APOSTILA - nivelamento Matemática_liv correção 09_03_18 (1)

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<p>UNIPAC ON-LINE</p><p>Nivelamento</p><p>Matemática</p><p>UNIVERSIDADE PRESIDENTE ANTÔNIO CARLOS – UNIPAC</p><p>UNIPAC ON-LINE</p><p>PROFª. GRACE MARISA MIRANDA DE PAULA</p><p>NIVELAMENTO: MATEMÁTICA</p><p>BARBACENA</p><p>2016</p><p>UNIPAC</p><p>M672n</p><p>Miranda de Paula, Grace Marisa</p><p>Nivelamento: matemática. / Grace Marisa Miranda de Paula.</p><p>Barbacena:</p><p>UNIPAC, 2016.</p><p>22 p.</p><p>ISBN:</p><p>1. Matemática – Disciplina on-line I. Título II. Universidade</p><p>Presidente Antônio Carlos - UNIPAC</p><p>Copyright © 2016</p><p>Todos os direitos reservados a:</p><p>Universidade Presidente Antônio Carlos – UNIPAC.</p><p>Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico,</p><p>por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da UNIPAC.</p><p>Reitor</p><p>Bonifácio de Andrada</p><p>Vice-Reitor Institucional</p><p>Lauro Lopes Pinheiro</p><p>Vice-Reitor Administrativo</p><p>Fábio Afonso Borges de Andrada</p><p>Coordenação e Desenvolvimento de Projeto e Produtos EaD</p><p>Késcia Maria de Carvalho</p><p>Coordenação de Produção de Materiais</p><p>Nívea Campos</p><p>Capa, Diagramação e Projeto Gráfico</p><p>Wuallen Leandro José Dornelles Ribeiro</p><p>Equipe EaD</p><p>Catalogação na fonte elaborada por Rosy Mara Oliveira – CRB 6/2083</p><p>CONHEÇA A AUTORA</p><p>Grace Marisa Miranda de Paula é professora de Matemática na Rede Municipal de Ouro</p><p>Branco, professora de Cálculo e Álgebra Linear na Fundação Presidente Antônio Carlos-</p><p>Conselheiro Lafaiete. Licenciada em Ciências Físicas e Biológicas pela PUC –MG e em</p><p>Matemática pela UNINCOR – Três Corações, Mestre em Educação Matemática pela UNINCOR</p><p>- Betim.</p><p>Link do Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/0542883953244902'</p><p>Conteúdos abordados:</p><p>1. Propriedades da Potenciação</p><p>2. Propriedades da Radiciação</p><p>3. Operações com radicais</p><p>4. Produtos Notáveis</p><p>5. Fatoração de polinômios.</p><p>APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA</p><p>SUMÁRIO</p><p>RECORDANDO OS SÍMBOLOS UTILIZADOS NA MATEMÁTICA..............................................9</p><p>CONJUNTOS NUMÉRICOS...........................................................................................................9</p><p>REGRAS DE OPERAÇÕES.........................................................................................................10</p><p>MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS...................................................................10</p><p>DIVISÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS..................................................................................10</p><p>DIVISÃO EM DECIMAL................................................................................................................11</p><p>APLICANDO O ALGORITMO DA DIVISÃO.................................................................................11</p><p>DIVISÃO COM NÚMEROS DECIMAIS.........................................................................................11</p><p>POTÊNCIAS.................................................................................................................................12</p><p>FRAÇÃO