Teoria limites aula

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<p>Limites</p><p>Definição de Limites</p><p> Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de</p><p>“x0” (um número real), exceto talvez em x0.</p><p>c x0 d</p><p> Dizemos que f(x) tem limite L quando x tende a “x0” e</p><p>escrevemos</p><p>0x x</p><p>lim f(x) L</p><p></p><p></p><p>Figura 1: Um intervalo aberto de raio 3 em torno de</p><p>x0 = 5 estará dentro do intervalo aberto (2, 8).</p><p>Figures 1.13: Um</p><p>Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto em</p><p>torno de x0, exceto, possivelmente em x0.</p><p>Se f(x) fica arbitrariamente próxima de L para todos os</p><p>valores de x suficientemente próximos de x0, então dizemos</p><p>que a função f tem limite L quando x tende para x0 e</p><p>escrevemos:</p><p>Definição informal de limite</p><p>0x x</p><p>lim f(x) L</p><p></p><p></p><p>x0</p><p> Definição de Limite</p><p>y</p><p>L + </p><p>L</p><p>L - </p><p>0 a -  a a +  x</p><p>O limite de uma função y = ƒ(x), quando x tende a “a“, a  R,</p><p>indicado por lim ƒ(x) é a constante real“L“, se para qualquer </p><p>(épsilon),   R,   0, por menor que seja, existir  (delta),   R,</p><p> > 0, tal que:</p><p>I x – a I <   I ƒ(x) - L I < .</p><p>0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6</p><p>2,0</p><p>2,5</p><p>3,0</p><p>3,5</p><p>4,0</p><p>y</p><p>x</p><p>1º Exemplo:Seja y = f(x) = 2x + 1</p><p>Nota-se que quando x tende para 1, pelos dois</p><p>lados, ao mesmo tempo, y tende para 3, ou seja,</p><p>(x 1) implica em (y 3). Assim, diz-se que:</p><p>3)12(lim)(lim</p><p>11</p><p></p><p></p><p>xxf</p><p>xx</p><p>Neste caso o limite é igual ao valor da função.</p><p>f(x) = f(1) = 3</p><p>1</p><p>lim</p><p>x</p><p>1º Exemplo</p><p> Quando faz-se x tender para a, por valores menores que a,</p><p>está se calculando o limite lateral esquerdo. x a -</p><p> Quando faz-se x tender para a, por valores maiores que a,</p><p>está se calculando o limite lateral direito. x a +</p><p> Para o limite existir, os limites laterais devem ser iguais:</p><p>[f(x)] = [f(x)]</p><p>ax</p><p>lim</p><p>ax</p><p>lim</p><p>Limites Laterais</p><p>x f(x) = x + 3</p><p>2 5</p><p>1,5 4,5</p><p>1,25 4,25</p><p>1,1 4,1</p><p>1,01 4,01</p><p>1,001 4,001</p><p>1,0001 4,0001</p><p>4)(lim</p><p>1</p><p></p><p></p><p>xf</p><p>x</p><p>4)(lim</p><p>1</p><p></p><p></p><p>xf</p><p>x</p><p>Estudemos o comportamento da função f(x) quando x estiver</p><p>próximo de 1, mas não for igual a 1.</p><p>x f(x) = x + 3</p><p>0 3</p><p>0,25 3,25</p><p>0,75 3,75</p><p>0,9 3,9</p><p>0,99 3,99</p><p>0,999 3,999</p><p>2º Exemplo: Dada a função f: IR  IR, definida por f(x) = x + 3.</p><p>4</p><p>1 x</p><p>y</p><p>Pela esquerda</p><p>Pela direita</p><p>)(lim</p><p>1</p><p>xf</p><p>x</p><p>Determinar, graficamente,</p><p>Dada a função f: IR  IR, definida por</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1,3</p><p>1,1</p><p>)(</p><p>xparax</p><p>xparax</p><p>xf</p><p>4)(lim</p><p>1</p><p></p><p></p><p>xf</p><p>x</p><p>2)(lim</p><p>1</p><p></p><p></p><p>xf</p><p>x</p><p>1</p><p>Não existe limite de f(x),</p><p>quando x tende para 1</p><p>2</p><p>4</p><p>3º Exemplo</p><p>No caso da função f(x) = é diferente</p><p>pois f(x) não é definida para x = 1. Porém o limite</p><p>existe e é igual 3.