Aula 7 - Método das forças para determinação das reações de apoio I

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<p>TEORIA DAS</p><p>ESTRUTURAS</p><p>Aula 07 -</p><p>Método das forças</p><p>para determinação</p><p>das reações de</p><p>apoio I</p><p>MARCOS PAULO SEGANTINI BORGES DOS SANTOS</p><p>Objetivo</p><p>O objetivo geral dessa aula é identificar o processo de</p><p>determinação das reações de apoio em estruturas</p><p>hiperestáticas através do método das forças.</p><p>Especificamente nessa aula, buscaremos determinar as</p><p>reações de apoio através do método das forças de uma</p><p>estrutura engastada em uma extremidade e com dois outros</p><p>apoios de primeiro gênero, ou seja, que possui grau de</p><p>hiperestaticidade igual a dois.</p><p>Nesta aula</p><p>Você sabia? – É possível determinar as reações de apoio em</p><p>vigas hiperestáticas</p><p>Determinação das reações de apoio utilizando o método das</p><p>forças</p><p>Você sabia? – É possível determinar as</p><p>reações de apoio em vigas hiperestáticas</p><p>Segundo Soriano e Lima (2006) uma estrutura é</p><p>classificada como isostática quando o número de incógnitas é</p><p>igual ao número de equações de equilíbrio conhecidas. Os</p><p>mesmos autores ainda classificam que as estruturas</p><p>hiperestáticas possuem maior quantidade de incógnitas em</p><p>relação ao número de equações de equilíbrio, sendo o grau de</p><p>hiperestaticidade obtido pela diferença entre a quantidade de</p><p>incógnitas existentes na estrutura e a quantidade de equações</p><p>de equilíbrio disponíveis, que geralmente são três (equilíbrio</p><p>das forças na horizontal, equilíbrio das forças na vertical e</p><p>equilíbrio dos momentos).</p><p>Para determinarmos as reações de apoio em situações</p><p>hiperestáticas, uma das possibilidades é a utilização do</p><p>método das forças. Esse método consiste basicamente em</p><p>analisarmos o grau de hiperestaticiade da estrutura, retirar</p><p>essa mesma quantidade de vínculos e substituir por um</p><p>esforço equivalente obtendo um sistema principal isostático.</p><p>Com a finalidade de entendermos melhor o método em</p><p>questão, vamos analisar a estrutura da figura 1 abaixo:</p><p>Figura 1: Estrutura hiperestática</p><p>Fonte: do autor.