NO EXPOENTE OU UM NÚMERO DECIMAL</p><p>FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS..................................................................................................12</p><p>RADICIAÇÃO...............................................................................................................................13</p><p>JOGO DE SINAIS E ORDEM DE CÁLCULO...............................................................................13</p><p>PRODUTOS NOTÁVEIS...............................................................................................................14</p><p>FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS..................................................................................................15</p><p>ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS............................................................17</p><p>LISTA DE EXERCÍCIOS................................................................................................................19</p><p>REFERÊNCIAS............................................................................................................................22</p><p>9</p><p>RECORDANDO OS SÍMBOLOS</p><p>UTILIZADOS NA MATEMÁTICA</p><p>DIFERENÇA</p><p>IGUAL</p><p>CONTÉM</p><p>CONTIDO</p><p>FATORIAL</p><p>MENOR QUE</p><p>MAIOR QUE</p><p>MENOR OU IGUAL</p><p>MAIOR OU IGUAL</p><p>ADIÇÃO</p><p>SUBTRAÇÃO</p><p>DIVISÃO</p><p>MULTIPLICAÇÃO</p><p>PROPORCIONAL</p><p>APROXIMADO</p><p>SE E SOMENTE SE</p><p>IMPLICAÇÃO</p><p>EXISTE</p><p>PERTENCE</p><p>NÃO PERTENCE</p><p>QUALQUER</p><p>PORTANTO</p><p>ORTOGONAL</p><p>E</p><p>OU</p><p>IMAGINÁRIO</p><p>SOMATÓRIA</p><p>UNIÃO</p><p>INTERSEÇÃO</p><p>NABLA</p><p>DIFERENÇA</p><p>LAPLACIANO</p><p>INTEGRAL</p><p>VETOR</p><p>PRO. ESCALAR</p><p>PROD. VETORIAL</p><p>LIMITE</p><p>COMPLEXO</p><p>CONJUGADO</p><p>TAL QUE</p><p>FUNÇÃO GAMA</p><p>FUNÇÃO BETA</p><p>CONJUNTOS NUMÉRICOS</p><p>Conjunto dos números naturais</p><p>Podemos contar os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,</p><p>7, 8, ... Observamos que os números nunca terminam,</p><p>isto é, sempre existirá um número maior do que o pre-</p><p>cedente.</p><p>Este conjunto infinito de números é chamado de</p><p>conjunto dos números naturais, pois podemos contá-</p><p>-los naturalmente, somando e multiplicando, como (1</p><p>+ 2 = 3), está no conjunto, ( 3 x 2 = 6), continua no</p><p>conjunto,</p><p>IN = {O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8: 9, 10, ...}</p><p>São os números os quais utilizamos para contar</p><p>quantidades inteiras:</p><p>Ex: 3 alunos, 20 carros, etc</p><p>Quando o zero é excluído, temos:</p><p>IN* ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...} IN* (IN asterisco) ;</p><p>Agora (2 – 3 = -1), opa, não está no conjunto dos</p><p>números naturais, então houve a necessidade de criar</p><p>o conjuntos dos números inteiros Z.</p><p>Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}, já podemos somar,</p><p>multiplicar, subtrair normalmente.</p><p>São números relativos que estão ligados as tro-</p><p>cas, ou seja, transações de coisas, depende de um</p><p>referencial.