2007_Viola_dos_Santos_dissertacao - O que alunos da escola básica mostram saber por meio de sua produção escrita em matemática

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<p>JOÃO RICARDO VIOLA DOS SANTOS</p><p>O QUE ALUNOS DA ESCOLA BÁSICA</p><p>MOSTRAM SABER POR MEIO DE SUA</p><p>PRODUÇÃO ESCRITA EM</p><p>MATEMÁTICA</p><p>LONDRINA – 2007</p><p>JOÃO RICARDO VIOLA DOS SANTOS</p><p>O QUE ALUNOS DA ESCOLA BÁSICA</p><p>MOSTRAM SABER POR MEIO DE SUA</p><p>PRODUÇÃO ESCRITA EM</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Dissertação apresentada ao</p><p>Programa de Pós-Graduação</p><p>em Ensino de Ciências e</p><p>Educação Matemática da</p><p>Universidade Estadual de</p><p>Londrina como requisito</p><p>parcial à obtenção do título de</p><p>Mestre.</p><p>Orientadora: Prof. Dra. Regina</p><p>Luzia Corio de Buriasco.</p><p>LONDRINA – 2007</p><p>Catalogação na publicação elaborada pela Divisão de Processos Técnicos da</p><p>Biblioteca Central da Universidade Estadual de Londrina.</p><p>Dados Internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP)</p><p>V795q Viola dos Santos, João Ricardo.</p><p>O que alunos da escola básica mostram saber por meio de sua</p><p>produção</p><p>escrita em matemática / João Ricardo Viola dos Santos. –</p><p>Londrina, 2007.</p><p>108f. : il. + anexo no final da obra.</p><p>Orientador: Regina Luzia Corio de Buriasco.</p><p>Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) −</p><p>Universidade Estadual de Londrina, Centro de Ciências Exatas, Programa de</p><p>Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática, 2007.</p><p>Bibliografia: f. 103-108.</p><p>1. Educação matemática – Teses. 2. Matemática – Estudo e ensino – Teses.</p><p>3. Produção escrita em matemática – Teses. I. Buriasco, Regina Luzia Corio de.</p><p>II. Universidade Estadual de Londrina. Centro de Ciências Exatas. Programa</p><p>de Pós – Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática . III. Título.</p><p>JOÃO RICARDO VIOLA DOS SANTOS</p><p>O QUE ALUNOS DA ESCOLA BÁSICA MOSTRAM SABER POR</p><p>MEIO DE SUA PRODUÇÃO ESCRITA EM MATEMÁTICA</p><p>Dissertação apresentada ao</p><p>Programa de Pós-Graduação em</p><p>Ensino de Ciências e Educação</p><p>Matemática da Universidade</p><p>Estadual de Londrina como</p><p>requisito parcial à obtenção do</p><p>título de Mestre.</p><p>Orientadora: Prof. Dra. Regina</p><p>Luzia Corio de Buriasco.</p><p>COMISSÃO EXAMINADORA</p><p>__________________________________________</p><p>Prof. Dra. Maria Lucia Faria Moro</p><p>Universidade Federal Do Paraná</p><p>__________________________________________</p><p>Prof. Dr. Dario Fiorentini</p><p>Universidade Estadual de Campinas</p><p>__________________________________________</p><p>Prof. Dra. Regina Luzia Corio de Buriasco (Orient.)</p><p>Universidade Estadual de Londrina</p><p>Dedico este trabalho a meu pai</p><p>Filadelfo pela oportunidade de</p><p>aprender com ele os</p><p>“substantivos” dos verbos</p><p>confiar, sonhar e idealizar; a</p><p>minha mãe Neide, pela</p><p>oportunidade de aprender com</p><p>ela os “substantivos” dos verbos</p><p>trabalhar, dedicar e realizar, e a</p><p>minha irmãzinha Mariana, os</p><p>“substantivos” dos verbos sorrir,</p><p>relaxar e aproveitar.</p><p>Agradeço a “Dotora” Regina Buriasco por</p><p>me oportunizar conhecer algumas palavras.</p><p>Só de Sacanagem</p><p>Elisa Lucinda</p><p>Meu coração está aos pulos!</p><p>Quantas vezes minha esperança será posta à prova?</p><p>Por quantas provas terá ela que passar?</p><p>Tudo isso que está aí no ar, malas, cuecas que voam</p><p>entupidas de dinheiro, do meu dinheiro, que reservo</p><p>duramente para educar os meninos mais pobres que eu,</p><p>para cuidar gratuitamente da saúde deles e dos seus</p><p>pais, esse dinheiro viaja na bagagem da impunidade e</p><p>eu não posso mais.</p><p>Quantas vezes, meu amigo, meu rapaz, minha confiança</p><p>vai ser posta à prova? Quantas vezes minha esperança</p><p>vai esperar no cais?</p><p>É certo que tempos difíceis existem para aperfeiçoar o</p><p>aprendiz, mas não é certo que a mentira dos maus</p><p>brasileiros venha quebrar no nosso nariz.</p><p>Meu coração está no escuro, a luz é simples, regada ao</p><p>conselho simples de meu pai, minha mãe, minha avó e</p><p>dos justos que os precederam: "Não roubarás", "Devolva</p><p>o lápis do coleguinha",</p><p>" Esse apontador não é seu, minha filhinha".</p><p>Ao invés disso, tanta coisa nojenta e torpe tenho tido</p><p>que escutar.</p><p>Até habeas corpus preventivo, coisa da qual nunca</p><p>tinha visto falar e sobre a qual minha pobre lógica</p><p>ainda insiste: esse é o tipo de benefício que só ao</p><p>culpado interessará.</p><p>Pois bem, se mexeram comigo, com a velha e fiel fé do</p><p>meu povo sofrido, então agora eu vou sacanear:</p><p>mais honesta ainda vou ficar.</p><p>Só de sacanagem!</p><p>Dirão: "Deixa de ser boba, desde Cabral que aqui todo</p><p>o mundo rouba" e eu vou dizer: Não importa, será esse</p><p>o meu carnaval, vou confiar mais e outra vez. Eu, meu</p><p>irmão, meu filho e meus amigos, vamos pagar limpo a</p><p>quem a gente deve e receber limpo do nosso freguês.</p><p>Com o tempo a gente consegue ser livre, ético e o</p><p>escambau.</p><p>Dirão: "É inútil, todo o mundo aqui é corrupto, desde</p><p>o primeiro homem que veio de Portugal".</p><p>Eu direi: Não admito, minha esperança é imortal.</p><p>Eu repito, ouviram? IMORTAL!</p><p>Sei que não dá para mudar o começo, mas, se a gente</p><p>quiser, vai dá para mudar o final!</p><p>AGRADECIMENTOS</p><p>Agradeço a professora Dra Beatriz S. D’Ambrosio por me receber na</p><p>Universidade de Miami, em Oxford-OH, EUA, por todas as oportunidades de</p><p>aprendizagem que me ofereceu e pela experiência de conviver com uma outra cultura no</p><p>tempo que passei.</p><p>Aos professores doutores componentes da minha banca, Maria Lucia Faria</p><p>Moro, Dario Fiorentini, Ângela Marta P. das Dores Savioli e Márcia Cristina Trindade</p><p>da Costa Cyrino, pela atenção e sugestões que ofereceram ao nosso trabalho.</p><p>Aos meus amigos interlocutores (Zé Ruelas) Julio Faria Correa e Sérgio</p><p>Carrazedo Dantas, por todos os momentos que me ofereceram a falar sobre meu</p><p>trabalho, minhas angústias, minhas idéias, e todas as sugestões por eles realizadas ao</p><p>longo desses dois anos.</p><p>A minha prima Diamila pela convivência, incentivo e companheirismo na</p><p>realização desse trabalho.</p><p>A todos os membros do GEPEMA, pelas discussões, sugestões, estudos, todas as</p><p>oportunidades de aperfeiçoamento desse trabalho e, claro, todos os bolos de chocolates</p><p>que desfrutamos em algumas de nossas alegres e construtivas reuniões.</p><p>A CAPES pela bolsa concedida para que eu pudesse ter dedicação integral a esse</p><p>trabalho e ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação</p><p>Matemática da Universidade Estadual de Londrina.</p><p>Por fim, agradeço a todos que direta ou indiretamente fizeram parte da</p><p>realização dessa investigação.</p><p>VIOLA DOS SANTOS, João Ricardo. O que alunos da Escola Básica</p><p>mostram saber por meio de sua produção escrita em matemática. 2007.</p><p>114 p. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação</p><p>Matemática) – Universidade Estadual de Londrina.</p><p>RESUMO</p><p>O presente trabalho tem por objetivo analisar a produção escrita de alunos na questão</p><p>comum da Prova de Questões Abertas de Matemática da AVA–2002 da 4ª e 8ª séries do</p><p>Ensino Fundamental e da 3ª série do Ensino Médio. A pesquisa é de natureza</p><p>qualitativa, baseada na análise textual discursiva, com a qual analisamos 147 provas.</p><p>Investigamos o modo como alunos lidam com a questão aberta, suas interpretações das</p><p>informações contidas em cada frase do enunciado, as estratégias elaboradas e os</p><p>procedimentos utilizados, o pensamento e a linguagem algébrica, as características dos</p><p>problemas que eles construíram a partir do enunciado da questão e os conteúdos</p><p>escolares que eles mostram saber por meio de sua produção. Propõe o abandono da</p><p>idéia de ‘erro’ para adotar a de ‘maneiras de lidar’. Apresenta uma caracterização do</p><p>pensamento algébrico para análise nas produções escritas. Em relação à interpretação</p><p>dos alunos para o enunciado da questão tem-se que com o aumento da escolaridade eles</p><p>fazem mais e melhores relações entre as</p><p>caminho gerativo no qual esse conhecimento sirva de base</p><p>para o aprendizado da álgebra (p. 137)”. Assim, algumas questões principais para o</p><p>desenvolvimento do raciocínio algébrico, nas séries iniciais, são as discussões das</p><p>diferenças do sinal de igual tanto no campo aritmético quanto no algébrico, o</p><p>desenvolvimento do pensamento relacional entre as expressões numéricas, a construção</p><p>de conjecturas matemáticas e suas representações simbólicas, o trabalho com equações</p><p>com diversas variáveis sendo elas repetidas, a justificação e prova de algumas</p><p>conjecturas matemáticas, a construções de igualdades de múltiplas operações e as</p><p>relações de implicações tanto da aritmética quanto da álgebra (CARPENTER,</p><p>FRANKE e LEVI, 2003). Essas idéias nos permitem tomá-las como as grandes idéias</p><p>que perfazem tanto o conhecimento aritmético quanto o algébrico. A questão principal</p><p>se situa na forma como essa integração é realizada por meio de alguma abordagem da</p><p>Educação Algébrica.</p><p>Os alunos trazem vários conhecimentos matemáticos antes de entrarem na</p><p>escola, e várias generalizações são por eles constituídas no processo de seu</p><p>desenvolvimento cognitivo (BURIASCO, 1988). Valorizar esses conhecimentos, assim</p><p>como apresentar outros em uma negociação de significados produzidos, pode</p><p>oportunizar aprendizagens para os alunos. Nesse processo, acreditamos que o ponto</p><p>chave está na idéia da legitimação (LINS, 2001), para as produções de significados</p><p>produzidos por alunos e professores. A questão é sempre tentar explicitar o que os</p><p>alunos estão entendendo sobre as notações, símbolos e entes matemáticos, para que</p><p>possamos estar, se possível, “falando a mesma língua”15, respeitando e valorizando, ou</p><p>seja, estabelecer um espaço comunicativo. Assim, para a introdução do pensamento e da</p><p>linguagem algébrica, inter-relacionada com o conhecimento aritmético e também, ao</p><p>nosso ver, com o geométrico, é necessário valorizar as maneiras como os alunos</p><p>representam suas expressões e engendram suas generalizações.</p><p>15 Lins e Gimenez (1997) exemplificam como justificações diferentes podem ser produzidas para a</p><p>mesma equação na sala de aula da Professora Tânia e seu esperto aluno, Robertinho.</p><p>36</p><p>Brizuela e Shilemman (2004) introduziram notações algébricas com alunos de</p><p>10 anos de idade por meio de caminhos espontâneos, por eles utilizados para representar</p><p>problemas verbais. Em um estudo longitudinal, um terço dos 70 alunos participantes</p><p>utilizaram uma expressão algébrica para representar o problema. A valorização dos</p><p>conhecimentos que os alunos trazem das suas realidades, e dos modos que eles próprios</p><p>constroem para representar suas idéias matemáticas pode ser um dos pontos de partida</p><p>para a introdução da álgebra nas séries iniciais. Assim, como afirmam Blantom e Kaput,</p><p>a integração do raciocínio algébrico nas primeiras séries oferece uma alternativa para</p><p>construir um desenvolvimento conceitual da matemática, desde muito cedo, mais</p><p>profundo e complexo dentro das experiências dos alunos (2005, p. 413, tradução nossa).</p><p>Carraher, et all (2006), em seus estudos com crianças das séries iniciais, indicam</p><p>que elas podem lidar com conceitos e usar notações algébricas para representar</p><p>problemas abertos que envolvem o uso das estruturas aditivas. Tomando as operações</p><p>como funções e os processos de generalização como o “coração” do raciocínio</p><p>algébrico, seus estudos propiciam alguns exemplos para uma caracterização do ensino e</p><p>da aprendizagem da Educação Algébrica já nas primeiras séries.</p><p>Na perspectiva desses autores, “a aritmética tem um caráter inerentemente</p><p>algébrico o qual diz respeito a casos gerais como estruturas que podem ser sucintamente</p><p>capturadas com a notação algébrica (CARRAHER; et all, 2006, p. 89, tradução nossa)”.</p><p>Em vistas dos exemplos da introdução de uma Educação Algébrica para alunos</p><p>das primeiras séries do Ensino Fundamental, podemos ter duas, entre outras,</p><p>implicações para os alunos das séries posteriores, como bem colocam Lins e Kaput:</p><p>1ª) [os] tópicos que os estudantes tradicionalmente encontrariam nas últimas</p><p>séries já teriam sido estudados. Isso não significa que esses tópicos não serão</p><p>totalmente explorados, mas que nas séries finais poderão existir futuros estudos</p><p>deles, ao invés de uma introdução; 2ª) por isto é razoável supor que expor os</p><p>estudantes para a álgebra, mesmo apenas em alguns aspectos, é comprometer</p><p>mudança no seu pensamento sobre outros tópicos em muitos caminhos (2004, p.</p><p>63).</p><p>Não podemos ficar com a triste ilusão de que nossos alunos não são capazes de</p><p>aprender conteúdos matemáticos que tradicionalmente são oportunizados apenas em</p><p>séries mais avançadas. A álgebra não deveria ser introduzida apenas na sexta série se,</p><p>como vimos, alunos de 10 anos já conseguem resolver equações lineares. Entretanto</p><p>37</p><p>essas idéias têm como conseqüência uma grande reformulação do currículo da Escola</p><p>Básica, que está infelizmente ancorado em conteúdos obsoletos, repetitivos e não nas</p><p>idéias matemáticas que permeiam as diversas áreas – álgebra, aritmética, geometria,</p><p>entre outras. Assim, implantar a Educação Algébrica já nas primeiras séries do Ensino</p><p>Fundamental é uma questão de cunho político e não apenas metodológico.</p><p>3.1 Sobre o pensamento algébrico</p><p>Ancorado em uma tradição pedagógica que implica uma linguagem algébrica</p><p>para sua existência, o pensamento algébrico é pouco discutido nas salas de aula. Essa</p><p>maneira específica de organizar, modelar, pensar e assim constituir contextos é</p><p>geralmente esquecida como conteúdo matemático a ser trabalhado pela grande maioria</p><p>dos professores. Não menos importante que qualquer discussão sobre um outro</p><p>conteúdo matemático, caracterizações do pensamento algébrico, bem como</p><p>detalhamentos de quais atividades podem oferecer oportunidades para o seu</p><p>desenvolvimento, devem estar presentes nas pautas de pesquisa e, também, na prática</p><p>de professores em sala de aula.</p><p>Apresentaremos a seguir algumas caracterizações do pensamento algébrico na</p><p>literatura consultada e, a partir disso, constituiremos uma, a qual julgamos apropriada</p><p>para nossas análises da produção escrita dos alunos.</p><p>Lins (1992) apresenta uma caracterização para o pensamento algébrico, e, para</p><p>ele, pensar algebricamente é,</p><p>(i) pensar aritmeticamente, e</p><p>(ii) pensar internamente, e</p><p>(iii) pensar analiticamente (LINS, 1992, p. 12, nossa tradução).</p><p>De imediato essa caracterização de Lins nos diz que para os alunos pensarem</p><p>algebricamente não é necessário terem alguma notação simbólica, sendo ela literal ou</p><p>não. Para esse autor, o pensamento algébrico é um modo, entre outros, de produzir</p><p>significado para a álgebra (LINS, 1994). Ao afirmar que pensar algebricamente é</p><p>pensar aritmeticamente, ele nos remete “à idéia de modelar com os números” (LINS,</p><p>1992, p.12). Pensar aritmeticamente significa que os objetos com os quais estou lidando</p><p>são exclusivamente os números, operações aritméticas e uma relação de igualdade</p><p>(LINS, 1994). Temos com isso que é no bojo da linguagem aritmética que o pensamento</p><p>algébrico emerge em suas primeiras características.</p><p>38</p><p>Em relação a pensar internamente, Lins (1992) deixa claro que ao se pensar</p><p>algebricamente está se tomando por referência as propriedades das operações. Significa</p><p>que as propriedades destes objetos, que sustentam a ação dos alunos, não fazem</p><p>referência a nada, fora do domínio desses objetos (LINS, 1994). Com isso percebemos a</p><p>existência de modelos não-aritméticos como outros modos de produzir significado</p><p>(LINS, 1992).</p><p>Quanto a essa segunda característica do pensamento algébrico temos que:</p><p>[...] o internalismo /.../ é, precisamente, dirigido a possibilidade para nós de</p><p>distinguir soluções internas, isto é, aquelas produzidas dentro das fronteiras dos</p><p>campos semânticos dos números e das operações aritméticas, e não pela</p><p>manipulação de modelos não-aritméticos (Lins, 1992, p.14).</p><p>Já a última característica do pensamento algébrico, pensar analiticamente, serve</p><p>para caracterizá-lo “como um método de procura das verdades e que no pensamento</p><p>algébrico o desconhecido é tratado como conhecido (Lins, 1992, p.16)”. Significa que</p><p>os números genéricos são tratados exatamente como se fossem específicos; “incógnitas”</p><p>são tratadas exatamente como se fossem “dados” (LINS, 1994).</p><p>Essa caracterização apresentada por Lins (1992, 1994) nos remete a algumas</p><p>implicações. A primeira é que o pensamento algébrico não necessita somente acontecer</p><p>em um contexto de notação simbólica, sendo literal ou não; a segunda é que, nos</p><p>contextos do pensamento algébrico, os números podem ser entendidos somente</p><p>simbolicamente; a terceira implicação é que essa caracterização oferece um quadro</p><p>teórico que possibilita um entendimento das soluções dos alunos; e a última implicação</p><p>diz respeito a um olhar para o pensamento algébrico como mais um modo de</p><p>pensamento, tão importante quanto o pensamento geométrico, combinatório (LINS,</p><p>1992).</p><p>Concernente a essa caracterização, percebemos uma valorização da aritmética</p><p>para o desenvolvimento do pensamento algébrico e que pensar algebricamente é apenas</p><p>uma, entre outras formas de pensar. Acreditamos que investigar essa maneira de pensar</p><p>é de suma importância para fazermos caracterizações para a atividade matemática dos</p><p>alunos.</p><p>Fiorentini, Miorin e Miguel (1993), em sua caracterização do pensamento</p><p>algébrico, apontam os elementos caracterizadores desse tipo de pensamento, sendo eles:</p><p>[...] percepção de regularidades, percepção de aspectos invariantes em contraste</p><p>a outros que não variam, tentativas de expressar ou explicitar a estrutura de uma</p><p>situação problema e a presença de processos de generalização (p. 87)</p><p>39</p><p>Esses mesmos autores definem três fases para o desenvolvimento do pensamento</p><p>algébrico: a pré-algébrica, em que a aluno usa casualmente um elemento considerado</p><p>algébrico, mas ainda não o concebe como um número generalizado; a fase de transição,</p><p>na qual o aluno concebe a existência de um número qualquer, fazendo algumas</p><p>generalizações usando ou não símbolos, e o pensamento algébrico mais desenvolvido,</p><p>em que o aluno concebe a existência de grandezas abertas ou variáveis dentro de um</p><p>intervalo numérico, sendo capaz de expressar e operar com elas (FIORENTINI, et all,</p><p>2005). Percebemos que, para esses autores, o desenvolvimento do pensamento algébrico</p><p>está ligado à apropriação da linguagem algébrica, entretanto ela não determina o</p><p>desenvolvimento, apenas potencializa.</p><p>Essas características do desenvolvimento gradativo do pensamento algébrico</p><p>podem se tornar visíveis com a utilização de várias atividades em vários momentos dos</p><p>alunos na escola. Visto que o nosso material para estudo é a produção escrita de alunos</p><p>da mesma questão, em três séries distintas, poderemos encontrar apenas algumas marcas</p><p>desse tipo de conhecimento.</p><p>Em seus estudos, Bell (1996) como reposta à pergunta - O que é o pensamento</p><p>algébrico? - aponta o seguinte:</p><p>1) a resolução de complexos problemas aritméticos;</p><p>2) a codificação e o uso de métodos sistemáticos gerais para diferentes tipos de</p><p>problemas;</p><p>3) o encontro e a prova de generalizações numéricas e geométricas;</p><p>4) o reconhecimento e o uso de propriedades gerais do sistema numérico e suas</p><p>operações;</p><p>5) o reconhecimento, nomeação, e o uso de funções padrões, por exemplo,</p><p>y = kx2;</p><p>6) o uso de uma linguagem simbólica manipulada (p. 151, nossa tradução).</p><p>Esse mesmo autor afirma que os tópicos 1, 2 e 6 estão ligados à perspectiva da</p><p>resolução de problemas como uma abordagem para a introdução da álgebra escolar.</p><p>Percebemos uma convergência entre essas três caracterizações apresentadas para</p><p>o pensamento algébrico, em razão das primeiras características do pensamento algébrico</p><p>estarem ligadas ao campo da aritmética. Esse é um ponto importante, pois, como</p><p>estamos defendendo uma Educação Algébrica desde as primeiras séries do Ensino</p><p>Fundamental, caracterizar o pensamento algébrico no campo da aritmética nos permite</p><p>pensar no seu desenvolvimento desde muito cedo nas crianças. É possível ver um alto</p><p>40</p><p>nível de desenvolvimento do pensamento algébrico nos alunos, sem que tenha sido</p><p>utilizada uma linguagem usualmente “dita” algébrica.</p><p>Lins e Kaput (2004) fazem duas caracterizações para o pensamento algébrico. A</p><p>primeira “envolve ato de generalização deliberada e expressão de generalidades”, já a</p><p>segunda “envolve, usualmente como um comportamento separado, raciocínio baseado</p><p>em formas de generalizações sintaticamente-estruturadas, incluindo ações guiadas</p><p>sintaticamente e semanticamente (p. 48, tradução nossa)”.</p><p>Lins e Gimenez (1996) definem a atividade algébrica e não o pensamento</p><p>algébrico. Para eles, essa atividade consiste “no processo de produção de significado</p><p>para álgebra”, sendo a álgebra, para eles, um “conjunto de afirmações para as quais é</p><p>possível produzir significado em termos de números e operações aritméticas,</p><p>possivelmente envolvendo igualdade ou desigualdade” (p. 137). Em relação a esse</p><p>processo de produção de significados, para esses autores o pensamento algébrico é uma,</p><p>entre outras, das maneiras de produzir significado para a álgebra.</p><p>Já Blantom e Kaput (2005) e Carraher et all (2006) também não caracterizam o</p><p>pensamento algébrico, mas o raciocínio algébrico. Para Blantom e Kaput (2005), o</p><p>raciocínio algébrico</p><p>[...] é um processo no qual os alunos generalizam idéias matemáticas de um</p><p>conjunto particular de exemplos, estabelecem generalizações por meio do</p><p>discurso da argumentação, e as expressa, cada vez mais, em caminhos formais e</p><p>de idade apropriada (2005, p. 413, nossa tradução).</p><p>Carraher et all (2006), o raciocínio algébrico pode tomar várias formas,</p><p>incluindo:</p><p>a) o uso da aritmética como um domínio pra expressar e formalizar</p><p>generalizações (aritmética generalizada); b) generalização de padrões</p><p>numéricos para descrever relações funcionais (pensamento funcional); c)</p><p>modelagem como um domínio pra expressar e formalizar generalizações, e;</p><p>generalização sobre sistemas matemáticos abstratos de cálculos e relações</p><p>(CARRAHER et all, 2006, p. nossa tradução).</p><p>Em relação a esses autores que falam de atividade algébrica e raciocínio</p><p>algébrico, percebemos que estão mais ligados ao desenvolvimento da atividade</p><p>algébrica como um todo, ou seja, as ações realizadas pelos alunos em relação ao</p><p>aprendizado da álgebra e o seu uso nas diversas situações. Eles enfatizam todo o</p><p>processo da atividade algébrica, desde as primeiras características do pensamento</p><p>41</p><p>algébrico até a utilização de uma linguagem simbólica para estabelecer algumas</p><p>generalizações.</p><p>Moura e Souza (2005), em um estudo sobre o lógico-histórico da Álgebra</p><p>simbólica e não simbólica, listam alguns elementos, historicamente construídos, que</p><p>constituem os nexos conceituais do pensamento algébrico: o conceito de fluência, de</p><p>variável e de campo de variação. Essa caracterização do pensamento algébrico não se</p><p>assemelha às outras que apresentamos anteriormente. Como as próprias autoras</p><p>afirmam, ela abarca alguns elementos primários da dinâmica do pensamento humano</p><p>(MOURA e SOUZA, 2005):</p><p>[...] queremos encontrar regularidades nos movimentos da vida para que</p><p>possamos elaborar generalizações. Queremos criar fórmulas gerais para</p><p>tentarmos compreender os diversos movimentos do mundo. Só conseguimos</p><p>elaborar essas fórmulas quando conseguimos apreender movimentos regulares</p><p>que se apresentam nos fenômenos da vida (p. 33-34).</p><p>Em vista dessas caracterizações para o pensamento ou raciocínio algébrico, e a</p><p>atividade algébrica, acreditamos que precisamos constituir uma, baseada nas</p><p>apresentadas, que nos permita reconhecer na produção escrita dos alunos, que é objeto</p><p>deste estudo, algumas marcas do pensamento</p><p>algébrico.</p><p>O contexto ao qual nossa questão foi aplicada é o escolar. É possível resolver a</p><p>questão com estratégias e procedimentos que geralmente são trabalhados nas escolas.</p><p>Nosso interesse é investigar quais são os conhecimentos matemáticos escolares que os</p><p>alunos mostram saber por meio da sua produção escrita, isto é, quais conteúdos</p><p>matemáticos; também quais estratégias elaboradas e quais procedimentos, que</p><p>geralmente são trabalhados nas escolas, os alunos mostram saber. Assim, partimos das</p><p>caracterizações apresentadas para constituir uma identificável por meio da produção</p><p>escrita.</p><p>Em relação à 4ª e 8ª série do Ensino Fundamental e à 3ª série do Ensino Médio,</p><p>temos que nossos alunos geralmente estão habituados a um contexto no qual os números</p><p>e as quatro operações e algumas estratégias e procedimentos para resolver as questões</p><p>são, de alguma forma, comuns e habituais. Já na 8ª série do Ensino Fundamental e 3ª</p><p>série do Ensino Médio foram oportunizados conhecimentos matemáticos relativos à</p><p>álgebra.</p><p>Assim, por se tratar de uma análise dos conhecimentos matemáticos dos alunos</p><p>do contexto escolar, caracterizaremos o pensamento algébrico pela expressão de um</p><p>processo que envolva alguma relação entre estruturas aritméticas por meio de ações</p><p>42</p><p>sintáticas, que sigam regras procedimentais e formais, e, semânticas, que atribuam</p><p>algum sentido lógico para a relação dessas estruturas. Por estrutura aritmética estamos</p><p>entendendo o resultado da construção do procedimento utilizado na realização de uma</p><p>operação por meio de um enunciado.</p><p>Não apresentamos nada de novo, visto que essa caracterização foi construída a</p><p>partir das apresentadas anteriormente. Entretanto, visto que nossos dados se constituem</p><p>da produção escrita de alunos de três séries, acreditamos que poderemos analisar o</p><p>pensamento algébrico desses alunos por meio dessa caracterização.</p><p>3.2 Sobre uma possibilidade de Educação Algébrica</p><p>Várias abordagens estão sendo desenvolvidas para trabalhar a álgebra escolar. Já</p><p>em 1996, Nadine Bernadz, Carolyn Kieran e Lesley Lee editaram um livro –</p><p>Approaches to Álgebra: Perspectives for Research and Teaching – no qual vários</p><p>autores apresentam suas pesquisas em 4 abordagens: generalização, resolução de</p><p>problema, modelagem e funcional (relativa à função). Cada uma dessas abordagens foca</p><p>uma maneira de trabalhar a álgebra, com pontos positivos e negativos. Acreditamos que</p><p>todas podem coexistir na prática de sala de aula dos professores, pois cada uma dá</p><p>importância a uma maneira de se trabalhar o conhecimento matemático, relativo à</p><p>álgebra.</p><p>Kieran (2004) sintetiza as principais características da educação algébrica</p><p>conceituando a atividade algébrica como: atividade de geração, atividade de</p><p>transformação e atividade de nível meta/global.