Tópico 6 - texto base - QUANTIDADE DE MOVIMENTO - Fundamentos de Mecânica

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<p>Quantidade de Movimento</p><p>2</p><p>1. QUANTIDADE DE MOVIMENTO</p><p>Quantidade de movimento está associado a três conceitos importantes na física,</p><p>sendo eles a conservação do momento linear, o impulso de uma força e as colisões entre</p><p>corpos. Estes conceitos são necessários para descrever interações entre corpos que as leis</p><p>de Newton não conseguiriam. No texto a seguir vamos abordar estes conceitos em</p><p>situações físicas como quando uma pedra arremessada atinge outras pedras em repouso</p><p>no solo. Outro exemplo é o pêndulo de Newton que é mostrado na Figura 1.</p><p>Figura 1: Pêndulo de Newton.</p><p>Fonte: Thomazi 2021.</p><p>Na Figura 1 um conjunto de esferas está suportado por fios e apenas uma esfera a</p><p>esquerda é deslocada de sua posição de equilíbrio. Quando esta esfera colidir com o</p><p>conjunto sabe – se que apenas a última esfera a direita entrará em movimento repetindo</p><p>o movimento da esfera a esquerda. O princípio de funcionamento desse aparato pode ser</p><p>descrito com os conceitos momento linear, impulso e colisões.</p><p>A segunda lei de Newton trata da relação entre força que deve ser exercida sobre um</p><p>corpo e como a aceleração e massa deste corpo vão se comportar. De modo mais geral</p><p>sabe – se que para as diversas forças que podem atuar no corpo a segunda lei de Newton</p><p>pode ser expressa como:</p><p>∑ 𝑭 = 𝑚𝒂</p><p>em que m é a massa do corpo e a aceleração provocada pela somatória de forças atuando</p><p>no corpo.</p><p>Quantidade de Movimento</p><p>3</p><p>A segunda lei de Newton pode ser expressa em termos da velocidade se</p><p>considerarmos que a aceleração é uma taxa que altera a velocidade do corpo com o passar</p><p>do tempo assim a equação acima pode ser representada como:</p><p>∑ 𝐹 = 𝑚𝒂 = 𝑚</p><p>𝑑𝒗</p><p>𝑑𝑡</p><p>=</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑡</p><p>𝑚𝒗</p><p>Como a massa é constante pode ser colocada para dentro do termo a ser derivado e</p><p>definindo o produto da massa pela velocidade como o momento linear p a segunda lei de</p><p>Newton pode ser expressa como a variação do momento linear no tempo sendo a</p><p>somatória de forças sobre o corpo, assim:</p><p>∑ 𝑭 =</p><p>𝑑𝒑</p><p>𝑑𝑡</p><p>a unidade no SI para o momento linear é kgm/s e como ele tem dependência com o vetor</p><p>velocidade deve ter mesma orientação que este vetor. O momento linear é representado</p><p>como:</p><p>𝒑 = 𝑚𝒗</p><p>a Figura 2 representa o momento linear para dois corpos com mesmo módulo de</p><p>velocidade, mas com orientações diversas.</p><p>Figura 2: Comparativo entre dois momentos lineares para dois corpos.</p><p>Fonte: Thomazi 2021.</p><p>Quantidade de Movimento</p><p>4</p><p>As setas no plano cartesiano representam os momentos lineares para dois corpos com</p><p>orientações dos vetores velocidades diferentes, pode – se representar o momento linear</p><p>para cada eixo de um sistema cartesiano em três dimensões como em forma de módulo</p><p>como:</p><p>𝑝𝑥 = 𝑚𝑣𝑥 𝑝𝑦 = 𝑚𝑣𝑦 𝑝𝑧 = 𝑚𝑣𝑧</p><p>o momento linear pode ser diferente para cada um dos três eixos considerados.