</p><p>Analisando a estrutura hiperestática da figura 1, podemos</p><p>perceber que ela possui três incógnitas no ponto 1, uma</p><p>incógnita no ponto 2 e uma incógnita no ponto 3, totalizando 5</p><p>incógnitas. Enquanto isso, a mesma estrutura possui apenas 3</p><p>equações de equilíbrio, o equilíbrio das forças na horizontal,</p><p>equilíbrio das forças na vertical e o equilíbrio dos momentos.</p><p>Logo, o grau de hiperestaticidade geralmente denotado pela</p><p>letra g, será:</p><p>𝒈 = 𝒏º 𝒊𝒏𝒄ó𝒈𝒏𝒊𝒕𝒂𝒔 − 𝒏º 𝒆𝒒𝒖𝒂çõ𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒍í𝒃𝒓𝒊𝒐</p><p>𝒈 = 𝟓 − 𝟑 = 𝟐</p><p>Assim, a estrutura possui grau de hiperestaticidade igual</p><p>a 2, o que significa que necessitamos liberar dois vínculos e</p><p>substituí-los por esforços equivalentes. Uma das</p><p>possibilidades para obtermos um sistema principal isostático</p><p>seria retirar os dois apoios de primeiro gênero e substituí-los</p><p>por esforços na vertical x1 e x2, como mostra a figura 2 a</p><p>seguir:</p><p>Figura 2: Primeira possibilidade de sistema principal isostático</p><p>Fonte: do autor.</p><p>Nessa primeira possibilidade de sistema principal é</p><p>possível notar que a estrutura se tornou isostática e</p><p>engastada.</p><p>Uma segunda possibilidade para a obtenção do sistema</p><p>principal seria a retirada da restrição ao giro no ponto 1 e o</p><p>apoio de primeiro gênero do ponto 2. Assim a estrutura</p><p>assumiria a configuração da figura 3:</p><p>Figura 3: Segunda possibilidade de sistema principal isostático</p><p>Fonte: do autor.</p><p>A segunda possibilidade de sistema principal obtida é</p><p>uma estrutura isostática biapoiada, na qual um dos esforços</p><p>equivalentes é um momento no ponto 1, pois foi retirado a</p><p>restrição ao giro e uma reação vertical no ponto 2 devido a</p><p>exclusão de um apoio de primeira ordem que restringia o</p><p>movimento da estrutura na vertical.</p><p>Vale ressaltar que há outras possibilidades de obtenção</p><p>de sistema principal, desde que dois vínculos sejam retirados</p><p>e substituídos por esforços equivalentes. No desenvolvimento</p><p>do método das forças, devemos escolher um desses sistemas</p><p>principais para analisar.</p><p>Determinação das reações de apoio</p><p>utilizando o método das forças</p><p>Para analisarmos como proceder no desenvolvimento do</p><p>método das forças, vamos utilizar a estrutura hiperestática</p><p>mostrada na figura 1 e o sistema principal ilustrado na figura</p><p>2.