</p><p>Ex: Temperatura negativa, dívida em banco, etc</p><p>Agora (4 ÷ 2= 2), está no conjunto Z, (3 ÷ 2 = 1,5)</p><p>não está no conjunto de números inteiros, então hou-</p><p>ve a necessidade de se criar o conjunto dos números</p><p>racionais Q</p><p>Q = {... -3, -2,5 , -2 , -1,5 , -1 ,-0,5 , 0 , 0,5, 1,</p><p>1,5 , 2, 2,5 , 3...}</p><p>São os números que representam partes inteiras</p><p>ou divisões. Em alguns casos temos números com de-</p><p>cimais infinitos os quais não possuem período.</p><p>Ex:</p><p>Agora, podemos somar, subtrair, multiplicar e di-</p><p>vidir, mas a reta real ainda não está completa, ainda</p><p>existem espaços entre os números, aí entram os nú-</p><p>meros para completar os espaços e então são cria-</p><p>dos os números irracionais. Números irracionais são</p><p>aqueles que não podem ser escritos na forma de fra-</p><p>ção. Ou seja, as raízes não exatas, dízimas não perió-</p><p>dicas, o próprio número PI ( )</p><p>Ex: 3,14567890..., 3,586790465..., etc</p><p>Assim temos o conjuntos dos números reais!R</p><p>10</p><p>REGRAS DE OPERAÇÕES</p><p>Regra da soma de sinais:</p><p>5 + 3 = 8</p><p>-6 – 7 = -13</p><p>7 – 3 = 5</p><p>5 – 11 = -6</p><p>* se os sinais são iguais, soma-se à parte numéri-</p><p>ca e mantém-se o sinal;</p><p>* se os sinais são opostos, subtrai-se à parte nu-</p><p>mérica e mantém-se o sinal do número de maior</p><p>módulo.</p><p>Regra da multiplicação de sinais:</p><p>(+).(+) = (+)</p><p>(-).(-) = (+)</p><p>(-).(+) = (-)</p><p>(+).(-) = (-)</p><p>* multiplicação de sinais iguais o sinal resultante é</p><p>positivo;</p><p>* multiplicação de sinais opostos o sinal resultante</p><p>é negativo.</p><p>Soma de Números Fracionários:</p><p>Ex.:</p><p>* para somar frações é necessário deixar as fra-</p><p>ções com os mesmos denominadores.</p><p>Mínimo Múltiplo Comum:</p><p>MMC significa mínimo múltiplo comum. Minimiza-</p><p>ção, que é a operação e o menor múltiplo comum é o</p><p>resultado dessa operação.</p><p>O mmc de dois ou mais números inteiros é o me-</p><p>nor número que é múltiplos dos dois ao mesmo tempo.</p><p>Com exceção com zero.</p><p>Exemplo, o MMC de 4 e 6 = 12,</p><p>2 , 3 2</p><p>1 , 3 3</p><p>1 , 1_________</p><p>mmc = 2.3 = 6</p><p>1</p><p>2</p><p>+ 1</p><p>3</p><p>3 + 2</p><p>6</p><p>5</p><p>6</p><p>Encontrar o menor múltiplo comum é útil quando</p><p>fazemos operações com frações para que o denomi-</p><p>nador seja comum durante o processo.</p><p>Vamos calcular o mmc: MMC (4; 6; 8)</p><p>MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS</p><p>FRACIONÁRIOS</p><p>A multiplicação de frações é muito simples, basta</p><p>multiplicarmos numerador por numerador e denomina-</p><p>dor por denominador, respeitando suas posições.</p><p>DIVISÃO DE NÚMEROS</p><p>FRACIONÁRIOS</p><p>A divisão deve ser efetuada aplicando uma regra</p><p>prática e de fácil assimilação, que diz: “repetir a primei-</p><p>ra fração e multiplicar</p><p>pelo inverso da segunda”.</p><p>11</p><p>DIVISÃO EM DECIMAL</p><p>O algoritmo para realizar a divisão é conhecido</p><p>como “método da chave”. Para realizar a divisão por</p><p>meio desse algoritmo, devemos dispor os elementos</p><p>da seguinte maneira:</p><p>O quociente será um número que, multiplicado</p><p>pelo divisor, terá como resultado o dividendo, isto é,</p><p>q·d = D</p><p>Caso essa divisão tenha resto, escreve-se:</p><p>r + q·d = D</p><p>Portanto, para realizar uma divisão pelo método</p><p>da chave, temos como pré-requisito saber toda a tabu-</p><p>ada de multiplicação.