</p><p>A relação entre força e momento linear ser entendida por meio da taxa de variação</p><p>do momento linear, assim para provocar uma rápida variação do momento linear é</p><p>necessária uma grande força aplicada e para uma variação lenta a força pode ser pequena.</p><p>O dispositivo de segurança em carros, air bag, é baseado nesse princípio pois em</p><p>uma desaceleração abrupta a variação do momento linear do motorista é lenta devido ao</p><p>colchão de ar entre ele e o volante do carro evitando assim lesões serias ao motorista.</p><p>Outro conceito importante ligado ao momento linear é o impulso que de modo geral</p><p>está ligado ao intervalo de tempo em que uma força atua sobre um corpo. Um chute dado</p><p>em uma bola de futebol por um jogar pode ser considerado como impulso, pois o pé do</p><p>jogador entra em contato com a bola por um instante de tempo alterando assim o momento</p><p>linear da bola, além da sua velocidade e energia mecânica.</p><p>Pode – se definir o impulso através da seguinte relação matemática que leva em conta</p><p>a força e o intervalo de tempo que essa força atua sobre o corpo como:</p><p>𝑰 = ∑ 𝑭∆𝑡 = 𝒑𝟐 − 𝒑𝟏</p><p>em que I é o impulso e como depende do vetor força essa grandeza também é uma</p><p>grandeza vetorial e terá mesma orientação que a força. Assim a variação do momento</p><p>linear durante um intervalo de tempo é igual ao impulso da força resultante que atua sobre</p><p>o corpo durante esse intervalo. Esse é o enunciado do teorema do impulso – momento</p><p>linear.</p><p>Quantidade de Movimento</p><p>5</p><p>Como exemplo considere uma bola arremessada contra uma parede e que depois de</p><p>colidir com está retorna pelo mesmo caminho, sabendo que bola tem massa de 0,4 kg e a</p><p>sua velocidade antes de atingir a parede é de 30 m/s e após a colisão a bola retorna com</p><p>velocidade de 20 m/s. Quais serão o impulso provocado pela parede e a força, que atuou</p><p>na bola sendo o contato com a parede de 0,01 s.</p><p>Considerando que o movimento ocorre no eixo x e separando as velocidades como</p><p>𝑣1𝑥 = −30 𝑚/𝑠 em direção a parede e 𝑣2𝑥 = 20 𝑚/𝑠 partindo da parede o momento</p><p>linear será:</p><p>𝑝1𝑥 = 𝑚𝑣1𝑥 = 0,4 ∙ (−30) = −12 𝑘𝑔𝑚/𝑠</p><p>𝑝2𝑥 = 𝑚𝑣2𝑥 = 0,4 ∙ 20 = 8 𝑘𝑔𝑚/𝑠</p><p>o impulso é a diferença entre os momentos lineares antes e depois da colisão da bola na</p><p>parede assim:</p><p>𝐼𝑥 = 𝑝2𝑥 − 𝑝1𝑥 = 8 − (−12) = 20 𝑁𝑠</p><p>a força pode ser determinada pela razão entre o impulso e a variação de tempo da atuação</p><p>da força e deste modo</p><p>𝐹 =</p><p>𝐼𝑥</p><p>∆𝑡</p><p>=</p><p>20</p><p>0,01</p><p>= 2000 𝑁</p><p>apenas as componentes presentes no eixo x foram consideradas, mas dependendo da</p><p>orientação do movimento essa analise pode ser estendida para as três dimensões do</p><p>espaço.