Limites e Continuidade de Funções

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<p>LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES</p><p>Grupo de Disciplina Instituto Superior de Tansportes e Comunicações</p><p>Aula 6 | Limites de Funções Análise Matemática I| 2022</p><p>Análise Matemática I</p><p>Limites e continuidade de Funções</p><p>Grupo de Disciplina</p><p>Aula 6</p><p>Maputo, Setembro de 2022</p><p>LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES</p><p>Grupo de Disciplina Instituto Superior de Tansportes e Comunicações</p><p>Aula 6 | Limites de Funções Análise Matemática I| 2022</p><p>• Continuidade de funções</p><p>• Descontinuidade de funções</p><p>• Tipos de descontinuidades</p><p>Conteúdos da aula</p><p>LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES</p><p>Grupo de Disciplina Instituto Superior de Tansportes e Comunicações</p><p>Aula 6 | Limites de Funções Análise Matemática I| 2022</p><p>Definição: Uma função 𝑓 é continua em um ponto 𝑎 se:</p><p>lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)</p><p>Esta definição requere três condições:</p><p>1. 𝑓 está definida no ponto 𝑎.</p><p>2. lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑓(𝑥) existe</p><p>3. lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)</p><p>Continuidade de Funções</p><p>LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES</p><p>Grupo de Disciplina Instituto Superior de Tansportes e Comunicações</p><p>Aula 6 | Limites de Funções Análise Matemática I| 2022</p><p>Graficamente</p><p>𝑥 tende a 𝑎.</p><p>Continuidade de Funções</p><p>LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES</p><p>Grupo de Disciplina Instituto Superior de Tansportes e Comunicações</p><p>Aula 6 | Limites de Funções Análise Matemática I| 2022</p><p>Exemplo de gráfico de funções que não são continuas.</p><p>Continuidade de Funções</p><p>LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES</p><p>Grupo de Disciplina Instituto Superior de Tansportes e Comunicações</p><p>Aula 6 | Limites de Funções Análise Matemática I| 2022</p><p>Exemplo1: estude a continuidade das seguintes funções:</p><p>1) 𝑓 𝑥 =</p><p>𝑥2−1</p><p>𝑥−1</p><p>1) g 𝑥 = ቐ</p><p>𝑥2−1</p><p>𝑥−1</p><p>𝑠𝑒 𝑥 ≠ 1</p><p>1 𝑠𝑒 𝑥 = 1</p><p>1) ℎ 𝑥 = ൝</p><p>1</p><p>𝑥2</p><p>𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0</p><p>1 𝑠𝑒 𝑥 = 0</p><p>Continuidade de Funções</p><p>LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES</p><p>Grupo de Disciplina Instituto Superior de Tansportes e Comunicações</p><p>Aula 6 | Limites de Funções Análise Matemática I| 2022</p><p>Resolução</p><p>1)Note que 𝐷𝑓: 𝑥 ∈ 𝐼𝑅\ 1 , logo 𝑓 é descontinua em 𝑥 = 1.</p><p>2) Note que g 1 = 1 mas lim</p><p>𝑥→1</p><p>𝑥2−1</p><p>𝑥−1</p><p>= lim</p><p>𝑥→1</p><p>𝑥−1 (𝑥+1)</p><p>𝑥−2</p><p>= lim</p><p>𝑥→1−</p><p>𝑥 + 1 = lim</p><p>𝑥→1+</p><p>𝑥 + 1 = 2, ou seja,</p><p>lim</p><p>𝑥→1</p><p>𝑔 𝑥 ≠ 𝑔(1) , então 𝑔 é descontinua em 𝑥 = 1.</p><p>3) Veja que, ℎ 0 = 1 está definida, no entanto os limites laterais são infinitos, ou seja</p><p>lim</p><p>𝑥→0</p><p>1</p><p>𝑥2</p><p>= ∞ , não existe, logo 𝑓 é descontinua em 𝑥 = 0.</p><p>Continuidade de Funções</p><p>LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES</p><p>Grupo de Disciplina Instituto Superior de Tansportes e Comunicações</p><p>Aula 6 | Limites de Funções Análise Matemática I| 2022</p><p>Gráficos das funções 𝑓 e 𝑔</p><p>Continuidade de Funções</p><p>LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES</p><p>Grupo de Disciplina Instituto Superior de Tansportes e Comunicações</p><p>Aula 6 | Limites de Funções Análise Matemática I| 2022</p><p>Exemplo2:</p><p>𝑓 𝑥 = ቊ</p><p>𝑥 + 3 𝑠𝑒 𝑥 ≥ −1</p><p>−𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 < −1</p><p>𝑓 é contínua em todos os pontos, de facto</p><p>seja 𝑥 = −1, pertence ao domínio então:</p><p>Se 𝑥 > −1, temos:</p><p>lim</p><p>𝑥→−1</p><p>𝑥 + 3 = lim</p><p>𝑥→−1+</p><p>−1 + 3 = 2 = 𝑓 −1 = −1 + 3 = 2</p><p>Se 𝑥 < −1, temos:</p><p>lim</p><p>𝑥→−1</p><p>−𝑥 + 1 = lim</p><p>𝑥→−1−</p><p>−(−1) + 1 = 2</p><p>Continuidade de Funções</p><p>LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES</p><p>Grupo de Disciplina Instituto Superior de Tansportes e Comunicações</p><p>Aula 6 | Limites de Funções Análise Matemática I| 2022</p><p>Propriedade das funções contínuas</p><p>Se 𝑓 e 𝑔 são contínuas em um ponto 𝑎, então:</p><p>(i) 𝑓 + 𝑔 é contínua em 𝑎.