</p><p>1</p><p>22</p><p></p><p></p><p>x</p><p>xx</p><p>4º Exemplo</p><p>No caso da função f(x) = é diferente pois</p><p>f(x) não é definida para x = 1. Porém o limite existe</p><p>e é igual 2.</p><p>Ver gráfico a seguir:</p><p>1</p><p>12</p><p></p><p></p><p>x</p><p>x</p><p>1</p><p>2</p><p>5º Exemplo</p><p>“O limite da função f(x) = x2 quando x tende a 2 é 4”.</p><p>Noção Intuitiva de Limite Noção intuitiva de limite</p><p></p><p> 2</p><p>x 2</p><p>lim(x ) = 4</p><p>Limites Intuitivos</p><p></p><p>=</p><p>0)(lim)(</p><p>0)(lim)(</p><p>)(lim)(</p><p>)(lim)(</p><p>0</p><p>0</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>xfd</p><p>xfc</p><p>xfb</p><p>xfa</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>)(b</p><p></p><p>)(a</p><p></p><p>)(d</p><p></p><p>)(c</p><p></p><p><</p><p>1)(lim)(</p><p>0)(lim)(</p><p>1)(lim)(</p><p>0)(lim)(</p><p>0</p><p>0</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>xfd</p><p>xfc</p><p>xfb</p><p>xfa</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>)(b</p><p></p><p>)(a</p><p></p><p>)(d</p><p></p><p>)(c</p><p></p><p><</p><p>></p><p>]1 ,1[ )(lim)(</p><p>0)(lim)(</p><p>]1 ,1[ )(lim)(</p><p>0)(lim)(</p><p>0</p><p>0</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>entrexfd</p><p>xfc</p><p>entrexfb</p><p>xfa</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>)(b</p><p></p><p>)(a</p><p></p><p>)(d</p><p></p><p>)(c</p><p></p><p>)(lim</p><p>0)(lim</p><p>2)(lim</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>xf</p><p>xf</p><p>xf</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>existe não</p><p>diferentessão</p><p>0)(lim</p><p>0)(lim</p><p>0)(lim</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>xf</p><p>xf</p><p>xf</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>iguaissão</p><p>Limites laterais</p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p>)(lim)(</p><p>0)(lim)(</p><p>1</p><p>xfb</p><p>xfa</p><p>x</p><p>x</p><p>)(b</p><p></p><p>)(a</p><p></p><p>Limites infinitos</p><p>2 2</p><p>x 1 x 1</p><p>2</p><p>x 1</p><p>2 2</p><p>lim e lim</p><p>(x 1) (x 1)</p><p>2</p><p>lim</p><p>(x 1)</p><p>  </p><p></p><p>   </p><p> </p><p>  </p><p></p><p>2</p><p>2</p><p>y</p><p>(x 1)</p><p></p><p></p><p>x x</p><p>lim f(x) 1 e lim f(x) 1</p><p>   </p><p> </p><p>Limites infinitos</p><p>EXEMPLO1</p><p>y</p><p>x 1 5</p><p>2</p><p>1</p><p>O que ocorre com f(x) próximo de x = 1?</p><p>Lim f(x) não existe</p><p>x 1</p><p>O que ocorre com f(x) quando x = 1?</p><p>y</p><p>x 1 5</p><p>3</p><p>2</p><p>EXEMPLO 2</p><p>Lim f(x) = L = 2</p><p>x 1</p><p>Lim f(x) sim existe, mas não coincide com f(1)</p><p>x 1</p><p>x 1</p><p>y</p><p>5</p><p>2</p><p>1</p><p>EXEMPLO3</p><p>O que ocorre com f(x) quando x = 1?</p><p>Dado o gráfico de f(x):</p><p>3</p><p>5</p><p>-3</p><p>3</p><p>-2</p><p>x</p><p>f(x)</p><p>3.5</p><p>f(x)d)f(x)c)</p><p>f(x)b)f(x)a)</p><p>limlim</p><p>limlim</p><p>2x0x</p><p>3x3x</p><p></p><p></p><p>Encontre:</p><p>EXERCÍCIO 4</p><p>Limite Exponencial Fundamental</p><p>x</p><p>x</p><p>1</p><p>lim 1 e</p><p>x</p><p> </p><p>   </p><p>Uma função f é contínua em um número x0 se</p><p>)()(lim 0</p><p>0</p><p>xfxf</p><p>xx</p><p></p><p></p><p>Nenhuma destas funções é contínua em x = xo.</p><p>Continuidade de uma função em um número</p><p>a) b) c)</p><p>Uma função f é contínua em um intervalo aberto</p><p>se for contínua em todos os pontos desse intervalo.</p><p> ba,</p><p>Continuidade de uma função em um intervalo aberto</p>