</p><p>A primeira atividade algébrica, atividade de geração, “envolve a formação de</p><p>expressões e equações que são os objetos da álgebra” (p. 20). Assim, exemplos desse</p><p>tipo de atividade são: a expressão de generalizações a partir de padrões geométricos e</p><p>numéricos; a representação de quantidades por meio de incógnita em situações-</p><p>problema e a expressão de regras de relações numéricas (KIERAN, 2004).</p><p>A segunda atividade, atividade de transformação, diz respeito à parte mecânica e</p><p>operacional da álgebra e</p><p>[...] contém a fatoração, a substituição, a adição ou multiplicação de expressões</p><p>polinomiais, exponenciação, resolução de equações, simplificação de</p><p>expressões, trabalho com equivalência de expressões e equações (KIERAN, p.</p><p>24, 2004, tradução nossa).</p><p>A terceira atividade, a atividade de nível meta/global, caracteriza-se pelo uso da</p><p>álgebra como uma ferramenta na resolução de problemas dos mais variados tipos, tais</p><p>43</p><p>como a modelagem, a generalização, a análise de relações, a justificação, a prova, entre</p><p>outros (KIERAN, 2004). São atividades nas quais a álgebra poderia ser substituída por</p><p>outra ferramenta matemática para a resolução de problemas de modo geral.</p><p>Percebemos que essa conceituação acompanha, em alguns aspectos, o</p><p>desenvolvimento da álgebra nas três fases mencionadas no início deste capitulo. A</p><p>educação algébrica escolar pode, de certo modo, desencadear uma introdução e</p><p>desenvolvimento do conhecimento algébrico dos alunos, por meio dessas três</p><p>atividades.</p><p>Entretanto acreditamos que as atividades devem estar em comunhão com o</p><p>conhecimento aritmético e o geométrico no decorrer da Educação Básica. De fato,</p><p>existem algumas particularidades entre os três que precisam ter seus momentos, para as</p><p>questões procedimentais e operacionais. Porém temos a obrigação de propiciar</p><p>conhecimentos matemáticos aos alunos, direcionado para a constituição de um</p><p>inventário de ferramentas, estratégias e construtos matemáticos para seu</p><p>desenvolvimento intelectual e social.</p><p>Lins e Gimenez (1997) corroboram nossos argumentos afirmando que</p><p>[...] numa proposta para Educação Matemática, a álgebra, a aritmética e a</p><p>geometria, devem ser vistas não como conteúdos justificados por sua própria</p><p>existência, mas como instrumentos que participam da organização da atividade</p><p>humana ( p. 28).</p><p>O pensamento matemático, em particular os pensamentos aritmético, geométrico</p><p>e algébrico, deve ser desenvolvido nos alunos como modo de organizar e constituir</p><p>contextos e realidade. Nesse trabalho analisamos, em relação ao pensamento algébrico,</p><p>quais conhecimentos os alunos mostram saber por meio de sua produção escrita.</p><p>44</p><p>4 ESTRATÉGIA METODOLÓGICA</p><p>Entre as diversas modalidades de pesquisa qualitativa, realizamos neste trabalho</p><p>uma análise textual discursiva (Moraes, 2003; Moraes e Galiazzi, 2006). Segundo esses</p><p>autores, a análise textual discursiva “é uma abordagem de análise de dados que transita</p><p>entre duas formas consagradas de análise de pesquisa qualitativa, que são a análise de</p><p>conteúdo e análise de discurso (p. 118)”.</p><p>Segundo Moraes, a análise textual discursiva</p><p>[...] pode ser compreendida como um processo auto-organizado de construção</p><p>de compreensão em que novos entendimentos emergem de uma seqüência</p><p>recursiva de três componentes: desconstrução do corpus, a unitarização , o</p><p>estabelecimento de relações entre os elementos unitários, a categorização, e o</p><p>captar do novo emergente em que nova compreensão é comunicada e validada</p><p>(2003, p.192; negrito nosso).</p><p>A unitarização, primeira etapa da análise textual discursiva, caracteriza-se por</p><p>uma leitura cuidadosa e aprofundada dos dados em um movimento de separação das</p><p>unidades significativas. Segundo Moraes e Galiazzi (2006), os dados são “recortados,</p><p>pulverizados, desconstruídos, sempre a partir das capacidades interpretativas do</p><p>pesquisador (p. 132)”.</p><p>Nesta primeira fase, uma condição necessária é o estabelecimento de uma</p><p>relação íntima e aprofundada do pesquisador com seus dados. É o momento em que o</p><p>pesquisador olha de várias maneiras para os dados, descrevendo-os incessantemente;</p><p>constrói várias interpretações para um mesmo registro escrito, surgem as unidades de</p><p>significados. Como ressalta Moraes (2003), essa fase se aproxima do caos em um</p><p>processo de extrema desorganização.</p><p>Já a segunda fase, a categorização, caracteriza-se por um “processo de</p><p>comparação constante entre as unidades definidas no processo inicial de análise,</p><p>levando ao agrupamento de elementos semelhantes (MORAES, 2003, p. 197)”. De</p><p>acordo com algum critério, em razão dos objetivos do trabalho, constroem-se as</p><p>categorias por meio dos elementos semelhantes, sendo que a todo o momento elas</p><p>podem ser modificadas e reorganizadas num processo em espiral. Como afirmam</p><p>Moraes e Galiazzi (2006),</p><p>[...] as categorias não saem prontas, e exigem um retorno cíclico aos mesmos</p><p>elementos para sua gradativa qualificação. O pesquisador precisa avaliar</p><p>45</p><p>constantemente suas categorias em termos de sua validade e pertinência (p.</p><p>125).</p><p>Ainda de acordo com esses autores, “a unitarização representa um movimento</p><p>para o caos, de uma desorganização de verdades estabelecidas. A categorização é o</p><p>movimento construtivo de uma ordem diferente do original (p. 125)”.</p><p>Na análise textual discursiva, o processo de categorização das unidades de</p><p>significados caracteriza-se por três propriedades, as quais dizem respeito a: 1ª) validade</p><p>ou pertinência; 2ª) homogeneidade; e 3ª) a não exclusão mútua.</p><p>A primeira propriedade está ligada à representatividade das descrições e</p><p>interpretações feitas dos dados por meio do conjunto de categorias (MORAES, 2003).</p><p>Estas precisam ser válidas e pertinentes aos objetivos da análise, bem como representar</p><p>os dados em relação à fundamentação teórica adotada pelo pesquisador.</p><p>A segunda propriedade diz respeito à homogeneidade, ou seja, “as categorias de</p><p>um mesmo conjunto precisam ser construídas a partir de um mesmo princípio, de um</p><p>mesmo contínuo conceitual (MORAES, 2003, p. 199)”. Sobre essa propriedade, o autor</p><p>ressalta que, dependendo da complexidade dos dados, podemos construir vários</p><p>conjuntos de categorias e subcategorias, entretanto cada conjunto deve ser homogêneo</p><p>(MORAES, 2003).</p><p>A terceira categoria apontada pelo autor diz respeito à “exclusão mútua”.</p><p>Entretanto esse autor não concorda que seja necessário acontecer uma exclusão mútua</p><p>entre as unidades de significado. Moraes (2003) afirma que</p><p>[...] uma mesma unidade pode ser lida de diferentes perspectivas, resultando em</p><p>múltiplos sentidos, dependendo do foco ou da perspectiva em que seja</p><p>examinada. Por essa razão aceitamos que uma mesma unidade possa ser</p><p>classificada em mais de uma categoria, ainda que com sentidos diferentes (p.</p><p>199).</p><p>Nas considerações sobre essa característica, que não é consenso na literatura,</p><p>Moraes afirma que a obrigatoriedade da exclusão mútua para a construção de categorias</p><p>“não se sustenta frente às múltiplas leituras (Moraes, 2003, p. 199)” dos dados, e que</p><p>“isso representa um movimento positivo no sentido da superação da fragmentação, em</p><p>direção a descrições e compreensões mais holísticas e globalizadas (Moraes, 2003, p.</p><p>199)”.</p><p>46</p><p>A terceira e última fase da análise textual discursiva diz respeito à captação do</p><p>novo emergente, ou seja, a construção de um metatexto pelo pesquisador tecendo</p><p>considerações sobre as categorias que ele construiu.</p><p>Segundo Moraes (2003),</p><p>[...] os metatextos são constituídos de descrição e interpretação, representando o</p><p>conjunto um modo de compreensão e teorização dos fenômenos investigados. A</p><p>qualidade dos textos resultantes das análises não depende apenas de sua</p><p>validade e confiabilidade, mas é, também, conseqüência do pesquisador</p><p>assumir-se como autor de seus argumentos (p. 202).</p><p>Nessa fase, o pesquisador se esforça em expressar suas intuições e novos</p><p>entendimentos a partir da sua rigorosa e ostensiva análise dos dados.</p><p>A validade e confiabilidade dos resultados de uma análise, segundo Moraes</p><p>(2003) depende “do rigor com que cada etapa da análise foi construída (p.206)”, uma</p><p>vez que “uma unitarização e uma categorização rigorosas encaminham para metatextos</p><p>válidos e representativos dos fenômenos investigados (p. 206)”.</p><p>Realizamos nossas análises em consonância com esses três momentos da análise</p><p>textual discursiva que acontecem de maneira cíclica e ao longo de todo o processo.</p><p>Levamos nossos dados ao limite do caos, num processo de desorganização para a</p><p>constituição das nossas unidades de significados, constituindo assim a unitarização. A</p><p>partir da busca entre as possíveis relações entre essas unidades, por meio de critérios</p><p>bem estabelecidos, construímos nossas categorias, que descreveremos a seguir sob três</p><p>tipos de critérios. Nesse processo construímos um metatexto, no qual nos assumimos</p><p>por inteiro para tecer algumas considerações sobre a investigação realizada.</p><p>4.1 Da recolha dos dados</p><p>Para o presente trabalho de pesquisa temos como objeto de estudo uma amostra</p><p>da Prova de Questões Abertas de Matemática da Avaliação Estadual de Rendimento</p><p>Escolar do Paraná aplicada em 2002, contendo a produção escrita dos alunos na questão</p><p>comum às três séries avaliadas – da 4ª e 8ª série do Ensino Fundamental e 3ª série do</p><p>Ensino Médio. Apresentamos a seguir a distribuição das questões nas séries avaliadas.</p><p>47</p><p>Distribuição das questões nas séries avaliadas</p><p>4ª Série E.F. 8ª Série E.F. 3ª Série E.M.</p><p>Questão 1 X</p><p>Questão 2 X X</p><p>Questão 3 X X X</p><p>Questão 4 X X</p><p>Questão 5 X</p><p>Questão 6 X</p><p>De todos os alunos que resolveram a AVA-2002, um terço fez uma prova de</p><p>matemática contendo seis questões abertas, enquanto os outros fizeram a prova de</p><p>redação. Uma amostra significativa de 1047 provas foi colhida pela SEED/PR e enviada</p><p>para os estudos do GEPEMA.</p><p>Sendo impossível analisar em um prazo de dois anos essa quantidade de provas,</p><p>foi realizada uma amostra por conveniência dessas 1047 provas. Para compor essa nova</p><p>amostra, foram retiradas as provas dos alunos das três séries que não estavam com a</p><p>relação idade/série adequada, aquelas que continham alguma questão sem resolução -</p><p>em branco. Com isso, por meio de um processo de amostragem sistemática, aplicada a</p><p>cada uma das séries, foram selecionadas 147 provas, sendo 50 provas da 4ª série, 53 da</p><p>8ª série do Ensino Fundamental e 44 da 3ª série do Ensino Médio.</p><p>Em relação às provas da 4ª série do Ensino Fundamental, tínhamos 399 da</p><p>primeira amostra. Destas foram retiradas 83 provas de alunos que não estavam com a</p><p>relação idade/série adequada no momento da realização da prova e mais 6, por não</p><p>apresentarem produção alguma. Assim, depois desses passos, tínhamos 310 provas.</p><p>Com o auxílio da consultora de estatística do projeto de pesquisa16, realizamos uma</p><p>amostragem sistemática de maneira a deixarmos um número de provas em torno de 50,</p><p>pois com esse número poderíamos realizar um estudo dentro de um prazo de dois anos.</p><p>Na composição da amostra significativa da 8ª Série do Ensino Fundamental</p><p>tínhamos 422 provas. Desta foi colhida uma nova amostra para chegar a um número de</p><p>mais ou menos 50 provas. Retiramos 178 provas em que os alunos não estavam com a</p><p>idade/série adequada, sobrando 244 provas. Retiramos também as provas nas quais os</p><p>alunos deixaram uma ou mais questões em branco e, com isso, sobraram 138 provas. A</p><p>16 Professora Dra Tiemi Matsuo, docente do Departamento de Estatística da Universidade Estadual de</p><p>Londrina.</p><p>48</p><p>partir delas, foi então realizada uma amostragem sistemática, deixando um total de 53</p><p>provas dos alunos da 8ª série do Ensino Fundamental para nosso estudo.</p><p>Inicialmente tínhamos 403 provas da 3ª Série do Ensino Médio na amostra</p><p>significativa colhida pela SEED/PR. Desse modo análogo à 4ª e à 8ª série do Ensino</p><p>Fundamental, retiramos as provas que não estavam com relação idade/série adequada e</p><p>as provas que tinham uma ou mais questões em branco. Assim, chegamos ao número de</p><p>221 provas. Realizando uma amostra sistemática, ficamos com um número de 44 provas</p><p>da 3ª série do Ensino Médio.</p><p>4.2 Do caminho percorrido</p><p>Iniciamos nossas análises descrevendo cada uma das resoluções contidas nas</p><p>147 provas que compõem a amostra do nosso estudo. Cada operação, rabisco,</p><p>observações deixadas pelos alunos, ou seja, toda a produção escrita dos alunos em cada</p><p>prova foi detalhadamente descrita. Cada vez que olhávamos para a produção escrita dos</p><p>alunos, conseguíamos fazer uma interpretação algumas vezes diferente da anterior.</p><p>Assim, essa fase se caracterizou pela busca das unidades de significado, ou seja, a</p><p>unitarização. Essa estratégia foi sendo refinada a cada vez que olhávamos para as</p><p>provas, porque mais detalhes das resoluções dos alunos e outras interpretações, eram a</p><p>todo o momento construídas.</p><p>Focamos nossa atenção em cada uma das séries, tentando</p><p>separar as provas pelas</p><p>resoluções que continham semelhanças. Num primeiro momento, depois de muitas idas</p><p>e vindas à produção escrita dos alunos, conseguimos juntar as provas de cada uma das</p><p>séries estudadas em 6 grupos, utilizando alguns critérios preliminares.</p><p>Com base nesses 6 grupos, fizemos uma primeira análise, que denominamos</p><p>descritiva e que gerou um inventário dos procedimentos, das relações entre os dados do</p><p>enunciado, das estratégias utilizadas pelos alunos na resolução da questão estudada.</p><p>Entretanto apenas esse inventário, por si só, mostrou-se insuficiente para uma possível</p><p>caracterização da interpretação do aluno para a resolução da questão. Contudo a</p><p>familiaridade desenvolvida nas muitas leituras da produção escrita para essa análise</p><p>descritiva, resultou em uma outra análise, esta de cunho interpretativo.</p><p>Essa segunda análise, feita a partir do inventário resultante da análise descritiva,</p><p>consiste em construir interpretações baseadas na produção escrita de cada aluno para</p><p>buscar algum entendimento sobre o modo de lidar com a questão. As estratégias, os</p><p>49</p><p>procedimentos utilizados, o levantamento dos dados, as respostas, ou seja, toda a</p><p>produção que se mostra disponível nas provas foi tomada para construir um possível</p><p>entendimento que o aluno teve da questão. Partimos da resolução do aluno, mediante</p><p>um modo lógico e sistemático de leitura, para tentar descobrir qual, possivelmente, foi a</p><p>interpretação que ele fez do enunciado da questão.</p><p>Acreditamos que por meio dessa análise podemos ter uma visão mais ampliada</p><p>do modo como os alunos estão interpretando o enunciado da questão e inferir algumas</p><p>de suas interpretações para cada frase, ou para cada informação contida nela.</p><p>Neste estudo, estamos sempre caracterizando a efetiva produção escrita que foi</p><p>encontrada nas provas, e não o que faltou a ela. Tentamos não caracterizar os alunos</p><p>pela falta, ou seja, evitamos afirmações tais como esse aluno não sabe tal procedimento,</p><p>aquele aluno não interpretou corretamente. Porquanto nossos dados foram retirados da</p><p>produção escrita dos alunos, acreditamos que não podemos dizer, por exemplo, que eles</p><p>não sabem tal coisa apenas pelo fato de não a termos encontrado nas provas. O fato de</p><p>um aluno não usar uma estratégia para resolver o problema não garante que ele a</p><p>desconheça.</p><p>Assim, para investigar o modo como os alunos lidam com uma questão aberta</p><p>construímos nossas interpretações com base na fundamentação teórica adotada e nos</p><p>registros que estão disponíveis na sua produção escrita. Por meio dessa produção,</p><p>inferimos uma possível interpretação que o aluno fez do enunciado da questão, um</p><p>motivo por ter utilizado um determinado procedimento, uma estratégia elaborada para</p><p>resolver a questão.</p><p>Ressaltamos também que nossas inferências, em relação a quais conteúdos</p><p>matemáticos escolares os alunos mostram saber, devem ser tomadas dentro dos limites</p><p>deste trabalho, uma vez que estamos analisando a produção escrita dos alunos apenas</p><p>numa única questão, de uma única prova.</p><p>Interpretamos, atribuímos significados e com isso construímos nosso</p><p>conhecimento tendo a produção escrita dos alunos como ponto de partida. Por meio dos</p><p>registros escritos contidos nas provas, construímos uma interpretação da possível</p><p>interpretação que os alunos fizeram do enunciado da questão, inferimos as estratégias</p><p>que utilizaram, bem como o que eles mostram saber da matemática escolar, que aquela</p><p>específica questão pudesse mostrar.</p><p>Apresentamos no capítulo seguinte uma análise composta de quatro</p><p>agrupamentos. O primeiro diz respeito à maneira como os alunos interpretam o</p><p>50</p><p>enunciado da questão e os procedimentos que utilizam resultantes dessa interpretação.</p><p>Realizamos esse primeiro agrupamento utilizando cada frase do enunciado da questão.</p><p>Formamos oito grupos para cada série, baseados nas interpretações que fizemos sobre a</p><p>maneira de alunos lidarem com o enunciado da questão, a resolução registrada por meio</p><p>dos procedimentos que utilizaram e a apresentação da resposta oriunda desses</p><p>procedimentos. Como resultado, construímos um quadro das estratégias dos alunos.</p><p>Para isso, utilizamos uma tríade de palavras para caracterizar as resoluções encontradas:</p><p>interpreta-resolve-responde17.</p><p>No segundo agrupamento, mediante nossa caracterização, analisamos o</p><p>pensamento algébrico presente na produção escrita dos alunos e estabelecemos cinco</p><p>níveis de desempenho para as três séries. Ao final desse agrupamento apresentamos</p><p>uma discussão a respeito da linguagem algébrica.</p><p>O terceiro agrupamento diz respeito aos problemas resultantes da interpretação</p><p>que os alunos fizeram do enunciado da questão e que de fato resolveram. Contudo não</p><p>apresentamos os enunciados desses problemas, mas algumas das suas características,</p><p>aquelas que foi possível inferir. Fazemos então, uma diferença entre a questão proposta,</p><p>com sua resolução considerada correta pelos organizadores das provas e os problemas</p><p>que os alunos resolveram a partir da interpretação que fizeram do enunciado da</p><p>questão18.</p><p>O último agrupamento diz respeito a quais conteúdos da matemática escolar,</p><p>possíveis de serem envolvidos na resolução da única questão aqui estudada, usualmente</p><p>trabalhados pelos professores, os alunos mostram saber. Nesse agrupamento, como no</p><p>segundo, construímos níveis de desempenho para a produção escrita dos alunos.</p><p>Ao final de cada agrupamento tecemos considerações gerais sobre as três séries</p><p>estudadas. Acreditamos que por meio desses quatro agrupamentos, construídos com</p><p>critérios bem definidos a serem mostrados no capítulo seguinte, respondemos as</p><p>questões colocadas na introdução deste trabalho.</p><p>17 Estamos considerando nesse trabalho estratégia como a maneira pela qual o aluno abordou a questão,</p><p>ou seja, sua interpretação do enunciado, os procedimentos que utilizou oriundos dessa interpretação, e a</p><p>apresentação da resposta oriunda desses procedimentos. Já por procedimentos estamos entendendo os</p><p>algoritmos das operações, as regras algébricas de uma equação, ou seja, os resultados que os alunos usam</p><p>para elaborar a sua estratégia. Uma estratégia é constituída de procedimentos.</p><p>18 No capítulo seguinte mostraremos com mais detalhes essa diferenciação e o seu motivo.</p><p>51</p><p>5 ALGUMA ANÁLISE E RESULTADOS</p><p>Neste capítulo apresentamos uma análise da produção escrita dos alunos</p><p>encontrada na questão comum às provas das três séries avaliadas na AVA-2002, que</p><p>compuseram a amostra estudada, feita a partir de quatro agrupamentos:</p><p>1) das estratégias;</p><p>2) do pensamento e da atividade algébrica;</p><p>3) dos problemas construídos a partir do enunciado da questão;</p><p>4) dos conteúdos matemáticos que os alunos mostram saber.</p><p>Esta análise, que não é a única possível, focalizou esses quatro agrupamentos que</p><p>não são independentes, nem excludentes. Entretanto preferimos focar cada aspecto da</p><p>produção escrita a ser analisado em um momento especifico.</p><p>5.1 Agrupamento pela estratégia</p><p>Nesse primeiro agrupamento de nossa análise as provas foram reunidas</p><p>independentemente da série, de acordo com os seguintes critérios: a) a interpretação que</p><p>o aluno faz de cada frase da questão; b) quais procedimentos eles utilizam oriundos da</p><p>maneira como interpretaram a questão e c) a resposta que apresentaram. Buscando</p><p>descrever a estratégia construída pelo aluno ao resolver a questão utilizamos uma</p><p>expressão composta por uma tríade de palavras, interpreta-resolve-responde</p><p>Os resultados de estudos anteriores (NAGY-SILVA, 2005; PEREGO, 2005,</p><p>OLIVEIRA, 2005, PEREGO, 2006; NEGRÃO DE LIMA, 2006; ALVES, 2006)</p><p>mostraram que a grande dificuldade dos alunos apresenta-se na interpretação do</p><p>enunciado da questão, portanto, procuramos desvelar como os alunos lidam com isso.</p><p>Nossa questão tem o seguinte enunciado:</p><p>Um carteiro entregou 100 telegramas em 5 dias.</p><p>A cada dia, a partir do primeiro,</p><p>entregou 7 telegramas a mais que no dia anterior. Quantos telegramas entregou</p><p>em cada dia?</p><p>Separando cada frase da questão tentamos explicitar as informações que nelas</p><p>estão contidas e depois, por meio de uma interpretação da produção escrita dos alunos,</p><p>52</p><p>buscamos conhecer as conexões que os alunos fizeram entre as informações contidas</p><p>nas frases e caracterizar os seus modos de interpretação.</p><p>1ª Frase:</p><p>Um carteiro entregou 100 telegramas em 5 dias</p><p>� � �</p><p>verbo no</p><p>passado que</p><p>indica uma</p><p>ação já</p><p>realizada</p><p>quantidade de</p><p>telegramas</p><p>entregue</p><p>número de dias</p><p>em que os</p><p>telegramas</p><p>foram</p><p>entregues</p><p>Podemos notar que a primeira frase da questão informa a quantidade de</p><p>telegramas e em quantos dias eles foram entregues. O carteiro entregou apenas 100</p><p>telegramas nos cinco dias. O tempo do verbo no passado é um fator importante, pois em</p><p>muitas provas, como veremos, não há indícios dessa informação na resolução da</p><p>questão, ou seja, que os alunos consideraram que o carteiro entregou apenas 100</p><p>telegramas no decorrer dos cinco dias.</p><p>2ª Frase:</p><p>A cada dia,</p><p>a partir do primeiro,</p><p>entregou 7</p><p>telegramas</p><p>a mais que no dia anterior</p><p>� � � �</p><p>em todos os</p><p>dias o carteiro</p><p>entregou uma</p><p>certa</p><p>quantidade de</p><p>telegramas</p><p>o carteiro entregou</p><p>7 telegramas a mais</p><p>a partir do 1° dia e</p><p>não no 1° dia</p><p>expressão que indica</p><p>a recorrência, ou seja,</p><p>a ‘regra’segundo a</p><p>qual foi feita a</p><p>entrega dos</p><p>telegramas em cada</p><p>dia</p><p>o carteiro entregou</p><p>mais telegramas no 2º.</p><p>dia do que no 1º. dia;</p><p>mais telegramas no 3º.</p><p>dia do que no 2º. dia;</p><p>mais telegramas no 4º.</p><p>dia do que no 3º. dia;</p><p>mais telegramas no 5º.</p><p>dia do que no 4º. dia;</p><p>53</p><p>A frase toda indica que o número de telegramas entregues em cada dia, a partir</p><p>do primeiro, depende da quantidade entregue no dia anterior começando no segundo,</p><p>conforme mostrado no diagrama a seguir.</p><p>Dias 1° 2° 3° 4° 5°</p><p>Telegramas 6 13 20 27 34</p><p>6 + 7 13 + 7 20 + 7 27 + 7</p><p>Na segunda frase, temos a indicação de qual foi à distribuição da quantidade de</p><p>telegramas que o carteiro entregou em cada dia. Essa frase indica a idéia de recorrência,</p><p>necessária para os alunos resolverem a questão da maneira considerada correta.</p><p>Notamos que a frase contém uma expressão explicativa – a partir do primeiro – o que</p><p>acreditamos não ser usual na escrita dos alunos, principalmente na 4ª e 8ª séries do</p><p>Ensino Fundamental.</p><p>Como veremos a seguir essa informação da segunda frase foi interpretada de</p><p>diferentes maneiras pelos alunos.</p><p>3ª Frase:</p><p>Quantos telegramas entregou em cada dia?</p><p>�</p><p>Indica o que é desconhecido no problema, e, por conseguinte, indica aquilo que o aluno</p><p>por meio das informações contidas nas duas frases anteriores deve apresentar como</p><p>resposta à questão.</p><p>A terceira frase indica o que é desconhecido, ou seja, qual o número de</p><p>telegramas entregues em cada dia, enquanto as duas primeiras frases contêm</p><p>informações que devem ser relacionadas entre si para que a questão possa ser resolvida</p><p>da maneira considerada correta.</p><p>Apresentamos a seguir considerações a respeito da estratégia que os alunos</p><p>elaboraram, o modo como interpretaram a questão, e os procedimentos que utilizaram.</p><p>para cada série estudada e, depois, para todas juntas.</p><p>5.1.1 Da produção escrita encontrada nas provas da 4ª série do Ensino</p><p>Fundamental.</p><p>54</p><p>Nas provas da 4ª série encontramos um número muito elevado de resoluções que</p><p>parecem apresentar uma interpretação do enunciado da questão diferente da considerada</p><p>correta. Nossa análise indica que o grande problema está na interpretação da segunda</p><p>frase. Apenas 6 alunos responderam a questão corretamente, entretanto muitos alunos</p><p>construíram uma estratégia de resolução, diferente da considerada correta, e</p><p>apresentaram uma resposta. Com isso, inferimos que provavelmente esses alunos</p><p>acreditaram que estavam resolvendo a questão da maneira correta.</p><p>Das 50 provas de 4ª série que compõem nossa amostra de estudo, agrupamos 47</p><p>provas em 8 grupos sobre os quais fizemos nossas análises. Três provas ficaram fora</p><p>desses grupos, pois não se enquadravam nas características deles, mesmo assim elas</p><p>serão discutidas.</p><p>55</p><p>Tabela 1 - Análise Interpretativa da produção escrita dos alunos da 4ª série do Ensino Fundamental.</p><p>Interpretação feita pelo aluno Procedimentos</p><p>Grupos(N) da 1ª. frase: Um carteiro entregou 100</p><p>telegramas em 5 dias.</p><p>da 2ª. frase: A cada dia, a partir do</p><p>primeiro, entregou 7 telegramas a mais</p><p>que no dia anterior.</p><p>G1 (11) O carteiro entregou 100 telegramas em</p><p>cinco dias.</p><p>Não há registro na resolução que indique</p><p>alguma interpretação.</p><p>Faz uma divisão (100 5 20÷ = ) e</p><p>apresenta o resultado como resposta.</p><p>G2 (8)</p><p>O carteiro entregou 100 telegramas em</p><p>cinco dias.</p><p>O número de telegramas aumenta e é o</p><p>mesmo para cada um dos cinco dias.</p><p>Faz uma divisão (100 5 20÷ = ).</p><p>Adiciona ou multiplica 7 ao resultado do</p><p>primeiro procedimento.</p><p>G3 (4)</p><p>O carteiro entregou 100 telegramas em</p><p>cada um dos cinco dias.</p><p>O número de telegramas aumenta e é o</p><p>mesmo para cada um dos cinco dias.</p><p>Faz uma multiplicação de 5 por 100.</p><p>Adiciona ou multiplica 7 ao resultado do</p><p>primeiro procedimento.</p><p>G4 (3) O carteiro entregou 100 telegramas em 5</p><p>dias.</p><p>O número 7 é o número de dias.</p><p>Faz uma divisão (100 7 14÷ = ) e</p><p>apresenta o resultado como resposta.</p><p>G5 (2)</p><p>O carteiro entregou 100 telegramas em 5</p><p>dias.</p><p>Em pelo menos um dos cinco dias o</p><p>número de telegramas é diferente.