</p><p>Como retiramos dois vínculos, a resolução necessitará a</p><p>análise de 3 situações distintas chamadas de estados.</p><p>O Estado 0 é obtido utilizando a estrutura do sistema</p><p>principal escolhido com a carga original existente, como</p><p>mostra a figura 4:</p><p>Figura 4: Estrutura do sistema principal no Estado 0</p><p>Fonte: do autor.</p><p>Uma vez obtida a estrutura no Estado 0, é necessário</p><p>conhecermos as equações do momento fletor para cada</p><p>trecho. Esse procedimento pode ocorrer de diversas maneiras,</p><p>mas para esse problema vamos analisar da direita para</p><p>esquerda utilizando o trecho CB e o trecho BA com o intuito de</p><p>não necessitarmos encontrar as reações de apoio no ponto A.</p><p>• Para o trecho CB veremos que o momento fletor é</p><p>constante e assume o valor de 50 kN.m, logo:</p><p>𝑴𝑪𝑩 = 𝟓𝟎 𝒌𝑵. 𝒎</p><p>• Para o trecho BA veremos que o momento fletor</p><p>pode ser obtido realizando um corte entre os pontos B e A,</p><p>obtendo a expressão:</p><p>𝑴𝑩𝑨 = 𝟓𝟎 − 𝟐𝟎. 𝒙²</p><p>O Estado 1 é obtido utilizando a estrutura do sistema</p><p>principal escolhido com uma carga unitária aplicada</p><p>verticalmente para cima no local onde foi retirado o apoio de</p><p>primeiro gênero intermediário, como mostra a figura 5:</p><p>Figura 5: Estrutura do sistema principal no Estado 1</p><p>Fonte: do autor.</p><p>Uma vez obtida a estrutura no Estado 1, também é</p><p>necessário conhecermos as equações do momento fletor para</p><p>cada trecho. Como no Estado 0, vamos analisar da direita para</p><p>esquerda utilizando o trecho CB e o trecho BA com o intuito de</p><p>não precisarmos encontrar as reações de apoio no ponto A.</p><p>• Para o trecho CB veremos que o momento fletor é</p><p>constante e nulo, logo:</p><p>𝑴𝑪𝑩 = 𝟎</p><p>• Para o trecho BA veremos que o momento fletor</p><p>pode ser obtido realizando um corte entre os pontos B e A,</p><p>obtendo a expressão:</p><p>𝑴𝑩𝑨 = 𝒙</p><p>Por fim o Estado 2 é obtido utilizando a estrutura do</p><p>sistema principal escolhido com uma carga unitária aplicada</p><p>verticalmente para cima no local onde foi retirado o apoio de</p><p>primeiro gênero no final da estrutura, como mostra a figura 6:</p><p>Figura 6: Estrutura do sistema principal no Estado 2</p><p>Fonte: do autor.