</p><p>A lei de conservação estende – se além dos conceitos envolvendo energia mecânica</p><p>e se aplica também ao momento linear. Para entender como a conservação se aplica ao</p><p>momento linear considere – se o caso ideal de dois astronautas no espaço livres de</p><p>qualquer força externa. Neste sistema os astronautas serão chamados de A e B e o</p><p>astronauta A exerce uma força F sobre o astronauta B que é expressa como 𝑭𝑨𝑩, segundo</p><p>a terceira lei de Newton o astronauta B reage com uma força F sobre o astronauta A que</p><p>é escrita como 𝑭𝑩𝑨. A soma destas forças pode ser expressa como:</p><p>Quantidade de Movimento</p><p>6</p><p>𝐹𝐴𝐵 = −𝐹𝐵𝐴 𝑜𝑢 𝐹𝐴𝐵 + 𝐹𝐵𝐴 = 0</p><p>como esperado da terceira lei de Newton a força reação do astronauta B deve ter sentido</p><p>contrário a 𝐹𝐴𝐵 assim a soma das forças como mostrado na equação acima será nula.</p><p>As forças exercidas pelos astronautas são consideradas forças internas ao sistema que</p><p>composto apenas por eles, esse conceito pode ser estendido a um sistema com vários</p><p>corpos e empregado na evolução de sistemas complexos. No caso do sistema com dois</p><p>astronautas o momento total está relacionado o momento individual e com as forças</p><p>internas assim pode – se escrever a taxa de variação do momento para cada astronauta</p><p>com a respectiva força como:</p><p>𝐹𝐴𝐵 =</p><p>𝑑𝑝𝐵</p><p>𝑑𝑡</p><p>𝑒 𝐹𝐵𝐴 =</p><p>𝑑𝑝𝐴</p><p>𝑑𝑡</p><p>as equações acima mostram que a variação do momento linear de cada astronauta ocorre,</p><p>contudo, não de modo independente. Como a relação entre forças mostra que 𝑭𝑨𝑩 =</p><p>−𝑭𝑩𝑨 a taxa de variação dos momentos lineares deve ser expressa como:</p><p>𝑑𝑝𝐴</p><p>𝑑𝑡</p><p>= −</p><p>𝑑𝑝𝐵</p><p>𝑑𝑡</p><p>𝑑𝑝𝐴</p><p>𝑑𝑡</p><p>+</p><p>𝑑𝑝𝐵</p><p>𝑑𝑡</p><p>= 0</p><p>Sendo as taxas de variação iguais e contrárias sua soma será nula o que indica a</p><p>conservação do momento linear total do sistema que apenas contêm forças internas. Como</p><p>o momento linear total pode ser escrito como a soma dos momentos individuais dos</p><p>astronautas como 𝑷 = 𝒑𝑨 + 𝒑𝑩 e a taxa de variação do momento linear total é expressa</p><p>como:</p><p>𝑑𝑷</p><p>𝑑𝑡</p><p>= 0</p><p>apesar do momento linear total não variar os momentos individuais podem variar.</p><p>Quantidade de Movimento</p><p>7</p><p>O que ocorre quando forças externas também atuam no sistema além das forças</p><p>internas? Nesse caso deve – se levar em conta</p><p>um termo extra para estas forças assim:</p><p>𝑭𝒊𝒏𝒕 + 𝑭𝒆𝒙𝒕 =</p><p>𝑑𝑷</p><p>𝑑𝑡</p><p>duas situações devem ser consideradas a primeira é ∑ 𝑭𝒆𝒙𝒕 ≠ 0 é a taxa de variação do</p><p>momento linear total será diferente de zero o que implica na não conservação do</p><p>momento. A segunda situação é ∑ 𝑭𝒆𝒙𝒕 = 0 o que leva ao caso anterior e a conservação</p><p>do momento linear total do sistema. Os conceitos anteriormente abordados para o sistema</p><p>com dois astronautas podem ser estendidos para qualquer sistema com muitos corpos</p><p>considerados como partículas assim:</p><p>𝑷 = 𝒑𝑨 + 𝒑𝑩+. . . = 𝑚𝐴𝒗𝑨 + 𝑚𝐵𝒗𝑩+. ..</p><p>a equação acima representa o momento linear total para um sistema de muitas partículas.