</p><p>Aumenta 7 a partir do primeiro dia (idéia</p><p>de recorrência), ou aumenta 7 apenas no</p><p>primeiro dia.</p><p>G6 (6)</p><p>O carteiro entregou 100 telegramas em</p><p>cinco dias.</p><p>A cada dia, a partir do primeiro, ele</p><p>entregou sete a mais que no dia anterior.</p><p>Apresenta uma resposta considerada</p><p>correta do problema, usando tentativa e</p><p>erro e estratégias aritméticas</p><p>direcionadas.</p><p>G7 (5)</p><p>O aluno retira arbitrariamente dados do</p><p>problema e opera com eles.</p><p>Adiciona os números na ordem em que</p><p>aparecem, ou, adiciona 5 a 7, ou</p><p>multiplica 7 com 5.</p><p>G8 (8) Não foi possível construir uma</p><p>interpretação para essas provas.</p><p>56</p><p>No grupo 1 temos 11 provas. Nele os alunos resolveram a questão dividindo</p><p>corretamente 100 por 5 e apresentaram o resultado dessa operação como resposta: “o</p><p>carteiro entregou 20 telegramas em cada dia.” Podemos inferir que, de alguma forma,</p><p>esses alunos interpretaram apenas a primeira e a terceira frase da questão. Não há</p><p>registros na sua produção escrita de alguma interpretação da segunda frase, a qual</p><p>informa a maneira como o carteiro entregou os telegramas. Assim, provavelmente, os</p><p>alunos acreditaram ter resolvido corretamente o problema. O enunciado da questão com</p><p>a interpretação apenas da primeira e da segunda frase, poderia ser esta:</p><p>Problema: Um carteiro entregou 100 telegramas em 5 dias.</p><p>Εµ χαδα δια, α παρτιρ δο πριµειρο, ελε εντρεγου 7 τελεγραµασ α µα</p><p>ισ θυε νο δια αντεριορ. Quantos telegramas ele entregou em cada dia?</p><p>Figura 1 – Resolução presente na prova 4LO1091</p><p>Nesse grupo ainda temos uma prova em que o aluno apresentou a ‘prova real’ da</p><p>operação de divisão que realizou, o que nos confirma nossa caracterização de que para</p><p>esses alunos essa estratégia resolvia o problema.</p><p>O grupo 2 é composto por 8 provas que apresentam resoluções nas quais a</p><p>segunda frase interfere apenas na adição do número 7 ao resultado da divisão de 100 por</p><p>5. A interpretação do aluno, da segunda frase, se faz a partir da palavra-chave, 7 a mais.</p><p>Assim, não há registros nas provas de que os alunos levaram em conta a informação da</p><p>primeira frase, que indicava que o número de telegramas entregue pelo carteiro foi de</p><p>apenas 100 e não 135.</p><p>Figura 2 – Resolução presente na prova 4CO315</p><p>57</p><p>Temos também, uma</p><p>prova em que o aluno divide corretamente 100 por 5 e</p><p>apresenta como resposta “27 telegramas”. Não está em sua prova a adição de 20 com 7,</p><p>entretanto podemos inferir que realizou esse cálculo mentalmente o que nos apresenta</p><p>mais indicativos do uso da palavra chave.</p><p>Figura 3 – Resolução presente na prova 4L5135</p><p>Já em outra prova, o aluno divide corretamente 100 por 5; adiciona corretamente</p><p>7 ao resultado, adiciona corretamente cinco vezes o número 27 e não apresenta registro</p><p>de resposta. Inferimos que esse aluno percebeu que o carteiro entregou apenas 100</p><p>telegramas e não 135, o que nos mostra que o aluno fez uma relação entre a informação</p><p>contida na primeira frase do problema e sua estratégia.</p><p>Figura 4 – Resolução presente na prova 4L10021</p><p>O grupo 3 apresenta 4 provas, nas quais os alunos interpretaram que o carteiro</p><p>entregou 100 telegramas em cada um dos cinco dias. Na prova a seguir, o aluno</p><p>multiplica corretamente 100 por 5 e adiciona a esse resultado 7, apresentando este</p><p>último como resposta. Mais uma vez a interpretação que o aluno faz da segunda frase</p><p>foca apenas na palavra-chave, 7 a mais.</p><p>58</p><p>Figura 5 – Resolução presente na prova 4LO5155</p><p>Em outra prova do mesmo grupo, o aluno multiplica 100 por 5 e, ao resultado</p><p>500 multiplica 7 apresentando como resposta. Podemos inferir que a interpretação desse</p><p>aluno da segunda frase é de que o carteiro entregou 7 vezes o número de telegramas,</p><p>que já era 500, em cada um dos 5 dias.</p><p>Figura 6 – Resolução presente na prova 4CO3094</p><p>No grupo 4 encontram-se 3 provas nas quais os alunos interpretaram que o</p><p>carteiro entregou 100 telegramas divididos em cinco dias. Entretanto esses alunos</p><p>tomaram o número 7, que indica a quantidade de telegramas que o carteiro entregou a</p><p>mais em cada dia, a partir do primeiro, como sendo o número de dias e fizeram uma</p><p>divisão de 100 por 7, apresentando o resultado como resposta.</p><p>Figura 7 – Resolução presente na prova 4CO3096</p><p>Uma possível causa para a utilização dessa estratégia é que esses alunos</p><p>interpretaram que se tratava de uma questão que envolvia a divisão de telegramas.</p><p>Como eles também sabem que em uma divisão de números naturais sempre o número</p><p>59</p><p>menor é o divisor, e como aparece o número 7 no enunciado da questão, concluíram que</p><p>ele era o divisor.</p><p>No grupo 5 temos 2 provas nas quais o número de telegramas entregues pelo</p><p>carteiro em pelo menos um dia é diferente. Notamos que nesse grupo os alunos fizeram</p><p>uma interpretação da segunda frase um pouco mais próxima da considerada correta. Na</p><p>prova 4CO3119, apresentada a seguir, o aluno divide 100 por 5; conclui que o resultado</p><p>é o número de telegramas do primeiro dia e, a partir dele, adiciona 7 para encontrar o</p><p>número de telegramas dos outros quatro dias. Nessa prova vemos um entendimento da</p><p>idéia de recorrência. Apenas não há registros de que o aluno tenha notado que o carteiro</p><p>entregou um total de 100 telegramas e não de 170.</p><p>Figura 8 – Resolução presente na prova 4CO3119</p><p>Em outra prova desse grupo, o aluno também inicia sua resolução dividindo 100</p><p>por 5, mas apresenta como resposta que o carteiro entregou 7 telegramas a mais no</p><p>primeiro dia e nos outros ele entregou 20 telegramas. Podemos inferir que a</p><p>interpretação da segunda frase para esse aluno foi que apenas no primeiro dia o número</p><p>de telegramas aumentou.</p><p>Figura 9 – Resolução presente na prova 4CO4034</p><p>No grupo 6 temos 6 provas dos alunos que resolveram corretamente a questão.</p><p>Em 5 provas os alunos apresentaram a resposta correta do problema e uma adição dos</p><p>números de telegramas entregues em cada dia como uma verificação. A estratégia</p><p>60</p><p>utilizada por eles, provavelmente, foi de tentativa e erro, o que era esperado para essa</p><p>série.</p><p>Apenas um aluno apresenta a adição incorreta dos números de telegramas e, com</p><p>isso, uma resposta também incorreta para o problema. Entretanto consideramos, ainda</p><p>assim, que essa prova pertence no grupo 7 pois percebemos que a interpretação do</p><p>enunciado da questão e sua estratégia foram feitas da maneira considerada correta. Só a</p><p>maneira como adicionou o número de telegramas de cada dia, e com isso também sua</p><p>resposta, ou seja, seu procedimento, foi diferente da considerada correta.</p><p>Figura 10 – Resolução presente na prova 4LO5147</p><p>Outro aluno desse grupo apresentou uma estratégia aritmética direcionada19,</p><p>subtraindo corretamente 70 de 100, e dividindo corretamente o resultado 30 por 5,</p><p>encontrando assim o número de telegramas entregues no primeiro dia. Notamos que o</p><p>número 70 vem da adição dos 7 telegramas a mais que o carteiro entregou em cada dia,</p><p>a partir do primeiro. ( 2° dia: 7 ; 3° dia: 14; 4° dia: 21; e, 5° dia: 28; adicionando todos</p><p>os telegramas entregues a mais, temos o número 70).</p><p>19 Estamos chamando de estratégia aritmética direcionada, neste trabalho, aquela que o aluno parece saber</p><p>quais procedimentos deve utilizar para obter a resposta da questão. Esses procedimentos são utilizados de</p><p>uma maneira encadeada, sistemática e lógica, possivelmente por meio de um raciocínio abdutivo,</p><p>considerado aqui como aquele que envolve um “chute”, mas com algum conhecimento de causa.</p><p>61</p><p>Figura 11 – Resolução presente na prova 4CO8019</p><p>O grupo 7 contém as 5 provas nas quais os alunos operaram os dados que</p><p>aparecem no enunciado da questão. Eles adicionam ou multiplicam esses números e</p><p>apresentam suas respostas oriundas dessas operações. Na prova 4CO8009, o aluno</p><p>adicionou 100 a 5 e a 7, apresentando esse resultado como resposta do problema.</p><p>Podemos notar que esses dados encontram-se na ordem em que aparecem no enunciado</p><p>da questão. Com isso podemos inferir que, para esse aluno, resolver a questão é</p><p>adicionar todos os números na ordem em que aparecem e apresentar a resposta.</p><p>Figura 12 – Resolução presente na prova 4CO8009</p><p>No último grupo da 4ª série temos 8 provas para as quais não foi possível</p><p>construir uma interpretação para a produção escrita nelas contidas. Essas provas</p><p>caracterizam-se por não apresentar resposta ou algumas relações entre os dados do</p><p>enunciado da questão, das quais não conseguimos atribuir algum sentido lógico.</p><p>Ressaltamos que essa é uma limitação nossa em relação a construir interpretações dos</p><p>registros escritos dos alunos. Mas também uma limitação desse tipo de análise.</p><p>Figura 13 – Resolução presente na prova 4CO3058</p><p>Três provas que não foram alocadas nos grupos apresentados anteriormente por</p><p>não terem características comuns a eles. Assim, analisaremos essas provas uma a uma,</p><p>62</p><p>começando com a prova 4LO5129, na qual o aluno faz uma interpretação da segunda</p><p>frase considerando que o carteiro entregou 35 telegramas a mais nos cinco dias. Ele</p><p>multiplica, corretamente, 7 por 5 e adiciona, corretamente, esse resultado com 100</p><p>encontrando o total de telegramas, 135, que segundo sua interpretação, o carteiro</p><p>entregou. A seguir divide, corretamente, 135 por 5 e apresenta o resultado, 27, como</p><p>resposta da questão.</p><p>Figura 14 – Resolução presente na prova 4LO5129</p><p>Na prova 4CO2013, o aluno adiciona, corretamente, 100 com 7 e apresenta o</p><p>resultado como resposta da questão. Podemos inferir que ele fez uma interpretação da</p><p>primeira frase na qual o carteiro entregou 100 telegramas em cada um dos cinco dias.</p><p>Da segunda frase, faz uma interpretação, provavelmente ligada a palavra-chave, 7 a</p><p>mais, aumentando em 7. Para esse aluno, o número de telegramas entregue em cada um</p><p>dos cinco dias é o mesmo.</p><p>Figura 15 – Resolução presente na prova 4CO2013</p><p>Na prova 4CO3053b o aluno adiciona corretamente 100 a 75 e apresenta o</p><p>resultado dessa operação como resposta da questão. Nessa prova, também podemos</p><p>inferir que a interpretação do aluno da primeira frase foi a de que o carteiro entregou</p><p>100 telegramas em cada um dos 5 dias. Não conseguimos interpretar</p><p>de que relação,</p><p>entre os dados do problema, se origina o número 75. Nessa prova, o número de</p><p>telegramas entregue nos cinco dias também foi o mesmo.</p><p>63</p><p>Figura 16 – Resolução presente na prova 4CO3053b</p><p>5. 1.2 Da questão estudada nas provas da 8ª série do Ensino Fundamental</p><p>Da mesma maneira realizada com as provas da 4ª série, iniciaremos as</p><p>discussões das provas da 8ª série apresentando na Tabela 2 os agrupamentos feitos.</p><p>Alguns grupos da 8ª série coincidem com grupos da 4ª série, mas mesmo assim, faremos</p><p>considerações. Apenas não iremos mostrar algumas provas.</p><p>64</p><p>Tabela 2 - Análise Interpretativa da produção escrita dos alunos da 8ª série do Ensino Fundamental.</p><p>Interpretação feita pelo aluno</p><p>Procedimentos</p><p>Grupos(N) da 1ª. frase: Um carteiro entregou 100 telegramas</p><p>em 5 dias.</p><p>da 2ª. frase: A cada dia, a partir do primeiro,</p><p>entregou 7 telegramas a mais que no dia anterior.</p><p>G1 (5) O carteiro entregou 100 telegramas em cinco dias. Não há registro na resolução que indique alguma</p><p>interpretação.</p><p>Faz uma divisão (100 5 20÷ = ) e apresenta o</p><p>resultado como resposta.</p><p>G2 (9)</p><p>O carteiro entregou 100 telegramas em cinco dias.</p><p>O número de telegramas aumenta e é o mesmo para</p><p>cada um dos cinco dias.</p><p>Faz uma divisão (100 5 20÷ = ).</p><p>Adiciona ou multiplica 7 ao resultado do primeiro</p><p>procedimento.</p><p>G3 (0)</p><p>O carteiro entregou 100 telegramas em cada um dos</p><p>cinco dias.</p><p>O número de telegramas aumenta e é o mesmo para</p><p>cada um dos cinco dias.</p><p>Faz uma multiplicação de 5 por 100.</p><p>Adiciona ou multiplica 7 ao resultado do primeiro</p><p>procedimento.</p><p>G4 (3)</p><p>O carteiro entregou 100 telegramas em 5 dias. O número 7 é o número de dias.</p><p>Divide 95 por 7; ou divide 100 por 7 e usa a idéia</p><p>de recorrência adicionando sete, já no primeiro dia;</p><p>ou divide 100 por 7 e adiciona (20 + 14 + 14 +14</p><p>+14).</p><p>G5 (7)</p><p>O carteiro entregou 100 telegramas em 5 dias.</p><p>Em pelo menos um dos cinco dias o número de</p><p>telegramas é diferente.</p><p>Aumenta 7 a partir do primeiro dia (idéia de</p><p>recorrência); ou aumenta 7 apenas no primeiro dia,</p><p>sendo no segundo dia 13 e nos outros 20; ou, o</p><p>número de telegramas do 1° dia é 20 e dos outros 4</p><p>dias é 27; ou o número do primeiro dia é 72 e dos</p><p>outros dias é 7, ao todo resultando 100.</p><p>G6 (16)</p><p>O carteiro entregou 100 telegramas em cinco dias.</p><p>A cada dia, a partir do primeiro, ele entregou sete a</p><p>mais que no dia anterior.</p><p>Apresenta uma resposta do problema considerada</p><p>correta utilizando uma linguagem algébrica; ou,</p><p>tentativa e erro; ou, estratégias aritméticas</p><p>direcionadas.</p><p>G7 (1) O aluno retira arbitrariamente dados do problema e</p><p>opera com eles. Adiciona 5 a 7.</p><p>G8 (8) Não foi possível construir uma interpretação para</p><p>essas provas.</p><p>65</p><p>No grupo 1 temos 5 provas que os alunos resolveram o problema dividindo 100</p><p>por 5 e apresentando o resultado dessa operação como resposta do problema: “o</p><p>carteiro entregou 20 telegramas em cada dia.”</p><p>O grupo 2, contêm 9 provas nas quais os alunos dividiram corretamente 100 por</p><p>5, adicionaram ou multiplicaram corretamente sete ao resultado e apresentaram este</p><p>último como resposta.</p><p>No grupo 3 não há prova alguma na qual o aluno tenha interpretado a primeira</p><p>frase como se o carteiro tivesse entregado 100 telegramas em cada um dos cinco dias.</p><p>O grupo 4 contêm 7 provas nas quais os alunos tomaram o número 7 como a</p><p>quantidade de dias. Na prova 8LO5045, o aluno divide, corretamente, 100 por 7;</p><p>entende a idéia de recorrência, entretanto aumenta sete telegramas no primeiro dia e não</p><p>a partir do primeiro dia.</p><p>Figura 17 – Resolução presente na prova 8LO5045</p><p>Em relação ao grupo 5, temos 7 provas nas quais os alunos interpretam que o</p><p>número de telegramas entregue ao longo dos cinco dias não é o mesmo e constroem</p><p>uma estratégia. Percebemos algumas conexões entre as duas primeiras frases e a</p><p>presença da idéia de recorrência na produção escrita desses alunos.</p><p>Na prova 8L10180, o aluno multiplica, corretamente, 4 por 7 e retira,</p><p>corretamente, 28 de 100. Assim, adiciona, corretamente, 7 a partir do primeiro dia e</p><p>apresenta uma resposta para a questão. Percebemos que o aluno fez uma interpretação</p><p>da segunda frase condizente com a considerada correta, entretanto não há registros na</p><p>sua prova que mostrem que ele notou, da primeira frase, que o carteiro entregou apenas</p><p>100 telegramas.</p><p>66</p><p>Figura 18 – Resolução presente na prova 8L10180</p><p>Nas provas 8CO3028, 8CO3106 e 8CO3090 desse mesmo grupo, os alunos</p><p>interpretaram que o carteiro entregou um número diferente de telegramas ao longo dos</p><p>cinco dias. Especificamente eles apresentam diferentes interpretações para a</p><p>informação: entregou 7 telegramas a mais que no dia anterior .</p><p>Na primeira dessas provas, o aluno divide, corretamente, 100 por 5; interpreta</p><p>que o carteiro entregou 7 telegramas a mais apenas no primeiro dia, sendo que retira,</p><p>corretamente, 7 telegramas do segundo dia, deixando-o com 13, e para os outros dias,</p><p>informa que o carteiro entregou 20 telegramas.</p><p>Na segunda, o aluno subtrai, corretamente, 28, oriundo da multiplicação de 4 por</p><p>7, de 100, e apresenta esse resultado como o número de telegramas do primeiro dia.</p><p>Para os outros quatro dias apresenta 7 telegramas entregue pelo carteiro como resposta.</p><p>Na terceira prova, o aluno interpreta que o carteiro entregou 20 telegramas no</p><p>primeiro dia e 27 telegramas nos outros dias. Para esse aluno, a interpretação da</p><p>informação da segunda frase, diz respeito aos últimos quatro dias. Para a primeira frase,</p><p>o aluno faz uma interpretação diferente da considerada correta.</p><p>No grupo 6 temos 16 provas nas quais os alunos interpretaram e resolveram a</p><p>questão da maneira considerada correta. Nas provas 8CO1009, 8LO5080, 8CO6015, os</p><p>alunos equacionam os dados do problema, resolvem corretamente a equação e</p><p>apresentam uma resposta correta. Vale lembrar que essa era a resolução esperada pelos</p><p>organizadores da prova para a 8ª série do Ensino Fundamental.</p><p>67</p><p>Nas provas 8LO8161 e 8CO1018 temos uma estratégia que mistura alguma</p><p>linguagem algébrica com tentativa e erro. Esses alunos interpretaram o problema</p><p>corretamente, entretanto não apresentaram a resolução da equação que indica o número</p><p>de telegramas entregue no primeiro dia. Eles usam a letra x para representar os dados</p><p>desconhecidos e operam com ela. Com isso, apresentaram a resposta correta da</p><p>questão20.</p><p>Nesse grupo temos algumas provas em que os alunos interpretam e resolvem</p><p>corretamente a questão por meio de estratégias aritméticas, num total de 11 alunos.</p><p>Nas provas 8CO3102, 8CO1011, os alunos apenas apresentam a resposta</p><p>correta. Provavelmente utilizaram o cálculo mental ou, apagaram suas tentativas.</p><p>Figura 19 – Resolução presente na prova 8CO3102</p><p>Nas provas 8LO8152, 8L10179 e 8LO9205, os alunos apresentaram a resposta</p><p>correta e uma verificação, que é a adição dos números de telegramas entregue em cada</p><p>dia. Analogamente às provas 8CO3102, 8CO1011, os alunos podem ter apagado suas</p><p>tentativas ou utilizado algum cálculo mental.</p><p>Figura 20 – Resolução presente na prova 8LO8152</p><p>20 No segundo agrupamento de nossa análise iremos detalhar as provas que contêm alguma linguagem</p><p>algébrica.</p><p>68</p><p>Temos 3 provas, 8LO4109, 8CO1014 e 8LO4124, nas quais os alunos utilizaram</p><p>uma estratégia aritmética direcionada.</p><p>Figura 21 – Resolução presente na prova 8CO4124</p><p>Nas provas 8CO3015, 8CO3040 e 8CO6012, temos as provas em que os alunos</p><p>apresentaram algumas tentativas, a partir de ‘chutar’uma resposta até encontrar a</p><p>resposta correta do problema.</p><p>No grupo 7 temos apenas uma prova a qual o aluno adiciona, corretamente, 5</p><p>com 7 e apresenta o resultado como resposta.</p><p>Já no último grupo da 8ª série temos 8 provas as quais não foi possível construir</p><p>uma interpretação</p><p>para a produção escrita contida nelas. Essas provas caracterizam-se</p><p>por não ter resposta para o problema ou por apresentar algumas relações entre os dados</p><p>do enunciado da questão às quais não conseguimos atribuir algum sentido lógico.</p><p>A seguir discutiremos as provas que não foram incluídas em nenhum dos grupos</p><p>apresentados. Na prova 8CO7012, o aluno interpreta, da segunda frase, que o carteiro</p><p>entregou 7 telegramas a mais em cada um dos cinco dias e, sendo assim, é preciso</p><p>subtrair 35 de 100 para dividir esse resultado por 5 e encontrar o número de telegramas</p><p>entregue nos cinco dias. Inferimos que esse aluno interpretou que o carteiro não</p><p>entregou todos os 100 telegramas nos cinco dias.</p><p>Figura 22 – Resolução presente na prova 8CO7012</p><p>69</p><p>Na prova 8LO4130, o aluno interpreta que o número de telegramas entregues</p><p>nos cinco dias deve ser multiplicado por 7, sendo esse resultado dividido por 5 e esse</p><p>último dividido mais uma vez por 5. Não há registros na produção desse aluno a</p><p>informação da primeira frase, isto é, que o carteiro entregou apenas 100 telegramas.</p><p>Figura 23 – Resolução presente na prova 8LO4130</p><p>Nas provas 8LO8145, 8CO3069, os alunos montam uma equação com os dados</p><p>da questão e a resolvem corretamente. Apresentam como resposta o valor numérico</p><p>correspondente à incógnita da equação resolvida, que é 6. Provavelmente para esses</p><p>alunos, quando se tem uma questão para resolver que envolve uma equação, a resposta</p><p>da questão sempre é o resultado da equação.</p><p>Figura 24 – Resolução presente na prova 8CO3069</p><p>6. 1.3 Da questão estudada nas provas da 3ª série do Ensino Médio</p><p>Igualmente ao realizado para a 4ª e 8ª série do Ensino Fundamental, iniciaremos</p><p>nossa análise da produção escrita dos alunos da 3ª série do Ensino Médio apresentando</p><p>na tabela 3 os agrupamentos das interpretações inferidas e das estratégias e</p><p>procedimentos utilizados ao resolver a questão.</p><p>70</p><p>Tabela 3 - Análise Interpretativa da produção escrita dos alunos da 3ª série do Ensino Médio.</p><p>Interpretação feita pelo aluno</p><p>Procedimentos</p><p>Grupos(N) da 1ª. frase: Um carteiro entregou 100</p><p>telegramas em 5 dias.</p><p>da 2ª. frase: A cada dia, a partir do</p><p>primeiro, entregou 7 telegramas a mais</p><p>que no dia anterior.</p><p>G1 (1) O carteiro entregou 100 telegramas em</p><p>cinco dias.</p><p>Não há registro na resolução que indique</p><p>alguma interpretação.</p><p>Faz uma divisão (100 5 20÷ = ) e</p><p>apresenta o resultado como resposta.</p><p>G2 (3)</p><p>O carteiro entregou 100 telegramas em</p><p>cinco dias.</p><p>O número de telegramas aumenta e é o</p><p>mesmo para cada um dos cinco dias.</p><p>Faz uma divisão (100 5 20÷ = ).</p><p>Adiciona ou multiplica 7 ao resultado do</p><p>primeiro procedimento.</p><p>G3 (0)</p><p>O carteiro entregou 100 telegramas em</p><p>cada um dos cinco dias.</p><p>O número de telegramas aumenta e é o</p><p>mesmo para cada um dos cinco dias.</p><p>Faz uma multiplicação de 5 por 100.</p><p>Adiciona ou multiplica 7 ao resultado do</p><p>primeiro procedimento.</p><p>G4 (1) O carteiro entregou 100 telegramas em 5</p><p>dias.</p><p>O número 7 é o número de dias.</p><p>Faz uma divisão (100 7 14÷ = ) e</p><p>apresenta o resultado como resposta.</p><p>G5 (7)</p><p>O carteiro entregou 100 telegramas em 5</p><p>dias.</p><p>Em pelo menos um dos cinco dias o</p><p>número de telegramas é diferente.</p><p>Usa a idéia de recorrência aumentando 7</p><p>já no 1° dia ou a partir do 1° dia;</p><p>O número de telegramas do 1° dia é 27 e</p><p>nos outros 4 dias é 18;</p><p>Aumenta 7 apenas no 1° dia, sendo no 2°</p><p>dia 13 e nos outros 20.</p><p>G6 (26)</p><p>O carteiro entregou 100 telegramas em</p><p>cinco dias.</p><p>A cada dia, a partir do primeiro, ele</p><p>entregou sete a mais que no dia anterior.</p><p>Apresenta uma resposta considerada</p><p>correta para a questão utilizando</p><p>linguagem algébrica; ou tentativa e erro;</p><p>ou estratégias aritméticas direcionadas.</p><p>G7 (2) O aluno retira arbitrariamente dados do</p><p>problema e opera com eles. Multiplica 5 por 7; ou adiciona 5 com 7 e</p><p>multiplica por 100 o resultado;</p><p>G8 (3) Não foi possível construir uma</p><p>interpretação para essas provas.</p><p>71</p><p>No grupo 1 temos apenas uma prova na qual o aluno divide corretamente 100</p><p>por 5 e apresenta o resultado como resposta.</p><p>O grupo 2 tem 3 provas em que os alunos dividem, corretamente, 100 por 5,</p><p>adicionam corretamente 7 ao resultado, e apresentam como resposta: “entregou 27</p><p>telegramas em cada dia”.</p><p>Já para o grupo 3 não temos nenhuma prova com tais características.</p><p>No grupo 4 temos apenas uma prova na qual o aluno divide, corretamente,100</p><p>por 7 e apresenta o resultado como resposta.</p><p>O grupo 5 temos 7 provas nas quais os alunos construíram uma estratégia na</p><p>qual o número de telegramas entregues ao longo dos cinco dias não é o mesmo.</p><p>Percebemos algumas conexões entre as duas primeiras frases e a presença da idéia de</p><p>recorrência na produção escrita desses alunos.</p><p>Em duas provas, o número de telegramas entregues a mais pelo carteiro inicia-se</p><p>no primeiro dia e, o primeiro procedimento das suas resoluções está na divisão, correta,</p><p>de 100 por 5. Percebemos que esses alunos não inter-relacionam as frases do problema,</p><p>visto que da primeira frase utilizam um procedimento, da segunda, outro e apresentam</p><p>uma resposta. Podemos também inferir que, para esses alunos, as interpretações para a</p><p>primeira informação da segunda frase, “A cada dia, a partir do primeiro”, se faz já para</p><p>o primeiro dia e não começando no segundo.</p><p>Figura 25 – Resolução presente na prova 3CO3113</p><p>Em outras 3 provas desse grupo temos os alunos que interpretaram a segunda</p><p>frase da forma considerada correta, aumentando 7 telegramas em cada dia, a partir do</p><p>primeiro. Na prova 3CO3073, o aluno utiliza a fórmula do termo geral de uma</p><p>Progressão Aritmética para encontrar o número de telegramas que o carteiro entregou</p><p>72</p><p>no primeiro dia. Para esse aluno o a1 corresponde ao primeiro dia, a razão é 7 e o a5 é</p><p>100 telegramas. Ele substitui esses números na fórmula e encontra o suposto a1.</p><p>Figura 26 – Resolução presente na prova 3CO3073</p><p>Já na prova 3CO5041, o aluno supõe que o carteiro entregou 28 telegramas a</p><p>mais, resultado da operação de multiplicação de 4 por 7. Assim, subtrai 28 de 100 e</p><p>encontra o número de telegramas do primeiro dia. Apresenta a reposta para todos os</p><p>dias e reconhece que isso resulta em uma Progressão Aritmética. Apenas essas duas</p><p>provas apresentam alguns conhecimentos de Progressão Aritmética, das 44 provas que</p><p>compuseram a amostra estudada.</p><p>Na prova 3CO3039 desse grupo, o aluno divide, 100 por 5, subtrai 7 desse</p><p>resultado, ambos corretamente e encontra o número de telegramas entregues no</p><p>primeiro dia.</p><p>Ainda no grupo 5 temos 2 provas em que os alunos fazem uma interpretação da</p><p>segunda frase, na qual o número de telegramas entregue pelo carteiro aumenta apenas</p><p>no primeiro ou no segundo dia. Em ambas as provas, eles sabem que o carteiro entregou</p><p>apenas 100 telegramas no total, e o número de telegramas entregues nos outros dias é</p><p>apresentado de uma maneira, que essa informação não seja contrariada.</p><p>Figura 27 – Resolução presente na prova 3LO8103</p><p>No grupo 6 temos 26 alunos que interpretam-resolvem-respondem a questão da</p><p>maneira considerada correta. Seis alunos usaram alguma linguagem algébrica para</p><p>resolver o problema. Grande parte desses alunos equaciona os dados do problema,</p><p>73</p><p>resolve a equação, encontra o número de telegramas do primeiro dia e, a partir deste, o</p><p>número dos outros dias21.</p><p>Nesse grupo também 10 alunos fizeram suas tentativas, mas não as deixaram nas</p><p>provas, ou usaram o cálculo mental para resolver o problema. Temos apenas a resposta</p><p>de telegramas entregues em cada um dos cinco dias e uma verificação, representada pela</p><p>adição desses telegramas. Temos outras 9 provas em que os alunos apresentam algumas</p><p>de suas tentativas, uma verificação e a resposta para o número de telegramas que o</p><p>carteiro entregou.</p><p>Ainda nesse grupo temos uma prova em que um aluno apresenta uma estratégia</p><p>aritmética direcionada. Nessa</p><p>prova, 3CO5068, o aluno divide, corretamente, 100 por 5</p><p>e subtrai corretamente 7 do resultado duas vezes, encontrando o número 6, que é o</p><p>número de telegramas que o carteiro entregou no primeiro dia. Adiciona 7, a partir do</p><p>primeiro e apresenta a resposta para todos os dias.</p><p>Figura 28 – Resolução presente na prova 3CO5068</p><p>No grupo 7 temos 2 provas nas quais os alunos operam arbitrariamente dados da</p><p>questão. Um aluno multiplica corretamente 5 por 7 e apresenta uma suposta resposta:</p><p>“35 telegramas a mais”. Outro adiciona, corretamente, 7 a 5 e multiplica, corretamente</p><p>,o resultado por 100, apresentando este último como resposta.