</p><p>Uma vez obtida a estrutura no Estado 2, também é</p><p>necessário conhecermos as equações do momento fletor para</p><p>cada trecho. Como no Estado 0 e no Estado 1, vamos analisar</p><p>da direita para esquerda utilizando o trecho CB e o trecho BA</p><p>com o intuito de não precisarmos encontrar as reações de</p><p>apoio no ponto A.</p><p>• Para o trecho CB veremos que o momento fletor</p><p>pode ser obtido realizando um corte entre os pontos C e B,</p><p>obtendo a expressão:</p><p>𝑴𝑪𝑩 = 𝒙</p><p>• Para o trecho BA veremos que o momento fletor</p><p>pode ser obtido realizando um corte entre os pontos B e A,</p><p>obtendo a expressão:</p><p>𝑴𝑩𝑨 = 𝟏(𝟑 + 𝒙) = 𝟑 + 𝒙</p><p>Uma vez que conhecemos todas as equações dos</p><p>momentos fletores para cada trecho no Estado 0, no Estado 1</p><p>e no Estado 2, devemos determinar os deslocamentos</p><p>utilizando a combinação de todas as estruturas duas a duas.</p><p>Vamos iniciar a determinação dos deslocamentos</p><p>utilizando as equações do momento fletor de cada trecho para</p><p>cada combinação:</p><p>• deslocamento na direção 1 (referente ao Estado 1)</p><p>devido as cargas reais (Estado 0):</p><p>𝜹𝟏𝟎 = ∫</p><p>𝟎. 𝟓𝟎</p><p>𝑬𝑰</p><p>𝒅𝒙</p><p>𝟑</p><p>𝟎</p><p>+ ∫</p><p>𝒙. (𝟓𝟎 − 𝟐𝟎. 𝒙𝟐)</p><p>𝑬𝑰</p><p>𝒅𝒙</p><p>𝟒</p><p>𝟎</p><p>𝜹𝟏𝟎 =</p><p>𝟏</p><p>𝑬𝑰</p><p>∫ (𝟓𝟎𝒙 − 𝟐𝟎. 𝒙𝟑)𝒅𝒙</p><p>𝟒</p><p>𝟎</p><p>=</p><p>𝟏</p><p>𝑬𝑰</p><p>. [</p><p>𝟓𝟎. 𝒙𝟐</p><p>𝟐</p><p>−</p><p>𝟐𝟎. 𝒙𝟒</p><p>𝟒</p><p>]</p><p>𝟎</p><p>𝟒</p><p>𝜹𝟏𝟎 =</p><p>𝟏</p><p>𝑬𝑰</p><p>. [𝟒𝟎𝟎 − 𝟏𝟐𝟖𝟎] = −</p><p>𝟖𝟖𝟎</p><p>𝑬𝑰</p><p>• deslocamento na direção 1 (referente ao Estado 1)</p><p>devido a carga equivalente do Estado 1:</p><p>𝜹𝟏𝟏 = ∫</p><p>𝟎. 𝟎</p><p>𝑬𝑰</p><p>𝒅𝒙</p><p>𝟑</p><p>𝟎</p><p>+ ∫</p><p>𝒙. 𝒙</p><p>𝑬𝑰</p><p>𝒅𝒙</p><p>𝟒</p><p>𝟎</p><p>=</p><p>𝟏</p><p>𝑬𝑰</p><p>∫ 𝒙𝟐. 𝒅𝒙</p><p>𝟒</p><p>𝟎</p><p>𝜹𝟏𝟏 =</p><p>𝟏</p><p>𝑬𝑰</p><p>. [</p><p>𝒙𝟑</p><p>𝟑</p><p>]</p><p>𝟎</p><p>𝟒</p><p>=</p><p>𝟔𝟒</p><p>𝟑. 𝑬𝑰</p><p>• deslocamento na direção 1 (referente ao Estado 1)</p><p>devido a carga equivalente do Estado 2:</p><p>𝜹𝟏𝟐 = ∫</p><p>𝟎. 𝒙</p><p>𝑬𝑰</p><p>𝒅𝒙</p><p>𝟑</p><p>𝟎</p><p>+ ∫</p><p>𝒙. (𝟑 + 𝒙)</p><p>𝑬𝑰</p><p>𝒅𝒙</p><p>𝟒</p><p>𝟎</p><p>𝜹𝟏𝟐 =</p><p>𝟏</p><p>𝑬𝑰</p><p>∫ (𝟑. 𝒙 + 𝒙𝟐)𝒅𝒙</p><p>𝟒</p><p>𝟎</p><p>=</p><p>𝟏</p><p>𝑬𝑰</p><p>. [</p><p>𝟑. 𝒙𝟐</p><p>𝟐</p><p>+</p><p>𝒙𝟑</p><p>𝟑</p><p>]</p><p>𝟎</p><p>𝟒</p><p>𝜹𝟏𝟐 =</p><p>𝟏</p><p>𝑬𝑰</p><p>. [𝟐𝟒 +</p><p>𝟔𝟒</p><p>𝟑</p><p>] =</p><p>𝟏𝟑𝟔</p><p>𝟑. 