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<p>Universidade Tecnológica Federal do Paraná</p><p>MA71B - Geometria analítica e álgebra linear - 2o. sem. 2012</p><p>Professor Rodolfo Begiato - begiato@utfpr.edu.br - http://paginapessoal.utfpr.edu.br/begiato/</p><p>3a. PROVA - 06/05/2013</p><p>Todas as respostas nos exercícios abaixo devem ser justificadas.</p><p>Respostas sem justificativas não serão aceitas.</p><p>Aparelhos eletrônicos de qualquer tipo, incluindo telefones celulares,</p><p>devem ser mantidos desligados durante a realização da prova.</p><p>1. (8 pontos) Seja T : R3 → R3 uma transformação linear dada por T (x, y, z) = (−x, 2z−4y, 3x).</p><p>(a) Determine o núcleo de T e encontre uma base para este subespaço.</p><p>(b) Determine a imagem de T e encontre uma base para este subespaço.</p><p>(c) A transformação T é injetora? Justi�que.</p><p>(d) A transformação T é sobrejetora? Justi�que.</p><p>(e) Encontre matriz da transformação T em relação à base C = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}</p><p>(f) Encontre os autovalores de T .</p><p>(g) Determine uma base para cada autoespaço determinado pelos autovalores de T .</p><p>(h) T é diagonalizável? Justi�que.</p><p>ESCOLHA 2 DOS 3 EXERCÍCIOS ABAIXO PARA RESOLVER</p><p>2. (1.5 pontos) Considere uma transformação linear T : V → W um conjunto linearmente</p><p>independente um conjunto {v1, . . . , vn} ∈ V .</p><p>Mostre que T é injetora se, e somente se, {T (v1), . . . , T (vn)} também é linearmente indepen-</p><p>dente.</p><p>3. (1.5 pontos) Seja λ um autovalor de um operador invertível T . Mostre que 1</p><p>λ</p><p>é um autovalor</p><p>de T−1.</p><p>4. (1.5 pontos) Identi�que a cônica e determine os focos:</p><p>2x2 − 4xy − y2 = −24;</p><p>BOA PROVA!</p>