</p><p>No último grupo da 3ª série temos 8 provas nas quais não foi possível construir</p><p>uma interpretação para a produção escrita nelas contidas. Essas provas caracterizam-se</p><p>por não apresentarem uma resposta ou algumas relações entre os dados do enunciado as</p><p>quais não conseguimos atribuir algum sentido lógico.</p><p>Apenas uma prova não foi agrupada na 3ª série do Ensino Médio. Nessa prova o</p><p>aluno faz uma interpretação do enunciado da questão na qual ele monta uma regra de</p><p>21 Teceremos considerações mais detalhadas das prova do grupo 6 no segundo agrupamento.</p><p>74</p><p>três para encontrar o número de telegramas, que na sua interpretação, é o mesmo para os</p><p>cinco dias.</p><p>Figura 29 – Resolução presente na prova 3CO3119</p><p>6. 1. 4 Algumas considerações em relação as três séries</p><p>Em relação às provas da 4ª série do Ensino Fundamental, percebemos que</p><p>muitos alunos fizeram uma interpretação da questão diferente da maneira que é</p><p>considerada correta. As interpretações dos alunos referentes à segunda frase foram</p><p>muitas vezes ligadas a palavra chave, 7 a mais, e em poucos casos os alunos notaram a</p><p>idéia de recorrência. Nas questões procedimentais, ligadas a execução de algoritmos,</p><p>notamos que eles operam da maneira considerada correta. Poucos alunos fazem de uma</p><p>maneira diferente.</p><p>Já nas provas da 8ª série, percebemos que os alunos tiveram menos variedade de</p><p>interpretações para o problema e que o número de estratégias consideradas corretas para</p><p>a questão aumentou consideravelmente. Eles também fazem mais conexões com as</p><p>informações contidas na segunda frase, o que demonstra interpretações mais completas.</p><p>Os alunos da 3ª série do Ensino Médio foram os que tiveram o menor número de</p><p>diversidade de interpretações para o enunciado da questão. Eles, como era de se esperar,</p><p>foram os que mais acertaram. Temos um grande número de alunos no grupo 7, o qual é</p><p>caracterizado pelas resoluções consideradas corretas. Entretanto, não há muitos registros</p><p>nas provas de conteúdos, que geralmente são trabalhados na 3ª série do Ensino Médio,</p><p>utilizados nas estratégias de resolução.</p><p>Em relação as três séries notamos que com o aumento da escolaridade dos</p><p>alunos a diversidade de suas interpretações, diferentes da considerada correta, vão</p><p>diminuindo e, com isso, o número de alunos que constroem resoluções, da maneira</p><p>considerada correta, vai aumentando. Em relação aos primeiros 4 grupos, relativos a</p><p>75</p><p>produção escrita dos alunos que interpretaram e resolveram a questão linearmente22,</p><p>temos a quantidade de 26 provas na 4ª série; 17 na 8ª série; e, apenas 5 para a 3ª série do</p><p>Ensino Médio. Este é um ótimo indicativo, pois mostra que ao passar pelas séries os</p><p>alunos vão construindo conhecimentos que os permitem resolverem corretamente uma</p><p>questão. Claro, que existem outros fatores ligados a isso, mas com certeza a matemática</p><p>escolar é um deles.</p><p>Comparando o grupo 1 da 4ª série com o grupo 1 da 8ª série notamos uma</p><p>diminuição do número de provas, sendo que na 4ª série tivemos 11 provas e já na 8ª</p><p>série apenas 5 provas. Em relação ao grupo 2 temos um total de 9 provas da 8ª série e de</p><p>8 da 4ª série. Entretanto, não consideramos este aumento negativo, pois notamos que os</p><p>alunos da 8ª série fazem mais relações entre as frases do que os alunos da 4ª série.</p><p>Em relação aos grupos 5 e 6 das três séries, temos os alunos que apresentam uma</p><p>interpretação e resolução não linear da questão, isto é, fazem inter-relações entre as</p><p>informações contidas nas frases. Em várias provas notamos que eles identificam a idéia</p><p>de recorrência na segunda frase. Temos quantidade de 8 provas para a 4ª série; 24</p><p>provas da 8ª série; e, 34 provas da 3ª série do Ensino Médio. Novamente vemos um</p><p>aumento da quantidade de provas, no decorrer das séries.</p><p>Visto essas considerações podemos afirmar que com o aumento de sua</p><p>escolaridade os alunos têm melhor desempenho ao resolver a questão. Os</p><p>procedimentos utilizados em suas resoluções são mais sofisticados, no decorrer das três</p><p>séries e o número de alunos que solucionaram a questão da maneira considerada correta</p><p>aumenta consideravelmente.</p><p>Tomando as três últimas tabelas apresentadas, relativas ao modo de interpretação</p><p>dos alunos de cada frase da questão e os procedimentos por eles utilizados, podemos</p><p>agora construir uma nova tabela, relativa às estratégias que eles elaboraram. Ao</p><p>descrever as provas das três séries, fomos apontando algumas de suas características,</p><p>entretanto não as sistematizamos. Ressaltamos a diferença que fizemos, neste trabalho,</p><p>entre as estratégias e os procedimentos, sendo que a estratégia, de certa forma, é todo</p><p>caminho que o aluno construiu para resolver a questão. Ela é composta pela</p><p>22 Estamos aqui considerando uma interpretação e uma resolução linear da questão, aquela em que o</p><p>aluno faz uma interpretação para a primeira frase e utiliza um procedimento; faz uma interpretação para</p><p>segunda e utiliza outro procedimento, sendo que este está ligado ao resultado do primeiro. Ele resolve</p><p>passo a passo a questão encadeando suas interpretações e seus procedimentos, sendo que ao fim,</p><p>apresenta uma resposta.</p><p>76</p><p>interpretação que o aluno fez do enunciado, os procedimentos que utilizou e a resposta</p><p>que apresentou oriunda desses. A estratégia que o aluno elaborou é resultado da nossa</p><p>interpretação da sua produção escrita por meio da tríade de palavras: interpreta-resolve-</p><p>responde. Já os procedimentos são os algoritmos ou conjunto de algoritmos utilizados</p><p>para resolver a questão. Na questão analisada tivemos procedimentos, como as</p><p>operações de divisão, multiplicação e subtração, a idéia de recorrência, entre outros. A</p><p>seguir, temos na tabela 4 as estratégias elaboradas pelos alunos das 3 séries.</p><p>Tabela 4 – Freqüência das Estratégias por série.</p><p>Série</p><p>Estratégias</p><p>4ª Série</p><p>E.F.</p><p>8ª Série</p><p>E.F.</p><p>3ª Série</p><p>E.M.</p><p>TOTAL</p><p>G1 - Estratégia aritméticas. 32 25 13 70</p><p>G2 - Estratégia aritmética direcionada. 1 3 1 5</p><p>G3 - Estratégia tentativa e erro. 0 5 9 14</p><p>G4 - Estratégia aritmética direcionada e</p><p>alguma linguagem algébrica.</p><p>0 2 1 3</p><p>G5 - Estratégia equação 0 5 6 11</p><p>G6 – Estratégia regra de três 0 0 1 1</p><p>G7 - Não foi possível construir uma</p><p>interpretação</p><p>17 13 13 43</p><p>Total 50 53 44 147</p><p>No grupo 1 temos as provas nas quais os alunos elaboraram estratégias</p><p>aritméticas, ou seja, por meio de operações aritméticas, e/ou idéia de recorrência, mas</p><p>que não resolveram a questão da maneira considerada correta. Temos um número de 82</p><p>alunos nesse grupo.</p><p>Em relação ao grupo 2 temos as provas dos alunos que elaboraram as estratégias</p><p>aritméticas direcionadas, ou seja, aquelas que eles parecem saber quais procedimentos</p><p>deve utilizar para obter a resposta da questão. Esses procedimentos são utilizados de</p><p>uma maneira encadeada, sistemática e lógica, possivelmente por meio de um raciocínio</p><p>77</p><p>abdutivo, considerado aqui como aquele que envolve um “chute”, mas com algum</p><p>conhecimento de causa. Temos um total de 5 alunos que elaboraram essa estratégia.</p><p>O grupo 3 contem as provas dos alunos que elaboraram a estratégia de tentativa</p><p>e erro, ou seja, uma estratégia com a qual ele aborda</p><p>informações contidas nas frases. Em relação ao</p><p>pensamento algébrico expresso em suas produções, grande parte dos alunos mostra</p><p>utilizá-lo para resolver a questão. Já os alunos que utilizaram linguagem algébrica</p><p>resolveram a questão da maneira considerada correta. Os problemas construídos pelos</p><p>alunos a partir do enunciado da questão se caracterizaram, parte por ter uma estrutura de</p><p>resolução linear realizada por meio de interpretações passo-a-passo, e, parte por uma</p><p>estrutura de resolução não-linear. Grande parte dos alunos que interpretou a idéia de</p><p>recorrência da segunda frase resolveu a questão da maneira considerada correta. Neste</p><p>trabalho mostramos que alunos da Escola Básica mostram saber, por meio de sua</p><p>produção escrita, vários procedimentos que geralmente são trabalhados na escola, assim</p><p>como suas maneiras particulares de lidar com uma questão aberta de matemática.</p><p>Palavras-chaves: Educação Matemática; produção escrita em matemática; avaliação em</p><p>matemática, maneiras de lidar, interpreta-resolve-responde.</p><p>VIOLA DOS SANTOS, João Ricardo. What Basic School students’ show</p><p>to know by means their mathematics written work. 2007. 114 p.</p><p>Dissertation Thesis (Master Degree in Science Teaching and Mathematics</p><p>Education) – State University of Londrina.</p><p>ABSTRACT</p><p>The present work has objective to analyze the student written work of 4th grade of</p><p>Elementary School, 8th grade of Middle School and 3rd grade of High School in</p><p>common question of Mathematics Test of open-ended Question of AVA-2002 (Paraná</p><p>Large-Scale Assessment-2002). The research nature is qualitative, based on discursive</p><p>textual analysis in which we analyze 147 students written works. We investigate the</p><p>way the students to handle with open-ended question, their interpretations about</p><p>information in each phrase of enunciate; their strategies made and procedures used, their</p><p>algebraic thinking and algebraic language, the characteristics of problems that the</p><p>students built from question enunciate and the scholar contents that the students show</p><p>they know in their written work. The work proposes to abandon “error” idea to adopt</p><p>the “ways of handle” idea. It shows a characterization of algebraic thinking to analyze</p><p>student written works. About students’ interpretations to question enunciate, with the</p><p>increase of school years they do more and better relations between the information in</p><p>each phrase. About algebraic thinking express in students written works, many students</p><p>show to use it to solve the question. The students that used algebraic language, they</p><p>solved the question in the way to considered correct. The problems that students built</p><p>from question enunciate describes, for one hand, they have a structure of linear solution</p><p>by means of interpretation step by step, for other hand, they have a linear structure.</p><p>Many students that interpreted the recurrence idea from second phrase solve the</p><p>question in the way to considered correct. We show in this work that Basic School</p><p>students show to know, by means their written work, many procedures that generally</p><p>are worked at school, and their particular ways to handle with a mathematical open-</p><p>ended question.</p><p>Key words: Mathematics Education; written work in mathematics; assessment in</p><p>mathematics; ways of to handle, interpret-solve-answer.</p><p>LISTA DE TABELAS</p><p>Tabela 1 - Análise Interpretativa da produção escrita dos alunos da 4ª série do Ensino</p><p>Fundamental--------------------------------------------------------------------------------------55</p><p>Tabela 2 - Análise Interpretativa da produção escrita dos alunos da 8ª série do Ensino</p><p>Fundamental. --------------------------------------------------------------------------------------64</p><p>Tabela 3 - Análise Interpretativa da produção escrita dos alunos da 3ª série do Ensino</p><p>Médio. ----------------------------------------------------------------------------------------------70</p><p>Tabela 4 – Estratégias elaboradas pelos alunos na resolução da questão. ----------------76</p><p>Tabela 5 – Níveis de Pensamento Algébrico encontrado nas provas por três séries. ---79</p><p>Tabela 6 – Características dos problemas que os alunos construíram a partir do</p><p>enunciado da questão. ---------------------------------------------------------------------------88</p><p>Tabela 7 – Níveis dos conteúdos da matemática escolar os alunos mostram saber por</p><p>meio de sua produção escrita. -------------------------------------------------------------------92</p><p>LISTA DE ILUSTRAÇÕES</p><p>Figura 1 – Resolução presente na prova 4LO1091 ------------------------------------------56</p><p>Figura 2 – Resolução presente na prova 4CO315 -------------------------------------------56</p><p>Figura 3 – Resolução presente na prova 4L5135 ---------------------------------------------57</p><p>Figura 4 – Resolução presente na prova 4L10021 -------------------------------------------57</p><p>Figura 5 – Resolução presente na prova 4LO5155 ------------------------------------------58</p><p>Figura 6 – Resolução presente na prova 4CO3094 ------------------------------------------58</p><p>Figura 7 – Resolução presente na prova 4CO8009 ------------------------------------------59</p><p>Figura 8 – Resolução presente na prova 4CO3096 ------------------------------------------59</p><p>Figura 9 – Resolução presente na prova 4CO3119 ------------------------------------------59</p><p>Figura 10 – Resolução presente na prova 4CO4034 -----------------------------------------60</p><p>Figura 11 – Resolução presente na prova 4LO5147 -----------------------------------------61</p><p>Figura 12 – Resolução presente na prova 4CO8019 -----------------------------------------61</p><p>Figura 13 – Resolução presente na prova 4CO3058 -----------------------------------------61</p><p>Figura 14 – Resolução presente na prova 4LO5129 -----------------------------------------62</p><p>Figura 15 – Resolução presente na prova 4CO2013 ----------------------------------------62</p><p>Figura 16 – Resolução presente na prova 4CO3053b ---------------------------------------63</p><p>Figura 17 – Resolução presente na prova 8LO5045 -----------------------------------------65</p><p>Figura 18 – Resolução presente na prova 8L10180 ------------------------------------------66</p><p>Figura 19 – Resolução presente na prova 8CO3102 -----------------------------------------67</p><p>Figura 20 – Resolução presente na prova 8LO8152 -----------------------------------------67</p><p>Figura 21 – Resolução presente na prova 8CO4124 -----------------------------------------68</p><p>Figura 22 – Resolução presente na prova 8CO7012 -----------------------------------------68</p><p>Figura 23 – Resolução presente na prova 8LO4130 -----------------------------------------69</p><p>Figura 24 – Resolução presente na prova 8CO3069 -----------------------------------------69</p><p>Figura 25 – Resolução presente na prova 3CO3113 -----------------------------------------71</p><p>Figura 26 – Resolução presente na prova 3CO3073 -----------------------------------------72</p><p>Figura 27 – Resolução presente na prova 3LO8103 -----------------------------------------72</p><p>Figura 28 – Resolução presente na prova 3CO5068 -----------------------------------------73</p><p>Figura 29 – Resolução presente na prova 3CO3119 -----------------------------------------74</p><p>Figura 30 – Resolução presente na prova 4CO4009 -----------------------------------------80</p><p>Figura 31 – Resolução presente na prova 8CO3028 -----------------------------------------80</p><p>Figura 32 – Resolução presente na prova 3LO7038 -----------------------------------------81</p><p>Figura 33 – Resolução presente na prova 3CO3113 ----------------------------------------82</p><p>Figura 34 – Resolução presente na prova 3CO1023 ----------------------------------------82</p><p>Figura 35 – Resolução presente na prova 8LO4124 ----------------------------------------83</p><p>Figura 36 – Resolução presente na prova 8LO8161 ----------------------------------------84</p><p>Figura</p><p>um problema de cujo enunciado ele</p><p>consegue retirar corretamente informações, e com elas, inferir alguns possíveis</p><p>resultados indutivamente, para em seguida testá-los, buscando ajustá-los a partir dos</p><p>seus erros para chegar a uma resposta que seja condizente com as “regras” da situação.</p><p>Nesse grupo temos o total de 12 alunos.</p><p>No grupo 4 temos as provas dos alunos que elaboraram uma estratégia aritmética</p><p>direcionada junto com alguma linguagem algébrica23. Na 4ª série não temos prova</p><p>alguma, sendo que na 8ª série temos 2 provas e na 3ª série do Ensino Médio 1.</p><p>Em relação ao grupo 5 temos as provas nas quais os alunos construíram uma</p><p>equação como estratégia para resolução da questão.Temos um total de 10 provas, sendo</p><p>5 para a 8ª série e 5 para a 3ª série do Ensino Médio.</p><p>O grupo 6 contem apenas uma prova na qual o aluno construiu uma regra de três</p><p>como estratégia para resolução da questão.</p><p>No último grupo temos as provas dos alunos nas quais não foi possível construir</p><p>uma interpretação para a estratégia que eles elaboraram. Na 4ª série temos um total de</p><p>13 provas, sendo que, em 5 delas, os alunos apresentaram a resposta correta da questão.</p><p>Na 8ª série, o número de provas é também de 13 sendo que, em 5 delas, os alunos</p><p>apresentaram a resposta correta da questão. Já na 3ª série do Ensino Médio esse número</p><p>é de 11, sendo que, em 9 delas, os alunos apresentaram a resposta correta para questão.</p><p>Não podemos afirmar qual foi a estratégia que de fato esses alunos elaboraram, mas</p><p>podemos inferir que pode ter sido a estratégia tentativa e erro ou alguma estratégia</p><p>aritmética direcionada.</p><p>Feito essas considerações em relação ao nosso primeiro agrupamento iremos</p><p>para nosso segundo agrupamento que diz respeito ao pensamento e à atividade algébrica</p><p>dos alunos.</p><p>5.2 Análise do pensamento algébrico e atividade algébrica em relação as três séries.</p><p>23 Estamos caracterizando nesse trabalho como linguagem algébrica uma linguagem constituída por meio</p><p>de uma notação simbólica na qual os símbolos representam generalizações de invariâncias, padrões ou</p><p>regularidades.</p><p>78</p><p>Apresentaremos, a seguir, nosso segundo agrupamento, do pensamento algébrico</p><p>dos alunos por meio de sua produção escrita. Como já descrevemos grande parte das</p><p>provas no primeiro agrupamento, relativa à interpretação, estratégias e procedimentos</p><p>dos alunos, apresentaremos nosso agrupamento relativo já às três séries juntas.</p><p>No terceiro capitulo construímos uma discussão de algumas caracterizações para</p><p>o pensamento algébrico. A partir delas, constituímos uma, com a qual caracterizamos o</p><p>pensamento algébrico pela expressão de um processo que envolva alguma relação entre</p><p>estruturas aritméticas por meio de ações sintáticas, que sigam regras procedimentais e</p><p>formais, e semânticas, que atribuam algum sentido lógico para a relação dessas</p><p>estruturas. Por meio dessa caracterização não é preciso ter uma notação simbólica nas</p><p>produções escritas para identificarmos algum pensamento algébrico. É claro, que no</p><p>decorrer do desenvolvimento desse modo de pensar, uma linguagem simbólica</p><p>potencializa esse modo de pensamento.</p><p>O enunciado oferece um contexto para os alunos estabelecerem algumas relações</p><p>entre estruturas aritméticas para encontrar a resposta. É necessário que os alunos</p><p>identifiquem a idéia de recorrência, por meio das informações da segunda frase do</p><p>enunciado da questão, para que a resolvam da maneira considerada correta. Assim, será</p><p>possível identificar o pensamento algébrico nas produções escritas dos alunos, de</p><p>maneira mais sofisticada e gradativa, a medida que as inter-relações entre estruturas</p><p>aritméticas forem expressas nas suas resoluções tendo a idéia de recorrência presente.</p><p>Iremos apresentar alguns exemplos para ilustrar essas considerações sobre o</p><p>pensamento algébrico.</p><p>Na tabela 5 temos o agrupamento da produção escrita dos alunos das três séries,</p><p>relativa ao pensamento algébrico, sendo que a partir deste teceremos nossas</p><p>considerações.</p><p>79</p><p>Tabela 5 – Níveis de Pensamento Algébrico encontrado nas provas por três séries.</p><p>Série</p><p>Níveis</p><p>4ª Série</p><p>E.F.</p><p>8ª Série</p><p>E.F.</p><p>3ª Série</p><p>E.M.</p><p>TOTAL</p><p>G1 – Expressa uma estrutura aritmética para</p><p>resolver a questão.</p><p>24 11 4 39</p><p>G2 – Expressa uma relação entre estruturas</p><p>aritméticas para resolver a questão.</p><p>19 17 7 43</p><p>G3 – Expressa relações entre estruturas</p><p>aritméticas para resolver a questão, nas quais</p><p>está presente a idéia de recorrência.</p><p>7 17 23 47</p><p>G4 – Expressa relações entre estruturas</p><p>aritméticas utilizando alguma linguagem</p><p>algébrica para resolver a questão.</p><p>0 2 1 3</p><p>G5 – Expressa relações utilizando uma equação</p><p>pra resolver a questão.</p><p>0 6 9 15</p><p>No primeiro grupo, em um total de 39 provas, notamos que elas não se</p><p>caracterizam por apresentar o pensamento algébrico, ou seja, uma relação entre</p><p>estruturas aritméticas. Nessas provas os alunos, geralmente, utilizaram o algoritmo da</p><p>divisão para encontrar o número de telegramas que o carteiro entregou nos 5 dias. De</p><p>um contexto, o enunciado da questão, o aluno identifica uma estrutura, o algoritmo da</p><p>divisão, e por meio dela, apresenta uma resposta. Entretanto essa ação, tanto sintática</p><p>quanto semântica, origina-se apenas de uma interpretação da primeira frase do</p><p>problema. Não há registros de uma inter-relação de interpretações e estruturas</p><p>aritméticas nesse grupo, e por isso não se caracteriza a presença do pensamento</p><p>algébrico.</p><p>Nesse grupo também agrupamos as provas nas quais os alunos operaram</p><p>arbitrariamente dados da questão, por meio de uma estrutura aritmética. Nessas não</p><p>conseguimos estabelecer uma ação semântica, a não ser a de operar com os dados que</p><p>os alunos encontram no enunciado da questão.</p><p>Em relação às três séries vemos que o número de provas do grupo 1 diminui</p><p>consideravelmente com o aumento da escolaridade, sendo 24 provas na 4ª série do</p><p>Ensino Fundamental; 11 na 8ª série do Ensino Fundamental e 4 na 3ª série do Ensino</p><p>Médio.</p><p>No grupo 2, temos 43 provas dos alunos nas quais já podemos caracterizar</p><p>algum pensamento algébrico. Encontramos nas resoluções dessas provas uma relação</p><p>80</p><p>entre estruturas aritméticas, por meio de ações sintáticas e semânticas, e podemos notar,</p><p>interpretações de informações contidas nas três frases da questão. Geralmente nessas</p><p>provas, os alunos constroem uma estrutura aritmética oriunda de informações da</p><p>primeira frase, utilizam o resultado do primeiro procedimento para construir outro,</p><p>oriundo de alguma interpretação da segunda frase, e apresentam o resultado desse</p><p>último como resposta da questão.</p><p>Figura 30 – Resolução presente na prova 4CO4009</p><p>Nesse grupo também temos algumas provas em que o número de telegramas</p><p>entregues em cada dia é diferente. Esses alunos expressam relações entre o número de</p><p>telegramas de cada dia, por meio de alguma interpretação das informações da segunda</p><p>frase.</p><p>Figura 31 – Resolução presente na prova 8CO3028</p><p>Nessas provas podemos notar que o tipo de estrutura aritmética não se</p><p>caracteriza apenas por um algoritmo de alguma operação, mas sim por um conjunto de</p><p>relações entre o número de telegramas entregues em cada dia.</p><p>No grupo 3 temos 47 provas que os alunos expressam algumas relações</p><p>aritméticas nas quais está presente a idéia de recorrência. Em relação ao contexto que</p><p>nossa questão oferece para o estabelecimento dessas relações, a expressão da idéia de</p><p>81</p><p>recorrência, caracteriza o pensamento algébrico dos alunos de uma maneira mais</p><p>sofisticada.</p><p>Podemos notar que o número de provas nesse grupo vai crescendo com o</p><p>aumento de escolaridade. Na 4ª série temos 7 provas; já na 8ª série temos 17; e na 3ª</p><p>série do Ensino Médio esse número é de 23. Este é o grupo que tem o maior número de</p><p>provas.</p><p>Na prova 3LO7038, temos um aluno que fez várias tentativas</p><p>para encontrar o</p><p>número de telegramas entregues em cada dia pelo carteiro. Em todas elas, ele fazia sua</p><p>tentativa e verificava se o total de telegramas resultava em 100. Percebemos, por meio</p><p>da expressão do seu processo de relação de estruturas aritméticas, que, para esse aluno,</p><p>o número 7 já é uma invariância, o carteiro entregou 7 a mais a partir do primeiro dia,</p><p>resultando um total de 100 telegramas nos cinco dias.</p><p>Figura 32 – Resolução presente na prova 3LO7038</p><p>Já em outra prova desse grupo, 3CO3113, temos que na primeira frase, o aluno</p><p>fez uma interpretação que resultou na divisão de 100 por 5. Da segunda frase ele</p><p>aumenta 7 telegramas a mais a cada dia, porém, começando já no primeiro dia. Ele</p><p>expressa relações entre estruturas aritméticas e também evidencia o número de</p><p>telegramas que esta aumentando a cada dia. Nessa prova, notamos que o aluno explicita</p><p>um processo no qual ele encontrou uma invariância.</p><p>82</p><p>Figura 33 – Resolução presente na prova 3CO3113</p><p>Em uma outra prova desse mesmo grupo, temos uma resolução que expressa e</p><p>coloca em evidência o número de telegramas que aumenta a partir do primeiro dia.</p><p>Apesar de não utilizar uma linguagem algébrica, percebemos que o número 7 se</p><p>comporta como uma regularidade, ou seja, um símbolo que é comum para todos os dias,</p><p>a partir do primeiro.</p><p>Figura 34 – Resolução presente na prova 3CO1023</p><p>Um último exemplo para caracterizar o grupo 3 é a prova 8LO4124, na qual o</p><p>aluno resolve a questão por meio de uma estratégia aritmética direcionada. Por meio de</p><p>ações sintáticas e semânticas, encontra o número de telegramas que o carteiro entregou</p><p>no primeiro dia. Divide 100 por 5 e subtrai 14 desse resultado encontrando o número 6.</p><p>Essa é uma estratégia muito sofisticada.</p><p>83</p><p>Figura 35 – Resolução presente na prova 8LO4124</p><p>No grupo 4 temos apenas 3 provas, que apresentam já uma linguagem algébrica.</p><p>Nesse grupo podemos inferir que o pensamento algébrico já está bem desenvolvido,</p><p>pois eles já encontram uma regularidade e estabelecem uma generalização com o uso de</p><p>uma linguagem simbólica para representar essas duas ações. Na prova 8LO8161</p><p>percebemos que o aluno utiliza a notação simbólica para auxilia-lo a encontrar o valor</p><p>de telegramas que o carteiro entregou em cada dia. O desconhecido para ele é tratado</p><p>como conhecido, por meio da notação simbólica.</p><p>Figura 36 – Resolução presente na prova 8LO8161</p><p>Entretanto notamos que nesse grupo a linguagem algébrica está presente nas</p><p>relações entre as estruturas aritméticas, ou seja, os alunos usam os símbolos para</p><p>representar algumas de suas ações na resolução da questão. Esses símbolos se misturam</p><p>com os números, caracterizando um pouco da álgebra sincopada.</p><p>Temos uma prova em que o aluno começa equacionar os dados do problema, de</p><p>uma maneira aparentemente incorreta da considerada, mas pára afirmando: Não</p><p>consegui usar a fórmula, fui chutando o n° de cartas pro primeiro dia até acertar p/ dar</p><p>84</p><p>100 telegramas. Notamos, por meio dessa explicação, que para esse aluno a equação se</p><p>mostra como uma ‘fórmula’ que pode ser aplicada em alguns casos. Provavelmente, ele</p><p>domine questões operacionais da resolução de equações, entretanto encontra dificuldade</p><p>em usar esse conhecimento para a resolução de um problema, ou seja, seu domínio</p><p>sobre equação não chega a permitir o seu uso enquanto ferramenta.