M A P A - GEOMETRIA ANALITICA E ÁLGEBRA LINEAR

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<p>MAPA – GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA</p><p>LINEAR</p><p>Nome: PIERRE DE ALMEIDA RANGEL R.A.:</p><p>24068748-5</p><p>Data: 22/9/24</p><p>ETAPA 1 – SISTEMA LINEAR E MATRIZES</p><p>Um sistema dinâmico é um modelo matemático que descreve a evolução de um sistema</p><p>ao longo do tempo. Ele é caracterizado por um conjunto de variáveis de estado que</p><p>mudam em resposta a regras ou equações específicas. Sistemas dinâmicos são usados</p><p>para modelar uma ampla variedade de fenômenos naturais e artificiais, desde a</p><p>mecânica clássica até a economia e a biologia.</p><p>Considere o sistema a seguir:</p><p>E1 = x + 4y</p><p>E2 = 2x - 3y</p><p>a) Qual a matriz que representa o sistema formado pelas equações E1 e E2?</p><p>b) Qual o determinante da matriz de “a”?</p><p>c) Qual a matriz inversa da matriz de “a”?</p><p>ETAPA 2 – TRANSFORMAÇÔES LINEARES</p><p>Uma transformação linear é uma função entre espaços vetoriais que mantém a estrutura</p><p>aditiva e multiplicativa desses espaços. Essas transformações são fundamentais em</p><p>muitas áreas da matemática e física, fornecendo uma maneira de modelar e analisar</p><p>fenômenos lineares de maneira sistemática e estruturada.</p><p>Considerando o sistema da ETAPA 1 como uma transformação linear:</p><p>T (x,y) = (E1 ,E2)</p><p>a) Qual a transformação de (1,2)?</p><p>b) Qual a transformação de (-1,-1)?</p><p>c) Qual a transformação de (-3,4)?</p><p>d) Qual o Núcleo da T.L. e sua dimensão?</p><p>e) Qual a imagem da T.L e sua dimensão?</p><p>ETAPA 3 – AUTOVALORES E AUTOVETORES</p><p>Um autovalor é um número escalar associado a uma matriz ou a uma transformação</p><p>linear. Especificamente, se A é uma matriz n×n, então um escalar λ é um autovalor de A</p><p>se existir um vetor não nulo v tal que a aplicação da matriz A sobre o vetor v resulta em</p><p>um múltiplo escalar desse vetor.</p><p>a) Quais os autovalores da Transformação Linear da Etapa 2?</p><p>b) Quais os autovetores da Transformação Linear da Etapa 2?</p><p>c) Sabendo que, para ser estável, todos os autovalores devem ser negativos, o sistema é</p><p>estável ou instável?</p><p>Respostas:</p><p>ETAPA 1 – SISTEMA LINEAR E MATRIZES</p><p>Considere o sistema:</p><p>\[ E1: x + 4y \]</p><p>\[ E2: 2x - 3y \]</p><p>a) Qual a matriz que representa o sistema formado pelas equações E1 e E2?</p><p>A matriz que representa o sistema é composta pelos coeficientes das variáveis nas</p><p>equações E1 e E2:</p><p>\[</p><p>A = \begin{pmatrix}</p><p>1 & 4 \\</p><p>2 & -3</p><p>\end{pmatrix}</p><p>\]</p><p>b) Qual o determinante da matriz de “a”?</p><p>O determinante de uma matriz 2x2 \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}</p><p>\) é dado por:</p><p>\[ \text{det}(A) = ad - bc \]</p><p>Para a matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \):</p><p>\[ \text{det}(A) = (1 \cdot -3) - (4 \cdot 2) = -3 - 8 = -11 \]</p><p>c) Qual a matriz inversa da matriz de “a”?</p><p>A inversa de uma matriz 2x2 \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) é</p><p>dada por:</p><p>\[ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \]</p><p>Para a matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \):</p><p>\[ A^{-1} = \frac{1}{-11} \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} =</p><p>\begin{pmatrix} \frac{3}{11} & \frac{4}{11} \\ \frac{2}{11} & -\frac{1}{11}</p><p>\end{pmatrix} \]</p><p>ETAPA 2 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES</p><p>Considere a transformação linear:</p><p>\[ T(x, y) = (E1, E2) \]</p><p>\[ T(x, y) = (x + 4y, 2x - 3y) \]</p><p>a) Qual a transformação de (1, 2)?