𝑬𝑰</p><p>• deslocamento na direção 2 (referente ao Estado 2)</p><p>devido as cargas reais (Estado 0):</p><p>𝛿20 = ∫</p><p>𝑥. 50</p><p>𝐸𝐼</p><p>𝑑𝑥</p><p>3</p><p>0</p><p>+ ∫</p><p>(3 + 𝑥). (50 − 20. 𝑥2)</p><p>𝐸𝐼</p><p>𝑑𝑥</p><p>4</p><p>0</p><p>𝛿20 =</p><p>1</p><p>𝐸𝐼</p><p>∫ (50. 𝑥)𝑑𝑥</p><p>3</p><p>0</p><p>+</p><p>1</p><p>𝐸𝐼</p><p>∫ (150 − 60. 𝑥2 + 50. 𝑥 − 20. 𝑥3)𝑑𝑥</p><p>4</p><p>0</p><p>𝛿20 =</p><p>1</p><p>𝐸𝐼</p><p>. [</p><p>50. 𝑥2</p><p>2</p><p>]</p><p>0</p><p>3</p><p>+</p><p>1</p><p>𝐸𝐼</p><p>. [150. 𝑥 +</p><p>50. 𝑥2</p><p>2</p><p>−</p><p>60. 𝑥3</p><p>3</p><p>−</p><p>20. 𝑥4</p><p>4</p><p>]</p><p>0</p><p>4</p><p>𝛿20 =</p><p>225</p><p>𝐸𝐼</p><p>+</p><p>1</p><p>𝐸𝐼</p><p>. [600 + 400 − 1280 − 1280] = −</p><p>1335</p><p>𝐸𝐼</p><p>• deslocamento na direção 2 (referente ao Estado 2)</p><p>devido a carga equivalente do Estado 1:</p><p>𝜹𝟐𝟏 = ∫</p><p>𝒙. 𝟎</p><p>𝑬𝑰</p><p>𝒅𝒙</p><p>𝟑</p><p>𝟎</p><p>+ ∫</p><p>(𝟑 + 𝒙). 𝒙</p><p>𝑬𝑰</p><p>𝒅𝒙</p><p>𝟒</p><p>𝟎</p><p>=</p><p>𝟏</p><p>𝑬𝑰</p><p>∫ (𝟑. 𝒙 + 𝒙𝟐). 𝒅𝒙</p><p>𝟒</p><p>𝟎</p><p>𝜹𝟐𝟏 =</p><p>𝟏</p><p>𝑬𝑰</p><p>. [</p><p>𝟑. 𝒙𝟐</p><p>𝟐</p><p>+</p><p>𝒙𝟑</p><p>𝟑</p><p>]</p><p>𝟎</p><p>𝟒</p><p>=</p><p>𝟏</p><p>𝑬𝑰</p><p>. [𝟐𝟒 +</p><p>𝟔𝟒</p><p>𝟑</p><p>] =</p><p>𝟏𝟑𝟔</p><p>𝟑. 𝑬𝑰</p><p>• deslocamento na direção 2 (referente ao Estado 2)</p><p>devido a carga equivalente do Estado 2:</p><p>𝜹𝟐𝟐 = ∫</p><p>𝒙. 𝒙</p><p>𝑬𝑰</p><p>𝒅𝒙</p><p>𝟑</p><p>𝟎</p><p>+ ∫</p><p>(𝟑 + 𝒙). (𝟑 + 𝒙)</p><p>𝑬𝑰</p><p>𝒅𝒙</p><p>𝟒</p><p>𝟎</p><p>𝜹𝟐𝟐 =</p><p>𝟏</p><p>𝑬𝑰</p><p>∫ 𝒙𝟐. 𝒅𝒙</p><p>𝟑</p><p>𝟎</p><p>+</p><p>𝟏</p><p>𝑬𝑰</p><p>∫ (𝟗 + 𝟔. 𝒙 + 𝒙𝟐)𝒅𝒙</p><p>𝟒</p><p>𝟎</p><p>𝜹𝟐𝟐 =</p><p>𝟏</p><p>𝑬𝑰</p><p>. [</p><p>𝒙𝟑</p><p>𝟑</p><p>]</p><p>𝟎</p><p>𝟑</p><p>+</p><p>𝟏</p><p>𝑬𝑰</p><p>. [𝟗. 𝒙 +</p><p>𝟔. 𝒙𝟐</p><p>𝟐</p><p>+</p><p>𝒙𝟑</p><p>𝟑</p><p>]</p><p>𝟎</p><p>𝟒</p><p>𝜹𝟐𝟐 =</p><p>𝟗</p><p>𝑬𝑰</p><p>+</p><p>𝟏</p><p>𝑬𝑰</p><p>. [𝟑𝟔 + 𝟒𝟖 +</p><p>𝟔𝟒</p><p>𝟑</p><p>] =</p><p>𝟑𝟒𝟑</p><p>𝟑. 𝑬𝑰</p><p>Analisando os deslocamentos encontrados, podemos</p><p>perceber que o valor de 𝛿12 = 𝛿21, pois se trata da combinação</p><p>dos mesmos Estados. Essa igualdade sempre será válida e</p><p>pode auxiliar na agilidade da resolução do problema, sempre</p><p>que ocorrer.</p><p>O próximo passo é utilizar o sistema linear das equações</p><p>de compatibilidade dos deslocamentos, dado por:</p><p>{</p><p>𝜹𝟏𝟎 + 𝜹𝟏𝟏. 𝒙𝟏 + 𝜹𝟏𝟐. 𝒙𝟐 = 𝟎</p><p>𝜹𝟐𝟎 + 𝜹𝟐𝟏. 𝒙𝟏 + 𝜹𝟐𝟐. 