</p><p>Figura 37 – Resolução presente na prova 3LO9046</p><p>O último grupo contém 15 provas nas quais os alunos utilizam uma equação</p><p>como ferramenta para resolver a questão. Nesse grupo os alunos mostram ter um grande</p><p>domínio da manipulação da linguagem algébrica e da aplicação de uma equação. O</p><p>pensamento algébrico dos alunos nessas provas parece estar bem desenvolvido, pois</p><p>eles expressam relações entre as estruturas aritméticas e usam regras da linguagem</p><p>algébrica para resolver a questão.</p><p>Figura 38 – Resolução presente na prova 8CO1009</p><p>Temos uma prova que o aluno apresenta uma resolução que para cada dia utiliza</p><p>uma incógnita diferente. Percebemos que para esse aluno como a cada dia o número de</p><p>telegramas é diferente, com para cada dia deve usar uma letra diferente. Notamos</p><p>também que esse aluno tem um grande domínio dos aspectos operacionais das equações</p><p>e que tem consciência do que está fazendo a todo o momento de sua resolução.</p><p>85</p><p>Figura 39 – Resolução presente na prova 3CO3091</p><p>Esse grupo também contém 2 provas que os alunos montaram uma</p><p>equação com os dados do problema cuja solução é o número de telegramas que o</p><p>carteiro entregou no primeiro dia. Com isso, responderam a questão informando que o</p><p>carteiro entregou 6 telegramas.</p><p>Figura 40 – Resolução presente na prova 3CO3069</p><p>Inferimos que para esses alunos a solução da equação é a resposta das questões e</p><p>assim por isso, responderam que o carteiro entregou 6 telegramas.</p><p>5.3 Análise sobre as características dos problemas que os alunos construíram a</p><p>partir do enunciado da questão.</p><p>Ao analisarmos a produção escrita, percebemos que muitos alunos construíram</p><p>interpretações e elaboraram estratégias a partir do enunciado da questão, diferentes das</p><p>86</p><p>consideradas corretas. Como nossa questão exige uma inter-relação entre as</p><p>informações contidas em suas frases para resolvê-la, encontramos vários tipos de</p><p>resoluções, das quais inferimos que os alunos constituíram uma outra questão. Há uma</p><p>interpretação e resolução que é considerada correta, tanto pelas normas da Língua</p><p>Portuguesa quanto da Matemática, e acreditamos, obviamente, que nossos alunos devem</p><p>se apropriar desse modo de resolver à questão. Entretanto, por meio de nossas análises,</p><p>inferimos que os alunos não fizeram as mesmas interpretações para as informações</p><p>contidas nas frases da questão. Com isso, a questão resolvida por eles não foi a mesma,</p><p>pensada pelos organizadores da prova. Assim, se admitirmos que nossos alunos</p><p>resolveram uma questão diferente da considerada correta, não podemos tecer</p><p>considerações sobre suas resoluções apenas tomando por base a interpretação e a</p><p>resolução considerada correta, mas sim segundo aquela que o aluno interpretou e</p><p>resolveu.</p><p>Tendo por referência a discussão apresentada no Capítulo 2, apresentamos uma</p><p>diferenciação entre a questão e os problemas para lidar com as resoluções encontradas.</p><p>A questão, neste trabalho, é aquela cuja interpretação e resolução, são consideradas</p><p>corretas, segundo a comunidade e as normas e regras tanto da Língua Portuguesa quanto</p><p>da Matemática. Daqui em diante, sempre que utilizarmos a palavra questão, estaremos</p><p>nos referindo àquela considerada como correta. Já o problema é aquele que o aluno, de</p><p>fato resolveu, ou seja, constituiu-se a partir da interpretação e resolução que ele</p><p>construiu daquele enunciado e, portanto, diferente da questão. As maneiras</p><p>idiossincráticas dos alunos construírem uma interpretação, utilizarem seus</p><p>procedimentos e com isso, elaborarem uma estratégia apresentando uma resposta ao seu</p><p>problema construído são aspectos a serem discutidos nessa parte da nossa análise.</p><p>Muitas vezes as interpretações feitas e as estratégias elaboradas pelos alunos</p><p>constituindo assim seus problemas a partir do enunciado da questão coincidem com a</p><p>questão. Porém, como veremos, muitas vezes não. Vários alunos provavelmente</p><p>construíram um problema, muito diferente da questão e com isso sua resolução também</p><p>não é a que usualmente seria considerada correta. Tecemos nossas considerações em</p><p>relação às características dos problemas que os alunos construíram a partir do enunciado</p><p>e não da questão que esperávamos que eles tivessem resolvido. Contudo, retomando a</p><p>discussão do capítulo 2, não estamos em um contexto do “vale tudo”, apenas queremos</p><p>compreender o modo como os alunos lidam com essa questão aberta de matemática,</p><p>87</p><p>quais são as suas interpretações, suas estratégias e procedimentos, e, com isso, quais</p><p>foram às características dos problemas que eles podem ter construído a partir do</p><p>enunciado da questão.</p><p>A seguir listamos, por meio de agrupamentos, as características desses</p><p>problemas que os alunos construíram do enunciado da questão e tecemos algumas</p><p>considerações.</p><p>Acreditamos não termos condições de esboçar exatamente o enunciado do</p><p>problema que os alunos construíram do enunciado da questão, pois com esse enunciado</p><p>construído, quem nos garante que os alunos não resolveriam um outro problema que</p><p>constituiriam desse novo enunciado? Assim, inferimos apenas em algumas</p><p>características desses problemas por meio das resoluções dos alunos.</p><p>88</p><p>Tabela 6 – Características dos problemas que os alunos construíram a partir do enunciado da questão.</p><p>Grupos 4ª Série</p><p>E.F.</p><p>8ª Série</p><p>E. F.</p><p>3ª Série</p><p>E. M.</p><p>Total</p><p>G1 - uma resolução linear; 100 5 20÷ = ; mesmo número de telegramas em cada dia. 11 5 1 17</p><p>G2 – uma resolução linear; interpretação de uma idéia de multiplicação da primeira frase; mesmo número de</p><p>telegramas em cada dia.</p><p>5 0 0 5</p><p>G3 - uma resolução linear; 100 5 20÷ = em seguida adiciona ou multiplica 7 a esse resultado; mesmo</p><p>número de telegramas em cada dia.</p><p>11 8 3 22</p><p>G4 – uma resolução linear; 100 7 14÷ ≅ ; 95 7 13÷ ≅ ; mesmo número de telegramas em cada dia. 3 1 1 5</p><p>G5 – uma resolução não linear; pelo menos em um dia o número de telegramas é diferente; ou o número de</p><p>telegramas no primeiro dia é 7 a mais; ou no segundo dia é 7 a mais; ou nos últimos 4 dias é 7 mais.</p><p>1 3 2 6</p><p>G6 – uma resolução linear; está presente a idéia de recorrência, sendo que aumenta 7 já para o primeiro dia. 0 0 2 2</p><p>G7 – uma resolução não linear; está presente a idéia de recorrência, aumentando 7 a partir do primeiro dia; 1 3 1 5</p><p>G8 – uma resolução não linear; está presente a idéia de recorrência , aumentando 7 a partir do primeiro dia; o</p><p>número de telegramas do primeiro dia é o resultado da subtração (100 28 72− = ).</p><p>0 1 2 3</p><p>G9 – uma resolução não linear; esta presente a idéia de recorrência, aumentando 7 a partir do primeiro dia;</p><p>utiliza uma equação para encontrar o número de telegramas do primeiro dia, sendo que a solução da equação é</p><p>apresentada como resposta; o número de telegramas entregues em cada dia é o mesmo.</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>G10 – Problema construído coincide com a questão 6 16 26 48</p><p>G11 - Opera dados retirados arbitrariamente do enunciado; mesmo número de telegramas em cada dia. 4 1 2 7</p><p>G12 - Não foi possível construir uma interpretação para essas provas. 9 9 3 21</p><p>89</p><p>No grupo 1 temos 17 alunos que construíram um problema do enunciado da</p><p>questão cuja algumas características são interpretação linear do enunciado da questão e</p><p>o mesmo número de telegramas entregues em cada um dos cinco dias. Eles dividem 100</p><p>por 5 e apresentam como resposta o resultado desse procedimento.</p><p>O grupo 2 contém a produção escrita dos alunos que constroem um problema</p><p>cuja interpretação da primeira frase é que o carteiro entregou 100 telegramas em cada</p><p>um dos 5 dias. Temos 4 provas nesse grupo nas quais os alunos multiplicam 100 por 5</p><p>e/ou multiplicam esse resultado por 7 e apresentam esse último como resposta, ou</p><p>adicionam 7 ao resultado e apresentam esse último como resposta. Nesse grupo os</p><p>alunos interpretam que o carteiro entregou o mesmo número de telegramas nos cinco</p><p>dias e, da segunda frase há registro de interpretações e ações por meio de procedimentos</p><p>no aumento desse número de telegramas. Ressaltamos que temos somente provas da 4ª</p><p>série do Ensino Fundamental nesse grupo.</p><p>Em relação ao grupo 3, temos 19 provas nas quais os alunos construíram um</p><p>problema no qual interpretaram e resolveram linearmente. Assim, os alunos dividiram</p><p>100 por 5; adicionaram 7 ao resultado e apresentaram esse último como resposta.</p><p>Inferimos que da segunda frase, os alunos apenas adicionam 7 ao resultado do</p><p>procedimentos realizado anteriormente. Eles resolveram um problema no qual o carteiro</p><p>entregou o mesmo número de telegramas em cada um dos cinco dias.</p><p>No grupo 4 temos 5 provas nas quais os alunos constroem um problema</p><p>tomando o número 7 como número de dias, faz uma divisão sendo este número o divisor</p><p>e apresenta uma resposta para o problema. O número de telegramas que o carteiro foi o</p><p>mesmo em cada um dos 5 dias. Caracterizamos esses problemas de resolução e</p><p>interpretação linear, pois não há uma relação entre as informações contidas nas frases.</p><p>O grupo 5 contém 6 provas nas quais os alunos constroem e resolvem um</p><p>problema que em pelo menos 1 dia o número de telegramas é diferente. Em algumas</p><p>provas o número de telegramas aumenta 7 apenas para o primeiro dia, já em outras</p><p>apenas para o segundo dia. Esses alunos construíram um problema e o resolveram de</p><p>uma maneira não linear, ou seja, eles inter-relacionaram informações contidas nas 2</p><p>frases do problema, por meio de procedimentos que são utilizados de maneira não</p><p>encadeada.</p><p>Em relação ao grupo 6 temos 2 provas nas quais os alunos construíram um</p><p>problema que da primeira frase resolveram uma divisão de 100 por 5, em seguida</p><p>90</p><p>utilizaram a idéia de recorrência, aumentando 7 já no primeiro dia. Os alunos encadeiam</p><p>dois procedimentos para resolverem o problema que construíram, e assim, mesmo</p><p>utilizando a idéia de recorrência, esses alunos construíram um problema de</p><p>interpretação e resolução linear.</p><p>No grupo 7 temos 5 provas nas quais os alunos constroem um problema no qual</p><p>está presente a idéia de recorrência, aumentando 7 a partir do primeiro dia. Eles</p><p>resolvem por meio de tentativas, mas o número total de telegramas que o carteiro</p><p>entregou é superior a 100.</p><p>O grupo 8 contém 3 provas nas quais os alunos constroem um problema que</p><p>interpretam, da segunda frase, que o carteiro entregou 28 telegramas a mais, resultado</p><p>da multiplicação de 4 por 7. Assim, subtraem 28 de 100 e encontram o número de</p><p>telegramas entregue no primeiro dia. Utilizam a idéia de recorrência, aumentando 7 a</p><p>partir do primeiro dia e apresentam uma resposta.</p><p>Em relação ao grupo 9 temos 2 alunos que construíram um problema com</p><p>características muito parecidas com as da questão. Eles montam uma equação, e a</p><p>resolvem corretamente, entretanto apresentam como resposta o valor da incógnita, isto</p><p>é, o número 6. Na resolução desse problema construído está presente a idéia de</p><p>recorrência, mas mesmo assim esses alunos apresentaram uma resposta com o mesmo</p><p>número de telegramas para os 5 dias.</p><p>No grupo 10 temos 48 alunos que construíram um problema que coincide com a</p><p>questão. Nesse grupo os alunos interpretaram, resolveram e apresentaram uma resposta</p><p>da maneira considerada correta. Os alunos compreendem que o carteiro entregou apenas</p><p>100 telegramas nos cinco dias, a idéia de recorrência a partir do primeiro dia, e a</p><p>resposta sendo um número diferente de telegramas para cada um dos cinco dias.</p><p>No grupo 11 temos a produção escrita dos alunos que construíram um problema</p><p>que sua resolução se constrói operando arbitrariamente os dados do enunciado. Esses 7</p><p>alunos adicionam os números na ordem que aparecem no enunciado e apresentam o</p><p>resultado como resposta. Podemos inferir que esses alunos construíram um problema no</p><p>qual, se aparecem números, eles devem ser operados e o resultado dessa operação é a</p><p>resposta do problema.</p><p>Para o último grupo desse nosso agrupamento estão as produções escritas dos</p><p>alunos as quais não foi possível construir uma interpretação. Temos a quantidade de 21</p><p>provas.</p><p>91</p><p>Apresentaremos a seguir 2 provas que não foram agrupadas nos grupos acima.</p><p>Na prova 8LO4130 o aluno construiu um problema que em sua resolução multiplicou 7</p><p>por 100; dividiu 700 por 5; e, dividiu 140 por 5, três operações realizadas da maneira</p><p>considerada correta. Do último resultado apresentou a resposta para o problema, sendo o</p><p>número de telegramas o mesmo para cada um dos cinco dias.</p><p>Na prova 3CO3119 o aluno construiu um problema no qual identificou uma</p><p>regra de três, com 100 estando para 5, assim como, um número desconhecido está para</p><p>7. Esse problema construído foi bem específico, sendo o único dentre as 147 provas</p><p>analisadas. Das 147 provas analisadas, 5 não foram alocadas em alguns dos 12 grupos</p><p>apresentados anteriormente.</p><p>5.4 Agrupamento do que os alunos mostram saber por meio de sua produção</p><p>escrita</p><p>Analisamos a produção escrita dos alunos e inventariamos quais conteúdos</p><p>matemáticos, geralmente trabalhados na escola, eles mostram saber. Identificamos os</p><p>procedimentos e tecemos algumas considerações sobre quais eles utilizaram na</p><p>resolução da questão. Poucos foram os alunos que utilizaram um conteúdo especifico da</p><p>sua série para resolver a questão. Entretanto, isso não significa que eles não sabem tais</p><p>conteúdos, pois o fato de não encontrarmos registros desses conteúdos na produção</p><p>escrita, não implica em um desconhecimento por parte dos alunos. Portanto tecemos</p><p>nossas considerações apenas sobre aquilo que de fato eles fizeram, ou seja, o que eles</p><p>mostram saber dos conteúdos matemáticos que geralmente são trabalhados na escola.</p><p>Apenas 10 provas não estão nessa tabela, sendo que 4 por não conseguirmos</p><p>fazer uma interpretação; 3 por serem muitos especificas, que discutiremos em particular;</p><p>e, 3 por apresentarem apenas um procedimentos diferente do considerado correto.</p><p>A seguir temos na tabela 7 os níveis de conteúdos matemáticos que os alunos</p><p>mostram saber por meio de sua produção escrita.</p><p>92</p><p>Tabela 7 – Níveis dos conteúdos da matemática escolar os alunos mostram saber por</p><p>meio de sua produção escrita.</p><p>Série</p><p>Descrição sintética</p><p>dos níveis</p><p>4ª Série</p><p>E.F.</p><p>8ª Série</p><p>E.F.</p><p>3ª Série</p><p>E.M.</p><p>TOTAL</p><p>G1 - Resolve uma operação aritmética. 24 8 2 33</p><p>G2 - Resolve duas ou mais operações</p><p>aritméticas.</p><p>16 19 8 43</p><p>G3 - Resolve um problema por meio de</p><p>operações aritméticas e da idéia de</p><p>recorrência.</p><p>1 5 5 11</p><p>G4 - Resolve um problema utilizando uma</p><p>estratégia (tentativa e erro; aritmética</p><p>direcionada) como ferramenta na qual está</p><p>presente à idéia de recorrência.</p><p>6 11 20 37</p><p>G5 - Resolve um problema utilizando</p><p>alguma linguagem algébrica na qual está</p><p>presente à idéia de recorrência.</p><p>0 7 6 13</p><p>Em relação ao grupo 1 temos o número de 23 alunos da 4ª série que resolvem</p><p>uma operação aritmética. Essa operação, em geral, é a divisão de 100 por 5, pois é um</p><p>procedimento oriundo de uma interpretação dos alunos para a primeira frase. Na</p><p>produção escrita também encontramos algumas multiplicações, de 5 por 7; e, algumas</p><p>adições, 100 com 5 e com 7. Esses alunos fazem essas operações da maneira</p><p>considerada correta. Já para a 8ª série do Ensino Fundamental e a 3ª série do Ensino</p><p>Médio esse número é consideravelmente menor, sendo de 9 e 2 respectivamente.</p><p>No grupo 2 temos a produção escrita dos alunos que realizaram duas ou mais</p><p>operações aritméticas. Na 4ª série tivemos 16 alunos, e na 8ª série 19 alunos que</p><p>utilizaram esses procedimentos. Geralmente, esses alunos dividem 100 por 5; adicionam</p><p>7 a esse resultado e apresenta uma resposta para o problema. Apenas 6 alunos da 3ª</p><p>série do Ensino Médio realizaram esse procedimento.</p><p>O grupo 3 contém as produções escritas dos alunos que resolveram um problema</p><p>por meio de operações aritméticas e pela idéia de recorrência. Esses alunos mostram ter</p><p>conhecimento da idéia de recorrência e fazem algumas inter-relações com</p><p>procedimentos utilizados por meio de interpretações da primeira frase do problema. O</p><p>93</p><p>número de alunos das três séries que procederam dessa maneira é baixo, sendo 1 e 5 na</p><p>4ª e 8ª série do Ensino Fundamental, respectivamente, e 5 na 3ª séries do Ensino Médio.</p><p>No grupo 4 temos as provas nas quais os alunos elaboraram uma estratégia, ou</p><p>tentativa e erro ou aritmética direcionada, e, a usaram como uma ferramenta para</p><p>resolver um problema, na qual está presente também a idéia de recorrência. Esse é o</p><p>grupo tem 37 provas, sendo o maior, em quantidade, em relação aos outros. Na 4ª série</p><p>temos 6 provas, na 8ª série 11 e, na 3ª série do Ensino Médio 20 provas. Nas resoluções</p><p>que a estratégia utilizada é a de tentativa e erro e aritmética direcionada, estão presentes</p><p>vários procedimentos relativos às quatro operações e também à idéia de recorrência.</p><p>Já no grupo 5 temos a produção escrita dos alunos que utilizaram alguma</p><p>linguagem algébrica como ferramenta para um problema no qual está presente a idéia</p><p>de recorrência. Não encontramos produção escrita na 4ª série de alunos que resolveram</p><p>dessa maneira. Já na 8ª série temos 5 alunos e, na 3ª série do Ensino Médio 6 alunos.</p><p>Temos 4 provas de alunos que não foi possível construir uma interpretação para</p><p>sua produção escrita.. Nesse grupo temos 4 provas, sendo 1 da 4ª série, 2 da 8ª série, e,</p><p>2 provas da 3ª séries do Ensino Médio.</p><p>Por meio desses critérios construídos para a construção de agrupamento, 3</p><p>provas não puderam ser agrupadas por apresentarem características muito específica.</p><p>Assim, iremos discuti-las uma a uma.</p><p>Na prova 8CO3122 um aluno monta uma equação com os dados do enunciado</p><p>da questão, começa resolvê-la, mas, pára por algum motivo que não conseguimos</p><p>interpretar. A seguir, podemos inferir, que ele monta uma outra equação, mas também</p><p>não a resolve por completo. Podemos notar que mesmo o aluno não resolvendo a</p><p>questão da maneira considerada correta, inferimos que ele sabe retirar dados do</p><p>enunciado da questão e montar uma equação. Ele mostra saber, também, as regras de</p><p>manipulação de uma equação e provavelmente como resolver.</p><p>94</p><p>Figura 41 – Resolução presente na prova 8CO3122</p><p>Na prova 3CO3119 temos a produção de um aluno que montou uma regra</p><p>utilizando dados do enunciado da questão. Resolve, corretamente, uma equação e</p><p>apresenta uma resposta para o problema, sendo ela o valor da incógnita. Como discutido</p><p>no agrupamento anterior percebemos que para o problema que o aluno construiu, a</p><p>partir da sua interpretação do enunciado da questão, o resolveu corretamente. Ele mostra</p><p>também saber um procedimento relativo a regra de três.</p><p>Figura 42 – Resolução presente na prova 3CO3119</p><p>Já na prova 3CO5075 temos um aluno que elaborou várias estratégias para</p><p>resolver a questão, entretanto, riscou todas e afirmou: “Não sei a resolução deste</p><p>exercício”. Mesmo tendo feito essa afirmação, podemos notar que ele mostra saber</p><p>conteúdos matemáticos relativos a equação e as operações aritméticas.</p><p>Figura 43 – Resolução presente na prova 3CO5075</p><p>95</p><p>Por meio desse três exemplos discutimos vemos que mesmo quando um aluno</p><p>não apresente uma resolução correta para a questão, ele mostra saber vários conteúdos</p><p>matemáticos. Elabora estratégia para o problema que tentou ou de fato resolveu e utiliza</p><p>procedimentos da maneira considerada correta.</p><p>Das 147 provas analisadas, somente 3 apresentaram apenas um procedimento</p><p>diferente da maneira considerada correta. Ressaltamos que estas são da 4ª série do</p><p>Ensino Fundamental. Como elas não foram agrupadas nos 5 grupos apresentamos uma</p><p>para nossas discussões.</p><p>Na prova 4L1001 o aluno montou o algoritmo da adição utilizando os três</p><p>números que aparecem no enunciado e o resolve de uma maneira diferente da</p><p>considerada correta.</p><p>Figura 44 – Resolução presente na prova 4L10001</p><p>96</p><p>6 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES</p><p>A primeira, e uma das mais importantes considerações que apresentamos com</p><p>este trabalho, é que a avaliação deve ser encarada como uma prática de investigação</p><p>pelos professores e alunos em sala de aula, e a análise da produção escrita se apresenta</p><p>como uma estratégia para sua implementação. A avaliação deve ser tomada como uma</p><p>“câmera digital” dos trabalhos dos alunos, um processo de apresentar indicativos de</p><p>suas aprendizagens, indicativos incompletos, imprecisos, sempre com a possibilidade</p><p>de</p><p>remediação, de retomada. Parece-nos que tomar a avaliação nessa perspectiva pode ser</p><p>uma condição necessária na busca de efetivar uma prática de educação com e para</p><p>todos.</p><p>Quando um aluno resolve uma questão e deixa seus registros escritos na prova,</p><p>estes marcam o caminho que percorreu por meio de suas estratégias e procedimentos,</p><p>possibilitando análises de seus modos de lidar com as questões. Essas análises, que têm</p><p>por objetivo oportunizar compreensões para desvendar e interpretar o caminho</p><p>percorrido, mostram-se como uma alternativa a propiciar conhecimentos sobre a</p><p>atividade matemática dos alunos.</p><p>Por meio dos registros escritos dos alunos é possível inferir sobre seus modos de</p><p>interpretar o enunciado da questão, bem como analisar as estratégias elaboradas e os</p><p>procedimentos utilizados. Este trabalho mostra que os alunos em sua grande maioria,</p><p>interpretam o enunciado da questão linearmente e elaboram suas estratégias de acordo</p><p>com essa interpretação, conectando passo a passo alguns procedimentos e apresentam</p><p>ao final uma resposta. Será que na escola acontece uma discussão das interpretações que</p><p>os alunos fazem e de como se espera que interpretem o enunciado de uma questão? Os</p><p>alunos mostram ter algum domínio, com pouquíssimas exceções, dos procedimentos</p><p>matemáticos que aprenderam na escola, porém fazem interpretações diferentes das</p><p>consideradas corretas para o enunciado da questão. Com isso, eles constroem problemas</p><p>diferentes a partir do enunciado da questão dada e os resolvem de uma maneira</p><p>considerada correta.</p><p>Assim, nossos alunos não devem ser rotulados como fracassados, que não sabem</p><p>coisa alguma da matemática escolar, visto que, como demonstram nossos dados, são</p><p>poucas as maneiras de lidar, relativas aos procedimentos, que são realizadas por eles,</p><p>diferentes da considerada correta. Portanto, temos que repensar não somente as</p><p>dificuldades dos alunos, mas também as dificuldades referentes aos professores.</p><p>97</p><p>Identificar a dificuldade dos alunos em interpretar enunciados das questões nos</p><p>remete, também, a pensar em qual tipo de matemática está sendo apresentada em sala de</p><p>aula. Uma atividade que oportuniza a construção/apropriação de estratégias e</p><p>ferramentas para os alunos se constituírem como seres humanos atuantes em seus</p><p>contextos, ou uma linguagem mecanizada, cuja existência faz sentido apenas na escola</p><p>para efetuar as ditas “contas” e resolver as tais equações? Infelizmente é essa última,</p><p>uma matemática mecanizada, que geralmente domina os contextos das salas de aula.</p><p>Para propiciar alternativas para mudanças, devemos reconfigurar o ensino da</p><p>matemática não apenas em questões metodológicas, mas também em questões</p><p>epistemológicas e sociais relativas ao conhecimento matemático. Precisamos pensar em</p><p>Educação Matemática e não mais em ensino de matemática.</p><p>Apresentamos uma mudança saindo da análise dos “erros” para as maneiras de</p><p>lidar dos alunos e, com isso, investigamos quais estratégias e procedimentos nossos</p><p>alunos efetivamente elaboraram para resolver um problema construído a partir do</p><p>enunciado de uma questão. Caracterizamos nossos alunos pelo que eles têm e não pelo</p><p>que lhes falta, e essa mudança nos permitiu fazer essa caracterização. Assim, tomar as</p><p>maneiras de lidar dos alunos ao invés de “erros” não é apenas uma mudança</p><p>metodológica e sim epistemológica, pois valoriza os modos particulares que os alunos</p><p>constroem, buscando legitimá-los não como certos ou errados, mas como diferentes,</p><p>possibilitando com isso interpretar e valorizar as atividades matemáticas dos alunos.</p><p>Cada aluno tem seu modo idiossincrático de lidar com o conhecimento</p><p>matemático. Esses modos devem ser tomados como ponto de partida para construir um</p><p>espaço de negociação e legitimação dos significados atribuídos para tais conhecimentos.</p><p>Assim, as maneiras de lidar que são diferentes das consideradas corretas apresentam-se</p><p>a favor da aprendizagem dos alunos, permitindo aos professores oportunidades de</p><p>leitura do modo como os alunos pensam sobre um determinado conteúdo. A partir dessa</p><p>leitura, eles podem planejar suas ações para promover a aprendizagem, as atividades, as</p><p>discussões a serem estabelecidas com os alunos. Conseqüentemente, os professores</p><p>podem deixar de “mostrar os caminhos” e passar a indagar sobre os caminhos que os</p><p>alunos estão construindo, provocando momentos de instabilidade, reflexão e</p><p>confirmação nos quais aconteçam suas aprendizagens.</p><p>Outro ponto importante, que diz respeito à caracterização das pessoas pela falta,</p><p>é que ao fazermos isso, sempre estamos interessados apenas nos ditos corretos, nos</p><p>aclamados heróis e apenas naqueles que obtiveram sucesso. De certa forma, é praticar</p><p>98</p><p>uma política de exclusão fazendo um corte para privilegiar e exaltar alguns, em</p><p>detrimento de outros. É reafirmar as enormes desigualdades sociais e culturais, apenas</p><p>informando aqueles que não estão nos padrões, sem oferecer oportunidades para,</p><p>partindo do que efetivamente eles têm, buscar o desejado. Falta você aprender tal</p><p>conhecimento; você não tem tal informação; você não tem capacidade para realizar tal</p><p>ação. E ai, o que adiantou você me dizer todas essas coisas que me faltam? Ao</p><p>buscarmos uma mudança saindo do que falta aos nossos alunos, os “erros”, para olhar o</p><p>que eles têm, suas maneiras de lidar, estamos oportunizando um outro modo de pensar</p><p>na sociedade e com isso uma alternativa para construir um outro mundo menos cruel e</p><p>injusto. Um modo holístico e respeitoso para com as diferenças, e não particular e</p><p>fragmentário, indiferente a elas.</p><p>Em relação à Educação Algébrica, confirmamos que sua iniciação pode e deve</p><p>acontecer desde as primeiras séries do Ensino Fundamental. Não existem motivos, a não</p><p>ser de cunho político e de tradição pedagógica, para não começarmos a pensar em</p><p>colocar nos currículos tópicos que tratam do desenvolvimento do pensamento e da</p><p>atividade algébrica. Esse modo específico de organizar e modelar situações, o</p><p>pensamento algébrico, é de suma importância para outras áreas da matemática como</p><p>também para diversos contextos da vida fora da escola. Por isso deve ser pensado como</p><p>um conteúdo importante no decorrer das séries.