</p><p>Outra situação em que o momento linear total pode aplicado é no disparo de uma</p><p>arma de fogo, pode – se considerar dois momentos para esta situação sendo os momentos</p><p>antes do disparo em que arma e o projetil estão unidos e o momento depois do disparo,</p><p>em que arma e projetil estão separados. Sabe – se que imediatamente após o disparo a</p><p>arma recua, o que se deve a terceira lei de Newton, e como as forças externas podem ser</p><p>desconsideradas o sistema arma mais projetil é isolado. Quais devem ser o valor da</p><p>velocidade de recuo da arma sabendo que a velocidade do projetil é de 300 m/s e sua</p><p>massa vale 5 g ? Considere que a arma tem massa de 3 kg.</p><p>Dadas as características do sistema arma mais projetil aplica – se a lei de conservação</p><p>do momento linear total, também considera – se que a arma e o projetil apenas têm</p><p>movimentação ao longo do eixo horizontal x assim 𝑣𝑝𝑥 = 300 𝑚/𝑠 é a velocidade do</p><p>projetil e 𝑣𝑎𝑥 é a velocidade de recuo da arma. As massas são 𝑚𝑎 = 3 𝑘𝑔 e mp =</p><p>0,005 𝑘𝑔, assim:</p><p>𝑃𝑥 = 𝑚𝑝𝑣𝑝𝑥 + 𝑚𝑎𝑣𝑎𝑥 = 0</p><p>𝑣𝑎𝑥 = −</p><p>𝑚𝑝</p><p>𝑚𝑎</p><p>𝑣𝑝𝑥 = −0,5 𝑚/𝑠</p><p>Quantidade de Movimento</p><p>8</p><p>o resultado acima indica que a velocidade de recuo da arma é para o lado contrário da</p><p>direção do movimento do projetil como esperado. Os momentos lineares tanto para o</p><p>projetil quanto para a arma são:</p><p>𝑝𝑝 = 𝑚𝑝𝑣𝑝𝑥 = 1,5 𝑘𝑔𝑚/𝑠</p><p>𝑝𝑎 = 𝑚𝑎𝑣𝑎𝑥 = −1,5 𝑘𝑔𝑚/𝑠</p><p>observa – se que os valores são iguais para os momentos lineares, mas com orientações</p><p>diferentes, o que está de acordo com os conceitos até estabelecidos.</p><p>Por fim deve – se abordar o conceito de colisão e relacionar este conceito com o</p><p>momento linear e sua conservação. De modo geral quando se fala em colisão pensa – se</p><p>em qualquer acidente envolvendo carros ou outros veículos, apesar deste exemplo não</p><p>estar errado o conceito físico de colisão é mais abrangente. Em exemplo anterior abordou</p><p>– se a colisão de uma bola contra uma parede sem efetivamente entrar nos detalhes, agora</p><p>vamos considerar os princípios físicos por trás das colisões envolvendo o momento linear</p><p>e sua conservação.</p><p>Consideremos que as forças entre os corpos nas colisões, forças internas do sistema,</p><p>sejam maiores que as forças externas e deste modo o sistema pode ser considerado</p><p>isolado. Para todo o sistema isolado ocorre sempre a conservação do seu momento linear</p><p>total. Outro ponto a se definir é se a colisão é elástica ou inelástica, para colisões elásticas</p><p>os corpos continuam em movimento após a colisão, já para colisões inelásticas os corpos</p><p>seguem em movimento unidos.</p><p>Iniciando a abordagem pelas colisões elásticas, nesse tipo de colisão os sistemas</p><p>estudados são considerados isolados e desta forma tanto a energia quanto o momento</p><p>linear são conservados. As forças que atuam entre os corpos nesse tipo de colisão também</p><p>são conservativas. Para ilustrar esta analise vamos considerar os corpos A e B, duas</p><p>esferas, cuja colisão ocorre em uma dimensão apenas e as suas velocidades estão</p><p>orientadas no eixo x. Desta maneira tanto a velocidade quanto o momento linear terão</p><p>apenas