</p><p>(ii) 𝑓 − 𝑔 é contínua em 𝑎.</p><p>(iii) 𝑓. 𝑔 é contínua em 𝑎.</p><p>(iv)</p><p>𝑓</p><p>𝑔</p><p>é contínua em 𝑎 desde que 𝑔(𝑎) ≠ 0.</p><p>Continuidade de Funções</p><p>LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES</p><p>Grupo de Disciplina Instituto Superior de Tansportes e Comunicações</p><p>Aula 6 | Limites de Funções Análise Matemática I| 2022</p><p>Continuidades laterais</p><p>Continuidade a direita:</p><p>Uma função 𝑓 é continua a direita em um ponto 𝑎 se:</p><p>lim</p><p>𝑥→𝑎+</p><p>𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎).</p><p>Continuidade a esquerda:</p><p>Uma função 𝑓 é continua a esquerda de um ponto 𝑎 se:</p><p>lim</p><p>𝑥→𝑎−</p><p>𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎).</p><p>Continuidade de Funções</p><p>LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES</p><p>Grupo de Disciplina Instituto Superior de Tansportes e Comunicações</p><p>Aula 6 | Limites de Funções Análise Matemática I| 2022</p><p>Definição:</p><p>Uma função que não é contínua em um ponto 𝑎, diz-se descontínua nesse</p><p>pondo.</p><p>Tipos de descontinuidade</p><p>Descontinuidade da 1ª espécie</p><p>• Se os limites laterais existem, porém diferentes, ou seja:</p><p>lim</p><p>𝑥→𝑥0</p><p>−</p><p>𝑓(𝑥) ≠ lim</p><p>𝑥→𝑥0</p><p>+</p><p>𝑓(𝑥)</p><p>então 𝑥0 chama-se ponto de descontinuidade da 1ª espécie de salto.</p><p>Continuidade de Funções</p><p>LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES</p><p>Grupo de Disciplina Instituto Superior de Tansportes e Comunicações</p><p>Aula 6 | Limites de Funções Análise Matemática I| 2022</p><p>• Se os limites laterais existem e forem, ou seja:</p><p>lim</p><p>𝑥→𝑥0</p><p>−</p><p>𝑓(𝑥)= lim</p><p>𝑥→𝑥0</p><p>+</p><p>𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑥0)</p><p>Então 𝑥0 ponto de descontinuidade da primeira espécie evitável.</p><p>Descontinuidade de 2ª espécie</p><p>Se um dos limites laterais de 𝑓(𝑥) forem ±∞ quando 𝑥 tende a 𝑥0,</p><p>então 𝑥0 chama-se ponto de descontinuidade de 2ª espécie</p><p>Continuidade de Funções</p><p>LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES</p><p>Grupo de Disciplina Instituto Superior de Tansportes e Comunicações</p><p>Aula 6 | Limites de Funções Análise Matemática I| 2022</p><p>Exemplo: Determine e classifique o(s) ponto(s) de descontinuidade</p><p>𝑓 𝑥 =</p><p>𝑥2 − 4</p><p>𝑥 − 2</p><p>lim</p><p>𝑥→2−</p><p>𝑥2 − 4</p><p>𝑥 − 2</p><p>= lim</p><p>𝑥→2−</p><p>𝑥 − 2 (𝑥 + 2)</p><p>𝑥 − 2</p><p>= lim</p><p>𝑥→2−</p><p>𝑥 + 2 = lim</p><p>𝑥→2−</p><p>𝑥 + 2 = 4</p><p>lim</p><p>𝑥→2+</p><p>𝑥2 − 4</p><p>𝑥 − 2</p><p>= lim</p><p>𝑥→+</p><p>𝑥 − 2 (𝑥 + 2)</p><p>𝑥 − 2</p><p>= lim</p><p>𝑥→2+</p><p>𝑥 + 2 = lim</p><p>𝑥→2+</p><p>𝑥 + 2 = 4</p><p>Como lim</p><p>𝑥→2−</p><p>𝑓 𝑥 = lim</p><p>𝑥→2+</p><p>𝑓 𝑥 ≠ 𝑓(2) então 𝑥 = 2 é ponto de</p><p>descontinuidade de primeira espécie eliminável.</p><p>Continuidade de Funções</p><p>LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES</p><p>Grupo de Disciplina Instituto Superior de Tansportes e Comunicações</p><p>Aula 6 | Limites de Funções</p><p>Análise Matemática I| 2022</p><p>Para eliminar a descontinuidade Podemos redefinir a função:</p><p>𝑓 𝑥 = ቐ</p><p>𝑥2 − 4</p><p>𝑥 − 2</p><p>𝑠𝑒 𝑥 ≠ 2</p><p>4 𝑠𝑒 𝑥 = 2</p><p>Continuidade de Funções</p>