</p><p>Em relação aos nossos dados, identificamos a presença do pensamento algébrico</p><p>em várias produções escritas dos alunos da 4ª série do Ensino Fundamental. Esse</p><p>pensamento vai se desenvolvendo ao longo das séries e também é potencializado pelo</p><p>uso de uma linguagem simbólica. Nossa caracterização para investigarmos o</p><p>pensamento algébrico por meio das produções escritas dos alunos se mostrou eficiente e</p><p>de acordo com a abordagem de iniciar os trabalhos da Educação Algébrica por meio da</p><p>Resolução de Problemas.</p><p>Junto ao conhecimento algébrico deve estar o conhecimento aritmético, o</p><p>geométrico, oportunizando aos alunos modos de pensamento e estratégias de resoluções</p><p>das mais diversas situações. Não podemos separar esses conhecimentos durante a vida</p><p>escolar dos nossos alunos.</p><p>Em todas as análises que fizemos da produção escrita dos alunos das três séries</p><p>avaliadas, o aumento de escolaridade trouxe consigo alguma melhoria no desempenho.</p><p>Em relação ao modo de interpretação do enunciado da questão, na 4ª série do</p><p>Ensino Fundamental 26 alunos interpretam o problema linearmente, ou seja, fazem uma</p><p>99</p><p>interpretação de cada frase do enunciado, uma a uma, utilizam algum procedimento</p><p>encadeando-o passo a passo no decorrer de sua leitura e ao final apresentam uma</p><p>resposta oriunda desses procedimentos. Na 8ª série do Ensino Fundamental esse número</p><p>diminui para 17 e na 3ª série do Ensino Médio diminui ainda mais, sendo apenas de 5. A</p><p>diminuição dessa quantidade é um aspecto importante, pois no decorrer das séries</p><p>menos alunos interpretam o enunciado da questão linearmente. Isso mostra que com</p><p>mais escolaridade os alunos fazem mais e melhores relações entre</p><p>as frases do</p><p>enunciado e seus modos de interpretação consideram mais informações contidas nele.</p><p>No decorrer das séries, os alunos constroem conhecimentos que propiciam uma olhar</p><p>mais abrangente, atento e cuidadoso para a leitura de um enunciado e uma melhor</p><p>compreensão dele. Assim, a atividade matemática dos alunos sai da manipulação de</p><p>uma linguagem apenas procedimental, para a resolução de situações, elaborando</p><p>hipóteses e tomando decisões por meio de alguns procedimentos e estratégias.</p><p>Já em relação à interpretação do enunciado da questão considerada correta, 6</p><p>alunos da 4ª série, 16 da 8ª série do Ensino Fundamental e 26 da 3ª série do Ensino</p><p>Médio, fizeram esse modo de interpretação. Vemos um grande aumento com decorrer</p><p>das séries e esse resultado nos indica que, ao longo dos anos de escolaridade, nossos</p><p>alunos vão constituindo conhecimentos que oportunizam interpretar o enunciado de uma</p><p>questão da maneira considerada correta.</p><p>Ao investigarmos o pensamento algébrico que os alunos mostram ter por meio</p><p>da sua produção escrita, temos, segundo nossa caracterização, que 26 das 50 provas dos</p><p>alunos da 4ª série do Ensino Fundamental mostram indicativos da existência desse tipo</p><p>de pensamento. Dessas 26 provas, 19 estão categorizadas no primeiro nível, que é o de</p><p>expressar uma relação entre estruturas aritméticas para resolver a questão, e 7 estão no</p><p>segundo nível, que é o de expressar relações entre estruturas aritméticas para resolvê-la,</p><p>nas quais está presente a idéia de recorrência. Para o terceiro nível, que é o de expressar</p><p>relações entre estruturas aritméticas utilizando alguma linguagem algébrica, e o quarto,</p><p>que é o de expressar relações utilizando uma equação, não temos prova alguma. Na 8ª</p><p>série do Ensino Fundamental, número de provas dos alunos que mostram ter o</p><p>pensamento algébrico é de 42, sendo 17 no primeiro nível; 17 no segundo nível; 2 no</p><p>terceiro nível; e, 6 no último nível. Já para a 3ª série do Ensino Médio temos 39</p><p>produções escritas que demonstram algum pensamento algébrico. Dessas provas 6 estão</p><p>no primeiro nível; 23 no segundo; 1 no terceiro e 9 no último nível. Notamos que 47 dos</p><p>nossos alunos, nas três séries, se encontram no segundo nível, que é o de expressar</p><p>100</p><p>relações entre estruturas aritméticas para resolver a questão, nas quais está presente a</p><p>idéia de recorrência. Ressaltamos que grande parte dos alunos, que resolveram a questão</p><p>da maneira considerada correta, elaboraram uma estratégia que se enquadra nesse nível</p><p>do pensamento algébrico.</p><p>Muitos foram os problemas construídos pelos alunos a partir do enunciado da</p><p>questão, como discutimos no capítulo anterior. Entretanto 58 alunos das três séries</p><p>construíram um problema cujas características de interpretação e resolução são lineares.</p><p>Por meio do enunciado da questão construíram um problema passo a passo conectando</p><p>procedimentos encadeados e apresentando ao fim uma resposta. Já para as</p><p>características de interpretação e resolução não-lineares, ou seja, que envolvem alguma</p><p>relação não encadeada passo a passo, entre as informações das duas primeiras frases,</p><p>tivemos 15 alunos, nas três séries. Em relação aos problemas construídos pelos alunos</p><p>que coincidem com a questão, temos o número de 48 alunos. Por fim tivemos 14 provas,</p><p>para as quais não foi possível construir uma interpretação.</p><p>Em relação aos conteúdos da matemática escolar que os alunos mostram saber,</p><p>em relação às três séries, temos 33 provas em que os alunos mostram saber resolver uma</p><p>operação aritmética e 43 nas quais eles mostram saber duas ou mais operações. Esses</p><p>alunos não resolveram a questão proposta da maneira considerada correta, mas em seus</p><p>registros escritos é possível observar o conhecimento desses procedimentos. Temos 37</p><p>provas nas quais os alunos mostram saber resolver a questão utilizando as estratégias de</p><p>tentativa e erro ou aritmética direcionada como ferramenta, na qual está presente a idéia</p><p>de recorrência. Temos também 13 alunos que mostram saber, por meio de sua produção</p><p>escrita, utilizar alguma linguagem algébrica, na qual também está presente à idéia de</p><p>recorrência. Apenas em 6, das 147 provas, não foi possível fazer uma interpretação do</p><p>que os alunos mostram saber.</p><p>Nossos resultados apontam que a grande maioria dos alunos mostra saber os</p><p>procedimentos que geralmente são trabalhados na escola, ou seja, eles sabem sim muitas</p><p>coisas da matemática escolar. Apenas com análises, sejam elas por meio da produção</p><p>escrita ou outro tipo de dados, podemos inferir sobre o que nossos alunos sabem.</p><p>Diferentemente dos resultados amplamente divulgados das avaliações em massa,</p><p>afirmamos que nossos alunos sabem, sim, muitos procedimentos da matemática escolar.</p><p>No decorrer do trabalho consideramos a construção de vários tipos de análises e</p><p>optamos, em razão do tempo e dos objetivos do projeto como um todo, por realizar</p><p>aquela que apresentamos no capítulo anterior. Entretanto, como uma dissertação ou</p><p>101</p><p>qualquer trabalho de pesquisa nunca acaba, apenas fechamos com aquilo que temos em</p><p>mãos, apresentamos alguns indicativos de investigações futuras a serem realizadas por</p><p>interessados em caracterizar os modos como os alunos lidam com as questões abertas de</p><p>matemática.</p><p>Ao resolver uma questão, os alunos não apenas utilizam seus conhecimentos</p><p>matemáticos, mas também os conhecimentos da sua vida prática fora da escola que são</p><p>constituídos inter-relacionados com os da escola. Percebemos vários indícios e vários</p><p>indicativos, por meio da produção escrita dos alunos, de que os contextos que</p><p>circunscrevem suas vidas estão efetivamente presentes na interpretação do enunciado da</p><p>questão, bem como na elaboração de uma estratégia e na utilização de procedimentos.</p><p>Inferimos que alguns alunos ao fazerem suas interpretações do enunciado da questão</p><p>podem ter se questionado: Por que um carteiro entrega 6 telegramas em um dia, 13 no</p><p>outro, 20 no próximo e assim por diante? Por que ele não entrega a mesma quantidade</p><p>em todos os dias? Eu nunca vi um carteiro entregar uma quantidade tão pequena de</p><p>telegramas em um dia, 6, e outra tão grande, 34, em outro. Acreditamos que estas,</p><p>entre outras, devem ser perguntas que passam pelas cabeças dos nossos alunos ao</p><p>interpretar o enunciado de uma questão aberta de matemática. Assim, investigar quais as</p><p>interferências e relações que os contextos efetivamente fazem no modo dos alunos</p><p>lidarem com as questões matemáticas pode ser um indicativo para futuras pesquisas.</p><p>Outro ponto em relação ao contexto diz respeito ao modo e à linguagem com a</p><p>qual a questão foi apresentada aos alunos. Pesquisas24 apontam para o fato desta</p><p>variável estar relacionada ao desempenho dos alunos ao resolverem a questão, mas isto</p><p>ainda permanece como tema para mais investigações. Será que se o enunciado da</p><p>questão estivesse escrito em uma linguagem, sem um aposto, por exemplo, na segunda</p><p>frase, os alunos interpretariam da maneira considerada correta? Será que o enunciado da</p><p>nossa questão que tem uma “roupagem” da vida real, mas que ainda fica distante da</p><p>rotina dos carteiros, em geral, ofereceu oportunidades para outros tipos de</p><p>interpretações e resoluções por parte dos alunos? Essas também são perguntas que ficam</p><p>sem resposta neste trabalho.</p><p>Em relação à produção escrita encontrada nas provas, continuamos com uma</p><p>dúvida em relação a um determinado procedimento utilizado por alguns alunos. Estes,</p><p>por algum motivo, tomaram o número 7, que indica a quantidade de telegramas que o</p><p>24 HEUVEL-PANHUIZEN, 2005; D’AMBROSIO 2004; KASTEBERG, S. et all 2005</p><p>102</p><p>carteiro entregou a mais a partir do primeiro dia, como o número total de dias e assim</p><p>realizaram uma divisão que tem como divisor o número 7. Não conseguimos inferir o</p><p>motivo dessa troca de natureza das quantidades representadas pelos números e</p><p>acreditamos que não</p><p>temos condições de compreender essa ação dos alunos apenas por</p><p>meio da produção escrita em uma única questão de uma única prova. É necessário</p><p>realizar um trabalho no qual, por meio de entrevistas, se investiguem os motivos desses</p><p>alunos fazerem essa interpretação do enunciado da questão.</p><p>Essas três considerações pensadas ao longo do trabalho ficam como indicativo</p><p>para futuras pesquisas. Acreditamos que elas são de grande importância e relevância</p><p>para compreensões da atividade matemática dos nossos alunos.</p><p>Não a última, mas apenas mais uma importante consideração deste trabalho é</p><p>que nossos alunos mostraram ter algum domínio de vários conteúdos matemáticos.</p><p>Alguns resultados de avaliações de rendimento nacionais e mesmo internacionais</p><p>mostram uma péssima imagem do desempenho dos nossos alunos. Entretanto, como já</p><p>foi colocado neste trabalho, o alcance dessas provas é limitado. A correção está</p><p>ancorada apenas no certo e no errado, no que fracassou e naquele que teve sucesso. Por</p><p>meio dos nossos resultados, temos que, mesmo os alunos que não resolveram a questão</p><p>proposta, resolvem corretamente um problema que construíram do enunciado da</p><p>questão. Claro que isso apenas não basta. É preciso que de fato nossos alunos resolvam</p><p>as Questões. Mas para isso é importante tomarmos como ponto de partida o que eles</p><p>efetivamente mostram saber e como eles lidam com elas. Para isso, nosso trabalho pode</p><p>servir de subsidio para uma caracterização da atividade matemática escolar dos alunos.</p><p>Não queremos saber apenas o que falta para nossos alunos, mas sim, o que</p><p>efetivamente eles têm, para, a partir destes conhecimentos, que são muitos, buscarmos</p><p>com eles construir um mundo justo, solidário e de paz. Sei que não dá para mudar o</p><p>começo, mas, se a gente quiser, vai dar para mudar o final!</p><p>Essa é a nossa esperança.</p><p>103</p><p>7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS</p><p>ALVES, R. M F. Uma análise da Produção Escrita de Alunos do Ensino Médio em</p><p>Questões abertas de Matemática. 2006 158 p. Londrina. Dissertação (Mestrado em</p><p>Ensino de Ciências e Educação Matemática) – Departamento de Matemática..</p><p>Universidade Estadual de Londrina, 2006.</p><p>BARDIN, Laurence. Análise de Conteúdo. Tradução: Luís Antero Reto e Augusto</p><p>Pinheiro. Lisboa: Edições: 70, 1977.</p><p>BELL, A. Algebraic Thought an the Role of a Manipulative Symbolic Language. In:</p><p>Nadine Bednarz, Carolyn Kieran, and Lesley Lee (Eds). Approaches to Algebra:</p><p>Perspectives for Research and Teaching Boston: Kluwer, 1996. p. 151-154.</p><p>BLANTON, MARIA L.; JAMES J. KAPUT. Characterizing a Classroom Practice That</p><p>Promotes Algebraic Reasoning. Journal for Research in Mathematics Education,</p><p>v.36, n.5, p. 412-443, Novembro, 2005.</p><p>BOGDAN, R. C.; BIKLEN, S. K. Investigação Qualitativa em educação. (1. ed.</p><p>1991) Trad. Maria J. Alvez, Sara B. dos Santos e Telmo M. 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Questões Abertas de Matemática: Um estudo de Registros Escritos.</p><p>2005. 103 p. Londrina. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação</p><p>Matemática) – Departamento de Matemática.. Universidade Estadual de Londrina,</p><p>2006.</p><p>PEREGO, F. O que a produção escrita pode revelar? Uma análise de questões de</p><p>matemática. 2006. 128 p. Londrina. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e</p><p>Educação Matemática) – Departamento de Matemática.. Universidade Estadual de</p><p>Londrina, 2006.</p><p>RADATZ, Hendrik. Error Anaalyses in Mathematics Education. Journal for Research</p><p>in Mathematics Education v.10, n.2, p. 163-172, Maio, 1979.</p><p>RADATZ, Hendrik. Students’ Errors in the Mathematics Learning Process: a Survey.</p><p>For the Learning of Mathematics. v.1, n.1, julho, 1980.</p><p>RADFORD, L. The Roles of Geometry and Arithmetic in the development of Algebra:</p><p>Historical Remarks from a Didact perspective. 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Approaches to Algebra:</p><p>Perspectives for Research and Teaching Boston: Kluwer, 1996. p. 55-64.</p><p>ANEXO</p><p>ANÁLISE DA PRODUÇÃO ESCRITA DE ALUNOS E PROFESSORES</p><p>NAS PROVAS DE QUESTÕES ABERTAS DE MATEMÁTICA1</p><p>Regina Luzia Corio de Buriasco</p><p>coordenadora do projeto</p><p>O projeto é constituído de investigações a serem realizadas por docentes, alunos dos</p><p>programas de Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática, de Educação, e,</p><p>alunos da Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual de Londrina, articuladas em</p><p>torno do eixo temático da Avaliação em Matemática tendo como foco dos estudos a Prova de</p><p>Questões Abertas de Matemática da AVA 2002.</p><p>Pretende-se desenvolver um estudo qualitativo envolvendo a produção escrita de alunos e</p><p>professores que ensinam matemática na resolução da Prova de Questões Abertas de</p><p>Matemática da Avaliação Estadual do Rendimento Escolar do Paraná – AVA/2002.</p><p>Os registros que os alunos fazem ao resolver as questões dão valiosas informações sobre o</p><p>modo como compreenderam e registraram suas idéias a respeito da situação apresentada. Tais</p><p>informações fornecem rico material para o professor incorporar ao seu repertório no</p><p>planejamento das aulas e para orientar suas escolhas didáticas, servindo como referência para</p><p>conversar sobre matemática com o aluno.</p><p>Ao analisar uma produção escrita, mantém-se um diálogo com as respostas dadas, indaga-se</p><p>sua configuração, procura-se encontrar quais as relações que as constituem. O erro, então, não</p><p>é considerado como algo negativo e sim como um indício importante sobre os conhecimentos,</p><p>processos</p><p>de relação das informações, valores, presentes na relação do sujeito com o objeto</p><p>do conhecimento, quase sempre invisíveis e ignorados na prática educativa escolar.</p><p>1 Projeto financiado pela Fundação Araucária, sob protocolo no. 5998 do PROGRAMA DE APOIO À</p><p>PESQUISA BÁSICA E APLICADA – Chamada de Projetos 06/2003. Modalidade B.</p><p>Pretende-se estudar tanto erros como acertos, pois “tal como o sucesso não é garantia absoluta</p><p>da existência da competência pretendida, o erro não é a prova absoluta da sua ausência”</p><p>(HADJI, 1994, p.123), por conseguinte neste estudo todas as respostas e as estratégias</p><p>utilizadas por quem as obtém serão fontes de investigação.</p><p>No caso deste estudo, não se pretende apresentar ‘receitas’ sobre avaliação ou correção de</p><p>provas escritas, mas sim conhecer mais e melhor como alunos e professores lidam com</p><p>questões abertas de matemática. Dessa forma, buscará subsidiar a realização de uma das</p><p>tarefas do professor que é a de fazer com que o erro, aos poucos se torne observável ao aluno</p><p>para que este tome consciência daquele. Essa é uma das contribuições possíveis do presente</p><p>projeto na tentativa de diminuir o fracasso escolar.</p><p>Objetivos Gerais</p><p>� Analisar a produção escrita de alunos e professores em questões abertas de</p><p>matemática.</p><p>� Aprofundar o conhecimento dos processos de aprender e ensinar matemática,</p><p>mediante um estudo da produção escrita de alunos e professores.</p><p>Material e Participantes</p><p>Para o desenvolvimento deste estudo serão utilizadas:</p><p>a) uma amostra retirada do universo das provas de Matemática realizadas pelos alunos de 4ª e</p><p>8ª séries do Ensino Fundamental e 3ª série do Ensino Médio das escolas públicas que</p><p>participaram da AVA-2002, atendendo ao sistema de referência estatístico definido para este</p><p>estudo, de modo a que seja representativa do universo dos participantes da AVA- 2002. Por</p><p>conseguinte, será levado em conta o total de alunos, séries, dependência administrativa</p><p>(pública), a amostra aleatória previamente selecionada e turno em que os alunos estavam</p><p>matriculados. O sistema de referência será estruturado tendo como base as 10 meso-regiões</p><p>em função da localização geográfica dos municípios. Deste modo, serão selecionadas, por</p><p>sorteio aleatório, dentro da cota de participação de cada meso-região, sendo 400 provas de 4ª</p><p>série e 422 provas da 8ª série do Ensino Fundamental e 327 provas da 3ª série do Ensino</p><p>Médio;</p><p>b) uma prova composta por todas as questões da prova estadual de 4ª e 8ª séries do Ensino</p><p>Fundamental e 3ª série do Ensino Médio a qual será resolvida por professores que ensinam</p><p>matemática no Ensino Fundamental e no Ensino Médio, da rede pública do estado do Paraná,</p><p>e, por alunos do curso de Licenciatura em Matemática.</p><p>O presente estudo terá, então, como participantes alunos de escolas públicas paranaenses que</p><p>realizaram a AVA/2002; alunos do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade</p><p>Estadual de Londrina – UEL; alunos que cursaram, em 2002, a 4ª. série do Ensino</p><p>Fundamental numa escola municipal de Cambé; professores que ensinam matemática no</p><p>Ensino Fundamental e Médio em escolas públicas na região de Londrina.</p><p>Indicadores previstos para a análise</p><p>Reafirmando que um dos propósitos principais é o de estimar a proficiência matemática</p><p>examinando, atentamente, toda produção escrita na busca de indícios dos modos e estratégias</p><p>utilizados na resolução de cada questão, e, devido à natureza da prova, os registros escritos</p><p>dos alunos e professores serão separados inicialmente em três blocos - “resolve</p><p>adequadamente a questão” (crédito completo), “resolve parcialmente a questão”(crédito</p><p>parcial) e “não resolve a questão” (nenhum crédito ).</p><p>Há duas razões para isto: levar em consideração o grau de compreensão demonstrado pelo</p><p>aluno/professor na interpretação do enunciado da questão e em sua resolução, sempre, tendo</p><p>como objetivo identificar o que ele já sabe e o que está a caminho de saber, para que,</p><p>posteriormente, possa se esclarecer aos professores a existência de respostas que podem</p><p>receber “crédito completo” mesmo não sendo aquelas ‘perfeitas’ de acordo com o modelo por</p><p>eles conhecido.</p><p>Relevância Estimada do Projeto</p><p>Com relação a esta investigação espera-se que:</p><p>� a tradução das descobertas geradas possa contribuir nos programas de formação</p><p>inicial e continuada de professores que ensinam matemática, bem como para a</p><p>área de estudos sobre avaliação em matemática;</p><p>� seus resultados e as informações inventariadas possam se converter em</p><p>subsídios para instrumentalizar a prática pedagógica do professor que ensina</p><p>matemática;</p><p>� possa servir de mote para outros estudos, para a elaboração de material que</p><p>subsidie a prática pedagógica do professor na busca de superar os obstáculos</p><p>didáticos por eles encontrados.</p><p>Têm-se, ainda, como meta e indício de sua relevância que o presente estudo incorpore e gere</p><p>produções acadêmicas, especificamente: dissertações de mestrado; trabalhos de iniciação</p><p>científica; publicações de artigos e apresentações em eventos das áreas de Educação</p><p>Matemática e de Educação em geral, por exemplo, em eventos como o ENEM, SIPEM,</p><p>ANPED; ENDIPE e outros similares, nacionais e internacionais.</p><p>Até o momento</p><p>a)estão concluídas as seguintes dissertações:</p><p>PEREGO, Sibéle Cristina. Questões Abertas de Matemática: um estudo de registros</p><p>escritos. [produção de alunos da Licenciatura em Matemática] 2005. Programa de Mestrado</p><p>em Ensino de Ciências e Educação Matemática, Depto. de Matemática, Universidade</p><p>Estadual de Londrina, Londrina – Paraná. Orientadora: Regina Luzia Corio de Buriasco.</p><p>NAGY-SILVA, Marcia Cristina. Do observável para o oculto: um estudo da produção</p><p>escrita de alunos da 4ª. série em questões de matemática. 2005. Programa de Mestrado em</p><p>Ensino de Ciências e Educação Matemática, Depto. de Matemática, Universidade Estadual de</p><p>Londrina, Londrina – Paraná. Orientadora: Regina Luzia Corio de Buriasco.</p><p>SEGURA, Raquel de Oliveira. Estudo da Produção Escrita de Professores em Questões</p><p>Discursivas de Matemática. 2005. Programa de Mestrado em Educação, Depto. de Educação,</p><p>Universidade Estadual de Londrina, Londrina – Paraná. Orientadora: Regina Luzia Corio de</p><p>Buriasco.</p><p>PEREGO, Franciele. O que a Produção Escrita Pode Revelar? Uma análise de questões de</p><p>matemática. 2006. Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática,</p><p>Depto. de Matemática, Universidade Estadual de Londrina, Londrina – Paraná. Orientadora:</p><p>Regina Luzia Corio de Buriasco.</p><p>NEGRÃO DE LIMA, Roseli Cristina. Avaliação em Matemática: análise da produção</p><p>escrita de alunos da 4ª. série do Ensino Fundamental em questões discursivas. 2006.</p><p>Programa de Mestrado em Educação, Depto. de Educação, Universidade Estadual de</p><p>Londrina, Londrina – Paraná. Orientadora: Regina Luzia Corio de Buriasco.</p><p>ALVES, Rose Mary Fernandes. Estudo da produção escrita de alunos do Ensino Médio em</p><p>questões de matemática. 2006. Programa de Mestrado em Educação, Depto. de Educação,</p><p>Universidade Estadual de Londrina, Londrina – Paraná. Orientadora: Regina Luzia Corio de</p><p>Buriasco.</p><p>b) estão em andamento as seguintes dissertações:</p><p>Jader Otavio Dalto - este mestrando está investigando a produção escrita de alunos</p><p>encontrada na questão comum de uma amostra retirada do universo das Provas de Questões</p><p>Abertas de Matemática da 8ª. série do Ensino Fundamental e 3ª. série do Ensino Médio, das</p><p>escolas públicas paranaenses que participaram da AVA-2002, para compreender o</p><p>sentido/significado que os alunos atribuem às informações contidas nos enunciados das</p><p>questões e a utilização que fazem delas; inventariar e analisar os acertos e erros mais</p><p>freqüentes e sua natureza; identificar as estratégias/procedimentos mais utilizados; verificar se</p><p>a produção escrita destes alunos apresenta marcas de conteúdo matemático compatíveis</p><p>com o</p><p>seu nível de escolaridade e, identificar os possíveis fatores intervenientes.</p><p>c) está em andamento a investigação:</p><p>Magna Natalia Marin Pires - esta colaboradora está iniciando uma investigação sobre a</p><p>produção escrita de alunos encontrada na questão comum de uma amostra retirada do</p><p>universo das Provas de Questões Abertas de Matemática da 4ª. e 8ª. séries do Ensino</p><p>Fundamental, das escolas públicas paranaenses que participaram da AVA-2002, para</p><p>compreender o sentido/significado que os alunos atribuem às informações contidas nos</p><p>enunciados das questões e a utilização que fazem delas; inventariar e analisar os acertos e</p><p>erros mais freqüentes e sua natureza; identificar as estratégias/procedimentos mais utilizados;</p><p>verificar se a produção escrita destes alunos apresenta marcas de conteúdo matemático</p><p>compatíveis com o seu nível de escolaridade e, identificar os possíveis fatores intervenientes.</p><p>b) estão em andamento os seguintes trabalhos de Iniciação Científica:</p><p>Pamela Emanueli Alves Ferreira - com uma abordagem qualitativa de cunho interpretativo,</p><p>esta estudante da Licenciatura em Matemática está investigando a produção escrita de alunos</p><p>contida na questão específica da Prova de Questões Abertas de Matemática da 8ª. série do</p><p>Ensino Fundamental de uma amostra retirada pela SEED/PR do universo das provas</p><p>realizadas pelos alunos das escolas públicas paranaenses que participaram da AVA-2002.</p><p>Com este estudo pretende inventariar e analisar os acertos e erros mais freqüentes e sua</p><p>natureza; identificar as estratégias/procedimentos mais utilizados.</p><p>Sérgio Luis Lima Filho - com uma abordagem qualitativa de cunho interpretativo, este</p><p>estudante da Licenciatura em Matemática está investigando a produção escrita de alunos</p><p>contida na questão específica da Prova de Questões Abertas de Matemática da 3ª. série do</p><p>Ensino Médio de uma amostra retirada pela SEED/PR do universo das provas realizadas pelos</p><p>alunos das escolas públicas paranaenses que participaram da AVA-2002. Com este estudo</p><p>pretende inventariar e analisar os acertos e erros mais freqüentes e sua natureza; identificar as</p><p>estratégias/procedimentos mais utilizados.