uma componente. Pode – se escrever as equações da energia cinética e do</p><p>momento linear antes de depois da colisão como:</p><p>Quantidade de Movimento</p><p>9</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝐴𝑣𝐴1𝑥</p><p>2 +</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝐵𝑣𝐵1𝑥</p><p>2 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝐴𝑣𝐴2𝑥</p><p>2 +</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝐵𝑣𝐵2𝑥</p><p>2</p><p>𝑚𝐴𝑣𝐴1𝑥 + 𝑚𝐵𝑣𝐵1𝑥 = 𝑚𝐴𝑣𝐴2𝑥 + 𝑚𝐵𝑣𝐵2𝑥</p><p>os termos a esquerda do sinal de igual nas equações acima representam o momento antes</p><p>da colisão e os termos a direita do sinal de igual representam o momento depois da</p><p>colisão. O sistema de equações acima pode ser utilizado para se determinar tanto a</p><p>velocidade antes ou depois da colisão desde que se conheçam duas das quatro variáveis</p><p>presentes.</p><p>Um caso particular é quando o corpo B está em repouso antes da colisão, assim tem</p><p>– se que 𝑣𝐵1𝑥 = 0. Considera – se então B como alvo do corpo A e as equações acima</p><p>podem ser reescritas:</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝒎𝑨𝒗𝑨𝟏𝒙</p><p>𝟐 =</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝒎𝑨𝒗𝑨𝟐𝒙</p><p>𝟐 +</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝒎𝑩𝒗𝑩𝟐𝒙</p><p>𝟐</p><p>𝒎𝑨𝒗𝑨𝟏𝒙 = 𝒎𝑨𝒗𝑨𝟐𝒙 + 𝒎𝑩𝒗𝑩𝟐𝒙</p><p>considerando que a velocidade de A também seja conhecida antes da colisão deve – se</p><p>determinar 𝑣𝐴2𝑥 e 𝑣𝐵2𝑥 assim manipulando algebricamente os termos das equações</p><p>acima pode – se obter:</p><p>𝑣𝐴2𝑥 =</p><p>𝑚𝐴 − 𝑚𝐵</p><p>𝑚𝐴 + 𝑚𝐵</p><p>𝑣𝐴1𝑥</p><p>𝑣𝐵2𝑥 =</p><p>2𝑚𝐴</p><p>𝑚𝐴 + 𝑚𝐵</p><p>𝑣𝐴1𝑥</p><p>a Figura 3 abaixo ilustra as possibilidades que podem ocorrer nessa colisão, massa A</p><p>menor que massa B.</p><p>Quantidade de Movimento</p><p>10</p><p>Figura 3: Colisão entre os corpos A e B.</p><p>Fonte: Thomazi 2021.</p><p>Para 𝑚𝐴 menor que 𝑚𝐵 pode – se considerar que o corpo A ricocheteia ao colidir</p><p>com B e o sentido da velocidade que A terá após a colisão será contrario ao sentido que</p><p>tinha antes como é mostrado em Figura 3a. Como exemplo poderia se considerar uma</p><p>bola de pingue – pongue colidindo com uma bola de boliche. O sinal de 𝑣𝐴2𝑥 será</p><p>negativo pois pela equação no numerador 𝑚𝐵 é maior que 𝑚𝐴 e assim como indicado na</p><p>Figura 3a após a colisão A retorna em sentido contrário. Quando 𝑚𝐴 é maior que 𝑚𝐵 a</p><p>velocidade de B aumenta e será maior que a velocidade de A após a colisão como pode</p><p>ser visto pela segunda equação pois 𝑣𝐵2𝑥 será diretamente proporcional ao dobro da</p><p>massa do corpo A.</p><p>Outro caso a ser considerado é quando os corpos A e B apresentam mesma valor de</p><p>massa, 𝑚𝐴 = 𝑚𝐵 substituindo nas equações para as velocidades dos corpos após a colisão</p><p>tem – se que 𝑣𝐴2𝑥 = 0 e 𝑣𝐵2𝑥 = 𝑣𝐴1𝑥 o que indica que o corpo A entra em repouso e o</p><p>corpo B é empurrado para frente com mesma velocidade que o corpo A possui antes da</p><p>colisão, a Figura 4 ilustra esta situação.</p><p>Figura 4: Colisão entre dois corpos com mesma massa.</p><p>Fonte: Thomazi 2021.