</p><p>\[ T(1, 2) = (1 + 4 \cdot 2, 2 \cdot 1 - 3 \cdot 2) = (1 + 8, 2 - 6) = (9, -4) \]</p><p>b) Qual a transformação de (-1, -1)?</p><p>\[ T(-1, -1) = (-1 + 4 \cdot (-1), 2 \cdot (-1) - 3 \cdot (-1)) = (-1 - 4, -2 + 3) = (-5, 1) \]</p><p>c) Qual a transformação de (-3, 4)?</p><p>\[ T(-3, 4) = (-3 + 4 \cdot 4, 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4) = (-3 + 16, -6 - 12) = (13, -18) \]</p><p>d) Qual o Núcleo da T.L. e sua dimensão?</p><p>O núcleo de \( T(x, y) = (x + 4y, 2x - 3y) \) é o conjunto de vetores \((x, y)\) que são</p><p>mapeados para \((0, 0)\). Resolvemos:</p><p>\[ x + 4y = 0 \]</p><p>\[ 2x - 3y = 0 \]</p><p>Substituindo \( x = -4y \) na segunda equação:</p><p>\[ 2(-4y) - 3y = 0 \]</p><p>\[ -8y - 3y = 0 \]</p><p>\[ -11y = 0 \]</p><p>\[ y = 0 \]</p><p>\[ x = -4(0) = 0 \]</p><p>Portanto, o núcleo é \(\{(0, 0)\}\) e sua dimensão é 0.</p><p>e) Qual a imagem da T.L e sua dimensão?</p><p>A imagem da transformação linear \( T \) é gerada pelas colunas da matriz associada \(</p><p>A \):</p><p>\[</p><p>A = \begin{pmatrix}</p><p>1 & 4 \\</p><p>2 & -3</p><p>\end{pmatrix}</p><p>\]</p><p>A imagem de \( T \) é \(\mathbb{R}^2\) porque as colunas de \( A \) são linearmente</p><p>independentes, e a dimensão da imagem é 2.</p><p>ETAPA 3 – AUTOVALORES E AUTOVETORES</p><p>a) Quais os autovalores da Transformação Linear da Etapa 2?</p><p>Os autovalores são encontrados resolvendo \(\text{det}(A - \lambda I) = 0\):</p><p>\[</p><p>A - \lambda I = \begin{pmatrix}</p><p>1 - \lambda & 4 \\</p><p>2 & -3 - \lambda</p><p>\end{pmatrix}</p><p>\]</p><p>Determinante:</p><p>\[</p><p>(1 - \lambda)(-3 - \lambda) - (4 \cdot 2) = 0</p><p>\]</p><p>\[</p><p>\lambda^2 + 2\lambda - 11 = 0</p><p>\]</p><p>Resolvendo a equação quadrática:</p><p>\[</p><p>\lambda = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 44}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{-2 \pm</p><p>4\sqrt{3}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{3}</p><p>\]</p><p>Os autovalores são \( \lambda_1 = -1 + 2\sqrt{3} \) e \( \lambda_2 = -1 - 2\sqrt{3} \).</p><p>b) Quais os autovetores da Transformação Linear da Etapa 2?</p><p>Para \( \lambda_1 = -1 + 2\sqrt{3} \):</p><p>\[</p><p>(A - \lambda_1 I)v = 0 \implies \begin{pmatrix}</p><p>1 - (-1 + 2\sqrt{3}) & 4 \\</p><p>2 & -3 - (-1 + 2\sqrt{3})</p><p>\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0</p><p>\]</p><p>Simplificando:</p><p>\[</p><p>\begin{pmatrix}</p><p>2 - 2\sqrt{3} & 4 \\</p><p>2 & -2 - 2\sqrt{3}</p><p>\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0</p><p>\]</p><p>Solução:</p><p>\[</p><p>x = -2y</p><p>\]</p><p>Para \( \lambda_2 = -1 - 2\sqrt{3} \):</p><p>\[</p><p>(A - \lambda_2 I)v = 0 \implies \begin{pmatrix}</p><p>2 + 2\sqrt{3} & 4 \\</p><p>2 & -2 + 2\sqrt{3}</p><p>\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0</p><p>\]</p><p>Simplificando:</p><p>\[</p><p>\begin{pmatrix}</p><p>2 + 2\sqrt{3} & 4 \\</p><p>2 & -2 + 2\sqrt{3}</p><p>\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0</p><p>\]</p><p>Solução:</p><p>\[</p><p>x = \frac{-(2 + 2\sqrt{3})}{4}y</p><p>\]</p><p>Os autovetores correspondentes são múltiplos dos vetores \(\begin{pmatrix} -2 \\ 1</p><p>\end{pmatrix}\) e \(\begin{pmatrix} \frac{-(2 + 2\sqrt{3})}{4} \\ 1 \end{pmatrix}\).</p><p>c) Sabendo que, para ser estável, todos os autovalores devem ser negativos, o sistema é</p><p>estável ou instável?</p><p>Os autovalores são \( \lambda_1 = -1 + 2\sqrt{3} \) e \( \lambda_2 = -1 - 2\sqrt{3} \).</p><p>Como \(-1 + 2\sqrt{3}\) é positivo, o sistema é instável.</p>