</p><p>37 – Resolução presente na prova 3LO9046 ----------------------------------------84</p><p>Figura 38 – Resolução presente na prova 8CO1009 ----------------------------------------84</p><p>Figura 39 – Resolução presente na prova 3CO3091 ----------------------------------------85</p><p>Figura 40 – Resolução presente na prova 3CO3069 ----------------------------------------85</p><p>Figura 41 – Resolução presente na prova 8CO3122 ----------------------------------------93</p><p>Figura 42 – Resolução presente na prova 3CO3119 ----------------------------------------94</p><p>Figura 43 – Resolução presente na prova 3CO5075 ----------------------------------------94</p><p>Figura 44 – Resolução presente na prova 4L10001 -----------------------------------------95</p><p>SUMÁRIO</p><p>1. Introdução-----------------------------------------------------------------------------------------------14</p><p>2. Avaliação como uma “câmera digital”--------------------------------------------------------------17</p><p>2.1 Dos erros para as maneiras de lidar ----------------------------------------------------------------21</p><p>2.2 Sobre a análise da produção escrita ---------------------------------------------------------------27</p><p>3. Algumas considerações sobre álgebra escolar -----------------------------------------------------31</p><p>3.1 Sobre o pensamento algébrico ---------------------------------------------------------------------37</p><p>3.2 Sobre uma possibilidade de educação algébrica -------------------------------------------------42</p><p>4. Estratégia metodológica-------------------------------------------------------------------------------44</p><p>4.1 Da recolha dos dados --------------------------------------------------------------------------------46</p><p>4.2 Do caminho percorrido ------------------------------------------------------------------------------48</p><p>5. Algumas análises e resultados -----------------------------------------------------------------------51</p><p>5.1 Agrupamento pela estratégia------------------------------------------------------------------------51</p><p>5.2 Análise do pensamento algébrico e atividade algébrica em relação as três séries ----------77</p><p>5.3 Análise sobre as características dos problemas que os alunos construíram a partir do</p><p>enunciado da questão ------------------------------------------------------------------------------------85</p><p>5.4 Agrupamento do que os alunos mostram saber por meio de sua produção escrita---------93</p><p>6. Algumas considerações -------------------------------------------------------------------------------96</p><p>7. Referências Bibliográficas-------------------------------------------------------------------------- 103</p><p>8. Anexos------------------------------------------------------------------------------------------------- 109</p><p>14</p><p>1 Introdução</p><p>Quando se trata de avaliação, nas provas escritas, é usual na escola o professor</p><p>atribuir zero a uma questão em que um aluno apenas coloca a resposta correta, mas não</p><p>apresenta cálculo algum. O professor atribui zero à questão, sob a alegação de que sem</p><p>os cálculos não dá para saber se o aluno aprendeu ou não o conteúdo. Igualmente usual</p><p>é atribuir zero a uma questão na qual o aluno apresenta os cálculos e a resposta, ou seja,</p><p>resolve toda a questão, mas utiliza dados retirados erroneamente do enunciado, pois</p><p>muitas vezes, o professor só olha o resultado final. Em outras situações, o aluno</p><p>desenvolve uma estratégia diferente daquela ensinada pelo professor em sala de aula,</p><p>fazendo relações que o próprio professor por vezes nem imaginava, mas, se por um</p><p>mero descuido erra algum sinal e sua resposta fica equivocada, toda a resolução é</p><p>considerada errada. O professor continua olhando apenas o resultado final.</p><p>Contraditório? Sem sentido? Sim. A avaliação do professor frente à produção dos</p><p>alunos, muitas vezes, é realizada em desacordo com seu discurso e poucas vezes a</p><p>produção escrita é analisada para uma compreensão dos conhecimentos que os alunos</p><p>mostram ter.</p><p>Essas ocorrências comuns na aula de matemática refletem uma visão de</p><p>avaliação baseada apenas no certo ou errado, aprovado ou reprovado, bem sucedido ou</p><p>mal sucedido.</p><p>Apesar de os professores geralmente praticarem uma “classificação</p><p>contraditória” tomando-a como se fosse a avaliação, esta pode ser tomada como uma</p><p>prática educativa de grande alcance, útil para propiciar um olhar sobre a aprendizagem</p><p>de alunos e professores, para auxiliar e nortear modos de aprender e ensinar em sala de</p><p>aula. A produção escrita dos alunos é uma rica fonte para entender os processos de</p><p>ensino e aprendizagem bem como os procedimentos e as estratégias utilizados para</p><p>resolver problemas (BURIASCO, 2004).</p><p>É possível, por meio da produção escrita dos alunos, compreender como eles</p><p>lidam com as questões abertas de matemática, ou seja, investigar e analisar o modo</p><p>como eles interpretam os enunciados das questões, as estratégias que elaboram e, quais</p><p>procedimentos utilizam.</p><p>Nesse trabalho tivemos por objetivo analisar a produção escrita de alunos, da 4ª</p><p>e 8ª série do Ensino Fundamental e da 3ª série do Ensino Médio, na questão comum da</p><p>15</p><p>Prova de Questões Abertas de Matemática da AVA-20021, bem como aprofundar os</p><p>conhecimentos dos processos de aprender e ensinar matemática por meio da análise da</p><p>produção desses alunos.</p><p>Os objetivos específicos são investigar:</p><p>• os modos de interpretação que os alunos fazem do enunciado da questão; as</p><p>estratégias elaboradas e os procedimentos utilizados; o pensamento e a</p><p>linguagem algébrica; as características dos problemas que os alunos construíram</p><p>a partir do enunciado da questão; e, os conteúdos matemáticos escolares que</p><p>eles mostram saber nesta sua produção escrita, nessa questão específica.</p><p>Este trabalho está dividido em cinco partes: Introdução, Fundamentação Teórica,</p><p>Estratégia Metodológica, Análises e Resultados, e Algumas Considerações.</p><p>A segunda parte contém dois capítulos, um sobre avaliação e outro sobre</p><p>educação algébrica. No capítulo sobre avaliação tecemos considerações tomando-a</p><p>como uma prática de investigação, norteadora dos processos de ensino e aprendizagem</p><p>dos alunos e professores na sala de aula. Para caracterizar seu papel, utilizamos uma</p><p>metáfora da “câmera digital”. Apresentamos uma discussão de alguns trabalhos</p><p>relativos à análise dos erros, algumas das suas mudanças de perspectiva ao longo da</p><p>história e uma caracterização, na qual a palavra erros é substituída pela expressão</p><p>maneiras de lidar. Com isso apresentamos também uma discussão sobre uma</p><p>caracterização dos alunos pela falta, os erros, e outra, pelo que eles têm, as maneiras de</p><p>lidar. Ao fim desse segundo capítulo tecemos considerações sobre a análise da</p><p>produção escrita de alunos e professores, mostrando alguns resultados que esse tipo de</p><p>análise pode oportunizar. No segundo capítulo, apresentamos uma discussão sobre a</p><p>Álgebra Escolar. Considerações sobre seu desenvolvimento, sobre o pensamento</p><p>algébrico, e, alguns trabalhos que mostram resultados de se trabalhar a Educação</p><p>Algébrica desde as primeiras séries do Ensino Fundamental. Discutimos algumas</p><p>caracterizações que encontramos na literatura consultada, apresentamos uma</p><p>caracterização para o pensamento algébrico possível de ser identificada por meio da</p><p>produção escrita dos alunos, e uma breve discussão de uma caracterização da Educação</p><p>Algébrica.</p><p>1 AVA é o Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar da Rede Estadual do Paraná.</p><p>16</p><p>Na terceira parte temos dois capítulos que tratam da estratégia metodológica e</p><p>das análises e resultados. No primeiro capítulo, apresentamos a análise textual</p><p>discursiva que foi a estratégia metodológica utilizada. Esta estratégia é uma modalidade</p><p>de pesquisa qualitativa. No quarto capítulo, apresentamos quatro agrupamentos da</p><p>produção escrita dos</p><p>alunos que dizem respeito: às estratégias elaboradas, interpretações</p><p>feitas e procedimentos utilizados pelos alunos ao resolverem a questão; ao pensamento</p><p>algébrico; aos problemas que os alunos construíram a partir do enunciado da questão; e,</p><p>aos conteúdos da matemática escolar que os alunos mostram saber por meio da sua</p><p>produção escrita, da questão estudada.</p><p>Na última parte apresentamos alguns resultados do nosso trabalho, alguns</p><p>indicativos de futuras investigações a serem realizadas em relação ao modo como os</p><p>alunos lidam com as questões abertas de matemática.</p><p>17</p><p>2 AVALIAÇÃO COMO UMA “CÂMERA DIGITAL”</p><p>As avaliações de rendimento que os órgãos educacionais, ligados ao governo,</p><p>vêm realizando nos últimos quinze anos não têm possibilitado um inventário mais</p><p>detalhado sobre os conhecimentos que os alunos constroem em sua história escolar</p><p>durante o Ensino Fundamental e Médio. Geralmente, os instrumentos aplicados contêm</p><p>itens de múltipla escolha, nos quais apenas o acerto ou o erro é contabilizado para um</p><p>mapeamento do quanto os alunos conhecem sobre determinado conteúdo – acreditando</p><p>na ilusão de que isso pode acontecer. Essas aferições contribuem pouco para uma</p><p>compreensão sobre o processo de aprendizagem dos alunos. Como não são analisadas as</p><p>estratégias nem os procedimentos utilizados, ou seja, o “como” esses alunos lidam com</p><p>as questões, de quais conhecimentos eles fazem uso para resolvê-las e quais</p><p>interpretações fazem em relação ao seu enunciado, essas avaliações pouco propiciam</p><p>indicativos, sobre os modos como os alunos lidam com as questões apresentadas nas</p><p>aulas.</p><p>Um estudo comparativo do SAEB (1995 e 1997, 1999, 2001) apresenta tabelas</p><p>mostrando a diminuição, a estabilidade ou o aumento das médias de desempenho dos</p><p>alunos por estados do Brasil. Tomando o estado do Paraná como exemplo, temos que,</p><p>em matemática, os alunos da 4ª série do Ensino Fundamental apresentaram um aumento</p><p>de 2 pontos de proficiência média, de 198 em 1995 para 200 em 1997. Já os alunos da 8ª</p><p>série tiveram em 1995 uma proficiência média de 255 pontos e em 1997 de 263 pontos.</p><p>Com relação aos alunos da 3ª série do Ensino Médio, o aumento foi de 8 pontos de</p><p>média de proficiência, passando de 288 pontos em 1995 para 296 em 1997.</p><p>(RELATÓRIO SAEB, 1997). Podemos lançar um olhar crítico para esse tipo de estudo</p><p>fazendo-nos as seguintes perguntas: O que podemos fazer com esses resultados? O que</p><p>eles nos mostram? É importante saber que nossos alunos estão melhorando, mas é</p><p>importante também saber como eles estão melhorando?2</p><p>Em outro estudo, com dados referentes a 1999, os alunos da 4ª série apresentam</p><p>seus desempenhos em dois níveis: de 160 a ≤ 175, primeiro nível, e de 175 a ≤ 225,</p><p>segundo nível. No primeiro nível, o aluno é capaz de localizar objetos, reconhecer</p><p>2 Sabemos que os objetivos dessas avaliações também englobam outros fatores e que elas são importantes</p><p>para se ter um conhecimento da escola como um todo. Não estamos a desmerecê-las, entretanto elas</p><p>possuem um alcance limitado para um conhecimento mais detalhado de como nossos alunos lidam com as</p><p>questões abertas de matemática, ou seja, quais conhecimentos e estratégias engendram para resolver uma</p><p>questão.</p><p>18</p><p>figuras geométricas simples, compreender dados apresentados em gráficos de colunas e</p><p>interpretar medidas em situações cotidianas. No segundo nível, o aluno demonstra</p><p>domínio na resolução de problemas que envolvem adição e subtração, situações</p><p>cotidianas e reconhecimento de figuras geométricas simples (RELATÓRIO SAEB</p><p>1999). Este mesmo estudo indica que os alunos da 8ª série se encontram no nível de 225</p><p>a ≤ 275, o terceiro, que se caracteriza pelo domínio das quatro operações com números</p><p>naturais, identificação dos elementos das figuras geométricas, interpretação de gráficos</p><p>e tabelas, leitura de medidas de temperatura, estabelecimento de relações entre diversas</p><p>unidades de tempo e manipulação do sistema monetário. De maneira geral, os alunos da</p><p>3ª série do Ensino Médio estão situados nos níveis de 225 a ≤ 275 e de 275 a ≤ 325, que</p><p>correspondem aos níveis 3 e 4 de desempenho, respectivamente.</p><p>Em alguns estudos é possível identificar, pelos níveis de desempenho, os</p><p>conhecimentos e habilidades dos alunos. Entretanto esses resultados não nos mostram a</p><p>maneira como os alunos lidam com os problemas matemáticos, as dificuldades por eles</p><p>apresentadas, as estratégias e procedimentos engendrados na resolução das questões.</p><p>Mesmo apresentando esses níveis de desempenho, os resultados não permitem um olhar</p><p>mais detalhado sobre a atividade matemática dos alunos. Infelizmente, como podemos</p><p>notar, nossos alunos continuam situados em níveis muitos baixos de desempenho,</p><p>chegando no máximo ao quarto – alunos da terceira série – sendo o sétimo o último</p><p>nível.</p><p>O relatório do SAEB de 2001 mostra que grande parte dos alunos da 4ª série do</p><p>Ensino Fundamental situa-se nos níveis 2 (21%), 3 (19%) e 4 (22%)3. Em comparação</p><p>com os outros anos, houve uma queda no desempenho em matemática. Já na 8ª série,</p><p>houve uma estabilidade na média de desempenho dos alunos. A maior parte dos alunos</p><p>se situa nos níveis 3 (14%), 4 (38%) e 5 (28%), havendo um aumento de nível em</p><p>relação à 4ª série. A maioria dos alunos da 3ª série do Ensino Médio se situa nos níveis</p><p>4 (33%), 5 (29%) e 6 (21%), sendo que houve um novo aumento de nível em relação à</p><p>8ª série. Em comparação com o ano de 1999, os níveis de desempenhos continuaram</p><p>estáveis (RELATÓRIO SAEB, 2001).</p><p>Diante dessas considerações em relação às avaliações externas de rendimento,</p><p>podemos nos questionar: Será que os alunos não estão aprendendo nada na escola?</p><p>Será que eles passam, no mínimo, 13 anos de suas vidas na escola e aprendem tão</p><p>3 Os níveis de desempenho vão de 1 a 10.</p><p>19</p><p>pouco da matemática escolar4? Como se pode notar, nossos alunos não estão nos níveis</p><p>desejáveis de desempenho, no entanto, não podemos dizer que eles não sabem nada de</p><p>matemática apenas por meio desses indicativos, visto as características e a dimensão de</p><p>alcance dessas avaliações. De fato, o que queremos nesse trabalho é investigar o que os</p><p>alunos sabem de alguma parte da matemática que aprendem na escola, de modo a</p><p>fornecer subsídios para que os envolvidos no processo de ensino e aprendizagem</p><p>possam rever suas próprias atuações nesse mesmo processo. Para isso, estudaremos</p><p>quais são os registros e o modo como os alunos constroem suas estratégias e utilizam</p><p>seus procedimentos para responder uma questão aberta de matemática5.</p><p>Olhando para as práticas avaliativas realizadas pelos professores dentro da</p><p>escola, a situação fica mais drástica. Ilusões de poder quantificar conhecimento, de ter</p><p>classes homogêneas e a possibilidade de poder determinar a aprovação ou a reprovação</p><p>de alunos estão ainda presentes em sala de aula. Uma mudança nesse cenário implica</p><p>em uma ruptura nos valores atrelados à aprendizagem, ao ensino, à escola, à sociedade e</p><p>ao planeta.</p><p>No contexto da escola, a avaliação, que é sempre vista como a última etapa de</p><p>um ciclo, uma espécie de validação de uma competição ou qualquer outra ação que</p><p>tenha por objetivo determinar o vencedor ou perdedor, o melhor ou pior, o aprovado ou</p><p>o reprovado, é coerente num sistema sócio-econômico em que, a priori, se estabelece a</p><p>existência de uma grande diferença econômica, política e social entre os seres. A</p><p>avaliação, como uma prática social, acompanhou esse movimento e, com isso, hoje se</p><p>pauta, na maioria das escolas, como uma atividade de classificação, hierarquização e</p><p>exclusão de alunos. Os vestibulares existem, pois não há vagas para todos nas</p><p>universidades, os concursos são realizados, pois não há trabalho para todos. As</p><p>diferenças sociais são imensas</p><p>e a avaliação se apresenta como um instrumento que</p><p>fortalece essas diferenças. Como afirma Esteban (2001) “a avaliação classificatória é</p><p>uma prática de exclusão na medida em que vai selecionando o que pode ser aceito na</p><p>escola, funcionando como um instrumento de controle no contexto escolar (p.4)”.</p><p>A avaliação, como uma demarcação de fronteiras estáticas (BAHABHA, apud</p><p>Esteban, 2002) e imóveis, supõe um contexto escolar frio, estático, determinado, linear</p><p>e passível de uma leitura real (algumas ilusões do paradigma dominante). Um contexto</p><p>4 Neste trabalho, sempre que nos referirmos à matemática estaremos nos referindo à matemática escolar.</p><p>5 Questão Aberta de Matemática é aquela que não requer apenas que a pessoa que resolve assinale uma</p><p>resposta, mas que encontre a resposta e mostre os caminhos trilhados para chegar a ela.</p><p>20</p><p>no qual todas as relações são lineares e têm causas e conseqüências imediatas, em que é</p><p>possível identificar as falhas, em que sempre é possível efetivar uma separação entre</p><p>sujeito e objeto. Entretanto isso não é possível, visto que na escola existem seres</p><p>humanos e relações entre eles. Seres subjetivos, imprevisíveis, com contextos múltiplos,</p><p>com maneiras distintas de aprender. Devido às vicissitudes da sala de aula, uma</p><p>alternativa para pensar em avaliação é como uma prática de investigação. Uma</p><p>atividade instigadora de indagações de alunos e professores no processo de ensino e de</p><p>aprendizagem. Uma “câmera digital” na qual tiramos uma foto e logo em seguida</p><p>olhamos o resultado, com a possibilidade imediata de sempre tirar outra foto. Uma</p><p>avaliação para nortear os contextos com objetivos de construir interpretações inter-</p><p>relacionadas e interdependentes com os agentes envolvidos, promovendo direções e</p><p>caminhos para seguir no processo educativo.</p><p>Como afirma Esteban (2001), a avaliação como prática de investigação tem o</p><p>sentido de romper as barreiras entre os participantes do processo ‘ensino/aprendizagem’</p><p>e entre os conhecimentos presentes no contexto escolar. Este contexto de reflexão</p><p>possibilita ao professor recolher indícios para atingir níveis de complexidade na</p><p>interpretação de seus significados e incorporá-los como eventos relevantes para a</p><p>dinâmica ensino/aprendizagem. Um olhar processual, dinâmico, sobre o próprio</p><p>caminhar, tomando-o como ponto de crivo pode ajudar na construção de conhecimento</p><p>e ainda participar da mediação desse processo.</p><p>Para isso é preciso tomar as atividades de avaliação como atividades de</p><p>aprendizagem. Em outras palavras, é preciso que as atividades de avaliação possam</p><p>oportunizar aprendizagens nas práticas de sala de aula, de modo que os alunos possam</p><p>se dar conta de que o que existe é a busca da aprendizagem de todos.</p><p>Como bem coloca Hadji (1995, 2001), três palavras são chave para</p><p>compreendermos a avaliação nessa perspectiva: verificar, situar e julgar. Verificar no</p><p>sentido de inventariar, diagnosticar os conhecimentos dos alunos e professores; situar</p><p>para compreender, no cotidiano escolar, os avanços e retrocessos, os erros e suas</p><p>naturezas e julgar para nortear os caminhos a serem trilhados, as alternativas a serem</p><p>tomadas na busca de proporcionar ambientes que possam gerar aprendizagens.</p><p>Uma das faces do ato de avaliar é “colar” os critérios que estabelecemos naquilo</p><p>que percebemos, incorporando a parcialidade da avaliação, sua limitação e com isso a</p><p>presença da incerteza. A constituição de referentes para uma enunciação de um referido</p><p>(Hadji, 1994), ou seja, o estabelecimento de critérios para incursões na sala de aula com</p><p>21</p><p>objetivo de fazer compreensões dela, revela a subjetividade da avaliação, que é inerente</p><p>ao modo como se faz e, aos instrumentos que se utilizam.</p><p>A cada momento que fazemos um corte no contexto escolar, perdemos algo de</p><p>sua complexidade. Limitamo-nos a um olhar fragmentário, incompleto, carregado com</p><p>nossas crenças, concepções e atrelado àquilo que queremos ver daquilo que buscamos</p><p>enxergar. Bahabha (1998, apud, ESTEBAN, 2002) nos alerta para a ambivalência da</p><p>avaliação, assim como Hadji (1994), no sentido de que “o olhar com que se foca o</p><p>objeto está em relação com o que nele se procura (p. 52)”. A avaliação sempre nos deixa</p><p>em um terreno tão comum em todas as relações existentes, inclusive na escola, mas</p><p>muito freqüentemente ignorada por todos - a subjetividade. Por isso parece urgente o</p><p>fim da demarcação das fronteiras entre as certezas e as incertezas, o feito e o não feito;</p><p>este conteúdo este aluno sabe e aquele outro não. A subjetividade, enquanto</p><p>característica inerente a todo processo de comunicação, bem como a toda ação de cada</p><p>ser humano, caminha sempre ao lado de todo e qualquer tipo de avaliação realizada</p><p>dentro e fora da escola. Entretanto, é exatamente este ponto, que muitas vezes causa</p><p>angústia, medo e impotência, visto que foge ao controle, que nos permite engendrar</p><p>interpretações, negociações, constituição de múltiplos conhecimentos entre os atores de</p><p>uma sala de aula. Crescemos no diferente e não no igual. Por meio da subjetividade</p><p>podemos nos assumir como produtores de conhecimentos diferentes e, assim, aprender</p><p>uns com os outros.</p><p>2.1 Do erro para as maneiras de lidar</p><p>Ao assumirmos a avaliação como prática de investigação, um aspecto de</p><p>extrema importância a ser considerado é como se “olha” para o “erro”6 dos alunos.</p><p>Muitas pesquisas foram realizadas em relação ao papel constitutivo que ele desempenha</p><p>no processo de aprendizagem, no que pode ajudar os professores a fazerem</p><p>interpretações da atividade matemática dos alunos, nas considerações dele como</p><p>resultado de experiências prévias dos alunos em sala de aula, dele como poderosa</p><p>ferramenta para diagnosticar dificuldades de aprendizagem, entre outros aspectos</p><p>(RADATZ, 1979, 1980; BORASI, 1985, 1987, 1996; CURY 1995, 2004, 2006; RICO,</p><p>1995; ESTEBAN, 2003; BURIASCO, 1999, 2004; NAGY-SILVA E BURIASCO,</p><p>6 Utilizaremos a palavra erro entre aspas para realçar a nossa discordância com essa denominação.</p><p>Sempre que os autores estiverem falando de erro, estaremos interpretando como maneiras de lidar.</p><p>22</p><p>2005; GARNICA, 2006; FIORENTINI 2006). Como se pode ver, não é novo o olhar</p><p>positivo sobre o “erro”, mas é antiga a visão dos professores frente à sua significação.</p><p>Entretanto ainda se continua utilizando a palavra “erro” para se referir a um tipo</p><p>de resolução do aluno que, olhando mais detalhadamente, nada mais é do que diferente</p><p>daquela considerada correta. Algumas vezes, quando se fala em “erro”, mesmo</p><p>tomando-o como constituinte da aprendizagem, resultado das concepções prévias, entre</p><p>outros fatores positivos, está se referindo ao que o aluno não fez em relação ao que ele</p><p>deveria ter feito. Caracterizam-se os alunos pelo que lhes falta e não pelo que eles já</p><p>têm. É nesse ponto nossa discordância e, por conta dela, buscamos uma outra maneira</p><p>de caracterizar o “erro”.</p><p>De acordo com Garnica, a “leitura pela falta” é aquela em que, a partir de uma</p><p>enunciação do aluno, o professor detecta o que lhe falta:</p><p>falta compreender conteúdos anteriores, falta a ele exercitar-se mais, faltam a</p><p>eles certos conceitos, falta aprender a operacionalizar certos conceitos ou</p><p>encaminhar melhor certas operacionalizações, falta a ele ler cuidadosamente o</p><p>problema, falta um lar estruturado, etc etc etc (GARNICA, 2006, p. 4).</p><p>Em muitos trabalhos, como a seguir exemplificaremos, os autores fazem</p><p>considerações ao que os alunos não fizeram, o que eles não sabem e o que deixaram de</p><p>fazer, nas classificações dos seus “erros”. Neste trabalho apresentamos uma mudança no</p><p>foco dessa discussão, substituindo “erro”, que em muitos casos acreditamos estar ainda</p><p>caracterizando os alunos pela falta, por maneiras de lidar, expressão que</p><p>considerarmos mais adequada para os processos</p><p>de resolução de uma questão, com a</p><p>qual acreditamos estar caracterizando os alunos pelo que eles já têm num determinado</p><p>momento7. Com isso, de acordo com Garnica, podemos fazer uma leitura positiva8, que</p><p>é aquela que quando o aluno “fala” ele diz algo, quando ele faz ele faz algo e é</p><p>desse algo que ele diz ou faz que devemos partir, propondo estratégias de ação.</p><p>Trata-se de analisar o que ele falou ou fez, não o que ele deixou de falar ou</p><p>fazer (GARNICA, 2006, p. 4).</p><p>A maneira pela qual o aluno interpretou o enunciado, elaborou uma estratégia e</p><p>utilizou um procedimento para resolver uma questão, em muitos casos, como veremos</p><p>no capitulo 5, resulta de processos sistemáticos, tanto sintático como semânticos, que o</p><p>7 Lembro-me da afirmação de Letícia Celeste, uma amiga do Programa de Pós-Graduação em Ensino de</p><p>Ciências e Educação Matemática, em um congresso de Educação Matemática que dizia: “Não dá para</p><p>caracterizar os alunos pelo que eles têm falando de erro”.</p><p>8 A leitura positiva está atrelada à maiêutica, método atribuído a Sócrates, utilizado para fazer com que a</p><p>resposta a uma pergunta brote exatamente daquele que fez a pergunta. A leitura positiva e também a</p><p>maiêutica estão ligada à idéia de ‘ler’ os alunos pelo que eles têm.</p><p>23</p><p>próprio aluno construiu. O aluno não interpretou equivocadamente o enunciado da</p><p>questão, não utilizou um procedimento incorretamente; ele fez essas ações, pelo seu</p><p>modo idiossincrático de expressar suas maneiras de interpretar e resolver o problema</p><p>que ele construiu do enunciado da questão9. Ele construiu a sua maneira de lidar com</p><p>aquela situação. Como julgar uma resolução errada do aluno se a questão que ele</p><p>interpretou foi outra? Entre outras coisas, a escola não é um lugar para determinar os</p><p>corretos e os errados; os bons e os ruins; os aprovados e reprovados; os fracassados e os</p><p>realizados. Muito pelo contrário, a escola deve ser um ambiente no qual se oportunizam</p><p>e se potencializam as capacidades dos alunos de atingirem o seu melhor. Um ambiente</p><p>que busque humanizar os alunos, que busque conhecimentos de solidariedade,</p><p>cooperação e paz (D’AMBROSIO, 1999).</p><p>Assim, acreditamos ser necessário ter um olhar abrangente dos modos</p><p>particulares dos alunos lidarem com as atividades matemáticas, negociando com os</p><p>professores quais dessas maneiras permitem a todos resolver, de uma maneira eficiente,</p><p>as situações dadas. Um dos principais objetivos desse trabalho é investigar como os</p><p>alunos lidam com uma questão aberta de matemática e o que eles sabem da matemática</p><p>escolar. Assim, não podemos caracterizá-los pela falta, ou seja, por seus “erros”, e sim</p><p>pelo que eles têm, isto é, suas maneiras de lidar.</p><p>Apresentaremos, a seguir uma discussão de alguns trabalhos que tratam de</p><p>análise dos “erros”, as transformações nos focos de pesquisa e nossos argumentos para</p><p>tomá-los como maneiras de lidar. Mostraremos que não é apenas uma mudança de</p><p>nomes, ou apenas um capricho para apresentar “novas” caracterizações. Nossos</p><p>argumentos apontam para considerações de cunho epistemológico e metodológico nessa</p><p>perspectiva de mudança.</p><p>Em uma classificação apresentada por Radatz (1979) dos erros cometidos pelos</p><p>alunos, vemos a caracterização pela falta que o autor faz em relação à atividade</p><p>matemática deles. As cinco categorias, que esse autor apresenta, são: 1ª) erros</p><p>cometidos por dificuldades de linguagem; 2ª) erros cometidos por dificuldades na</p><p>obtenção de informações espaciais; 3ª) erros cometidos no domínio deficiente de pré-</p><p>requisitos de habilidades fatos e conceitos; 4ª) erros cometidos de associações incorretas</p><p>ou rigidez do pensamento; e 5ª) erros cometidos na aplicação de regras e estratégias</p><p>irrelevantes.</p><p>9 Esclareceremos essa diferenciação que fizemos entre questão e o problema que o aluno construiu do</p><p>enunciado da questão no capítulo da Estratégia Metodológica.</p><p>24</p><p>Tomando a primeira categoria como exemplo, erros cometidos por dificuldades</p><p>de linguagem, fazemos as seguintes perguntas: O que seria uma dificuldade de</p><p>linguagem? Não seria um modo particular de dar significado a uma determinada palavra</p><p>ou expressão matemática? Será que ao se colocar dificuldades de linguagem como uma</p><p>categoria dos “erros” dos alunos, não se está olhando pela sua falta em relação ao</p><p>considerado correto e não pelo que de fato ele fez? Acreditamos que esta e as outras</p><p>categorias também estão caracterizando os alunos pela falta, pois ressalta o que o aluno</p><p>não tem, em relação ao que o aluno fez e o considerado como correto, ou seja, os</p><p>“erros” de dificuldade de linguagem.