𝒙𝟐 = 𝟎</p><p>Assim, substituindo as informações encontradas</p><p>anteriormente, teremos:</p><p>{</p><p>−</p><p>𝟖𝟖𝟎</p><p>𝑬𝑰</p><p>+</p><p>𝟔𝟒</p><p>𝟑. 𝑬𝑰</p><p>. 𝒙𝟏 +</p><p>𝟏𝟑𝟔</p><p>𝟑. 𝑬𝑰</p><p>. 𝒙𝟐 = 𝟎</p><p>−</p><p>𝟏𝟑𝟑𝟓</p><p>𝑬𝑰</p><p>+</p><p>𝟏𝟑𝟔</p><p>𝟑. 𝑬𝑰</p><p>. 𝒙𝟏 +</p><p>𝟑𝟒𝟑</p><p>𝟑. 𝑬𝑰</p><p>. 𝒙𝟐 = 𝟎</p><p>Como EI é fator comum no denominador de todos os</p><p>termos do primeiro membro, podemos passar para o segundo</p><p>membro multiplicando, assim:</p><p>{</p><p>−𝟖𝟖𝟎 +</p><p>𝟔𝟒</p><p>𝟑</p><p>. 𝒙𝟏 +</p><p>𝟏𝟑𝟔</p><p>𝟑</p><p>. 𝒙𝟐 = 𝟎</p><p>−𝟏𝟑𝟓 +</p><p>𝟏𝟑𝟔</p><p>𝟑</p><p>. 𝒙𝟏 +</p><p>𝟑𝟒𝟑</p><p>𝟑</p><p>. 𝒙𝟐 = 𝟎</p><p>A resolução do sistema linear acima pode ser feita</p><p>através de diversos métodos, como isolamento de uma</p><p>incógnita em uma equação e substituição na outra, adição</p><p>membro a membro das duas equações, escalonamento das</p><p>equações, regra de Crammer (através de matrizes) ou até</p><p>mesmo através de calculadoras programáveis. Para esse</p><p>exemplo, vamos utilizar a forma de resolução mais básica, que</p><p>seria o método da substituição.</p><p>Para facilitar a resolução, inicialmente multiplicaremos</p><p>todas as equações por três para evitar a utilização de frações,</p><p>logo:</p><p>{</p><p>−𝟐𝟔𝟒𝟎 + 𝟔𝟒. 𝒙𝟏 + 𝟏𝟑𝟔. 𝒙𝟐 = 𝟎</p><p>−𝟒𝟎𝟎𝟓 + 𝟏𝟑𝟔. 𝒙𝟏 + 𝟑𝟒𝟑. 𝒙𝟐 = 𝟎</p><p>Na equação superior, vamos isolar a incógnita 𝑥1 para</p><p>depois substituí-la na equação inferior:</p><p>−𝟐𝟔𝟒𝟎 + 𝟔𝟒. 𝒙𝟏 + 𝟏𝟑𝟔. 𝒙𝟐 = 𝟎</p><p>𝟔𝟒. 𝒙𝟏 = 𝟐𝟔𝟒𝟎 − 𝟏𝟑𝟔. 𝒙𝟐</p><p>𝒙𝟏 =</p><p>𝟐𝟔𝟒𝟎 − 𝟏𝟑𝟔. 𝒙𝟐</p><p>𝟔𝟒</p><p>Substituindo o valor de 𝑥1 na equação inferior, temos:</p><p>−𝟒𝟎𝟎𝟓 + 𝟏𝟑𝟔. 𝒙𝟏 + 𝟑𝟒𝟑. 𝒙𝟐 = 𝟎</p><p>𝟏𝟑𝟔. 𝒙𝟏 + 𝟑𝟒𝟑. 𝒙𝟐 = 𝟒𝟎𝟎𝟓</p><p>𝟏𝟑𝟔. (</p><p>𝟐𝟔𝟒𝟎 − 𝟏𝟑𝟔. 𝒙𝟐</p><p>𝟔𝟒</p><p>) + 𝟑𝟒𝟑. 𝒙𝟐 = 𝟒𝟎𝟎𝟓</p><p>(</p><p>𝟑𝟓𝟗𝟎𝟒𝟎 − 𝟏𝟖𝟒𝟗𝟔. 𝒙𝟐</p><p>𝟔𝟒</p><p>) + 𝟑𝟒𝟑. 𝒙𝟐 = 𝟒𝟎𝟎𝟓</p><p>𝟓𝟔𝟏𝟎 − 𝟐𝟖𝟗. 𝒙𝟐 + 𝟑𝟒𝟑. 𝒙𝟐 = 𝟒𝟎𝟎𝟓</p><p>𝟓𝟒. 𝒙𝟐 = 𝟒𝟎𝟎𝟓 − 𝟓𝟔𝟏𝟎</p><p>𝒙𝟐 = −</p><p>𝟏𝟔𝟎𝟓</p><p>𝟓𝟒</p><p>= −</p><p>𝟓𝟑𝟓</p><p>𝟏𝟖</p><p>= −𝟐𝟗, 𝟕𝟐 𝒌𝑵</p><p>Sabendo o valor de 𝑥2 é possível descobrirmos o valor de</p><p>𝑥1, logo:</p><p>𝒙𝟏 =</p><p>𝟐𝟔𝟒𝟎 − 𝟏𝟑𝟔. 𝒙𝟐</p><p>𝟔𝟒</p><p>𝒙𝟏 =</p><p>𝟐𝟔𝟒𝟎 − 𝟏𝟑𝟔. (−</p><p>𝟓𝟑𝟓</p><p>𝟏𝟖 )</p><p>𝟔𝟒</p><p>𝒙𝟏 =</p><p>𝟏𝟓𝟎𝟑𝟓</p><p>𝟏𝟒𝟒</p><p>= 𝟏𝟎𝟒, 𝟒𝟏 𝒌𝑵</p><p>Uma vez que conhecemos as reações de apoio dos</p><p>vínculos que retiramos para tornar a estrutura hiperestática</p><p>em isostática, podemos retornar a estrutura original e</p><p>determinar as reações no engaste, como mostra a figura 7 a</p><p>seguir:</p><p>Figura 7: Estrutura original com as reações de apoio dos vínculos calculados</p><p>Fonte: do autor.