</p><p>Quantidade de Movimento</p><p>11</p><p>Esta situação é muito comum no jogo de sinuca em que uma bola após colidir com</p><p>outra fica parada enquanto a outra bola passa se mover com velocidade igual à da primeira</p><p>bola antes da colisão.</p><p>As velocidades relativas também podem ser estudadas neste sistema envolvendo a</p><p>colisão entre corpos, considerando:</p><p>𝑣𝐴1𝑥 = 𝑣𝐵2𝑥 − 𝑣𝐴2𝑥</p><p>a equação acima mostra a velocidade relativa de B em relação A após a colisão, a</p><p>velocidade relativa antes da colisão é igual e contrária à velocidade relativa após a colisão,</p><p>essa mudança de sinal ocorre devido a aproximação entre os corpos antes da colisão e o</p><p>afastamento após a colisão.</p><p>Em colisões inelásticas parte da energia cinética é perdida e geralmente, mas nem</p><p>sempre, os corpos permanecem unidos após a colisão. Contudo o momento linear</p><p>continua a ser conservado mesmo em colisões inelásticas. No caso em que os corpos</p><p>permanecem unidos após a colisão este caso é denominado de colisão completamente</p><p>inelástica e a velocidade após a colisão será dada por:</p><p>𝑣𝐴2 = 𝑣𝐵2 = 𝑣2</p><p>assim pela lei de conservação do momento linear pode – se escrever a seguinte relação</p><p>para os corpos A e B que sofreram uma colisão completamente inelástica:</p><p>𝑚𝐴𝑣𝐴1 + 𝑚𝐵𝑣𝐵1 = (𝑚𝐴 + 𝑚𝐵)𝑣2</p><p>o segundo membro da equação acima denota a união de A e B após</p><p>a colisão, e sabendo</p><p>– se as massas e as velocidades antes da colisão podem – se determinar a velocidade após</p><p>a colisão.</p><p>A velocidade após a colisão e a energia cinética podem ser determinadas através da</p><p>equação anterior assim após a colisão entre A e B com massas diferentes tem – se:</p><p>𝑣2 =</p><p>𝑚𝐴</p><p>𝑚𝐴 + 𝑚𝐵</p><p>𝑣𝐴1</p><p>Quantidade de Movimento</p><p>12</p><p>considerando B em repouso e a colisão completamente inelástica, já para a energia</p><p>cinética pode – se escrever:</p><p>𝐾1 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝐴𝑣𝐴1</p><p>2</p><p>𝐾2 =</p><p>1</p><p>2</p><p>(𝑚𝐴 + 𝑚𝐵)𝑣2</p><p>2</p><p>fazendo a razão entre a energia cinética inicial e a energia cinética final tem – se que:</p><p>𝐾2</p><p>𝐾1</p><p>=</p><p>𝑚𝐴</p><p>𝑚𝐴 + 𝑚𝐵</p><p>o lado direito desta equação é menor que a unidade pois a soma das massas sempre será</p><p>maior que uma delas assim a razão entre as energias cinéticas sempre será menor que a</p><p>unidade indicando que parte desta energia foi perdida.</p><p>Quantidade de Movimento</p><p>13</p><p>REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS</p><p>ALONSO, Marcelo, Finn, Edward J. Física um curso universitário. 2. ed. brasileira.</p><p>Blucher, 2014.</p><p>HALLIDAY, David; RESNICK, Robert J. Fundamentos de Física, volume 1. 8 ed. Rio</p><p>de Janeiro. LTC, 2008.</p><p>LEITE, Alvaro E; Física: Conceitos e aplicações de mecânica. 1 ed. Curitiba – Pr.</p><p>Editora Intersaberes, 2014.</p><p>TIPLER, Paul A. Física para cientistas e engenheiros, volume 1. 3 ed. Rio de Janeiro.</p><p>LTC, 1995.</p><p>YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física I: Mecânica. 12 ed. São Paulo. Ed.</p><p>Pearson, 2010.</p>