</p><p>APLICANDO O ALGORITMO</p><p>DA DIVISÃO</p><p>Exemplo 1 - Observe a divisão de 8 por 2:</p><p>Nesse caso, observamos:</p><p>Dividendo = 8, divisor = 2, quociente = 4 e resto = 0.</p><p>Podemos escrever a seguinte expressão:</p><p>r + q·d = D</p><p>0 + 4·2 = 8</p><p>A divisão de 92 por 2. Nesse caso, em um primeiro</p><p>momento, divida 9 por 2 e coloque o resto 1. Observe</p><p>que 4·2 +1 = 9, logo, colocamos 4 no quociente, o re-</p><p>sultado de 4·2 abaixo do 9 (que é o número que esta-</p><p>mos dividindo nesse primeiro momento) e diminuímos</p><p>9 por esse resultado. O resto é 1.</p><p>Ao lado do resto 1, “desça” o próximo algarismo</p><p>do dividendo:</p><p>Agora repita o processo para o número 12, forma-</p><p>do pelo resto e pelo próximo número do dividendo ini-</p><p>cial:</p><p>O resultado dessa divisão é 46. Podemos escrever,</p><p>portanto, a seguinte expressão:</p><p>r+ q·d = D</p><p>DIVISÃO COM NÚMEROS</p><p>DECIMAIS</p><p>Para dividir números decimais, é necessário co-</p><p>nhecer o procedimento adequado quando o divisor é</p><p>maior que 10.</p><p>O procedimento adequado para divisão com nú-</p><p>meros decimais é feito com os seguintes passos:</p><p>• Passo 1: Contar as casas decimais do divisor e do</p><p>dividendo e escolher o maior entre esses núme-</p><p>ros;</p><p>• Passo 2: Calcular a potência 10n, sendo n o nú-</p><p>mero escolhido no passo anterior;</p><p>• Passo 3: Multiplicar divisor e dividendo pelo resul-</p><p>tado dessa potência;</p><p>• Passo 4: Realizar a divisão propriamente dita.</p><p>Calcule a divisão de 3,82 por 0,2</p><p>Vamos seguir os passos apresentados anterior-</p><p>mente:</p><p>• Passo 1: O divisor possui uma casa decimal, e o</p><p>dividendo, duas. Portanto, escolheremos o núme-</p><p>ro 2 para o passo seguinte;</p><p>12</p><p>• Passo 2: Para cumprir esse passo, faremos 102 =</p><p>100;</p><p>• Passo 3: Basta calcular 3,82·100 = 382 e 0,2·100</p><p>= 20.</p><p>• Passo 4: Observe que não existem mais vírgulas</p><p>no resultado. Como ambos foram multiplicados</p><p>pelo mesmo número, seus resultados serão iguais.</p><p>Desse modo, realizando a divisão de 382 por 20,</p><p>obteremos o mesmo resultado que na divisão de</p><p>3,82 por 0,2. Portanto:</p><p>POTÊNCIAS</p><p>• o expoente está indicando quantas vezes deve-</p><p>mos multilicar a base:</p><p>• a potenciação é distributiva para a multiplicação e</p><p>a divisão:</p><p>• multiplicação de mesma base coma os expoentes:</p><p>• Potência de potência multiplica os expoentes:</p><p>n</p><p>Para resolver uma potência, basta multiplicar a</p><p>base por ela mesma a quantidade de vezes indicada</p><p>pelo expoente. Se temos, por exemplo, a potência,</p><p>basta multiplicar o 3 por ele mesmo 5 vezes:</p><p>Potência com número negativo, basta aplicar a po-</p><p>tência no inverso do número:</p><p>FRAÇÃO NO EXPOENTE</p><p>OU UM NÚMERO DECIMAL</p><p>Transformar a potência em uma raiz.</p><p>Resolver uma potência em que o expoente é uma</p><p>fração:</p><p>Dada uma potência em que a é real, bem como</p><p>x e y são inteiros:</p><p>Para entender melhor essa definição, veja a reso-</p><p>lução de alguns exemplos:</p><p>13</p><p>RADICIAÇÃO</p><p>É uma operação matemática e possui proprieda-</p><p>des que podem ser aplicadas para facilitar os cálculos.