</p><p>Também Radatz (1980) em sua revisão sobre os trabalhos que tratam da análise</p><p>de erros, destaca a importância de se trabalhar com eles em sala de aula como resultado</p><p>das experiências prévias dos alunos em aulas de matemática. Ele ressalta que a partir</p><p>dessas análises temos a oportunidade de diagnosticar as dificuldades dos alunos, bem</p><p>como, se pode sugerir um ponto de partida para pesquisas sobre os processos de ensino</p><p>e aprendizagem, uma vez que a simples identificação dos “erros” como momentos</p><p>constituintes da aprendizagem dos alunos, já é um indício de transformação.</p><p>Uma outra pesquisadora, Borasi (1985; 1987), amplia a visão da análise dos</p><p>erros, que se pautava apenas na sua identificação, reparação e em seus diagnósticos,</p><p>para tê-los como “um dispositivo motivacional e também um ponto de partida para</p><p>explorações matemáticas criativas envolvendo atividades de representação e resolução</p><p>de problemas matemáticos” (BORASI, 1987, p. 10). Admitindo-os como trampolins,</p><p>eles podem oportunizar aos alunos uma reflexão sobre seus próprios processos de</p><p>aprendizagem, seus modos idiossincráticos de atribuição de significados para os</p><p>conhecimentos matemáticos. Em vários outros estudos dessa autora, a problemática da</p><p>análise “erros” é discutida, apresentando-se vários exemplos de como trabalhar com eles</p><p>para discutir a natureza da matemática, oportunidade de “novas” descobertas</p><p>matemáticas, explorar o funcionamento da mente, entre outras.</p><p>Nesses estudos percebemos que os “erros” já são tratados como modos</p><p>particulares de alunos expressarem seus conhecimentos matemáticos. Percebemos que a</p><p>autora não se refere aos “erros” dos alunos como falta de seus conhecimentos, mas sim</p><p>como trampolins para discussão sobre a atividade matemática.</p><p>25</p><p>Em outra classificação para os “erros”, Movshovitz-Hadar et all (1987)</p><p>apresentam seis categorias para os erros dos alunos da High School10: 1ª) utilização</p><p>inadequada de dados; 2ª) interpretação equivocada da linguagem; 3ª) inferências</p><p>logicamente inválidas; 4ª) distorções na utilização de teoremas ou definições; 5ª)</p><p>solução não-verificada e,6ª) erro técnico. Percebemos alguma semelhança em relação à</p><p>classificação de Radatz, anteriormente apresentada e novamente fazemos as mesmas</p><p>considerações, tomando, por exemplo, a terceira categoria, inferências logicamente</p><p>inválidas.</p><p>Ao julgar uma inferência feita por um aluno, apenas podemos dizer se é inválida</p><p>ou não em relação àquela considerada correta, e não à realizada pelo aluno. Novamente</p><p>estamos caracterizando os alunos pela falta. Uma determinada inferência, julgada</p><p>inválida, pode, para o aluno, ser totalmente válida e fazer sentido para uma determinada</p><p>interpretação que ele fez da situação.</p><p>Em seu estudo histórico das perspectivas da análise de “erros” em Educação</p><p>Matemática, Cury (1995) identifica três fases: a primeira, nas primeiras décadas do</p><p>século passado, na qual as pesquisas se restringiam ao domínio da aritmética; a segunda,</p><p>a partir dos anos 1950, cujo enfoque era dado por meio da teoria da informação e a</p><p>terceira, nas décadas de 1980 e 1990 que toma o “erro” como constituinte dos processos</p><p>de aprendizagem. Ilustrando as mudanças de perspectivas nas</p><p>maneiras de analisar e os</p><p>fundamentos teóricos que circunscrevem os tipos de análises, a autora sintetiza os</p><p>principais objetivos da análise de erros como sendo “a superação do erro através de sua</p><p>eliminação ou através de suas potencialidades (CURY, 1995, p.12)”. O primeiro,</p><p>relativo à primeira metade do século XX, está ancorado, tanto na caracterização dos</p><p>alunos pela falta, quanto no caráter de valorizar apenas o correto e exterminar o “erro”.</p><p>Já o segundo, superação dos erros pelas suas potencialidades, pode ou não estar</p><p>caracterizando pela falta, pois vai depender do modo como se procedem essas</p><p>discussões.</p><p>Em um estudo mais recente, Cury (2006) apresenta quatro classes para</p><p>caracterizar os erros dos alunos no conteúdo envolvido nas questões. Estas classes</p><p>trazem as seguintes expressões:</p><p>[...] 1ª) o aluno não sabe trabalhar com módulo; 2ª) /.../ o aluno não leva em</p><p>conta o sinal negativo; 3ª) /.../ o aluno não sabe substituir valores de x em f ou</p><p>em g; 4ª) /.../ [resoluções] “compostas por soluções únicas e que apresentam</p><p>detalhes que evidenciam problemas em outros conteúdos (CURY, 2006, p. 8).</p><p>10 Tratando-se do contexto brasileiro, alunos do Ensino Médio.</p><p>26</p><p>Em relação a essas classes parece que a autora está caracterizando os alunos pela</p><p>falta, pois afirma: “o aluno não sabe trabalhar com módulo (p. 8)”.</p><p>Nosso olhar para os alunos, nessa mudança, se caracteriza pela afirmação de</p><p>Lins (1999)</p><p>Não sei quem você é; preciso saber. Não sei também onde você está (sei apenas</p><p>que está em algum lugar), preciso saber onde você está para que eu possa ir até</p><p>lá falar com você e para que possamos nos entender e negociar um projeto no</p><p>qual eu gostaria que estivesse presente a perspectiva de você ir a lugares novos</p><p>(LINS, 1999, P. 85).</p><p>Tanto professores quanto pesquisadores precisam interpretar, analisar e tomar</p><p>suas decisões em relação às maneiras idiossincráticas da atividade matemática dos</p><p>alunos. Compreendendo os sentidos e significados que os mesmos atribuem a suas</p><p>resoluções e negociando essas maneiras de lidar, podemos oportunizar aos alunos</p><p>algumas outras maneiras que, dentro de um determinado contexto, podem ser</p><p>consideradas corretas. Assim, convidando os alunos a legitimar esses diferentes tipos de</p><p>conhecimentos, não em uma visão dicotômica, de certo/errado, mas em uma abrangente,</p><p>a idéia de maneiras de lidar, tendo por objetivo quais estratégias e procedimentos</p><p>fornecem condições de resolver as situações que alunos e professores interpretam.</p><p>Uma leitura aligeirada ou descuidada pode resultar em: “Ah, então quer dizer</p><p>que agora vale tudo; não existe mais certo e errado na escola; agora os alunos vão</p><p>poder fazer o que quiser”. Obviamente não é isso que queremos dizer, como buscamos</p><p>mostrar com este trabalho.</p><p>Mesmo que alguns trabalhos, ao nosso ver, caracterizem os alunos pela falta,</p><p>eles trazem considerações importantes sobre as potencialidades das maneiras de lidar</p><p>dos alunos com as atividades matemáticas. No trabalho, já citado anteriormente, Radatz</p><p>(1979) afirma que</p><p>[...] considerações no diagnóstico e aspectos de causa dos erros podem dar ajuda</p><p>especifica para os professores, permitindo integrar seu conhecimento do</p><p>conteúdo do currículo com seus conhecimentos das diferenças individuais das</p><p>crianças (p. 170, nossa tradução)”.</p><p>Em outro trabalho sobre análise dos “erros”, Cury (2004) afirma que, para</p><p>pensar em perspectivas atuais para esse tipo de análise, devemos introduzir aos poucos</p><p>outras idéias e tipos de planejamento que devem ir ao encontro das necessidades de</p><p>alunos e professores. Assim, apresenta as premissas básicas para essa mudança:</p><p>a) respeitar o aluno, devolvendo a ele a análise feita e discutindo os resultados,</p><p>com objetivo de explorar suas próprias potencialidades; b) planejar as</p><p>27</p><p>estratégias para trabalhar com conteúdos em que há maior incidência de erros,</p><p>propondo questões que envolvam interesse dos alunos; c) aproveitar os recursos</p><p>disponíveis (jogos, material concreto, computadores) para retomar os conteúdos</p><p>de várias formas, explorando habilidades de formular hipóteses, testá-las e</p><p>discuti-las; d) para cada questão proposta ou tarefa solicitada, fazer uma análise</p><p>crítica dos erros que surgem, com o grupo de alunos, para aproveitar todas as</p><p>oportunidades de fazê-los pensar sobre seus próprios pensamentos; (p. 8).</p><p>Esteban (2003) afirma que devemos ter uma visão sobre o “erro”, num processo</p><p>de construção de conhecimentos, que ofereça pistas de como estes estão sendo</p><p>organizados pelos alunos. Tomados numa perspectiva processual da constituição dos</p><p>conhecimentos podem não somente ampliar nossa leitura do contexto – sala de aula –</p><p>ampliando nossas possibilidades para mediar a aprendizagem dos alunos, como também</p><p>o entendimento das várias formas de interpretações dos fatos.</p><p>Hadji (1994), quando nos diz “que o erro não é absoluta certeza da ausência de</p><p>conhecimento, assim como o acerto não é garantia absoluta da existência da</p><p>competência pretendida (p.61)”, confirma nossas idéias de que devemos encará-lo como</p><p>um dos possíveis pontos de partida para uma melhor compreensão do processo de</p><p>ensino e aprendizagem, fornecendo repertório para os professores sobre um amplo</p><p>espectro de mediações na aprendizagem de seus alunos.</p><p>Já para Fiorentini.</p><p>o erro escolar, na verdade, resulta do esforço dos alunos em participar do</p><p>processo de aprendizagem, produzindo e negociando, a partir do seu mundo e</p><p>da sua cultura, sentidos e significados sobre que se ensina e aprende na escola</p><p>(FIORENTINI, 2006, p. 4).</p><p>Assim, neste trabalho tomamos essa caracterização buscando deixar para trás a</p><p>idéia comumente veiculada de erro, para adotar as diferentes maneiras de lidar dos</p><p>nossos alunos no seu processo de aprender matemática. Esta idéia está em acordo com a</p><p>perspectiva de tomar a avaliação como prática de investigação aliada às análises da</p><p>produção escrita dos alunos.</p><p>2.2 Sobre a análise da produção escrita</p><p>Uma das formas, atrelada à idéia de avaliação como prática de investigação, de</p><p>buscar conhecer mais detalhadamente como os alunos lidam com os problemas</p><p>matemáticos, como se configuram seus processos de aprendizagem, quais dificuldades</p><p>encontram, tomando as maneiras de lidar dos alunos, diferentes da correta, como</p><p>28</p><p>constituintes do processo de aprendizagem, é a análise da produção escrita de alunos e</p><p>professores. Trabalhos nessa perspectiva apontam para caracterizações mais detalhadas</p><p>sobre as estratégias que os alunos elaboram na abordagem de uma questão, quais as</p><p>marcas de conhecimentos matemáticos encontradas nas suas produções e quais os tipos</p><p>de “erro” cometidos ao resolvê-las (Buriasco, 1999, 2004; Nagy-Silva, 2005; Perego,</p><p>2005; Segura, 2005; Perego, 2006; Negrão de Lima, 2006; Alves, 2006). Indo de</p><p>encontro às avaliações de rendimento – sobre as quais foi apresentada alguma</p><p>caracterização no inicio desta seção – essas análises se configuram como uma forma</p><p>mais próxima de conhecer as maneiras de alunos resolverem questões abertas de</p><p>matemática.</p><p>A produção escrita possibilita tanto conhecer quais conteúdos os alunos</p><p>demonstram ter, seus “erros” e dificuldades, quanto ter uma compreensão de como</p><p>usam seus conhecimentos matemáticos escolares (Nagy-Silva 2005; Perego 2005;</p><p>Perego, 2006; Negrão de Lima 2006; Alves 2006). A maneira como os alunos elaboram</p><p>suas estratégias e utilizam seus procedimentos, lançando mão dos seus repertórios de</p><p>conhecimentos matemáticos, é passível de uma caracterização por meio da análise da</p><p>produção escrita.</p><p>De acordo com Nagy-Silva,</p><p>[...] com informações sobre a produção escrita dos alunos, que apresentam tanto</p><p>as suas dificuldades quanto suas possibilidades, é possível realizar uma</p><p>intervenção que de fato contribua para o desenvolvimento dos alunos (NAGY-</p><p>SILVA, 2005 p. 106).</p><p>Assim,</p><p>ao buscarmos subsídios para conhecer como os alunos lidam com</p><p>questões abertas de matemática, a produção escrita se mostra como uma alternativa</p><p>promissora.</p><p>Nos trabalhos (NAGY-SILVA, 2005; PEREGO, 2005, OLIVEIRA, 2005,</p><p>PEREGO, 2006; NEGRÃO DE LIMA, 2006; ALVES, 2006) realizados pelo grupo</p><p>GEPEMA11 sobre a produção de alunos do Ensino Fundamental relativa à 4ª e 8ª série</p><p>do Ensino Fundamental e 3ª série do Ensino Médio, de professores da Rede Pública do</p><p>Paraná, de professores cursando a Especialização em Educação Matemática e de alunos</p><p>da Licenciatura em Matemática, uma grande dificuldade apresentada na resolução dos</p><p>problemas é relativa à interpretação da questão. Os alunos e professores dominam, com</p><p>algumas restrições, os algoritmos e procedimentos matemáticos que usam na resolução</p><p>11 GEPEMA - Grupo de Estudo e Pesquisa em Educação Matemática e Avaliação - Universidade Estadual</p><p>de Londrina.</p><p>29</p><p>dos problemas, porém a adoção de palavras chaves como estratégia para a compreensão</p><p>do enunciado e a falta de conexão entre as informações contidas em cada uma das frases</p><p>dos problemas parecem levar a interpretações incorretas. Assim, Perego (2006) afirma,</p><p>em relação aos erros cometidos, eles dizem respeito à “falta de compreensão e/ou</p><p>interpretação das questões e, por conseguinte, a equivocada utilização das informações</p><p>contidas nos enunciados” (p. 97)12.</p><p>Não podemos julgar os “erros” dos alunos sem uma análise das suas origens,</p><p>visto a grande dificuldade estar na interpretação dos problemas e não nos cálculos que</p><p>usam para as suas resoluções (ALVES, 2006). Ao se defrontarem com problemas cujos</p><p>enunciados são pouco familiares, os alunos realizam outras interpretações e resoluções</p><p>que nem sempre condizem com uma resolução considerada correta pelo professor.</p><p>Negrão de Lima (2006) afirma que “quando uma questão não é familiar ao aluno, ou</p><p>mesmo quando se trata de questões familiares, mas que exigem compreensão além do</p><p>reconhecimento de palavras-chaves, os alunos encontram mais dificuldade para resolvê-</p><p>las” (p. 172).</p><p>Em relação aos conhecimentos apreendidos por esses alunos, os estudos</p><p>mostram que alunos da 4ª série dominam os algoritmos convencionais da multiplicação</p><p>e da divisão simples naquilo que se pode ver da questão (NAGY-SILVA, 2005); assim</p><p>como noções de construção de gráficos, de porcentagem e de regra de três são</p><p>realizadas com sucesso por alunos da Licenciatura em Matemática (PEREGO, 2005).</p><p>Mais de 60% dos alunos de 4ª série sabem efetuar as quatro operações (NEGRÃO,</p><p>2006), assim como alunos da 3ª série do Ensino Médio dominam cálculos relativos</p><p>também às quatro operações (ALVES, 2006).</p><p>Por meio dessas considerações vemos, como afirma Buriasco (2004) que a</p><p>análise da produção escrita dos alunos é uma alternativa promissora para fazer</p><p>interpretações sobre a atividade matemática dos alunos e também sobre os processos de</p><p>ensinar e aprender matemática.</p><p>Assim, como afirma Kazemi e Franke,</p><p>O uso da produção escrita dos alunos tem um potencial de influenciar o</p><p>discurso profissional sobre o ensino e a aprendizagem, engajar os professores</p><p>em ciclo de experimentação e reflexão e mudar o foco dos professores de uma</p><p>pedagogia geral para uma particularmente conectada a seus próprios alunos (p.</p><p>204, 2004, nossa tradução).</p><p>12 Ressalvamos que em nossa análise já superamos esta afirmação, entretanto queremos deixar registrado</p><p>que mesmo os trabalhos que tratram da análise da produção escrita e que contêm considerações nessa</p><p>mesma direção de Perego (2006) foram ponto de partida para nossa análise.</p><p>30</p><p>Neste trabalho buscamos fornecer alguns subsídios para instaurar esse tipo de</p><p>análise na prática dos professores.</p><p>Com essas considerações podemos tomar a avaliação como uma prática de</p><p>investigação a favor da aprendizagem dos alunos e, para os professores, como uma</p><p>alternativa para o trabalho desenvolvido nas aulas de matemática. Uma forma de olhar</p><p>não mais sobre “erros” e sim sobre as maneiras idiossincráticas de lidar com uma</p><p>questão aberta, tomando-as, na perspectiva de Borasi (1996), como trampolins</p><p>constituintes dos processos de aprendizagem do aluno em relação aos conhecimentos</p><p>com os quais está lidando e como constituinte do repertório dos professores sobre a</p><p>atividade matemática deles. É preciso deixar para trás a velha máquina fotográfica, que</p><p>registra um momento estático, único, ao “tirar” uma fotografia, para utilizar uma</p><p>câmera digital, que disponibiliza um olhar processual, passÍvel de modificação, com</p><p>vários ângulos a serem olhados, com vários instrumentos para várias “fotos” a serem</p><p>constituídas.</p><p>31</p><p>3 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES SOBRE A ÁLGEBRA ESCOLAR</p><p>Para muitos alunos, a álgebra escolar representa um divisor de águas entre ter ou</p><p>não sucesso em matemática. Geralmente eles a vêem apenas como uma manipulação de</p><p>letras, com pouquíssimo entendimento das idéias matemáticas envolvidas tanto em</p><p>questões estruturais quanto procedimentais. Eles manipulam as letras para resolver</p><p>equações, sem saber por que um número num momento está multiplicando o “x” e em</p><p>outro, “passa” a estar dividindo. Não distinguem quando elas são usadas como variáveis</p><p>ou incógnitas e desconhecem as diferenças e aplicações. O processo de</p><p>desenvolvimento da álgebra como um instrumento matemático oriundo do</p><p>estabelecimento de padrões e regularidades nas resoluções de problemas em processos</p><p>de generalizações, desenvolvidos a partir da geometria e da aritmética, é ainda muito</p><p>obscuro para grande parte dos alunos. Em um belo dia, a professora, que sempre</p><p>mostrou aos alunos que na matemática fazemos “contas” com números, aparece com</p><p>um tal de “x” e diz que agora eles precisam aprender algumas “regrinhas” para resolver</p><p>essa “coisa” que ela chama de equação.</p><p>A álgebra tratada como um corpo axiomático estritamente simbólico mostra-se</p><p>ao aluno como um monstro monstruoso (LINS, 2004), que aparece apenas nas aulas de</p><p>matemática e não segue as regras da rua (LINS e GIMENEZ, 1997). Esse tratamento</p><p>descaracteriza seu potencial de se constituir como um conhecimento matemático a favor</p><p>dos alunos, em suas vidas, e como uma ferramenta matemática dentro da própria</p><p>matemática. Como afirma Rojano,</p><p>Provavelmente um dos mais velhos erros no ensino de álgebra é o de tentar</p><p>comunicar aos estudantes, desde seu primeiro contato com o objeto, as</p><p>qualidades e virtudes no domínio da sua sintaxe em relação a sua utilidade em</p><p>modelar e resolver problemas (ROJANO, 1996, p. 55, tradução nossa).</p><p>Aulas que tratam de problemas que exigem estabelecimento de padrões</p><p>matemáticos em casos particulares, reconhecimento de regularidades nos conjuntos</p><p>numéricos ou em figuras geométricas, em um processo de generalização usando alguma</p><p>linguagem algébrica13 e a perspectiva de propiciar ao aluno uma visão das idéias</p><p>matemáticas que estão presentes, tanto na álgebra quanto na aritmética e na geometria,</p><p>ainda são algo a ser instaurado nas práticas dos professores da Educação Básica.</p><p>13 Estamos entendendo por linguagem algébrica uma linguagem constituída por meio de uma notação</p><p>simbólica na qual os símbolos representam generalizações de invariâncias, padrões, regularidades.</p><p>32</p><p>Geralmente é apenas em meados da sexta série do Ensino Fundamental que aparecem as</p><p>primeiras menções à álgebra escolar, em um ambiente estritamente mecânico, isolado</p><p>dos outros conhecimentos matemáticos, aparentemente sem relação alguma entre eles.</p><p>No processo de desenvolvimento da álgebra, podemos encontrar muitos olhares</p><p>para compreendermos as maneiras como eram concebidos o pensamento e a linguagem</p><p>algébrica, assim como as mudanças e avanços ocorridos. Com isso, podemos ter</p><p>subsídios para a construção</p><p>de abordagens diferenciadas para o ensino da álgebra</p><p>escolar. Como afirma Radford:</p><p>[...] a construção histórica dos conceitos matemáticos pode fornecer-nos um</p><p>melhor entendimento dos caminhos construídos, pelos nossos estudantes, de</p><p>seus conhecimentos matemáticos (RADFORD, 1996, p. 51, nossa tradução).</p><p>Nossa intenção é fazer uma incursão em alguns aspectos do pensamento e da</p><p>linguagem algébrica para podermos identificar nas produções escritas dos alunos as</p><p>marcas desses conhecimentos, bem como apontar um caminho de introdução e</p><p>estruturação do ensino da álgebra14 (RADFORD, 2001).</p><p>A palavra álgebra tem origem na palavra árabe al-jabr que significa a ciência</p><p>das equações, (EVES, 2004, p. 266) e constituiu-se de processos de generalizações tanto</p><p>da aritmética como também da geometria possibilitando ao homem diversas ferramentas</p><p>para resolver seus mais variados problemas. De acordo com Charbonneau (1996) a</p><p>“Álgebra não é somente extensão do domínio numérico, é do geométrico também. Os</p><p>símbolos podem representar segmentos, áreas e volumes” (p. 34), assim como a respeito</p><p>da “geometria grega, podemos dizer que as equações são determinadas por curvas e não</p><p>que as curvas são determinadas por equações (p.22)”.</p><p>No que diz respeito ao seu desenvolvimento, e tomando como foco a linguagem,</p><p>é possível dividir a história da álgebra em três grandes fases: retórica (ou verbal),</p><p>sincopada e simbólica (EVES, 2004). Nessas fases notamos a constituição de uma</p><p>linguagem simbólica para representar as generalizações tanto da aritmética quanto da</p><p>geometria, chegando, com Viète, ao uso de letras para estudo de um objeto ao qual</p><p>algumas regras se aplicam.</p><p>A primeira fase, retórica ou verbal, diz respeito ao processo de resolução de</p><p>problemas – aritméticos ou geométricos – fazendo uso somente da linguagem usual</p><p>14 Não queremos aqui apresentar todo o processo e muito menos acreditamos nessa possibilidade. Existem</p><p>outras caracterizações para o desenvolvimento da álgebra como listam Fiorentini, Miorin e Miguel (1993)</p><p>e Sfard (1995). Uma discussão dessas caracterizações foge do escopo desse trabalho, sendo que nele</p><p>apresentaremos apenas uma caracterização que julgamos importante para nossas análises.</p><p>33</p><p>corrente, ou seja, os argumentos usados nas resoluções não tinham abreviações nem</p><p>símbolos específicos. Essa fase se inicia por volta de 1700 a.C. e vai até o século III</p><p>com os trabalhos de Diofanto. Um problema característico dessa etapa se encontra no</p><p>papiro Rhind: Divida 100 pães entre cinco pessoas de modo que as partes recebidas</p><p>estejam em progressão aritmética e que um sétimo da soma das três partes maiores seja</p><p>igual à soma das duas menores (EVES, 2004, p.84).</p><p>A segunda fase, sincopada, caracteriza-se pelo uso de algumas abreviações ou</p><p>símbolos específicos para quantidades ou elementos geométricos que se repetiam</p><p>freqüentemente. Há uma mistura entre algumas abreviações de palavras, símbolos e a</p><p>linguagem corrente na resolução dos problemas. Diofanto, com seus tratados, sendo o</p><p>mais importante, Aritmética, uma abordagem da teoria algébrica dos números, foi um</p><p>dos grandes promovedores da passagem da álgebra retórica para a álgebra sincopada.</p><p>Como afirma Eves (2004), “Diofanto tinha abreviação para incógnita, potência de</p><p>incógnita até a de expoente seis; subtração, igualdade e inverso (p.209)”. Assim,</p><p>notamos um grau bem sofisticado no uso de uma notação simbólica nas resoluções dos</p><p>problemas.</p><p>A terceira fase do desenvolvimento da álgebra, a simbólica, tem início por volta</p><p>do século XVI com os trabalhos do francês Viète (1540-1603). Essa fase é caracterizada</p><p>pela utilização de letras para as quantidades dadas, expressão de soluções gerais e pela</p><p>formulação de regras para as relações numéricas. Segundo Eves (2004), no tratado In</p><p>artem, de Viète, aparece o uso de vogais para representar incógnitas e consoantes para</p><p>representar constantes. De acordo com Klein (1968 apud Rojano, 1996), as regras</p><p>Zetetics (ou sintáticas) do livro de Viète, Introdução da Arte Analítica de 1593,</p><p>representaram o primeiro sistema moderno e axiomático, pois ele criou um contexto</p><p>sistemático que “define” o objeto ao qual algumas regras se aplicam. A álgebra agora</p><p>não era apenas concebida como a “ciência das equações”, mas como o estudo das</p><p>estruturas algébricas. Como afirma Kieran (1992), “o uso de símbolos permite a</p><p>eliminação de informação supérflua e um empenho a gerar outros conceitos</p><p>matemáticos, tais como função (p.4)”.</p><p>O desenvolvimento da álgebra durante as três fases consideradas caracterizou-se</p><p>por avanços e mudanças de perspectivas tanto em relação à generalização de idéias</p><p>matemáticas em formas de escritas mais simples e de fácil acesso, quanto na construção</p><p>de um objeto próprio de estudo, sem relações com os problemas cotidianos - as</p><p>estruturas algébricas. Percebemos que o homem constituiu abstrações de situações</p><p>34</p><p>concretas em um momento, e que, em um momento seguinte, essas abstrações para ele</p><p>já podiam ser tomadas como “concretas”, desencadeando, assim, um processo sucessivo</p><p>que possibilitou a apreensão de diferentes construtos algébricos para resolver os</p><p>problemas.</p><p>Moura e Souza (2005) corroboram nossos argumentos afirmando que “/.../ o</p><p>lógico-histórico da álgebra simbólica contém em seu bojo o desenvolvimento histórico</p><p>da álgebra não simbólica (p. 11)”. Assim, também o pensamento algébrico se constitui</p><p>ao longo do desenvolvimento da humanidade, mesmo que no seu início sem alguma</p><p>linguagem algébrica.</p><p>Em relação à Educação Algébrica podemos considerar que oportunizar aos</p><p>nossos alunos somente algumas regras mecânicas de como resolver equações apenas em</p><p>meados da sexta série do Ensino Fundamental é o mesmo que “roubar” seus direitos de</p><p>se apropriar de vários conhecimentos no processo de constituição do pensamento e da</p><p>linguagem algébrica. Propiciar o desenvolvimento de capacidades de reconhecer</p><p>regularidades, estabelecer padrões e fazer generalizações devem compor o currículo de</p><p>matemática desde as primeiras séries da Educação Básica. Mas será que os pobrezinhos</p><p>dos alunos que mal entendem simples equações nas séries finais do Ensino</p><p>Fundamental são capazes de entender álgebra já nas primeiras séries? Essa pergunta</p><p>se enquadra, em primeiro lugar, no julgamento pela falta que muitos professores fazem</p><p>dos seus alunos e, também, na manutenção de uma tradição que insiste na não</p><p>oportunização desses conhecimentos.</p><p>Muitos autores (CARPENTER, FRANKE E LEVI 2003; SCHLIEMANN,</p><p>BRIZUELLA 2004; BLANTON E KAPUT 2005; CARRAHER, ET ALL, 2006) têm</p><p>sugerido a integração da aritmética com a álgebra já nas primeiras séries do Ensino</p><p>Fundamental. Suas pesquisas têm apontado que crianças podem desenvolver o</p><p>pensamento algébrico, bem como usar símbolos para generalizar relações aritméticas ou</p><p>padrões geométricos, usar a noção algébrica para representar relação de funções e</p><p>raciocinar algebricamente desde os 9, 10 anos de idade. A idéia de tratar o</p><p>conhecimento aritmético separado do algébrico, com o primeiro antecedendo o segundo,</p><p>tira oportunidades de conhecimentos matemáticos para a resolução de problemas.</p><p>Existem muitas propriedades, estruturas e relações que são comuns tanto para a álgebra</p><p>quanto para a aritmética e que podem ser desenvolvidas e conectadas trabalhando como</p><p>se fosse um conhecimento integrado. Como bem enfatizam Lins e Kaput (2004)</p><p>colocando uma pergunta e sua resposta: “Por que Álgebra [já nas primeiras séries]?</p><p>35</p><p>Simplesmente porque nossos alunos merecem a chance para desenvolver o melhor de</p><p>seus potenciais (p. 64 )”, e, sendo assim, devemos desde muito cedo propiciar essas</p><p>oportunidades.</p><p>Carpenter, Franke e Levi (2003), propondo a integração da aritmética com a</p><p>álgebra já nas séries iniciais do Ensino Fundamental, afirmam que os alunos podem</p><p>“aprender aritmética em um</p>