 280.000,00 após 2 anos, qual seria a taxa de juros cobrada? 
Situação 4 – Outra possibilidade da ABC Peças seria fazer o empréstimo de R$ 
200.000,00, pagando ao final da operação, um montante de R$ 280.000,00, a uma taxa 
de 1,5% ao mês. Quantos meses seriam necessários para quitar essa dívida? Demanda-se 
simular para os dois regimes de capitalização 
RESOLUÇÃO 
Situação 1 – A Empresa ABC fará um empréstimo no Banco Alfa Investimentos, no valor 
de R$ 250.000,00. O Banco cobra uma taxa de 2,75% ao mês, e a empresa deverá pagar 
ao final de 4 anos. Nesta situação, quanto a empresa pagará de juros e qual será o 
montante a pagar? Demanda-se simular para os dois regimes e analisar 
comparativamente os resultados. 
Aplicando o sistema de juros simples 
J = C* i * t 
Observe que o período é de 4 anos o que corresponde a 48 meses 
J= 250.000 * 0,0275 * 48 
J= 330.000 
M = J+ C 
M = 330.000 ++ 250.000 
M = 580.000 
 
 
 
 
Aplicando o Sistema de juros compostos 
M = 𝐶 ∗ (1 + 𝑖)𝑛 
M = 250.000 ∗ (1 + 0,0275)48 
M = 919.322,47 
J = M – C 
J = 919.322,47 – 250.000 
J = 669.322,47 
Situação 2 – Já o Banco Beta Soluções Financeiras ofereceu uma proposta diferenciada 
à ABC Peças. O empréstimo seria no valor de R$ 250.000,00, com uma taxa mensal de 
3,87% ao mês, a ser paga em 3 anos. Nesta situação, quanto a empresa pagará de juros e 
qual será o montante a pagar? Demanda-se simular para os dois regimes e analisar 
comparativamente os resultados. 
Aplicando o sistema de juros simples 
J = C* i * t 
Observe que o período é de 3 anos o que corresponde a 36 meses 
J= 250.000 * 0,0387 * 36 
J= 348.300 
M = J+ C 
M = 348.300 ++ 250.000 
M = 598.300 
Aplicando o Sistema de juros compostos 
M = 𝐶 ∗ (1 + 𝑖)𝑛 
M = 250.000 ∗ (1 + 0,0387)36 
M = 980.809,69 
J = M – C 
J = 980.809,69 – 250.000 
J = 730.809,69 
A Empresa ABC deve optar por qual instituição? 
Nos dois casos simulados o Banco Alfa apresentou as melhores condições 
E caso optasse por antecipar o pagamento da dívida em 18 meses, e utilizando as 
mesmas taxas de juros, qual Instituição concederia o melhor desconto? (Utilizar o 
Desconto Bancário Composto) 
 
 
𝐴𝑛 = 𝑁 ∗ (1 − 𝑛)𝑛 
Para o Banco Alfa o montante é de R$ 919.322,47 eram 48 meses antecipando 18 temos 30 meses 
Enquanto para o Banco Beta é de R$ 980.809,69 eram 36 meses antecipando 18 temos 18 meses 
𝐴𝑛𝛼 = 919.322,47( 1 − 0,0275)30 ⟹ 𝐴𝑛𝛼 = 398.250,33 
 
Desconto total de 919.322,47-398.250,33 = 521.072,11 
𝐴𝑛𝛽 = 980.809,69 (1 − 0,0387)18 ⟹ 𝐴𝑛𝛽 = 481.998,53 
Desconto total de 980.809,69 – 481.998,53 = 498. 811,12 
Sendo o desconto do Banco Alfa ainda maior 
Situação 3 – Pensando em reduzir o pagamento de Juros, a ABC Peças questiona os 
bancos da seguinte forma: Se pegasse emprestado R$ 200.000,00, pagasse um montante 
total de R$ 280.000,00 após 2 anos, qual seria a taxa de juros cobrada? 
Quando não se expressa explicitamente o sistema de capitalização, devemos considerar como o 
sistema de capitalização composto. 
𝑀 = 200.000 ∗ (1 + 𝑖)2 
280.000 = 200.000 ∗ (1 + 𝑖)2 
280.000
200.000
= (1 + 𝑖)2 
1,4 = (1 + 𝑖)2 
(1 + 𝑖) = √1,4 
(1 + 𝑖) ≅ 1,18 
𝑖 ≅ 0,18 
Ou seja i = 18% a.a 
Transformando esta taxa em uma taxa mensal teremos 
(1 + 𝑖𝑚)12 = (1 + 𝑖𝑎)1 
(1 + 𝑖𝑚)12 = (1,18) 
1 + 𝑖𝑚 = √1,1812 
1 + 𝑖𝑚 = 1,014 
𝑖𝑚 = 0,014 
𝑖𝑚 = 1,4 % 𝑎. 𝑚 
 
 
 
Situação 4 – Outra possibilidade da ABC Peças seria fazer o empréstimo de R$ 
200.000,00, pagando ao final da operação, um montante de R$ 280.000,00, a uma taxa 
de 1,5% ao mês. Quantos meses seriam necessários para quitar essa dívida? Demanda-se 
simular para os dois regimes de capitalização 
Sistema de Juros Simples 
J = M-C 
J = 280.000 – 200.000 
J = 80.000 
J = C* i* t 
80.000 = 200.000 * (0,015) * t 
80.000 = 3.000 t 
T = 80.000/3.000 
T = 26 meses e 20 dias 
No sistema de Juros Compostos 
𝑀 = 𝐶 ∗ (1 + 𝑖)𝑛 
280.000 = 200.000 (1 + 0,015)𝑛 
280.000
200.000
= (1,015)𝑛 
1,4 = (1,015)𝑛 
Aplicando ln nos dois membros da igualdade teremos 
ln 1,4 = ln(1,015)𝑛 
ln 1,4 = 𝑛 ∗ ln(1,015) 
0,33647 = 0,015 𝑛 
𝑛 = 22,6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 
𝑛 = 22 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑒 18 𝑑𝑖𝑎𝑠