</p><p>1ª propriedade - raiz enésima de um número ele-</p><p>vado a n. O resultado é esse próprio número, isto é,</p><p>sempre que o índice do radical for igual ao expoente</p><p>do radicando, o resultado da raiz será o próprio radi-</p><p>cando sem expoente. Observe o exemplo:</p><p>2ª propriedade - índice do radical e o expoen-</p><p>te do radicando sejam multiplicados ou divididos pelo</p><p>mesmo número. Se a ideia for simplificar os cálculos e</p><p>ambos forem múltiplos de um mesmo número, basta</p><p>dividi-los por esse número. Observe:</p><p>Observe que 28 é obtido por meio da decomposi-</p><p>ção em fatores primos de 256.</p><p>3ª propriedade – Um “caminho de ida” e um</p><p>“caminho de volta”. No caminho de ida, é possível de-</p><p>compor um número em fatores quaisquer (ou primos,</p><p>dependendo da situação) e reescrever uma raiz única</p><p>como produto das raízes dos fatores. Esse caso é o</p><p>mais utilizado na simplificação de radicais.</p><p>Muitas vezes essa propriedade é usada em con-</p><p>junto com a propriedade anterior para unir dois ou mais</p><p>radicais. Para tanto, multiplique índice e expoente dos</p><p>radicais a serem unidos de modo que os índices fiquem</p><p>iguais. Em seguida, aplique a terceira propriedade.</p><p>4ª propriedade - o item anterior para divisão.</p><p>5ª propriedade - Qualquer raiz elevada a alguma</p><p>potência pode ter a potência introduzida em seu radi-</p><p>cal, de modo que ela se torna expoente do radicando.</p><p>6ª propriedade - As raízes de raízes podem ser</p><p>reescritas utilizando apenas um radical. :</p><p>7º propriedade - O índice do radical e o expoente</p><p>do radicando podem ser vistos como uma fração a fim</p><p>de eliminar o radicando ou de simplificá-lo.</p><p>JOGO DE SINAIS E</p><p>ORDEM DE CÁLCULO</p><p>Existem duas regras diferentes para calcular os si-</p><p>nais dos resultados das operações matemáticas: uma</p><p>para adição e outra para multiplicação.</p><p>A regra utilizada para adição é a seguinte: a adição</p><p>de dois números com sinais iguais tem como resulta-</p><p>do um número com esse mesmo sinal. Na adição de</p><p>dois números com sinais diferentes, subtrai-se esses</p><p>números e o resultado ficará com o sinal daquele que</p><p>possui o maior módulo.</p><p>Resumindo:</p><p>Na adição:</p><p>Sinais iguais, repete o sinal.</p><p>Sinais diferentes, subtrai e dá, ao resultado, o sinal</p><p>do maior.</p><p>A regra usada para multiplicação é a seguinte:</p><p>A multiplicação de dois números com sinais iguais</p><p>resulta em um número positivo.</p><p>A multiplicação de dois números com sinais dife-</p><p>rentes resulta em um número negativo.</p><p>14</p><p>Resumindo:</p><p>Na multiplicação:</p><p>Sinais iguais: ( + )</p><p>Sinais diferentes: ( - )</p><p>As expressões numéricas devem ser resolvidas</p><p>seguindo a seguinte ordem:</p><p>• resolver as operações no interior de parênteses,</p><p>• depois no interior de colchetes</p><p>• e, por fim, no interior de chaves.</p><p>Já a ordem de resolução das operações em si é a</p><p>seguinte:</p><p>• primeiro, calcular raízes ou potências,</p><p>• depois, multiplicações ou divisões</p><p>• e, por fim, adições e subtrações.</p><p>PRODUTOS NOTÁVEIS</p><p>Primeiro Caso: Quadrado da soma de dois ter-</p><p>mos.