</p><p>A partir daqui, a determinação das reações de apoio na</p><p>estrutura pode ser realizada através das formas</p><p>convencionais, uma vez que se trata de uma estrutura</p><p>isostática.</p><p>Analisando a estrutura, é possível perceber que na</p><p>horizontal não há nenhuma reação, logo:</p><p>𝑯𝑨 = 𝟎</p><p>Analisando a vertical, temos:</p><p>𝑽𝑨 − 𝟏𝟔𝟎 + 𝟏𝟎𝟒, 𝟒𝟏 − 𝟐𝟗, 𝟕𝟐 = 𝟎</p><p>𝑽𝑨 = 𝟖𝟓, 𝟑𝟏 𝒌𝑵</p><p>Por fim, analisando o momento fletor em A, temos:</p><p>𝑴𝑨 − 𝟏𝟔𝟎. 𝟐 + 𝟏𝟎𝟒, 𝟒𝟏. 𝟒 − 𝟐𝟗, 𝟕𝟐. 𝟕 + 𝟓𝟎 = 𝟎</p><p>𝑴𝑨 = 𝟔𝟎, 𝟒 𝒌𝑵. 𝒎</p><p>Dessa forma, é possível determinarmos todas as reações</p><p>de apoio em uma estrutura hiperestática utilizando o método</p><p>das forças, pois os vínculos extras acima da situação</p><p>isostática são transformados em esforços equivalentes.</p><p>Conclusão</p><p>Na aula de hoje, identificamos como é possível determinar</p><p>as reações de apoio de estruturas hiperestáticas através de</p><p>um método simples e prático. O método das forças consiste</p><p>em transformar uma estrutura hiperestática em uma estrutura</p><p>isostática através da substituição de vínculos por esforços</p><p>equivalentes. Portanto, podemos inferir que esse método</p><p>representa uma importante ferramenta para a análise</p><p>estrutural, pois permite a determinação de todas as reações</p><p>de apoio em estruturas hiperestáticas, que são comuns na</p><p>construção civil.</p><p>Na próxima aula, discutiremos outra estrutura com grau</p><p>de hiperestaticidade maior, através do método das forças para</p><p>identificarmos que o método em questão pode ser utilizado</p><p>para todas as estruturas hiperestáticas.</p><p></p><p>Saiba mais</p><p>Leia o capítulo 2 do livro indicado abaixo que</p><p>pertence à bibliografia básica da disciplina e</p><p>pode ser encontrado na biblioteca da instituição:</p><p>SORIANO, H. L.; LIMA, S. S. Análise de estruturas:</p><p>método das forças e método dos</p><p>deslocamentos. 2 ed. atual. Rio de Janeiro:</p><p>Ciência Moderna, 2006. 308p.</p><p>Referências</p><p>SORIANO, H. L.; LIMA, S. S. Análise de estruturas: método</p><p>das forças e método dos deslocamentos. 2 ed. atual. Rio</p><p>de Janeiro: Ciência Moderna, 2006. 308p.</p>