</p><p>• Quadrado = expoente 2;</p><p>• Soma de dois termos = a + b;</p><p>• Logo, o quadrado da soma de dois termos é:</p><p>Efetuando o produto do quadrado da soma, obte-</p><p>mos:</p><p>Toda essa expressão, ao ser reduzida, forma o</p><p>produto notável, que é dado por:</p><p>Sendo assim, o quadrado da soma de dois termos</p><p>é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas ve-</p><p>zes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado</p><p>do segundo termo.</p><p>Exemplos:</p><p>Segundo Caso: Quadrado da diferença de dois</p><p>termos.</p><p>• Quadrado = expoente 2;</p><p>• Diferença de dois termos = a – b;</p><p>• Logo, o quadrado da diferença de dois termos é:</p><p>Vamos efetuar os produtos por meio da proprieda-</p><p>de distributiva:</p><p>Reduzindo essa expressão, obtemos o produto</p><p>notável:</p><p>Temos, então, que o quadrado da diferença de</p><p>dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, me-</p><p>nos duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o</p><p>quadrado do segundo termo.</p><p>Exemplos:</p><p>Terceiro Caso: Produto da soma pela diferença</p><p>de dois termos.</p><p>• Produto = operação de multiplicação;</p><p>• Soma de dois termos = a + b;</p><p>• Diferença de dois termos = a – b;</p><p>• O produto da soma pela diferença de dois</p><p>termos é: (a + b) . (a – b)</p><p>Resolvendo o produto de (a + b) . (a – b), obtemos:</p><p>Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:</p><p>15</p><p>Podemos concluir, portanto, que o produto da</p><p>soma pela diferença de dois termos é igual ao quadra-</p><p>do do primeiro termo menos o quadrado do segundo</p><p>termo.</p><p>Exemplos:</p><p>Quarto caso: Cubo da soma de dois termos</p><p>• Cubo = expoente 3;</p><p>• Soma de dois termos = a + b;</p><p>• Logo, o cubo da soma de dois termos é:</p><p>Efetuando o produto por meio da propriedade dis-</p><p>tributiva, obtemos:</p><p>Reduzindo a expressão, obtemos o produto</p><p>notável:</p><p>O cubo da soma de dois termos é dado pelo cubo</p><p>do primeiro, mais três vezes o primeiro termo ao qua-</p><p>drado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro</p><p>termo pelo segundo ao quadrado, mais o cubo do se-</p><p>gundo termo.</p><p>Exemplos:</p><p>Quinto caso: Cubo da diferença de dois termos</p><p>• Cubo = expoente 3;</p><p>• Diferença de dois termos = a – b;</p><p>• Logo, o cubo da diferença de dois termos é:</p><p>Efetuando os produtos, obtemos:</p><p>Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:</p><p>O cubo da diferença de dois termos é dado pelo</p><p>cubo do primeiro, menos três vezes o primeiro termo</p><p>ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o</p><p>primeiro termo pelo segundo ao quadrado, menos o</p><p>cubo do segundo termo.</p><p>Exemplo:</p><p>FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS</p><p>São sete os casos diferentes utilizados na fatora-</p><p>ção de expressões algébricas.</p><p>Fatoração</p><p>Fatorar significa transformar a soma e a subtração</p><p>de expressões algébricas ou equações em um produ-</p><p>to com fatores. Podemos entender a fatoração como</p><p>sendo a simplificação das sentenças matemáticas.</p><p>Existem sete casos de fatoração.</p><p>Os métodos de fatoração de expressões algébri-</p><p>cas são:</p><p>1º caso - Fator comum (coloca-se o fator comum</p><p>em evidência);</p><p>podemos dizer que o monômio x é co-</p><p>mum a todos os termos, então vamos colocá-lo em</p><p>evidência e dividir cada termo do polinômio</p><p>por x.</p><p>Temos: x (x + 2)</p><p>Concluímos que x (x + 2) é a forma fatorada do</p><p>polinômio</p><p>Para termos certeza dos cálculos, podemos apli-</p><p>car a distribuição na expressão x (x + 2) voltando</p><p>ao polinômio</p><p>2º caso - Agrupamento de fatores comuns</p><p>Agrupamento é o método pelo qual simplificamos</p><p>uma expressão algébrica, agrupando os termos seme-</p><p>lhantes (termos em comum).</p><p>16</p><p>Ao usarmos o método do agrupamento, necessi-</p><p>tamos fazer uso da fatoração: termo comum em evi-</p><p>dência.</p><p>Observe no exemplo a seguir:</p><p>Termo comum em evidência em cada agrupamento:</p><p>Colocamos novamente em evidência, pois os ter-</p><p>mos 4x e 6y possuem termos em comum.</p><p>3º caso - Trinômio Quadrado Perfeito</p><p>Trinômio do quadrado perfeito é o 3º caso de fa-</p><p>toração de expressão algébrica. Ele só pode ser uti-</p><p>lizado quando a expressão algébrica for um trinômio</p><p>(polinômio com três monômios) e esse trinômio formar</p><p>um quadrado perfeito.</p><p>Para que um trinômio seja quadrado perfeito ele</p><p>deve ter algumas características:</p><p>• Dois termos (monômios) do trinômio devem ser</p><p>quadrados.</p><p>• Um termo (monômio) do trinômio deve ser o dobro</p><p>das raízes quadradas dos dois outros termos.</p><p>Veja um exemplo:</p><p>Veja se o trinômio é um quadra-</p><p>do perfeito, para isso siga as regras acima:</p><p>Dois membros do trinômio têm raízes quadradas e</p><p>o dobro delas é o termo do meio, então o trinômio</p><p>é quadrado perfeito.</p><p>4x² + 8x + 6xy + 12y</p><p>Então, a forma fatorada do trinômio é:</p><p>Pois é a soma das raízes ao quadrado.</p><p>Exemplos:</p><p>4º caso - Trinômio:</p><p>Sempre devemos observar os coeficientes dos</p><p>dois últimos termos, veja:</p><p>Os números 12 e 20 são os coeficientes dos dois</p><p>últimos termos, agora devemos achar dois números</p><p>que quando somamos o valor será igual a + 12 e quan-</p><p>do multiplicamos o resultado será igual a + 20, chega-</p><p>remos a esses números através de tentativas.</p><p>Os números somados e multiplicados que dão</p><p>como valor 12 e 20, respectivamente, é 2 e 10.</p><p>2 + 10 = 12</p><p>2 . 10 = 20</p><p>Então, fatoramos utilizando os números encontra-</p><p>dos que no exemplo é 2 e 10, portanto a forma fatorada</p><p>de</p><p>5º caso - Diferença de dois quadrados</p><p>Exemplo</p><p>17</p><p>6º caso - Soma de dois cubos.</p><p>Dado dois números quaisquer x e y, se somarmos</p><p>os dois obteremos x + y, se montarmos uma expres-</p><p>são algébrica com os dois números teremos x²-xy+ y²,</p><p>agora devemos multiplicar as duas expressões encon-</p><p>tradas.</p><p>(x + y) (x² - xy + y²) utilize a propriedade distributiva;</p><p>x² - x²y + xy² + x²y –xy³ + y³ una os termos</p><p>semelhantes;</p><p>x3 + y3 é uma expressão algébrica de dois termos</p><p>onde os dois estão elevados ao cubo e somados.</p><p>Assim, podemos concluir que x³ + y³ é uma forma</p><p>geral da soma de dois cubos onde x e y poderão as-</p><p>sumir qualquer valor real.</p><p>A forma fatorada de x² + y³ será (x + y) (x² - xy</p><p>+ y²).</p><p>Exemplo</p><p>8 x³ + y³ é a soma de dois cubos.</p><p>Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:</p><p>(2x)³ + y³ assim: x = 2x e y = y</p><p>Agora, basta usarmos a forma gral e fazermos as</p><p>substituições.</p><p>(x + y) (x² - xy + y²)</p><p>(2x + y) ((2x)² – 2xy + y²)</p><p>(2x + y) (4x² – 2xy + y²)</p><p>7º caso - Diferença de dois cubos.</p><p>Dado dois números quaisquer x e y. Se subtrair-</p><p>mos ficará: x-y, se montarmos uma expressão algé-</p><p>brica com os dois números obteremos: x2 + xy + y2,</p><p>assim, devemos multiplicar as duas expressões en-</p><p>contradas.</p><p>(x - y) (x² + xy + y²) é necessário utilizar a pro-</p><p>priedade distributiva;</p><p>x³ + x²y + xy² - x²y - xy² - y³ unir os termos</p><p>semelhantes;</p><p>x³ - y³ é uma expressão algébrica de dois termos,</p><p>os dois estão elevados ao cubo e subtraídos.</p><p>Assim, podemos concluir que x³ - y³ é uma forma</p><p>geral da soma de dois cubos onde</p><p>x e y podem assumir qualquer valor real.</p><p>A forma fatorada de x³ - y³ será:</p><p>(x - y) (x² + xy + y²).</p><p>Exemplo</p><p>27x³ – y³</p><p>Os dois termos estão ao cubo e entre eles há uma</p><p>subtração, devemos fatorar da seguinte forma:</p><p>(x - y) (x² + xy + y²).</p><p>Ao tirar as raízes cúbicas dos dois termos, temos:</p><p>27x3 – y3.</p><p>A raiz cúbica de 27x³ é 3x e a raiz cúbica de y³ é</p><p>y. Agora, basta substituir valores, no lugar de x colo-</p><p>caremos 2x e no lugar de y colocaremos 3 na forma</p><p>fatorada (x - y) (x² + xy + y²) , ficando assim:</p><p>(3x – y) ((3x)² + 3x . y + y²)</p><p>(3x – y) (9x² + 3xy + y²)</p><p>Então, (2x – 3) (4x² + 6x + 9) é a forma fatorada</p><p>da expressão algébrica 8x3 – 27.</p><p>ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO</p><p>DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Exemplo:</p><p>Como no exemplo 1, vamos calcular o MMC, mas,</p><p>nesse caso, os denominadores não são múltiplos entre</p><p>si. Vejamos:</p><p>18</p><p>Vamos então resolver a expressão:</p><p>Exemplo:</p><p>a – 1</p><p>a² – b² a + b</p><p>Vamos calcular o MMC dos denominadores, mas antes lembremos a propriedade de fatoração “Produto da</p><p>soma pela diferença” e, em vez de usarmos o denominador a² - b²², usaremos (a + b) * (a – b). Enfim, calculemos</p><p>o MMC:</p><p>19</p><p>LISTA DE EXERCÍCIOS</p><p>Faça as atividades, consultando o material quando</p><p>necessário.</p><p>1- Calcule: Sem o uso da calculadora:</p><p>2- Calcule:</p><p>3- Efetue:</p><p>20</p><p>4- Resolva as potências:</p><p>5- Simplifique os radicais:</p><p>21</p><p>22</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>SILVA, Sebastião Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da; SILVA, Ermes Medeiros da. Matemática: para os</p><p>cursos de economia, administração e ciências contábeis. 5.ed. São Paulo: Atlas, 1999. v.1. 309 p. il. ISBN</p><p>85-224-2208-7.</p><p>IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel. Fundamentos de matemática elementar: sequências, matrizes, determi-</p><p>nantes e sistemas. 6.ed. São Paulo: Atual, 1993. v.4. 229 p. il. ISBN 85-7056-267-5</p><p>IEZZI, Gilson et al. Matemática - 3ª série - 2ºgrau. 7.ed (rev.). São Paulo: Atual, 1980. 292 p. il.</p><p>Site: http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/</p>